xác định số hạng tổng quát của dãy số

22 2 0
  • Loading ...
1/22 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 22/09/2018, 20:06

1 XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG TỔNG QUÁT  un  u  3un  xác định u1  n 1 với n �1 u  a) Xác định số hạng tổng quát dãy số n Bài Cho dãy số 2 2 b) Tính tổng S  u1  u2  u3   u2011 Hướng dẫn giải * a) Dễ thấy un  0, n �N Từ un 1  3un2  � un21  3un2  v  3vn  � 1     1 Đặt  un có: n 1 x  Đặt xn   ta có: xn 1  xn Từ suy n cấp số nhân với x1  , công bội n 1 n 1 n 1 Nên: xn  2.3 �  2.3  � un  2.3  2010 b) S  2.3  2.3  2.3   2.3  2011   30  31  32   32010   2011   32011  1 1  2011  32011  2012  un  n xác định u1  un 1  un  với n �1 n a) Chứng minh rằng: un   Bài Cho dãy số b) Tính tổng S  u1  u2  u3   un theo n Hướng dẫn giải a) Khi n  : u2  u1      k Giả sử uk   với k �1, k �N k 1 Ta chứng minh: uk 1   k k k k 1 Thật vậy: uk 1  uk       b) S  S   21  1   22  1    n  1  21  2   2n  n 2n   n  2n 1  n  2 1 � u1  � � u  1 un 1  n �  (  1)un Bài Cho dãy số(un) xác định sau: � (n �1, n ��) a) Chứng minh: tan   1 b) Tính: u2015 Hướng dẫn giải  tan    � �  tan  tan �  � �8 �  tan  � tan   tan    8 a) Ta có: �  tan   � ��    � tan    � tan   tan � � 8 dương) (Vì    tan(a  )  tan   tan( a  ) u  8  tan(a   ) u2     8  tan a.tan  tan tan(a  ) u1   tan a 8 b) Đặt , ta có: , tan a  tan  un  tan(a  (n  1) ), n �1, n �� Ta chứng minh: (*) Với n  : u1  tan a  uk  tan( a  (k  1) ) Giả sử (*) với n  k , k �1 , hay ta có:   tan(a  (k  1) )  tan u  1 8  tan(a  k  ) uk 1  k   (  1)uk  tan( a  ( k  1)  ).tan  8 Ta có:  un  tan( a  (n  1) ), n �1, n �� Vậy (*) với n  k  Vậy  3 3 u2015  tan(a  2014 )  tan( a   251 )  tan(a  ) 4 Cho n  2015 , ta có:  1   tan(a  )   (  1)  tan 1 Bài Cho dãy số thực  un  u1  � � u2  1 � � u  2un 1  un (n �N * ) với �n  * a) Chứng minh un   2n với n �N b) Tính tổng S  u1  u2   u2012 Hướng dẫn giải a) Dùng phương pháp qui nạp u1    2.1 , u2   2.2  1  k �3 Giả sử uk   k Ta có: uk 1  2uk  uk 1  2(3  2k )  (3  2(k  1))   2k   2(k  1) * Vậy un   2n với n �N b) S  (3  2.1)  (3  2.2)   (3  2.2012)  3.2012  2(1    2012)  6036  2013.2012  4044120 Bài Cho dãy số   v1  � � v2  34 (n �N * ) � � v  8vn 1  1996vn với �n  Tìm số dư chia v2013 cho 2011 Hướng dẫn giải Xét dãy số Ta có  un  u1  � � u2  34 (n �N * ) � � u  8un 1  15un với �n  �un  mod 2011 * với n �N Xét phương trình đặc trưng: t  8t  15  Phương trình có nghiệm t  5, t   un  A  3B  � � có dạng un  A.5  B.3 Vì u1  5, u2  13 nên �25 A  B  34 Ta có: A  B  n n n n Ta có: un   Ta có 2011 số nguyên tố Theo định lý Fecma ta có: 32010 �1 mod 2011 52013 �125  mod 2011 32013 �27  mod 2011 Suy , Vậy chia u2013 cho 2011 ta số dư 152 Suy chia v2013 cho 2011 ta số dư 152 2010 �1 mod 2011 u1  � �  2un 1  un   2, (n ��* ) �  un  : �n Bài Cho dãy số a) Chứng minh dãy số  un  dãy số giảm b) Lập công thức số hạng tổng quát dãy số  un  Hướng dẫn giải a) Chứng minh dãy số Ta có: un 1   un  dãy số giảm un  * 3n ; Chứng minh: un 1  un n �� phương pháp quy nạp u1  � � � � u2  u1 u2  � �  Ta có:  Giả sử: uk 1  uk ; k �� k  Chứng minh: uk   uk 1 Ta có: uk   uk 1 u u 1  k 1  k  k 1  k  k  uk 1 * 3 Vậy un 1  un n �� b) Lập công thức số hạng tổng quát dãy số  un  3n (2un 1  un )  � 3n 1.un 1  3n.un  Ta có: Đặt  3n un  , ta được: 1   3 (vn  6)  � 1  2 v 9 � �1 (vn ) : � 3 1  , (n ��* ) q � � 2 Ta được: cấp số nhân có cơng bội n 1 n 1 �3 � �3 �  v1 � �  � � �2 � �2 � Suy ra: Vậy un   �1 �  � n  n � n �2 � Bài Tìm số hạng tổng quát dãy  xn  biết rằng: � �x0  1; x1  5; x2  125 � 2 �xn  xn xn 1   xn 1  xn 1  10 xn 1  xn  ( n �N * ) Hướng dẫn giải Từ đề ta có: xn  với n �N xn  3xn 1 10 xn   x x xn1 với n �N * n  n Ta có: Đặt yn  xn xn1 ta yn   yn 1  10 yn  với n �N * Vì phương trình đặc trưng dãy n �N * x1 � �y1  x  � � �y  x2  25 � x1 � Với ta có Ta có n n 2;5 nên yn  A  2   B.5 với �B  � n �A  Suy yn  với n �N * n 1 xn  xn 1  5 5.x0  n  yn  có hai nghiệm phân biệt x 5 Kết hợp với x0  , ta suy n n  ( n 1)  1 n2  n 5 n2  n * với n �N với n �N � u1  � �  un  : � 7u  � un 1  n , n ��* 2un  � � Bài Cho dãy số a) Chứng minh dãy số  un  dãy số giảm b) Lập công thức tổng quát dãy số  un  Hướng dẫn giải a) Chứng minh dãy số  un  dãy số giảm 19 u1  ; u2  � u1  u2 Ta có: Giả sử: uk  uk 1 với k >1 Cần chứng minh: uk 1  uk  Ta có: Mà � uk 1  7uk  27 27   � uk    2uk  2 2uk  2 2uk 1  uk  uk 1 � 1  2uk  2uK 1  27 27    � uk 1  uk  2 2uk  2 2uk 1  (điều phải chứng minh) b) Lập công thức tổng quát dãy số  un  n  un � , n ��* Ta có xn  un  x1  un  , ta có: Xét dãy số xn 1  un 1  �un  � 1  � � xn � xn  n un 1  �un  � � ( xn ) cấp số nhân un  2.3n   n �  3n  1 un  2.3n  � un  n un  3 1 � u1  � 2016  un  : � � 2015un  � un 1  , n ��* � 2016 Bài Cho dãy số * a) Chứng minh un  1, n �� b) Lập công thức tổng quát dãy số  un  Hướng dẫn giải * a) Chứng minh un  1, n �� u1  1 2016 Ta có: Giả sử: Ta có: uk  1, ( k  1) ; Cần chứng minh: uk 1  uk  � 2015uk   2016 � 2015uk   � uk 1  * 2016 Vậy un  1, n �� b)Lập công thức tổng quát dãy số  un  2015 xn  un  ta có x1   2016 Đặt xn 1  un 1   2015un  2015 2015 1  xn  un  1  2016 2016 2016 n �  xn  �2015 � � xn   � � �2016 � cấp số nhân n �2015 � * un   � �, n �� 2016 � � Vậy Bài 10 Cho dãy số  un  xác định bởi: a) Tìm số hạng tổng quát dãy � u1  � u2  � � un  nun1   n   un  2n  4, n �3 �  un  b) Tìm số dư chia u2016 cho 2015 Hướng dẫn giải a) Đặt  un  n ta có: � v1  � v2  � �  n(vn 1  n  1)  ( n  2)(vn 2  n  2)  3n   nvn 1   n   2 , n �3 � Khi  1  (n  1)vn 1  (n  2)vn  Lại có:  v2  (vn  1 )  (vn 1   )   (v4  v3 )  (v3  v2 )   (n  1)vn 1  (n  2)vn     (n  2)vn   ( n  3)vn 3    (3v3  2v2 )  (2v2  1v1 )  (n  1)vn 1  v1 Do  (n  1)vn1 Hay  (n  1)(n  2)vn    (n  1)(n  2) 1.v1  (n  1)! Vậy un  (n  1)! n b) Ta có u2016  2015! 2016 chia cho 2015 dư �x1  �  xn  : �x  xn1 , n �2 �n �   xn 1 Bài 11 Xác định công thức số hạng tổng quát dãy số Hướng dẫn giải Ta có: 1   1 xn xn 1 xn 1 yn  yn1   yn21 Đặt yn  xn , ta dãy  yn       cot  y1   cot � y2  cot   cot   3 2.3 sin Vì  cos xác định sau: y1  Bằng quy nạp ta chứng minh được: Bài 12 Cho dãy số  xn  a) Chứng minh yn  cot xác định bởi:  n 1 � xn  tan x1  4, xn 1   n 1 , n �1 xn4  , n ��* xn  xn  lim xn  � ; n � � n yn  � k 1 xk  b) Với số nguyên dương n , đặt Tính lim yn Hướng dẫn giải  xn  3  xn3  3 xn4  xn 1     * xn  xn   xn3  3   xn   a) Xét Bằng quy nạp chứng minh xn  3, n �1 xn 1  xn   Xét � xn 1  xn  Do  xn   Giả sử Do đó:  xn  3 x  xn  n  0, n ��* dãy tăng  x1  x2  x3   xn  a xn4  xn2  xn   x  n xn3  xn  xn3  xn  bị chặn � lim xn  a a4  �a 3 x  a3  a  (vô lý) Suy n không bị chặn Vậy lim xn  � 1 1 1   �   xn  xn  xn 1  b) Từ (*), suy ra: xn 1  xn  xn  Suy ra: n n � 1 � yn  �  ��  �  xk  xk 1  � xn 1  k 1 xk  k 1 � � � lim yn  lim � 1 � xn 1  � � Vậy MỘT SỐ DẠNG TỐN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH CHẤT CỦA DÃY SỐ u1  � � u  u  un2  un  1,  n ��* Bài 13 Dãy số n xác định sau: �n 1 Chứng minh 1 22 2015 1   22016 k 1 u k 2016  � Hướng dẫn giải –2un    un –1 Ta có: un 1 – un  un (1) Do u1  � u2 – u1  � u2  u1 u  Từ phép quy nạp ta suy n dãy đơn điệu tăng thực sự, un nhận giá trị nguyên dương lớn với n  1, 2, Ta viết lại điều kiện truy hồi xác định dãy số dạng sau đây: un 1 –1  un2 –un  un  un –1 (2)  Từ dẫn đến: un 1  1 1 1   �   , un (un  1) un  un un un  un1  1  n �  � (4) � �  � � �uk 1 uk 1 1 � uk 1 1 k 1 uk k 1 � � (3) Bây từ (3), ta có: n Từ (4) suy bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 1 2n1  1 un 1   1 n 1 n � 2  un 1   22 2n (5) (ở n  2016 ) Ta chứng minh (5) với n Khi với n  2016 Do un nguyên dương với n , (5) tương đương n1 n 22  �un 1   22 (6) u –1  uk 1  uk 1 –1 Xét n  k  Theo (2), ta có: k 2 Vì theo giả thiết quy nạp suy ra: k k k k uk    22 (22  1)  2 2  2 k 1 k 1 k 1 k 1 uk   �(22  1).(2   1)  2 22 k 1 k  22 Như với n  k  , ta thu được: k 2  uk    22 k k 1 k 1 � 22  �uk    22 (8) Từ (8) suy (6) với n  2,3, Vì (5) n  2016 Ta có điều phải chứng minh! � Bài 14 Cho dãy (an ) n 1 : a1  1; an 1  an2  5an  10 n �1  an a) Chứng minh dãy (an ) hội tụ tính lim an a1  a2   an   n �1 n b) Chứng minh Hướng dẫn giải a) Bằng phương pháp chứng minh qui nạp ta có: Đặt A 5 x  x  10 10 f ( x)    x( x �5) 5 x 5 x xét hàm f '( x )  Suy Dẫn đến �an �3 n 10   x � 3� � �   0x �� 1; ;1 � � 2� � � � , f ( x) nghịch biến đoạn � a1  a3  a5   a2 k 1   A �  lim a2 k 1  b �A � �� � �a2  a4  a6   a2 k   A � lim a2 k  c �A � c  5c  10 b � 5 � 5c �bc � 2 b  5b  10 � c 5b � Kết hợp công thức xác định dãy ta được: � Vậy lim an  5 �5 � t �� 1; � � � �thì t  f (t )   b) Nhận xét: Dẫn đến a2 k 1  a2 k   k �1 � a1  a2   a2 k 1  a2 k  2k 5 (1) Như bất đẳng thức với n  2k Trường hợp n  2k  , ý a2 k 1  5 , kết hợp với (1) thu được: a1  a2   a2 k 1  a2k  a2k 1  (2k  1) 5 Vậy bất đẳng thức chứng minh � an �(0;1) � � an 1 (1  an )  � an   với n  Z+ Bài 15 Cho dãy số thỏa mãn: � 1 an   2n A CMR B Chứng tỏ dãy  an  có giới hạn tìm giới hạn � u1  � � un2  u  �n1 2un Bài 16 Cho dãy (un ) xác định � với n �1 A Chứng minh un  với n nguyên dương B Xét tính tăng, giảm dãy số (un ) Hướng dẫn giải Bài 17 Cho dãy số a) Chứng minh � u1  1 � u2  2 � � nun    3n  1 un 1   n  1 un  3, n ��* � sau  un  un  2n  3n, n ��* n 1 b) Đặt S n  �uk k 1 Chứng minh n số nguyên tố n > Sn chia hết cho n Hướng dẫn giải u  21  3.1  1 a) Với n  , n  , u1   3.2  2 Giả sử uk  2k  3k ; uk 1  2k 1   k  1 Chứng minh uk   2k    k   , k ��* Ta có kuk    3k  1 uk 1   k  1 uk  � kuk    3k  1  2k 1   k  1    k  1  2k  3k   � uk   k    k   Vậy uk   2k    k   , k ��* n 1 b) Đặt S n  �uk k 1 Chứng minh n số nguyên tố n  Sn chia hết cho n n 1 Ta có: S n  �uk   22   n1      (n  1)  S n  k 1  2n 1 ( n  1) n (n  1)n    2n 1  1  1 2 Với Do Vậy n n số nguyên tố � 2n1  số nguyên tố lớn chia hết cho � (n  1) n n chia hết cho n S n Mn Bài 18 Cho dãy số � u1  �  un  �u2  18 � un   5un 1  6un  24, n ��* � Chứng minh n số nguyên tố n  un chia hết cho 6n Hướng dẫn giải * Đặt  un  12 hay un   12, n �� Khi   5vn 1  6vn v1  12 � �   �v2  30 �   5vn 1  6vn � Ta Phương trình đặc trưng   5   có nghiệm   �  n n Khi  a.2  b.3 Ta có v1  12 2a  3b  12 a3 � � � �� �� � v2  30 4a  9b  30 b2 � � � n n Suy  3.2  2.3 n n Khi un   12  3.2  2.3  12 Ta có un   2n 1  3n 1   nên un chia hết cho Mặt khác n số nguyên tố nên theo định lý Fermat 2n �2(mod n) � �n �3(mod n) � hay 3.2n �6(mod n) � � n 2.3 �6(mod n) � n n Từ un  (3.2  2.3  12) �0(mod n) Suy un chia hết cho n Với n số nguyên tố n  � ( n, 6)  Suy un chia hết cho 6n x  Bài 19 Cho dãy số n x 1 � �1 � xn 1  xn  xn    xn  xn    16 � � với  n �N  * n 1 a) Chứng minh xn  , với n �2 n yn  � lim yn k 1 xk  b) Đặt Tìm n�� Hướng dẫn giải a) Chứng minh xn  5n 1 , với n �2 x2  10   521 n 1  n �2  Giả sử ta có xn  xn 1  xn  xn    xn  xn    16  x n  xn   xn  xn    16  xn  xn   xn  5.5n 1  5n n Suy xn 1  n 1 Vậy theo qui nạp xn  với n �2 n yn  � lim yn k 1 xk  b) Đặt Tìm n�� Ta có: xn 1  xn  xn  � xn 1   xn2  xn    xn    xn   � 1 1    xn 1   xn    xn   xn  xn  � 1   xn  xn  xn 1  n n � 1 � 1 1 yn  �  ��     � xk  xk 1  � x1  xn 1  xn 1  k 1 xk  k 1 � �1 �1 lim yn  lim �  � lim 0 � n n �� n �� n �  � xn 1 � xn 1  � (vì xn 1  ) Vậy lim yn  n � � 3 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ  an  n1 : � Bài 20 Cho dãy 1 an  sin1  22 sin  32 sin   n2 sin n �1 n � �an � a lim n2 �n � n 1 hội tụ tính n Chứng minh dãy � � Hướng dẫn giải x  sin x  x  x 3x  Bổ đề 1: 1 1     n 0 lim n Bổ đề 2: Đặt xn  n2 sin 1 1 1  sin   � k  xk  k  n Áp dụng bổ đề 1: k k k 6k 6k 1� 1� �    n  an     n  �    � 6� n � an  2  2 Chia vế cho n : n 1    n 6n Cho n � �, lấy giới hạn, suy Bài 21 Cho dãy số u1  2, un 1  an  n2 lim  n  1 un  n �1 un Tính giới hạn n�� n lim Hướng dẫn giải n2 �un �n  , n �1 Ta chứng minh quy nạp n  Rõ ràng khẳng định với u1  k  1 �u �k  k2 �uk �k  1, k �1 k 1 Giả sử có k  Ta chứng minh k  (k  1)  k  1 uk �k  � uk 1  � u  k 2 k Thật vậy: k2 (k  1)  k  1 uk � � uk 1  �  k  2 �k  k k 1 uk  k  k 1 1 k 1 u n2 �un �n  1, n �1 � lim n  n �� n Vậy ta có n  Bài 22 Cho dãy số với: a) Chứng minh: với b) Chứng minh dãy số có giới hạn tìm giới hạn Hướng dẫn giải Ta chứng minh với quy nạp Ta có: nên Giả sử: với Ta có: nên Suyra: Vậy với Ta chứng minh dãy giảm quy nạp Vì nên Ta có Giả sử: Ta có: = hàm nghịch biến nên: Suy ra: Vậy dãy giảm lả dãy giảm bị chặn nên hội tụ Đặt Ta có  xn  �x1  � xn  (n �N * )  un  un  x2n 1  n �N *  � x  �n 1 xn  � Vậy Bài 23 Cho dãy số thực với Xét dãy số thực với   a) Chứng minh dãy số  un  ,   b) Chứng minh dãy số  xn  với  x2 n  n �N *  có giới hạn hữu hạn n � � có giới hạn hữu hạn n � �và tìm giới hạn Hướng dẫn giải a) Xét hàm số Ta có: f  x f  x  3x  x   0; � nghịch biến  0; � ; liên tục  0; � nhận giá trị  0; � �x1  � x  f  xn  u  v  Dãy số cho viết lại �n 1 Ta chứng minh n , n bị chặn quy nạp Ta có u1  x1 suy  u1  Giả sử:  uk  Vì f  x nghịch biến  0; � nên f    f  xk   f   Suy ra:  xk 1  Tương tự cho dãy  un  Ta chứng minh  un  dãy tăng;   dãy giảm quy nạp f  x  0; � nên f  x1   f  x3  hay Ta có x1  x3 Vì hàm số nghịch biến f  x2 k 1   f  x2 k 1  Giả sử x2 k 1  x2 k 1 ta có hay x2 k  x2 k  ( với ) f  x2 k   f  x2k   Với x2 k  x2 k  Ta có: hay Với ta có: hay x2 k   x2 k  Vậy theo quy nạp ta có dãy tăng, dãy giảm Hay ta có  un   un  ,   dãy đơn điệu bị chặn nên lim x2 n  v;lim x2 n 1  u b) Ta có:    x2n  dãy tăng; x2 n  f  x2 n 1  dãy giảm x2 n 1  f  x2 n 2  nên qua giới hạn ta có: � 3v  u � � v 1 u  f  v � � � 3u  � � v v  f u   � Từ hệ ta có � u  � u  v Dãy số  xn  có hai dãy  x2 n  ,  x2 n1  Qua giới hạn từ phương trình Bài 24 Cho dãy số  un  Chứng minh dãy số u có giới hạn u  v nên lim xn  u 3u  u  ta có u   xác định:  un  có giới hạn hữu hạn tính giới hạn Hướng dẫn giải Ta có 1– n Chứng minh : un  (bằng quy nạp) *với n  ta có u1  2011  1– k *Giả sử uk  (với k  ) –k *Cần chứng minh : uk 1  Ta có Suy điều phải chứng minh Từ ta có un – – n  với n 1 1 u2  u1  ; u3  u2  ; u4  u3  ; ; un  un1  n 1 2 2 Ta có Cơng thức tổng qt : Vậy u1  a � � � 2013 un 1  un2  un , n �  � a � 0;1 u   2014 2014 Bài 25 Cho số thực , xét dãy số n với: �  a) Chứng minh rằng:  un  1, n � b) Chứng minh  un  có giới hạn hữu hạn Tìm giới hạn Hướng dẫn giải a) Chứng minh:  un  1, n �   1 n  1: u1  a � 0;1 �  1 với n=1 Giả sử  uk  với k �1, k � Ta có:  uk  �  �0  uk2  �  1 uk2  2014 2014 2013 2013 uk  2014 2014 2013 uk2  uk  �  u  k 1 2014 2014  Vậy:  un  1, n � b) Chứng minh Ta chứng minh:  un  có giới hạn hữu hạn Tìm giới hạn  un  dãy tăng n �  , un 1  un   2013 � un2  un  un  u n  un 2014 2014 2014 �  u n   un  2013 � � � un 1  u n , n � hay  un  dãy tăng.(2) Từ (1),(2) suy Ta có: a  un  có giới hạn hữu hạn.Giả sử  un  có giới hạn a,  o  a �1 2013 a2  a � a 1 2014 2014 Vậy lim un  � u  � �1 � � un 1  un3  , n �N  3 Bài 26 Cho dãy số(un) xác định sau: � a) Chứng minh rằng: 1  un  2, n �  b) Chứng minh  un  có giới hạn hữu hạn Tìm giới hạn Hướng dẫn giải a) Với: n  1: u1  �  1 với n=1 Giả sử: 1  uk  với k �1, k � uk 1   uk3    uk    uk2  2uk    � uk 1  3 Ta có: uk 1    uk  1  � uk 1  1 � 1  uk 1  Vậy: 1  un  2, n �  b) n �  , un 1  un  Từ (1),(2) suy  un  1  un    � u  u , n � u  n 1 n hay n dãy giảm (2)  un  có giới hạn hữu hạn u  Gọi a giới hạn n , 1 �a  a  a3  � a  3 Ta có Vậy lim un  1 Bài 27 Cho dãy số  un  xác định bởi: u1  1; un 1  un2  un , n �N * 2015 �u u u � lim �    n � n � � u un 1 � � u3 Tìm giới hạn sau: Hướng dẫn giải �1 un � un2  2015 �  � un 1  un  un 1 un un1 � � 2015 Từ đề ta có: Suy ra: �1 � � u u1 u2 �    k  2015 �  1 � 2015 � � u2 u3 uk 1 �u1 uk 1 � � u k 1 � Ta có: Ta có Nếu  un  dãy đơn điệu tăng u1  lim un   n � � ( vơ lí Suy ra:  un   2  �  2015 dãy đơn điệu tăng u1  ) lim un  � n �� Kết luận: �u u u � lim �    n � 2015 n � � u un 1 � � u3 u1  2013 � n �N *   �2 u  u  2un un 1  2013  Bài 28 Cho dãy số n xác định �n Chứng minh dãy (un) có giới hạn tính giới hạn Hướng dẫn giải Từ hệ thức truy hồi suy 2un un1  un  2013 Bằng quy nạp chứng minh un > 0, với n Do ta có: un 12  2013 un   2un 1 1� 2013 � 2013 un 1   2013, n �1 � �� un 2� un 1 � un Mặt khác ta có : un 1 un  2013 2013 1    �  1 un 2un 2 2un 2 (un) dãy số giảm bị chặn 2013 , (un) có giới hạn hữu hạn Đặt lim un  a Ta có : a a  2013 � a  2013 Vậy lim un  2013 2a Bài 29 Cho dãy số  xn  a) Chứng minh xác định bởi: x1  4, xn 1  xn4  , n ��* xn3  xn  lim xn  � ; n � � n yn  � k 1 xk  b) Với số nguyên dương n , đặt Tính lim yn Hướng dẫn giải xn 1   a) Xét  xn  3  xn3  3 xn4    * xn3  xn   xn3  3   xn   Bằng quy nạp chứng minh xn  3, n �1  Xét xn 1  xn  � xn 1  xn  Do  xn  xn4  xn2  xn   x  n xn3  xn  xn3  xn   xn  3 x  xn  n  0, n ��* dãy tăng  x1  x2  x3   Giả sử Do đó:  xn  a bị chặn � lim xn  a a4  �a 3 x  a3  a  (vô lý) Suy n không bị chặn Vậy lim xn  � 1 1 1   �   xn  xn  xn 1  b) Từ (*), suy ra: xn 1  xn  xn  Suy ra: n n � 1 � yn  �  ��  �  xk  xk 1  � xn 1  k 1 xk  k 1 � � � lim yn  lim � 1 � xn 1  � � Vậy �x1  � � xn2015 x   xn �n 1 2015 � Bài 30 Cho dãy số xn2014 x12014 x22014 un     x2 x3 xn 1 Tìm giới hạn dãy số un với Hướng dẫn giải xn2015 xn2015 xn 1  xn xn2015 xn 1   xn � xn 1  xn  �  2015 2015 xn 1 xn 2015 xn 1 xn �1 xn2014 1 � xn2014 �   � 2015 �  � xn xn 1 2015 xn1 �xn xn1 � xn1 � � un  2015 � 1 � xn 1 � � Từ  Dễ thấy  Giả sử Do đó:  xn  dãy tăng  x1  x2  x3   xn  a bị chặn � lim xn  a a 2015  a � a  1 x  2015 (vô lý) Suy n không bị chặn Vậy lim xn  � � � limu n  lim 2015 � 1 � 2015 xn 1 � � Vậy �x1  � � xn2 x  x  �n 1 n 2015 Bài 31 Cho dãy số {xn } xác định � Tìm giới hạn dãy ( S n ) với Sn  x x1 x2    n x2 x3 xn 1 Hướng dẫn giải �1 x  xn xn2 x � xn2 � 2015 n 1  � n  2015 �  � xn 1  xn  � 2015  xn 1  xn   xn xn 1 xn xn 1 xn xn 1 �xn xn 1 � 2015 Sn  Suy ra:  Dễ thấy  Giả sử �1 � � x x1 x2 �    n  2015 �  1 � 2015 � � x2 x3 xn 1 �x1 xn 1 � � xn 1 �  xn  dãy tăng  x1  x2  x3   xn  bị chặn � lim xn  a a2 a  a � a  1 x  2015 Do đó: (vơ lý) Suy n không bị chặn Vậy lim xn  � � � limSn  lim 2015 � 1 � 2015 xn 1 � � Vậy � �x1  � x  xn ( xn  1)( xn  2)( xn  3)  ( x ) n Bài 32 Cho dãy số xác định �n 1 n Sn  � k 1 xk  Đặt Tìm limSn Hướng dẫn giải xn 1  xn ( xn  1)( xn  2)( xn  3)   ( xn  xn )( xn  xn  2)   xn2  xn  n 1 1 1 1   � Sn  �     x1  xn 1  xn 1  k 1 xk  Ta có xn  xn  xn 1  Dễ thấy: xn 1  xn   xn  1  0, n �N *  Giả sử  xn  suy  xn  dãy tăng  x1  x2  x3  bị chặn � lim xn  a x  Do đó: a  a  3a  � a  1  (vô lý) Suy n không bị chặn Vậy lim xn  � �1 � limSn  lim �  � x  n 1 � � Vậy � 2016 u1  � � 2015 �2u  u  2u , n ��* n n Bài 33 Cho dãy số (un) xác định bởi: � n 1 Đặt Sn  1   . u1  u2  un  Tính: limS Hướng dẫn giải n 2un 1  un  un   � un 1  un  un   �   �   un 1 un un  un  un un 1 n 1 2015 � Sn  �     u1 un 1 2016 un 1 k 1 uk  * Bằng quy nạp ta dễ dàng chứng minh un  0, n �N 2016 un 1  un  un  0, n �N *  u1  u2  u3  u   Khi đó: suy n dãy tăng 2015  Giả sử Do đó:  un  bị chặn � limu n  a 2a  a  2a � a   2016 2015 (vô lý) Suy  un  không bị chặn Vậy limu n  � Vậy �2015 � 2015 limSn  lim �  � �2016 un 1 � 2016 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
- Xem thêm -

Xem thêm: xác định số hạng tổng quát của dãy số, xác định số hạng tổng quát của dãy số

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn

Nhận lời giải ngay chưa đến 10 phút Đăng bài tập ngay