xác định số hạng tổng quát của dãy số

20 5 0
  • Loading ...
1/20 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 22/09/2018, 20:06

1 XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG TỔNG QUÁT ( un ) Tìm số hạng tổng quát dãy số biết Bài  u1 =  u2 = 673  un + = 2(n + 2) un +1 − ( n + 4n + 5n + 2)un n+3  Hướng dẫn giải 2(n + 2) un +1 − (n + 4n + 5n + 2)un = n+3 nên ta có: un + Vì ( n ∈ ¥ , n ≥ 1) (n + 3)un + = 2( n + 2) un +1 − (n + 2)( n + 1) un ⇔ n+3 un + = 2( n + 2)un +1 − ( n + 1) un n+2 ⇔ n+3 un + = (n + 3)un +1 + ( n + 1)un +1 − ( n + 1) un n+2 un = n !vn Đặt n∈ ¥, n ≥1 , thu (n + 3)vn + = (n + 3)vn+1 + (n + 1)vn +1 − (n + 1)vn ⇔ (n + 3)(vn + − +1 ) = (n + 1)(vn +1 − ) wn = − vn−1 Đặt n∈ ¥,n ≥ , thu (n + 1) wn = ( n − 1) wn −1 ⇔ (n + 1)nwn = n(n − 1) wn −1 Do (n + 1)nwn = n(n − 1) wn −1 = (n − 1)(n − 2) wn− = = 3.2.w2 = 6(v2 − v1 ) = 2016 2016  1 = 2016  − ÷ n( n + 1)  n n +1  n ∈ ¥ , n ≥ Như , n∈ ¥,n ≥ Từ đó, với , ta có wn =  n −1 1 − v1 = 2016  − ÷ = 2016 n +1  n +1  ⇔ = 4033n − 4031 2(n + 1) un = n ! 4033n − 4031 , n∈ ¥, n ≥1 2(n + 1) Vậy 3 n+4  * u1 = 1; u n +1 =  un − ÷, ∀n ∈ N 2 n + 3n +  ( un ) Bài Cho dãy số xác định un n Tìm cơng thức số hạng tổng quát dãy số theo Hướng dẫn giải 3 n+4  u n +1 =  un − ÷ 2 n + 3n +  Vì nên n+4 −1,5n − u n +1 − 3un = − = n + 3n + ( n + 1) ( n + ) ⇔ u n +1 − 3un = ⇔ u n +1 − 1,5 1,5 = 3un − n+2 n +1 1,5   ⇔  u n +1 − ÷= n+2  = un − Đặt 1,5 1,5 − n+2 n +1 1,5 n +1 3 1,5   un − ÷ 2 n +1 , ta có: 1,5 v1 = u1 + = Lại có: +1 = n −1 ( ) Từ đẳng thức ta có cơng thức tổng qt dãy là: 3 =  ÷ 2 n −1 un = + ( un ) Từ ta có cơng thức tổng qt dãy là: 1,5   = ÷ + n +   ( n + 1) MỘT SỐ DẠNG TỐN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH CHẤT CỦA DÃY SỐ ( un ) u2013 = 2013; u2014 = 2014 n Bài Cho cấp số cộng với số nguyên dương thoã mãn 1 S= + + + u1u2 u2u3 u2013u2014 Tính tổng: Hướng dẫn giải ( un ) u n = n Dễ dàng chứng minh số hạng tổng quát cấp số cộng Khi 1 1 1 S= + + + = + + u1u2 u2u3 u2013u2014 1.2 2.3 2013 + 2014 = 1 1 1 1006 503 − + − + + − = = 3 2013 2014 2014 1007 ( xn ) Bài Cho dãy số thực Tìm tất giá trị xn < Giả sử với ∀n ∈ ¥ có − Lại từ < xn2 − < xn − để với số tự nhiên Hướng dẫn giải n < xn +1 < − − 2− < xn < ⇒ −1 < xn < − , ∀n ∈ ¥ 2 xn +1 + Từ xn < có xn + < 1, ∀n ∈ ¥ > Suy ( ∀n ∈ ¥ ) − xn + = xn2+1 − < Từ a xác định  x0 = a   xn +1 = xn − 1 1 1 = xn2 − + = xn2 − = xn − xn + > xn + , ∀n ∈ ¥ 2 2 2 Áp dụng liên tiếp bất đẳng thức này, ta có: a+ n 2 lim  ÷ = n→+∞   Mà n a+ 1 =0⇒ a =− 2 nên phải có 1 a=− xn = − < 0, ∀n 2 Thử lại với a=− Vậy giá trị cần tìm  x0 = 20; x1 = 30   xn + = 3xn +1 − xn , ∀n ∈ ¥ ( xn ) Bài Cho dãy số xác định xn +1.xn + n Tìm để số phương Hướng dẫn giải Từ công thức truy hồi xn ta có ( − 3x ) + x ) ∀n ∈ ¥ , x n2+1 + x n2 − 3xn +1 xn = x n2+1 + xn x n − 3xn +1 = x n2+1 − xn + xn ( x n2+1 + x n2 − 3xn +1 xn = xn +1 x n+1 n n = x n2 − xn +1 xn −1 Suy x n2+1 − xn + xn = x n2 − xn+1 xn−1 = = x12 − x0 x2 = −500 ⇒ x n2+1 + x n2 − xn +1 xn = −500 ⇔ x n2+1 + x n2 = xn +1 xn − 500 ( ⇔ x n+1 − x n ) = xn +1 xn − 500 xn +1 xn − 500 Vậy n 1 2 1  2  2 = x0 + < x1 + <  ÷ x2 + < <  ÷ xn + <  ÷ , ∀n ∈ ¥ 2 3 2  3  3 số phương xn +1 xn − 500 Giả sử n số thỏa mãn số phương 2 xn +1 xn − 500 = b , xn +1 xn + = a , a, b ∈ ¥ , a > b Đặt a − b = 501 ⇔ ( a − b ) ( a + b ) = 1.501 = 3.167 Ta có xn +1 xn = 12600 ⇒ n = Khi ta tìm a = 201, b=1 xn +1 xn = 7224 ⇒∃n Với a = 85, b =82 xn +1.xn + Vậy n = số phương ( un ) Bài Cho dãy số Tìm số n xác định u1 = −1, u2 = 2, u3 = 40  10un2−1.un −3 − 24un −1.un2−  u = ∀n = 4,5, 6,  n un − un −3  un nhỏ để chia hết cho 2048 Hướng dẫn giải un 10un −1.un −3 − 24.un2−2 10un −1 24un −2 u = = − = n un −1 un −2 un −3 un − un −3 un −1 Từ công thức truy hồi cuả dãy , đặt , dãy ( ) xác định v2 = 2, v3 = 20  vn = 10vn −1 − 24vn − Phương trình đặc trưng : un = vn −1.vn − v2 = n −1 (3 n −1 − ).(3 n−2 x − 10 x + 24 = ( n −1) n −2 n−2 Do ⇒ , n = 4,5, = 6n −1 − 4n −1 , từ suy : (3n −1 − 2n −1 ).(3n − − 2n − ) (3 − 2) un M2048 ⇔ ) (3 − 2) số số lẻ nên n(n − 1) ≥ 11 ⇔ n ≥ Vậy n=6 giá trị cần tìm thỏa mãn điều kiện tốn GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ ( xn ) Bài Cho dãy số xác định ( n −1) n M2048  x1 = 2,1   xn − + xn2 + xn − x = ( *) , n = 1, 2,  n +1  n x −4 yn = ∑ i i =1 Với số nguyên dương n, đặt Ta có kết sau: với số thực a−2+ a + 8a − > Tìm Hướng dẫn giải a>2 a−2+ lim yn bất kì, ta có a + 4a + 2 = a − + ( a + 2) =a ⇒ ( xn ) 2,1 < x1 < x2 < lim xn = L > Do dãy tăng, giả sử bị chặn tức có giới hạn Chuyển qua giới hạn điều kiện (*) ta có phương trình x−2+ x= x + 8x − 2 ⇔ x − = ( x + 3) ( x − ) phương trình khơng có nghiệm hữu hạn lớn (x ) lim xn = +∞ n Suy dãy tăng không bị chặn nên xn +1 = xn − + x n + xn − 2 Ta có ⇔ x n +1 − x n + = x n + xn − ⇔ ( xn +1 − xn + ) = xn + xn − ⇔ xn + − = ( xn + 3) ( xn − ) ⇔ ⇔ = xn − x n +1 − ∑x i =1 xn + xn + − = i Suy lim yn = 10 Vậy −4 xn − = − xn + + = n yn = xn + − = x n +1 − + x n +1 − xn + − x1 − − x n +1 − = 10 − xn + −  x1 = 1,  x  n x = x + ∀n ≥  n +1 n n  ( xn ) Bài Cho dãy số xác định sau ( xn ) n Chứng minh có giới hạn hữu hạn dần đến vơ Hướng dẫn giải xn > Dễ thấy , với n nguyên dương, nên dãy số cho dãy tăng thực Vậy để chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn ta cần chứng minh bị chặn xn < 8, ∀n ∈ ¥ * Ta chứng minh n = ⇒ x1 = < Thật vậy, với nên điều cần chứng minh xn < xn +1 < n Giả sử ta có: , với nguyên dương Ta cần chứng minh n xn +1 = x1 + ∑ xk n < + 2.2 < k =1 k < + 2∑ k =1 k Theo công thức xác định dãy số có: xn < Do với n nguyên dương từ suy điều phải chứng minh ( an ) Bài 3  a1 = ; a2 = 10  a = + an + an −1 , ∀n ∈ ¥ , n ≥  n Cho dãy số thực xác định ( an ) Chứng minh dãy có giới hạn hữu hạn Hãy tìm giới hạn Hướng dẫn giải a1 , a2 ∈ ( 0;1) a1 , a2 , , ak ∈ ( 0;1) , k ∈ ¥ , k ≥ Có , giả sử Từ công thức truy hồi ta có: 1 a a 1 + + ≤ ak +1 = + k + k −1 ≤ + + = 1, ≤ ak −1 , ak ≤ ⇒ ak +1 ∈ ( 0;1) 2 6 an ∈ ( 0;1) , ∀n ∈ ¥ * Vậy phương pháp quy nạp ta chứng minh   x1 = x2 = ( xn ) :   x = + xn + xn −1  n +1 (   y1 = y2 = 10 yn ) :   y = + yn + yn −1  n +1 ∀n ∈ ¥ ; n ≥ Xét hai dãy số với < x1 ≤ x2 < < x3 < < x1 ≤ x2 ≤ ≤ xk < 1, k ∈ ¥ , k ≥ Có , giả sử ta có , x2 x2 x x xk = + k −1 + k −2 ≤ + k + k −1 = xk +1 6 ( xn ) Vậy phương pháp quy nạp ta chứng minh dãy số tăng bị chặn 1, lim xn = α nên có giới hạn hữu hạn  α= α α2  α= + + ⇔  α =  Chuyển công thức truy hồi qua giới hạn tìm ( xn ) ⊂ ( 0;1) α =1 Do nên suy ( yn ) lim yn = Chứng minh tương tự dãy số , ta có xn ≤ an ≤ yn , ∀n ∈ ¥ * Cuối ta chứng minh (1) phương pháp quy nạp: x1 = a1 < y1 a2 < x2 = y2 Ta có , với n = 1, bất đẳng thức (1) Giả sử (1) tới xi ≤ ≤ yi , ∀i = 1, 2, , k k ∈ ¥, k ≥ , tức Khi x2 y2 x a a2 y xk +1 = + k + k −1 ≤ ak +1 = + k + k −1 ≤ + k + k −1 = yk +1 6 xn ≤ an ≤ yn , n ∈ ¥ , n ≥ Từ áp dụng định lý kẹp ta suy ( xn ) Bài lim an = Cho dãy số x1 = 2016, xn +1 = xn2 − xn + 1, n = 1, 2,3, xác định ( xn ) lim xn = +∞ a) Chứng minh tăng b) Với số nguyên dương n 1 1  yn = 2016  + + + ÷ xn   x1 x2 lim yn , đặt Tính Hướng dẫn giải xn +1 − xn = xn2 − xn + = ( xn − 1) ≥ ⇒ xn +1 ≥ xn , ∀n ≥ ( xn ) a) Ta có Do tăng xn > n + 1, ∀n ≥ Ta chứng minh quy nạp theo n (1) n ( n > 1) n =1 Thật vậy, (1) với Giả sử (1) với xn +1 = xn ( xn − 1) + > n ( n + 1) + = n + n + > n + ( xn ) xn > n + 1, ∀n ≥ lim xn = +∞ Vậy (1) với n Từ tăng ngặt suy 1 1 = = − xn +1 − = xn ( xn − 1) xn +1 − xn ( xn − 1) xn − xn b) Ta có Suy 1 = − xn xn − xn +1 − Từ 1   1    ⇒ yn = 2016  + + + ÷ = 2016  − − ÷ = 2016  ÷ xn   x1 x2  x1 − xn +1 −   2015 xn +1 −  lim xn = +∞ ⇒ lim =0 xn Từ lim yn = Vậy 2016 2015 ( xn ) Bài Cho dãy số thực ( xn ) Chứng minh dãy số xác định bởi:  x1 = 2007   x = + xn ∀n ≥  n+1 xn2 −1  có giới hạn tìm giới hạn Hướng dẫn giải xn > Dễ dàng quy nạp xn +1 = + xn + 1+ x −1 n < 3+ x −1 ∀n ≥ n Ta có: = xn ≤ 2007 n Vậy với nên dãy bị chặn x 1 f ( x) = + ⇒ f ′( x) = −  ⇒ f ′ ( x ) < 2 x −1 ( x − 1) Xét Ta có: x f ( x) = x ⇔ x = + x2 −1 ⇔ ( x − 3) = x> x2 x2 −1 ⇔ ( x − x) − 2( x − x) − =  x − x = −1 ( L ) ⇔  x − 3x = x= + 15 =a Áp dụng định lý Lagrang có: n   xn +1 − a = f ( xn ) − f (a ) = f '(θ n ) xn − a < xn − a < <  →0 ÷ x1 − a  n →∞ 2 2  lim xn = a = Do + 15 u1 = e  * un +1 = un − 2, ∀n ∈ ¥ ( un ) Bài Cho dãy số xác định bởi: Hướng dẫn giải u1 = a + , a > u1 = e > a Vì nên đặt Ta có 1  u2 = u12 − =  a + ÷ − = a + a a  un2+1 n →+∞ u u u 2 n lim Tìm n un +1 = a + Bằng quy nạp, ta chứng minh Xét n , ∀n ∈ ¥ −1    n  2i−1   = a − a − ÷  ÷∏  a + 2i−1 ÷  a   a  i =1  a    i−1 ui = ∏  a + 2i−1 ∏ a i =1 i =1  n a2 n −1   2n    ÷ =  a − a ÷  a + 2n ÷   a    1  n   a − ÷  a + 2n ÷ 2  2 u a  a  ⇒ lim un +1 =  a −  =  a +  − = e2 − ⇒ n2+1 =   ÷  ÷ n →+∞ u u u u1 u2 un a  a   2n  n  a − 2n ÷ a   ( an ) ; ( bn ) Bài Cho hai dãy số xác định a1 = 3, b1 = an +1 = an2 + 2bn2 bn +1 = 2an bn , với n = 1, 2, 3,… n n lim bn lim a1a2 an n →+∞ n →+∞ Tìm Hướng dẫn giải Với n = 1,2,3,… ta có ( an +1 + bn +1 = an2 + 2bn2 + 2anbn = an + bn ) Do đó: ( an + bn = an−1 + bn−1 ) =(a an − bn = Tương tự ta có: 1 an =  2 Từ đó: 2n ( ( ) +( +1 ) +1 2n ( n − + bn − 2 ) −1 ) −1 ( = = a1 + b1 n 2n  ÷  ;  bn =  2 lim n n→∞ lim bn = lim an = + n n n →∞ ) 2n−1 ( = 3+ 2 ) n−1 = ( ) +1 2n 2n < bn < an < + Chú ý: n →∞ 22 n ta có: ) n ( ( ) −( +1 ) +1 2n ) −1 2n  ÷  2n = +1 , nên theo nguyên lí kẹp an = bn +1 = 2an bn Mặt khác: lim 2n n →+∞ bn +1 (∀n ≥ 1) 2bn hay n →∞ ( ) Do =1 2n lim 2n +1 = + 2 = Bài n→∞ (vì Cho trước số thực dương xnα+1 + ) ( xn ) α xét dãy số dương < ( α + 1) α xn thỏa mãn α − α +1 với ( xn ) Chứng minh dãy b2 b3 bn +1 bn +1 = n 2b1 2b2 2bn Suy ra: lim 2n bn +1 = a1a2 an a1a2 an = n∈ ¥* hội tụ tìm giới hạn Hướng dẫn giải Xét hàm số f ( x ) = xα + , x > x f ′( x) = α xα −1 − Ta có α +1 α x −1 − = α +1 2 ′ f ( x ) = ⇔ x = x = α x x ; f ( x) Ta có bảng biến thiên hàm f ( x ) ≥ f ( x0 ) = α − α α +1 : + α α +1 = (α + 1)α − α α +1 Suy xnα+1 + Do α − 1 < ( α + 1) α α +1 ≤ xnα+1 + xn xn +1 ( xn ) xn +1 < xn Suy hay ( xn ) xn > dãy giảm Kết hợp với với n ta suy dãy hội tụ α − α +1 β + ≤ (α + 1)α ⇒ β = x0 β α lim xn = β > Đặt Chuyển qua giới hạn ta lim xn = α − α +1 Vậy ( un ) Bài u1 , u2 ∈ (0;1)   43 un + = un +1 + un , ∀n ≥ Cho dãy số thực thỏa mãn (un ) Chứng minh dãy có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn Hướng dẫn giải  x1 = { u1 , u2 }  ( xn ) :   xn +1 = xn + xn 5  Xét dãy xn ∈ (0;1) Ta thấy Ta có xn3 + xn + xn + xn + xn 133 43 xn +1 = xn + xn = ≥ xn > xn 5 ( xn ) Vậy dãy lim xn = a (0 < a ≤ 1) tăng, bị chặn nên hội tụ, Chuyển qua giới hạn ta được: a = a3 + a ⇒ a = xn ≤ u2 n −1; u2 n < Ta chứng minh (*) quy nạp theo n x1 ≤ u1; u2 < Ta có Giả sử xn +1 = Suy xn ≤ u2 n −1 ; u2 n < 43 xn + xn ≤ u23n + u2n −1 = u2 n +1 < 5 5 43 4 xn + xn ≤ xn3+1 + xn ≤ u23n +1 + u2 n = u2n + < 5 5 5 xn +1 = lim un = Vậy (*) với n nguyên dương Từ suy a0 = 1; a1 > 1; an +1 = Bài 10 a1a2 an + ∀n = 1, 2,3, a n    Cho dãy số xác định n k =1 ak +1a k  Sn = ∑ Đặt ak +1a  k  2   Ta có Suy [ x] lim S n 2   n →+∞ Chứng minh tồn ( phần nguyên Hướng dẫn giải ak +1 − 1 1 = = = − a a a ak +1 k a1a2 ak +1 a1a2 ak a1a2 ak +1 ak +1 − n   1 1 Sn = ∑  − ÷= − a1a2 ak +1  a1 a1a2 an +1 k =1  a1a2 ak lim ( a1a2 an +1 ) = +∞ n →+∞ Chứng minh an > ∀n ≥ Ta có : n   ≠ n ⇒ an +1 > an + suy dãy cho tăng an > an−1 + > > a1 + n − Như lim S n = lim ( a1a2 an +1 ) = +∞ n →+∞ a1 n →+∞ Vậy , suy ( u n ) ; ( ) Bài 11 Cho dãy số xác định sau x ) u1 = 3, v1 =  2 un +1 = un + 2vn v = 2u v n n  n +1 lim 2n ∀n ∈ N lim 2n u1.u2 un x →∞ x →∞ Tìm giới hạn sau: Hướng dẫn giải ( 2 ∀n ∈ N un +1 + 2.vn +1 = un + 2vn + 2.un = un + 2.vn Ta có: : ( un + 2.vn = un−1 + 2.vn−1 Áp dụng (1) ta suy ra: ( un + 2.vn = u1 + 2.v1 Theo quy nạp ta có: un − 2.vn = Lập luận tương tự ta có:  1 un =     v =  n 2    ( ) ( ) 2n ( Từ (2) (3) ta suy ra: 1 un =  + 2 Lại có: ( = Tương tự ta có : 2n +  2  ( ) ( 2 −1  <  ) ( 2n n ( ) +1 (2)    ) −1 ) = 2n (3) ) − ) 2n−1 2n −1 2n    2n +1 2n un < + , từ suy ra: ) −( +1 = 3+ 2 ) ( +1 (1) −1 n 2 ( n−1 ) +( +1 ) ) ) n −1 n  ( >   ) +1 2n ⇒ 2n > < un Mặt khác ta có: Do ta có dãy bất đẳng thức sau: ( )   2n +1  ÷ = 8 n ( ) +1 2n < 2n < 2n un < + n ( ) +1 2n lim 2n un = lim 2n = + n →∞ n →∞ Như theo định lí kẹp ta suy +1 = 2un ⇒ un = +1 2vn Hơn theo đề ta có: v v v v v u1.u2 un = n +1 = nn +1 = nn++11 2v1 2v2 2vn v1 Suy ra: lim 2n u1.u2 un = lim 2n n →∞ n →∞ +1 = lim 2n +1 lim 2n n+1 n +1 n →∞ n →∞ 2 Vậy = lim 2n 2un lim 2n n →∞ = ( n →∞ )( +1 n 1 = lim 2.lim 2n un lim 2n lim 2n n +1 n +1 n →∞ n →∞ n →∞ n →∞ 2 ) + 1 = + 2 lim 2n = + lim 2n u1.u2 un = + 2 n →∞ Tóm lại ta có: n →∞ ( an ) Bài 12 an +1 = an + < a1 ≠ Cho dãy số xác định lim ( an − n ) = n , ∀n ≥ an n →∞ Chứng minh Hướng dẫn giải a2 = a1 + > a1 ≠ a1 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có (do ) an > n, ∀n ≥ Nhận xét: Ta chứng minh nhận xét phương pháp quy nap Thật • Với n=2 a2 > ta có ak > k • Giả sử (đúng) ak +1 = ak + • k > k + ⇔ ak2 + k > ( k + 1) ak ak Ta có ⇔ ak2 − ( k + 1) ak + k > ⇔ ( ak − 1) ( ak − k ) > (đúng) ak +1 > k + Suy an > n, ∀n ≥ Như (điều phải chứng minh) n n an +1 − ( n + 1) = an + − ( n + 1) = an − n + − an an Mặt khác, = an2 − ( n + 1) an + n ( an − n ) ( an − 1) = an an (1) Áp dụng (1) ta có  ( a2 − ) ( a2 − 1) a3 − = a2   ( a − 3) ( a3 − 1)  a4 − = a3     ( an − n ) ( an − 1) an +1 − ( n + 1) = an  ( a3 − 3) ( a4 − ) ( an+1 − ( n + 1) ) = ( a2 − ) ( a2 − 1) ( a3 − 3) ( a3 − 1) ( an − n ) ( an − 1) a2 a3 an Suy ⇔ an +1 − ( n + 1) = ( a2 − ) ( a2 − 1) ( a3 − 1) ( an − 1) a2 a3 an   1   ⇔ an +1 − ( n + 1) = ( a2 − ) 1 − ÷ − ÷ 1 − ÷  a2   a3   an  n  1 ⇔ an+1 − ( n + 1) = ( a2 − ) ∏ 1 − ÷  i =2  1− Ta lại có a −1 = n +1 = an +1 an +1 n  1 i=2  i an + (2) n −1 an < an +1 an an+1 an > n ⇒ n 0∀n = 1, 2,3, Cho dãy số tăng , a −a xn = ∑ i +1 α i lim xn i =1 +1ai n →+∞ Chứng minh tồn Hướng dẫn giải ( xn ) Dễ dàng thấy dãy tăng ngặt α >1 Trường hợp Nếu +1 − 1 1 = α − < α − α ⇒ xn < α α α −1 +1ai ai +1ai ai +1 a1 n ) lim ( an − n ) = n →∞ Bài 13 an > n α >0 ( xn ) Xét dãy số xác định ( xn ) lim xn n →+∞ bị chặn tồn dãy Trường hợp Nếu < α α +1 ( **) +1 − Ta chứng minh (**) f ( x ) = xα [ ; +1 ] Xét hàm số Trên đoạn c ∈ ( ; +1 ) Hàm số thoả mãn điều kiện định lí Lagrăng nên tồn số f ′( c) = aiα+1 − aiα aα − aα aα − aα ⇔ α cα −1 = i +1 i ⇒ α aiα+−11 < i +1 i +1 − ai +1 − ai +1 − ⇒ xn < Từ ta có ⇒ α a1α (đpcm) ( xn ) dãy lim xn n →+∞ bị chặn tồn thoả mãn ... +1a k  Sn = ∑ Đặt ak +1a  k  2   Ta có Suy [ x] lim S n 2   n →+∞ Chứng minh tồn ( phần nguyên Hướng dẫn giải ak +1 − 1 1 = = = − a a a ak +1 k a1a2 ak +1 a1a2 ak a1a2 ak +1 ak +1
- Xem thêm -

Xem thêm: xác định số hạng tổng quát của dãy số, xác định số hạng tổng quát của dãy số

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn

Nhận lời giải ngay chưa đến 10 phút Đăng bài tập ngay