dùng kĩ thuật lấy vi phân hoặc đổi biến

33 4 0
  • Loading ...
1/33 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 22/09/2018, 19:55

ĐỔI BIẾN Dùng kỹ thuật lấy vi phân đổi biến Các em nhớ công thức vi phân sau du  u 'dx u hàm hợp x Bài 1: Tìm nguyên hàm hàm số sau: a) y  sinx 2cosx  1; b) sinx cos2 x y Lời giải: a sin x �  2cosx  1dx   �2cosx  1d cosx  Cách : Đặt t  cosx � dt  d(cosx)   sinxdx    �2t  1dt   �2t  dt   3 1 2t   C   2cosx   C 3     Cách : Nếu giải phương pháp lấy vi phân ta làm sau    sin x 2cosx  1dx   �2cosx  1d cosx   � (2cosx  1)2d cosx �  (2cosx  1)    (2cosx  1)  C 3 2 Trong toán ta áp dụng công thức : d(cosx) = -sinxdx Khi (cosx) ẩn ta sử dụng cơng thức tổng quát với ẩn (aX  b) dx  � sinx (2cosx  1)2dx � (aX  b) 1 C a  1 X toán cosx dx  � d  cosx  � cos x cos x theo công thức tổng quát b Cách : Đặt t  cosx � dt  d(cosx)   sinxdx dt 1   �2   C  C t cosx t Cách : Nếu giải phương pháp lấy vi phân ta làm sau d cosx  �  C cos x cosx Qua ví dụ ta thấy việc đổi biến (đặt ẩn phụ) việc lấy vi phân không khác hướng giải , khác biểu diễn mà , em khơng quen nhìn vi phân em đặt ẩn phụ , quen lấy vi phân tốn chun nghiệp Bài 3: Tìm nguyên hàm: (bằng phương pháp đặt ẩn phụ) a) 2x � c) � (3x x2  1dx; x dx;  9)4 F � 2x x2  1dx  Đặt F   3x b � F  c    1d x2     �x  � (3x   3 x  C x dx  9)4 2 Đặt t  x � 2xdx  dt    1d x3  t  x3  �tdt   2 t  C  x2   C 3 x3  1dx  Đặt �x t  x2  �tdt  3x � d) dx � x  4x  x3  1dx 2x  Lời giải: a b) F  dt �   3t   3t  9 dt   30 5 C 2x  dx � d x  4x  2 Đặt t  x  4x  � dt  (2x  4)dx F  ln t  C  ln x2  4x   C Bài : Tìm nguyên hàm: (bằng phương pháp đặt ẩn phụ) a) 1 x � dx Đặt u   x �  du  dx  1 x u10  x dx  u  du   u du   C       � � � 10 10 b) Đặt 2 x  1 x  � x  1 x  � c) cos � 5 du 32 u2 dx  � u  � u du   C    x2   C 2 5 Đặt u  cos x �  du  sin xdx cos3 x sin xdx   � u 3du   � d) C du  xdx x sin xdx lnex 10 dx u   x2 � 2  ln x u4 cos x C   C 4 dx  � dx �  x ln x  x lnx u   x ln x � du    ln x  dx Đặt ln ex Vậy du dx  � �  x ln x u  ln u  C  ln  x ln x  C  sin x  cos x  �sin x  cos x dx e) � 3u du   cos x  sin x  dx 3 Đặt u  sinx  cosx � u  sin x  cos x Vậy  sin x  cos x  dx  �sin x  cos x 3u du u2  udu  C �u � Bài : Tìm nguyên hàm hàm số sau: (Dùng vi phân) a) x3 ; (6x4  5)5 y �  6x x  5 dx  �  4x  6x  5 dx  �   6x   6x  dx4  5 4 4.6.(4)  6x C    5 96 4 C Bình luận : Ở toán ta áp dụng vi phân : dx  4x dx Mục dích giảm bớt việc đặt ẩn phụ Sau biến đổi vi phân ta biến , toán biến x mà lúc x4 biến Khi ta coi x4 biến tốn , áp dụng cơng thức tổng quát (aX  b) dx  � (aX  b) 1 C a  1 X x4 Bài : Tìm nguyên hàm: (Dùng vi phân) etanx dx; a) � cos2 x ex dx b) �  ex c) dx; � x ln x Lời giải: d) x2  2xe � dx dx etan x d tan x  dx  � etan xd tan x  etanx  C � cos2 x a cos x ta dùng công thức vi phân   d ex ex dx   � x  ln ex   C � x 1 e b  e ta dùng công thức vi phân     d ex  exdx   d ln x 1 dx   ln ln x  C d ln x  dx � � ln x x c x ln x ta dùng công thức vi phân x2  2xe d �    dx  � ex  4d x2  ex 4  C sin4 x cosxdx  � sin4 xd sin x  � b d sin x  cosxdx ta dùng công thức vi phân    d x2  2xdx sin5 x C ta dùng công thức vi phân ex dt dx   ln t   C � x x x t 1 c e  ta dùng công thức vi phân de  e dx   CÁC CÔNG THỨC CẦN NHỚ KHI ÁP DỤNG VI PHÂN Đôi đổi biết khiến ta thời gian , nhiều cần áp dụng công thức vi phân vào tốn dơn giản : Nhớ cơng thức vi phân sau : 1)d  cos x    sin xdx 1')d  cos ax   a.sin axdx 2) d  sin x   cos x.dx ') d  sin ax   a cos ax.dx 3) d  tan   dx cos x  dx 4)d  cot   sin x 3')d  tan ax   5)d  e x   e x dx 5')d  eax   aeax dx a.dx cos ax  adx ')d  cot ax   sin ax 6)d  ln   dx x ') d  lnax   dx x 7) d  x a   a.x a 1.dx ')d  a.x+b   a.  ax+b   a 1 dx ĐỔI BIẾN : DẠNG VÔ TỈ Kinh nghiệm giải tốn tích phân có ta thường đổi biết t , sau biểu diễn biểu thức x theo t , đồng thời đổi dx theo dt , toán trở toán biến t Câu : Cho I � x x  3dx  x  3 a b C Tính S  logb a  loga b  2016 ? Chọn đáp án đúng: A.2018 B.2020 C.2025 D.2030 Giải: 2 Đặt t  x  � t  x  � 2tdt  2xdx � xdx  tdt Suy Vậy I � t.tdt  � t dt  t3 ( x  3)3 C  C 3 S  log32 3 log3 3 2016  2018 Bình luận : có x  ta tìm cách đặt t  x  Tiếp ta biến đổi phần lại theo t , kể dx biểu diễn theo dt xdx  tdt dx I �  2x   ln 2x   Câu Cho   n 2x    C Tính S  Sin( Chọn đáp án đúng: A B C D 1 n. ) Chọn C Đặt t  2x  � t  2x  � tdt  dx � � tdt �I � � 1 dt  t  ln t   C � � t � t �  2x   ln  Vậy n =  2x    C S  Sin( n. )1 2x  ta đặt t  2x  , sau thói quen , ta biểu diễn Bình luận : việc suất dx theo dt : tdt  dx Câu Cho I =� x 3x2 + 1dx = A.4 a ( 3x B.9 ) b + +C Giá trị a b là: C.3 D.4 Chọn B t  3x  � 2tdt  xdx � tdt  xdx Đặt 2 I � t dt  t  31 9 I 1 t dt  t  C  � 9  3x  1  C Vậy a=9;b=3 Bình luận : việc suất 3x  ta đặt t  3x  , sau thói quen , ta biểu diễn dx theo dt Câu 9: Cho 12 A 79 A� x  x dx  at  bt  ct  C , với t   x Tính A  a  b  c 95 B 103 22 48 C 105 D 109 Chọn C Đặt t  x  � x  t  � xdx  tdt A�  t  1 t dt  � t  2t  t  dt  � a b c  Câu 10 Cho   �sin t t3  t   C � a  ;b   ;c  22 105   sin x 15 dx  ln a   ln b  2   A   a b Tín x  cos x 2 A.30 B.24 C.36 D.75 Chọn D Đặt t   cos x � t   cos x � 2tdt   sin xdx x   �t  ;x  �t 1 2 1 �1 � 2tdt 1�� C� � dt  �  2� dt � 3 �2 � 2 � � �t  t � �   t  1 � t  t   � �   2 �1 � t  1� �  2� � ln  � ln � 3 � 2� 2 � � � t t� � � 2   ln     ln   2        1  1 1 � a  7; b  3 I Câu 11 Cho  x2 11 dx  a  ln b  ln  a b  3 � x Tính A.0 B.1 C.2 D.3 Chọn A 2 Đặt t   x � t   x � tdt  xdx x :1 � t : � Khi  x2 I  � xdx  x t tdt  � t 1 2 t 11 �t  dt  2 � 1 � � � t 2 � dt � 1 � 2 � �1 � � � t 1 � � 1 �  t  ln � �    ln � �dt  � �t  t  � � � t  �2 2� � a   2; b   �     ln 11  a  b  3  2 Bình luận : Việc suất  x ta đặt t   x , ta tiếp tục công việc biểu diễn  x2  x2  x x x2 dồn ẩn t , có xdx = tdt Kinh nghiệm cho thấy có bậc ta đặt biến t kiên trì biến đổi giải toán �2  a � dx I �  ln � �1  b � � x2  4x  � � Tính A  a b Câu 12 Cho Biết Chọn đáp án đúng: A B C D Chọn C Đặt t  x   x  x 1  x  � � � dt  �  dx  dx  t �  x  1  x  3 �2 x  x  � Và x : � t :1  �  Khi đó: Câu 13 Cho tích phân A.0 I � (4  a B.1 Chọn A 2 x2 I � 4dx  � dx  x a a Ta có x2 1 x I4  )dx  28 C.- 2 dx  x  1  x  3 dt �t  ln t 1 2 1 � dx  x  1  x    2dt t �2  �  ln � �1  � �� a  2; b  � � Giá trị a là: (biết a có giá trị nguyên) D x2 B� dx  x  t �  x  t � x dx  tdt 1 x a Tính Đặt 2 x2 2 B� dx   x3    b3 3 a a 1 x Khi Ta có: I  4x   x3 2 � �  10  �4a   a3 � � � a 28 2 � � �  10  �4a   a �� 4a   a  � 6a   a  3 3 � � � SHIFT  SOLVE � a  LUYỆN TỐC ĐỘ ĐỀ : x  1 I � dx  a  ln a x  Câu Cho tích phân: Tính S  a  2a  4a  8a Chọn đáp án đúng: A.10 B.5 C.15 a 1 Giá trị a là: x dx I �  x  x4  Câu Cho tích phân A.1 B.2 C.3 b I  �3 a Câu Tính tích phân D.8 D.4 xdx 35  b  0   3i 2x  , Biết z  a bi bậc hai số phức Chọn đáp án đúng: 12 A B C Câu Tính tích phân I � x   x   ln x dx  11 D 3b5  a2 19  ln b S  76 a Tính Vậy I  I1  I  2   2 1 1  3   Câu Cho tích phân:  1 1 I � x ax  b 3x  dx  � a  2, b  3 , biết a  b  1 Tính S  a  b Chọn đáp án đúng: A.-15 B.20 C.-19 D.15 Chọn C 1 �ax � I � ax dx  � bx 3x  1dx  � �  � bx 3x  1dx �3 �0 0 Ta có: +) Xét Đặt A� bx x  1dx x   t � x   t � xdx  tdt Đổi cận x  � t  1; x  � t  2 �t � 8b b 7b bt � A  � dt  b � �    9 �9 � 1 Vậy �ax � 7b a 7b I  � �   �3 �0 9 Ta có hệ �a 7b a 3 � � �� � S  19 �3 b  � � a  b  1 � Câu Tính tích phân Chọn đáp án đúng: I � x5 x3  dx  a � a � � a � 370 S  � � � � b Tính 10b � � 10b � 729 � A  B C D  Chọn A x x I � dx 3 x  Ta có Đặt t  x  , với x = t = 1, x = t = dt  Và 3x 2 x3  I Suy x3  I � x5 x3  dx  1 x  Câu Cho dt , x  t  �26 � 40 �  � �3 � 40 � dx  �1 �3 � t  t �1  �3 �  t 1 dt  3� Vậy x2 dx �  1 x  dx  f  x  C Tính f ' 8  ? Chọn đáp án đúng: B C A Chọn C Đặt u   x � u   x � 2udu  dx � Vậy 1 x   1 x  2udu du dx  �  2� u 1 u u Đặt t  u  � t  u  � 2tdt  du du 2tdt � 2�  �  4t  C    x  C t u 1 D Do f  x  1 1 x � f ' 8  I Câu Cho tich phân �x dx x  =  lna lnb Tính e8 ln2a ln2b Chọn đáp án đúng: A 25 B 9 C D 25 Giải Chọn D �x I Ta có: dx x 4 2  �x Đặt t  x  � t   x , 2 dt t2 I �  ln t 4 t 2 8ln x2  dt  xdx x2  � x2 � t4 �� � t 3 x � � Đổi cận A e xdx a b  1� 1�  � ln  ln � ln 4� � ln  ln � a  5;b  = 25 x I � dx a  lnc  x  1 Câu 10 Cho tich phân =b Giá trị a c (a,b tối giản) Chọn đáp án đúng: A 15 Giải Chọn B B.11 16 C.11 D Đặt t  x  � t  x  � 2tdt  dx x2 � t 1 � �� � x 1 t 0 � Đổi cận � � � 11 t3 t2 I  �   2t  ln t  �   ln �3 �0 � a  11;c  16 ĐỀ : e e  3ln x ln x I � dx  a�  1 3lnx   1 3lnx � � � x � Giá trị a Câu Cho = � Chọn đáp án đúng: A 125 B 135 C 145 Giải Chọn B Đặt t   3ln x � t   3ln x � 2tdt  3dx x xe � t2 � �� � x 1 � t 1 Đổi cận � t  t  1 I � 2  a= 9.15 135 2 2tdt 2� t t � 116 �  � t  t dt    �5  �  135 91 � �1 D 115 sin2x  sinx I� dx  f  x  C f  3cosx Câu Cho Tính   Chọn đáp án đúng: Chọn C A 27 13 B 27 44 C 27 19 D 27 Giải Đặt t   3cos x � t   3cos x � 2tdt  3sin xdx � � 2 �2t3 � �2  1 3cosx I  � 2t  dt  �  t � C   1 3cosx � C � � 9 �3 � � � � � � � �2  1 3cosx 44 � f  x   1 3cosx �� f  0  � 9� 27 � � � �   �t t �  cos x sinxcos xdx  �  � C � �  � Câu Cho nhiêu? Chọn đáp án đúng: A 13 B  với t  1 cos x Tỉ số  bao C 13 D Giải Chọn C �1 cos x sinxcos xdx  �1 cos x.cos x.sinx.cos xdx Ta có: 3 6 Đặt t   cos x � t   cos x � 6t dt  3sin x cos xdx � cos x   t 13 2t7 2t �   7;  13�   t.(1 t ).2t dt  � (2t  2t ).dt   �  13 13 6 11 x2 x I � dx    t  t  C � 3 x  Câu Cho = x1 với t  x  Tính A         Chọn đáp án đúng: 25 A 10 43 B C 60 73 D 10 Giải Chọn D 3 Đặt t  x  � x  t  � dx  3t dt � x   t  x7 � t2 � �� � x0 � t 1 Đổi cận � Vậy t I �  1 3t t 2 � t t � 231 dt  3� t  t dt    �5  � 10 � � 1 � � 5 ln2 x � 73 I  dx a bt5  ct3  d.t  C I   2t  5t   C � � 2 �A  � x lnx  10 10 Câu Cho � �  , biết t  lnx  Tính A  abcd � 10 Chọn đáp án đúng: A.-30 B.-60 C.-45 D.-27 Giải Chọn A Đặt t  ln x  � t  ln x  � 2tdt  dx x t   ln x t2 � x  e3 � �� � t 1 x 1 � Đổi cận � 2 � t  2t  t 2t � 76 I � 2tdt  � t  t  dt    �5   t �  15 t � � 1 Ta có: � a � 15 � �t 2t � � b I  2�   t � C  3t  10t  15t  C � � 15 �5 � � c  10 � d  15 �    �    � �  � sin x � � � I � dx  , �� 0; � 2 cos x  4sin x � 2� Tính A  cos    � Câu Cho , biết � Chọn đáp án đúng: A B.1 C  D.0 Chọn B t  cos2 x  4sin x   3sin x � t   3sin x � 2tdt  6sin x cos xdx � sin xdx  tdt Đặt 2 2 tdt 2 t :1 � � I1  �  � dt  t  31 t 31 3 Và cận  3sin    3sin   �  3cos    3sin   �  3t     t   � t   cos   Câu Tính 43 A B  �1  cos x sin xdx  a  29 B 4 b 2 37 C 4 Tính A  sin a  b 65 D Chọn D Đặt t   cos x � t   cos x � 2tdt   sin xdx cận t : � 2 2t 2 �B  2� t.tdt  � t dt    2 3 1 Thay (1), (2) vào (*) ta được:  2   � a  ;b  4 65 � sin a  a  B a  ln x I � dx  Giá trị a là: x  ln x Câu A e B e C.e D e3 Chọn D dx � tdt  � t   ln x � t   ln x � � x � ln x  t  cận t :1 � 2; a � b   2ln x f � Đặt b   t  1 �I � t b b � t3 � tdt  �   t  dt  �4t  �  � � 1 Giải rat a b = ; b = -1/4 (loại) e x dx I �  at  bt  C x x 2 e 1 Câu .Với t  e  ; Tính A  a  b 52 A 40 B 47 C Chọn B � 2tdt  e x dx � t  e  � t  e  � �x e  t 1 � Đặt x x 46 D t e x e x dx �I � � ex 1 � a2  b2  �e Câu 10 Cho A.23 t �t �  2�  t  1 dt  �3  t �  C � a  23 ; b  � � 40 ln I2   1 2tdt  e x dx x  1 e x   a b Tính B.34  A  a4  b4 C.21  D.45 Chọn B x x x Đặt t  e  � t  e  � 2tdt  e dx x : � ln t : � 2 � I2  2tdt dt �t t  �t   t 2   � a  2; b  1 �  a  b   34 ĐỀ : 2x  28 b a �a � 3997 cosa I � dx   ln S  cos2 � � 27 a b b  3x  �b � Câu 1.Cho tích phân sau Tính Biết a,b tối giản Chọn đáp án đúng: A cos2  5  cos 5  1999 C.2016 B.1999 D cos2  3  cos 3  2016 Chọn B t2 1 x � dx  tdt 3 Đặt x   t ta Đổi cận x  � t  1; x  � t  2 I Khi đó:  2 2t  t �2 � dt  � 2t  2t   dt � � � 1 t 1� t 1� 28  ln � a  3, b  27 �3 � 3997 cos 3 1 cos 3 3997 cos 3 S  cos2 � �    1999 2 �2 � x  1 I � dx  a  ln b S  z z x  Câu Tính tích phân: Tính Biết z  a bi A.2 B.4 C.3 D.1 Giải: Chọn B Đặt t  x  � x  t  � dx  2tdt Đổi cận x  � t  3; x  � t   t  1 t dt  t dt  �1  �dt I  �2 � � � � t 1 t 1 t 1 � 2 2�   t  ln t     ln Do a  2,b  10 Câu Tính tích phân x3  3x  I� dx  a  ln b x2 A.a < b B.a = b Chọn C C.b < 21 Chọn phát biểu D.a , b nguyên 10 I  Tính tích phân : x3  3x  dx � x2 10 ( x  1)( x  2) ( x  2) ( x  1) dx  dx � � x2 x2 5 10 I  �2udu  dx x : � 10 u  x   u  x   � �x  u  , đổi cận : u : �  Đặt 3 (u  3)u.2udu du I �  2.� (u   )du  2( u  4u ) 8�2 u 1 u 1 2 u 1  Ta có : I 62 1 62 u 1  4� (  ) du   ln u 1 u 1 u 1 �I 62 62 81  ln � a  ,b  3 16 e2  b I � x ln xdx  a Tính S  ab Câu Cho tích phân: e A.12 B.4 C.6 D.8 Chọn B dx � du  � � x �� u  ln x � x � v � dv  xdx � � e e e x2 e2 x e e  x ln xdx  ln x  xdx    21 2 4 � � Do a=4,b=1 suy S=4 Câu Cho tích phân : A.364 x x  1dx  � B.356 Chọn D a I � x x  1dx a b Giá trị a là: (biết a , b tối giải ) C.346 D.365 Tìm nguyên hàm �x Đặt x  1dx t  x  � t  x  � x  t  � 3t dt  dx x = a t  a  �t t � 3 ( x  1)7 ( x  1) 3 I � t  t dt  t  t dt   C     �  � � 7 � � Thay cận vào ta tìm I 356 dx �1  x  1 Câu Cho tích phân 1 x2 a Tính S    2016    2000 Chọn đáp án đúng: A.3 B.2 C.0 D.1 Chọn B 2 2 Đặt u  x   x u  x   x � x  2ux  u   x u2  1� � �x � dx  � 1 � du 2u � u2 � Đổi cận x  1 u   , x  u   1� � 1 � du � � u2 � �I  �  1 u 2 1 1  2 1 du �1  u  2 1 1 �1 �� �u 2 1   S  i 2016  i 2000  i 1008 1 du �1  u  2 1 1 du �(1  u )u 2 1 1 �   du  � a  � u u 1 �    i2 1000   1 1008   1 1000 2 Câu Tính tích phân:   I � x  x  x dx  a 98 i b a Tính S  a  b ,biết b tối giản 3 Chon đáp án đúng: A.5747 B.4828 C.7565 D 7273 Chọn D  I � x 1 1 x   dx  �x dx  �x  x dx 1 1 x3 I1  � x dx   3 I2  � x  x dx 2 Đặt t   x � x   t � xdx  tdt Đổi cận: x  � t  1; x=1 � t=0 1 �3 � � I  �   t  t dt  �  t  t  dt  �t3  t5 �  152 � �0 2 Vậy I  I1  I  � i 98   i  �I  49 15  1 a  22 � a a 22 1  �  �� � S  223  153  7273 b  15 b 15 b 15 � 10ab � � cos  11 � dx � � �  ln a  ln b S  cos  a b  � Câu 8.Cho tích phân e3 x ln x ln ex Tính e8 Chon đáp án đúng: A.-10 B.-5 C.-20 D.-40 Chọn B e8 e8 dx dx I� � e3 x ln x ln x e3 x ln x  ln x Đặt t   ln x ; x  e t  2; x  e t  t   ln x dx 2tdt  ; ln x  t  x 3 2tdt t 1 I  �2  ln  ln  ln � a  3, b  2 t  1 t t  10.3.2 � � cos�  11 � � � S  cos  3 2   5 2 x3  3x  x b I � dx   S  log2729  a  log1999  b ? biết a,b a x2  x  Câu Cho tích phân: Tính tối giản Chọn đáp án đúng: B 27 C 81 D 36 A Chọn D t  x  x  � dt  Đặt 2x 1 x2  x  1 �3 � I  2�  t  1 dt  � � t t � �3 �1 dx; với x  � t  , với x  � t   , b b   �  � b  1; a  3 a a 2 S  log 729  3  log1999  1  36 I  3x  1 x 1 D� dx  3x  Câu 10 Cho A.20 B.75  3x  1  b  x  1 a C.55 Chọn A 3 Đặt t  x  � t  x  � t dt  dx x  � t  1; x  t �t   t   t dt  t  2t dt  �t  t �2  46 D�   �5 �1 15 3t 3� � � 1 Do a = 15; b = C Tìm a + b D.45 ... 4sin x   3sin x � t   3sin x � 2tdt  6sin x cos xdx � sin xdx  tdt Đặt 2 2 tdt 2 t :1 � � I1  �  � dt  t  31 t 31 3 Và cận  3sin    3sin   �  3cos    3sin   �  3t    ... Suy Vậy I � t.tdt  � t dt  t3 ( x  3) 3 C  C 3 S  log32 3 log3 3 2016  2018 Bình luận : có x  ta tìm cách đặt t  x  Tiếp ta biến đổi phần lại theo t , kể dx biểu diễn theo dt xdx... I =� x 3x2 + 1dx = A.4 a ( 3x B.9 ) b + +C Giá trị a b là: C .3 D.4 Chọn B t  3x  � 2tdt  xdx � tdt  xdx Đặt 2 I � t dt  t  31 9 I 1 t dt  t  C  � 9  3x  1  C Vậy a=9;b =3 Bình
- Xem thêm -

Xem thêm: dùng kĩ thuật lấy vi phân hoặc đổi biến, dùng kĩ thuật lấy vi phân hoặc đổi biến

Từ khóa liên quan

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn

Nhận lời giải ngay chưa đến 10 phút Đăng bài tập ngay