xác định số hạng tổng quát của dãy số

16 15 0
  • Loading ...
1/16 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 22/09/2018, 20:06

b XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG TỔNG QUÁT 1.1 DỰ ĐOÁN SỐ HẠNG TỔNG QUÁT VÀ CHỨNG MINH BẰNG QUY NẠP Câu a Xác định ba số hạng đầu cấp số cộng, biết tổng chúng tổng bình phương chúng 125 u1 = 16   15 ( n.un + 1) un +1 + 14 = , ∀n ≥  (u ) n +1 Cho dãy số n có  Tìm số hạng tổng quát un a Hướng dẫn giải Xác định ba số hạng đầu cấp số cộng, biết tổng chúng tổng bình phương chúng 125 Gọi d công sai, số hạng thứ a Khi số hạng đầu csc a − d , a, a + d  a − d + a + a + d =  2 ( a − d ) + a + ( a + d ) = 125 Theo giả thiết ta có hệ:  3a = ⇔ 2 3a + 2d = 125 a = ⇔  d = ±7 Vậy có cấp số thỏa mãn có số hạng đầu là: -4;3;10 10;3;-4 u1 = 16   15 ( n.un + 1) , ∀n ≥ un +1 + 14 = un ) ( n +1 b Cho dãy số có  Tìm số hạng tổng qt un Ta có: Đặt un +1 + 14 = 15 ( n.un + 1) ⇔ ( un+1 + 14 ) ( n + 1) = 15 ( n.un + 1) n +1 ⇔ ( n + 1) un +1 = 15nun − 14n + = nun ( ⇒ v1 = 16 ) (1) v = 15vn − 14n + ⇔ +1 − ( n + 1) = 15 ( − n ) (1) trở thành: n +1 (2) w = − n ( ⇒ w1 = 15 ) Đặt n n w = 15wn ⇒ ( w n ) (2) trở thành: n +1 csn có w1 = 15, q = 15 ⇒ w n = 15 15n + n un = n Từ ta có: 1.7 CÁC DẠNG KHÁC (u ) Câu Cho dãy số n xác định : u1 = 1; u2 = 4; un + = 7un +1 − un − 2, ∀n ∈ ¥ * Chứng minh : un số phương với n nguyên dương Hướng dẫn giải u = 1; u2 = 4; u3 = 25 Ta có 18 123 un = + v1 = ; v2 = ; v3 = 5 Đặt u = 7un +1 − un − 2, ∀n ∈ ¥ * Khi n + ⇔ vn+ = 7vn +1 − , ∀n ∈ ¥ * ⇔ + + 2  2  =  +1 + ÷−  + ÷− 2, ∀n ∈ ¥ * 5  5  2 2 Ta có : + − +1 = (7vn +1 − ).vn − +1 = +1 (7vn − +1 ) − = +1vn −1 − vn + − vn2+1 = +1vn −1 − vn2 = L = v3v1 − v22 = ; ∀n ∈ ¥ * Suy : 2  2  2   un + − ÷  un − ÷−  un+1 − ÷ = 5  5  5 Suy :   4  ⇒ un + 2un − ( un + + un ) + −  un2+1 − un +1 + ÷ = 25  25  ⇒ un + 2un − ( 7un+1 − ) − un2+1 + un+1 = ⇒ u u = u + 2u + = (u + 1) ; ∀n ∈ ¥ * n+2 n n +1 n +1 n +1 5 u ;u u Từ hệ thức un + 2un = (un +1 + 1) ; ∀n ∈ ¥ * số phương suy n số phương với n nguyên dương +∞ +∞ {a } {x } a > ∀n = 1, 2, 3, α > Câu Cho dãy số n n =1 tăng, n Xét dãy số n n =1 xác định n a −a xn = ∑ i +1 α i lim xn i =1 +1ai Chứng minh tồn n→+∞ Hướng dẫn giải {x } Dễ dàng thấy dãy n n =1 tăng ngặt Trường hợp Nếu α > +1 − 1 1 = α − < α − α ⇒ xn < α +∞ α α −1 +1ai ai +1ai ai +1 a1 dãy { xn } n =1 lim xn bị chặn tồn n→+∞ Trường hợp Nếu < α < +1 −  1  <  α − α ÷( *) α +1ai α  ai +1  ( *) ⇔ α aiα+−11 ( +1 − ) < aiα+1 − aiα +∞ α −1 aiα+1 − aiα > α +1 ( **) +1 − Ta chứng minh (**) α f ( x) = x a ;a Xét hàm số Trên đoạn [ i i +1 ] rõ ràng hàm số thoả mãn điều kiện định lí c ∈ ( ; +1 ) Lagrăng nên tồn số thoả mãn α α α α a −a a −a aα − aα f ' ( c ) = i +1 i ⇔ α cα −1 = i +1 i ⇒ α aiα+−11 < i +1 i +1 − ai +1 − ai +1 − đpcm ⇔ Từ ta có ⇒ xn < α ⇒ +∞ lim xn xn } n =1 { α a1 dãy bị chặn tồn n→+∞ MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH CHẤT CỦA DÃY SỐ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 3.2 TÍNH GIỚI HẠN BẰNG CÁC CƠNG THỨC CƠ BẢN Câu Tính: Lim x →1 x + − 2011x + 2009 x −1 Hướng dẫn giải x + − − 2011( x − 1) x2 + − lim = lim[ − 2011] x →1 x →1 ( x − 1)( x + + 2) x −1 x +1 4021 = lim( − 2011) = − x →1 x+3 +2  a1 = ∀n ≥ 1, n ∈ ¥  2  ( n + ) an = n an+1 − ( n + 1) an an+1 (a ) Câu Cho dãy số n thỏa mãn:  Tìm lim an Hướng dẫn giải ( n + 2) = n2 − n + ( ) * a ≠ 0, ∀ n ∈ ¥ a a n n + n Dễ thấy Từ giả thiết ta có 1 yn = + * an ta có y1 = Với n ∈ ¥ , đặt ( n + 2) 1 1 n2  2 y − = n y − − n + ⇒ n + y = n y ⇒ y = y ( ) ( ) n +1 n n +1  n +1 ÷  n ÷ n 4 4   ( n + 2) 4n ( n + 1)  n −1   n −    yn =  y = ⇒ a = n ÷ ÷  ÷ 2  n +   n −1    16 − n ( n + 1) ( n + 1) n 2 2 Do Vậy lim an = Câu Cho dãy số { xn } thỏa mãn x1 > 0, xn = a (3 xn −1 + ), n = 2,3, xn −1 Hướng dẫn giải a xn = ( xn −1 + xn −1 + xn−1 + ) ≥ a xn −1 Ta có với n ≥ {x } Do dãy n bị chặn xn a = + ≤ + =1 Với n ≥ , ta có xn −1 4 xn−1 4 ⇒ xn ≤ xn –1 Do { xn } dãy giảm lim xn = a {x } Từ suy dãy n có giới hạn dễ dàng tìm  x1 =   xn +1 = − , ∀n = 1, 2,3,  xn (x ) (y ) Câu Cho dãy số thực n :  Xét dãy số n cho : (3 + 5) n yn = n ; ∀n = 1, 2,3, (y ) x1.x2 x3 xn Chứng minh dãy số n có giới hạn hữu hạn tính giớn hạn Hướng dẫn giải xn +1 = − ⇒ xn xn +1 = 3xn − ; ∀n = 1, 2,3, xn  Ta có :  Đặt : zn = x1.x2 x3 xn ta có zn + = x1.x2 x3 xn xn +1.xn +2 = zn xn +1.xn + = zn (3xn +1 − 1) = zn xn +1 − zn = 3zn +1 − zn  z1 = x1 =    z2 = x1.x2 = =   zn + = 3zn +1 − zn ; ∀n = 1, 2,3, (z ) Khi : Suy n dãy truy hồi tuyến tính cấp 3± t − 3t + = ⇔ t = Xét phương trình đặc trưng : n n  3−   3+  zn = α  + β ÷  ÷ ÷ ÷     Dãy có số hạng tổng quát dạng  −  3+  α +   ÷ ÷  5−3 ÷ ÷β =   α =    10  ⇔     − +  β = +  ÷ ÷α +  ÷ ÷β =     10 :   Lúc này, ta có n  3+   ÷  (3 + 5)n  yn = n = = x1.x2 x3 xn zn lim yn = Suy :  Vậy : yn → n  3+   ÷   = n n n  3−   3+   3−  α ÷ +β ÷ α ÷ +β      3+  n  3−  α lim  ÷ +β  3+  = 1 −5 = = β 5+3 10 −5 n → +∞ un ∀n ∈ ¥ lim n3un = ? un ) ( u = n u + u + n n n Câu Cho dãy số xác định bởi: , Tìm →+∞ Hướng dẫn giải un u un +1 = ∀n ∈ ¥ un +1 < n = ∀n ∈ ¥ * v n u n + un + n un n Từ giả thiết ta có nên ( n ) xác định un +1 = n = ∑ uk lim = c có giới hạn hữu hạn, giả sử n→+∞ ( c hữu hạn) un 1 un +1 = ∀n ∈ ¥ = n + un + ∀n ∈ ¥ n u n + un + un Cũng từ ta có un +1 k =0 1 − = n + un ∀n ∈ ¥ un +1 un 1 − = + u0 u u0 Do ⇔ 1 − = 12 + u1 u2 u1 … 1 − = (n − 1) + un −1 un un −1 1 (n − 1)n(2n − 1) n −1 − = + ∑ uk k =0 Cộng theo vế ta : un u0 (n − 1)n(2n − 1) −1 + ⇒ = + n un 6n n3 + =0 lim = c Mà n→+∞ n ( n→+∞ ) nên (n − 1)n(2n − 1) ⇒ lim = lim = n3un = n →+∞ n u n →+∞ 6n3 hay nlim →+∞ n lim x1 = 1, xn +1 = + , ∀n ≥ x + xn Chứng minh dãy ( n ) có x Câu Cho dãy số ( n ) xác định : giới hạn hữu hạn tìm giới hạn Hướng dẫn giải 4 x2 = + = 3; x3 = + = > x1 ; x4 = + < x2 Ta có f ( x) = + + x liên tục nghịch biến [0,+), < f ( x ) ≤ Hàm số xn +1 = + = f ( xn ), ∀n + x n Ta có  ( xn ) bị chặn x1 < x3 ⇒ f ( x1 ) > f ( x3 ) ⇒ x2 > x4 ⇒ f ( x2 ) < f ( x4 ) ⇒ x3 < x5 ⇒ suy dãy ( x2 n +1 ) tăng dãy ( x2 n ) giảm suy ( x2 n +1 ), ( x2n ) dãy hội tụ lim x2 n = a;lim x2 n +1 = b ( a, b ≥ 1) Giả sử Từ x2 n +1 = f ( x2 n ) ⇒ lim x2n +1 = lim f ( x2 n ) ⇒ b = f (a ) Từ x2 n + = f ( x2 n +1 ) ⇒ lim x2 n + = lim f ( x2 n +1 ) ⇒ a = f (b)  b = + + a ⇔a=b= =2  a = + 1+ b Giải hệ phương trình  Vậy lim xn = 3.3 TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH LÍ KẸP Câu 10 Cho dãy số ( bn )  u1 =    un +1 =  un + un +   4n xác định bởi:   ÷ ÷  Chứng minh dãy số hội tụ tìm lim un x →∞ Hướng dẫn giải π cot n +1 ; ∀n ∈ ¥ (*) n 2 Ta chứng minh π u1 = cot 1+1 = 2 Thật vậy: n = : ⇒ (*) với n = un = π u = cot k k k 2 +1 Giả sử (*) tới n = k , k ∈ ¥ , nghĩa có : 1 uk +1 =  uk + uk + k 2 Ta chứng minh (*) với n= k+1 Thật  1 π π   π π =  k cot k +1 + k cot k +1 + k ÷ = cot + cot + ÷  k +1 ÷ 22 4 ÷ 2k +1 2k +1       π ÷ = k +1  cot k +1 + π ÷ π  sin k +1 ÷ → 0; sin → k +1   ( k → +∞ ) π π cos k +1 + cos k + 1 π 2 = k +1 = k +1 = k +1 cot k + π 2 2sin π cos π 2 sin k +1 2k + 2k + ⇒ (*) với n = k + π un = n cot n +1 ; ∀n ∈ ¥ 2 Vậy *  ÷ ÷  π   cos 2n +1 lim un = lim  n x →∞ x →∞ π   2n +1 π    ÷  π 2n +1 ÷ ÷ = lim  cos n +1 π ÷= x →∞ π ÷  ÷ π   2n +1  lim un = π Vậy dãy hội tụ có x→∞ n Câu 11 Cho phương trình: x − x − x − = với n ∈ N, n > Chứng minh với số nguyên n > , phương trình có nghiệm dương x n U = n ( xn − 1) n = 2,3, 4, limU n ? Xét dãy số sau đây: n , Tìm Hướng dẫn giải f ( x) = xn − x2 − x −1 = Xét phương trình: , với n nguyên, n > (1) n −1 f ’ ( x ) = nx – x – f’ x >0 f x +) Ta có: Do n > , nên x > ( ) Vậy ( ) hàm số đồng biến (1;+∞ ) f ( 1) = −2 < f ( ) = 2n – > ( n nguyên n > ⇒ n ≥ 3) f ( 1) f ( ) < f ( x) f ( x) = Ta có: liên tục, đồng biến nên phương trình có nghiệm (1;+∞ ) Lại có: ; n f ( x) < +) Mặt khác với < x < x < x ( n > ) suy với < x < Như ta chứng minh (1) có nghiệm dương với n nguyên, n > n x Gọi n nghiệm dương phương trình x – x – x –1 = Bây xét dãy ( Un ) n ( x n − 1) , n = 3, 4,5, với U n = n x n = n x n2 + x n + x − x − x − = n n n Ta có: hay Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có: x n2 + x n + 1 +1 +  + 2 n n so x n = xn + x n + = n ( x n + x n + 1).1.1  n −1 sô n < (2) (Chú ý < xn nên x n + x n + ≠ , bất đẳng thức khơng có dấu bằng) xn < < xn < + , nên x + x n < , nên từ (2) có: lim = n Bất đẳng thức (3) với n ≥ nên từ (3) ta có: +) Mặt khác n n ( ) +) Ta có: xn = xn − xn − ⇒ n ln x n = ln x n + xn + ⇒ ( x − 1) ln( x + x + 1) n ( xn − 1) = n n n ln xn Từ đó: Đặt n= lim xn = ln( x n2 + xn + 1) ln xn (5) y n = xn − ⇒ lim y n = Ta có: suy từ (5) lim U n = ln Vậy: n (3) lim U n = lim n ( xn − 1) = ln lim ln ( yn + 1) ln ( t + 1) ln xn = lim = lim =1 t → xn − yn t xác định (x ) Câu 12 Cho số thực a, xét dãy số n n ≥1 x − xn − x1 = a, xn +1 = n2 , n = 1, 2, xn + xn + Tìm tất giá trị a để dãy số có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn đó? Hướng dẫn giải lim xn = −1 x = −1, ∀n ≥ Với a = −1 n nên n→+∞ 3 xn −1 + 1) xn −1 + ) ( ( xn + = , xn + = , ∀n ≥ xn −1 + xn −1 + 3xn −1 + xn −1 + Với a ∉ −1 3n−1 Do xn +  xn −1 +  a+2 = ÷ =  ÷ , ∀n ≥ xn +  xn −1 +   a +1  xn = Từ đó, tính ( a + 1) 3n−1 − ( a + 2) ( a + 2) 3n−1 − ( a + 1) 3n−1 3n−1 , ∀n ≥ a < − ⇒ a + > a + ⇒ lim xn = −2 n →+∞ Kết luận + a > − ⇒ a + < a + ⇒ lim xn = −1 n →+∞ + , 3 a = − ⇒ xn = − , ∀n ≥ ⇒ lim xn = − n →+∞ 2 + Câu 13 Cho dãy số (un ) xác định sau: 2012  u1 = 2013  u − 2u − = , ∀n = 1, 2,3,  n n +1 Tìm Hướng dẫn giải u un − 2un +1 − = ⇔ un+1 = n − 2 Ta có : 2 x −1 x 1 f ( x) = = − ≥− 2 2 Xét hàm số : f '( x ) = x x −1 − + f ′ ( x) f ( x) −3 lim un n →+∞ −1 Ta có : −1 −1 −1 < u1 < ⇒ < u2 < ⇒ < u3 < − < 2 Vậy : ∀n ≥ −1 < un < un2 − 2 x −1 −1 = x ( x ∈ ( ;0)) ⇒ a = − 2 Gọi a nghiệm : u − a = f (u n ) − f ( a ) Ta có : n +1 f (un ) − f (a ) = f '(a) un − a Theo định lí La-grăng : 1 f '(a ) ≤ ⇒ f (un ) − f ( a) ≤ un − a 2 Do un − 2un +1 − = ⇔ un +1 = n 1 1 ⇒ un +1 − a ≤ un − a ≤  ÷ un −1 − a ≤ ≤  ÷ u1 − a  2  2 n 1 lim  ÷ = ⇒ lim (un +1 − a) = ⇒ lim un +1 = a = − n →+∞ n →+∞ n →+∞   Mà lim un = − Vậy : n→+∞  u0 =   un +1 = un + , ∀n ∈ ¥ ( un + )  {u } Câu 14 Cho dãy số n xác định sau:  { un } Chứng minh dãy số có giới hạn tìm giới hạn Hướng dẫn giải < u ≠ < u ≠ 1, ∀ n ∈ ¥ n * Vì nên un + + ≥6 u + n * Áp dụng BĐT Cauchy ta có Dấu xảy ⇔ un = ⇒ un + + >6 un + , ∀n ∈ ¥ un + 1  un +1 = =  un + + ÷− > 1, ∀n ∈ ¥ ( un + )  un +  * un +1 − u n = − u n − + 2 ( un + ) * f ( x) = − x −1 + 2 ( x + 2) Xét hàm số f '( x) = − − < 0, ∀x > 2 ( x + 2) ⇒ f ( x) ( 1; +∞ ) nghịch biến u > ⇒ f ( un ) < f ( 1) = ⇒ un +1 < un , ∀n ∈ ¥ * * Vì n ⇒ { un } ⇒ { un } giảm bị chặn có giới hạn hữu hạn u +5 un +1 = n ( un + ) lim un = a ( ≤ a < +∞ ) * Giả sử Từ chuyển qua giới hạn ta có a = a +5 a= ⇔ ( a + 2)  a = −5(loai) * Vậy lim un = * (u ) u =4 Câu 15 Cho dãy số n xác định bởi: un +1 = un − , với n ∈ ¥ un +1 lim n →+∞ u u u n Tìm Hướng dẫn giải Với n = 1, 2, ; ta có un2+1 − = ( un2 − ) − = un4 − 4un2 = un2 ( un2 − ) = un2 un2−1 (un2−1 − 4) = = un2un2−1 u22u12 (u12 − 4) = 12 ( un un−1 u1 ) (1)  un +1  ; ∀n = 1, 2,  ÷ = 12 + u1.u2 un  u1.u2 un ) (  Từ (1) ta có: (2) Mặt khác, u1 = > nên từ un +1 = un − chứng minh quy nạp ta thu un > với n = 1, 2, Do u1.u2 un > ; ∀n ∈ ¥ n * 0< Khi đó, lim nên theo nguyên lý kẹp ta có: n →+∞ ( u1.u2 un ) ( u1.u2 un ) 2 =0 < ; ∀n = 1, 2, 22 n  un +1  lim  ÷ = 12 n →+∞ u u u n   Vậy, từ (2) suy ra: Mặt khác, hàm số f ( x) = x liên tục nửa khoảng [0; + ∞) nên  un +1  un +1 lim = lim  ÷ = n →+∞ u u u n →+∞ n  u1u2 un  un +1 lim = 12 n →+∞ u u u n Kết luận:  un +1  lim  ÷ = 12 n →+∞ u u u  n Câu 16 a) Chứng minh có dãy số thực ( xn ) n≥0 thỏa mãn x + x 2 n n −1 ∀n ≥ x0 = 1, ≤ xn ≤ 1∀n ≥ (1 − xn ) − (1 − xn −1 ) = ( xn ) ( yn ) n ≥ b) Với dãy xác định trên, xét dãy xác định yn = x0 + x1 + + xn ∀n ≥ Chứng minh dãy ( yn ) n≥0 có giới hạn hữu hạn n → +∞ Hãy tìm giới hạn Hướng dẫn giải x a) Bằng quy nạp ta n xác định với n ≥ Để làm điều ta cần dùng kết (chứng minh đơn giản) sau: Với số thực m ∈ [0;1] , t+m có nghiệm [0;1] phương trình 1 1 yn = x0 + ( x0 + x1 ) + ( x1 + x2 ) + L + ( xn −1 + xn ) + xn ∀n ≥ 2 2 b) Để ý Ta có giới hạn cần tìm (1 − t ) − (1 − m) = Câu 17 Giả sử ( Fn ) ( n = 1, 2, ) a≠− Fn +1 Fn dãy Fibonacci ( F1 = F2 = 1; Fn +1 = Fn + Fn −1 với với n = 1, 2,3, dãy số ) Chứng minh ( xn ) , ( n = 1, 2,3 ) , + xn xác định có giới hạn hữu hạn n tăng lên vô hạn Tìm giới hạn Hướng dẫn giải x1 , x2 , , xm x x ≠ −1 Giả sử xác định Khi m+1 xác định m xm = x = − 1 + xm −1 nên xm−1 = −2 m * Nếu x1 = a, xn +1 = xm = − F F2 xm −1 = − F1 , F2 Từ giả thiết F1 = F2 = 1; Fn +1 = Fn + Fn −1 ta viết F xm −i = − i + Fi +1 , với i đó, ≤ i ≤ m − Giả sử F F 1 xm −i = xm −i −1 = − = − i +1 − = − i +3 + xm −i −1 nên xm −i Fi + Fi + Vì F F x1 = − m +1 x1 ≠ − m +1 Fm Mâu thuẫn với giả thiết Fm Như ( xn ) dãy số xác định Khi −1 − −1 u= ,v = ⇔ x2 + x −1 = 1+ x 2 Có hai Phương trình có hai nghiệm trường hợp xảy ra: − −1 lim x = n x =v x = x1 , ∀n ≥ Trường hợp 1: Khi n Do n→+∞ 1− v = v ⇔ xn = ⇔ xn = v v Trường hợp 2: x1 ≠ v Chú ý + xn Do xn ≠ v, ∀n ≥ x= Đặt zn = xn − u xn − v , ta có −u xn +1 − u + xn (1 − u ) − uxn u − uxn u xn − u u zn +1 = =− = = = = zn xn +1 − v (1 − v ) − vx v − vx v x − v v n n n −v + xn n u u zn =  ÷ z1 0, yn +1 = y1 + y2 + + yn , ∀n ≥ Chứng minh dãy số  yn     n  có giới hạn n → +∞ Hướng dẫn giải {y} Từ giả thiết ta có y = yn + y , ∀n ≥ , dãy số n n ≥ dãy tăng, 3 2 yn +1 = yn + yn = yn ( yn + 1) < yn +1 ( yn + 1) n +1 n ⇒ yn2+1 < yn2 + ∀n ≥ ⇒ yn2+1 < yn2 + < < y22 + n − , y2 + n −1 y22 + n −  y  ⇒  n +1 ÷ < lim =0 (n + 1) Mà (n + 1)  n +1 nên theo định lý kẹp ta có y y  y  lim  n +1 ÷ = ⇒ lim n +1 = ⇒ lim n = n +1 n  n +1  ( un ) dãy số dương Đặt Sn = u13 + u23 + + un3 với n = 1, 2, Giả sử Câu 19 Cho un +1 ≤ ( ( S n − 1) un + un −1 ) S n+1 với n = 2,3, Tìm lim un Hướng dẫn giải S − S = u > 0, n = 1, 2, ⇒ ( Sn ) Ta có n +1 n dãy số tăng S S ( ) ( ) Nếu dãy số n bị chặn n dãy hội tụ lim un3 = lim ( S n +1 − S n ) = ⇒ lim un = (S ) Xét trường hợp dãy số n khơng bị chặn lim S n = +∞ n +1 Từ giả thiết ta có S n+1un +1 + un ≤ S nun + un−1 , n = 2,3, S u + u ≤ S 2u2 + u1 , n = 2,3, Từ ta thu n n n −1 un −1 S 2u2 + u1 S 2u2 + u1 un + ≤ ⇒ < un < , n = 2,3, S S S n n n Do Theo ngun lí kẹp ta có lim un = Vậy trường hợp ta có lim un = u1 =   * u = u + − 2, ∀ n ∈ ¥ n + n  un (u ) Câu 20 Cho dãy số n xác định công thức truy hồi:  Chứng minh dãy (un ) có giới hạn hữu hạn tính giới hạn Hướng dẫn giải 1 f ( x) = x + − 2; g ( x ) = f ( f ( x)) − x = + −2 x x x+ − x Đặt Khi  2 −2  x − ÷( x + 1) 1  g '( x ) =  ≤ ⇒ g ( x) < g ( ) = ⇒ f ( f ( x)) < x, ∀x ∈ ( ;1) (*) 2  4 x x+ − 2÷ x   f '( x) < 0, ∀x ∈ ( ;1) Mặt khác nên 1 1 f ( x) < f ( ) = ⇒ f ( f ( x )) > f ( ) = , ∀x ∈ ( ;1) (**) 2 2 1 < f ( f ( x)) < x, ∀x ∈ ( ;1) Từ (*) (**) suy ra: 1 = u1 > u3 > ⇒ = u1 > u3 > u5 > , 2 Vậy: Do (u2 n −1 ) đơn điệu giảm bị chặn nên tồn lim u2 n −1 = n →∞    ;1 f ( x )  nên Vì liên tục  ( ) u2 n = f (u2 n −1 ) ⇒ lim u2 n = f lim u2 n−1 = n →∞ Vậy dãy n →∞ (un ) phân tích thành hai dãy hội tụ tới giới hạn Do dãy (un ) có giới hạn 1 a1 > 0, b1 > 0; an +1 = an + , bn +1 = bn + bn an với n = 1, 2, Câu 21 Cho hai dãy số (an ); (bn ) biết Chứng minh rằng: an + bn > 2n , ∀n > x0 =   x − xn +1 = xn + {x } Câu 22 Cho dãy số n thoả mãn:  n +1 Tìm 3.3 CÁC DẠNG KHÁC lim xn n →+∞ a , a , , a2014 b1 , b2 , , b2014 (x ) Câu 23 Cho 4028 số thực: , Xét dãy số n xác định sau: 2014 xn = ∑ [ n + bi ] , ( n = 1, 2,3, ) i =1 2014 ∑a i Biết dãy số lập thành cấp số cộng, chứng minh i =1 số nguyên (với phần nguyên số thực a – số nguyên lớn không vượt a ) Hướng dẫn giải 2014 [ a] 2014 A = ∑ B = ∑ bi (x ) n.d = xn +1 − x1 i =1 i =1 Đặt , Gọi d công sai cấp số cộng n , thì: * a n + bi − < [ n + bi ] ≤ n + bi , i = 1, 2, , 2014 Với n ∈ ¥ ta ln có: i Cộng vế với vế 2014 bất đẳng thức chiều, ta được: A.n + B − 2014 < xn ≤ A.n + B Thay n n + thay n , có: A ( n + 1) + B − 2014 < xn +1 ≤ A ( n + 1) + B A + B − 2014 < x1 ≤ A + B ⇒ − A − B ≤ − x1 < − A − B + 2014 Cộng vế với vế bất đẳng thức chiều nói thu được: A.n − 2014 < xn +1 − x1 < A.n + 2014 ⇔ A.n − 2014 < n.d < A.n + 2014 ⇔ d n − A.n < 2014 ⇔ d−A < 2014 n 2014 =0 (x ) n Vì nên suy d = A Mặt khác dãy n gồm tồn số ngun nên cơng sai d số nguyên Vậy A nguyên (đpcm) un ∈ N u − u − u ∈{0;1}  m+ n m n u2 = u >  u = 3333 (u ) Câu 24 Cho dãy n thỏa mãn điều kiện sau :  9999 Tìm u2013 Hướng dẫn giải u = u + u + ε ( ε ∈ {0;1}) m n Ta có : m + n lim Bằng quy nạp ta chứng minh Ta có: u2 ≥ u1 + u1 ⇒ u1 = un1 + n2 + + nk ≥ un1 + un2 + + unk , với n1 , n2 , , nk u3 = u2 + u1 + ε = + ε ⇒ u3 = Ta chứng minh n < 3333 u3n = n (1) Thật vậy: Với n = (1) Ta có u3n ≥ n.u3 = n, ∀n u > n0 ⇒ u3( n0 +1) = u3n0 +3 ≥ u3 n0 + u3 > n0 + , mà 3n0 , điều chứng tỏ, với n ≥ n0 u3n > n Điều mâu thuẫn với u9999 = 3333 u = n Vậy, với n < 3333 3n Giả sử, tồn n0 < 3333 Do u2013 = 671   x1 =   x = x + xn ; ∀n ≥ n +1 n x n2 Câu 25 Cho dãy số ( n ) thỏa mãn:  Chứng minh dãy số có giới hạn Hướng dẫn giải n ( n + 1) ≥ *) Ta chứng minh xn + n với n ≥ (1) Thật : n = ≥ k ( k + 1) Giả sử (1) với n = k ≥ : xk + k x2 2 ⇒ xk +1 + ( k + 1) = xk + k2 + ( k + 1) k xk x + k ) + ( k + 1) ( k = k  k +  k ( k + 1) ≥ − 1÷ + ( k + 1) k  ( k + 1) k ( k + 1) ≥ − 2  k +  ( k + 1) k + 1) ( k + ) ≥ − k ÷≥ (   2  (đpcm) x ( ) *) Ta chứng minh n có giới hạn (x ) x >0 NX: n tăng n với n 1 − = ≤ x xn +1 xn + n n ( n + 1) Ta có n 1  1 ⇒ − ≤ 1 − ÷ < x1 xn  n ⇒ xn < − với n ≥ Vậy ( xn ) có giới hạn 17 x1 = 5; x2 = ; xn +1 = xn xn2−1 − xn − x Câu 26 Cho dãy số n xác định bởi: Tìm n chẵn thỏa mãn n ∈ N * [ xn ] + lập phương số tự nhiên Hướng dẫn giải Nhận xét thấy : 1−1 2−1 4 x1 = 22 +1 + 21−1 +1 ; x2 = 22 +1 + 22−1 +1 ; 2 n−1 xn = 22 +1 + 2n−1 +1 ∀n ≤ k ; k ∈ N * Khi , giả sử : k xk +1 = 22 +1 + 2k +1 Cần chứng minh: (1) ta có k −2 k −1 1 k −1 4 xk xk −12 − xk − = (22 +1 + 2k −1 +1 )(22 +1 + 2k −2 +1 ) − 2(2 +1 + 2k −1 +1 ) − 4 2 2k +1 + 2k +1 = suy (1) n −1 xn = 22 +1 + 2n−1 +1 ∀n ∈ N * ⇒ n−1 xn ] + = 2 +1 + x +3 [ Khi , giả sử tồn n chẵn để [ n ] lập phương số tự nhiên: 2n−1 +1 + = c3 Mặt khác n chẵn suy n − lẻ suy 2n−1 + 1M3 đặt Khi xk +1 = 22 n −1 +1 ( 3k c − 2k = 23 k ⇒ + = c ⇒ )(c + c.2k + 22 k ) = k 2k k mà c + c.2 + > c − nên: c − 2k = 1; c + c.2k + 22 k = (2) Giải hệ (2) ta hệ khơng có nghiệm ngun với k > suy không tồn n chẵn x +3 Vậy không tồn n chẵn để [ n ] lập phương số tự nhiên lim xn x = a, x2 = b ( a, b ∈ ¡ ) Câu 27 Cho n.xn + − (n − 1).xn +1 − xn = , n = 1, 2, Tìm n→∞ Hướng dẫn giải xn +1 − xn xn + − xn +1 = − n Ta có (−1) n (−1) n ( x2 − x1 ) = − ( b − a ) n! n! n n ( −1) k (−1)k ⇒ xn + = x1 − ∑ ( b − a ) = x1 + ( a − b ) − ∑ ( b − a ) k! k! k =1 k =0 1 ⇒ lim xn = x1 + a − b − = 2a − b − e e * (u ) Câu 28 Cho dãy n axác định bởi: u1 = 2; un +1 = un − un + 1, ∀n ∈ ¥ Tìm M nhỏ thỏa mãn 1 + + + < M , ∀n ∈ ¥ * u1 u2 un ⇒ xn + − xn+1 = Hướng dẫn giải Ta có u1 = > un +1 = (un − 1) + un Chứng minh quy nạp ta un > 2, ∀n ∈ ¥ , n ≥ (*) u = u − u i i + ⇒ ui +1 − = ui (ui − 1) Ta lại có: i +1 ⇒ n ∑u 1 1 1 = − ⇒ = − ui +1 − ui − ui ui ui − ui +1 − = Do đó: i =1 i Suy M ≤ 1 (*) − = 1− < 1, ∀n ∈ ¥ * u1 − un +1 − un +1 − (u ) Mặt khác, chứng minh quy nạp ta dãy n tăng Do dãy có giới hạn hữu hạn L L > Vì phương trình L = L − L + có nghiệm L = ,  n 1 lim un = +∞ ⇒ lim  ∑ ÷ =  i =1 ui  dãy (un ) khơng có giới hạn hữu hạn Suy (**) n0  n 1 lim  ∑ ÷ = >a ∑ n i =1 ui  i =1 ui  a < Với từ suy tồn cho Do M ≥ ⇒ M = (u ) Câu 29 Cho dãy số n xác định sau: u0 = 0, u1 = 1, un + = 2un +1 + un , n = 0,1, 2, Chứng 22014 un 22014 n minh Hướng dẫn giải n n un = 1+ − 1− 2 Công thức tổng quát (( ( 1+ ) Đặt Ta có un = n ( = a, − 2 ( a − b) ( , Sn = a + b = + ) n ) ( = b ⇒ ab = ( −1) u2 n = (a ) + (1− ) n ) ) n − b ) = un ( a + b ) n Đặt Khi ta dãy S1 = 2, S2 = 6, S n + = 2Sn +1 − S n , n = 1, 2, ( Sn ) xác định sau: S ≡ ( mod ) , S2 ≡ ( mod ) S ≡ ( mod ) Do nên quy nạp ta được: n hay a + b ≡ ( mod ) ⇒ a + b = 2t , ( t , ) = Do Giả sử u2 n = 2un t , ( t , ) = n = 2k t , ( t , ) = ⇒ un = u2k.t = k ut Ak , k un 2k n Từ đẳng thức ta ut , Ak lẻ ... n = 1, 2,3, ) i =1 2014 ∑a i Biết dãy số lập thành cấp số cộng, chứng minh i =1 số nguyên (với phần nguyên số thực a – số nguyên lớn không vượt a ) Hướng dẫn giải 2014 [ a] 2014 A = ∑ B = ∑ bi
- Xem thêm -

Xem thêm: xác định số hạng tổng quát của dãy số, xác định số hạng tổng quát của dãy số

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn

Nhận lời giải ngay chưa đến 10 phút Đăng bài tập ngay