Đang tải... (xem toàn văn)
tích phân Định lý Banach về điểm bất động của ánh xạ co và định lý Schauder về điểm bất động của ánh xạ hoàn toàn liên tục là hai kết quả được tìm ra khá sớm và là các định lý quan trọng của lý thuyết điểm bất động. Năm 1955 Krasnoselskii đã kết hợp hai định lý này trong định lí quan trọng về điểm bất động của ánh xạ là tổng của ánh xạ co và ánh xạ hoàn toàn liên tục. Định lý này đã tìm được những ứng dụng sâu sắc trong nghiên cứu
1 Mở đầu Phương pháp thác triển theo tham số giải phương trình tốn tử nhiều nhà khoa học nghiên cứu Trong phần lớn cơng trình nghiên cứu tìm nghiệm phương trình tốn tử loại hai x Ax f với toán tử A đơn điệu, liên tục Lipschitz tác dụng không gian Banach tùy ý X Phương pháp sử dụng trình lặp, thơng qua số hữu hạn bước theo tham số bước thực nhờ phương pháp ánh xạ co Trong toán cụ thể yếu tố biết khơng thuận lợi cho việc tìm nghiệm xác, nên nhiều cơng trình tập trung nghiên cứu tìm nghiệm xấp xỉ phương trình tốn tử loại hai Nội dung 2.1 Giải phương trình tích phân Fredholm tuyến tính loại hai với hạch suy biến Xét phương trình tích phân Fredholm tuyến tính loại hai: b u x f x K x, t u t dt với x a; b (1) a Ta xét hai trường hợp hạch suy biến: K x, t xt , n K x, t e x t m (2) , n, m 1, 2, (3) Dưới dạng tổng quát ta hoàn toàn chứng minh toán tử: b Au K x, t u t dt , a với hai hạch (2), (3) đơn điệu, liên tục Lipschitz với số: b b 2 L K x, t dxdt a a Như với hai hạch (2), (3) phương trình tích phân Fredholm (1) giải phương pháp thác triển theo tham số Ví dụ Giải phương trình tích phân Fredholm loại hai: u x Giải: Xét toán tử A : L2 0; 3 x sin x xtu t dt với x 0; 24 2 L2 0; định nghĩa bởi: Au xtu t dt với x 0; 2 + Toán tử Au hồn tồn xác định + Tốn tử Au đơn điệu Thật vậy, với u t , v t L2 0; ta có: 2 Au Av, u v xt u t v t dt u x v x dx 0 2 2 t u t v t dt + Toán tử Au liên tục Lipschitz với số L Thật vậy, u t , v t L2 0; 3 24 ta có: 2 2 Au Av xt u t v t dt xt u t v t dt dx 0 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz-Buyakowsky cho bất đẳng thức ta được: 2 2 Au Av x t dxdt 0 2 u t v t dt 0 (4) Suy Au Av x dx u v 3 24 u v Vậy A toán tử đơn điệu, liên tục Lipschitz với số L 3 24 Khi phương trình (4) có nghiệm Chọn N đặt Áp dụng phương pháp thác triển theo tham số với phương trình (4) ta có q trình lặp: 3 12 12 un 1 x x sin x xtu* t dt xtun t dt 24 20 20 Lấy xấp xỉ u* t t sin t u0 t Khi ta có: 3 u1 x x sin x x t t sin t dt 24 u1 x 3 13 x sin x 1 24 24 1 3 x sin x x 2 24 2 2 1 u2 x u1 x x t dt t sin tdt t dt 2 24 0 3 3 u1 x x 24 24 3 u2 x x sin x x 2 24 2 3 x 24 3 3 3 u3 x u1 x x 24 24 24 3 3 u3 x x sin x x x 48 48 …………………………………… Suy un x 1 x sin x n 3 48 n 1 x 1 n n 1 3 x 48 Vậy nghiệm phương trình (4) là: u x lim un x x sin x n Ví dụ Giải phương trình tích phân Fredholm loại hai: u x e xe xtu t dt với x 1;1 1 x (5) 1 Giải: Xét toán tử A : L2 1;1 L2 1;1 định nghĩa bởi: Au xtu t dt với x 1;1 1 + Tốn tử Au hồn tồn xác định + Toán tử Au đơn điệu Thật vậy, với u t , v t L2 1;1 ta có: Au Au, u v + Toán tử Au toán tử co, liên tục Lipschitz với số L Thật vậy, với u t , v t L2 1;1 ta có: 1 1 2 2 2 Au Av x 2t dxdt u t v t dt u v 1 1 1 Suy Au toán tử đơn điệu, liên tục Lipschitz với số L toán tử co với hệ số co q , Au Khi phương trình (5) có nghiệm Áp dụng phương pháp thác triển theo tham số với phương Chọn N đặt trình (5) ta có q trình lặp: un 1 x e x xe 1 1 1 x tu* t dt x tun t dt 1 1 Ta lấy xấp xỉ u* t et chọn u0 t Khi ta có: 1 x u1 x e xe x tet dt e x 1 e 1 x 1 1 x tu* t dt x tu1 t dt 1 1 u2 x e x xe 1 x t e x t et dt e 1 e x x u2 x e x e 1 1 x tu* t dt x tu2 t dt 1 1 u3 x e x xe 1 x 1 e x t et t dt e 1 3e x x u3 x e x e ……………………………………………… Suy un 1 x e x 1 n n x e Vậy nghiệm phương trình (5) là: u x lim un1 x e x n Ví dụ Giải phương trình tích phân Fredholm loại hai: u x sin x cos x Giải: Xét toán tử A : L2 0; L2 0; x xtu t dt với x 0; 2 (6) định nghĩa bởi: Au xtu t dt với x 0; 2 + Tốn tử Au hồn tồn xác định + Toán tử Au đơn điệu Thật vậy, với u t , v t L2 0; ta có: Au Au, u v + Toán tử Au liên tục Lipschitz với số L Thật vậy, với u t , v t L2 0; 3 24 ta có: 1 2 2 2 2 Au Av x 2t dxdt u t v t dt 0 0 Suy Au Av x dx u v 3 24 u v Khi phương trình (5) có nghiệm Chọn N đặt Áp dụng phương pháp thác triển theo tham số với phương trình (6) ta có q trình lặp: un 1 x sin x cos x x 12 xtu t dt xtun t dt * 0 0 Ta lấy xấp xỉ u* t sin t chọn u0 t Khi ta có: u1 x sin x cos x x x t sin t cos t dt 2 u1 x sin x cos x x u2 x u1 x x t sin t cos t t dt u2 x sin x cos x 3 x 48 3 u3 x u1 x x t sin t cos t t dt 48 u3 x sin x cos x 3 x 48 …………………………………… Suy un 1 x sin x cos x 3 n x 48 Vậy nghiệm phương trình (6) là: u x lim un1 x sin x cos x n Ví dụ Giải phương trình tích phân Fredholm loại hai: u x 1 x xt x 2t u t dt với x 1;1 15 1 Giải: Xét toán tử A : L2 1;1 L2 1;1 định nghĩa bởi: Au xt x t u t dt 2 1 + Toán tử Au hoàn toàn xác định với x 1;1 (7) + Toán tử Au đơn điệu Thật vậy, với u t , v t L2 1;1 ta có: 2 1 1 Au Au, u v x u x v x dx x u x v x dx 1 1 + Toán tử Au liên tục Lipschitz Thật vậy, với u t , v t L2 1;1 ta có: 1 Au Av xt x 2t 1 1 2 2 dxdt u t v t dt L u v 1 Suy Au toán tử đơn điệu, liên tục Lipschitz với số L Khi phương trình (7) có nghiệm Chọn N đặt Áp dụng phương pháp thác triển theo tham số với phương trình (7) ta có q trình lặp: 1 un 1 x x xt x 2t u* t dt xt x 2t un t dt 15 1 1 Ta lấy xấp xỉ u* t t chọn u0 t Khi ta có: u1 x x xt x 2t t dt 15 1 Sử dụng phần mềm Maple qua 10 phép lặp ta có kết sau: u1 x x 15 u2 x 67 x 75 u3 x 367 x 375 u4 x 1867 x 1875 u5 x 9367 x 9375 u6 x 46867 x 46875 u7 x 234267 x 234375 u8 x 1171867 x 1171875 u9 x 5859367 x 5859375 u10 x 29296867 x 29296875 Vậy qua 10 phép lặp nghiệm xấp xỉ phương trình (7) là: u x 0.9999997269 x2 Tốc độ hội tụ: u x u10 x, 0.0001655423671 2.2 Giải phương trình tích phân Fredholm tuyến tính loại hai với hạch khơng suy biến Xét phương trình tích phân Fredholm tuyến tính loại hai: b u x f x K x, t u t dt với x a; b , (8) a K x, t hạch khơng suy biến Giả sử K x, t xấp xỉ hạch không suy biến Kn x, t đó: K x, t K n x, t n x , t , (9) lim max n x, t n a x ,t b Khi phương trình (8) viết dạng: b b a a u x f x K n x, t u t dt n x, t u t dt (10) Vì n x, t nhỏ tùy ý n đủ lớn, nên ta coi nghiệm un x phương trình tích phân tuyến tính với hạch suy biến Kn x, t : b un x f x K n x, t un t dt với x a; b , (11) a nghiệm gần phương trình (8) Ví dụ 5: Giải phương trình tích phân Fredholm tuyến tính loại hai: 1 u x x x e xt u t dt với x 0;1 15 (12) Giải: Khai triển Taylor hàm e xt theo xt xt ta có: xt ec xt n1 xt xt e 1 , với c 0; xt 1! 2! n! n 1! n xt Lấy khai triển Taylor hàm e xt tới xt , phương trình (12) có nghiệm xấp xỉ với nghiệm phương trình: 1 1 u x x x 1 xt x 2t x3t x 4t u t dt 15 24 0 (13) Xét toán tử A : L20;1 L20;1 định nghĩa bởi: 1 Au 1 xt x 2t x3t x 4t u t dt với x 0;1 24 0 + Tốn tử Au hồn tồn xác định + Tốn tử Au đơn điệu Thật vậy, với u t , v t L20;1 ta có: 2 1 1 11 Au Av, u v u x v x dx x u x v x dx x u x v x dx 0 0 20 2 1 1 x3 u x v x dx x u x v x dx 60 24 + Toán tử Au liên tục Lipschit với số L Thật vậy, u t , v t L20;1 ta có: Au Av 1 xt x t 2 3 4 xt x t u t v t dt 24 1 2 2 3 4 1 xt x t x t x t u t v t dt dx 24 0 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz-Bunyakovsky cho bất đẳng thức ta được: Au Av L u v Sử dụng phần mềm Maple ta tìm số Lipschitz: L 1.356769084 Vậy A toán tử đơn điệu, liên tục Lipschitz với số L 1.356769084 Khi phương trình (13) có nghiệm Chọn N đặt Áp dụng phương pháp thác triển theo tham số với phương trình (13) ta có q trình lặp: 1 1 un1 x x x 1 xt x 2t x3t x 4t u* t dt 15 0 24 1 2 3 4 1 xt x t x t x t un t dt 0 24 Lấy xấp xỉ u* t t u0 t Khi sử dụng phần mềm Maple ta có: u1 x 0.8333333333 0.6250000000 x 0.03333333333x2 0.05555555556 x3 0.05535714286 x4 ; u2 x 0.5687698413 0.7323908730 x 0.001622496221x2 0.06287822421x2 0.05397238757 x4 ; u3 x 0.7342382542 0.6435400034 x 0.03232149205x2 0.05503460945 x3 0.05556427282 x ; u4 x 0.6230351906 0.7044699779 x 0.01106065817 x2 0.06049904933x3 0.5445083408 x ; u5 x 0.6982070872 0.6632173815x 0.02546619590x2 0.05679487872 x3 0.05520582659x ; u6 x 0.6471699148 0.6912787189 x 0.01565579206 x2 0.05931945915 x3 0.05469096645 x ; u7 x 0.6819045927 0.6721619675x 0.02234303276 x2 0.05759790522 x3 0.05504215855 x ; u8 x 0.6583932123 0.6850690887 x 0.01783504328 x2 0.05875718815 x3 0.05480585446 x Tốc độ hội tụ: u x u8 x, 0.1592220124 TÀI LIỆU THAM KHẢO Abdul-Majid Wazwaz (2011), Linear and Nonlinear Integral Equations Methods and Applications, Springer Nguyễn Minh Chương, Ya.D.Mamedov, Khuất Văn Ninh (1992), Giải xấp xỉ phương trình tốn tử, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật Hà Nội Khuat V N (2011), A method of extending by parameter for approximate solutions of operator equations, Acta Mathematica Vietnamica, Vol 36, No ... 0. 625 0000000 x 0.03333333333x2 0.05555555556 x3 0.0553571 428 6 x4 ; u2 x 0.5687698413 0.7 323 908730 x 0.001 622 49 622 1x2 0.0 628 7 822 421 x2 0.0539 723 8757 x4 ; u3 x 0.73 423 825 42. .. x 0.0 323 214 920 5x2 0.05503460945 x3 0.05556 427 2 82 x ; u4 x 0. 623 0351906 0.7044699779 x 0.01106065817 x2 0.06049904933x3 0.5445083408 x ; u5 x 0.69 820 708 72 0.66 321 73815x... x 0.6819045 927 0.6 721 619675x 0. 022 3430 327 6 x2 0.05759790 522 x3 0.0550 421 5855 x ; u8 x 0.65839 321 23 0.6850690887 x 0.01783504 328 x2 0.05875718815 x3 0.05480585446 x Tốc