dự đoán số hạng tổng quát và chứng minh quy nạp

11 3 0
  • Loading ...
1/11 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 22/09/2018, 20:06

Bài 1: DỰ ĐOÁN SỐ HẠNG TỔNG QUÁT VÀ CHỨNG MINH BẰNG QUY NẠP 3 n+4  * u1 = 1; u n +1 =  un − ÷, ∀n ∈ N ( un ) 2 n + 3n +  Cho dãy số xác định Tìm công thức số hạng un tổng quát dãy số theo n HƯỚNG DẪN GIẢI n∈¥ Với * , ta có n+4 2un +1 = 3(un − ) ⇔ 2un +1 = 3(un + − ) (n + 1)(n + 2) n + n +1 ⇔ 2(un +1 − 3 3 ) = 3(un − ) ⇔ un+1 − = (un − ) n+2 n +1 n+2 n +1 (vn ), = un − Dãy số n +1 n −1 q= cấp số nhân có cơng bội v1 = − n −1 13 3  1 =  ÷ ữ, n Ơ * un = ữ , n Ơ * n +1   2  2 f :Z+ → Z+ Bài 2: Cho hàm số thỏa mãn đồng thời điều kiện: f ( n + 1) > f ( n ) ∀n ∈ Z + (1) , f  f ( n )  > n + 2000 ∀n ∈ Z + (2) , f ( n + 1) = f ( n ) ∀n ∈ Z + a/Chứng minh: , f ( n) b/Tìm biểu thức HƯỚNG DẪN GIẢI Câu a f ( n) ∈ Z + f ( n + 1) ≥ f ( n ) + ∀n ∈ Z + Vì nên từ giả thiết (1) ta được: , + ∀n ∈ Z Kết hợp giả thiết (2) ta n + 2001 = ( n + 1) + 2000 = f  f ( n + 1)  ≥ f  f ( n )  + = n + 2001 f ( n + 1) = f ( n ) + đó: + ∀n ∈ Z Câu b f ( n ) = f ( 1) + n – 1, ∀n ∈ Z + ⇒ f { f ( 1) } = f ( 1) + f ( 1) –1 , + 2000 = f ( 1) –1 ⇒ f ( 1) = 1001 ⇒ f ( n ) = n + 1000, ∀n ∈ Z + Suyra: , f ( n ) = n + 1000, ∀n ∈ Z + Thử lại thỏa điều kiện, nên CÁC DẠNG KHÁC Bài 3: p∈ N* a/Tìm p cho hệ  p ∑ xi =  i =1  p −1 ∑ x1 =  i =1  x > 0, ∀i ∈ 1, p  i  có nghiệm b/Với tìm câu a/,hãy xác định tập hợp tất giá trị tổng: p p ai2 = ∑ ∑ a > i =1 − i i =1 với HƯỚNG DẪN GIẢI Câu a Do:  p  p 16 =  ∑ xi ÷  ∑  i =1   i =1 xi  ÷≥ p ⇒ p ≤  xi = 1, i ∈1, p=4 :Khi đó: Vậy hệ có nghiệm  x2 + x3 =  x1 =  x2 x3 = ( x1 , x2 , x3 ) p=3 :Chọn có nghiệm Nên nghiệm hệ  x1 + x2 =  ( x1 , x2 ) p =  x1.x2 = : có nghiệm Nên nghiệm hệ p =1 :Vô nghiệm p = 2, p = 3, p = Vậy hệ có nghiệm Câu b p ai2 f ( a1 , a2 , , a p ) = ∑ i =1 (1 − a1 ) Ta có: g ( x ) = x ( − x ) , < x < 1; g ′ ( x ) = ⇔ x = max g ( x) = (0;1) 3 Xét hàm: Ta có: f ( a1 , a2 , , a p ) Do đó: ≥ 3 p 3 ∑ = i =1 Dấu đẳng thức xảy khi: p = hay p = 3 p = : f ( a1 , a2 ) = a1 a2 + ≥2 ≥2 2 a2 a1 a1.a2 a12 + a22 = Dấu đẳng thức xảy − a12 a1 f (a1 , a2 ) = + a1 = a2 = ( 0;1) a1 → f (a1 , a2 ) → +∞ − a12 a12 , liên tục Khi Vậy p=2 , tập giá trị là: )  2; +∞  a1 = − x ; a = x ; a = x , 0 Vậy tập giá trị là: 3 x→ thỏa giả thiết: 0 un > ∀n ∈ N * Ta có: , un + − un = un / (1 + un ) − un = (−un3 ) / (1 + un2 ) < ∀n ∈ N * ⇒ ( un ) dãy số giảm bị chặn ⇒ lim un = a (a ∈ R, a ≥ 0) n →+∞ un + = un / (1 + un2 ), Từ cho a = a / (1 + a3 ) ⇔ a = Đặt n → +∞ ta được: lim un = x →+∞ Vậy = 1/ (un + 1) − 1/ (un2 ), n ∈ N * = ((1 + un2 ) / un ) − 1/ (un2 ) = + un2 → n → +∞ ? Ta có ta có: Áp dụng định lí trung bình Cesaro v1 + v2 +…+ u = ⇔ lim n →+∞ n →+∞ n lim  1  − u un ⇔ lim  n +1 n →+∞ u lim − n +1 u n2 n n →+∞ Mà n +1 − n u12 =2  1 ÷+ −  u n u1 = n v u2 = lim n = lim = lim = n →+∞ n n →+∞ n n →+∞ n ; un2 1 lim = ⇒ lim = ⇒ lim (un n ) = n →+∞ n n →+∞ n.u n → +∞ ⇒ n { Un} Bài 9: Cho dãy xác định bởi: { Sn } Ta lập dãy a1 = − Tacó với U1 =  *  U n2 + 2009U n ( n ∈ N ) U n +1 = 2010  n  Ui  S =  n ∑  i =1 U i +1 −   lim S n x →∞ Tính HƯỚNGDẪNGIẢI a0 >0 a1 , a2 , , an −1 > Giả sử Tacó a0  an an −1  + + + n + =  1  1 1 1 ⇒ an =  − ÷an −1 +  − ÷an − + +  −  ÷a0 a a a 2 n n +       n − n −  + + + =  n an = an −1 an− a0 a1 + + + + 1.2 2.3 (n − 1)n n(n + 1) Hay a1 , a2 , , an −1 > Do nên  an −1 an − a1   2an −1 3an − na  + + + + + + ÷  ÷ (n − 1)n   n −1   1.2 2.3 a a a2 a  ≥  n −1 + n − + + ÷ = 02 (n − 1)  n  a a a02 a1  ⇒  n −1 + n− + + ≥ ÷ 3a na  ( n − 1)n   2a  1.2 2.3 n  n −1 + n − + + ÷ n −1  Ta lại có 2an −1 3an −2 3a na a   2a + + + = n  n −1 + n −2 + + ÷ n −1 2n n −1  n a a  a  a  ≤ n  n −1 + n −2 + + ÷ = n  − ÷ = − a0 n −1    n a a a0 a1  ⇒  n −1 + n − + + ÷≥ − (n − 1)n  n  1.2 2.3 ⇒ an = an −1 an − a0 a a0 a1 + + + + ≥ − 02 + >0 1.2 2.3 ( n − 1) n n(n + 1) n n(n + 1) Từ suy điều phải chứng minh + un2 − u = , ∀n ≥ u1 = 1, n +1 un ( un ) Bài 10: Cho dãy số xác định a Chứng minh: π un = tan n +1 , ∀n ≥ ( un ) b.Suy tính đơn điệu bị chặn HƯỚNG DẪN GIẢI a.Chứng minh quy nạp toán học 0< b.Nhận xét π π ≤ , ∀n ≥ n +1 hàm số tanx đồng biến  π  0; ÷  4 ( un ) tan = giảm bị chặn số π tan = bị chặn số ( xn ) Bài 11: Cho dãy số xác định bởi: 2014 2015 x1 > 0; xn +1 = xn + + + + + 2014 + 2015 , ∀n ∈ ¥ * xn xn xn xn xn nên dãy số 1.Với n∈¥ 2.Tìm số α yn = * ,đặt n xn2 ( nx ) ( yn ) Chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn tính giới hạn α n để dãy có giới hạn hữu hạn giới hạn số khác HƯỚNG DẪN GIẢI 1 xn +1 > xn + > ⇒ xn2+1 > xn2 + + > xn2 + xn xn 1.Từ giả thiết suy xn2+1 > xn2 + > xn2−1 + > > x12 + 2n lim xn = +∞ Suy Xét  2014 2015  2014 2015 xn2+1 − xn2 = ( xn +1 + xn ) ( xn +1 − xn ) =  xn + + + + + 2014 + 2015 ÷ + + + + 2014 + 2015 xn xn xn xn xn  xn xn xn xn xn   2014 2015  2014 2015  =  + + + + + 2015 + 2016 ÷1 + + + + 2013 + 2014 ÷ xn xn xn xn xn  xn xn xn xn   lim ( xn2+1 − xn2 ) = Suy 2 2 2 xn2 ( xn − xn −1 ) + ( xn−1 − xn − ) + + ( x2 − x1 ) + x1 = n n Ta có Áp dụng định lý trung bình Cesaro ta có xn2 − xn2−1 ) + ( xn2−1 − xn2−2 ) + + ( x22 − x12 ) + x12 ( xn2 lim = lim =2 n n lim n = xn2 Do zn = nxnα = n α +2 xn xn2 2.Xét Từ đó: α > −2 +) Nếu +)Nếu α < −2 lim zn = +∞ lim zn = lim zn = α = −2 +) Nếu α = −2 Vậy giá trị cần tìm thỏa mãn đề CÁC DẠNG KHÁC ( xn ) x1 = Bài 12: Cho dãy số không âm thỏa mãn ,và ( n + 1) xn2+1 + ( 2n + ) ( n + 1) xn +1 + n+1 + 22 n− = 9n xn2 + 36nxn + 32 ∀n ≥ , xn Chứng minh số nguyên với nnguyên tố lớn HƯỚNG DẪN GIẢI ( n + 1) xn +1 + 2n −1 +  = ( 3nxn + ) Viết lại đẳng thức đầu dạng ( n + 1) xn+1 + 2n−1 + = 3nxn + xn Từ không âm dẫn đến , với ( n + 1) xn+1 − 2n + = ( nxn − 2n−1 + ) Biến đổi n , 4.2 TÍNH GIỚI HẠN BẰNG CÁC CƠNG THỨC CƠ BẢN Bài 13: Tính giới hạn sau: 2x +1 x3 − lim− lim x →2 x − x →2 x − b) a) HƯỚNG DẪN GIẢI ( x + 2x + 4) = x3 − 2x +1 a ).lim = lim b) lim− = −∞ x →2 x − x →2 x + ( ) x→2 x − 2 lim x →1 Bài 14: Tính giới hạn x + x + + x n − n x −1 HƯỚNG DẪN GIẢI x + x + + x − n ( x − 1) + ( x − 1) + + ( x n − 1) lim = lim x →1 x →1 x −1 x −1 n ( x − 1)[1 + ( x + 1) + ( x + x + 1) + + ( x n −1 + + 1)] x →1 x −1 lim lim 1 + ( x + 1) + ( x + x + 1) + + ( x n −1 + + 1)  x →1 = + + + …+ n = Bài 15: Cho n n Lim x →0 n(n + 1) số nguyên dương a≠0 Chứng minh rằng: + ax − a = x n HƯỚNG DẪN GIẢI x → ⇒ y → y = + ax , n Đặt từ n Lim x →0 Vậy + ax y −1 y −1 a = aLim n = a Lim = = n −1 n− y → y → x y −1 n ( y − 1) ( y + y + + y + ) Bài 16: Tính giới hạn sau: lim 13 + 53 + 93 + + (4n − 3)3 n →∞ [ + + + + (4n − 3)] a/  cos x  x sin x lim  ÷ x → cos x   b/ HƯỚNG DẪN GIẢI Câu a n n i =1 i =1 13 + 53 + 93 + + (4n − 3)3 = ∑ (4i − 3)3 = ∑ (64i − 144i + 108i − 27) n n n i =1 i =1 i =1 = 64∑ i − 144∑ i + 108∑ i − 27n + + + + (4n − 3) = n(4n − 2) = 2n − n n(n + 1) i= ∑ i =1 n n(n + 1)(2n + 1) i = ∑ i =1 n  n( n + 1)  i = ∑   i =1 n Mà ta có cơng thức: ; ; 3 3 P( x) = + + + + (4n − 3) 64 / = 16 4 Do đó: đa thức bậc có hệ số bậc Q( x) = [ + + + + (4n − 3) ] Và đa thức bậc lim n →∞ 13 + 53 + 93 + + (4n − 3)3 [ + + + + (4n − 3)] Do đó: Câu b = có hệ số bậc 16 =4 cos5 x − cos3 x x sin x  cos x  lim  ÷ x → cos x   Vì = cos x − cos x −2sin x sin x  sin x sin x −8  lim = lim = lim  = −8 x →0 x sin x.cos x x →0 x sin x.cos x x →0 x cos x   4x lim x →0 Vì cos3 x   x sin x.cos3 x cos5 x − cos3 x cos x − cos x    lim 1 + ÷ x →0   cos x     cos x − cos 3x =0 cos 3x 1 u lim ( + u ) = e u →0 áp dụng công thức , nên  cos x  x sin x lim  = e −8 ÷ x →0 cos x  
- Xem thêm -

Xem thêm: dự đoán số hạng tổng quát và chứng minh quy nạp, dự đoán số hạng tổng quát và chứng minh quy nạp

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn

Nhận lời giải ngay chưa đến 10 phút Đăng bài tập ngay