❇❐ ●■⑩❖ ❉Ư❈ ❱⑨ ✣⑨❖ ❚❸❖ ❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼ ❍⑨ ◆❐■ ✷ ❑❍❖❆ ❚❖⑩◆ ❚↕ ❚❤ó② ❱➙♥ P❍×❒◆● P❍⑩P ◗❯❨ ❍❖❸❈❍ ✣❐◆● ●■❷■ ▼❐❚ ❙➮ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❚➮■ ×❯ ❑❍➶❆ ▲❯❾◆ ❚➮❚ ◆●❍■➏P ✣❸■ ❍➴❈ ❍➔ ◆ë✐ ✕ ◆➠♠ ✷✵✶✽ ❇❐ ●■⑩❖ ❉Ư❈ ❱⑨ ✣⑨❖ ❚❸❖ ❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼ ❍⑨ ◆❐■ ✷ ❑❍❖❆ ❚❖⑩◆ ❚↕ ❚❤ó② ❱➙♥ P❍×❒◆● P❍⑩P ◗❯❨ ❍❖❸❈❍ ✣❐◆● ●■❷■ ▼❐❚ ❙➮ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❚➮■ ×❯ ❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤✿ ❚♦→♥ Ù♥❣ ❉ư♥❣ ❑❍➶❆ ▲❯❾◆ ❚➮❚ ◆●❍■➏P ✣❸■ ❍➴❈ ◆●×❮■ ❍×❰◆● ❉❼◆ ❑❍❖❆ ❍➴❈✿ ❚❙✳ ❑✐➲✉ ❱➠♥ ❍÷♥❣ ❍➔ ◆ë✐ ✕ ◆➠♠ ✷✵✶✽ ▲❮■ ❈❷▼ ❒◆ ✣➸ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❑❤â❛ ❧✉➟♥✱ ❡♠ ①✐♥ ❣û✐ ❧í✐ ❝↔♠ ì♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ✈➔ tr✐ ➙♥ s➙✉ s➢❝ ✤➳♥ ❝→❝ t❤➛② ❝æ ❣✐→♦ tr♦♥❣ ❑❤♦❛ ❚♦→♥✱ tê t♦→♥ Ù♥❣ t t ữợ tr sốt q✉→ tr➻♥❤ ❡♠ ❤å❝ t➟♣ ✈➔ r➧♥ ❧✉②➺♥ t↕✐ tr÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠ ❍➔ ◆ë✐ ✷✳ ✣➦❝ ❜✐➺t✱ ❡♠ ①✐♥ ❣û✐ ❧í✐ ❝↔♠ ì♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ tỵ✐ t❤➛② ❣✐→♦ ữ t t ữợ ❡♠ tr♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❑❤â❛ ❧✉➟♥✳ ▼➦❝ ❞ò ✤➣ ❝â ♥❤✐➲✉ ❝è ❣➢♥❣ ✤➸ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ✤➲ t➔✐ ởt t ữ ợ ✈è♥ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝á♥ ❤↕♥ ❝❤➳ ♥➯♥ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ ❦❤æ♥❣ tr→♥❤ ❦❤ä✐ ♥❤✐➲✉ t❤✐➳✉ sât✳ ❱➻ ✈➟② r➜t ♠♦♥❣ ♥❤➟♥ ữủ sỹ õ õ ỵ qỵ t ổ ✈➔ ❝→❝ ❜↕♥ ✤➸ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ ✤÷đ❝ ❤♦➔♥ ❝❤➾♥❤ ❤ì♥✳ ❊♠ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥✦ ❍➔ ◆ë✐✱ t❤→♥❣ ✵✺ ♥➠♠ ✷✵✶✽ ❙✐♥❤ ✈✐➯♥ ❚↕ ❚❤ó② ❱➙♥ ▲❮■ ❈❆▼ ✣❖❆◆ ❊♠ ①✐♥ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ ♥➔② ❧➔ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ q✉→ tr➻♥❤ t➻♠ ❤✐➸✉✱ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝õ❛ ❜↔♥ t❤➙♥ ữợ sỹ ữợ ữ ❦❤æ♥❣ s❛♦ ❝❤➨♣ ❜➜t ❝ù ♠ët ✤➲ t➔✐ ♥➔♦ ❦❤→❝✳ ◆❣♦➔✐ r❛✱ ✤➸ ❣✐ó♣ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ ❤♦➔♥ t❤✐➺♥ ♠ët ❝→❝❤ tèt ♥❤➜t✱ ❡♠ ✤➣ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ♠ët sè t➔✐ ❧✐➺✉ ❦❤♦❛ ❤å❝ ✈➔ ✤➣ ✤÷đ❝ ❣❤✐ rã tr♦♥❣ ♣❤➛♥ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦✳ ❊♠ ①✐♥ ❝❤à✉ ❤♦➔♥ t♦➔♥ tr→❝❤ ♥❤✐➺♠ ✈➲ ❧í✐ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ❝õ❛ ♠➻♥❤✳ ❍➔ ◆ë✐✱ t❤→♥❣ ✵✺ ♥➠♠ ✷✵✶✽ ❙✐♥❤ ✈✐➯♥ ❚↕ ❚❤ó② ❱➙♥ ▼ư❝ ❧ư❝ ▲❮■ ◆➶■ ✣❺❯ ✶ ✶ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❒ ❙Ð ✸ ✶✳✶ ✣➺ q✉② ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸ ✶✳✶✳✶ ổ tự tr ỗ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸ ✶✳✶✳✷ ❈➔✐ ✤➦t ✤➺ q✉② ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼ ✶✳✶✳✸ ▼ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ♠❛♥❣ ❜↔♥ ❝❤➜t ✤➺ q✉② ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾ ✶✳✷ ❇➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✹ ✶✳✸ ◗✉② ❤♦↕❝❤ ✤ë♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✺ ✶✳✸✳✶ ▼ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✻ ✶✳✸✳✷ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ q✉② ❤♦↕❝❤ ✤ë♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ữợ t ♠ët ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ sû ❞ư♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ q✉② ❤♦↕❝❤ ✤ë♥❣ ✷ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ▼❐❚ ❙➮ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ◗❯❨ ❍❖❸❈❍ ✣❐◆● ✷✷ ✷✸ ✷✳✶ ❉➣② ❝♦♥ ✤ì♥ ✤✐➺✉ t➠♥❣ ❞➔✐ ♥❤➜t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✸ ✷✳✷ ❇✐➳♥ ✤ê✐ ①➙✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✻ ✷✳✸ ❇➔✐ t♦→♥ ❝→✐ tó✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✸ ❑➌❚ ▲❯❾◆ ✸✽ ✐✐ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❸ ❚❍Ó❨ ❱❹◆ ❚⑨■ ▲■➏❯ ❚❍❆▼ ❑❍❷❖ ✸✾ ✐✐✐ ▲❮■ ◆➶■ ✣❺❯ ◆❣➔② ♥❛② ❝ò♥❣ ✈ỵ✐ sü ♣❤→t tr✐➸♥ ❝õ❛ ✤➜t ữợ ổ tổ t õ ởt trỏ ❤➳t sù❝ q✉❛♥ trå♥❣✱ t→❝ ✤ë♥❣ ❤➛✉ ❤➳t ✤➳♥ t➜t ❝↔ ❝→❝ ❧➽♥❤ ✈ü❝ ✤í✐ sè♥❣ ①➣ ❤ë✐✳ ✣➸ ✤➔♦ t↕♦ r❛ ♠ỉt t❤➳ ❤➺ t÷ì♥❣ ❧❛✐ ❝â ♠ët sü ♣❤→t tr✐➸♥ t♦➔♥ ❞✐➺♥ ✤á✐ ❤ä✐ ♥❣➔♥❤ ❣✐→♦ ❞ö❝ ♣❤↔✐ ❝â sü q✉❛♥ t➙♠ ✤ó♥❣ ♠ù❝ ❧➔ ✤✐➲✉ r➜t ❝➛♥ tt õ ởt ỗ ỹ ự ❝➛✉ ❝æ♥❣ ♥❣❤➺ ❤â❛✱ ❤✐➺♥ ✤↕✐ ❤â❛ ♠ð ❝û❛ ✈➔ ữợ tợ t tr tự ữợ t õ r t ợ õ ❝❤✉♥❣✳ ▼ët t❤✉➟t t♦→♥ ❝â t❤➸ ❝❤➾ ❣✐↔✐ ✤÷đ❝ ♠ët ❜➔✐ t♦→♥✱ ♥❤÷♥❣ ♠ët ❜➔✐ t♦→♥ ❝â t❤➸ ✤÷đ❝ ❣✐↔✐ ❜➡♥❣ r➜t ♥❤✐➲✉ t❤✉➟t t♦→♥ ❦❤→❝ ♥❤❛✉✳❈→❝ t❤✉➟t t♦→♥ ✤➺ q✉② ❝â ÷✉ ✤✐➸♠ ❞➵ ❝➔✐ ✤➦t✱ t✉② ♥❤✐➯♥ ❞♦ ❜↔♥ ❝❤➜t ❝õ❛ q✉→ tr➻♥❤ ✤➺ q✉②✱ ❝→❝ ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ tữớ t ỳ ỏ ọ ợ ổ ợ ởt ố ữủ t t ỗ t t r tt t ũ ❤đ♣✱ ♥❤❛♥❤ ❣å♥ ✤➵ ❤✐➸✉✱ tè♥ ➼t ❞✉♥❣ ❧÷đ♥❣ ❜ë ♥❤ỵ✳ ◗✉② ❤♦↕❝❤ ✤ë♥❣ ✭❉②♥❛♠✐❝ ♣r♦❣r❛♠♠✐♥❣✮ ❧➔ ♠ët ❦ÿ t❤✉➟t ♥❤➡♠ ✤ì♥ ❣✐↔♥ ❤â❛ ✈✐➺❝ t➼♥❤ t♦→♥ ❝→❝ ❝ỉ♥❣ t❤ù❝ tr ỗ ữ trỳ t ởt t q t t t ộ ữợ ợ ✤➼❝❤ sû ❞ö♥❣ ❧↕✐✳ ❇↔♥ ❝❤➜t ❝õ❛ q✉② ❤♦↕❝❤ ✤ë♥❣ ❧➔ t❤❛② t❤➳ ♠æ ❤➻♥❤ t➼♥❤ t♦→♥ ✏tø tr➯♥ ①✉è♥❣✑ ✭❚♦♣✲❞♦✇♥✮ ❜➡♥❣ ♠æ ❤➻♥❤ t➼♥❤ t♦→♥ ✶ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ể tứ ữợ tt ❚ø ✏♣r♦❣r❛♠♠✐♥❣✑ ð ✤➙② ❦❤ỉ♥❣ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ❣➻ tỵ✐ ✈✐➺❝ ❧➟♣ tr➻♥❤ ❝❤♦ ♠→② t➼♥❤✱ ✤â ❧➔ ♠ët t❤✉➟t ♥❣ú ♠➔ ❝→❝ ♥❤➔ t♦→♥ ❤å❝ ❤❛② ❞ò♥❣ ✤➸ ❝❤➾ r❛ ữợ tr qt ởt t♦→♥ ❤❛② ♠ët ❧ỵ♣ ❝→❝ ✈➜♥ ✤➲✳ ❑❤ỉ♥❣ ❝â ♠ët t❤✉➟t t♦→♥ tê♥❣ q✉→t ✤➸ ❣✐↔✐ t➜t ❝↔ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ q✉② ❤♦↕❝❤ ✤ë♥❣✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ q✉② ❤♦↕❝❤ ✤ë♥❣ ❧➔ ♠ët ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❤❛② ❝â ♥❤✐➲✉ ÷✉ ✤✐➸♠ t✉② ♥❤✐➯♥ ❝ơ♥❣ ❝â ♥❤÷đ❝ ✤✐➸♠ ✤â ❧➔ ❦❤â t➻♠ ✤÷đ❝ ❝ỉ♥❣ tự tr ỗ õ t ❤✐➸✉ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ q✉② ❤♦↕❝❤ ✤ë♥❣ ✤➸ ❣✐↔✐ q✉②➳t ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ♠❛♥❣ ❜↔♥ ❝❤➜t ✤➺ q✉②✱ ❣✐ó♣ ❝❤♦ ✈✐➺❝ ❣✐↔✐ q✉②➳t ♥❤ú♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ trð ♥➯♥ ❞➵ ❞➔♥❣✱ ♥❤❛♥❤✱ ❣å♥ ♥❤➭ ❤ì♥✱ tè♥ ➼t ❜ë ♥❤ỵ✳ ỳ ỵ tr qt ✤➲ t➔✐ ♥❣❤✐➯♥ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ q✉② ❤♦↕❝❤ ✤ë♥❣ ✤➸ ❣✐↔✐ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ✧ ❝❤♦ ❝ù✉ ✧ õ trú õ ỗ ❝❤÷ì♥❣✿ ❈❤÷ì♥❣ ✶✿ ❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝➛♥ ❝❤✉➞♥ ❜à✳ ❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔② ❡♠ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ q✉② ❤♦↕❝❤ ✤ë♥❣✳ ❈❤÷ì♥❣ ✷✿ ▼ët sè ❜➔✐ t♦→♥ q✉② ❤♦↕❝❤ ✤ë♥❣✳ ❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔② ❡♠ tr➻♥❤ ❜➔② ❝ö t❤➸ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ q✉② ❤♦↕❝❤ ✤ë♥❣ ✷ ❈❤÷ì♥❣ ✶ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❒ ❙Ð ✶✳✶ ✣➺ q✉② ổ tự tr ỗ ổ tự tr ỗ số ữỡ tr u(n − 1) u(n) ❜➡♥❣ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû u(0)✱ u(1)✱ u(2) u(0) u(1) u(2) trữợ õ u(n) = F (u(0), u(1), u(2), , u(n − 1)) ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ❜❛♥ ✤➛✉ ❧➔ ❝→❝ ❣✐→ trà ❣→♥ ❝❤♦ ♠ët sè ❤ú✉ ❤↕♥ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû ❜❛♥ ✤➛✉✳ ❱➼ ❞ö ✶✳✶✳ ❈❤♦ sè tü ♥❤✐➯♥ m ≤ 100✳ ❍➣② ❝❤♦ ❜✐➳t ❝â ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ❝→❝❤ ♣❤➙♥ t➼❝❤ sè m t❤➔♥❤ tê♥❣ ❝õ❛ ❞➣② ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣✱ ❝→❝ ❝→❝❤ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ❧➔ ❤♦→♥ ✈à ❝õ❛ ♥❤❛✉ ❝❤➾ t➼♥❤ ❧➔ ♠ët ❝→❝❤✳ ❱➼ ❞ö: m=4 ❝â ✺ ❝→❝❤ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ✶✳ = + + + 1, ✷✳ = + + 2, : ✸ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ✭ ✸✳ = + 3, ✹✳ = + 2, ✺✳ = ú ỵ : m = ể ✈➝♥ ❝♦✐ ❧➔ ♠ët ❝→❝❤ ♣❤➙♥ t➼❝❤ t❤➔♥❤ tê♥❣ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ ✭✵ ❧➔ tê♥❣ ❝õ❛ ❞➣② ré♥❣✮✮✳ ✣➸ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ♥➔② t❛ ❝â t❤➸ ❞ò♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧✐➺t ❦➯ t➜t ❝↔ ❝→❝ ❝→❝❤ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ✈➔ ✤➳♠ sè ❝➜✉ ❤➻♥❤✳ ❇➙② ❣✐í t❛ t❤û ♥❣❤➽ ①❡♠ ❝â ❝→❝❤ ♥➔♦ ❝â t❤➸ t➼♥❤ ♥❣❛② r❛ sè ❧÷đ♥❣ ❝→❝ ❝→❝❤ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ♠➔ ❦❤æ♥❣ ❝➛♥ ♣❤↔✐ ❧✐➺t ❦➯ ❤❛② ❦❤ỉ♥❣✳ ❇ð✐ ✈➻ ❦❤✐ sè ❝→❝❤ ♣❤➙♥ t➼❝❤ t÷ì♥❣ ✤è✐ ợ ữỡ t tọ r ①➨t ✿ ◆➳✉ ❣å✐ ❞÷ì♥❣ F (u, v) ≤ u✳ ❧➔ sè ❝→❝❤ ♣❤➙♥ t➼❝❤ sè v t❤➔♥❤ tê♥❣ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ ❑❤✐ ✤â✿ ❈→❝ ❝→❝❤ ♣❤➙♥ t➼❝❤ sè v t❤➔♥❤ tê♥❣ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ ≤u ❝â t❤➸ ❝❤✐❛ ❧➔♠ ❤❛✐ ❧♦↕✐✿ ▲♦↕✐ ✶: ❑❤æ♥❣ ❝❤ù❛ sè u tr♦♥❣ ♣❤➨♣ ♣❤➙♥ t➼❝❤✱ ❦❤✐ ✤â sè ❝→❝❤ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ❧♦↕✐ ♥➔② ❝❤➼♥❤ ❧➔ sè ❝→❝❤ ♣❤➙♥ t➼❝❤ sè sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ < u✱ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ v t❤➔♥❤ tê♥❣ ❝→❝ tù❝ ❧➔ sè ❝→❝❤ ♣❤➙♥ t➼❝❤ sè ≤u−1 ✈➔ ❜➡♥❣ v t❤➔♥❤ tê♥❣ F [u − 1, v]✳ ▲♦↕✐ ✷: ❈â ❝❤ù❛ ➼t ♥❤➜t ♠ët sè ✉ tr♦♥❣ ♣❤➨♣ ♣❤➙♥ t➼❝❤✳ ❑❤✐ ✤â ♥➳✉ tr♦♥❣ ❝→❝ ❝→❝❤ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ❧♦↕✐ ♥➔② t❛ ❜ä ✤✐ sè ✉ ✤â t❤➻ t❛ s➩ ✤÷đ❝ ❝→❝ ❝→❝❤ ♣❤➙♥ t➼❝❤ sè ≤ u✳ v − u t❤➔♥❤ tê♥❣ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ ✭ ▲÷✉ þ: ✤✐➲✉ ♥➔② ❝❤➾ ✤ó♥❣ ❦❤✐ ❦❤ỉ♥❣ t➼♥❤ ❧➦♣ ❧↕✐ ❝→❝ ❤♦→♥ ✹ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❸ ❚❍Ó❨ ❱❹◆ ❡♥❞❀ ✷✳✷ ❇✐➳♥ ✤ê✐ ①➙✉ ❇➔✐ t♦→♥✿ ❈❤♦ ỵ tỹ t ✶✳ Insert(i, C)✿ i ❧➔ sè✱ s❛✉ ✈à tr➼ ✐ ❝õ❛ ①➙✉ ✷✳ Replace(i, C)✿ i tr➼ ✐ ❝õ❛ ①➙✉ Delete(i) i Y ỵ tỹ P srt ỵ tỹ C ỵ tỹ P t ỵ tỹ t ỵ tỹ C số P t ỵ tỹ t tr Y C Y số trữợ tr ❜✐➳♥ ①➙✉ C X✱ i ❝õ❛ ①➙✉ Y✳ ❤➣② t➻♠ ♠ët sè ➼t ♥❤➜t ❝→❝ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ t❤➔♥❤ ①➙✉ X✳ ■♥♣✉t✿ ❢✐❧❡ ✈➠♥ ❜↔♥ ❳❆❯✳■◆P ∗ ❉á♥❣ ✶✿ ❈❤ù❛ ①➙✉ ❨✱ ✭✤ë ❞➔✐ ≤ 100✮✳ ∗ ❉á♥❣ ✷✿ ❈❤ù❛ ①➙✉ ❳✱ ✭✤ë ❞➔✐ ≤ 100✮✳ ❖✉t♣✉t✿ ❢✐❧❡ ✈➠♥ ❜↔♥ ❳❆❯✳❖❯❚ ❣❤✐ ❝→❝ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ❝➛♥ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ✈➔ ①➙✉ ❳ t↕✐ ♠é✐ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐✳ ❈→❝❤ ❣✐↔✐✿ ✣è✐ ợ ỵ tỹ t s ❝❤♦ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû ♣❤➼❛ s❛✉ ✈à tr➼ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ❜à ✤→♥❤ ❝❤➾ sè ❧↕✐✱ ❣➙② ❦❤â ❦❤➠♥ ❝❤♦ ✈✐➺❝ q ỵ tr t s➩ t➻♠ ♠ët t❤ù tü ❜✐➳♥ ✤ê✐ t❤♦↔ ♠➣♥✿ P❤➨♣ ✷✻ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❸ ❚❍Ó❨ ❱❹◆ ❍➻♥❤ ✷✳✸✿ ❜✐➳♥ ✤ê✐ t↕✐ ✈à tr➼ ✐ ❜➢t ❜✉ë❝ ♣❤↔✐ t❤ü❝ ❤✐➺♥ s❛✉ ❝→❝ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ t↕✐ ✈à tr➼ i + 1, i + 2, ❱➼ ❞ö ✷✳✷✳ Z = M N P Q ❀ Insert(0, E) s❛✉ ✤â ❉❡❧❡t❡✭✹✮ ❝❤♦ r❛ Z = EM N P Q ✳ ❈→❝❤ ♥➔② ❦❤æ♥❣ t✉➙♥ t❤õ ♥❣✉②➯♥ t➢❝✳ ❉❡❧❡t❡✭✸✮ s❛✉ ✤â Insert(0, E) ❝❤♦ r❛ Z = EM N Q ✳ ❈→❝❤ ♥➔② t✉➙♥ t❤õ ♥❣✉②➯♥ t➢❝ ✤➲ r❛✳ ◆â✐ tâ♠ ❧↕✐ t❛ s➩ t➻♠ ♠ët ❞➣② ❜✐➳♥ ✤ê✐ ❝â ✈à tr➼ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❣✐↔♠ ❞➛♥✳ ❈æ♥❣ tự tr ỗ sỷ ❩ ✈➔ ♥ ❧➔ ✤ë ❞➔✐ ①➙✉ ❱✳ ●å✐ F [i, j] ❧➔ sè ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ tè✐ t❤✐➸✉ ✤➸ ỗ ỵ tỹ Z : Z[1 i] t ỗ ỵ tỹ ❝õ❛ ①➙✉ V : V [1 j]✳ ◗✉❛♥ s→t ❤❛✐ ❞➣② ❩ ✈➔ ❱✿ ❚❛ ♥❤➟♥ t❤➜②✿ ∗ ❚r÷í♥❣ ❤đ♣ ✶✿ ◆➳✉ Z[m] = V [n] t❤➻ t❛ ❝❤➾ ❝➛♥ ❜✐➳♥ ✤♦↕♥ Z[1 m− ✷✼ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❸ ❚❍Ó❨ ❱❹◆ ❍➻♥❤ ✷✳✹✿ 1] t❤➔♥❤ V [1 n − 1]✳ F [m − 1, n − 1]✳ ❚ù❝ ❧➔ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ♥➔②✿ F [m, n] = ❍➻♥❤ ✷✳✺✿ ∗ ◆➳✉ Z[m] = X[n] t❤➻ t↕✐ ✈à tr➼ Z[m] t❛ ❝â t❤➸ sû ❞ö♥❣ ♠ët tr♦♥❣ ✸ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐✿ ❍♦➦❝ ❝❤➧♥ ✈➔♦ s❛✉ ✈à tr➼ ♠ Z ởt ỵ tỹ ú V n ❍➻♥❤ ✷✳✻✿ ❚❤➻ ❦❤✐ ✤â F [m, n] s➩ ❜➡♥❣ t ứ rỗ ợ số ✤ê✐ ❜✐➳♥ ❞➣② Z[1 m − 1] t❤➔♥❤ ❞➣② V [1 n − 1]✿ F [m, n] = + F [m − 1, n − 1]✳ ✷✽ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❸ ❚❍Ó❨ ❱❹◆ ❍➻♥❤ ✷✳✼✿ ❍♦➦❝ ①♦→ ✈à tr➼ t❤ù ♠ ❝õ❛ Z ✿ ❚❤➻ ❦❤✐ ✤â F [m, n] s➩ ❜➡♥❣ ✶ ♣❤➨♣ ①♦→ ✈ø❛ rỗ ợ số Z[1 m − 1] t❤➔♥❤ ❞➣② V [1 n] : F [m, n] = + F [m − 1, n]✳ ❱➻ F [m, n] ♣❤↔✐ ❧➔ ♥❤ä ♥❤➜t ❝â t❤➸✱ ♥➯♥ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ Z[m] = V [n] t❤➻✿ F [m, n] = (F [m, n − 1], F [m − 1, n − 1], F [m − 1, n]) + 1✳ ❚❛ ①➙② ❞ü♥❣ ①♦♥❣ ❝æ♥❣ t❤ù❝ tr✉② ỗ F [m, n] = F [m 1, n − 1] Zm = Vn  min (F [m, n − 1], F [m − 1, n − 1], F [m − 1, n]) + 1, Zm = Vn ❈ì sð q✉② ❤♦↕❝❤ ✤ë♥❣✿ ❧➔ sè ♣❤➨♣ rộ t ỗ ỵ tü ✤➛✉ ❝õ❛ ❋✳ ◆â ❝➛♥ tè✐ t❤✐➸✉ ❥ ♣❤➨♣ ❝❤➧♥✿ F [0, j] = j ✳ ∗ F [0, j] số ỗ ỵ tỹ t rộ õ tè✐ t❤✐➸✉ ✐ ♣❤➨♣ ①♦→✿ F [i, 0] = i✳ ∗ F [i, 0] ❱➟② ✤➛✉ t✐➯♥ ❜↔♥❣ ♣❤÷ì♥❣ →♥ ❋ ✭❝ï[0 m, n]✮ ✤÷đ❝ ❦❤ð✐ t↕♦ ❤➔♥❣ ✵ ✈➔ ❝ët ✵ ❧➔ ❝ì sð q✉② ❤♦↕❝❤ ✤ë♥❣✳ ❚ø õ ũ ổ tự tr ỗ t r tt ❝→❝ ♣❤➛♥ tû ❜↔♥❣ ❇✳ ✷✾ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❸ ❚❍Ó❨ ❱❹◆ ❙❛✉ ❦❤✐ t➼♥❤ ①♦♥❣ t❤➻ F [m, n] ❝❤♦ t❛ ❜✐➳t sè ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ tè✐ t❤✐➸✉✳ ❚r✉② ✈➳t✿ ◆➳✉ Z[m] = V [n] t❤➻ ❝❤➾ ✈✐➺❝ ①➨t t✐➳♣ F [m − 1, n − 1]✳ ◆➳✉ ❦❤ỉ♥❣✱ ①➨t ✸ tr÷í♥❣ ❤đ♣✿ ∗ ∗ ◆➳✉ F [m, n] = F [m, n − 1] + t❤➻ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ✤➛✉ t✐➯♥ ✤÷đ❝ sû ❞ư♥❣ ❧➔✿ Insert(m, V [n])✳ ◆➳✉ F [m, n] = F [m − 1, n − 1] + t❤➻ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ✤➛✉ t✐➯♥ ✤÷đ❝ sû ❞ư♥❣ ❧➔✿ Replace(m, V [n])✳ ∗ N uF [m, n] = F [m − 1, n] + 1✱ ❞ö♥❣ ❧➔✿ Delete(m)✳ t❤➻ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ t ữủ sỷ ữ t ợ ♠✱ ♥ ♥❤ä ❤ì♥ tr✉② ✈➳t t✐➳♣ ❝❤♦ tỵ✐ ❦❤✐ ✈➲ F [0, 0]✳ ❱➼ ❞ö ✷✳✸✳ Z = M N P Q ❀ V = EM N Q ❋ ✵ ✶ ✷ ✸ ✹ ✵ ✵ ✶ ✷ ✸ ✹ ✶ ✶ ✶ ✷ ✸ ✹ ✷ ✷ ✶ ✷ ✸ ✹ ✸ ✸ ✷ ✶ ✷ ✸ ❜↔♥❣ ♣❤÷ì♥❣ →♥ ❧➔✿ ✹ ✹ ✸ ✷ ✷ ✷ ▲÷✉ þ✿ ❦❤✐ tr✉② ✈➳t✱ ✤➸ tr→♥❤ tr✉② ♥❤➟♣ r❛ ♥❣♦➔✐ ❜↔♥❣✱ ♥➯♥ t↕♦ ✈✐➲♥ ❝❤♦ ❜↔♥❣✳ ♣r♦❣r❛♠ ❙tr❖♣t❀ ❝♦♥st ■♥♣✉t❋✐❧❡ ❂ ✬❳❆❯✳■◆P✬❀ ✸✵ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❸ ❚❍Ó❨ ❱❹◆ ❖✉t♣✉t❋✐❧❡ ❂ ✬❳❆❯✳❖❯❚✬❀ ♠❛① ❂ ✶✵✵❀ ✈❛r ❳✱ ❨✿ ❙tr✐♥❣❬✷ ✯ ♠❛①❪❀ ❋✿ ❛rr❛②❬✲✶✳✳♠❛①✱ ✲✶✳✳♠❛①❪ ♦❢ ■♥t❡❣❡r❀ ♠✱ ♥✿ ■♥t❡❣❡r❀ ♣r♦❝❡❞✉r❡ ❊♥t❡r❀ ✈❛r ❢✐✿ ❚❡①t❀ ❜❡❣✐♥ ❆ss✐❣♥✭❢✐✱ ■♥♣✉t❋✐❧❡✮❀ ❘❡s❡t✭❢✐✮❀ ❘❡❛❞▲♥✭❢✐✱ ❳✮❀ ❘❡❛❞▲♥✭❢✐✱ ❨✮❀ ❈❧♦s❡✭❢✐✮❀ ♠ ✿❂ ▲❡♥❣t❤✭❳✮❀ ♥ ✿❂ ▲❡♥❣t❤✭❨✮❀ ❡♥❞❀ ❢✉♥❝t✐♦♥ ▼✐♥✸✭①✱ ②✱ ③✿ ■♥t❡❣❡r✮✿ ■♥t❡❣❡r❀ ✈❛r t✿ ■♥t❡❣❡r❀ ❜❡❣✐♥ ✐❢ ① ❁ ② t❤❡♥ t ✿❂ ① ❡❧s❡ t ✿❂ ②❀ ✐❢ ③ ❁ t t❤❡♥ t ✿❂ ③❀ ▼✐♥✸ ✿❂ t❀ ❡♥❞❀ ♣r♦❝❡❞✉r❡ ❖♣t✐♠✐③❡❀ ✈❛r ✐✱ ❥✿ ■♥t❡❣❡r❀ ❜❡❣✐♥ ❢♦r ✐ ✿❂ ✵ t♦ ♠ ❞♦ ❋❬✐✱ ✲✶❪ ✿❂ ♠❛① ✰✶❀ ❢♦r ❥ ✿❂ ✵ t♦ ♥ ❞♦ ❋❬✲✶✱ ❥❪ ✿❂ ♠❛① ✰ ✶❀ ❢♦r ❥ ✿❂ ✵ t♦ ♥ ❞♦ ❋❬✵✱ ❥❪ ✿❂ ❥❀ ❢♦r ✐ ✿❂ ✶ t♦ ♠ ❞♦ ❋❬✐✱ ✵❪ ✿❂ ✐❀ ✸✶ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❸ ❚❍Ó❨ ❱❹◆ ❢♦r ✐ ✿❂ ✶ t♦ ♠ ❞♦ ❢♦r ❥ ✿❂ ✶ t♦ ♥ ❞♦ ✐❢ ❳❬✐❪ ❂ ❨❬❥❪ t❤❡♥ ❋❬✐✱ ❥❪ ✿❂ ❋❬✐ ✲ ✶✱ ❥ ✲ ✶❪ ❡❧s❡ ❋❬✐✱ ❥❪ ✿❂ ▼✐♥✸✭❋❬✐✱ ❥ ✲ ✶❪✱ ❋❬✐ ✲ ✶✱ ❥ ✲ ✶❪✱ ❋❬✐ ✲ ✶✱ ❥❪✮ ✰ ✶❀ ❡♥❞❀ ♣r♦❝❡❞✉r❡ ❚r❛❝❡❀ ✈❛r ❢♦✿ ❚❡①t❀ ❜❡❣✐♥ ❆ss✐❣♥✭❢♦✱ ❖✉t♣✉t❋✐❧❡✮❀ ❘❡✇r✐t❡✭❢♦✮❀ ❲r✐t❡▲♥✭❢♦✱ ❋❬♠✱ ♥❪✮❀ ✇❤✐❧❡ ✭♠ ❁❃ ✵✮ ♦r ✭♥ ❁❃ ✵✮ ❞♦ ✐❢ ❳❬♠❪ ❂ ❨❬♥❪ t❤❡♥ ❜❡❣✐♥ ❉❡❝✭♠✮❀ ❉❡❝✭♥✮❀ ❡♥❞ ❡❧s❡ ❜❡❣✐♥ ❲r✐t❡✭❢♦✱ ❳✱ ✬ ✲❃ ✬✮❀ ✐❢ ❋❬♠✱ ♥❪ ❂ ❋❬♠✱ ♥ ✲ ✶❪ ✰ ✶ t❤❡♥ ❜❡❣✐♥ ❲r✐t❡✭❢♦✱ ✬■♥s❡rt✭✬✱ ♠✱ ✬✱ ✬✱ ❨❬♥❪✱ ✬✮✬✮❀ ■♥s❡rt✭❨❬♥❪✱ ❳✱ ♠ ✰ ✶✮❀ ❉❡❝✭♥✮❀ ❡♥❞ ❡❧s❡ ✐❢ ❋❬♠✱ ♥❪ ❂ ❋❬♠ ✲ ✶✱ ♥ ✲ ✶❪ ✰ ✶ t❤❡♥ ❜❡❣✐♥ ❲r✐t❡✭❢♦✱ ✬❘❡♣❧❛❝❡✭✬✱ ♠✱ ✬✱ ✬✱ ❨❬♥❪✱ ✬✮✬✮❀ ❳❬♠❪ ✿❂ ❨❬♥❪❀ ❉❡❝✭♠✮❀ ❉❡❝✭♥✮❀ ❡♥❞ ❡❧s❡ ✸✷ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❸ ❚❍Ó❨ ❱❹◆ ❜❡❣✐♥ ❲r✐t❡✭❢♦✱ ✬❉❡❧❡t❡✭✬✱ ♠✱ ✬✮✬✮❀ ❉❡❧❡t❡✭❳✱ ♠✱ ✶✮❀ ❉❡❝✭♠✮❀ ❡♥❞❀ ❲r✐t❡▲♥✭❢♦✱ ✬ ✲❃ ✬✱ ❳✮❀ ❡♥❞❀ ❈❧♦s❡✭❢♦✮❀ ❡♥❞❀ ❜❡❣✐♥ ❊♥t❡r❀ ❖♣t✐♠✐③❡❀ ❚r❛❝❡❀ ❡♥❞✳ ✷✳✸ ❇➔✐ t♦→♥ ❝→✐ tó✐ t ởt ỷ ỗ tr õ ♥ ♠â♥ ❤➔♥❣ ✭n ♠â♥ ❤➔♥❣ t❤ù ✐ ❝â trå♥❣ ❧÷đ♥❣ ❧➔ W [i] ≤ 100 ✈➔ trà ❣✐→ ≤ 100✮✱ V [i] ≤ 100 ✭sè ♥❣✉②➯♥✮✳ ▼ët t➯♥ trë♠ ♠❛♥❣ t❤❡♦ ♠ët ❝❤✐➳❝ tó✐ ❝â t❤➸ ✤ü♥❣ ✤÷đ❝ tè✐ ✤❛ trå♥❣ ❧÷đ♥❣ ▼ ✭ M ≤ 100✮✳ ❍ä✐ t➯♥ trë♠ ✤â s➩ ❧➜② ♥❤ú♥❣ ♠â♥ ❤➔♥❣ ♥➔♦ ✤➸ ✤÷đ❝ tê♥❣ ❣✐→ trà ❧ỵ♥ ♥❤➜t✳ ❇✐➳t r➡♥❣ ♠é✐ ♠â♥ ❝❤➾ ✤÷đ❝ ❝❤å♥ ❤♦➦❝ ❦❤ỉ♥❣ ❝❤å♥✳ ■♥♣✉t✿ ❢✐❧❡ ✈➠♥ ❜↔♥ ❇■●❇❆●✳■◆P ❉á♥❣ ✶✿ ❈❤ù❛ ❤❛✐ sè ♥✱ ▼ ❝→❝❤ ♥❤❛✉ ➼t ♥❤➜t ♠ët ❞➜✉ ❝→❝❤✳ ♥ ❞á♥❣ t✐➳♣ t❤❡♦✱ ❞á♥❣ t❤ù ✐ ❝❤ù❛ ❤❛✐ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ ❲❬✐❪✱ ❱❬✐❪ ❝→❝❤ ♥❤❛✉ ➼t ♥❤➜t ♠ët ❞➜✉ ❝→❝❤✳ ✸✸ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❸ ❚❍Ó❨ ❱❹◆ ❖✉t♣✉t✿ ❢✐❧❡ ✈➠♥ ❜↔♥ ❇■●❇❆●✳❖❯❚ ❉á♥❣ ✶ ✿ ●❤✐ ❣✐→ trà ❧ỵ♥ ♥❤➜t t➯♥ trë♠ ❝â t❤➸ ❧➜②✳ ❉á♥❣ ✷ ✿ ●❤✐ ❝❤➾ sè ♥❤ú♥❣ ❜à ❧➜②✳ ❍➻♥❤ ✷✳✽✿ ❈→❝❤ ❣✐↔✐✿ ◆➳✉ ❣å✐ tr♦♥❣ ❝→❝ ❣â✐ F [i, j] ❧➔ ❣✐→ trà ❧ỵ♥ ♥❤➜t ❝â t❤➸ ❝â ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ❝❤å♥ 1, 2, , i ợ ợ trồ ữủ tr ợ t ữủ tr số õ ợ ợ trồ ữủ F [n, M ]✳ ❱➼ ❞ö F [4, 10] = 8✱ ♥❣❤➽❛ ❧➔ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ tè✐ ÷✉ tê♥❣ ❣✐→ trà ❝õ❛ ❝→❝ ♠â♥ ❤➔♥❣ ✤÷đ❝ ❝❤å♥ ❧➔ ✽✱ ❦❤✐ ❝â ✹ ♠â♥ ✤➛✉ t✐➯♥ ✤÷đ❝ ❝❤å♥ ✭tø ♠â♥ ✶ ✤➳♥ ♠â♥ ✹✮ ✈➔ ❦❤è✐ ❧÷đ♥❣ tè✐ ✤❛ ❝õ❛ tó✐ ❧➔ ✶✵✳ ổ tự tr ỗ t F [i, j] tố ÷✉ tr♦♥❣ sè ❝→❝ ❣â✐ ❱ỵ✐ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ trå♥❣ ❧÷đ♥❣ ❥✱ ✈✐➺❝ 1, 2, , i − 1, i ❝â ❤❛✐ ❦❤↔ ♥➠♥❣✿ ✸✹ ✤➸ ❝â ❣✐→ trà ❧ỵ♥ ♥❤➜t s➩ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ∗ ❚❸ ❚❍Ĩ❨ ❱❹◆ ◆➳✉ ❦❤ỉ♥❣ ❝❤å♥ ❣â✐ t❤ù ✐ t❤➻ ❋❬✐✱ ❥❪ ❧➔ ❣✐→ trà ❧ỵ♥ ♥❤➜t ❝â t❤➸ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ❝❤å♥ tr♦♥❣ sè ❝→❝ ❣â✐ 1, 2, , i − ✈ỵ✐ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ trå♥❣ ❧÷đ♥❣ ❧➔ ❥✳ ❚ù❝ ❧➔ F [i, j] = F [i − 1, j] ∗ ◆➳✉ ❝â ❝❤å♥ ❣â✐ t❤ù tt t tợ trữớ ủ ♠➔ W [i] ≤ j ✮ t❤➻ F [i, j] ❜➡♥❣ ❣✐→ trà ❣â✐ t❤ù ✐ ❧➔ ❱❬✐❪ ❝ë♥❣ ✈ỵ✐ tr ợ t õ t õ ữủ ❝❤å♥ tr♦♥❣ sè ❝→❝ ❣â✐ 1, 2, , i ợ ợ trồ ữủ j − W [i]✳ ❚ù❝ ❧➔ ✈➲ ♠➦t ❣✐→ trà t❤✉ ✤÷đ❝✿ F [i, j] = V [i] + F [i − 1, j − W [i]] ❣✐→ trà ❧ỵ♥ ♥❤➜t ❝â t❤➸✱ ♥➯♥ ❱➻ t❤❡♦ ❝→❝❤ ①➙② ❞ü♥❣ F [i, j] F [i, j] ❧➔ s➩ ❧➔ ♠❛① tr♦♥❣ ✷ ❣✐→ trà t❤✉ ✤÷đ❝ ð tr➯♥✳ ❈ì sð q✉② ❤♦↕❝❤ ✤ë♥❣✿ ❉➵ t❤➜② F [0, j] = 0✱ ❣✐→ trà ❧ỵ♥ ♥❤➜t ❝â t❤➸ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ❝❤å♥ tr♦♥❣ sè õ ữỡ ữỡ ỗ n + ỏ M + ởt trữợ t ữủ ỡ s q ỏ ỗ t số ỷ ổ tự tr ỗ ũ ❞á♥❣ ✵ t➼♥❤ ❞á♥❣ ✶✱ ❞ò♥❣ ❞á♥❣ ✶ t➼♥❤ ❞á♥❣ ✷✱ ✈✳✈✳ ✳ ✳ ✤➳♥ ❦❤✐ t➼♥❤ ❤➳t ❞á♥❣ ♥✳ ❚r✉② ✈➳t✿ ❚➼♥❤ ①♦♥❣ ❜↔♥❣ ♣❤÷ì♥❣ →♥ t❤➻ t❛ q✉❛♥ t➙♠ ✤➳♥ F [n, M ] ✤â ❝❤➼♥❤ ❧➔ ❣✐→ tr ợ t t ữủ tr õ ợ ợ trồ ữủ õ tự ♥✱ t❛ tr✉② t✐➳♣ F [n, M ] ❂ F [n − 1, M ] t❤➻ tù❝ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❝❤å♥ F [n − 1, M ]✳ ❈á♥ ♥➳✉ F [n, M ] = F [n − 1, M ] t❤➻ t❛ t❤ỉ♥❣ ❜→♦ r➡♥❣ ♣❤➨♣ ❝❤å♥ tè✐ ÷✉ ❝â ❝❤å♥ ❣â✐ t❤ù ♥ ✈➔ tr✉② t✐➳♣ F [n − 1, M − W [n]]✳ ❈ù t✐➳♣ tư❝ ❝❤♦ tỵ✐ ❦❤✐ tr tợ ữỡ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❸ ❚❍Ó❨ ❱❹◆ ❍➻♥❤ ✷✳✾✿ ♣r♦❣r❛♠ ▲✉❝❦②❴❇❛❣❀ ❝♦♥st ■♥♣✉t❋✐❧❡ ❂ ✬❇■●❇❆●✳■◆P✬❀ ❖✉t♣✉t❋✐❧❡ ❂ ✬❇■●❇❆●✳❖❯❚✬❀ ♠❛① ❂ ✶✵✵❀ ✈❛r ❲✱ ❱✿ ❆rr❛②❬✶✳✳♠❛①❪ ♦❢ ■♥t❡❣❡r❀ ❋✿ ❛rr❛②❬✵✳✳♠❛①✱ ✵✳✳♠❛①❪ ♦❢ ■♥t❡❣❡r❀ ♥✱ ▼✿ ■♥t❡❣❡r❀ ♣r♦❝❡❞✉r❡ ❊♥t❡r❀ ✈❛r ✐✿ ■♥t❡❣❡r❀ ❢✐✿ ❚❡①t❀ ❜❡❣✐♥ ❆ss✐❣♥✭❢✐✱ ■♥♣✉t❋✐❧❡✮❀ ❘❡s❡t✭❢✐✮❀ ❘❡❛❞▲♥✭❢✐✱ ♥✱ ▼✮❀ ❢♦r ✐ ✿❂ ✶ t♦ ♥ ❞♦ ❘❡❛❞▲♥✭❢✐✱ ❲❬✐❪✱ ❱❬✐❪✮❀ ❈❧♦s❡✭❢✐✮❀ ❡♥❞❀ ♣r♦❝❡❞✉r❡ ❖♣t✐♠✐③❡❀ ✈❛r ✸✻ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❸ ❚❍Ó❨ ❱❹◆ ✐✱ ❥✿ ■♥t❡❣❡r❀ ❜❡❣✐♥ ❋✐❧❧❈❤❛r✭❋❬✵❪✱ ❙✐③❡❖❢✭❋❬✵❪✮✱ ✵✮❀ ❢♦r ✐ ✿❂ ✶ t♦ ♥ ❞♦ ❢♦r ❥ ✿❂ ✵ t♦ ▼ ❞♦ ❜❡❣✐♥ ❋❬✐✱ ❥❪ ✿❂ ❋❬✐ ✲ ✶✱ ❥❪❀ ✐❢ ✭❥ ❃❂ ❲❬✐❪✮ ❛♥❞ ✭❋❬✐✱ ❥❪ ❁ ❋❬✐ ✲ ✶✱ ❥ ✲ ❲❬✐❪❪ ✰ ❱❬✐❪✮ t❤❡♥ ❋❬✐✱ ❥❪ ✿❂ ❋❬✐ ✲ ✶✱ ❥ ✲ ❲❬✐❪❪ ✰ ❱❬✐❪❀ ❡♥❞❀ ❡♥❞❀ ♣r♦❝❡❞✉r❡ ❚r❛❝❡❀ ✈❛r ❢♦✿ ❚❡①t❀ ❜❡❣✐♥ ❆ss✐❣♥✭❢♦✱ ❖✉t♣✉t❋✐❧❡✮❀ ❘❡✇r✐t❡✭❢♦✮❀ ❲r✐t❡▲♥✭❢♦✱ ❋❬♥✱ ▼❪✮❀ ✇❤✐❧❡ ♥ ❁❃ ✵ ❞♦ ❜❡❣✐♥ ✐❢ ❋❬♥✱ ▼❪ ❁❃ ❋❬♥ ✲ ✶✱ ▼❪ t❤❡♥ ❜❡❣✐♥ ❲r✐t❡✭❢♦✱ ♥✱ ✬ ✬✮❀ ▼ ✿❂ ▼ ✲ ❲❬♥❪❀ ❡♥❞❀ ❉❡❝✭♥✮❀ ❡♥❞❀ ❈❧♦s❡✭❢♦✮❀ ❡♥❞❀ ❜❡❣✐♥ ✸✼ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❸ ❚❍Ó❨ ❱❹◆ ❊♥t❡r❀ ❖♣t✐♠✐③❡❀ ❚r❛❝❡❀ ❡♥❞✳ ✸✽ ❑➌❚ ▲❯❾◆ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ t➻♠ ❤✐➸✉ ✈➲ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ q✉② ❤♦↕❝❤ ✤ë♥❣ ✈➔ sû ❞ư♥❣ ✤➸ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉✳ ❑➳t q✉↔ ❝❤➼♥❤ ✤↕t ✤÷đ❝ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ ❧➔✿ ✶✳ ❚r➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥ q ổ tự tr ỗ t q✉②✱ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ♠❛♥❣ ❜↔♥ ❝❤➜t ✤➺ q✉②✮✱ ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ✈➔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ q✉② ❤♦↕❝❤ ✤ë♥❣✳ ✷✳ ❚r➻♥❤ ❜➔② ✈➲ ❣✐↔✐ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ sû ❞ư♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ q✉② ❤♦↕❝❤ ✤ë♥❣ ❝ì ❜↔♥✿ ❉➣② ❝♦♥ ✤ì♥ ✤✐➺✉ t➠♥❣ ❞➔✐ ♥❤➜t✱ ❇➔✐ t♦→♥ ❝→✐ tó✐✱ ❇✐➳♥ ✤ê✐ ①➙✉✳ ❱➻ t❤í✐ ❣✐❛♥ ❝â ❤↕♥ ♥➯♥ tr♦♥❣ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ ❦❤æ♥❣ tr→♥❤ ❦❤ä✐ s❛✐ sât✳ ❊♠ r➜t ♠♦♥❣ ♥❤➟♥ sỹ õ õ ỵ t ổ ✈➔ ❝→❝ ❜↕♥ ✤➸ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ✤÷đ❝ ❤♦➔♥ t❤✐➺♥✳ ✸✾ t ỗ tr♦♥❣ t✐♥ ❤å❝✱ ◆❳❇ ●✐❛â ❞ö❝✳ ❬✷❪ ▲➯ ▼✐♥❤ ❍♦➔♥❣ ✭✷✵✶✹✮✱ ▼ët sè ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ●✐↔✐ t❤✉➟t tr ỵ ❱➠♥ ❍÷♥❣ ✭✷✵✵✷✮✱ ❇➔✐ t➟♣ P❛s❝❛❧ ✭t➟♣ ✷✮✱ ◆❳❇ ✣↕✐ ❤å❝ ◗✉è❝ ❣✐❛ ❍➔ ◆ë✐✳ ❬✹❪ ❘♦❜❡rt ❙❡❞❣❡✇✐❝❦ ✭✷✵✵✹✮✱ ❈➞♠ ♥❛♥❣ t❤✉➟t t♦→♥ ✭t➟♣ ✶✮✱ ◆❳❇ ❑❤♦❛ ❤å❝ ❑ÿ t❤✉➟t ❬✺❪ ◆❣✉②➵♥ ✣ù❝ ◆❣❤➽❛✱ ◆❣✉②➵♥ ❚æ ❚❤➔♥❤✭✷✵✵✻✮✱ ◆❳❇ ✣↕✐ ❤å❝ ◗✉è❝ ❣✐❛ ❍➔ ◆ë✐✳ ❬✻❪ ❲✐♣❡❞✐❛✿ ◗✉② ❤♦↕❝❤ ✤ë♥❣✳ ✹✵ ❚♦→♥ rí✐ r↕❝✱ ◆❳❇ ... q✉↔✱ ❤ì♥ t❤➳ ♥ú❛ ♥â ❧➔♠ rã ❤ì♥ ❜↔♥ t q ổ tự tr ỗ ởt sè ❜➔✐ t♦→♥ ♠❛♥❣ ❜↔♥ ❝❤➜t ✤➺ q✉② ❱➼ ❞ö số số t ỗ tứ ❜➔✐ t♦→♥ ❝ê ✈➲ ✈✐➺❝ s✐♥❤ s↔♥ ❝õ❛ ❝→❝ ❝➦♣ t❤ä✳ ❇➔✐ t♦→♥ ✤➦t r❛ ♥❤÷ s❛✉✿ ✶✳ ❈→❝ ❝♦♥... ♥➡♠ tr♦♥❣ ❤➻♥❤ trá♥ ✤â✳ ◆❤ú♥❣ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ❝â ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✿ x − y = C ✱ ✭❈ ❧➔ ♠ët số ữớ t ổ õ ợ ữớ õ tữ tự t số ợ ♥❤➜t ♠➔ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ (O, 2)✳ √ x − y = 2 ợ ữớ trỏ trỏ x y = C ✱ ✈➝♥ ❝â ✤✐➸♠... ❝→❝❤ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ❧♦↕✐ ♥➔② t❛ ❜ä ✤✐ sè ✉ ✤â t❤➻ t❛ s➩ ✤÷đ❝ ❝→❝ ❝→❝❤ ♣❤➙♥ t➼❝❤ sè ≤ u✳ v − u t tờ số ữỡ ữ ỵ: ♥➔② ❝❤➾ ✤ó♥❣ ❦❤✐ ❦❤ỉ♥❣ t➼♥❤ ❧➦♣ ❧↕✐ ❝→❝ ❤♦→♥ ✹ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❸ ❚❍Ó❨