Độ dài RIEMANN (2018)

50 23 0
  • Loading ...
1/50 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 28/08/2018, 06:00

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ********* TRẦN QUỲNH LIÊN ĐỘ DÀI RIEMANN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học Hà Nội - 2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TỐN ********* TRẦN QUỲNH LIÊN ĐỘ DÀI RIEMANN KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học Người hướng dẫn khoa học ThS PHẠM THANH TÂM Hà Nội - 2018 Lời cảm ơn Sau thời gian học tập rèn luyện, để có kiến thức ngày hơm nay, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới ThS Phạm Thanh Tâm, người trực tiếp tạo điều kiện giúp đỡ suốt thời gian làm khóa luận Đồng thời tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy cô giáo tổ Hình học thầy giáo khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội tạo điều kiện tốt để tơi hồn thành khóa luận tốt nghiệp Do hạn chế thời gian khả nghiên cứu khoa học nên Khóa luận khó tránh khỏi thiếu sót, tơi mong nhận đóng góp, bổ sung quý báu từ thầy cô bạn Tôi xin chân thành cảm ơn! Lời cam đoan Dưới hướng dẫn nhiệt tình ThS Phạm Thanh Tâm với cố gắng thân khóa luận tốt nghiệp tơi hồn thành Các nội dung trình bày khóa luận kết trình học tập, tổng hợp, tham khảo kế thừa thành nghiên cứu nhà khoa học nhà nghiên cứu với trân trọng lòng biết ơn tơi Tôi xin cam đoan kết nghiên cứu đề tài “Độ dài Riemann” khơng có trùng lặp với kết đề tài khác Nếu sai tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm Mục lục Lời cảm ơn Lời cảm đoan Lời mở đầu 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 Đa tạp đa khả vi 1.1.1 Đa tạp 1.1.2 Đa tạp khả vi Không gian tiếp xúc 10 1.2.1 Không gian tiếp xúc 10 1.2.2 Phân thớ tiếp xúc 13 1.2.3 Trường vectơ 14 1.2.4 Trường mục tiêu 15 1.3 Đa tạp 15 1.4 Liên thông đa tạp 16 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Quỳnh Liên Độ dài Riemann đường trắc địa 18 2.1 Độ dài Riemann 18 2.2 Đường trắc địa 29 2.2.1 Đường trắc địa 2.2.2 Sự tồn của đường trắc địa đa tạp Compact 2.2.3 29 37 Sự tồn đường trắc địa đa tạp đầy đủ Tài liệu tham khảo 40 44 Lời mở đầu Lý chọn đề tài Ra đời từ kỉ XVIII, hình học Riemann lĩnh vực quan trọng hình học vi phân Với ứng dụng sâu sắc thực tế, hình học Riemann phát triển mạnh mẽ đến ngày Georg Friedrich Bernhard Riemann (ngày 17 tháng năm 1826 đến ngày 20 tháng năm 1866) nhà tốn học thiên tài người Đức ,một học trò xuất sắc nhà toán học K.F.Gauss, người mở rộng kết nghiên cứu hình học vi phân từ không gian ba chiều thông thường sang khơng gian n chiều Những cơng trình ơng có nhiều đóng góp vơ sâu sắc vào ngành giải tích tốn học hình học vi phân, xây dựng tảng cho việc phát triển lý thuyết tương đối Eintein sau Khi chọn đề tài "Độ dài Riemann" cho khóa luận tốt nghiệp mình, em mong muốn học hỏi trau dồi thêm kiến thức toán học tạo sở trang bị kiến thức tảng hình học vi phân Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Quỳnh Liên Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu đề tài em muốn hiểu rõ ràng xác độ dài Riemann Khóa luận thực nhằm đưa định lý bổ đề độ dài Riemann, cơng thức tính độ dài Riemann, chứng minh tồn đường trắc địa không gian tô pô Đối tượng, phạm vi nghiên cứu a Đối tượng nghiên cứu: Độ dài Riemann đường trắc địa b Phạm vi nghiên cứu: Hình học Riemann Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu loại độ dài Riemann đường trắc địa Phương pháp nghiên cứu Trước hết tìm tham khảo tài liệu, sách giáo khoa, sách giáo trình có liên quan hình học vi phân, Hình học Riemann Phân tích tổng hợp ví dụ tập minh họa, tham khảo ý kiến giáo viên hướng dẫn Ý nghĩa khoa học, thực tiễn đề tài Là tài liệu tham khảo cho sinh viên chuyên ngành toán học Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Quỳnh Liên Cấu trúc khóa luận Khóa luận gồm hai chương: Chương 1: "Một số kiến thức chuẩn bị" Trong chương trình bày số định nghĩa, tính chất định lý đa tạp, đa tạp khả vi, không gian tiếp xúc, đa tạp liên thông đa tạp Đây lý thuyến mở đầu làm sở tảng nghiên cứu độ dài Riemann Chương 2: "Độ dài Riemann đường trắc địa" Nghiên cứu độ dài Riemann bao gồm định nghĩa, tính chất độ dài Riemann, đường trắc địa, ánh xạ mũ, phép biến đổi đẳng cự Nghiên cứu tồn đường trắc địa đa tạp compact đa tạp đầy đủ Hà Nội, ngày / / 2018 Tác giả khóa luận Trần Quỳnh Liên Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Đa tạp đa khả vi Một không gian tô pô tập M với họ O tập M thỏa mãn tính chất sau: (i) Ω1 , Ω2 ∈ O ⇒ Ω1 ∩ Ω2 ∈ O, (ii) Bất kì tập số A :(Ωα )α∈A ⊂ O ⇒ α∈A Ωα ∈ O, (iii) ∅, M ∈ O Họ O gọi họ tập mở M Các tập O gọi mở Một không gian tô pô gọi Hausdorff, cho hai điểm phân biệt p1 , p2 ∈ M tồn tập mở Ω1 , Ω2 ∈ O cho p1 ∈ Ω1 , p2 ∈ Ω2 , Ω1 ∩ Ω2 = ∅ Một phủ mở (Ωα )α∈A (A tập số bất kì) gọi hữu hạn địa Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Quỳnh Liên Cụ thể, cho nghiệm (2.12) d d x, ˙ x˙ = (gij (x(t))x˙ i (t)x j (t)) dt dt (k) = gij xăi x j + gij x i xăj + gij x i x˙ j x˙ k (j) (k) (l) (k) = −(gjk + glj − glk )x˙ l x˙ k x˙ j + glj x˙ k x˙ l x˙ j d x, ˙ x˙ = dt Vì gjk,l x˙ l x˙ k x˙ j = glk,j x˙ l x˙ k x˙ j hoán vị số j l Từ cơng thức (2.13), ta có: Suy ra, x, ˙ x˙ ≡ const, đường cong tham số hóa tương ứng với độ dài cung Bổ đề 2.5 Mỗi trắc địa tham số hóa tương ứng với độ dài cung Định lý 2.2 Cho M đa tạp Riemann, p ∈ M, v ∈ Tp M tồn ε > trắc địa đặc biệt c : [0, ε] → M với c(0) = p, c(0) ˙ = v Trắc địa c phụ thuộc vào p v Định nghĩa 2.5 Cho M đa tạp Riemann, p ∈ M Vp := {v ∈ Tp M : cv xác định trên[0, 1]} expp : Vp → M v → cv (1) gọi ánh xạ mũ M p 30 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Quỳnh Liên Định lý 2.3 Ánh xạ mũ expp lân cận ∈ Tp M vi phôi lên lân cận p ∈ M Chứng minh Từ Tp M khơng gian vectơ, ta đồng T0 Tp M (không gian tiếp xúc Tp M ∈ Tp M ) với Tp M Đạo hàm expp trở thành ánh xạ từ Tp M lên dexpp (0) : Tp M → Tp M Với phép đồng T0 Tp M Tp M với v ∈ Tp M ta có: d ctv (1)|t=0 dt d = cv (t)|t=0 dt dexpp (0)(v) = = c˙v (0) =v Do đó, dexpp (0) = id|Tp M Cụ thể, dexpp (0) có hạng tối đa theo định lý hàm nghịch đảo, tồn lân cân ∈ Tp M vi phôi lên lân cận p ∈ M Cho e1 , e2 , , en (n = dimM ) sở trực giao Tp M tích vơ hướng Tp M xác định độ dài Riemann Với 31 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Quỳnh Liên vectơ v ∈ Tp M sở này, ta thu ánh xạ Φ : Tp M −→ Rn v = vi ei −→ (v1 , , ) Tiếp theo, ta đồng Tp M với Rn thông qua Φ Theo định lý (2.3), tồn lân cận U p exp−1 p vi phôi lên lân cận ∈ Tp M Suy ra, p ánh xạ tới Định nghĩa 2.6 Các tọa độ địa phương xác định đồ (exp−1 p , U ) gọi tọa độ pháp tuyến Riemann với p Định lý 2.4 Trong tọa độ pháp tuyến với độ dài Riemann, ta có: gij (0) = δij , (k) Γijk (0) = (và có gij (0) = 0) với i, j, k (2.14) (2.15) Chứng minh Từ công thức (2.14), ta có: Phép đồng Φ : Tp M ∼ = Rn sở trực giao Tp M độ dài Riemann lên sở trực giao Euclidean Rn Từ công thức (2.15), ý tọa độ pháp tuyến, đường thẳng qua gốc tọa độ Rd trắc địa Cụ thể, đường thẳng tv với t ∈ R, v ∈ Rn (với t đủ nhỏ) ánh xạ lên ctv (1) = cv (t) cv (t) đường trắc địa, tham số hóa độ dài cung với c˙v (0) = v Thay x(t) = tv vo phng trỡnh trc a (2.12), vỡ xă(t) = , ta thu 32 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Quỳnh Liên Γijk (tv)vj vk = 0, i = 1, , n (2.16) Γijk (0)vj vk = 0, ∀v ∈ Rn i = 1, , n (2.17) Cho t = 0, Đặt v = (el + em ) tính đối xứng Γijk = Γikj Γilm (0) = với ∀i Điều Vì với l, m, tất Γijk (0) bị triệt tiêu (k) (j) (l) Do Γijk = g il gjl + gkl − gjk nên ∈ Rn ta có: (k) (j) (l) (k) (j) (m) g il (gjl + gkl − gjk ) = ∀i, j, k Do vậy, gjm + gkm − gjk = Do hốn vị vòng quanh số nên ta có: (m) (k) (j) gkj + gmj − gkm = 33 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Quỳnh Liên (k) Với gkj = gjk ta thu gjm (0) = 0, ∀j, k, l Định lý 2.5 Cho tọa độ cực thu phép biến đổi tọa độ Euclidean Rn , tọa độ pháp tuyến với p sở, vào tọa độ cực, ta có:        0      gϕϕ (r, ϕ)    gϕϕ (r, ϕ) ma trận (n − 1) × (n − 1) độ dài biến góc (ϕ1 , , ϕn−1 ) ∈ S n−1 Các tọa độ cực định lý (2.5) gọi tọa độ cực Riemann Ví dụ  Trong tọa độ cực R , độ dài Euclidean cho  2.2.1   r Hệ 2.2 Với p ∈ M , tồn ρ > cho tọa độ cực Riemann đưa vào B(p, ρ) := {q ∈ M : d(p, q) ≤ ρ} Với ρ q ∈ ∂B(p, ρ), đường trắc địa với độ dài ngắn (= ρ) từ p đến q tọa độ cực, đường trắc địa cho đường thẳng x(t) = (t, ϕ0 ), ≤ t ≤ ρ, q biểu diễn tọa độ (ρ, ϕ0 ), ϕ0 ∈ S n−1 Hệ 2.3 Cho M đa tạp Riemann compact, tồn ρ0 > 34 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Quỳnh Liên thỏa mãn với p ∈ M , tọa độ cực Riemann đưa vào B(p, ρ0 ) Hệ 2.4 Cho M đa tạp Riemann compact, tồn ρ0 > thỏa mãn với hai điểm p, q ∈ M với d(p, q) ≤ ρ0 liên thơng đường trắc địa ngắn Đường trắc địa phụ thuộc liên tục vào p q Định nghĩa 2.7 Một vi phôi h : M → N đa tạp Riemann phép biến đổi đẳng cự bảo tồn độ dài Riemann Do đó, cho p ∈ M, v, w ∈ Tp M ·, · M ·, · N tích vô hướng Tp M Th(p)N tương ứng, ta có: v, w M = dh(v), dh(w) N Nhận xét 2.1 (i) Ánh xạ đồng idM phép biến đổi đẳng cự (ii) Tích hai phép biến đổi đẳng cự phép biến đổi đẳng cự (iii) Nghịch đảo phép biến đổi đẳng cự phép biến đổi đẳng cự Một ánh xạ khả vi h : M → N phép đẳng cự địa phương với p ∈ M tồn lân cận U cho h|U : U → h(U ) phép đẳng cự h(U ) mở N Do đó, phép đẳng cự địa phương có hiệu phép biến đổi tọa độ Các phép đẳng cự giữ lại độ dài vectơ tiếp xúc Do 35 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Quỳnh Liên đó, độ dài lượng đường cong không thay đổi Suy ra, điểm giới hạn, tức trắc địa, ánh xạ tới đường trắc địa Ví dụ 2.2.2 Xét hình xuyến T , với đồ có dạng (U, (π|U )−1 ), Hình 2.2: Ta có độ dài Euclidean π −1 (U ) Từ phép biến đổi z → z + m1 w1 + m2 w2 (m1 , m2 ∈ Z) phép đẳng cự Euclidean, độ dài Euclidean phần khác π −1 (U ) (thu từ phép biến đổi khác nhau) đưa độ dài giống U Do đó, độ dài Riemann T xác định Từ π phép đẳng cự địa phương, đường trắc địa Euclidean R2 ánh xạ lên đường trắc địa T 36 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.2.2 Trần Quỳnh Liên Sự tồn của đường trắc địa đa tạp Compact Định nghĩa 2.8 Hai đường cong γ0 , γ1 đa tạp M có điểm đầu điểm cuối p q Nghĩa hai ánh xạ liên tục γ0 , γ1 : I = [0, 1] → M với γ0 (0) = γ1 (0) = p γ0 (1) = γ1 (1) = q gọi đồng luân tồn ánh xạ liên tục Γ:I ×I →M với Γ(0, s) = p, Γ(1, s) = q với s ∈ I, Γ(t, 0) = γ0 (t), Γ(t, 1) = γ1 (t) với t ∈ I Hai đường cong đóng c0 , c1 M (Nghĩa hai ánh xạ liên tục c0 , c1 : S → M ) gọi đồng luân tồn ánh xạ liên tục c : S1 × I → M với c(t, 0) = c0 (t), c(t, 1) = c1 (t) với t ∈ S (Thông thường, S đường tròn đơn vị tham số hóa với [0, 2π]) Bổ đề 2.6 Định nghĩa phép biến đổi đồng luân xác định mối quan hệ tương đương tập tất đường cong M có điểm đầu điểm cuối tập tất đường cong đóng M 37 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Quỳnh Liên Bổ đề 2.7 Cho M đa tạp Riemann compact, ρ0 > hệ (2.4) Cho γ0 , γ1 : S → M đường cong thỏa mãn d(γ0 (t), γ1 (t) ≤ ρ0 với t ∈ S γ0 γ1 đồng luân Chứng minh Với t ∈ S , cho c1 (s) : I → M đường trắc địa ngắn từ γ0 (t) đến γ1 (t) (theo hệ (2.4)) tham số hóa tương ứng đến độ dài cung Vì ct phụ thuộc vào điểm cuối nên t, Γ(t, s) := c1 (s) liên tục hiệu suất đồng luân mong muốn Định lý 2.6 (Sự tồn đường trắc địa) Cho M đa tạp Riemann compact, với p, q ∈ M tồn đường trắc địa lớp đồng luân đường cong từ p đến q, đường trắc địa chọn phải đường cong ngắn lớp đồng luân Cũng vậy, lớp đồng luân đường cong đóng M chứa đường cong ngắn trắc địa Chứng minh Cho (γn )n∈N chuỗi cực tiểu với độ lớn cung lớp đồng luân cho Trong chuỗi này, tất đường cong tham số hóa tương ứng với độ lớn cung Khơng tính tổng qt, ta giả sử đường cong γn phần đường trắc địa Cụ thể, với đường cong, ta cần tìm t0 = < t1 < t2 < tm < tm+1 = 2π với tính chất L(γn |[tj−1 ,tj ] ) ≤ ρ0 (ρ0 hệ (2.4)) 38 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Quỳnh Liên với j = 1, , m + với tm+1 := 2π Thay γn |[tj−1 ,tj ] đường trắc địa ngắn γn (tj−1 ) γn (tj ) Ta thu đường cong đồng luân không dài γn (các lý luận tương tự cho thấy lớp đồng luân chứa đường cong với độ dài hữu hạn) Do đó, ta giả sử γn tồn điểm p0,n , , pm,n cho d(pj−1,n , pj,n ) ≤ ρ0 (pm+1,n := p0,n , j = 1, , m + 1) γn chứa cung trắc địa ngắn pj−1,n pj,n Vì độ dài γn bị chặn chúng lập thành chuối cực tiểu nên ta giả sử m độc lập với n Sau chọn chuỗi con, tính compact M nên điểm p0,n , , pm,n hội tụ đến điểm p0 , , pm n → ∞ Các đoạn γn p0,n , , pm,n hội tụ đến cung trắc địa ngắn pj−1 pj Hợp đoạn trắc địa hiệu suất đường cong γ Theo bổ đề (2.7), γ đồng luân đến γn L(γ) = lim L(γn ) n→∞ Vì đường cong γn chuỗi cực tiểu với độ dài lớp đồng luân chúng nên γ đường cong ngắn lớp Suy ra, γ phải đường trắc địa Trái lại, tồn hai điểm p q γ cho môt hai phân đoạn γ p q có độ dài lớn ρ0 không đường trắc địa Bởi theo hệ (2.4), γ rút ngắn cách thay đoạn cung trắc địa ngắn p q Theo bổ đề (2.7), 39 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Quỳnh Liên điều không làm thay đổi lớp đồng luân mâu thuẫn với giả thiết cực tiểu γ Do đó, γ đường trắc địa đóng Hệ 2.5 Trên đa tạp Riemann compact M1 , hai điểm p, q liên thơng đường cong có độ dài ngắn đường cong trắc địa Định lý 2.7 Cho M đa tạp Riemann compact Với p ∈ M , ánh xạ mũ expp xác định Tp M đường trắc địa mở rộng vơ hạn hướng 2.2.3 Sự tồn đường trắc địa đa tạp đầy đủ Định nghĩa 2.9 Một đa tạp Riemann M đầy đủ trắc địa với p ∈ M , ánh xạ mũ expp xác định Tp M Nói cách khác, đường trắc địa c(t) với c(0) = p xác định với ∀t ∈ R Định lý 2.8 (H.Hopt-Rinow) Cho M đa tạp Riemann Các mệnh đề sau tương đương: (1) M đầy đủ trắc địa (Nghĩa tất đường trắc địa xác định tất thời gian) (2) M đầy đủ trắc địa p.(Nghĩa tất đường trắc địa qua p xác định tất thời gian) (3) M thỏa mãn tính chất Heine - Borel (Nghĩa tập bị chặn, đóng 40 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Quỳnh Liên compact) (4) M không gian metric đầy đủ Hình 2.3: Chứng minh (1) ⇒ (2), (3) ⇒ (4) hiển nhiên (4) ⇒ (1) Chú ý đường trắc địa γ : [0, b) → M xác định khoảng cực đại phải thành tập compact b < ∞ Điều mâu thuẫn với metric đầy đủ γ(ti ), ti → b chuỗi Cauchy (2) ⇒ (3) Xét ánh xạ mũ expp : Tp M → M thỏa mãn: expp (B(0, r)) = B(p, r) với ∀r (Chú ý ⊂ đúng) Xét I = {r : expp (B(0, r)) = B(p, r)} (i) Ta thấy I chứa tất r đóng đến (ii) I đóng Cho ri ∈ I hội tụ đến r chọn q ∈ B(p, r) qi ∈ B(p, ri ) hội tụ đến q Ta tìm vi ∈ B(0, ri ) với qi = expp (vi ) 41 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Quỳnh Liên Thì (vi ) hội tụ đến v ∈ B(0, r) Do tính liên tục expp ta suy expp (v) = q (iii) I mở Ta chứng minh R ∈ I R + ε ∈ I với ε đủ nhỏ Ta chọn tập compact K chứa B(p, R) với ε > cố định ta có tất điểm K với khoảng cách ≤ ε nối với đoạn trắc địa Cho q ∈ B(p, R + ε) − B(p, R) với δ > Chọn đường cong γδ : [0, 1] → M với γδ (0) = p, γ0 δ(1) = q, L(γ0 δ) ≤ d(p, q) + δ Giả sử tδ giá trị cho: γδ (tδ ) ∈ ∂B(p, R) Nếu x điểm tụ cho γδ (tδ ) ta phải có: R + d(x, q) = d(p, x) + d(x, q) = d(p, q) Chọn đoạn từ q đến x đoạn từ p đến x có dạng expp (tv) Ta thấy có đường trắc địa có dạng đường cong từ p đến q với độ dài d(p, q) Suy ra, đoạn Do đó, trơn tính ε đường trắc địa nên liên tục expp (tv), ≤ t ≤ + |γ| ˙ Điều chứng minh q ∈ expp (B(0, R + ε)) Từ (i), (ii), (iii) ta có I = [0, ∞) 42 Kết luận Trong khóa luận em trình bày đầy đủ độ dài Riemann đồng thời giới thiệu đường trắc địa đa tạp Độ dài Riemann yếu tố vơ quan trọng, tiền để nghiên cứu vấn đề sau hình học vi phân Đóng góp khóa luận bao gồm: Khái niệm độ dài Riemann, cơng thức tính độ dài Riemann Đường trắc địa đa tạp Do hạn chế thời gian khả nghiên cứu khoa học nên Khóa luận khó tránh khỏi thiếu sót, em mong nhận đóng góp, bổ sung q báu từ thầy cỏc bn 43 Ti liu tham kho Ting Anh ă rgen Jost (2011), Riemannian Geometry and Geometric A, [1] Ju Springer [2] P Petersen (2006), Riemannian geometry, Spring [3] Sigmundur Gudmundsson (2017), An introduce to Riemannian Geometry, Lund University 44 ... thuyến mở đầu làm sở tảng nghiên cứu độ dài Riemann Chương 2: "Độ dài Riemann đường trắc địa" Nghiên cứu độ dài Riemann bao gồm định nghĩa, tính chất độ dài Riemann, đường trắc địa, ánh xạ mũ,... nghiên cứu Nghiên cứu đề tài em muốn hiểu rõ ràng xác độ dài Riemann Khóa luận thực nhằm đưa định lý bổ đề độ dài Riemann, công thức tính độ dài Riemann, chứng minh tồn đường trắc địa không gian... đạo hàm hiệp biến trường vectơ Y dọc trường vectơ X 17 Chương Độ dài Riemann đường trắc địa 2.1 Độ dài Riemann Định nghĩa 2.1 Độ dài Riemann đa tạp khả vi M xác định tích vơ hướng không gian tiếp
- Xem thêm -

Xem thêm: Độ dài RIEMANN (2018), Độ dài RIEMANN (2018)

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn

Nhận lời giải ngay chưa đến 10 phút Đăng bài tập ngay