CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

63 7 0
  • Loading ...
1/63 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 22/09/2018, 19:55

CHUN ĐỀ TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Khi cần tìm ngun hàm tính tích phân hàm số mà tích x x loại hàm khác (ví dụ x.sinx , x.e , x.lnx , sinx.e )một bên hàm đa thức , bên hàm mũ , ln , lượng giác người ta nghĩ đến dùng tích phân phần b F =� udv = uv - a I =� udv = uv b �vdu a b �vdu a Việc quan trọng giải toán ta cần phải xác định u dv cho hiệu Sau ta tìm lại du u Kinh nghiệm xử lý ? Câu quyết: “Nhất log nhì đa tam lượng tứ mũ” Đầu tiên ta ưu tiên hàm sin , cos , e mũ ,ln trước , có hàm ta thường đặt sau dx  du sinx.dx  du ; e dx  du ; cos x x DÙNG KỸ THUẬT TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Bài 1: Tìm nguyên hàm hàm số sau: a) y  xex ; b) y  x ln x c) y  x.ln x; d) x y  x sin Lời giải: xe a � dx  xex  � exdx  xex  ex  C x x2 x2 x2 x2 x ln xdx  ln x  � dx  ln x  C � 2 x b c �x lnxdx  23 3 x x ln x  �x dx  x ln x  C 3 x x x x x x x sin dx  x cos  �cos dx  x cos  sin  C � 3 3 3 3 d Bài 2: Tìm nguyên hàm: a) x e dx; � c) x ln(2x)dx; � x b) 3x cos2xdx � Lời giải: x e dx  x e  � 2xe dx  x e a � x x x    �x sin2x sin2x � �x sin2x cos2x � � dx � 3�  � C 2 � � � x3 ln2xdx  � x4 x4 x4 x4 ln 2x  � dx  ln 2x  4 2x 16     Bài 3: Tìm nguyên hàm: ex cosxdx; a) � ex sinxdx; b) � ex sin2xdx c) � d) sin(ln x)dx � Lời giải: a Ta có:    I � ex cosxdx  ex cosx  � ex sin xdx       ex cosx  ex sin x  � ex cosxdx  ex sin x  cosx  I Suy I   ex sin x  cosx    xex  � exdx  x2ex  xex  ex  C 3x cos2xdx  3� � � b c x b Ta có:    I � ex sin xdx  ex sin x  � ex cosxdx   ex sin x  ex cosx  � ex sin xdx Suy c I    I � ex sin2xdx  ex sin2x  2� ex cos2xdx  ex sin2x  ex cos2x  2� ex sin2xdx   I  ex sin2x  ex cos2x  2I � I  Suy d  ex sin x  cosx   I � sin ln x dx x sin2x  2ex cos2x t I � et sintdt t  ln x � dt e  dx Đặt Khi Ta đưa tốn câu b Bài : Tìm nguyên hàm hàm số sau: a) y  x3(x4  1)2; c) b) 18tan2 x ; (1  tan3 x)2 cos2 x y y 9x2  x3 ; d) y   sin (x  1).sin(x  1)cos(x  1) Lời giải:   x4  4 x x  dx  � x  dx  C � 12 a   9x2 b �1  x dx    3dx3 �1  x   3� 1 x  1  dx  6  x 3  C  18tan2 x �   tan x c  � 2 cos x dx   1 t  6  1 t  dt 18tan2 x �   tan x 1 C  1  �18t  d tan x  2  1 t  dt 6 C  tan3 x Bài : Tìm nguyên hàm hàm số sau: a) y  x2 cosx; b) y  x2ex ; c) y  x3ex d) y  ex cosx; Lời giải: x cosxdx  x a � 2  sin x  � 2x cosxdx  x2 sin x  x sin x  � sin xdx     x2 sin x  x sin x  cosx  C b x e dx  x e  � 2xe dx  x e � c x e dx  x e  � 3x e dx  x e � x x x x x d Ta có:  x x x      xex  � exdx  x2ex  xex  ex  C    3� x2ex  xex  ex � C � �   I  � ex cosxdx   � ex cosxdx � I  ex cosx  � ex sin xdx       ex cosx  ex sin x  � ex cosxdx  ex sin x  cosx  I e cosxdx   � x Suy  ex sin x  cosx  Bài : Tìm nguyên hàm: e 7x  4dx; a) � c) x tan � xdx; b) ln(x  x )dx � Lời giải: a e 7x  4dx  � e 7x  21   C  2x  2x dx  x ln x  x  dx � 1 x ln  x  x  dx  x ln  x  x   � x � xx b 2   � �  x ln x  x2  � 2 dx x ln x  x2  2x  ln x   C � � � 1 x �  c        x tan2 xdx  x tan x  x  � tan x  x dx  x tan x  ln cosx  � x2 C Bài : Tính tích phân sau: x x � a)   3dx; (3x  2) dx; � b) c) 1 Lời giải: a x x2  3dx  � 1  3x  2 � b �2 x2  3dx2  2� x2  � �3 21 �   3x  2 dx  dx  �  cosx c �2 �1 � �   15 1   1042 1   x2 dx  tan 1 � 20 2x 2cos Bài 8: Tính tích phân sau:  a) (2x  1)cosxdx; �  b) x sinxdx; �  78 dx �  cosx x ln(1  x )dx � c) e x2 ln xdx; � d) xe dx � x e) Lời giải: a    0 x cosxdx  � cosxdx  2I  2x  1 cosxdx  2� �  Ta có:  I � x cosxdx  x sin x    � sin xdx  1  1  �2 �  x sin xdx   x cos x  x cos xdx    x sin x  x sin xdx � � � � � � � 0 0 � � b    2  � �   3  6� x cosx  � cosxdx � 3    � � � �  c           1� x ln  x dx  � ln  x2 d  x2  �1  x2 ln  x2 � 20 2�    1 x  � ln4  � 0� e e x3 x e3 � e3 � 2e3  x ln xdx  ln x  dx    � � � � 3x �9 9� 1 d e e 1   xexdx  xex  � exdx  e  e   � 0 TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN VỚI HÀM LƯỢNG GIÁC Câu Tìm họ nguyên hàm : I =� x(x2 + sin2x)dx I =� x(x2 + sin2x)dx = � x3.dx + � x.sin2xdx = x +� x.sin2xdx � du = dx � � u=x � � �� � J =� x.sin2xdx � � dv = sin2xdx v = - cos2x � � � � Xét Đặt 1 x.cos2x + � cos2xdx = - xc os2x + sin2x 2 J =- , phần lại u = x Từ việc đặt ta Nhận xét : Ở người ta đặt dv = sin2xdx � du = dx � � � � v = - cos2x � � tìm �  Câu Tính tích phân +    0 I � ( x sin x  x) dx  � x sin xdx  � xdx  + I � ( x sin x  x)dx xdx  � x   2  � x sin xdx  x( cos x)   � cos xdx   I     2 Nhận xét : Ở người ta đặt sin xdx  du , phần lại u = x Từ việc đặt ta tìm � du = dx � � � v = - cosx �  Câu Tính tích phân:  � I� 2sin2x  cosxln 1 sinx � dx � �  I1  � 2sin2xdx   cos2x 02     I2  � cosxln 1 sinx dx   1 sinx ln 1 sinx  � cosxdx   2ln2  0 Vậy I  2ln2  Nhận xét : Ở người ta đặt dv  cos xdx , phần lại u = ln(1 + sinx) Từ việc đặt ta � v = (1+ sinx) � � � � � du = cosx dx � � (1 + sinx) � tìm Kinh nghiệm tốn có ln ta đặt u = ln dv phần lại  Câu Tính tích phân:  ( x  sinx)dx I � cos x  ( x  s inx )dx x s in x I� � (  ) dx  I1  I 2 cos x cos x cos x 0  1 I   � dcosx  cos x cosx   � xu �dx  du � �� � dx v  tan x  dv � � cos x � Đặt Suy I1 =   x.tan x  � tan xdx    ln Vậy I= 1+     ln cos x 03   ln 3 Nhận xét : Ở người ta đặt dv  dx cos x , phần lại u  x Từ việc đặt ta tìm �dx  du dx dx �� dv  v  tan x Kinh nghiệm tốn có cos x ta đặt � cos x u phần lại Câu Tính tích phân sau Tính Tính Đặt Vậy Nhận xét : Ở người ta đặt sin xdx  dv , phần lại u = x Từ việc đặt ta tìm � du = dx � � � v = - cosx � Bài toán họ cho toán lắp ghép hai dạng toán , bên đổi   2x dx x.sin xdx � � x2  0 biến bên tích phân phần Kinh nghiệm xử lý toán ta tách để giải theo hai hướng riêng biệt  Câu Tính tích phân I =  I=  x2 xdx  � xdx   1)dx  � x dx  � xdx x cos x 0   x( � cos x tan �  2 32 ux � du  dx � � dx � � � v  tan x dv  � � cos x Đặt �  x dx  I1 � cos x  I1 =  x tan x  � tanxdx   ln cos x Vậy  2  ln  32 I=  Nhận xét : Ở người ta đặt dv      ln dx cos x , phần lại u  x Từ việc đặt ta tìm �dx  du dx dx �� dv  v  tan x � cos x u phần lại Ở Kinh nghiệm tốn có cos x ta đặt dx khác chưa suất cos x , ta phải biến đổi trước Tuy nhiên kỹ thuật quen Chỉ cần giải nhiều tập em có phản xạ tốt  Câu Tính tích phân I�  x  3 sin xdx Đặt u = x-3, dv = sinx Suy du = dx, v = cosx Khi = I    x  cos x   � cos xdx   x  cos x   sin x   2  Câu Tính tích phân: x  x  sinx  dx �     0 0 I� x dx  � x s inxdx  � x dx  � xd (cos x) e e e e x4 e4 I � x ln xdx  ln x  � x ln xdx   � x ln xdx 21 21 1 Vậy e * Tính Đặt I1  � x ln xdx u  ln x � du  dx d ; dv  x dx chọn v x4 e e e �e x � e e 3e  x4 I1  ln x  � x dx  �  �     41 16 16 16 �4 16 � 1 Vậy e * Do đó: Suy I � x ln xdx  a e 3e  5e    32 32 ;b   � A  28 32 32  I � x tan xdx  a  b2  cln 2 Tính A  24a  64b  12c Bài 27 Cho tích phân Chọn đáp án đúng: A.14 B.32 C.16 D.28 Giải Ta có:     0 0 I � x tan xdx  � x� tan x   1� x  tan x  1 dx  � xdx � �dx  �  * Tính I1  � x  tan x  1 dx ux � du  dx � � �� � dv   tan x  1 dx � v  tan x Đặt �  Do đó:  I1  � x  tan x  1 dx  x tan x  � tan xdx    d  cos x     �   ln  cos x  04   ln cos x 4  * Tính x2 I2  � xdx   Vậy  I � x tan xdx    2 32  2  ln  32 1 a  ;b   ;c  1� A  24a 64b  12c  16 32 suy Bài 28 Cho I � ln  x  1 dx = aln3 bln2  c Tính Mơ đun số phức z  a  b  ci Chọn đáp án đúng: A C B.3 D Giải Đặt u  ln   x  � du  dx 1 x ; dv  dx � v  x  (cộng vế rút gọn bước sau) 2   x  dx I � ln   x  dx    x  ln   x   �  �  x ln  x  x �  3ln  ln       x   � � 1 Vậy Suy a  3;b  2;c  1� z   a b c e3 � �1 I� dx �2  � ln x ln x � ae3  b � e Bài 29 Cho = Tính A  9a 5b Chọn đáp án đúng: A.1 B.2 C.3 D.4 Giải e3 Tính dx I2  � ln x e Đặt e3 e3 u dx � du  ln x x ln x ; dv  dx � v  x e3 dx x dx � I2  �   �2 ln x e e ln x e ln x e3 Vậy e3 e3 e3 � dx x dx �1 I� dx  �2   �2 �2  � ln x ln x � ln x e e ln x e � e ln x e3 e3 � x � I �    e � ln x � � e ; a   ;b  1� A  Suy Bài 30.Cho I� xsinxcos2 xdx ( với f  x nguyên hàm I ) f    Chọn đáp án đúng:  A  B  C   D  Giải �du  dx ux � � �� � cos3 x v �dv  sin x cos xdx � � Đặt x x I   cos3 x  � cos3 xdx   cos3 x  �  cos3x  3cosx dx  3 3 x �sin3x �   cos3 x  �  3sinx � C 12 � � f    0� C    Câu 31 Tìm hàm số f  x biết f ' x  2x  xcosx  sinx Chọn đáp án đúng: A f  x   x  cos x  x sin x  cos x f  0  Giá trị C là: B f  x   x  cos x  x sin x  cos x C f  x   x  cos x  x sin x  cos x  D f  x   x  cos x  x sin x  cos x  +1 Ta có: f  x  �  2x  xcosx  sinxdx  x2  cosx  K Với Đặt K � xcosxdx � ux �du  dx �� � dv  cos xdx � v  sin x �  � K  x sin x  � sin xdx x sin x  cos x � f  x   x  cos x  x sin x  cos x  C Mà f  0  � C   Cho tích phân I = x( x  sin x)dx  a �  b     x3 3 I � x  x sinx dx   x sin xdx  � x sin xdx   � 3 0 0  I1  � x sin xdx Tính � ux � du  dx �� � dv  sin xdx � v   cos x Đặt �    � I1   x cos x  � cos xdx   sinx   � I1     Câu 32 Cho tích phân I � x (1  sin x)dx  2 a b Tính A  4a b Chọn đáp án đúng: A.0 B.2 C.1 D.3   0 I � xdx  � x sin xdx Ta có  Tính I1  � xdx  (1)  2 x  32 (2)  I2  � x sin xdx Tính Đặt u = x; dv  sin 2xdx Khi du = dx; Theo cơng thức tích phân phần ta có   cos x cos x 4 cos x sin x I2  x � dx   0 4 Từ (1), (2) (3) suy v I (3)   8   � a  8; b  32 � A  32 32 2  Câu 33 Tính tích phân  Ta có: Đặt x sin x  sin x I� dx cos x  x sin x sin x I  � dx  � dx cos x cos x 0   I1 : � Đặt u  x � du  dx; v  cos x sin x sin x I1  � dx; I  � dx cos x cos x 0 + Tính � I1  sinx dx   � cos 2 xd (cos x)  x cos x   x dx x 1  sin x �   ln cos x 0 cos x cos x  sin x  + Tính  d (cos x) I  2 � cos x  2 ln cos x   2 ln  2 2  ln 2 ln I I 2 2 Vậy I = + =   2  2  ln 2 I �  x   sin 3xdx   Câu 34 Tính nguyên hàm A  a  27b  x   cos x  b sin 3x  C a Tính Chọn đáp án đúng: A.6 B.14 C.34 D.22 u  x2 � � dv  sin 3xdx Đặt � �du  dx � � cos 3x v � Ta � Do đó:  I   x   cos x  cos xdx 3�  x   cos 3x  sin 3x  C � a  3; b  � A  Câu 35 Tính tích phân  a b I � x cos xdx  � 3sin x cos xdx , biết sina cosa  sina.cosa  Chọn đáp án đúng: A.18 B.16 C.34   A� 3sin x cos xdx  � 3sin xd  sin x    sin x  *) Xét:  *) Xét B� x cos xdx 0 D.3   sin a  sin b ux � �du  dx �� � v  sinx Đặt �dv  cos xdx �    0 � B   x.sin x   � sin xdx   x.sin x    cos x    2 I  2  sin3 a sin3 b  2  sina  sinb  3sinasinb sina sinb  34  e Câu 36 Tính tích phân sau: I � x ln x   x  1 e e 2e3  I1  � x ln xdx    I2  � x x3  1 2  dx e dx   1 e9  3e6  5e3 I 1 x  ln(3 x  1) b � �a I � dx  �  dx   ln � � ( x  1) 3x  x  � � 0 Câu 37 Cho tích phân Tính A  a  b Chọn đáp án đúng: A.0 B.2 Ta có: C.3 3x ln(3 x  1) I � dx  � dx 2 ( x  1) ( x  1) 0 3dx dv  dx �v   ( x  1) 3x  ; x 1 Đặt u  ln(3 x  1) Áp dụng cơng thức tích phân phần ta có � du  1 3x 2ln(3 x  1) dx I � dx   6� ( x  1) x 1 (3x  1)( x  1) 0 1 �3 � � �9 �  dx  ln   dx � � � � � x  ( x  1) � 3x  x  � 0� 0� D.4 3ln x   = Nháp: 1 a 9 � 3 � 3 � �9 �  ln  �  dx    ln   dx � � � � � � � b3 x 1 3x  x  � 3x  x  � � 0� 0� 1 dx b � � a 6�  6�  � �dx (3 x  1)( x  1) x  x  � � Tìm a,b Ta có: 0 a x  1  b 3x  1  1 � x  1� b   1 � � dx � �   � � � � �2 3x  1 2 x  1 (3x  1)(x  1) 0� � x  � a  b  1� a  � � a  9;b   x  1 � dx � � � ax2  I= � ln  x  1 dx  a  b ln y :  C x 1 bx2 Câu 38 Cho tích phân hàm số  a,b �0 Tiệm cận ngang đồ thị hàm số  C là? Chọn đáp án đúng: A y  B y  C y  D y *  x  1 I= � 1 ln  x  1 dx ln  x  1 dx  � x ln  x  1 dx  � 0 x 1 x 1 A� x ln  x  1 dx dx x  x2  dv  xdx � v  Đặt u  ln  x  1 � du  �x  � 1 A  4� ln  x  1  �  x  1 dx � �2 � � �x � �  4�  �  x� � 1 � � �2 �0 ln  x  1 dx x 1 B� ln  x  1 � ln  x  1 d  ln  x  1   1  ln 2 Vậy : 1 I   ln 2 � a  1;b  2 a x  a  � TCN : y  Limy  b b x ��� e Câu 39 Cho tích phân : Chọn đáp án đúng: A B C D ln alna ln alna ln lna ln lna I � ln x   a ln x  K � dx   x ln x  1 Tính A      e e e e 1 ln xdx  x ln x  � xd ln x  e  � dx    � 1 e d  x ln x  1 e ln x  dx  �  ln x ln x  1  ln a ln a    � x ln x  x ln x  1 e A  1 ln alna    ln alna  e Câu 40 Cho tích phân � ln x �  e2 � b �1 I � x�2  dx  a ln � �  c � x  x3 � �2 �e � Tính Chọn đáp án đúng: A.27 B.35 e C.41 e D.52 e ln x � xdx ln xdx �1 I � x�2  � dx  �2 � x 1 x � x 1 x � e e xdx d  x  1 I1  �2  �2  ln  x  1 x 1 x 1 e 1 1 e � ln  � ln  e  ln   � 2� e  e e ln x 1 1 e I  �2 dx  ln x  �2 dx     1 x x x e x1 e 1 1 e � I  I1  I  ln 2    � a  ; b  2; c  � A  41 e e a( x  1) ln x I � dx, a �0 x Câu 41.Tính tích phân Chọn đáp án đúng:  e   2a A e   2a B e   2a C   A  a3  b2  c e   2a D e e e a( x  1) ln x a ln x I � dx � x ln xdx  � dx x x 1 +) Ta có: = e e a ln x dx � a ln xd  ln x  � x 1 Xét A= = �a  ln x  �e a � � � �1 � =� e x ln xdx � Xét B= dx � du  � � x � u  ln x � x � � v dv  xdx � Đặt �  �x �e e x �x �e �x �e e ln x  dx ln x � � � � � � � 12 2 � � � �1 �4 �1 = +  B= = e   2a Vậy I= I  Câu 42 Tính tích phân a  x  a e dx � x Chọn đáp án đúng: A a  e  B  a  e  a C a  e  a a � � u  x a du  dx � � �� � x dv  e dx v  ex � � Đặt   a a   a I  x  a ex  � exdx  x  a  ex  ea  a  0 a Câu 43.Tính tích phân: Chọn đáp án đúng: I� (a  x)exdx D a  e  a A a  e  a B 2a  e  a C  a  2e  a D  a  2e  a uax � � dv  e x dx ta có Đặt � I  ( a  x )e Suy ra: x a du   dx � � x ve � a � e x dx a a 0  ( a  x )e x  e x   a  e a  �a � I � x �  ex � dx 1 x � � Câu 44 Tính tích phân Chọn đáp án đúng: a  ln 2 A 1 a  ln B 2 C 1 aln2 ax I  �2 dx  � xexdx x 1 0 + ax a a I1  �2 dx  ln  x  1  ln 2 x 1 + Tính 1 + Tính 1 I2  � xe x dx  xe x  � e x dx  0 a  ln D + Tính đáp số I  1 a ln 2 Câu 45 Tính tích phân I �  a  x   b  e2 x  dx  1  e 4 Tính A 15 ab a b Chọn đáp án đúng: A.27 Đặt B.30 C.16 D.45 �du   dx � � v  bx  e x � => � u  ax � � dv  (b  e x )dx � � x �1 � 2x � I   a  x � bx  e �  � bx  e � dx � � �0 � � b � �1 �2 1 � x �1 �bx x �1 �   a  x � bx  e �  �  e �  � ab  b  a   � �  a  1  � e   e 2 � �2 4� 4 � �0 �2 �0 � b 1 � ab  b  a    � � 2 4 �a  �� �� b2 � �1  a  1   �2 4 Vậy A  45 � I � x3  x � e x dx  a  be, b �0 � � Câu 46 Tính tích phân 3 Tính A  a  b Chọn đáp án đúng: A.257 B.316 Ta có: C.124 � � I � x3  x � e x dx  � x  1� e x xdx � � � � 0 Đặt t  x � dt  xdx x  � t  ; x  � t  D.173 Ta I �  4t  1 et dt u  4t  �du  4dt � �� t � t dv  e dt ve � Đặt � � I   4t  1 e  3e   4et t  4� et dt   e � a  5; b  1 � A  124  � �x I � x� e  dx � x 1 � � Câu 47 Tính tích phân Chọn đáp án đúng: A     ln B     ln  C     ln  D     ln x I � x.e dx  � dx x 1 0 1 x Ta có 1 1 xe x dx  � xde x  xe x  � e x dx  e  e x  � 0 0 1 x  � � dx   � �dx    x   ln x       ln � � x  x  � � 0 Do I   a   ln ... e dx , phần lại u = x Từ việc đặt ta tìm du  dx � �� �v  sin x Bài toán họ cho toán lắp ghép hai dạng toán , bên đổi 2x dx xe x dx � � biến x  bên tích phân phần TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN VỚI...  � sin xdx   x.sin x    cos x    2 Vậy I  A  B  2 TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN VỚI HÀM  1  x � ln I Câu 17 Tính tích phân: 1 x � ln I e ln e x dx  dx  ln  �xe dx ln x x �xe dx... Câu 26 Tính tích phân I � x ln xdx �1 � �x dx  u '  x  dx ln x  u x   � � �� �3 �x  v '  x  � v  x   x4 � Đặt e e e 1 e4 3e  I  x ln x  �x dx   x  4 x 16 16 1 Câu 27 Tính tích
- Xem thêm -

Xem thêm: CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN, CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn

Nhận lời giải ngay chưa đến 10 phút Đăng bài tập ngay