TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* NGUYỄN THÙY TRANG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TỐN VẬN TẢI KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chun ngành: Toán ứng dụng HÀ NỘI – 2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* NGUYỄN THÙY TRANG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN VẬN TẢI KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chun ngành: Tốn ứng dụng Người hướng dẫn khoa học TS KIỀU VĂN HƯNG HÀ NỘI – 2018 ▲❮■ ❈❷▼ ❒◆ ❊♠ ①✐♥ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❝↔♠ ì♥ tỵ✐ ❝→❝ t❤➛② ❝ỉ ❦❤♦❛ ❚♦→♥✱ tr÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠ ❍➔ ◆ë✐ ✷✱ ❝→❝ t❤➛② ❝ỉ tr♦♥❣ tê ❚♦→♥ ù♥❣ ❞ư♥❣ ❝ơ♥❣ ♥❤÷ ❝→❝ t❤➛② ❝æ t❤❛♠ ❣✐❛ ❣✐↔♥❣ ❞↕② ✤➣ t➟♥ t➻♥❤ tr✉②➲♥ t ỳ tr tự qỵ t t❤✉➟♥ ❧đ✐ ✤➸ ❡♠ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ tèt ♥❤✐➺♠ ✈ư ❦❤â❛ ❤å❝ ✈➔ ❦❤â❛ ❧✉➟♥✳ ✣➦❝ ❜✐➺t✱ ❡♠ ①✐♥ ❜➔② tä sü ❦➼♥❤ trå♥❣ ✈➔ ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ s➙✉ s➢❝ tỵ✐ s ữ ữớ trỹ t ữợ ❞➝♥✱ ❝❤➾ ❜↔♦✱ t➟♥ t➻♥❤ ❣✐ó♣ ✤ï ✤➸ ❡♠ ❝â t❤➸ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ♥➔②✳ ❊♠ ①✐♥ tr➙♥ trå♥❣ ❝↔♠ ì♥✦ ❍➔ ◆ë✐✱ t❤→♥❣ ✺ ♥➠♠ ✷✵✶✽ ❙✐♥❤ ✈✐➯♥ ◆❣✉②➵♥ ❚❤ò② ❚r❛♥❣ ✶ ▲❮■ ❈❆▼ ✣❖❆◆ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ♥➔② ❧➔ q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣✱ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➔ ộ ỹ t ữợ sỹ ❝õ❛ ❝→❝ t❤➛② ❝æ ❣✐→♦✱ ✤➦❝ ❜✐➺t ❧➔ sü ❝❤➾ ữợ t t s ữ õ tốt ợ t ởt số ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐✧ ❦❤ỉ♥❣ ❝â sü trò♥❣ ❧➦♣ ✈ỵ✐ ❝→❝ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ❦❤→❝ ✈➔ ❦➳t q✉↔ t❤✉ ✤÷đ❝ ❝â sü ❦➳ t❤ø❛ ❝õ❛ ♠ët sè t➔✐ ❧✐➺✉ ❦❤→❝✳ ❍➔ ◆ë✐✱ t❤→♥❣ ✺ ♥➠♠ ✷✵✶✽ ❙✐♥❤ ✈✐➯♥ ◆❣✉②➵♥ ❚❤ò② ❚r❛♥❣ ✷ ▼ư❝ ❧ư❝ ▲❮■ ◆➶■ ✣❺❯ ✶ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚ ✶✳✶ ❇➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✳✶✳✶✳ ●✐ỵ✐ t❤✐➺✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✳✶✳✷✳ ❇➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐ ❞↕♥❣ tê♥❣ q✉→t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✳✶✳✸✳ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ❝✉♥❣ ❝➛✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✳✶✳✹✳ ❇↔♥❣ ✈➟♥ t↔✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✳✷ ▼ët sè ❞↕♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✳✷✳✶✳ ❇➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐ ❦➼♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✳✷✳✷✳ ❇➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐ ❤ð ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✳✷✳✸✳ ❇➔✐ t♦→♥ t ợ ữ tổ ❜à ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✳✷✳✹✳ ❇➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐ ❝â ❤➔♠ ♠ö❝ t✐➯✉ ❝ü❝ ✤↕✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺ ✻ ✻ ✻ ✼ ✽ ✶✵ ✶✷ ✶✷ ✶✷ ✶✷ ✶✸ ✷ ▼❐❚ ❙➮ P❍×❒◆● P❍⑩P ●■❷■ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❱❾◆ ữợ ỡ t ✈➟♥ t↔✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✳✷ ❈→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ①→❝ ✤à♥❤ ♣❤÷ì♥❣ →♥ ❝ü❝ ❜✐➯♥ ❜❛♥ ✤➛✉ ✷✳✷✳✶✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣â❝ ❚➙② ❇➢❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ Pữỡ ỹ t ữợ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✳✷✳✸✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❱♦❣❡❧s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✳✷✳✹✳ ❱➼ ❞ö ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✳✷✳✺✳ ◆❤➟♥ ①➨t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✳✸ ❈→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❦✐➸♠ tr❛ sü tè✐ ÷✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✳✸✳✶✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t❤➳ ✈à ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ Pữỡ q ữợ ổ ❝❤å♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✳✸✳✸✳ ◆❤➟♥ ①➨t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✹ ✶✹ ✶✹ ✶✺ ✶✺ ✶✺ ✸✷ ✸✸ ✸✸ ✹✹ ✺✺ ✹ ❑➌❚ ▲❯❾◆ ❚⑨■ ▲■➏❯ ❚❍❆▼ ❑❍❷❖ ✺✺ ✺✻ ▲❮■ ◆➶■ ✣❺❯ ❇➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐ ❧➔ ♠ët tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ q✉❛♥ trå♥❣ ♥❤➜t tr♦♥❣ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ q✉② ❤♦↕❝❤ t✉②➳♥ t➼♥❤ õ ỵ tt tỹ tr số ❜✐➺t ❧➔ tr♦♥❣ ❧➽♥❤ ✈ü❝ ❣✐❛♦ t❤æ♥❣ ✈➔ q✉② ❤♦↕❝❤✳ ❚❤✉➟t ♥❣ú ❜➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐ t❤÷í♥❣ ✤÷đ❝ ❤✐➸✉ ❧➔ t s ữợ ❧➔ ♥❤ä ♥❤➜t✳ ❉♦ ✤â ✈✐➺❝ t➻♠ ✤÷đ❝ ♣❤÷ì♥❣ →♥ tè✐ ÷✉ ♥❤➜t ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❧➔ r➜t q✉❛♥ trå♥❣✳ ❱➻ ✈➟②✱ ✈ỵ✐ ♠♦♥❣ ♠✉è♥ t➻♠ ❤✐➸✉ s➙✉ ❤ì♥ ✈➲ ữỡ t t ữợ sỹ ữợ ❞➝♥ ❝õ❛ ❚✐➳♥ s➽ ❑✐➲✉ ❱➠♥ ❍÷♥❣✱ ❡♠ ✤➣ ❝❤å♥ ✤➲ t➔✐✿ ✧▼ët sè ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐✧ ✤➸ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣✳ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣✐↔✐ ♥❤ú♥❣ ❞↕♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐ ❝ì ❜↔♥✳ ◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ❦❤â❛ ỗ ữỡ tự ữỡ ♥➔② tr➻♥❤ ❜➔② ♥❤ú♥❣ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì sð ✈➲ ❜➔✐ t t ỗ t t tờ qt ❜↔♥❣ ✈➟♥ t↔✐✱ ❝❤✉ tr➻♥❤✱ ♣❤÷ì♥❣ →♥ ❝ü❝ ❜✐➯♥✱✳✳✳ ❝ơ♥❣ ữ ợ t ởt số t t↔✐ ❝ì ❜↔♥ t❤÷í♥❣ ❣➦♣✳ ❈❤÷ì♥❣ ✷✿ ▼ët sè ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐ ❈❤÷ì♥❣ ♥➔② tr➻♥❤ ❜➔② ữợ ỡ t t ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐✳ ❈→❝ ✈➼ ❞ư ✤➲✉ ❧➔ ❝→❝ ❞↕♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐ ❝ì ❜↔♥ ✤÷đ❝ ❣✐↔✐ ❜ð✐ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✤➣ ✤÷đ❝ t➻♠ ❤✐➸✉✳ ✺ ❈❤÷ì♥❣ ✶ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚ ✶✳✶ ❇➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐ ✶✳✶✳✶✳ ●✐ỵ✐ t❤✐➺✉ ❇➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐ ❧➔ ❞↕♥❣ ✤➦❝ ❜✐➺t ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ q✉② ❤♦↕❝❤ t✉②➳♥ t➼♥❤✳ ❇➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐ ❝â t❤➸ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ♥❤÷ ởt ỗ t õ ữợ t t↔✐ ❣✐↔✐ q✉②➳t ✈➜♥ ✤➲ ♣❤➙♥ ♣❤è✐ ❤➔♥❣ ❤â❛ tø ởt số ỗ ởt sè ✤à❛ ✤✐➸♠ t✐➯✉ t❤ö ✭✤✐➸♠ ✤➼❝❤✮ s❛♦ ❝❤♦✿ − ✣✐➸♠ ❝✉♥❣ ♣❤→t ❤➳t ❤➔♥❣✱ ✤✐➸♠ ❝➛✉ ♥❤➟♥ ✤õ ❤➔♥❣✳ − ❚ê♥❣ ❝❤✐ ♣❤➼ ❧➔ ➼t ♥❤➜t✳ − ❈ü ❧② ✈➟♥ ❝❤✉②➸♥ ♥❤ä ♥❤➜t✳ − ❚ê♥❣ t✐➲♥ ❧➣✐ ❧➔ ♥❤✐➲✉ ♥❤➜t✳ ❇➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐ →♣ ❞ö♥❣ ✤➸ ①→❝ ✤à♥❤ ✈à tr➼ ✤➦t ♥❤➔ ❦❤♦✱ ❝û❛ ❤➔♥❣ ❤❛② ♥❤➔ ①÷ð♥❣ ợ t ởt số ữỡ ✤✐➸♠ ①➙② ❞ü♥❣✳ ✻ ❈❤÷ì♥❣ ✶✳ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚ ✼ ✶✳✶✳✷✳ ❇➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐ ❞↕♥❣ tê♥❣ q✉→t ❇➔✐ t♦→♥✿ ●✐↔ sû ❝â m ❦❤♦ ❤➔♥❣ A1, A2, , Am ❝ò♥❣ ❝❤ù❛ ♠ët ❧♦↕✐ ❤➔♥❣ ❤â❛✱ ❦❤♦ Ai ❝❤ù❛ ✤ì♥ ✈à ❤➔♥❣✳ ❈➛♥ ✈➟♥ ❝❤✉②➸♥ sè ❤➔♥❣ tr➯♥ ✤➳♥ ♥ ❝û❛ ❤➔♥❣ B1, B2, , Bn✱ ❝û❛ ❤➔♥❣ Bj bj ỡ ữợ ♠ët ✤ì♥ ✈à ❤➔♥❣ ❤â❛ tø ❦❤♦ Ai ✤➳♥ ❝õ❛ ❤➔♥❣ Bj ❧➔ cij ✳ ❍➣② ❧➟♣ ♣❤÷ì♥❣ →♥ ✈➟♥ ❝❤✉②➸♥ ❤➔♥❣ s❛♦ ❝❤♦ tê♥❣ ❝❤✐ ♣❤➼ ✈➟♥ ❝❤✉②➸♥ ❧➔ ♥❤ä ♥❤➜t✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶ ✭P❤÷ì♥❣ →♥ ✈➟♥ ❝❤✉②➸♥✮✳ ▼é✐ ♣❤÷ì♥❣ →♥ ✈➟♥ ❝❤✉②➸♥ ❧➔ ♠ët ♠❛ tr➟♥ X = (xij )m×n✱ tr♦♥❣ ✤â xij ❧➔ sè ❤➔♥❣ ❤â❛ ❝❤✉②➸♥ tø Ai ✤➳♥ Bj (xij 0)✳ ❈❤✐ ♣❤➼ ✈➟♥ ❝❤✉②➸♥ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ →♥ X ❧➔✿ m n f (X) = cij xij ✳ i=1 j=1 ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷ ✭P❤÷ì♥❣ →♥ ❝ì sð ❝❤➜♣ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝✮✳ ▼ët ♣❤÷ì♥❣ →♥ ❝ü❝ ❜✐➯♥ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ →♥ ❝ì sð ❝❤➜♣ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ♥➳✉ ❝→❝ ❣✐→ trà xij t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ r➔♥❣ ❜✉ë❝ ✤è✐ ✈ỵ✐ ❝→❝ ✤✐➸♠ ❝✉♥❣ ✭r➔♥❣ ❜✉ë❝ ❞á♥❣✮ ❧➔✿ n xij = , ∀i = 1, m j=1 ✈➔ ❝→❝ r➔♥❣ ❜✉ë❝ ✤è✐ ✈ỵ✐ ❝→❝ ✤✐➸♠ ❝➛✉ ✭r➔♥❣ ❜✉ë❝ ❝ët✮ ❧➔✿ m xij = bj , ∀j = 1, n i=1 ◆❤÷ ✈➟②✱ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐ ❧➔ ❜➔✐ t♦→♥ q✉② ❤♦↕❝❤ t✉②➳♥ t➼♥❤ t ợ (m ì n) t✐➯✉ f (X) ❝➛♥ ❝ü❝ t✐➸✉ ✈➔ (m + n) r➔♥❣ ❜✉ë❝✳ ▼æ ❤➻♥❤ t♦→♥ ❤å❝ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐ ♥❤÷ s❛✉✿ m n cij xij −→ i=1 j=1            n xij = (i = 1, m) j=1 m xij = bj (j = 1, n) i=1 ✭∗✮ ❈❤÷ì♥❣ ✶✳ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚ tr♦♥❣ ✤â xij ✽ (i = 1, m, j = 1, n) ✶✳✶✳✸✳ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ❝✉♥❣ ❝➛✉ ❚❛ ♥â✐ r➡♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐ (∗) t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ❝✉♥❣ ❝➛✉ ✭❤❛② ❝á♥ ❣å✐ ❧➔ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ t❤✉ ♣❤→t✮ ♥➳✉ tê♥❣ sè ❤➔♥❣ ❞ü trú ð m ✤✐➸♠ ❝✉♥❣ ❝➜♣ ❜➡♥❣ tê♥❣ sè ❤➔♥❣ ð n ✤✐➸♠ ❝â ♥❤✉ ❝➛✉✱ tù❝✿ m n = i=1 bj ✳ j=1 ◆➳✉ tê♥❣ sè ❤➔♥❣ ❞ü trú ð m ✤✐➸♠ ❝✉♥❣ ❝➜♣ ♥❤✐➲✉ ❤ì♥ tê♥❣ sè ❤➔♥❣ ❝➛♥ ð n ✤✐➸♠ ❝â ♥❤✉ ❝➛✉✱ tù❝✿ m n > i=1 bj j=1 t❤➻ ♠ët ❧÷đ♥❣ ❤➔♥❣ ❤â❛ s➩ ✤➸ ❧↕✐ ð ❝→❝ ✤✐➸♠ ❝✉♥❣ ❝➜♣✳ ◆➳✉ tê♥❣ sè ❤➔♥❣ ❞ü trú ð m ✤✐➸♠ ❝✉♥❣ ❝➜♣ ➼t ❤ì♥ tê♥❣ sè ❤➔♥❣ ❝➛♥ ð n ✤✐➸♠ ❝â ♥❤✉ ❝➛✉✱ tù❝✿ m n < i=1 bj j=1 t❤➻ ❧÷đ♥❣ ❤➔♥❣ ð ❝→❝ ✤✐➸♠ ❝✉♥❣ ❝➜♣ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ✤õ ❝❤♦ ❝→❝ ✤✐➸♠ ❝â ♥❤✉ ❝➛✉✳ ✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✶✳ ❈❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐ (∗)✳ ❑❤✐ ✤â✱ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ❝✉♥❣ ❝➛✉ ❧➔ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ✈➔ ✤õ ✤➸ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐ ❝â ♣❤÷ì♥❣ →♥ tè✐ ÷✉✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✶✳✶✳ ●✐↔ sû ❜➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐ (∗) ❝â ♣❤÷ì♥❣ →♥ tè✐ ÷✉ X ∗ = (x∗ij )✳ ❑❤✐ ✤â✿ n x∗ij = , ∀i = 1, m j=1 m x∗ij = bj , ∀j = 1, n i=1 ❱➻ ✈➟② m m n = i=1 n x∗ij i=1 j=1 m n x∗ij = j=1 i=1 = j=1 bj ữỡ Pì PP ❚❖⑩◆ ❱❾◆ ❚❷■ ✹✸ ❚❛ t❤➜② r➡♥❣ ❝→❝ æ ❧♦↕✐ ✤➲✉ ❝â lij ♥➯♥ ♣❤÷ì♥❣ →♥ ✤❛♥❣ ①➨t ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ →♥ tè✐ ÷✉✳ ❱➟② ♣❤÷ì♥❣ →♥ tè✐ ÷✉ X ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❧➔✿  25 25 X= 0 ❚ù❝ ❧➔✿ 15 0 0 10 22  0  ✈➔ f (X) = 2575 20 ✤→ ✈ỉ✐ ð ❝ì sð A1 ✤÷đ❝ ❝❤✉②➸♥ 25m3 ✤➳♥ ❝ỉ♥❣ t② B1 ✈➔ 15m3 ❝á♥ ❧❛✐ ✤÷đ❝ ❝❤✉②➸♥ ✤➳♥ ❝ỉ♥❣ t② B2✳ · 25m3 ✤→ ✈ỉ✐ ð ❝ì sð A2 ✤÷đ❝ ❝❤✉②➸♥ t♦➔♥ ❜ë ✤➳♥ ❝ỉ♥❣ t② B1 ✳ · 30m3 ✤→ ✈ỉ✐ ð ❝ì sð A3 ✤÷đ❝ ❝❤✉②➸♥ 10m3 ✤➳♥ ❝æ♥❣ t② B3 ✈➔ 20m3 ❝á♥ ❧↕✐ ✤÷đ❝ ❝❤✉②➸♥ ✤➳♥ ❝ỉ♥❣ t② B4✳ · 25m3 ✤→ ✈ỉ✐ ð ❝ì sð A4 ✤÷đ❝ ❝❤✉②➸♥ 3m3 ✤➳♥ ❝ỉ♥❣ t② B2 ✈➔ 22m3 ❝á♥ ❧↕✐ ✤÷đ❝ ❝❤✉②➸♥ ✤➳♥ ❝ì sð B3 tờ t 2.575.000 ỗ t ✷✳✻✳ Ð ❜➔✐ t♦→♥ ♥➔②✱ ♣❤÷ì♥❣ →♥ tè✐ ÷✉ X ✈➝♥ ❝❤➼♥❤ ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ →♥ ❝ü❝ ❜✐➯♥ ❜❛♥ ✤➛✉ t➻♠ ✤÷đ❝ ❜ð✐ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❱♦❣❡❧s✳ · 40m3 ❈❤÷ì♥❣ ✷✳ ▼❐❚ ❙➮ P❍×❒◆● P❍⑩P ●■❷■ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❱❾◆ ❚❷■ ✹✹ ✷✳✸✳✷✳ Pữỡ q ữợ ổ ✷✳✶✳ ❈❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐ (∗) ❝â ♠❛ tr➟♥ ữợ C = (cij )mìn õ t t❤❛② C ❜ð✐ C = (cij )m×n✱ tr♦♥❣ ✤â cij = cij + ri + sj , i = 1, m, j = 1, n t❤➻ t❛ t❤✉ ✤÷đ❝ ❜➔✐ t t ợ tữỡ ữỡ ự t ợ ữỡ X = (xij )mìn t õ ❣✐→ trà ❤➔♠ ♠ö❝ t✐➯✉✿ m n f (X) = cij xij i=1 j=1 m n = (cij + ri + sj )xij i=1 j=1 m n = m cij xij + i=1 j=1 n ri + i=1 sj bj j=1 = f (X) + A ✈ỵ✐ A = m n ri + i=1 sj bj = const j=1 ●✐→ trà ❤❛✐ ❤➔♠ ♠ö❝ t✐➯✉ ❝❤➾ ❦❤→❝ ♥❤❛✉ ♠ët ❤➡♥❣ sè ♥➯♥ ✤✐➸♠ ❝ü❝ trà ❝õ❛ ❝❤ó♥❣ trò♥❣ Pữỡ q ữợ ổ ữủ tỹ t ữợ s ữợ t t tứ ữỡ ỹ X ợ (m + n − 1) æ ❝❤å♥ ✭❦➸ ❝↔ æ ❝❤å♥ t i tr ữợ ♣❤➼ C sè ri (i = 1, m) ✈➔ ❝ë♥❣ ✈➔♦ ❝ët j ❝õ❛ ♥â sè sj (j = 1, n)✳ ❈❤å♥ ❝→❝ sè ri , sj s❛♦ ❝❤♦ ð tr ữợ ợ C ổ õ cij = ữợ ữợ ❝❤✉②➸♥ ♠ỵ✐ cij ❝❤♦ ❝→❝ ỉ ❧♦↕✐ ❜➡♥❣ ❝ỉ♥❣ t❤ù❝✿ cij = cij + ri + sj ✈➔ ❦✐➸♠ tr❛ ❞➜✉ ❤✐➺✉ tè✐ ÷✉✿ − ◆➳✉ cij ≥ ∀i = 1, m, ∀j = 1, n t❤➻ ♣❤÷ì♥❣ →♥ ✤❛♥❣ ①➨t ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ →♥ tè✐ ÷✉✳ − ◆➳✉ ∃ cij < t❤➻ ♣❤÷ì♥❣ →♥ ✤❛♥❣ ①➨t ❝❤÷❛ tè✐ ÷✉✳ ❚❛ ❝❤✉②➸♥ s❛♥❣ ❜÷ỵ❝ ✸✳ ❇÷ỵ❝ ✸✿ ❚➻♠ ỉ ✤÷❛ ✈➔♦ (i∗ , j∗ ) t❤ä❛ ♠➣♥✿ ❈❤÷ì♥❣ ✷✳ ▼❐❚ ❙➮ P❍×❒◆● P❍⑩P ●■❷■ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❱❾◆ ❚❷■ ✹✺ ci∗ j∗ = min{cij < 0}✳ ❚➻♠ ❝❤✉ tr➻♥❤ V s❛✉ ❦❤✐ ❜ê s✉♥❣ æ (i∗, j∗) ✈➔♦ (m + n − 1) æ ❝❤å♥ ❜❛♥ ✤➛✉✳ ✣→♥❤ ❞➜✉ ❝❤✉ tr➻♥❤ V ❜ð✐ ❝→❝ ❞➜✉ +, − s❛♦ ❝❤♦ ❤❛✐ æ ❝↕♥❤ ♥❤❛✉ ❝â ❞➜✉ ❦❤→❝ ♥❤❛✉✱ ❜➢t ✤➛✉ tø æ (i∗, j∗) ❝â ❞➜✉ +✳ ❑➼ ❤✐➺✉✿ V + ❧➔ ❝→❝ ỉ ✤÷đ❝ ✤→♥❤ ❞➜✉ +❀ V − ❧➔ ổ ữủ ữợ ổ ✤÷❛ r❛ (i0 , j0 ) ✈➔ ❧÷đ♥❣ ✤✐➲✉ ❝❤➾♥❤ xi j s❛♦ ❝❤♦✿ 0 − xi0 j0 = min{xij | (i, j) ∈ V } ❚❛ ①➙② ❞ü♥❣ ữỡ ợ X = (xij )mìn ữ s −   xij − xi j ♥➳✉ (i, j) ∈ V xij = xij + xi j ♥➳✉ (i, j) ∈ V +   x ♥➳✉ (i, j) ∈/ V ij ❙❛✉ ✤â t❛ q✉❛② trð ❧↕✐ ữợ ú ỵ ố ợ t t↔✐ ❝â ❤➔♠ ♠ö❝ t✐➯✉ ❝ü❝ ✤↕✐ t❤➻✿ − ◆➳✉ cij 0; ∀(i, j) t❤➻ ♣❤÷ì♥❣ →♥ ✤❛♥❣ ①➨t ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ →♥ tè✐ ÷✉✳ − ◆➳✉ ∃ cij > ∀(i, j) t❤➻ ỉ ✤÷❛ ✈➔♦ (i∗ , j∗ ) ♣❤↔✐ t❤ä❛ ♠➣♥✿ ci j = max{cij > 0}✳ ❙❛✉ ✤➙② t❛ t✐➳♣ tö❝ ①➨t ❝→❝ ✈➼ ❞ö ✤➣ ♥➯✉ ữỡ q ữợ ổ ữợ 0 0 ữợ tr tố ữ t❤✐➺♥ ❧í✐ ❣✐↔✐ ❜❛♥ ✤➛✉ ✤➸ ✤↕t ✤÷đ❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ tè✐ ÷✉ ❱➼ ❞ư ✷✳✶ ✭t✐➳♣ t❤❡♦✮ ❚❛ ❝❤å♥ ♣❤÷ì♥❣ →♥ ❝ü❝ ❜✐➯♥ t➻♠ ✤÷đ❝ ❜➡♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝ü❝ t✐➸✉ ữợ tr tố ữ 40 0 X= 0 15 0 40  35  50 ❚÷ì♥❣ tü ♥❤÷ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t tỹ ữỡ q ữợ ♣❤➼ æ ❝❤å♥✱ t❛ ❝➛♥ t❤➯♠ ♠ët æ ❧♦↕✐ ❝â ❧÷đ♥❣ ❤➔♥❣ ❜➡♥❣ ✵ ✭s❛♦ ❝❤♦ ❦❤ỉ♥❣ t↕♦ t❤➔♥❤ ❝❤✉ tr➻♥❤ tr♦♥❣ ❜↔♥❣✮ ✤➸ trð t❤➔♥❤ ♣❤÷ì♥❣ →♥ ❝ü❝ ❜✐➯♥ ❦❤æ♥❣ s✉② ❜✐➳♥✳ ❚❛ ❜ê s✉♥❣ æ ❧♦↕✐ (2, 1) ✈➔♦ ♣❤÷ì♥❣ →♥ ❜❛♥ ✤➛✉ ♥❤÷ s❛✉✿ ❈❤÷ì♥❣ ✷✳ ∗ ▼❐❚ ❙➮ P❍×❒◆● P❍⑩P ●■❷■ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❱❾◆ ❚❷■ ❚➻♠ ri; sj tø ❝→❝ æ ❝❤å♥✳ ❚❛ ❣✐↔✐ ❤➺ s❛✉ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ❣→♥ r1 = 0✿   c11 + r1 + s1 =      c21 + r2 + s1 =    c + r + s = 23  c33 + r3 + s3 =      c41 + r4 + s1 =     c42 + r4 + s2 = ∗ ✹✻   + r1 + s1 =      + r2 + s1 =    3 + r + s = ⇔  + r3 + s3 =      + r4 + s1 =     + r4 + s2 =   r1      r2       r3 ⇔ r4     s1      s2    s =0 = −4 = −5 = −1 = −1 = −5 =1 ❚➼♥❤ cij ❝õ❛ ❝→❝ æ ❧♦↕✐✿   c12 = c12 + r1 + s2      c13 = c13 + r1 + s3    c = c + r + s 22 22 2  c31 = c31 + r3 + s1      c32 = c32 + r3 + s2     c43 = c43 + r4 + s3 = + + (−5) =6+0+1 = + (−4) + (−5) = + (−5) + (−1) = −3 < =7 = −2 < = −2 < = + (−5) + (−5) = −2 < = + (−1) + =5 ❚❛ ❝❤å♥ æ (1, 2) ❧➔ ỉ ✤÷❛ ✈➔♦ ❞♦ ❝â c12 = −3 < ❧➔ ♥❤ä ♥❤➜t ✈➔ ❝❤✉ tr➻♥❤ V = {(1, 2); (1, 1); (4, 1); (4, 2)}✳ ❚❛ ❝â ❜↔♥❣ s ữỡ Pì PP ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❱❾◆ ❚❷■ ✹✼ ❚❛ ❝❤å♥ æ (1, 1) ổ ữ r ỹ ữỡ ợ ❚÷ì♥❣ tü✿ · ❚➻♠ ri , sj ❞ü❛ ✈➔♦ ❝→❝ æ ❝❤å♥ ✈➔ t➼♥❤ cij ❝❤♦ ❝→❝ æ ❧♦↕✐ t❛ ✤÷đ❝✿   r1      r2       r3 r4     s1      s2    s =0 = −7 = −8 = −4 =2 = −2 =4 ✈➔   c11 =      c13 = 10    c = −2 < 22  c31 = −2 <      c32 = −2 <     c43 = ❚❛ ❝❤å♥ ỉ (3, 2) ❧➔ ỉ ✤÷❛ ✈➔♦ ❞♦ ❝â c31 = −2 < ✈➔ ♥â t↕♦ ữủ tr ợ ổ ữ s V = {(3, 2); (3, 3); (2, 3); (2, 1); (4, 1); (4, 2)}✳ ❚❛ ❝â ❜↔♥❣✿ · ❈❤÷ì♥❣ ✷✳ ▼❐❚ ❙➮ P❍×❒◆● P❍⑩P ●■❷■ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❱❾◆ ❚❷■ · ❈❤å♥ ỉ (2, 1) ❧➔ ỉ ✤÷❛ r❛✳ ❳➙② ❞ü♥❣ ♣❤÷ì♥❣ →♥ ♠ỵ✐✿ · ❚➻♠ ri, sj ❞ü❛ ✈➔♦ ❝→❝ ỉ ❝❤å♥ ✈➔ t➼♥❤ cij ❝❤♦ ❝→❝ ỉ ❧♦↕✐ t❛ ✤÷đ❝✿   r1      r2       r3 r4     s1      s2    s ❚❛ t❤➜② r➡♥❣ ❝→❝ cij tè✐ ÷✉✳ =0 = −5 = −6 = −4 =2 = −2 =2 ∀(i, j) ✈➔ ✹✽   c11 =      c13 =    c = 21  c22 =      c31 =     c43 = ♥➯♥ ♣❤÷ì♥❣ →♥ ✤❛♥❣ ①➨t ữỡ ữỡ Pì PP ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❱❾◆ ❚❷■ ✹✾ ❱➟② ♣❤÷ì♥❣ →♥ tè✐ ÷✉ X ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❧➔✿  0 X= 0 55 40 0  35  ✈➔ f (X) = 495 50 ❱➼ ❞ö ✷✳✷ ✭t✐➳♣ t❤❡♦✮ ❚❛ ❝❤å♥ ♣❤÷ì♥❣ →♥ ❝ü❝ ❜✐➯♥ t➻♠ ✤÷đ❝ ❜➡♥❣ ữỡ ỹ t ữợ tr ❦✐➺♥ tè✐ ÷✉✿   0 350 400 550 0   X=  0 500  50 650 0 ❚❛ ❜ê s✉♥❣ æ (1, 2) ợ ữủ ữỡ →♥ trð t❤➔♥❤ ❦❤ỉ♥❣ s✉② ❜✐➳♥✿ ❈❤÷ì♥❣ ✷✳ ∗ ▼❐❚ ❙➮ P❍×❒◆● P❍⑩P ●■❷■ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❱❾◆ ❚❷■ ❚➻♠ ri; sj tø ❝→❝ æ ❝❤å♥✳ ❚❛ ❣✐↔✐ ❤➺ s❛✉ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ❣→♥ r1 = 0✿   c12 + r1 + s2      c13 + r1 + s3       c14 + r1 + s4 c21 + r2 + s1     c33 + r3 + s3      c41 + r4 + s1    c + r + s 42 ∗ ✺✵ =0 =0 =0 =0 =0 =0 =0   + r1 + s2      + r1 + s3       0 + r1 + s4 ⇔ + r2 + s1     + r3 + s3      + r4 + s1    3 + r + s =0 =0 =0 =0 =0 =0 =0   r1      r2      r3    r =0 =3 =6 = ⇔  s1 = −5      s2 = −4      s3 = −7     s4 = ❚➼♥❤ cij ❝õ❛ ❝→❝ æ ❧♦↕✐✿   c11      c22      c23       c24 c31     c32      c34      c43    c 44 = c11 + r1 + s1 = + + (−5) = = c22 + r2 + s2 = c23 + r2 + s3 = c24 + r2 + s4 = c31 + r3 + s1 = + + (−4) = + + (−7) =0+3+0 = + + (−5) =5 = −1 < =3 =4 = c32 + r3 + s2 = c34 + r3 + s4 = c43 + r4 + s3 = c44 + r4 + s4 = + + (−4) =0+6+0 = + + (−7) =0+1+0 =7 =6 =0 =1 ∗ ❚❛ ❝❤å♥ æ (2, 3) ❧➔ æ ✤÷❛ ✈➔♦ ❞♦ c23 = −1 < ✈➔ ❝❤✉ tr➻♥❤ V = {(2, 3); (1, 3); (1, 2); (4, 2); (4, 1); (2, 1)}✳ ✣→♥❤ ❞➜✉ +, − ♥❤÷ s❛✉✿ ❈❤÷ì♥❣ ✷✳ ▼❐❚ ❙➮ P❍×❒◆● P❍⑩P ●■❷■ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❱❾◆ ❚❷■ ✺✶ ❈❤å♥ ỉ (1, 3) ❧➔ ỉ ✤÷❛ r❛ ✭❞♦ (1, 3) ∈ V − ✈➔ x13 = 350 ❧➔ ♥❤ä ♥❤➜t✮✳ ❳➙② ỹ ữỡ ợ ữỡ tỹ ữỡ · ▼❐❚ ❙➮ P❍×❒◆● P❍⑩P ●■❷■ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❱❾◆ ❚❷■ ✺✷ ❚➻♠ ri, sj ❞ü❛ ✈➔♦ ❝→❝ æ ❝❤å♥ ✈➔ t➼♥❤ cij ❝❤♦ ❝→❝ ỉ ❧♦↕✐ t❛ ✤÷đ❝✿   r1      r2      r3    r =0 =3 =5 =  s1 = −5      s2 = −4      s3 = −6     s4 = ✈➔   c11      c13      c22       c24 c31     c32      c34      c43    c 44 =1 =1 =5 =3 =3 =6 =5 =1 =1 ❚❛ t❤➜② r➡♥❣ ❝→❝ cij ∀(i, j) ♥➯♥ ♣❤÷ì♥❣ →♥ ✤❛♥❣ ①➨t ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ →♥ tè✐ ÷✉✳ ❱➟② ♣❤÷ì♥❣ →♥ tè✐ ÷✉ X ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❧➔✿   350 400 200 350   ✈➔ f (X) = 5850 X=  0 500  400 300 0 ❱➼ ❞ư ✷✳✸ ✭t✐➳♣ t❤❡♦✮ ❚❛ ❝❤å♥ ♣❤÷ì♥❣ →♥ ỹ t ữủ ữỡ ỹ t ữợ ♣❤➼ ✤➸ ❦✐➸♠ tr❛ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ tè✐ ÷✉✿ ❈❤÷ì♥❣ ✷✳ ∗ ❧♦↕✐✿ ▼❐❚ ❙➮ P❍×❒◆● P❍⑩P ●■❷■ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❱❾◆ ❚❷■ ✺✸ ❚➻♠ ri; sj tø ❝→❝ æ ❝❤å♥ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ❣→♥ r1 = ✈➔ t➼♥❤ cij ❝õ❛ ❝→❝ æ   r1      r2      r3    r =0 =3 =3 =8  s1 = −30      s2 = −24      s3 = −14     s4 = −25 ✈➔   c12      c13      c14       c22 c24     c31      c32      c41    c 44 =4>0 = −11 = −15 = −7 = −20 = −22 = −7 = −13 = −5 ∗ ❚❛ ❝❤å♥ æ (1, 2) ❧➔ ỉ ✤÷❛ ✈➔♦ ❞♦ c12 = > ✈➔ ❝❤✉ tr➻♥❤ V = {(1, 2); (4, 2); (4, 3); (2, 3); (2, 1); (1, 1)}✳ ✣→♥❤ ❞➜✉ +, − ♥❤÷ s❛✉✿ ❈❤å♥ ỉ (2, 3) ❧➔ ỉ ✤÷❛ r❛ ✭❞♦ (2, 3) ∈ V − ✈➔ x23 = 15 ọ t ỹ ữỡ ợ ữỡ Pì PP ❱❾◆ ❚❷■ ∗ ❚÷ì♥❣ tü✿ · ❚➻♠ ri , sj ❞ü❛ ✺✹ ✈➔♦ ❝→❝ æ ❝❤å♥ ✈➔ t➼♥❤ cij ❝❤♦ ❝→❝ ỉ ❧♦↕✐ t❛ ✤÷đ❝✿   r1      r2      r3    r =0 =3 =7 = 12  s1 = −30      s2 = −28      s3 = −18     s4 = −29 ✈➔   c13      c14      c22       c23 c24     c31      c32      c41    c 44 = −15 = −19 = −11 = −4 = −24 = −18 = −7 = −9 = −5 ❚❛ t❤➜② r➡♥❣ ❝→❝ cij ♥➯♥ ♣❤÷ì♥❣ →♥ ✤❛♥❣ ①➨t ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ →♥ tè✐ ÷✉✳ ❱➟② ♣❤÷ì♥❣ →♥ tè✐ ÷✉ X ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❧➔✿  25 25 X= 0 15 0 0 10 22  0  ✈➔ f (X) = 2575 20 ữỡ Pì PP ❚❖⑩◆ ❱❾◆ ❚❷■ ✺✺ ✷✳✸✳✸✳ ◆❤➟♥ ①➨t P❤÷ì♥❣ →♥ tè✐ ÷✉ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ①➨t ❜➡♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t❤➳ ✈à ữỡ q ữợ ổ trò♥❣ ♥❤❛✉✳ − P❤÷ì♥❣ →♥ tè✐ ÷✉ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ t tữớ rt ợ ữỡ ỹ ❜❛♥ ✤➛✉ ❣✐↔✐ ❜➡♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❱♦❣❡❧s ✈➔ t❤➙♠ ❝❤➼ ❧➔ ❝❤ó♥❣ trò♥❣ ♥❤❛✉✳ − ❈↔ ❤❛✐ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t❤➳ q ổ ữợ ổ tr tữỡ ỗ t tt t ữ t ♣❤➙♥ ❜✐➺t rã ♠ët sè ✤✐➸♠ s❛✉ ✤➸ tr→♥❤ ♥❤➛♠ ❧➝♥ ❣✐ú❛ ❤❛✐ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❦❤✐ ❧➔♠ ❜➔✐ t➟♣✳ ❇↔♥❣ s♦ s→♥❤✿ − − ✣è✐ ✈ỵ✐ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐ ❝â ❤➔♠ ♠ö❝ t✐➯✉ ❝ü❝ ✤↕✐✱ ❦❤✐ ①➨t t➼♥❤ tè✐ ÷✉✱ t❛ ♣❤➙♥ ❜✐➺t ✈ỵ✐ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐ ❝â ❤➔♠ ♠ư❝ t✐➯✉ ❝ü❝ t✐➸✉ ♠ët sè ✤✐➸♠ ❝❤➼♥❤ ♥❤÷ s ợ ij lij ữỡ t cij ữỡ q ữợ ổ ❝❤å♥✮✳ ❑➌❚ ▲❯❾◆ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ t➻♠ ❤✐➸✉ ♠ët sè ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐✱ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ❝❤➼♥❤ ✤↕t ✤÷đ❝ ❧➔✿ − ❚r➻♥❤ ❜➔② ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì sð ✈➲ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐✿ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐ ❞↕♥❣ tê♥❣ q✉→t✱ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ❝✉♥❣ ❝➛✉ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐✱ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐ ❦➼♥✱ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐ ❤ð✱ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐ ✈ỵ✐ ❦❤↔ ♥➠♥❣ ữ tổ ợ t ✈➟♥ t↔✐ ❝â ❤➔♠ ♠ö❝ t✐➯✉ ❝ü❝ ✤↕✐✳ − ❚r➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐✱ tr♦♥❣ ✤â t➟♣ tr✉♥❣ ✈➔♦ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t➻♠ ♣❤÷ì♥❣ →♥ ❝ü❝ ❜✐➯♥ ❜❛♥ ✤➛✉ ✭♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣â❝ ❚➙② ❇➢❝✱ ữỡ ỹ t ữợ ữỡ s ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❦✐➸♠ tr❛ sü tè✐ ÷✉ ✭♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t❤➳ ữỡ q ữợ ổ ũ ✈ỵ✐ ♠ët sè ✈➼ ❞ư ♠✐♥❤ ❤å❛ ✈➔ s♦ s→♥❤ ❣✐ú❛ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣✳ ❉♦ t❤í✐ ❣✐❛♥✱ ♥➠♥❣ ❧ü❝ ✈➔ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❜↔♥ t❤➙♥ ❝á♥ ❤↕♥ ❝❤➳ ♥➯♥ ❜↔♥ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ❝á♥ ❝â ♥❤ú♥❣ s❛✐ sât✳ ❱➻ ✈➟②✱ ❡♠ r➜t ữủ ỳ ỵ õ ỵ qỵ ❝õ❛ ❝→❝ t❤➛② ❝æ ✈➔ ❝→❝ ❜↕♥✳ ❊♠ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥✳ ✺✻ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ❬✶❪ P❤➼ ▼↕♥❤ ❇❛♥ ✭✷✵✵✹✮✱ ❇➔✐ t➟♣ q✉② ❤♦↕❝❤ t✉②➳♥ t➼♥❤✱ ◆❤➔ ①✉➜t ❜↔♥ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠ ❍➔ ◆ë✐✳ ❬✷❪ P❤❛♥ ◗✉è❝ ❑❤→♥❤✱ ❚r➛♥ ❚❤à ❍✉➺ ◆÷ì♥❣ ✭✷✵✵✵✮✱ ◗✉② ❤♦↕❝❤ t✉②➳♥ t➼♥❤✱ ◆❤➔ ①✉➜t ❜↔♥ ●✐→♦ ❞ö❝✳ ❬✸❪ ◆❣✉②➵♥ ◆❣å❝ ❚❤➢♥❣✱ ◆❣✉②➵♥ ✣➻♥❤ ❍â❛ ✭✷✵✵✹✮✱ ◗✉② ❤♦↕❝❤ t✉②➳♥ t➼♥❤✱ ◆❤➔ ①✉➜t ❜↔♥ ✣↕✐ ❤å❝ ◗✉è❝ ❣✐❛ ❍➔ ◆ë✐✳ ✺✼ ...TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* NGUYỄN THÙY TRANG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TỐN VẬN TẢI KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chun ngành: Toán ứng dụng Người hướng dẫn khoa học... ♥❤ú♥❣ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì sð t t ỗ t t tê♥❣ q✉→t✱ ❜↔♥❣ ✈➟♥ t↔✐✱ ❝❤✉ tr➻♥❤✱ ♣❤÷ì♥❣ →♥ ❝ü❝ ụ ữ ợ t ởt số t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐ ❝ì ❜↔♥ t❤÷í♥❣ ❣➦♣✳ ❈❤÷ì♥❣ ✷✿ ▼ët sè ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐ ❈❤÷ì♥❣ ♥➔②... t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐ ❝â t❤➸ ❜✐➸✉ ữ ởt ỗ t õ ữợ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐ ❣✐↔✐ q✉②➳t ✈➜♥ ✤➲ ♣❤➙♥ ♣❤è✐ ❤➔♥❣ õ tứ ởt số ỗ ✤➳♥ ♠ët sè ✤à❛ ✤✐➸♠ t✐➯✉ t❤ö ✭✤✐➸♠ ✤➼❝❤✮ s❛♦ ❝❤♦✿ − ✣✐➸♠ ❝✉♥❣ ♣❤→t ❤➳t ❤➔♥❣✱ ✤✐➸♠ ❝➛✉