Đang tải... (xem toàn văn)
Tính tuần hoàn và ổn định của nghiệm phương trình tiến hóaTính tuần hoàn và ổn định của nghiệm phương trình tiến hóaTính tuần hoàn và ổn định của nghiệm phương trình tiến hóaTính tuần hoàn và ổn định của nghiệm phương trình tiến hóaTính tuần hoàn và ổn định của nghiệm phương trình tiến hóaTính tuần hoàn và ổn định của nghiệm phương trình tiến hóaTính tuần hoàn và ổn định của nghiệm phương trình tiến hóaTính tuần hoàn và ổn định của nghiệm phương trình tiến hóaTính tuần hoàn và ổn định của nghiệm phương trình tiến hóaTính tuần hoàn và ổn định của nghiệm phương trình tiến hóaTính tuần hoàn và ổn định của nghiệm phương trình tiến hóaTính tuần hoàn và ổn định của nghiệm phương trình tiến hóa
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC CAO THỊ THU TRANG TÍNH TUẦN HỒN VÀ ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUYÊN - 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC CAO THỊ THU TRANG TÍNH TUẦN HỒN VÀ ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA Chuyên ngành: Toán Ứng dụng Mã số: 8460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TSKH NGUYỄN THIỆU HUY THÁI NGUYÊN - 2018 i MỤC LỤC Danh sách kí hiệu ii Lời nói đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Nửa nhóm liên tục mạnh, tính ổn định nhị phân mũ 1.1.1 Nửa nhóm liên tục mạnh 1.1.2 Nửa nhóm giải tích 1.1.3 Tính ổn định nhị phân mũ 1.2 Không gian Banach định lý Banach-Alaoglu 12 1.3 Bất đẳng thức Gronwall 13 Chương Sự tồn nghiệm tuần hoàn phương trình tiến hóa tuyến tính 16 2.1 Nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa tuyến tính 16 2.2 Sự tồn nghiệm tuần hoàn nửa nhóm có nhị phân mũ 22 Chương Sự tồn ổn định có điều kiện nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa nửa tuyến tính 26 3.1 Nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa nửa tuyến tính 26 3.2 Nghiệm tuần hoàn trường hợp nửa nhóm có nhị phân mũ 28 3.3 Ổn định có điều kiện 30 Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 38 ii DANH SÁCH KÍ HIỆU N : tập số tự nhiên R : tập số thực R+ : tập số thực không âm Z p 1/p := u : R → R kuk p = ( |u(x)| dx) < +∞ , ≤ p < ∞ L p (R) R X,Y : không gian Banach L (X) : khơng gian tốn tử tuyến tính bị chặn n o := v : R+ → X | v liên tục sup kv(t)k < ∞ , Cb (R+ , X) t∈R+ với chuẩn kvkCb (R+ ,X) := sup kv(t)k t∈R+ Lời nói đầu Lí chọn đề tài Các phương trình vi phân thường phương trình vi phân đạo hàm riêng mơ hình tốn học mô tả tượng tự nhiên kỹ thuật Trong thực tế vận động tự nhiên, xã hội kỹ thuật phụ thuộc vào thời gian (nhiễu, ngoại lực, ) làm cho phương trình trở nên phức tạp Cùng với phát triển tốn học, khơng gian hàm trừu tượng đưa Bằng cách chọn tốn tử thích hợp khơng gian hàm thích hợp mơ hình viết dạng phương trình vi phân trừu tượng với tốn tử tác động khơng gian Banach Khi nghiên cứu lớp phương trình vi phân không gian Banach, quan tâm đến điều kiện tồn nghiệm, dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình Và hướng nghiên cứu quan trọng liên quan đến dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình tiến hóa tìm điều kiện cho tồn nghiệm tuần hoàn phương trình tiến hóa trường hợp phần phi tuyến tác động từ hàm T-tuần hoàn thành hàm T-tuần hồn Có nhiều phương pháp tiếp cận vấn đề như: phương pháp điểm bất động Tikhonov’s (xem [18]), phương pháp hàm Lyapunov (xem [19]) Phương pháp chứng minh tồn nghiệm tuần hồn phương trình thơng qua tính bị chặn nghiệm tính compact ánh xạ Poincare Tuy nhiên, phương trình vi phân đạo hàm riêng có miền xác định khơng bị chặn phương trình vi phân thường có nghiệm không bị chặn, phép nhúng compact không hợp lệ tồn nghiệm bị chặn khơng dễ dàng có phải lựa chọn cẩn thận điều kiện ban đầu để đảm bảo tính bị chặn nghiệm tương ứng với điều kiện ban đầu Vì vậy, luận văn chúng tơi trình bày hướng tiếp cận khác tồn nghiệm tuần hoàn cho phương trình tiến hóa trừu tượng nhằm mục đích vượt qua khó khăn Lịch sử nghiên cứu Đã có nhiều nhà khoa học nước quan tâm đến tồn nghiệm, nghiệm tuần hoàn mối liên hệ nghiệm bị chặn nghiệm tuần hồn phương trình vi phân Từ năm 1950, Massera (xem [10]) nghiên cứu mối quan hệ nghiệm tuần hoàn nghiệm bị chặn phương trình vi phân thường Đến năm 2006, Zubelevich sử dụng phương pháp Ergodic mở rộng (xem [16]) để nghiên cứu tính tuần hồn nghiệm bị chặn Cũng sử dụng phương pháp Ergodic mở rộng, Nguyễn Thiệu Huy (xem [7]) đưa điều kiện tồn nghiệm tuần hồn phương trình Navier-Stokes Từ đó, Nguyễn Thiệu Huy với nhóm nghiên cứu có số kết nghiên cứu nghiệm tuần hoàn lớp phương trình tiến hóa nửa tuyến tính trường hợp phần tuyến tính sinh họ tiến hóa có nhị phân mũ, phần phi tuyến thỏa mãn điều kiện Lipchitz không không đủ nhỏ Luận văn trình bày trường hợp riêng báo [8] Mục đích, đối tượng phạm vi nghiên cứu * Mục đích nghiên cứu: Trình bày kết tồn nghiệm tuần hoàn phương trình tiến hóa tuyến tính khơng phương trình tiến hóa nửa tuyến tính Trình bày tính ổn định có điều kiện nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa nửa tuyến tính * Đối tượng phạm vi nghiên cứu luận văn: Các phương trình tiến hóa tuyến tính khơng phương trình tiến hóa nửa tuyến tính Nghiệm bị chặn tính chất nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa tuyến tính nửa tuyến tính Phương pháp nghiên cứu Trong luận văn, sử dụng phương pháp sau: Phương pháp lý thuyết nửa nhóm, nhị phân mũ để biểu diễn nghiệm đủ tốt phương trình vi phân Phương pháp trung bình Ergodic, Định lý Banach-Alaoglu cho không gian Banach khả ly, nguyên lý điểm bất động Cấu trúc kết luận văn Ngoài phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, luận văn bao gồm ba chương • Chương 1: Chúng tơi trình bày khái niệm nửa nhóm liên tục mạnh, tính nhị phân mũ nửa nhóm số tính chất khái niệm Đồng thời, chúng tơi nêu lại khái niệm số không gian định lý quan trọng sử dụng chứng minh kết luận văn • Chương 2: Chúng tơi trình bày kết tồn nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa tuyến tính khơng có dạng du = Au(t) + f (t) với t > dt u(0) = u0 ∈ X, (1) toán tử tuyến tính A sinh nửa nhóm (eAt )t≥0 khơng gian Banach X; tốn tử f lấy giá trị khơng gian Banach hàm tuần hồn với chu kì T thỏa mãn điều kiện Lipschitz địa phương • Chương 3: Trình bày kết tồn nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa nửa tuyến tính có dạng du = Au(t) + g(t, u) với t > dt u(0) = u0 ∈ X, (2) toán tử phi tuyến g(t, u) hàm tuần hoàn với chu kì T thỏa mãn điều kiện Lipschitz địa phương Trong trường hợp A sinh nửa nhóm (eAt )t≥0 có nhị phân mũ, chúng tơi xây dựng cơng thức nghiệm bị chặn LyapunovPerron Từ nghiên cứu tính tồn ổn định có điều kiện nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa nửa tuyến tính (2) Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm tính chất nửa nhóm liên tục mạnh, tính nhị phân mũ nửa nhóm, khơng gian Banach số kiến thức sở phục vụ chứng minh kết chương sau 1.1 1.1.1 Nửa nhóm liên tục mạnh, tính ổn định nhị phân mũ Nửa nhóm liên tục mạnh Định nghĩa 1.1.1 Cho không gian Banach X, họ (T (t))t≥0 ⊂ L (X) gọi nửa nhóm liên tục mạnh (i) T (t + s) = T (t)T (s), ∀t, s ≥ 0; (ii) T (0) = I toán tử đồng nhất; (iii) lim T (t)x = T (0)x, ∀x ∈ X t→0+ Định nghĩa 1.1.2 Toán tử A : D(A) ⊆ X → X xác định (T (h)x − x) h→0+ h Ax := lim miền xác định D(A) = x∈X : lim 1h (T (h)x − x) h→0+ tồn gọi toán tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 khơng gian Banach X Định lý 1.1.3 Đối với toán tử sinh A nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 ta có (i) A : D(A) ⊂ X → X tốn tử tuyến tính; ... cứu: Trình bày kết tồn nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa tuyến tính khơng phương trình tiến hóa nửa tuyến tính Trình bày tính ổn định có điều kiện nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa nửa... tuyến tính * Đối tượng phạm vi nghiên cứu luận văn: Các phương trình tiến hóa tuyến tính khơng phương trình tiến hóa nửa tuyến tính Nghiệm bị chặn tính chất nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa. .. NGHIỆM TUẦN HOÀN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA TUYẾN TÍNH Trong chương này, chúng tơi trình bày tồn nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa tuyến tính otonom 2.1 Nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa