xác định số hạng tổng quát của dãy số

21 4 0
  • Loading ...
1/21 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 22/09/2018, 20:06

Bài Bài Bài XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG TỔNG QUÁT 1.1 DỰ ĐOÁN SỐ HẠNG TỔNG QUÁT VÀ CHỨNG MINH BẰNG QUY NẠP u1 = 11  un ) u = 10un + − 9n, ∀n ∈ N ( Cho dãy số xác định :  n +1 Xác định số hạng tổng quát dãy cho Hướng dẫn giải Ta có: u1 = 11 = 10 + u2 = 10.11 + − = 102 = 100 + u3 = 10.102 + − 9.2 = 1003 = 1000 + u = 10 n + n ( 1) Dự đốn: n Chứng minh theo quy nạp ta có u1 = 11 = 101 + , công thức ( 1) với n = Giả sử công thức ( 1) với n = k ta có uk = 10k + k u = 10 ( 10k + k ) + − 9k = 10 k +1 + ( k + 1) Ta có: k + ( 1) với n = k + Công thức u = 10n + n ∀n ∈ N Vậy n , u1 = −2  u = 3un −1 − 1, ∀n ≥ Cho dãy số (un ) biết  n Xác định số hạng tổng quát dãy Hướng dẫn giải 1 un = 3un −1 − ⇔ un − = 3un −1 − ⇔ un − = 3(un −1 − )(1) 2 2 1 −5 = un − ⇒ v1 = u1 − = 2 Đặt (1) ⇒ = 3vn −1 , ∀n ≥ Dãy (vn ) cấp số nhân với công bội q = −5 n −1 Nên −5 n −1 un = + = + , ∀n = 1, 2, 2 Do = v1.q n −1 = 1.2 DÃY SỐ CHO BỞI CƠNG THỨC TRUY HỒI 1.3 PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC TRƯNG 1.4 PHƯƠNG PHÁP DÃY SỐ PHỤ 1.5 DÃY SỐ SINH BỞI PHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH 1.6 SỬ DỤNG PHÉP THẾ LƯỢNG GIÁC 1.7 CÁC DẠNG KHÁC MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH CHẤT CỦA DÃY SỐ Cho dãy ( xn ) xác định bởi:  x1 = 1; x =   x n = x n −1 − x n − 2x − Chứng minh ∀n ∈ N ta có n số phương Hướng dẫn giải: Bài Dễ thấy xn ∈ Z ∀n ∈ N , n ≥ Ta có xn = xn −1 − xn −2 ⇔   xn − 3xn −1 = 3xn −1 − xn −2   2 ⇔ x n − x n x n −1 + x n −1 = x n −1 − x n −1 x n − + x n − 2 2 ⇔ xn − x n xn −1 + xn −1 = x n −1 − x n −1 x n −2 + x n − 2 từ ta có xn2 − xn xn −1 + xn2−1 = x22 − x2 x1 + x12 = −8 ⇒ xn −1 − xn xn −1 + xn + = (1) 2 ' Vì nên phương trình (1) phải có nghiệm nguyên Do (1) có ∆ phải số phương ' x − ( xn + 8) = 8( xn − 1) = k Tức tồn cho ∆ = n (2) Từ (2) ta suy k phải số chẵn 2 ⇒ k = 2m ; m ∈ N ⇒ 8( x n − 1) = 4m ⇒ xn − = m k ∈ N Vậy x n2 − 2 2 ( an ) n > số phương Cho dãy với xác định bởi: a) Chứng minh an chia hết cho n với giá trị nguyên dương n a1 = 1; a2 = 2; a3 = 6; a4 = 12 a  bn = n n Chứng minh tồn vô số an + = 2an +3 + an + − 2an +1 − an , ∀n ≥ số nguyên dương b) Đặt n để 2015 ước bn Hướng dẫn giải b = 1; b = 1; b = 2; b = 3 a) Ta có Dễ thấy bn = Fn với n = 1; 2;3; (b ) (F ) Bằng quy nạp ta chứng minh dãy n trùng với dãy n Thật vậy: Mệnh đề với n = 1; 2;3; Giả sử mệnh đề đến n + Khi ta có: (n + 4)bn + = 2(n + 3) Fn +3 + (n + 2) Fn+ − 2(n + 1) Fn+1 − nFn ( n + ) Fn+ Dùng công thức dãy Fibonaci : Fm+ = Fm+1 + Fm ta dễ dàng biến đổi vế phải thành suy bn + = Fn+ Vậy mệnh đề với n + , với n nguyên dương Điều chứng tỏ an chia hết cho n với n nguyên dương (r ) b) Gọi rn số dư bn cho 2015 với n = 1; 2;3; Trước tiên ta chứng minh n dãy tuần hoàn Thật vậy: Ta có : bn + = b n +1+ bn ⇒ rn +2 ≡ rn +1 + rn ( mod 2015) Vì có vơ hạn cặp (r1 ; r2 ), (r2 ; r3 ), (rn ; rn+1 ) nhận hữu hạn giá trị khác nên tồn hai phần tử dãy trùng Ta giả sử (rm ; rm +1 ) = ( rm +T ; rm +T +1 ) (với T số nguyên dương) Ta chứng minh (rn) tuần hoàn với chu kỳ T + ) Ta có : rm + ≡ rm +1 + rm (mod 2015); rm +T + ≡ rm +T +1 + rm +T (mod 2015) ⇒ rm + ≡ rm +T + (mod 2015) ⇒ rm + = rm +T + Tiếp tục ta chứng minh được: rm+ k = rm+T + k với k ≥ (1) +) Ta có : rm −1 ≡ rm +1 − rm (mod 2015); rm +T −1 ≡ rm +T +1 − rm +T (mod 2015) ⇒ rm −1 ≡ rm +T −1 (mod 2015) ⇒ rm −1 = rm +T −1 Bằng quy nạp ta chứng minh được: rm−k = rm+T − k với k = 1; 2; ; m − (2) (r ) Từ (1) (2) suy n n >0 dãy tuần hoàn (b ) (r ) Bổ sung vào dãy n phần tử bo = thỏa mãn b0 + b1 = b2 suy r0 = Khi dãy n dãy tuần (r ) hoàn phần tử r0 = Do tồn vơ số phần tử dãy n Như câu b chứng minh xong GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 3.1 TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA Bài Cho dãy số ( an )   a1 = a + a    an +1 = 2an − 2an −  3an − 4an − xác định :  (a ) (a ) Chứng minh với số thực a ≠ dãy n hội tụ Tùy theo a , tìm giới hạn dãy n Hướng dẫn giải a+ ≥2 a Nếu a > (do bất đẳng thức AM-GM) Nếu a < −a + 1 ≥2 a + ≤ −2 −a a (do bất đẳng thức AM-GM) nên * Nếu a = a1 = Ta chứng minh: an = 2, ∀n ∈ ¥ Hiển nhiên a1 = ak = ⇒ ak +1 = 2.23 − 2.2 − =2 3.2 − 4.2 − Giả sử lim an = lim = Vậy a >  * Nếu  a ≠ a1 > Ta chứng minh an > ∀n ∈ ¥ Rõ ràng a1 >   Giả sử ak > Ta chứng minh ak +1 > 2 ak − a k − 2 > ⇔ ak ( a k − ) > 3ak − 4ak − ( đúng) a ( ) Ta chứng minh n dãy giảm, : ak +1 > ⇔ −a + 2a + an − − ( an − 1) ( an − ) ∀n, an +1 − an = n n = 3an − 4an − > ⇔   2−  an <  2+ an > > ⇒ 3an − 4an − > Mà ) ( an ) (a ) giảm bị chặn ⇒ n có giới hạn L 2a − 2an − 2 L3 − L2 − lim an +1 = lim n ⇒ 3an − an − 3L2 − L − ⇒ L = ( an > ⇒ L ≠ −1 ) Vậy lim an = Nếu a > a1 ≤ −2 Tương tự, ta có: −an + 2an + an − − ( an − 1) ( an − ) ∀n, an +1 − an = = >0 3an − 4an − 3an − 4an − (a ) tăng Hơn n bị chặn −1 , a − ak − 2 ak +1 < −1 ⇔ k < −1 ⇔ ( ak + 1) (2a − 3) < 3ak − 4ak − nên ( an ) (a ) (a ) Vậy n tăng bị chặn ⇒ n có giới hạn L an < −1, ∀n , an +1 − an > 0, ∀n L3 − L2 − ⇒ L = −1 ( an < −1⇒ L ≠ ) 3L2 − L − Vậy lim an = −1 L= Tóm lại: + Nếu a = lim an = a >  + Nếu  a ≠ lim an = Bài + Nếu a < lim an = −1 (x ) Cho dãy số n xác định  x1 >  2015  *  xn +1 = xn + x + x + x3 + L + x 2015 ( n ∈ ¥ ) n n n n  α Tìm giới hạn dãy nxn n → +∞ , với α  là số thực cho trước Hướng dẫn giải Dễ dàng chứng minh xn > 0, ∀n ≥ qui nạp Ta có  1  xn +1 > xn + , ∀n ≥ 1 ⇒ xn2+1 >  xn + ÷ = xn2 + + > xn2 + 2 ; ∀n ≥ xn xn  xn  x > xn2−1 + > xn2− + > … > x12 + ( n − 1) Bởi ∀n ∈ N, n ≥ n ⇒ xn > 1, ∀n ≥ 2 và  lim xn = +∞ n →+∞ 2015 xn +1 = xn + + tn tn = + +…+ 2015 * xn xn xn xn Với  n ∈ N , đặt t xn > 1; ∀n ≥ ⇒ < tn < xn , với t = + +…+ 2014 + 2015  (1), suy   2t 1 x − x =  xn + + tn ÷ − xn2 = + tn2 + + xntn + n → xn xn xn   n → +∞  b1 = x12     bn )    bn = xn2 − xn2−1 , ∀n ≥ 2.  (  Áp dụng định lý trung bình Cesaro cho dãy với b1 + b2 +…+ bn lim lim bn = = lim bn = n →+∞ n ta có n→+∞ suy n→+∞ n +1 n 2 2 2 n xn2 ( xn − xn −1 ) + ( xn −1 − xn − ) +…+ ( x2 − x1 ) + x1 b1 + b2 +…+ bn  lim =   = =    n →+∞ x n n n Mà n suy n  lim = n →+∞ x sau (chứng minh định lý trung bình Cesaro) n Thật ta chứng minh trực tiếp ( cn ) : c1 = x12 − 2; cn = xn2 − xn2−1 − với n = 2,3… ε cn < , ∀ n ≥ m lim cn = * n →+∞ nên ∀ε > 0   tồn m ∈ N cho M = max { ci  }   Gọi với ≤ i ≤ m −  ( m − 1) M  ( m − 1) M ( m − 1) M < ε m′ =   +1 < m' ε   ε m′ Với ε tồn hay n > max { m, m '} Xét ta có ε n n m −1 | ∑ i =1ci | ∑ i = m ci ∑ i =1 | ci | ( n − m + 1) ( m − 1) M ε ( m − 1) M ε ε ≤ + < + < + < + = ε n n n n n m′ 2 o theo định n | ∑ i =1ci | lim =0 n nghĩa n→+∞ Xét dãy 2 2 2 n xn2 ( xn − xn −1 ) + ( xn −1 − xn − ) +…+ ( x2 − x1 ) + x1 c1 + c2 +…+ cn  lim =   = = + 2  n →+∞ x n n n n suy n.xnα = n.xn−2 →  khi n → +∞   Nếu α = −2 α α +2 −2 Nếu α > −2 n.xn = xn n.xn → +∞  khi n → +∞   n.xnα = xnα + n.xn−2 → Nếu α < −2 n → +∞ 3.2 TÍNH GIỚI HẠN BẰNG CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN (u ) Bài Cho dãy số n xác định sau u1 =  * un +1 = un ( un + ) ( un + ) ( un + ) + 16, ∀n ∈ ¥ n Đặt = ∑ i =1 ui + , tính lim Hướng dẫn giải: * Dễ thấy un > 0, ∀n ∈ ¥ Theo ta có un +1 = (u Suy + 6un ) ( un2 + 6un + ) + 16 = (u un +1 + = ( un + 1) ( un + ) ⇔ n n = ∑ i =1 Do n + 6un + ) = un2 + 6un + un +1 + = 1 − u n + un + n  1  1 1 = ∑ − − = − ÷= ui + i =1  ui + ui +1 +  u1 + un+1 + un+1 + Mặt khác, từ un +1 = un + 6un + ta suy un +1 > 6un Kết hợp với u1 = ta có un > 6n −1 , ∀n ∈ ¥ * ⇒ lim un = +∞ ⇒ lim un +1 + =0 1  lim = lim  − ÷= un +1 +   Từ ta có Cho dãy số thực Bài ( un ) * ln ( + un2 ) + nun = 1, ∀n ∈ ¥ * với n ∈ ¥ thỏa mãn n ( − nun ) n →+∞ un Tìm lim Hướng dẫn giải: * f n ( x ) = ln ( + x ) + nx − 1, x ∈ ¡ n ∈ ¥ Với , đặt ( x + 1) + n − ≥ 2x f ( x) = +n= 1+ x + x2 Ta có ' n  x = −1 f n' ( x ) = ⇔  n = fn ( x ) hàm tăng thực ¡  f n ( ) = −1 <   1    f n  n ÷ = ln 1 + n ÷ >   Ta có    Do Do ∃!un ∈ ¡ cho f n ( un ) = < un < n Ta thấy lim un = n →+∞  u2 n =1 lim ln + u n)  n→+∞ (   lim nun = lim 1 − ln ( + un2 )  =  n →+∞  Do đó:  n→+∞ n ln ( + un2 ) n ( − nun )   lim = lim = lim  nun ln ( + un2 ) un2  = n →+∞ n →+∞ n →+∞ un un   Vậy Cho dãy số Bài ( an ) , n ≥ thỏa mãn a1 = 1, an = 2n − an−1 , n ≥ ( b ) , n ≥ thỏa mãn 2n dãy n n bn = ∑ , n ≥ i =1 Chứng minh dãy ( bn ) có giới hạn tìm giới hạn Hướng dẫn giải: Ta có 2nan = ( 2n − 3) an −1 ⇔ an−1 = ( n − 1) an−1 − nan  , n > n Do bn = ∑ iai − ( i + 1) +1  = 1 − ( n + 1) an+1  i =1 nan ≤ ,n ≥1 n Ta chứng minh quy nạp Thật vậy: - Với n = 1, ta có a1 = nên khẳng định an +1 = ( n + 1) −  2n −    an ≤  ÷ ÷ ( n + 1)  2n +   n n  , ta cần chứng minh ( n ≥ 1) Ta có - Giả sử khẳng định với n  2n −    ≤ ⇔ ( 2n − 1) n + ≤ 2n n  ÷ ÷  2n +   n n  ( n + 1) n + ⇔ ( 4n − 4n + 1) ( n + 1) ≤ 4n ⇔ ≤ 3n Bất đẳng thức cuối nên khẳng định với n + Theo ngun lí qui nạp khẳng định chứng minh   1 − ÷ ≤ 1 − ( n + 1) an +1  = bn ≤ n +   Ta có Theo ngun lí kẹp dãy Bài 10 Cho dãy số ( an ) ( bn ) lim bn = có giới hạn  a1 = ∀n ≥ 1, n ∈ ¥  ( n + ) a = n a − ( n + 1) a a n n +1 n n +1 thỏa mãn:  Tìm lim an Hướng dẫn giải * Dễ thấy an ≠ 0, ∀n ∈ ¥ Từ giả thiết ta có ( n + 2) an +1 = n2 − ( n + 1) an * Với n ∈ ¥ , đặt yn = 1 + an ta có y1 = 1 1 n2 2 2 n + y − = n y − − n + ⇒ n + y = n y ⇒ y = y ( )  n+1 ÷  n ÷ ( ) ( ) n+1 n n +1 n 4 4   ( n + 2) 4n ( n + 1)  n −1   n −    yn =  ⇒ an = ÷ ÷  ÷ y1 = 2  n +1   n −1    16 − n ( n + 1) ( n + 1) n2 Do 2 Vậy lim an = 3.3 TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH LÍ KẸP lim n Bài 11 Tìm n→∞ n ! Hướng dẫn giải n Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức : n! > ( ) n (*) (∀ n ∈ N*) Bằng phương pháp qui nạp Thật : với n =1 , ta có > (đúng) k Giả sử (*) với n = k tức : k! > ( )k Ta chứng minh (*) với n = k+1 k k +1 k +1 (1 + ) k k > ( )k+1 Ta có (k+1)! = k!(k+1) >( ) k (k+1) = ( )k+1 Bất đẳng thức cuối : k k ( k − 1) k (k − 1)(k − 2) (k − k + 1) k k + + k! (1+ k )k =1+ k + 2! k = 1 1 k −1 1 1 (1 − ) (1 − )(1 − ) (1 − ) k + + k ! k k k < 1+1+ 2! +… + n ! < n ! < n Vì lim n→∞ n =0 n n! > n Do theo định lý giới hạn kẹp ta suy ra: Vậy lim(2014 + (x ) Cho dãy số n Tính I = lim xn n lim n→∞ n n! = ) n ! =2014  x1 = 1; x2 =  ( xn+1 ) ; ∀n ∈ ¥ *  x = ( n + ) ( xn )  thoả mãn Từ giả thiết suy mội số hạng dãy dương  y1 = 0; y2 =  y = yn +1 − yn ; ∀n ∈ ¥ * y = log x n n Đặt , ta có dãy  n +  z1 = −2; z2 = −1  z1 = −2, z = −1  *  z = zn +1 − zn ; ∀n ∈ ¥ 2 z n + = z n +1 − z n Lại đặt yn = zn + , ta có dãy  n + zn = −4 n Tìm số hạng tổng quát dãy Từ ta có lim yn = ⇒ lim xn = 3.4 CÁC DẠNG KHÁC Bài 12  x1 = 2016  m  *  x n+1 = 1+x ∀n ∈ N n Tìm giá trị thực tham số m để dãy số (xn):  có giới hạn hữu hạn Hướng dẫn giải: *) m > ⇒ < xn < m ∀n > Xét hàm số: f (x) = −2mx m f '( x) = ⇒ ( 0; m ) ( x + 1) x + ta có f(x) nghịch biến Suy ( x2 n ), ( x2 n +1 ) đơn điệu bị chặn 0 x3 > x5 > > 2017 ⇒ x1 > x2 , x3 ⇒  2016  x2 < x4 < x6 < < f ( f (1)) = 4m m ≤ 1, x2 = < ⇒ x2 n < ∀n ∈ N * m +4 2017 + a (1 + b ) = m lim x2 n = a, lim x2 n +1 = b ⇒ a < 1,  (I ) b(1 + a ) = m   Giả sử  a = b ( II )   a + a = m  ( I ) ⇔  b = a   ( III )    a+ =m a   Khi o < m ≤ hệ (I) có nghiệm ⇒ (xn) có giới hạn hữu hạn Khi 2 x2 , x1 ≤ x3 ⇒  2016  x2 ≥ x4 ≥ x6 ≥ ⇒ lim x2 n < lim x2 n+1 ⇒ ( xn ) khơng có giới hạn + m = 2017 2016 ⇒ xn = 2016 ∀n ∈ N * ⇒ l imxn = 2016  x1 > x3 < x5 < m > 2017 2016 ⇒ x1 < x2 , x1 > x3 ⇒   x2 < x4 < x6 < + ⇒ lim x2 n > lim x2 n+1 ⇒ ( xn ) khơng có giới hạn *) m < tượng tự ta có < m ≤ m = −2017 2016 (x ) Bài 13 Cho số thực a, xét dãy số n n ≥1 xác định xn3 − xn − x1 = a, xn +1 = , n = 1, 2, xn + xn + Tìm tất giá trị a để dãy số có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn đó? Hướng dẫn giải: lim xn = −1 Với a = −1 xn = −1, ∀n ≥ nên n →+∞ 3 xn −1 + 1) xn −1 + ) ( ( xn + = , xn + = , ∀n ≥ x + x + x + x + a ≠ − n − n − n − n − Với 3n−1 Do xn +  xn −1 +  a+2 = ÷ =  ÷ , ∀n ≥ xn +  xn −1 +   a +1  xn = ( a + 1) 3n−1 3n−1 − ( a + 2) 3n−1 3n−1 , ∀n ≥ ( a + ) − ( a + 1) Từ đó, tính a < − ⇒ a + > a + ⇒ lim xn = −2 n →+∞ Kết luận + a > − ⇒ a + < a + ⇒ lim xn = −1 n →+∞ + , 3 a = − ⇒ xn = − , ∀n ≥ ⇒ lim xn = − n →+∞ 2 + Bài 14 Cho hai dãy số dương ( an ) n≥0 , ( bn ) n≥ xác định bởi: a0 = 3, b0 = + an +1  an + bn = − a n +1  a + = b n  n Với n = 0,1, 2, Chứng minh hai dãy hội tụ tìm giới hạn chúng Hướng dẫn giải: an = tan Ta chứng minh quy nạp π , bn = , n = 0,1, 2, (*) n π 3.2 cos n 3.2 Thật π π = tan , b0 = = π 3.2 cos 3.2 , ( *) Với n = , ta có π π a1 = = tan = tan , b1 = = 3.2 3 cos π 3.21 , ( *) Với n = , ta có π an = tan n , bn = π 3.2 cos n 3.2 Giả sử khẳng định đến n = k , k ≥ , tức π an +1 = tan n +1 , bn +1 = π 3.2 cos n +1 3.2 Thật Từ ( 1) ta có Ta chứng minh π π π π π sin + 2sin n +1 cos n +1 + sin + cos n n +1 + an +1 3.2 3.2 3.2 3.2 3.2 n+1 = = = π π π − an +1 cos n cos − sin n +1 3.2 3.2 3.2n+1 a0 = = tan π π   π π π sin n +1 + cos n +1 tan n +1 +  sin n +1 + cos n +1 ÷ 3.2 3.2   3.2 3.2 = 3.2 = = ⇒a π π π π π  π π    cos n +1 − sin ÷ cos n +1 + sin n +1 ÷ cos 3.2n +1 − sin 3.2n +1 − tan 3.2n +1 3.2 3.2n +1  3.2 3.2   π 1 bn2+1 = an2+1 + = tan +1 = ⇒ bn +1 = n +1 π π 3.2 cos cos n +1 n +1 2) ( 3.2 3.2 Khi từ , suy π , bn = , n = 0,1, 2, n π 3.2 cos n 3.2 Như theo nguyên lý quy nạp π 1 lim an = lim tan n = tan = 0; lim bn = lim = =1 n →+∞ n →+∞ n →+∞ π 3.2 cos n →+∞ cos n 3.2 Do lim an = 0; lim bn = n →+∞ Kết luận: n→+∞ ■ an = tan n +1 = tan π 3.2n +1 Bài 15 Cho dãy số (un ) xác định sau : u1 = 2014  2 un +1 = un + (1 − 2a )un + a ; ∀n = 1, 2, Tìm điều kiện a để dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn n → +∞ tính giới hạn Hướng dẫn giải u − u = (un − a) ≥ ⇒ un +1 ≥ un ; ∀n = 1, 2,3, Ta có: n +1 n * Suy dãy số (un ) tăng knn ; từ dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn dãy bị chặn 2 lim un = L ( L ∈ ¡ ) Giả sử n→+∞ , chuyển qua giới hạn hệ thức un +1 = un + (1 − 2a)un + a ta có: L = L2 + (1 − 2a) L + a ⇔ L = a lim un = L = a * - Nếu có số k ∈ ¥ mà uk > a un > a; ∀n ≥ k trái với kết n →+∞ 2 Do đó: uk ≤ a với k = 1, 2, hay un − (1 − 2a )un + a ≤ a, ∀n = 1, 2,3, ⇔ a − ≤ u1 ≤ a ⇔ a − ≤ 2014 ≤ a * Đảo lại: Nếu a − ≤ 2014 ≤ a ⇒ a − ≤ u1 ≤ a ⇒ (u1 − a + 1)(u1 − a ) ≤ ⇒ u12 + (1 − 2a)u1 + a − a ≤ ⇒ u2 ≤ a u1 ≤ u2 ⇒ a − ≤ u2 ≤ a Bằng quy nạp ta chứng minh a − ≤ un ≤ a, ∀n = 1, 2,3, (H/s trình bày ra) Như dãy (un ) tăng knn, bị chặn bới a , dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn lim un = a Kết luận: Với điều kiện a − ≤ 2014 ≤ a dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn n → +∞ n→+∞ Bài 16 Cho dãy số ( xn )  x1 = a  xn3  x =  n +1 x − , n = 1, 2,3, n thỏa mãn  Tìm a cho dãy số xác định có giới hạn hữu hạn Hướng dẫn giải Đặt f ( x) = 2x ,x ≠ ± 3x − Ta có x1 = a, xn +1 = f ( xn ) Ta có f '( x) = x4 − 6x2 ( 3x − 1) = x ( x − 1) ( 3x − 1) Bảng biến thiên x −∞ -1 − 3 3 +∞ f’(x) +∞ -1 +∞ +∞ f(x) −∞ −∞ +∞ Ta xây dựng dãy số sau a0 = , a0 = f ( a1 ) , a1 = f ( a2 ) , a2 = f ( a3 ) , Nhận thấy a1 , a3 , , a2 k +1 , < 0; a0 , a2 , , a2 k , >    3 −1 a1 ∈  − ;0 ÷ , a = f a ∈ 0; ( )  ÷ ÷  ÷     Dựa vào bảng biến thiên ta thấy ⇒ a2 < a0 ⇒ f ( a3 ) < f ( a1 ) ⇒ a3 > a1 ⇒ f ( a4 ) > f ( a2 ) ⇒ a4 < a2 Bằng quy nạp ta chứng minh dãy tăng bị chặn Ta có − ( a2k ) (a ) đơn điệu giảm, bị chặn , dãy k +1 đơn điệu lim ( a ) , lim ( a ) Từ tồn k →+∞ k k →+∞ k +1 an = f ( an +1 ) = f ( f ( an + ) ) ⇒ lim an = f ( f ( lim an + ) ) ⇒ l = f ( f ( l ) )  2l  2 ÷ 3l −  1  ⇔l=  ⇔ l  l − ÷( l − 1) ( 20l − 15l + ) = 5   2l  3 ÷ −1  3l −  (*)    3 x3 − ;0 0;  ÷  f ( x) = , x ≠ ±  ÷  ÷ ÷ l = lim an ,  n →+∞ x − (do liên tục  ) Xét 0 a1 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có (do a1 ≠ ) Nhận xét: an > n, ∀n ≥ Ta chứng minh nhận xét phương pháp quy nap Thật • Với n = ta có a2 > (đúng) • Giả sử ak > k • Ta có ak +1 = ak + k > k + ⇔ ak2 + k > ( k + 1) ak ak ⇔ ak2 − ( k + 1) ak + k > ⇔ ( ak − 1) ( ak − k ) > (đúng) Suy ak +1 > k + Như an > n, ∀n ≥ (điều phải chứng minh) n n an +1 − ( n + 1) = an + − ( n + 1) = an − n + − an an Mặt khác, an2 − ( n + 1) an + n ( an − n ) ( an − 1) = = an an (1) Áp dụng (1) ta có  ( a2 − ) ( a2 − 1) a3 − = a2   ( a − 3) ( a3 − 1)  a4 − = a3     ( an − n ) ( an − 1) an +1 − ( n + 1) = an  Suy ( a3 − 3) ( a4 − ) ( an+1 − ( n + 1) ) = ⇔ an +1 − ( n + 1) = ( a2 − ) ( a2 − 1) ( a3 − 3) ( a3 − 1) ( an − n ) ( an − 1) a2 a3 an ( a2 − ) ( a2 − 1) ( a3 − 1) ( an − 1) a2 a3 an   1  1 ⇔ an +1 − ( n + 1) = ( a2 − ) 1 − ÷1 − ÷ 1 − ÷  a2  a3   an  n  1 ⇔ an +1 − ( n + 1) = ( a2 − ) ∏ 1 − ÷  i =2  (2) n an + − an +1 − an a n an > n ⇒ < 1− = = < n an +1 an+1 an +1 an +1 (do an Ta lại có ) Suy n  1 i=2  i a1 a2 an −1 a1 = an an a3 ∏ 1 − a ÷ < a Từ (2)  ⇒ an +1 − ( n + 1) < ( a2 − ) a1 a < ( a2 − ) an n (vì an > n ) ⇒ < an +1 − ( n + 1) < ( a2 − ) a1 a = ⇒ lim ( a2 − ) = n →∞ n Mà n →∞ n lim a1 n Do lim ( an +1 − ( n + 1) ) = n →∞ Bài 18 hay lim ( an − n ) = n →∞ * Cho p ∈ ¥ , a > a1 > Xét dãy số (an ) xác định bởi: an +1 = 1 a  ( p − 1) an + p −1  p an  , với n ≥ Chứng minh dãy số (an ) có giới hạn hữu hạn n → +∞ Hãy tìm giới hạn Hướng dẫn giải * Theo bất đẳng thức Côsi ta có: 1 a  a p an +1 =  an + an + + an + p −1 ÷ ≥ p p anp −1 p −1 = a p  4 43 an ÷ p an p −1   , với ∀ n ≥ (1) an +1 − an = 1 a   ( p − 1)an + p −1  − an p an  =− Do đó: an anp − a a + = − ≤ 0; ∀ n ≥ p p.anp −1 p.anp −1 Từ (1) (2) ta có dãy số (an ) giảm bị chặn suy dãy số (an ) có giới hạn hữu hạn n → +∞ Giả sử lim an = L n →+∞ p a; p ; ( L ≥ a ) an +1 = 1 a  ( p − 1) an + p −1  p an  Chuyển qua giới hạn hệ thức 1 a  L = ( p − 1) L + p −1  ⇔ pLp = ( p − 1) Lp + a p L  ta có phương trình p ⇔ Lp = a ⇔ L = a (thỏa mãn điều kiện) p lim an = a n →+∞ Vậy Bài 19 (x ) Cho trước số thực dương α xét dãy số dương n thỏa mãn xnα+1 + Chứng minh dãy ( xn ) α − < ( α + 1) α α +1 * xn với n ∈ ¥ hội tụ tìm giới hạn Hướng dẫn giải f ( x ) = xα + , x > x Xét hàm số α +1 α x −1 − f '( x ) = α xα −1 − = α +1 f '( x ) = ⇔ x = x = α x x Ta có ; Ta có bảng biến thiên hàm f(x): (2) f ( x ) ≥ f ( x0 ) = α Suy Do xnα+1 + − α α +1 +α α +1 = (α + 1)α − α α +1 α − 1 < ( α + 1) α α +1 ≤ xnα+1 + xn xn +1 (x ) (x ) Suy xn +1 < xn hay n dãy giảm Kết hợp với xn > với n ta suy dãy n hội tụ α − α α +1 β + ≤ (α + 1)α ⇒ β = x0 β Đặt lim xn = β > Chuyển qua giới hạn ta Vậy lim xn = α Bài 20 − α +1 Tìm tất số c > cho dãy số dãy số (un ) thỏa mãn un ∈ (0;1) ∀n ≥  un +1 (1 − un ) > c hội tụ Với giá trị c tìm tính giới hạn dãy (un ) Hướng dẫn giải Ta xét trường hợp sau + Nếu c> cun c un +1 > = ≥ 4cun ; ∀n ≥ 1 − un un (1 − un ) , từ giả thiết, ta có Từ quy nạp, ta suy không thỏa mãn un > (4c) n −1 u1 c> u → +∞ Do 4c > nên n n → +∞ Do đó,  − − 4c + − 4c  a , b ∈ ;  ÷ 0 0) , a (1 − a) − c a (1 − b) > c ⇔ a (1 − a − x ) > c ⇔ x < a  a (1 − b) > c  b(1 − a ) > c Thật vây, lấy Chú ý b(1 − a ) > a (1 − a ) > c Do đó, ta cần chọn x > b = a + x, bất đẳng thức nêu Xét dãy số (un ) xác định  a n = 2m un =  b n = 2m + 1 0 = ≥ un c= 4(1 − u ) u (1 − u ) n n n + Nếu , Suy dãy (un ) tăng bị chặn Do đó, (un ) hội tụ Đặt x = lim un , từ giả thiết ta có Bài 21 Cho dãy số ( sn ) với ( un ) sn = x(1 − x) ≥ 1 x= lim un = hay Vậy 2 * xác định sau: u1 = , un +1 = un − un + , n ∈ ¥ Tìm giới hạn dãy 1 + + + , n ∈ ¥ * u1 u2 un Hướng dẫn giải Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: un ≥ (u ) Xét tính đơn điệu dãy n Từ hệ thức un +1 = un − un + ta suy ∀n ∈ ¥ * , un +1 − un = ( un − 1) > (u ) , dãy số n tăng Tính tổng: Từ hệ thức truy hồi (1) ta suy ⇒ un +1 − = un +1 − = un ( un − 1) 1 1 1 = − ⇒ = − un ( un − 1) un − un un un − un +1 − ( *) * với n ∈ ¥ Thay n 1, 2, 3, , n vào (*) cộng vế với vế đẳng thức ta suy : 1 1 + + + = − u1 u2 un un +1 − ( un ) (u ) 1) Dãy n Do dãy dãy tăng nên có hai khả sau xảy ra: (u ) bị chặn Theo tiêu chuẩn Weierstrass, nên n tăng bị chặn nên có giới hạn lim un = a ⇒ a ≥ Giả sử n→+∞ Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) n → +∞ ta có: a = a − a + ⇔ a − 2a + = ⇔ a = , vô lý 2) Dãy không bị chặn trên, ( un ) tăng không bị chặn nên lim un = +∞ ⇒ lim ( un − 1) = +∞ ⇒ lim =0 n →+∞ n →+∞ n →+∞ u n 1  1 1 lim  + + + ÷ = lim 1 − ÷ = n →+∞ un   u1 u2  un  Vì từ (2) ta suy ra: n →+∞ Bài 22 Cho dãy số (un) thỏa mãn : u0 = 2016; un +1 = un + un2 un3 Tính n→+∞ n lim Hướng dẫn giải   (un +1 ) =  un + ÷ = un3 + + + un  un un  (un +1 )3 = un3 + + + > un3 + , ∀n un u n Do un > ∀n => 3 3 suy (un ) > u0 + 3n = 2016 + 3n, ∀n ∈ ¥ Lại có (1)   (un +1 ) =  un + ÷ = un3 + + + un  un u n  1 < un3 + + + < un3 + + + 3 2016 + 3n ( 2016 + 3n ) n ( 3n ) (un +1 )3 < un3 + + => Suy 1 + ∀n ∈ ¥ n ( 3n ) n −1 n n −1 1 n (un )3 < u13 + 3(n − 1) + ∑ + ∑ < u13 + 3n + ∑ + ∑ k =1 k k =1 9k k =1 k k =1 9k n 1 1 < 1+ + + + = 2− < ∑ 1.2 2.3 (n − 1)n n k =1 k Do n  n  ≤ n < 2n ∑ ∑ k ÷ k =1 k =1 k   (Bất đẳng thức Bunhiacopxki) (un )3 < u13 + 3n + + 2n suy (2) Từ (1) (2) suy 20163 + 3n < (u n )3 < u13 + 3n + + 2n , ∀n ∈ ¥ 3 (u ) u 2016 2 ⇒ +3< n < +3+ + , ∀n ∈ ¥ n n n 9n n u3 lim n = Do n →+∞ n Bài 23 Cho số thực a, xét dãy số ( xn ) xác định bởi: x1 = a, xn +1 = ln ( + cos xn + sin xn ) + 2014, n = 1, Chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn n → +∞ Hướng dẫn giải Đặt f ( x ) = ln ( + sin x + cos x ) + 2014, ∀x ∈ ¡ cos x − sin x + sin x + cos x π π   ⇒ f ' ( x ) = cos  x + ÷− f ' ( x ) sin  x + ÷ 4 4   ⇒ f '( x) = ⇒ ( f '( x) ) ≤ + ( f '( x) ) ⇒ f '( x) ≤ 2 = q, ∀x ∈ ¡ Áp dụng định lí Lagrange cho hàm số f ( x) liên tục có đạo hàm ¡ , với số thực x,y tồn z ∈ ¡ cho: f ( x ) − f ( y ) ≤ f ' ( z ) x − y ≤ q x − y ⇒ f ( x ) − f ( y ) ≤ q x − y , ∀x, y ∈ ¡ m > n ( m, n ∈ ¥ * ) , x − x = f ( xm −1 ) − f ( xn −1 ) ≤ q xm −1 − xn −1 ≤ ≤ q m − n −1 xm −n +1 − x1 ta có: m n 2014 < xn < 2014 + ln 5, ∀n ∈ ¥ * ⇒ ( xn ) Mặt khác: bị chặn * m − n −1 ∀ε > 0, ∃N ∈ ¥ : q xm − n +1 − x1 < ε , ∀m > n ≥ N Do đó: (x ) Vậy n dãy Cauchy, nên dãy số cho hội tụ Với GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 4.1 TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA 4.2 TÍNH GIỚI HẠN BẰNG CÁC CƠNG THỨC CƠ BẢN 4.3 TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH LÍ KẸP 4.3 TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐẠO HÀM 4.4 CÁC DẠNG KHÁC ... >0 dãy tuần hoàn (b ) (r ) Bổ sung vào dãy n phần tử bo = thỏa mãn b0 + b1 = b2 suy r0 = Khi dãy n dãy tuần (r ) hoàn phần tử r0 = Do tồn vơ số phần tử dãy n Như câu b chứng minh xong GIỚI HẠN... 2015) Vì có vơ hạn cặp (r1 ; r2 ), (r2 ; r3 ), (rn ; rn+1 ) nhận hữu hạn giá trị khác nên tồn hai phần tử dãy trùng Ta giả sử (rm ; rm +1 ) = ( rm +T ; rm +T +1 ) (với T số nguyên dương) Ta chứng
- Xem thêm -

Xem thêm: xác định số hạng tổng quát của dãy số, xác định số hạng tổng quát của dãy số

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn

Nhận lời giải ngay chưa đến 10 phút Đăng bài tập ngay