bài tập trắc nghiệm về mặt cầu

19 6 0
  • Loading ...
1/19 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 22/09/2018, 19:56

THẦY MẪN NGỌC QUANG – QSTUDY.VN Các em cần nhớ kiến thức sau : 1)Cách xác định tâm mặt cầu ngồi tiếp hình , tứ diện , chop tứ giác , lăng trụ 2)Cách tính bán kính mặt cầu 3)Cách tính diện tích mặt cầu , thể tích khối cầu Dạng : Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện thường 1)Nếu tam giác ABC vng , tâm đường tròn ngoại tiếp ABC điểm E(trung điểm BC) 2)Nếu tam giác ABC , tâm đường tròn ngoại tiếp ABC giao điểm đường trung tuyến 3)Nếu tam giác ABC thường tâm đường tròn ngoại tiếp giao đường trung trực Trường hợp đặc biệt , tam giác ABD vuông A , tam giác BCD vng C trung điểm I BD Sẽ tâm mặt cầu tiếp tứ diện ABCD Vì IA = IB = IC = ID Dạng : Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp tứ giác S.ABCD , khơng phải chóp tứ giác có mặt cầu ngoại tiếp , việc phụ thuộc vào đặc biệt hình ví dụ sau : +)Nếu SA vng góc với đáy , ta có O tâm đường tròn ngoại tiếp Tứ giác ABCD , Vẽ trục Ox , mặt phẳng SAC ta kẻ trung trực SA Khi ta tìm I tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD +)Nếu trục Ox không năm mặt phẳng (SAC) , (SBD) ta Khơng tìm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABCD Trường hợp đặc biệt : Đáy hình vng , lại có góc ASC hay BSD Là góc vng ta có O tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD THẦY MẪN NGỌC QUANG – QSTUDY.VN Trường hợp đặc biệt : Chóp S.ABCD , ta xác định tâm I sau +)SO trục +)Trong mặt phẳng SAC ta dựng trung trực SA ,cắt SO I Khi I tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD Trường hợp đặc biệt : Nếu ta có góc SAC , SBC , SDC góc vng trung điểm I Của SC tâm mặt cầu ngoại tiếp chop tứ giác S.ABCD Dạng : Tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ đứng O,O’ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , A’B’C’ I trung điểm OO’ Khi Là điểm I , có IA = IB = IC = IA’ = IB’ = IC’ Câu : Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác có cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc 30 Biết hình chiếu vng góc A’ (ABC) trùng với trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A’ABC Bài giải: +Gọi H trung điểm BC => A’H ⊥ (ABC) => góc A’AH 300 a Ta có:AH = ; A’H = AH.tan300 = a/2 a2 SABC = a3 V = S ABC A' H = Tìm bán kính mặt cầu : Ngoại tiếp tứ diện A’ABC + Gọi G tâm tam giác ABC, qua G kẻ đt (d) // A’H cắt AA’ E + Gọi F trung điểm AA’, mp(AA’H) kẻ đt trung trực AA’ cắt (d) I => I tâm m/c ngoại tiếp tứ diện A’ABC bán kính R = IA Ta có: Góc AEI 600, EF =1/6.AA’ = a/6 THẦY MẪN NGỌC QUANG – QSTUDY.VN a a AF2 + FI = IF = EF.tan600 = R= Câu Cho hình chóp S ABC có SA ⊥ ( ABC ) , SA = 2a , tam giác ABC cân A , BC = 2a , cos( ACB ) = Tính thể tích khối chóp S ABC , xác định tâm tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC Bài giải: Tính thể tích khối chóp S ABC 2 ; tan C = 2; CM = a 2; AM = CM tan C = 4a 1 8a 2 S ∆ABC = AM BC = 4a ⇒ VS ABC = SA.S ∆ABC = 3 12 sin A = sin 2C = 2sin C.cos C = = 3 BC 9a = Theo định lý sin tam giác ABC ta có R = sin A Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC sin C = Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ta có IA = R Dựng ngoại tiếp tam giác ABC Mặt phẳng trung trực SA cắt trục đường tròn J J tâm mặt cầu ngoại tiếp SABC Gọi r bán kính mặt cầu ngoại tiếp S.ABC r = JA = JB = JS = JC = IA2 + AN = a 97 97π a Câu Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A′ B′ C′ có tất cà cạnh a Tính thể tích hình lăng trụ diện Diện tích mặt cầu cần tính S = 4π r = tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ theo a Bài giải: Thể tích lăng trụ là: V = AA '.SABC = a a a3 = 4 Gọi O, O′ tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC, ∆A ' B'C ' tâm mặt cầu (S) ngoại tiếp hình lăng trụ ABC.A′ B′ C′ trung điểm I OO′ Mặt cầu có bán kính là: R = IA = AO + OI2 = 7π a a 21 ⇒ S = 4π R = Câu Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh Gọi M trung điểm AD N tâm hình vng CC’D’D Tính thể tích khối cầu qua đỉnh M, N, B, C’ khoảng cách đường thẳng A’B’ với MN Bài giải: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ, cho D trùng với gốc tọa độ O, A ∈ Ox, C ∈ Oy D' ∈ Oz , ta có: D(0;0;0),C(0;2;0),B(2;2;0),A(2;0;0) D'(0;0;2),C'(0;2;2),B'(2;2;2);A'(2;0;2) M trung điểm AD nên M(1;0;0) THẦY MẪN NGỌC QUANG – QSTUDY.VN N trung điểm CD’ nên N(0;1;1) Gọi phương trình mặt cầu tâm I(a,b,c) qua điểm B, C’, M, N có dạng là: (S):x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = Vì mặt cầu (S) qua điểm B, C’, M, N nên ta có hệ phương trình: 8 − 4a − 4b + d = 6 − 4b + 2a − = 8 − 4b − 4c + d = 8 − 4b − 4c + 2a − =   ⇔  1 − 2a + d =  d = 2a − 2 − 2b − 2c + d = 2 − 2b − 2c + 2a − =  a = 2a − 4b + =  2a − 4b − 4c + =  b = ⇔ ⇔ 2 a − b − c + =   d = 2a − c =   d = 2 35 5 5 1 Bán kính mặt cầu cần tìm R = a + b + c − d =  ÷ +  ÷ +  ÷ − = 2 2 2 2 Thể tích khối cầu qua bốn đỉnh B, C’, M, N là: 4  35  35 35π (đvtt) V = π R = π  ÷ = 3  ÷  Tính: d[ DB ', MN ] = ? Ta có: uuuuu r A ' M = (−1;0 − 2) uuuuu r uuuuu r uuuu r A ' B ' = (0;2;2)  uuuu r  ⇒  A ' B ', MN  = (2;0;2) MN = (−1;1;1)  uuuuu r uuuu r uuuuu r  A ' B ', MN  A ' M = 2( −1) + + 2( −2) =   uuuuu r uuuu r  A ' B ', MN  = 02 + 22 + 22 = 2   Khoảng cách hai đường thẳng A’B’ với MN xác định d[ A ' B '; MN ] uuuuu r uuuu r uuuuu r  A ' B ', MN  A ' M   = = = (đvđd) uuuuu r uuuu r 2  A ' B ', MN    · Câu Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AB = a, AC = 2a , AA' = 2a BAC = 1200 Gọi K trung điểm cạnh CC’ Tính thể tích khối chóp A.A'BK Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A’A 'BK Gọi I trung điểm BB', tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (A’BK) Bài giải: Tính thể tích khối chóp A.A'BK Do CK / / ( AA ' B ) nên ta có: VA A ' BK = VK AA ' B = VC AA ' B = VA ' ABC = S ABC AA ' THẦY MẪN NGỌC QUANG – QSTUDY.VN a2 AB AC sin1200 = 2 a a 15 Vậy VA A ' BK = 2a = 3 Mà S ABC = Tìm tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A'B'BK · Ta chứng minh trung điểm A’B tâm mặt cầu BAA ' = ·A ' KB = ·A ' B ' B = 900 ∆ABC có: BC = AB + AC − AB AC.cos1200 = 7a ( BK = BC + CK = 7a + a ) = 12a A ' K = A ' C '2 + C ' K = 4a + 5a = 9a , A ' B = A ' A2 + AB = 20a + a = 21a Suy A ' B = A ' K + BK ⇒ ∆A ' BK vuông K Ta có ·A ' KB = ·A ' B ' B = 900 ⇒ điểm A’, B, K, B’ nằm mặt cầu đường kính A’B Vậy mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A’B’BK có tâm E trung điểm A’B bán kính R = a 21 A' B = 2 Tính khoảng cách từ I đến mp (A’BK) Vì I trung điểm BB ' ⇒ d ( I , ( A ' BK ) ) = ( Do E trung điểm AB ' ⇒ d B ', ( A ' BK ) Tam giác A’BK có BK ⊥ A ' K ⇒ S A ' BK = ) d ( B ', ( A ' BK ) ) = d ( A, ( A ' BK ) ) 1 A ' K BK = 3a.2a = 3a 2 S A ' BK d ( A, ( A ' BK ) ) 3VA A ' BK a 15 a d ( A, ( A ' BK ) ) = = = S A ' BK 3a Có VA A ' BK = ( ) Vậy d I , ( A ' BK ) = 1a a = Câu Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, góc hai mặt phẳng (SBC) (SAB) 60 Tính thể tích khối chóp S.ABCD bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SBCD Bài giải: Gọi O tâm hình vng ABCD Vì S.ABCD hình chóp nên SO ^ ( ABCD ) Kẻ AM ^ SB ( M Ỵ SB ) AC ^ ( SBD) ⇒ AC ^ SB SB ^ AM Vì ⇒ SB ^ ( AMC ) ⇒ SB ^ CM ⇒ ( ( SAB ) , ( SBC ) ) = ( AM , CM ) = 60o { Vì ∆BOM vng M nên OM < BO = AO Suy ra: tan ·AMO = AO > ⇒ ·AMO > 45O ⇒ ·AMC > 90O MO ·AMO = 120o AO AO a Ta có : tan ·AMO = ⇒ MO ⇒ = o MO tan 60 1 a = + ⇒ SO = Trong tam giác vuông SBO ta có: 2 MO SO BO Vậy THẦY MẪN NGỌC QUANG – QSTUDY.VN Vậy VS ABCD = a3 SO.S ABCD = Trong mặt phẳng (SBD) kẻ trung trực SB căt SO I I Ỵ SO ⇒ IB = IC = ID I thuộc trung trực SB ⇒ IS = IB Vậy I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SBCD 3a a ⇒ SB = Ta có SI SH SB.SH 3a ∆SHI ~ ∆SOB ( gg ) ⇒ = ⇒ SI = = SB SO SO 3a Vậy bán kính mặt cầu R = SB = SO + OB = Câu Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD hình thoi cạnh a , BD = 3a, hình chiếu vng góc B lên mặt phẳng (A’B’C’D’) trung điểm A’C’ biết côsin góc tạo hai mặt phẳng (ABCD) (CDD’C’) 21 tính theo a thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A’BC’D’ Bài giải: *) Áp dụng định lý cosin cho tam giác A’B’D’ suy Do A’B’C’, A’C’D’ tam giác cạnh a Gọi O = A ' C '∩ B 'D' , Ta có BO ⊥ ( A ' B ' C ' D ') Kẻ OH ⊥ A ' B ' H, suy A ' B ' ⊥ (BHO) Do đó( ⇒ BO = HO.tan = Từ cos Vậy VABCD A 'B'C'D' = = A ' O.sin 600 a = a 9a a 3.a sin 600 = Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A’BC’D’ Vì BO = a = A ' C ' nên tam giác A’BC’ vuông B 2 Vì B'D' ⊥ (A'BC') nên B’D’ trực đường tròn ngoại tiếp tam giác A’BC’ Gọi G tâm tam giác A’C’D’ GA’ = GC’ = GD’ GA’ = GB = GC’ nên G tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diên A’BC’D’ mặt cầu có bán kính R = GD’ = 2 3a OD ' = = a 3 Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) góc đường thẳng SC tạo với mặt phẳng (SAB) 300 Gọi M trung điểm SA, (P) mặt phẳng qua M vng góc với SC Mặt phẳng (P) cắt cạnh SB, SC, SD N, E, F Tính theo a thể tích khối chóp S.MNEF bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.MNEF Bài giải: Tính theo a thể tích khối chóp S.MNEF Từ giả thiết ta có: THẦY MẪN NGỌC QUANG – QSTUDY.VN BC ⊥ AB  ·  ⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BSC = 30 BC ⊥ SA  góc SC với mp(SAB) Từ đó: SB = BC.cot 300 = a SA = SB − AB = a SB ⊥ ( P ) E nên thể tích khối chóp S.MNEF xác định bởi: V = S MNEF SE Do SA ⊥ AC SA = AC = a , nên ∆SAC vuông cân A ⇒ ∆SEM vuông cân E ⇒ SE = Ta có: MN ⊥ CS ( SC ⊥ ( P ) ) SM a = 2   ⇒ MN ⊥ ( SBC ) ⇒ MN ⊥ NE , MN ⊥ SB MN ⊥ BC ( BC ⊥ ( SAB ) )  ⇒ S MNE = 1 a a a2 MN NE = = 2 6 24 Hoàn toàn tương tự ta có MF ⊥ EF S MEF = Vậy V = S MNEF SE = a2 a ⇒ S MNEF = 24 12 a3 (đvtt) 72 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.MNEF MN ⊥ SE   ⇒ MN ⊥ ( SNE ) ⇒ MN ⊥ SN Tương tự MF ⊥ SF MN ⊥ NE  Từ ∆SNM, ∆SEM ∆SFM tam giác vuông nhận SM cạnh huyền chung Suy gọi I trung điểm SM I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.MNEF bán kính mặt cẩu R = a SM = · Câu Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ ( ABC ) , ABC = 900 , AB = a, BC = a 3, SA = 2a Chứng minh trung điểm I cạnh SC tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp so sánh S.ABC tính diện tích mặt cầu theo a Bài giải: · Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ ( ABC ) , ABC = 900 , AB = a, BC = a 3, SA = 2a Chứng minh trung điểm I cạnh SC tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC tính diện tích mặt cầu theo a Vì SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ BC Mặt khác theo giả thiết AB ⊥ BC , nên BC ⊥ ( SAB ) BC ⊥ SB ==>IB = IC = IS Ta có tam giác SBC vng đỉnh B; tam giác SAC vuông đỉnh A nên IA = IC = SC = IS = IC ( *) Vậy điểm I cách bốn đỉnh hình chóp, I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Từ (*) ta có bán kính mặt cầu R = SC THẦY MẪN NGỌC QUANG – QSTUDY.VN Ta có AC = AB + BC = 2a SC = SA2 + AC = 2a ⇒ R = a Diện tích mặt cầu 4π R = 8π a Câu 10: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác cạnh a, đỉnh A’ cách A, B, C Góc cạnh bên mặt đáy lăng trụ 600 Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ Xác định tâm tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A’.ABC Bài giải: Xác định góc 600: +Gọi H hình chiếu A’ lên (ABC) suy H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC +AH hình chiếu AA’ lên (ABC), suy Tính thể tích lăng trụ: +∆ABC cạnh a nên Suy ra: Xác định tâm mặt cầu: +Gọi P trung điểm AA’ Kẻ đường trung trực d AA’ (A’AH), d cắt A’H I +I ∊ d => IA’ = IA, I∊ A’H =>IA = IB = IC =>là tâm mặt cầu cần tìm Tính bán kính R: Câu 11 Cho hình chop S.ABCD có ABCD hình bình hành tâm O, AB=2a, AD= 2a ,các cạnh bên 3a Gọi M trung điểm OC Tính theo a thể tích khối chop S.ABMD diện tích hình cầu ngoại tiếp tứ diện SOCD Bài giải: Ta có: SA = SB = SC = SD = 3a  SO ⊥ ( ABCD ) VSOA =VSOB =VSOC =VSOD  OA = OB = OC = OD  ABCD hình chữ nhật  S ABCD = AB AD = 2a.2a = 4a Có: DB = AB + AD = 4a  SO = SB − OB = a 3  VS ABCD = SO.S ABCD = a 5.4a = 4a 15  VS ABMD = VS ABCD = a 15 Gọi G trọng tâm VOCD , VOCD nên G tâm đường tròn ngoại tiếp VOCD Kẻ d qua G song song với SO  d ⊥ ( ABCD ) Trong mp(SOG) dựng đường trung trực SO, cắt d K, cắt SO I Ta có: KI trung trực SO  KO = KS Mà KO = KC = KD  K tâm đường tròn ngoại tiếp tứ diện SOCD Có: GO = CD 2a  a   2a  a 93 = , R = KO = OI + OG =  = ÷ + ÷ 3    3  a 93  31a 2π  Diện tích mặt cầu : S = 4π R = 4π  ÷ =   Câu 12 Cho hình chóp S.ABCD, đáy hình chữ nhật ABCD có AB = a, AD = a , góc mặt phẳng (SAC) mặt phẳng (ABCD) 600, tam giác SAB cân S thuộc mặt phẳng vng góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi H, M trung điểm AB BC Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.DHM Bài giải: THẦY MẪN NGỌC QUANG – QSTUDY.VN Do ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) ∆SAB cân ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) Kẻ HF ⊥ AC góc mặt phẳng (SAC) mặt đáy h , h độ dài đường cao kẻ từ B ∆ABC , 3a AB.BC a a Ta có SH = HF tan 60 = Gọi I, r tâm bán kính đường tròn ngoại tiếp h= = ⇒ HF = AC HM MD.DH ∆DHM ⇒ r = S HMD · SFH = 600 Ta có HF = Kẻ đường thẳng d qua I vng góc với mp(ABCD) (song song với SH) Tâm O mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.DHM giao điểm đường thẳng d với đường trung trực đoạn thẳng SH mặt phẳng (SH) Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.DHM R = OH = OI + HI = uuuur uuur uuuu r r HM = BH + BM = a ⇒ HM = a a MD = CM + CD = a ⇒ MD = 2 13 a 13 HD = AH + AD = a ⇒ HD = 3a S HMD = S ABCD − ( S BHM + SCMD + S ADH ) = HM MD.DH a 91 = Suy r = ( 2) 4.S HMD Từ (1) (2) suy R = 2 SH + r = a +r 64 (1) 91 a 1699 a + a = 64 108 24 Câu 13 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng A, AB = a , AC = a, SA=SB=SC, khoảng cách AB SC 2a Tính theo a a) Thể tích khối chóp S.ABC b) Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC Bài giải: a) Gọi H trung điểm BC ⇒ SH ⊥ ( ABC ) Dựng hình chữ nhật ABCD ⇒ d ( AB; SC ) = d ( B; ( SCD ) ) = 2d ( H ; ( SCD ) ) Gọi E trung điểm CD ⇒ CD ⊥ ( SHE ) Gọi F hình chiếu H lên SE ⇒ HF ⊥ ( SCD ) ⇒ d ( H ; ( SCD ) ) = HF ⇒ HF = Trong ∆HSE có SH = a a3 VS ABC = SH × S ABC = Ta có SH trục ∆ABC a THẦY MẪN NGỌC QUANG – QSTUDY.VN Gọi I trung điểm SC, (SHC) dựng trung trực SC cắt SH K ⇒ K tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC Ta có ∆HSC ~ ∆ISK ⇒ SK = SC 3a ⇒ SK = SH Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC 3a KHƠNG ĐÁP ÁN Câu ( THPT Chuyên Vĩnh Phúc – Lần – Năm học 2012/2013 ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a, mặt bên SAD tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M,N,P trung điểm cạnh SB,BC,CD 1)Chứng minh AM ^ BP tính thể tích khối tứ diện CMNP 2)Xác định tâm tính bán kinh mặt cầu ngồi tiếp hình chóp S.ABCD Câu : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA = SB = a, mặt phằng (SAB) vng góc với mặt phằng (ABCD) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Câu ( THPT Chuyên KHTN Hà Nội – Lần – Năm học 2015/2016 ) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cân A AB = AC = a, ; mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC Câu Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy đường cao a 1) Tính khoảng cách hai đường thẳng AB SC 2) Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD CĨ ĐÁP ÁN Bài 1: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a cạnh bên a Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là: 27 πa 32 27 πa B 32 πa C 27 A THẦY MẪN NGỌC QUANG – QSTUDY.VN D π a2 27 Bài 2: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác có cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc 30 Biết hình chiếu vng góc A’ (ABC) trùng với trung điểm cạnh BC Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A’ABC là: a B a C a a D A Bài 3: Cho hình chóp S ABC có SA ⊥ ( ABC ) , SA = 2a , tam giác ABC cân A , BC = 2a , cos( ACB) = Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là: 97π a 94π a B 97π a C 47π a D A · Bài 4: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AB = a, AC = 2a , AA' = 2a BAC = 1200 Gọi K trung điểm cạnh CC’ Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AA’BK là: a 21 a 21 B a C 27 a 21 D A THẦY MẪN NGỌC QUANG – QSTUDY.VN Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a, mặt bên SAD tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M,N,P trung điểm cạnh SB,BC,CD Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là: a a 21 B a 21 C D a 21 A Bài Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, góc hai mặt phẳng (SBC) (SAB) 600 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SBCD là: a 3a B 3a C 3a D A Bài 7: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD hình thoi cạnh a , BD = 3a, hình chiếu vng góc B lên mặt phẳng (A’B’C’D’) trung điểm A’C’ biết cơsin góc tạo hai mặt phẳng (ABCD) (CDD’C’) 21 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A’BC’D’ là: A 2a B a C 3a a D Bài 8: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông A, AB = a , AC = a, SA=SB=SC, khoảng cách AB SC 2a Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC là: THẦY MẪN NGỌC QUANG – QSTUDY.VN a 3a B a C 3a D A Bài 9: Cho hình chóp S.ABC có hình chiếu đỉnh S lên mặt phẳng (ABC) thuộc miền tam giác ABC Biết AB = 6, AC = 8; BC = 10, góc mặt bên với mặt đáy 600 Bán kính mặt cầu qua đỉnh S tiếp xúc với ba cạnh tam giác ABC là: 3 B C A D 3 LỜI GIẢI Bài 1: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a cạnh bên a Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là: 27 πa 32 27 πa F 32 πa G 27 π a2 H 27 E +) SH trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, mặt phẳng (SAH) kẻ đường trung trực cạnh SA cắt SH I => I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC có bán kính R = IS Hai tam giác vng SMI SHA đồng dạng => SI = +) Diện tích mặt cầu là: S = 4π R = 27 πa SM SA = a SH THẦY MẪN NGỌC QUANG – QSTUDY.VN … Bài 2: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác có cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc 30 Biết hình chiếu vng góc A’ (ABC) trùng với trung điểm cạnh BC Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A’ABC là: a F a G a a H E + Gọi G tâm tam giác ABC, qua G kẻ đt (d) // A’H cắt AA’ E + Gọi F trung điểm AA’, mp(AA’H) kẻ đt trung trực AA’ cắt (d) I => I tâm m/c ngoại tiếp tứ diện A’ABC bán kính R = IA Ta có: Góc AEI 600, EF =1/6.AA’ = a/6 IF = EF.tan600 = R= a AF2 + FI = a 3 A’ E F H A G I Bài 3: Cho hình chóp S ABC có SA ⊥ ( ABC ) , SA = 2a , tam giác ABC cân A , cos( ACB) = Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là: BC = 2a , THẦY MẪN NGỌC QUANG – QSTUDY.VN 97π a 94π a F 97π a G 47π a H E sin A = sin 2C = 2sin C.cos C = 12 = 3 Theo định lý sin tam giác ABC ta có R = BC 9a = sin A Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ta có IA = R Dựng ngoại tiếp tam giác ABC Mặt phẳng trung trực SA cắt trục đường tròn J J tâm mặt cầu ngoại tiếp SABC Gọi r bán kính mặt cầu ngoại tiếp S.ABC r = JA = JB = JS = JC = IA2 + AN = a 97 Diện tích mặt cầu cần tính S = 4π r = 97π a S J A C I M B · Bài 4: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AB = a, AC = 2a , AA' = 2a BAC = 1200 Gọi K trung điểm cạnh CC’ Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AA’BK là: E a 21 THẦY MẪN NGỌC QUANG – QSTUDY.VN a 21 a G 27 a 21 H F ∆ABC có: BC = AB + AC − AB AC cos1200 = 7a ( BK = BC + CK = 7a + a ) = 12a A ' K = A ' C '2 + C ' K = 4a + 5a = 9a , A ' B = A ' A2 + AB = 20a + a = 21a Suy A ' B = A ' K + BK ⇒ ∆A ' BK vuông K Ta có ·A ' BK = ·A ' B ' B = 900 ⇒ điểm A’, B, K, B’ nằm mặt cầu đường kính A’B Vậy mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A’B’BK có tâm E trung điểm A’B bán kính R = a 21 A'B = 2 Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a, mặt bên SAD tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M,N,P trung điểm cạnh SB,BC,CD Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là: a a 21 F a 21 G H a 21 E AC ∩ BD = { O} ⇒ O tâm đường ngoại tiếp hình vngABCD Dựng Ot / / SH Ot trục đường tròn (ABCD) Gọi G trọng tâm ∆SAD mặt phẳng (SH,Ot) dưng Gl / / OH ⇒ Gl trục đường tròn ( SAD ) Gl ∩ Ot = { I } ⇒ I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD 2 a 21 Gọi bán kính mặt cầu R ⇒ R = IS = OH + SG = a +  a ÷ = 3  2 Bài Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, góc hai mặt phẳng (SBC) (SAB) 600 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SBCD là: E a THẦY MẪN NGỌC QUANG – QSTUDY.VN 3a 3a G 3a H F Trong mặt phẳng (SBD) kẻ trung trực SB căt SO I I Î SO ⇒ IB = IC = ID I thuộc trung trực SB ⇒ IS = IB Vậy I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SBCD 3a a ⇒ SB = Ta có SI SH SB.SH 3a ∆SHI ~ ∆SOB ( gg ) ⇒ = ⇒ SI = = SB SO SO SB = SO + OB = Vậy bán kính mặt cầu R = 3a Bài 7: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD hình thoi cạnh a , BD = 3a, hình chiếu vng góc B lên mặt phẳng (A’B’C’D’) trung điểm A’C’ biết cơsin góc tạo hai mặt phẳng (ABCD) (CDD’C’) 21 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A’BC’D’ là: E 2a F a G 3a a H Vì BO = a = A ' C ' nên tam giác A’BC’ vng b B'D' ⊥ (A'BC') nên B’D’ trực đường tròn ngoại tiếp 2 tam giác A’BC’ Gọi G tâm tam giác A’C’D’ GA’ = GC’ = GD’ GA’ = GB =GC’ nên G tâm 2 3a mặt cầu ngoại tiếp tứ diên A’BC’D’ mặt cầu có bán kính R = GD’ = OD ' = = a 3 THẦY MẪN NGỌC QUANG – QSTUDY.VN Bài 8: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng A, AB = a , AC = a, SA=SB=SC, khoảng cách AB SC 2a Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC là: a 3a F a G 3a H E b) Ta có SH trục ∆ABC Gọi I trung điểm SC, (SHC) dựng trung trực SC cắt SH K ⇒ K tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC SC 3a ∆ HSC ~ ∆ ISK ⇒ SK = ⇒ SK = Ta có SH Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC 3a Bài 9: Cho hình chóp S.ABC có hình chiếu đỉnh S lên mặt phẳng (ABC) thuộc miền tam giác ABC Biết AB = 6, AC = 8; BC = 10, góc mặt bên với mặt đáy 600 Bán kính mặt cầu qua đỉnh S tiếp xúc với ba cạnh tam giác ABC là: 3 F G E H 3 Gọi I tâm mặt cầu qua đỉnh S tiếp xúc với ba cạnh tam giác ABC Khi ta phải có IM=IN=IP=IS, suy I giao điểm SM với đường trung trực cạnh SM ΔSMO, hay I trọng tâm tam giác SMM’ với M’ đối xứng M qua O Từ bán kính mặt cầu cần tìm IM = 2OM = 3 THẦY MẪN NGỌC QUANG – QSTUDY.VN ... = S ABCD − ( S BHM + SCMD + S ADH ) = HM MD.DH a 91 = Suy r = ( 2) 4.S HMD Từ (1) (2) suy R = 2 SH + r = a +r 64 (1) 91 a 1699 a + a = 64 108 24 Câu 13 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông... cắt A’H I +I ∊ d => IA’ = IA, I∊ A’H =>IA = IB = IC =>là tâm mặt cầu cần tìm Tính bán kính R: Câu 11 Cho hình chop S.ABCD có ABCD hình bình hành tâm O, AB=2a, AD= 2a ,các cạnh bên 3a Gọi M trung
- Xem thêm -

Xem thêm: bài tập trắc nghiệm về mặt cầu, bài tập trắc nghiệm về mặt cầu

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn

Nhận lời giải ngay chưa đến 10 phút Đăng bài tập ngay