Đa giác, đa diện và một số bài toán liên quan đến định lý pick trong không gian hai chiều (2018)

56 14 0
  • Loading ...
1/56 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 28/08/2018, 05:41

❇❐ ●■⑩❖ ❉Ư❈ ❱⑨ ✣⑨❖ ❚❸❖ ❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼ ❍⑨ ◆❐■ ✷ ❑❍❖❆ ❚❖⑩◆ ✣➔♦ ❑✐➲✉ ❚r❛♥❣ ✣❆ ●■⑩❈✱ ✣❆ ❉■➏◆ ❱⑨ ▼❐❚ ❙➮ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ▲■➊◆ ◗❯❆◆ ✣➌◆ ✣➚◆❍ ▲Þ P■❈❑ ❚❘❖◆● ❑❍➷◆● ●■❆◆ ❍❆■ ❈❍■➋❯ ❑❍➶❆ ▲❯❾◆ ❚➮❚ ◆●❍■➏P ✣❸■ ❍➴❈ ❍➔ ◆ë✐ ✕ ◆➠♠ ✷✵✶✽ ❇❐ ●■⑩❖ ❉Ư❈ ❱⑨ ✣⑨❖ ❚❸❖ ❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼ ❍⑨ ◆❐■ ✷ ❑❍❖❆ ❚❖⑩◆ ✣➔♦ ❑✐➲✉ ❚r❛♥❣ ✣❆ ●■⑩❈✱ ✣❆ ❉■➏◆ ❱⑨ ▼❐❚ ❙➮ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ▲■➊◆ ◗❯❆◆ ✣➌◆ ✣➚◆❍ ▲Þ P■❈❑ ❚❘❖◆● ❑❍➷◆● ●■❆◆ ❍❆■ ❈❍■➋❯ ❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤✿ ❍➻♥❤ ❍å❝ ❑❍➶❆ ▲❯❾◆ ❚➮❚ ◆●❍■➏P ✣❸■ ❍➴❈ ◆●×❮■ ❍×❰◆● ❉❼◆ ❑❍❖❆ ❍➴❈✿ ❚❤❙✳ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❚r➔ ❍➔ ◆ë✐ ✕ ◆➠♠ ✷✵✶✽ ▼ư❝ ❧ư❝ ▲í✐ ❝↔♠ ì♥ ✶ ▲í✐ ỵ ❝❤å♥ ✤➲ t➔✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✳ ▼ö❝ ✤➼❝❤✱ ♥❤✐➺♠ ✈ö ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✳ ✸✳ ✣è✐ t÷đ♥❣✱ ♣❤↕♠ ✈✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✳ ✹✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✳ ❈➜✉ tró❝ ✤➲ t➔✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸ ✹ ✺ ✻ ✻ ▼ët sè ❦➼ ❤✐➺✉ ✼ ✶ ❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì sð ✈➲ ✤❛ ❣✐→❝✱ ✤❛ ❞✐➺♥ ✽ ✶✳✶ ✣❛ ❣✐→❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✳✶✳✶ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✤❛ ❣✐→❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✳✶✳✷ P❤➙♥ ❧♦↕✐ ✤❛ ❣✐→❝ ✈➔ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝ì ❜↔♥ ✳ ✶✳✷ ✣❛ ❞✐➺♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✳✷✳✶ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✤❛ ❞✐➺♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✳✷✳✷ P❤➙♥ ❧♦↕✐ ✤❛ ❞✐➺♥ ✈➔ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝ì ❜↔♥ ✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽ ✽ ✶✷ ✶✻ ✶✻ ✶✼ ✣⑨❖ ❑■➋❯ ❚❘❆◆● ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ✶✳✸ ▼ët sè ❝æ♥❣ t❤ù❝ t➼♥❤ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ✤❛ ❣✐→❝✱ t❤➸ t➼❝❤ ✤❛ ❞✐➺♥ ✤➦❝ ❜✐➺t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✳✸✳✶ ❈æ♥❣ t❤ù❝ t➼♥❤ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ✤❛ ❣✐→❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✳✸✳✷ ❈æ♥❣ t❤ù❝ t➼♥❤ t❤➸ t➼❝❤ ✤❛ ❞✐➺♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✳✹ ▼ët sè ✈➼ ❞ö ✈➔ ❜➔✐ t➟♣ ♠✐♥❤ ❤å❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ỵ P ✈➔ ♠ët sè ❜➔✐ t➟♣ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❤❛✐ ❝❤✐➲✉ ỵ P ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✵ ✷✳✷ ▼ët sè ✈➼ ❞ö ✈➔ ❜➔✐ t➟♣ ù♥❣ ❞ö♥❣ ỵ P t ❦❤↔♦ ✺✶ ✐✐ ✣⑨❖ ❑■➋❯ ❚❘❆◆● ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ỡ rữợ tr ❞✉♥❣ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ❦❤â❛ ❧✉➟♥✱ ❡♠ ①✐♥ ✤÷đ❝ ❣û✐ ❧í✐ ỡ tợ t t t ổ trữớ ✣↕✐ ❍å❝ ❙÷ P❤↕♠ ❍➔ ◆ë✐ ✷ ✤➣ ❞↕② ❞é ❝❤ó♥❣ ❡♠✱ ❝→❝ t❤➛② ❝ỉ tr♦♥❣ tê ❜ë ♠ỉ♥ ❍➻♥❤ ❤å❝ ✤➣ ❝❤➾ ❜↔♦ t➟♥ t➻♥❤ ❡♠ tr♦♥❣ s✉èt t❤í✐ ❣✐❛♥ ❤å❝ t➟♣ ✈ø❛ q✉❛✳ ✣➦❝ ❜✐➺t✱ ❡♠ ①✐♥ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ s➙✉ s➢❝ tỵ✐ ❝ỉ ❣✐→♦ ❚❤❙✳ r ữớ trỹ t ữợ ❜↔♦ t➟♥ t➻♥❤✱ ❣✐ó♣ ✤ï ✤➸ ❡♠ ❝â t❤➸ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ♥➔②✳ ❉♦ t❤í✐ ❣✐❛♥✱ ♥➠♥❣ ❧ü❝ ✈➔ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❜↔♥ t❤➙♥ ❡♠ ❝á♥ ❤↕♥ ❝❤➳ ♥➯♥ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ❦❤æ♥❣ t❤➸ tr→♥❤ ❦❤ä✐ ♥❤ú♥❣ t❤✐➳✉ sât✳ ❱➻ ✈➟②✱ rt ữủ ỳ ỵ õ õ qỵ t ổ õ ữủ ❤♦➔♥ t❤✐➺♥ ❤ì♥✳ ✶ ✣⑨❖ ❑■➋❯ ❚❘❆◆● ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ▲í✐ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ❊♠ ①✐♥ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ❝õ❛ ❡♠ ❦❤æ♥❣ s❛♦ ❝❤➨♣ tø ❜➜t ❦ý ♠ët ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ♥➔♦ ❝õ❛ ❝→❝ t→❝ ❣✐↔ õ ữủ t ữợ sỹ ữợ ❞➝♥ ❝õ❛ ❝ỉ ❣✐→♦ ❚❤❙✳ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❚r➔ ❝ò♥❣ ✈ỵ✐ sü ♥é ❧ü❝ ❝õ❛ ❜↔♥ t❤➙♥ ❡♠✳ ❚r♦♥❣ ❦❤✐ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❦❤â❛ ❧✉➟♥✱ ❡♠ ✤➣ t➻♠ ❤✐➸✉ ♠ët sè t➔✐ ❧✐➺✉ ✤÷đ❝ ♥➯✉ tr♦♥❣ ❞❛♥❤ ♠ư❝ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦✳ ❍➔ ◆ë✐✱ t❤→♥❣ ✺ ♥➠♠ ✷✵✶✽ ❚→❝ ❣✐↔ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ✣➔♦ ❑✐➲✉ ❚r❛♥❣ ✷ ✣⑨❖ ❑■➋❯ ❚❘❆◆● ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ỵ t ởt ỹ t ỗ tø t❤ü❝ t✐➵♥ ❧✐➯♥ q✉❛♥ trü❝ t✐➳♣ ✤➳♥ ❝→❝ ✈➜♥ ✤➲ ❦❤↔♦ s→t✱ ✤♦ ✤↕❝✱ t➼♥❤ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❤♦➦❝ t❤➸ t➼❝❤ ❝õ❛ ♠ët ❤➻♥❤✳ ❍➻♥❤ ❤å❝ ✤➣ ✤÷đ❝ ❝♦♥ ♥❣÷í✐ t➻♠ tá✐ ✈➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ tø r➜t ❧➙✉ ✤í✐✳ ❚r♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ ♣❤→t tr✐➸♥ ❝õ❛ ♥â✱ ❝♦♥ ♥❣÷í✐ ✤➣ ✤↕t ữủ ỳ t tỹ q trồ ữợ ởt tr sè ✤â ❧➔ t➻♠ r❛ ❝→❝ ❝æ♥❣ t❤ù❝ t➼♥❤ ✤ë ❞➔✐✱ ❞✐➺♥ t➼❝❤✱ t❤➸ t➼❝❤ ❝õ❛ ♠ët sè ❤➻♥❤ ✤➦❝ t ị tự ữủ t q trồ ỵ t❤ü❝ t✐➵♥ ❝õ❛ ❍➻♥❤ ❤å❝ ♥➯♥ tr♦♥❣ ❝→❝ ♥➲♥ ❣✐→♦ ữủ ữ ợ t tứ r➜t sỵ♠ ✈ỵ✐ ♥❤✐➲✉ ❞↕♥❣ t♦→♥ t❤ó ✈à✳ ▼ët tr♦♥❣ ❝→❝ ❞↕♥❣ t♦→♥ ✤â ❧➔ ♥❤â♠ ❝→❝ ❜➔✐ t➟♣ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ✤❛ ❣✐→❝✱ ✤❛ ❞✐➺♥ ✈➔ t➼♥❤ ❞✐➺♥ t➼❝❤✱ t❤➸ t➼❝❤ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣✳ ◆❣❛② tø ❜➟❝ ❚✐➸✉ ❤å❝✱ ❤å❝ s ữủ ợ t t t ✈✉ỉ♥❣✱ ❤➻♥❤ ❝❤ú ♥❤➟t✳ ✣➳♥ ❜➟❝ ❚❍❈❙✱ ❤å❝ s✐♥❤ ✤÷đ❝ ❤å❝ ✈➲ tù ❣✐→❝✱ ❞➜✉ ❤✐➺✉ ♥❤➟♥ ❜✐➳t ♠ët sè tù ❣✐→❝ ✤➦❝ ❜✐➺t ♥❤÷ ❧➔ ❤➻♥❤ t❤❛♥❣ ❝➙♥✱ ❤➻♥❤ ❜➻♥❤ ❤➔♥❤✱ ❤➻♥❤ ✈✉æ♥❣✱ ❤➻♥❤ t❤♦✐✱ ❤➻♥❤ ❝❤ú ♥❤➟t✳ ◆❣♦➔✐ r❛ ❝→❝ ❡♠ ❝á♥ ✤÷đ❝ ❜✐➳t ✤➳♥ ❝ỉ♥❣ t❤ù❝ t➼♥❤ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❝→❝ tù ❣✐→❝ ✤➦❝ ❜✐➺t ✤â✳ ▲➯♥ ✤➳♥ ❜➟❝ ❚❍P❚✱ ✈ỵ✐ ❝→✐ ♥❤➻♥ trü❝ q✉❛♥ ✤❛ ❞↕♥❣ ❤ì♥✱ s ữủ ợ t ❜➔✐ t♦→♥ t➼♥❤ t❤➸ t➼❝❤ ❝→❝ ✤❛ ❞✐➺♥ ✤➦❝ ❜✐➺t✳ Ð ❜➟❝ ✣↕✐ ❤å❝✱ s✐♥❤ ✈✐➯♥ t✐➳♣ tư❝ ✤÷đ❝ t➻♠ ❤✐➸✉ ✈➲ ✤❛ ❣✐→❝✱ ✤❛ ❞✐➺♥ t❤æ♥❣ q✉❛ ♠ët sè ♠ỉ♥ ❤å❝ ✈➲ ❍➻♥❤ ❤å❝ ♥❤÷ ❧➔ ❍➻♥❤ ❤å❝ ❆❢✐♥ ✈➔ ❤➻♥❤ ❤å❝ ❊✉❝❧✐❞✱ ❍➻♥❤ ❤å❝ ❝➜♣✳ ✸ ✣⑨❖ ❑■➋❯ ❚❘❆◆● ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ❚r♦♥❣ t➜t ❝↔ ❝→❝ ❦ý t❤✐ ❖❧②♠♣✐❝ ✈➲ t♦→♥✱ t❤✐ ❤å❝ s✐♥❤ ❣✐ä✐ t♦→♥✱ t❤✐ ❚❍P❚ ◗✉è❝ ❣✐❛ ♠æ♥ t♦→♥ t❤➻ ♥❤ú♥❣ ❜➔✐ ✈➲ ✤❛ ❣✐→❝✱ ✤❛ ❞✐➺♥✱ t➼♥❤ ❞✐➺♥ t➼❝❤ t❤➸ t➼❝❤ t❤÷í♥❣ ✤÷đ❝ ✤÷❛ ✈➔♦✳ ❈â ♥❤✐➲✉ ❜➔✐ t♦→♥ t➼♥❤ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❝→❝ ❤➻♥❤ ♣❤➥♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐↔✐ ✤÷đ❝ t❤❡♦ ❝→❝ ❝→❝❤ t❤ỉ♥❣ t❤÷í♥❣ ♠➔ ✤á✐ ❤ä✐ ♣❤↔✐ sû ❞ư♥❣ ❦ÿ t❤✉➟t ✤➦❝ ❜✐➺t✳ ❘➜t ♥❤✐➲✉ ❝→❝ ♥❤➔ t♦→♥ ❤å❝ tr♦♥❣ ❝✉ë❝ ❝❤↕② ✤✉❛ ✤✐ t➻♠ ❧í✐ ❣✐↔✐ ✤➭♣ ❝❤♦ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ✤â ✤➣ ♣❤→t ♠✐♥❤ r❛ ♥❤ú♥❣ ❦ÿ t❤✉➟t t➼♥❤ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❤❛②✳ ▼ët tr♦♥❣ sè ✤â ♣❤↔✐ ♥❤➢❝ sữ r r P ũ ợ ỵ t ổ ợ ữủ ổ ố ỵ P ổ ữủ ữớ ú ỵ ữủ t tr ố s t t ỳ ỵ sữ P ỵ ợ t út ữủ sỹ q✉❛♥ t➙♠ ✈➔ ♥❣÷ï♥❣ ♠ë ✈➻ ❝❤➼♥❤ sü ✤ì♥ ❣✐↔♥ õ r ỵ P ổ ✤➣ ✤÷❛ r❛ ✤÷đ❝ ❝ỉ♥❣ t❤ù❝ t➼♥❤ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➻♥❤ ♠➔ ❝â t❤➸ ❣➢♥ ✤÷đ❝ ✤➾♥❤ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣ ữợ ữợ ổ ổ ợ sỹ tú ♥❤â♠ ❜➔✐ t➟♣ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ✤❛ ❣✐→❝✱ ✤❛ ❞✐➺♥ t ữ t ỵ P ❡♠ ✤➣ q✉②➳t ✤à♥❤ ❝❤å♥ ✤➲ t➔✐ ✧✣❛ ❣✐→❝✱ ✤❛ ❞✐➺♥ ✈➔ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ✤à♥❤ ỵ P tr ổ t ❦❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ❝õ❛ ♠➻♥❤✳ ❱➻ t❤í✐ ❣✐❛♥ ❝â ❤↕♥ ♥➯♥ tr♦♥❣ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ♥➔② ❡♠ ❝❤÷❛ ♥➯✉ ❜➟t ữủ t ỵ P ❝❤➾ t❤➸ ❤✐➺♥ ✤÷đ❝ ù♥❣ ❞ư♥❣ ❝õ❛ ♥â tr♦♥❣ ♠ët sè ❜➔✐ t➟♣ tr➯♥ ♠➦t ♣❤➥♥❣✳ ✹ ✣⑨❖ ❑■➋❯ ❚❘❆◆● ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ✷✳ ▼ö❝ ✤➼❝❤✱ ♥❤✐➺♠ ✈ö ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ▼ö❝ ✤➼❝❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ◆❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✤➸ ❧➔♠ rã ♥ë✐ ❞✉♥❣ ✤❛ ❣✐→❝✱ ✤❛ ❞✐➺♥✱ t❤➜② ✤÷đ❝ ự ỵ P ởt sè ❜➔✐ t♦→♥ ✈➲ ✤❛ ❣✐→❝✳ ◆❤✐➺♠ ✈ö ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ • • • ❚➻♠ ❤✐➸✉ ♠ët sè ♥ë✐ ❞✉♥❣ ✈➲ ✤❛ ❣✐→❝ ♥❤÷ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛✱ ♣❤➙♥ ❧♦↕✐ ✈➔ t➼♥❤ ❝❤➜t✳ ❚➻♠ ❤✐➸✉ ♠ët sè ♥ë✐ ❞✉♥❣ ✈➲ ✤❛ ❞✐➺♥ ♥❤÷ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛✱ ♣❤➙♥ ❧♦↕✐✱ t➼♥❤ ❝❤➜t✳ ❚➻♠ ❤✐➸✉ ù♥❣ ❞ö♥❣ ỵ P ố tữủ ự ✣è✐ t÷đ♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ◆❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➲ ✤❛ ❣✐→❝✱ ✤❛ ỵ P P ự P ✈✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✤è✐ ✈ỵ✐ ✤❛ ❣✐→❝✱ ✤❛ ❞✐➺♥ ❧➔ ♠ët sè ♥ë✐ ❞✉♥❣ ✈➲ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛✱ ♣❤➙♥ ❧♦↕✐✱ t➼♥❤ ❝❤➜t✳ ❱➔ ♠ët sè ❝æ♥❣ t❤ù❝ t➼♥❤ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ✤❛ ❣✐→❝ ✤➦❝ ❜✐➺t✱ ♠ët sè ❝æ♥❣ t❤ù❝ t➼♥❤ t❤➸ t➼❝❤ ✤❛ ❞✐➺♥ ✤➦❝ ❜✐➺t✳ ✺ ✣⑨❖ ❑■➋❯ ❚❘❆◆● ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ • P❤↕♠ ✈✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✤è✐ ợ ỵ P ởt số t tr ổ Pữỡ ự Pữỡ ự t ỷ ổ t Pữỡ tờ t trú t õ ỗ ữỡ ❈❤÷ì♥❣ ✶ ✧❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì sð ✈➲ ✤❛ ❣✐→❝✱ ✤❛ ❞✐➺♥✧ ❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔②✱ ❡♠ s➩ ♥➯✉ rã ♥❤ú♥❣ ❦✐➳♥ tự ỵ tt ỡ s ♥❤÷ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛✱ t➼♥❤ ❝❤➜t✱ ♠ët sè ❝ỉ♥❣ t❤ù❝ t➼♥❤ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ✤❛ ❣✐→❝ ✈➔ t❤➸ t➼❝❤ ✤❛ ❞✐➺♥ ✤➦❝ t ữỡ ỵ P ởt số t➟♣ ù♥❣ ❞ư♥❣✧ ❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔②✱ ❡♠ s➩ ♥➯✉ ♠ët số tự ỵ tt ợ t ỵ P ởt số t ự ỵ P tr ổ ✣⑨❖ ❑■➋❯ ❚❘❆◆● ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ✷✳ ❈â ➼t ♥❤➜t ♠ët ♠➦t ❝õ❛ tù ❞✐➺♥ trü❝ t➙♠ ❧➔ t❛♠ ❣✐→❝ ♥❤å♥✳ ❇➔✐ t➟♣ ✻✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ❝→❝ ✤✐➲✉ s❛✉ ❧➔ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣✿ ✶✳ ABCD ❧➔ tù ❞✐➺♥ trü❝ t➙♠✳ ✷✳ ❇è♥ ✤÷í♥❣ ❝❛♦ ❝õ❛ tù ❞✐➺♥ ỗ q t ự r s❛✉ ❧➔ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣✿ ✶✳ ABCD ❧➔ tù ❞✐➺♥ trü❝ t➙♠✳ ✷✳ ❍➻♥❤ ❝❤✐➳✉ ❝õ❛ ✤➾♥❤ ❧➯♥ ♠➦t ✤è✐ ❞✐➺♥ ❧➔ trü❝ t➙♠ ❝õ❛ ♠➦t ✤â✳ ❇➔✐ t➟♣ ✽✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ tr♦♥❣ ♠ët tù ❞✐➺♥ trü❝ t➙♠ t❤➻✿ ✶✳ ❚ê♥❣ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ ❝→❝ ❝➦♣ ❝↕♥❤ ✤è✐ ❜➡♥❣ ♥❤❛✉✳ ✷✳ ❚r✉♥❣ ✤✐➸♠ ❝↕♥❤✱ ❝❤➙♥ ❝→❝ ✤÷í♥❣ ✈✉ỉ♥❣ ❣â❝ ❝❤✉♥❣ ❝õ❛ ❝→❝ ❝➦♣ ❝↕♥❤ ✤è✐ ❞✐➺♥ ♥➡♠ tr➯♥ ♠ët ♠➦t ❝➛✉✭♠➦t ❝➛✉ ❒❧❡ t❤ù ❤❛✐✮✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ tr♦♥❣ ♠ët tù ❞✐➺♥ trü❝ t➙♠ t❤➻ trå♥❣ t➙♠ ♠➦t✱ ❝❤➙♥ ✤÷í♥❣ ❝❛♦ ♥➡♠ tr➯♥ ♠ët ♠➦t ❝➛✉✭♠➦t ❝➛✉ ❒❧❡ t❤ù ♥❤➜t✮✳ ❇➔✐ t➟♣ ✾✳ ❈❤♦ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ✳ ●å✐ M ✱ N ❧➛♥ ❧÷đt ❧➔ tr✉♥❣ ✤✐➸♠ ❝õ❛ ❝→❝ ❝↕♥❤ AB ✱ AC ✳ ❱➩ BP ⊥M N ✱ CQ⊥M N ✭P ✱ Q ∈ M N ✮✳ ❇➔✐ t➟♣ ✶✵✳ ❛✮ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ tù ❣✐→❝ BP QC ❧➔ ❤➻♥❤ ❝❤ú ♥❤➟t✳ ❜✮ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ SBP QC =SABC ✳ ❇➔✐ t➟♣ ✶✶✳ ❈❤♦ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ✈✉æ♥❣ t↕✐ A✳ ❱➲ ♣❤➼❛ ♥❣♦➔✐ t❛♠ ❣✐→❝✱ ✈➩ ❝→❝ ❤➻♥❤ ✈✉æ♥❣ ABDE ✱ ACF G✱ BCHI ✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ SBCHI = SABDE +SACF G ✳ ✸✽ ✣⑨❖ ❑■➋❯ ❚❘❆◆● ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ❈❤♦ ❤➻♥❤ t❤❛♥❣ ❝➙♥ ABCD ✭AB s♦♥❣ s♦♥❣ ✈ỵ✐ CD✮✳ ●å✐ I ✱ J ✱ K ✱ L ❧➛♥ ❧÷đt ❧➔ tr✉♥❣ ✤✐➸♠ ❝õ❛ AB ✱ BC ✱ CD✱ DA✳ ❇➔✐ t➟♣ ✶✷✳ ❛✮ ❚ù ❣✐→❝ IJKL ❧➔ ❤➻♥❤ ❣➻❄ ❜✮ ❈❤♦ ❜✐➳t ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❤➻♥❤ t❤❛♥❣ ABCD ❜➡♥❣ 20cm2✳ ❚➼♥❤ ❞✐➺♥ t➼❝❤ tù ❣✐→❝ IJKL✳ ✣❙✿❛✮IJKL ❧➔ ❤➻♥❤ t❤♦✐✳ ❜✮SIJKL = 10cm2✳ ❇➔✐ t➟♣ ✶✸✳ ❈❤♦ tù ❞✐➺♥ ABCD ❜✐➳t AB = CD = a✱ AD = BC = b✱ AC = BD = c✳ ❚➼♥❤ t❤➸ t➼❝❤ ❝õ❛ tù ❞✐➺♥ ABCD✳ ❈❤♦ ❝❤â♣ t❛♠ ❣✐→❝ ✤➲✉ S.ABC ❝â ❝↕♥❤ ❜➯♥ ❜➡♥❣ a✱ ❣â❝ t↕♦ ❜ð✐ ❝↕♥❤ ❜➯♥ ✈➔ ♠➦t ✤→② ❜➡♥❣ 45◦✳ ❚➼♥❤ t❤➸ t➼❝❤ ❦❤è✐ ❝❤â♣✳ ❇➔✐ t➟♣ ✶✹✳ ❈❤♦ ❝❤â♣ S.ABC ❝â ❤➻♥❤ ❝❤✐➳✉ ❝õ❛ ✤➾♥❤ S ❧➯♥ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ✤→② ♥➡♠ tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ✱ ❝→❝ ♠➦t ❜➯♥ t↕♦ ✈ỵ✐ ✤→② ❣â❝ 60◦✱ √ ABC = 60◦ ✱ AB = 4a✱ AC = 7a✳ ❚➼♥❤ t❤➸ t➼❝❤ ❤➻♥❤ ❝❤â♣ S.ABC ✳ ❇➔✐ t➟♣ ✶✺✳ ❈❤♦ ❤➻♥❤ ❝❤â♣ S.ABCD ❝â ✤→② ABCD ❧➔ ❤➻♥❤ ✈✉æ♥❣ √ ❝â ✤ë ❞➔✐ ❝↕♥❤ ❜➡♥❣ 3a✱ ✤÷í♥❣ ❝❛♦ SH ❜➡♥❣ a 10✱ H ❧➔ trå♥❣ t➙♠ t❛♠ ❣✐→❝ ABD✳ ●å✐ M ❧➔ tr✉♥❣ ✤✐➸♠ ❝õ❛ SD✳ ▼➦t ♣❤➥♥❣ ✭BCD✮ ❝➢t SH ✈➔ SA ❧➛♥ ❧÷đt t↕✐ K ✈➔ N ✳ ❚➼♥❤ t❤➸ t➼❝❤ ❦❤è✐ ❝❤â♣ S.BCM N ✈➔ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ K ❧➔ trü❝ t➙♠ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝ SAC ✳ ❇➔✐ t➟♣ ✶✻✳ ❇➔✐ t➟♣ ✶✼✳ ❈❤♦ ❤➻♥❤ ❧➠♥❣ trö ✤ù♥❣ ABC.A B C ❝â ✤→② ❧➔ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ❝➙♥ t↕✐ A✱ AB = 2a✱ cosABC = ✱ ❣â❝ ❣✐ú❛ ❤❛✐ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ◦ (ABC) ✈➔ (A BC) ❜➡♥❣ 60 ✳ ❚➼♥❤ t❤➸ t➼❝❤ ❧➠♥❣ trö ✤ù♥❣ ABC.A B C t❤❡♦ a ữỡ ỵ P ởt số ❜➔✐ t➟♣ tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❤❛✐ ❝❤✐➲✉ ✣è✐ ✈ỵ✐ ❝→❝ ❦ý t❤✐ ❖❧②♠♣✐❝✱ ✤➸ ❣✐↔✐ ♥❤ú♥❣ ❞↕♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ t➼♥❤ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ✤❛ ❣✐→❝ ❧➔ ✈✐➺❝ ❦❤æ♥❣ ❤➲ ❞➵ ❞➔♥❣✳ ◆❤÷♥❣ ❦❤✐ ❣➢♥ ✤❛ ❣✐→❝ ✈➔♦ ♠➦t ♣❤➥♥❣ tå❛ ✤ë Oxy t❤➻ ✈ỵ✐ ♥❤ú♥❣ ✤❛ ❣✐→❝ ❝â tå❛ ✤ë ✤➾♥❤ ♥❣✉②➯♥ ✈✐➺❝ t➼♥❤ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣ ❝â ✈➫ ❞➵ ỡ ỵ P r ữỡ ú t ũ q ợ ỵ P q ởt số ỡ ỵ P rữợ ữ r ỵ P ú t õ ♠ët sè ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❝❤✉➞♥ ❜à ♥❤÷ s❛✉✿ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✶✳ ❇↔♥❣ ỉ ✈✉ỉ♥❣ ❧➔ ♠ët ❤➻♥❤ ❝❤ú ♥❤➟t ✤÷đ❝ t ổ ổ ữợ ổ ổ ❧➔ ♠ët ❤➺ t❤è♥❣ ❝→❝ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ❞å❝ ✈➔ ❝→❝ ✤÷í♥❣ ✹✵ ✣⑨❖ ❑■➋❯ ❚❘❆◆● ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ t❤➥♥❣ ♥❣❛♥❣ ❝❤✐❛ ♠➦t ♣❤➥♥❣ t❤➔♥❤ ❝→❝ æ ✈✉æ♥❣ ❜➡♥❣ ♥❤❛✉✳ ❈→❝ ✤➾♥❤ ❝õ❛ æ ✈✉æ♥❣ ❣å✐ ❧➔ ❝→❝ út ữợ õ ữợ ổ ổ t tồ ởổ ổ ỡ t ữủ ữợ ♥❣✉②➯♥✳ ✣✐➸♠ ♥❣✉②➯♥✳ ❚r♦♥❣ ♠➦t ♣❤➥♥❣ tå❛ ✤ë Oxy✱ ✤✐➸♠ M (x; y) ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ✤✐➸♠ ♥❣✉②➯♥✭✤✐➸♠ ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣✮ ♥➳✉ x ✈➔ y ✤➲✉ ❧➔ sè ♥❣✉②➯♥✭sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣✮✳ ữợ ữợ ổ ổ õ tt út ữợ ởt ỗ ó õ tt ✤➾♥❤ ❧➔ ✤✐➸♠ ♥❣✉②➯♥✭✤✐➸♠ ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣✮ t❤➻ ✤❛ ❣✐→❝ ✤â ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ✤❛ ❣✐→❝ ♥❣✉②➯♥✳ ✣✐➸♠ M (3; 5) ❧➔ ♠ët ✤✐➸♠ ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣✳ ✣❛ ❣✐→❝ A1 A2 A3 A4 A5 A6 ❧➔ ♠ët ✤❛ ❣✐→❝ ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣✳ ❱➼ ❞ö ✷✳✶✳✶✳ M A2 A4 A1 A3 A6 A5 O tr ữợ ♥❣✉②➯♥ ❇➙② ❣✐í ❝❤ó♥❣ t❛ s➩ ❝ò♥❣ t➻♠ ❤✐➸✉ ✤à♥❤ ỵ P õ tốt ỵ ỵ P r t ♣❤➥♥❣ tå❛ ✤ë✱ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❝õ❛ ♠ët ✤❛ ❣✐→❝✭✤❛ ❣✐→❝ ✤ì♥✮ ♥❣✉②➯♥ ✤÷đ❝ t➼♥❤ ❜➡♥❣ sè ✤✐➸♠ ♥❣✉②➯♥ ♥➡♠ tr♦♥❣ ✤❛ ❣✐→❝ ❝ë♥❣ ✈ỵ✐ ♥û❛ tê♥❣ sè ✤✐➸♠ ♥❣✉②➯♥ ♥➡♠ tr➯♥ t➜t ❝↔ ❝→❝ ❝↕♥❤ ❝õ❛ ✤❛ ❣✐→❝ s❛✉ ✤â trø ✤✐ 1✳ ●å✐ I ❧➔ sè ✤✐➸♠ ♥❣✉②➯♥ ♥➡♠ tr♦♥❣ ✤❛ ❣✐→❝ ♥❣✉②➯♥ P ✳ O ❧➔ sè ✤✐➸♠ ♥❣✉②➯♥ ♥➡♠ tr➯♥ t➜t ❝↔ ❝→❝ ❝↕♥❤ ❝õ❛ ✤❛ ❣✐→❝ P ✳ ❑❤✐ ✤â✱ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ✤❛ ❣✐→❝ P ✤÷đ❝ t➼♥❤ ❜ð✐ ❝æ♥❣ t❤ù❝ s❛✉✿ SP = I + O ự rữợ t t ❞✐➺♥ t➼❝❤ ✤❛ ❣✐→❝ ♥❣✉②➯♥ P t❛ s➩ ❝❤✐❛ P t❤➔♥❤ ♥❤ú♥❣ ✤❛ ❣✐→❝ ♥❣✉②➯♥ ❦❤æ♥❣ ❝â ✤✐➸♠ tr♦♥❣ ❝❤✉♥❣ rỗ s õ t tờ t ỳ ❣✐→❝ ♥➔②✳ ❑❤✐ ✤â✱ tê♥❣ ✈ø❛ t➻♠ ✤÷đ❝ ❜➡♥❣ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❝õ❛ ✤❛ ❣✐→❝ P ✳ ●✐↔ sû ✤❛ ❣✐→❝ ♥❣✉②➯♥ P ❝â ♥❤✐➲✉ ❤ì♥ ✤➾♥❤✳ ❑❤✐ ✤â t❛ s➩ ❝❤✐❛ P t❤➔♥❤ ❤❛✐ ✤❛ ❣✐→❝ ♥❣✉②➯♥ ♥❤ä ❤ì♥ ✈➔ ❦❤ỉ♥❣ ❝â ✤✐➸♠ tr♦♥❣ ❝❤✉♥❣ P1, P2 ❜ð✐ ✤÷í♥❣ t l ự ỵ P ú ✈ỵ✐ ✤❛ ❣✐→❝ P ♥➳✉ ♥â ✤ó♥❣ ✈ỵ✐ ❤❛✐ ✤❛ P1, P2 t ỵ P t t ❝â✿ SP1 = I1 + O1 − SP2 = I2 + O2 − ❱ỵ✐ I1, I2, O1, O2 ❧➛♥ ❧÷đt ❧➔ sè ✤✐➸♠ ♥❣✉②➯♥ ♥➡♠ tr♦♥❣ ✈➔ ♥➡♠ tr➯♥ ✹✷ ✣⑨❖ ❑■➋❯ ❚❘❆◆● ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ t➜t ❝↔ ❝→❝ ❝↕♥❤ ❝õ❛ ✤❛ ❣✐→❝ P1, P2✳ ●å✐ L ❧➔ sè ✤✐➸♠ ♥❣✉②➯♥ t❤✉ë❝ ❝↕♥❤ ❝❤✉♥❣ ❝õ❛ ❤❛✐ ✤❛ ❣✐→❝✳ ❱➻ t❛ ❝❤✐❛ ✤❛ ❣✐→❝ ♥❣✉②➯♥ P ❜ð✐ ✤÷í♥❣ l ✭✤÷í♥❣ l ♥➡♠ tr♦♥❣ P ✮ t❤➔♥❤ ❤❛✐ ✤❛ ❣✐→❝ P1, P2 ♥➯♥ ❦❤✐ t➼♥❤ ♥❤ú♥❣ ✤✐➸♠ ♥❣✉②➯♥ ♥➡♠ tr♦♥❣ ✤❛ ❣✐→❝ P s➩ t❤✐➳✉ ✤✐ ♥❤ú♥❣ ✤✐➸♠ ♥❣✉②➯♥ ♥➡♠ tr➯♥ l✳ ❉♦ ✤â t❛ ♣❤↔✐ ❝ë♥❣ t❤➯♠ L✳ ❚❛ ❧↕✐ ❝â ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ l ✤✐ q✉❛ ✤➾♥❤ ❝õ❛ P ✭tù❝ ✤✐ q✉❛ ✤➛✉ ♠ót ❝õ❛ ❝↕♥❤ ❝❤✉♥❣✮ ♥➯♥ t❛ s➩ ♣❤↔✐ trø ✤✐ 2✳ ❑❤✐ ✤â t❛ ❝â✿ I = I1 + I2 + L − ❱➻ t❛ ❝❤✐❛ ✤❛ ❣✐→❝ ♥❣✉②➯♥ P ❜ð✐ ✤÷í♥❣ l ✭✤÷í♥❣ l ♥➡♠ tr♦♥❣ P ✮ t❤➔♥❤ ❤❛✐ ✤❛ ❣✐→❝ P1✱P2 ♥➯♥ ❦❤✐ t➼♥❤ sè ✤✐➸♠ ♥❣✉②➯♥ ♥➡♠ tr➯♥ ❜✐➯♥ ❝õ❛ ✤❛ ❣✐→❝✭ ✤✐➸♠ ♥❣✉②➯♥ ♥➡♠ tr➯♥ t➜t ❝↔ ❝→❝ ❝↕♥❤ ❝õ❛ ✤❛ ❣✐→❝✮ t❤➻ s♦ ✈ỵ✐ P t❤➻ P1 , P2 ❝â t❤➯♠ ❝→❝ ✤✐➸♠ ♥❣✉②➯♥ t❤✉ë❝ l✳ ❉♦ ✤â ♣❤↔✐ trø ✤✐ 2L✳ ❚❛ ❧↕✐ ❝â ✤÷í♥❣ l ✤✐ q✉❛ ✤➾♥❤ ❜❛♥ ✤➛✉ ❝õ❛ ✤❛ ❣✐→❝ P ♥➯♥ ♣❤↔✐ ❝ë♥❣ t❤➯♠ 2✳ ❑❤✐ ✤â t❛ ❝â✿ O = O1 + O2 − 2L + ❱➻ t❛ ❝❤✐❛ ✤❛ ❣✐→❝ P t❤➔♥❤ ❤❛✐ ✤❛ ❣✐→❝ P1, P2 ❦❤æ♥❣ ❝â ✤✐➸♠ tr♦♥❣ ❝❤✉♥❣ ♥➯♥✿ 1 SP = SP1 + SP2 = I1 + O1 − + I2 + O2 − = I + O − 2 t ự ỵ P t❛ s➩ ❝❤✐❛ ✤❛ ❣✐→❝ P t❤➔♥❤ ♥❤ú♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ ♥❤ä ♥❤➜t ❝â t❤➸ ♠➔ ❝â ✤➾♥❤ ♥❣✉②➯♥ ✈➔ ổ õ tr rỗ t tờ t ❝õ❛ ❝→❝ t❛♠ ❣✐→❝ ♥➔②✳ ✹✸ ✣⑨❖ ❑■➋❯ ❚❘❆◆● ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ❱➻ ❧➔ ♥❤ú♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ ♥❤ä ♥❤➜t ♠➔ ❝â ✤➾♥❤ ♥❣✉②➯♥ ♥➯♥ ❝→❝ ❝↕♥❤ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣ s➩ ❦❤ỉ♥❣ ❝❤ù❛ t❤➯♠ ❜➜t ❦ý ♠ët ✤✐➸♠ ♥❣✉②➯♥ ♥➔♦ ❦❤→❝ ♥❣♦➔✐ ✤➾♥❤ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝✳ ❑❤✐ ✤â t❛ ❧✐➯♥ ❤➺ ♥❤ú♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ ♥➔② ✈ỵ✐ ❤➻♥❤ ❝❤ú ♥❤➟t ✈➔ ❝→❝ t❛♠ ❣✐→❝ ✈✉æ♥❣ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ♥â ✤➸ t➼♥❤ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ✤❛ ❣✐→❝ ❜❛♥ ✤➛✉✳ ❚❛ ❝â ♥❤ú♥❣ ❤➻♥❤ s❛✉✿ ◆❤÷ ✈➟② t❛ s➩ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ỵ P ú t ổ ỳ t ự ỵ P ú t ❣✐→❝ ✈✉æ♥❣✳ ❚❤➟t ✈➟②✱ ❣å✐ a, b ❧➔ ✤ë ❞➔✐ ❝õ❛ ❝→❝ ❝↕♥❤ ❣â❝ ✈✉æ♥❣✳ ❉♦ ✤➾♥❤ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝ ✈✉ỉ♥❣ ❧➔ ✤✐➸♠ ♥❣✉②➯♥ s✉② r❛ a, b ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣✳ t ổ ữợ õ ♠é✐ ✤✐➸♠ ♥❣✉②➯♥ tr➯♥ ❝↕♥❤ ❣â❝ ✈✉æ♥❣ ❝→❝❤ ♥❤❛✉ ✤ì♥ ✈à✱ ♠➔ ❝↕♥❤ ❤✉②➲♥ ❦❤ỉ♥❣ ❝❤ù❛ ✤✐➸♠ ♥❣✉②➯♥ ♥➔♦ ❦❤→❝ ♥❣♦➔✐ ✤➾♥❤ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝ t↕✐ (0; b) ✈➔ (a; 0)✭ ✤✐➸♠ ♥➔② t❤✉ë❝ ❤❛✐ ❝↕♥❤ ❣â❝ ✈✉æ♥❣✮ ♥➯♥ sè ✤✐➸♠ ♥❣✉②➯♥ tr➯♥ ❜✐➯♥✭tr➯♥ ❝↕♥❤✮ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝ ❧➔✿ O = a + b + ❚❛ ①➨t ❤➻♥❤ ❝❤ú ♥❤➟t ❝â ❝→❝ ✤➾♥❤ (0; 0)✱ (0; b)✱ (a; 0)✱ (a; b)✳ ●å✐ M (x; y) ✹✹ ✣⑨❖ ❑■➋❯ ❚❘❆◆● ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ❧➔ ✤✐➸♠ ♥❣✉②➯♥ ♥➡♠ tr♦♥❣ ❤➻♥❤ ❝❤ú ♥❤➟t ♥➔②✳ ❑❤✐ ✤â ❤♦➔♥❤ ✤ë x ❝õ❛ M ❝â (a − 1) ❝→❝❤ ❝❤å♥✱ t✉♥❣ ✤ë y ❝õ❛ M ❝â (b − 1) ❝→❝❤ ❝❤å♥✳ ❉â ✤â ❝â (a − 1).(b − 1) ✤✐➸♠ M ♥❣✉②➯♥ ♥➡♠ ❜➯♥ tr♦♥❣ ❤➻♥❤ ❝❤ú ♥❤➟t✳ ❱➻ tr➯♥ ✤÷í♥❣ ❝❤➨♦ ❝õ❛ ❤➻♥❤ ❝❤ú ♥❤➟t tù❝ ❝↕♥❤ ❤✉②➲♥ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝ ✈✉æ♥❣ ❦❤æ♥❣ ❝❤ù❛ ✤✐➸♠ ♥❣✉②➯♥ ♥➔♦ ♥➯♥ sè ✤✐➸♠ ♥❣✉②➯♥ ♥➡♠ tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ ✈✉æ♥❣✭❝â tå❛ ✤ë ✤➾♥❤ (0; 0)✱ (0; b)✱ (a; 0)✮ ❧➔✿ I = (a − 1)(b − 1) ❚❛ ❝â t❛♠ ❣✐→❝ ✈✉æ♥❣ ❝â ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❧➔✿ S = 12 ab✳ ❍❛② S = 12 (a − 1).(b − 1) + 12 (a + b + 1) − = I + 12 O − 1✳ ❉♦ ✤â ✤à♥❤ ỵ P ú ợ t ổ ự ỵ P ú ợ ỳ t ự tr➯♥✱ t❛ ❝â sè ✤✐➸♠ ♥❣✉②➯♥ t❤✉ë❝ ♠✐➲♥ tr♦♥❣ ❤➻♥❤ ❝❤ú ♥❤➟t ❧➔✿ I = (a − 1)(b − 1)✳ ❚r➯♥ ❤❛✐ ❝↕♥❤ ❝â ✤ë ❞➔✐ a✱ b ❝õ❛ ❤➻♥❤ ❝❤ú ♥❤➟t ❧➛♥ ❧÷đt ❝â 2(a − 1)✱ 2(b − 1) ✤✐➸♠ ♥❣✉②➯♥ ✈➔ ❝á♥ ❝â ✤➾♥❤ ❝õ❛ ❤➻♥❤ ❝❤ú ♥❤➟t✳ ❉♦ ✤â sè ✤✐➸♠ ♥❣✉②➯♥ ♥➡♠ tr➯♥ ❜✐➯♥ ❝õ❛ ❤➻♥❤ ❝❤ú ♥❤➟t ❧➔ O = 2(a − 1) + 2(b − 1) + = 2(a + b) ❚❛ ❝â ❤➻♥❤ ❝❤ú ♥❤➟t ❝â ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❧➔✿ S = a.b✳ ❍❛② S = (a − 1)(b − 1) + (a + 1) − = I + 21 O õ ỵ P ú ợ ỳ t ỵ P ữủ ự ❱➼ ❞ư ✷✳✶✳✷✳ ◆❤÷ ð ✈➼ ❞ư tr➯♥✭❍➻♥❤ ✷✳✶✮✱ →♣ ỵ P t õ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ✤÷đ❝✿ 15 SA1 A2 A5 = + − = 2 õ ỵ P ữủ tr ữủ ữ ỡ ợ ♥❣✉②➯♥✮✳ ❚r♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❝â sè ❝❤✐➲✉ ❧ỵ♥ ❤ì♥ t ỵ P ữợ ❦❤ỉ♥❣ ❝á♥ ✤ó♥❣ ♠➔ ♣❤ù❝ t↕♣ ❤ì♥ ♥❤✐➲✉✳ ❚❤➟t ✈➟②✱ t❛ ❤➣② ①➨t ♠ët ✈➼ ❞ö s❛✉✿ ❈❤♦ ♠ët ❤å ❦❤è✐ ❝❤â♣ ✈ỵ✐ tå❛ ✤ë ✤➾♥❤ ❧➔ (0; 0; 0)✱ (1; 0; 0)✱ (0; 1; 0)✱ (1; 1; r) ✈ỵ✐ r ∈ N ✳ ❑❤✐ ✤â ♠é✐ ❦❤è✐ ❝❤â♣ ❝â sè ✤✐➸♠ ♥❣✉②➯♥ ❣✐è♥❣ ♥❤÷ ✈➟②✭❝â ✤ó♥❣ ✹ ✤✐➸♠ ♥❣✉②➯♥✮ s➩ ❝â t❤➸ t➼❝❤ ❦❤→❝ ♥❤❛✉ ✈➔ ✤÷đ❝ t➼♥❤ ❜ð✐ ❝ỉ♥❣ t❤ù❝ 6r ✭t❤➸ t➼❝❤ ♥➔② ♣❤ư t❤✉ë❝ ✈➔♦ r✮✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥ ✈➻ t❤í✐ ❣✐❛♥ ✈➔ ♥➠♥❣ ❧ü❝ ❜↔♥ t❤➙♥ ❝á♥ ❤↕♥ ❝❤➳ ♥➯♥ ❡♠ ❝❤÷❛ t❤➸ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ s➙✉ t ỵ P ởt số t ự ỵ P ❚r♦♥❣ ♠➦t ♣❤➥♥❣ tå❛ ✤ë Oxy✱ ❝❤♦ ♠ët t❛♠ ❣✐→❝ ❦❤æ♥❣ ❝❤ù❛ ✤✐➸♠ ♥❣✉②➯♥ ♥➔♦ ❜➯♥ tr♦♥❣ ✈➔ tr➯♥ ❝↕♥❤ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝✭♥❣♦➔✐ ✤➾♥❤✮✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝ ♥➔② ❜➡♥❣ 12 ✳ ❱➼ ❞ö ✷✳✷✳✶✳ ❈❤ù♥❣ ỵ P t õ S = I + 12 O − 1✳ ▼➔ I = ✭❞♦ t❛♠ ❣✐→❝ ❦❤æ♥❣ ❝❤ù❛ ✤✐➸♠ ♥❣✉②➯♥ ♥➔♦ ❜➯♥ tr♦♥❣✮✳ ❚❛ ❧↕✐ ❝â O = ✭❞♦ t❛♠ ❣✐→❝ ❦❤æ♥❣ ❝❤ù❛ ✤✐➸♠ ♥❣✉②➯♥ ♥➔♦ ❦❤→❝ tr➯♥ ❝↕♥❤ trø ✤➾♥❤✮✳ ✹✻ ✣⑨❖ ❑■➋❯ ❚❘❆◆● ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ❉♦ ✤â S = + 12 − = 12 ✳ ❱➟② t❛♠ ❣✐→❝ ♥❣✉②➯♥ ❦❤æ♥❣ ❝❤ù❛ ✤✐➸♠ ♥❣✉②➯♥ ♥➔♦ ❜➯♥ tr♦♥❣ ✈➔ tr➯♥ ❝↕♥❤ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝✭♥❣♦➔✐ ✤➾♥❤✮ ❝â ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❜➡♥❣ 12 ✳ ❱➼ ❞ö ✷✳✷✳✷✳ ❚r♦♥❣ ♠➦t ♣❤➥♥❣ tå❛ ✤ë Oxy ✱ ❝❤♦ ❤➻♥❤ ✈✉æ♥❣ ❝â ✤ë ❞➔✐ ♠ët ❝↕♥❤ ❧➔ N ✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ❤➻♥❤ ✈✉æ♥❣ ♥➔② ❝❤➾ ❝❤ù❛ ♥❤✐➲✉ ♥❤➜t ❧➔ (N + 1)2 ✤✐➸♠ ♥❣✉②➯♥✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚❛ ❝â ❧➔ ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ ♥❤ä ♥❤➜t ❣✐ú❛ ❤❛✐ ✤✐➸♠ ♥❣✉②➯♥✳ ❱➻ ❧➔ ❤➻♥❤ ✈✉æ♥❣ ❝â ✤ë ❞➔✐ ♠ët ❝↕♥❤ ❧➔ N ♥➯♥ ❝❤✉ ✈✐ ❤➻♥❤ ✈✉æ♥❣ ❧➔ 4N ✳ ❙✉② r❛ ❝â ♥❤✐➲✉ ♥❤➜t 4N ✤✐➸♠ ♥❣✉②➯♥ t❤✉ë❝ ❝→❝ ❝↕♥❤ ❝õ❛ ❤➻♥❤ ✈✉æ♥❣✳ ●å✐ I ❧➔ sè ✤✐➸♠ ♥❣✉②➯♥ ♥➡♠ tr♦♥❣ ❤➻♥❤ ✈✉æ♥❣✳ ●å✐ O ❧➔ sè ✤✐➸♠ ♥❣✉②➯♥ t❤✉ë❝ ❝→❝ ❝↕♥❤ ❝õ❛ ❤➻♥❤ ✈✉æ♥❣✳ ❑❤✐ ✤â t❛ s✉② r❛ O 4N ỵ P t õ Shv = I + 21 O − 1✳ ▼➔ Shv = N.N = N 2✭❞♦ ❤➻♥❤ ✈✉æ♥❣ ❝â ❝↕♥❤ ❜➡♥❣ N ✮✱ O ≤ 4N ✳ ◆➯♥ t❛ s✉② r❛ I + 12 4N − ≤ N 2✳ ❚÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ I + 2N − ≤ N ❤❛② I ≤ (N − 1)2✳ ❑❤✐ ✤â I + O ≤ 4N + (N − 1)2 = (N + 1)2✳ ❱➟② ❤➻♥❤ ✈✉æ♥❣ ❝â ✤ë ❞➔✐ ♠ët ❝↕♥❤ ❧➔ N ❝❤ù❛ ♥❤✐➲✉ ♥❤➜t (N + 1)2 ✤✐➸♠ ♥❣✉②➯♥✳ ❚r♦♥❣ ♠➦t ♣❤➥♥❣ tồ Oxy ụ ỗ õ ❧➔ ❝→❝ ✤✐➸♠ ♥❣✉②➯♥✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❝õ❛ ♥❣ơ ❣✐→❝ ♥➔② ❦❤ỉ♥❣ ❜➨ ❤ì♥ 25 ✳ ❱➼ ❞ư ự rữợ t ự tr ởt ụ ỗ ổ õ t t ❚❘❆◆● ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ♠ët ✤✐➸♠ ♥❣✉②➯♥ tr ụ ỗ õ t ỵ rt t tỗ t↕✐ ➼t ♥❤➜t ✤✐➸♠ ♥❣✉②➯♥ X, Y ❝â tå❛ ✤ë ❧➛♥ ❧÷đt ❧➔ (x1, y1)✱ (x2 , y2 ) ✈➔ ❝â ❝ò♥❣ t➼♥❤ ❝❤➤♥ ❧➫✭❝❤➾ ❝â tr÷í♥❣ ❤đ♣ ❧➔✿ ❝❤➤♥ ❝❤➤♥✱ ❧➫ ❧➫✱ ❝❤➤♥ ❧➫✱ ❧➫ ❝❤➤♥✮✳ ❑❤✐ ✤â tr✉♥❣ ✤✐➸♠ Z ❝õ❛ X, Y ❧➔ ✤✐➸♠ ♥❣✉②➯♥ ♥➡♠ tr♦♥❣ ❝õ❛ ♥❣ô ❣✐→❝ ✈➔ tå❛ ✤ë ❝õ❛ Z ♥❣✉②➯♥✭✈ỵ✐ Z x1 +2 x2 , y1 +2 y2 ✮✳ õ ỗ ổ õ t t ởt tr ỵ P t ❝â S = I + 21 O − 1✳ ▼➔ I ≥ 1✱ O ≥ ♥➯♥ t❛ s✉② r❛ S ≥ + 12 − ❤❛② S 52 t ổ tỗ t ởt ụ ỗ õ t 25 ❞ư tr♦♥❣ ♠➦t ♣❤➥♥❣ tå❛ ✤ë Oxy✱ ❝â ♥❣ơ ❣✐→❝ ♥❣✉②➯♥ ❝â ❝→❝ ✤➾♥❤ O(0; 0)✱ A(0; 1)✱ B(1; 2)✱ C(2; 1)✱ D(1; 0)✳ ◆❣ô ❣✐→❝ ♥➔② ❝â ✤✐➸♠ ♥❣✉②➯♥ tr➯♥ ❜✐➯♥ ✈➔ ♠ët ✤✐➸♠ ♥❣✉②➯♥ I(1; 1) ❧➔ ♠ët ✤✐➸♠ tr♦♥❣✳ B I A O C D ❱➟② t ụ ỗ õ ổ ❜➨ ❤ì♥ 52 ✳ ❱➼ ❞ư ✷✳✷✳✹✳ ❚r♦♥❣ ♠➦t ♣❤➥♥❣ tå❛ ✤ë Oxy ✱ ❣✐↔ sû ❝â ♠ët ❝♦♥ ❝➔♦ ❝➔♦ ð ✤✐➸♠ (1; 1)✳ ❚ø ✤✐➸♠ ♥➔② ❝♦♥ ❝➔♦ ❝➔♦ ❝❤➾ ♥❤↔② ✤➳♥ ❝→❝ ✤✐➸♠ ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ ❦❤→❝ t❤❡♦ q✉② t➢❝ ♥❤÷ s❛✉✿ tø ♠ët ✤✐➸♠ ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ A✱ ❝♦♥ ✹✽ ✣⑨❖ ❑■➋❯ ❚❘❆◆● ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ❝➔♦ ❝➔♦ ♥❤↔② ✤➳♥ ✤✐➸♠ ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ B ♥➳✉ ∆AOB ❝â ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❜➡♥❣ ✳ ✶✱ ❚➻♠ t➜t ❝↔ ❝→❝ ✤✐➸♠ ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ (m; n) ♠➔ ❝♦♥ õ t s ởt số ữợ ♥❤↔② ❦➸ tø ✤✐➸♠ ①✉➜t ♣❤→t (1; 1)✳ ✷✱ ●✐↔ sû (m; n) ❧➔ ♠ët ✤✐➸♠ ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ ❝â t➼♥❤ t ữủ ỵ ự r tỗ t↕✐ ❝→❝❤ ♥❤↔② ❝õ❛ ❝♦♥ ❝➔♦ ❝➔♦ tø ✤✐➸♠ (1; 1) (m; n) số ữợ ổ ữủt q |m n| rữợ t t ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜ê ✤➲ s❛✉✿ ❇ê ✤➲ ✷✳✶✳ ❱ỵ✐ (m, n) số tố ũ t tỗ t↕✐ ❤❛✐ sè a ✈➔ b ♥❣✉②➯♥ tè ❝ò♥❣ ♥❤❛✉ s❛♦ ❝❤♦ |mb − na| = ✈➔ |a − b| ≤ |m − n| − 1✳ ❚❤➟② ✈➟②✿ ❑❤æ♥❣ ♠➜t t➼♥❤ tê♥❣ q✉→t t❛ ❣✐↔ sû m > n✳ ❳➨t ❝→❝ sè ❝â ❞↕♥❣ mb − ✈ỵ✐ ≤ b ≤ n✳ ❚❛ ❞➵ t❤➜② ❝â n sè ♥❤÷ ✈➟② ✈➔ ❝❤ó♥❣ ❧➟♣ t❤➔♥❤ ♠ët ❤➺ t❤➦♥❣ ❞÷ mod n r tỗ t số b s❛♦ ❝❤♦ mb − 1✳✳ n✳ ❚❛ t❤➜② r➡♥❣ b ≤ n − ✈➻ b = n ❦❤æ♥❣ t❤ä❛ ♠➣♥✳ ✣➦t a = mbn− s✉② r❛ m.n = m ✈➔ mb − an = 1✳❚❛ ❝â✿ a≤ n |n(b−a)| = |(m−n)b−1| = |(m−n)n+(m−n)(b−n)−1| < |(m−n)n| ❙✉② r❛ |n(b − a)| < |(m − n)n| ❤❛② |b − a| < |m − n|✳ ❉♦ ✤â |b − a| ≤ |m − n| − 1✳ ❱➟② ❜ê ✤➲ ✤÷đ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚rð ❧↕✐ ❜➔✐ t♦→♥✿ ❈♦♥ ❝➔♦ ❝➔♦ ✤❛♥❣ ð ✤➾♥❤ A(a; b) ♠✉è♥ ♥❤↔② s❛♥❣ ✤➾♥❤ B(c; d) t❤➻ õ SOAB = 21 tữỡ ữỡ ợ 12 |ad − bc| = 12 ❤❛② |ad − bc| = 1✳ ✹✾ ✣⑨❖ ❑■➋❯ ❚❘❆◆● ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ❉♦ ✤â t❤❡♦ ❇ê ✤➲ ✷✳✶ t❛ s✉② r❛ ♥➳✉ ①✉➜t ♣❤→t tø ✤✐➸♠ (1; 1) t❤➻ ❝♦♥ ❝➔♦ ❝➔♦ ❝❤➾ ❝â t❤➸ ♥❤↔② ✤➳♥ ❝→❝ ✤✐➸♠ (m; n) ♠➔ (m; n) ♥❣✉②➯♥ tè ❝ò♥❣ ♥❤❛✉✳ ✷✱ ❳➨t ✤✐➸♠ ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ (m; n) ♠➔ (m; n) = 1✱ |m − n| = t❤➻ ❝♦♥ ❝➔♦ ❝➔♦ ❝â t❤➸ ♥❤↔② s ởt ữợ ❧↕✐ ①➨t ✤✐➸♠ (m; n) ♠➔ (m; n) = ✈➔ |m − n| > 1✳ ❚❤❡♦ ❇ê ✤➲ ✷✳✶ t tỗ t số p q s |mp − nq| = ✈➔ |p − q| ≤ |m − n| − 1✳ ▲➦♣ ❧↕✐ q✉→ tr➻♥❤ ♥➔② t❛ t❤➜② r➡♥❣ ❝♦♥ ❝➔♦ ❝➔♦ ❝â t❤➸ ♥❤↔② ✤➳♥ ✤✐➸♠ (m; n) s ổ q |m n| ữợ ❙❛✉ ✤➙② ❡♠ ①✐♥ ✤÷❛ r❛ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥✱ ❡♠ ♠♦♥❣ ♥❣÷í✐ ✤å❝ t➻♠ r❛ ✤÷đ❝ ♥❤ú♥❣ ❧í✐ ❣✐↔✐ ỵ P t ró ỡ ỳ t ữ t ỵ ❈❤♦ t❛♠ ❣✐→❝ M N P ✈ỵ✐ M (1; 1)✱ N (4; 2)✱ P (2, 4)✳ ❚➼♥❤ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝ M N P ✳ ❇➔✐ t➟♣ ✶✽✳ ❚r♦♥❣ ♠➦t ♣❤➥♥❣ tå❛ ✤ë Oxy ❝❤♦ t❛♠ ❣✐→❝ ∆M N P s❛♦ ❝❤♦ ✤➾♥❤ ❧➔ ❝→❝ ✤✐➸♠ ♥❣✉②➯♥✳ ●✐↔ sỷ tỗ t t ởt G tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ ✈➔ ❦❤æ♥❣ ❝â ✤✐➸♠ ♥❣✉②➯♥ ♥➔♦ ♥➡♠ tr➯♥ ❝→❝ ❝↕♥❤ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝ trø ✤✐➸♠ M ✱ N ✱ P ✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ G ❧➔ trå♥❣ t➙♠ ∆M N P ✳ ❇➔✐ t➟♣ ✶✾✳ ❇➔✐ t➟♣ ✷✵✳ ❈❤♦ tù ❣✐→❝ ABCD ❚➼♥❤ ❞✐➺♥ t➼❝❤ tù ❣✐→❝ ABCD✳ ❝â A(2, 1)✱ B(1, 5)✱ C(3; 2)✱ D(5; 1)✳ ❇➔✐ t➟♣ ✷✶✳ ❚➻♠ ❤➻♥❤ ❝❤ú ♥❤➟t ❝â ❝→❝ ✤➾♥❤ ♥❣✉②➯♥ ✈ỵ✐ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ♥❤ä ♥❤➜t s❛♦ ❝❤♦ ♥â ❝❤ù❛ ❞✉② ♥❤➜t ♠ët ✤✐➸♠ ♥❣✉②➯♥✳ ✺✵ ✣⑨❖ ❑■➋❯ ❚❘❆◆● ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ❈❤♦ ♥❣ơ ❣✐→❝ ❦❤ỉ♥❣ ỗ õ t➼❝❤ ♥❤ä ♥❤➜t ❝õ❛ ♥❣ô ❣✐→❝ ♥➔②✳ ❇➔✐ t➟♣ ✷✷✳ ❑➌❚ ▲❯❾◆ ✿ ❚r♦♥❣ ❦❤♦→ ❧✉➟♥ ✧ ✣❛ ❣✐→❝✱ ✤❛ ❞✐➺♥ ✈➔ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ✤à♥❤ ỵ P tr ổ t tr tố ỳ ỵ tt ự ỵ P✐❝❦✭tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❤❛✐ ❝❤✐➲✉✮ ♠ët ❝→❝❤ ❝ư t❤➸✳ ❈→❝ ❦➳t q✉↔ ❝❤➼♥❤ ♠➔ ❡♠ ✤↕t ✤÷đ❝ tr♦♥❣ ❦❤♦→ ❧✉➟♥ tố ỳ ỵ tt ✈➲ ✤❛ ❣✐→❝✱ ✤❛ ❞✐➺♥✳ ✭✷✮ ✣÷❛ r❛ ♠ët sè ❜➔✐ t➟♣ ✤✐➸♥ ❤➻♥❤ ✈➲ ✤❛ ❣✐→❝✱ ✤❛ ❞✐➺♥✳ ✭✸✮ ự ỵ P tr ổ ✭✹✮ ❳➙② ❞ü♥❣ ✤÷đ❝ ❝→❝ ✈➼ ❞ư ✈➔ ❜➔✐ t➟♣ t q ỵ P tr ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❤❛✐ ❝❤✐➲✉✳ ✺✶ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ❬✶❪ ❇ò✐ ❱➠♥ ❇➻♥❤✲◆❣✉②➵♥ ❱➠♥ ❱↕♥✱ ●✐→♦ tr➻♥❤ ❤➻♥❤ ❤å❝ ❝➜♣✱ ✣↕✐ ❤å❝ s÷ ♣❤↕♠ ❍➔ ◆ë✐ ✷✳ ❬✷❪ ❇ò✐ ❱➠♥ ❇➻♥❤✱ ❇➔✐ t➟♣ ❤➻♥❤ ❤å❝ ❝➜♣✱ ✣↕✐ ❤å❝ s÷ ♣❤↕♠ ❍➔ ◆ë✐ ✷✳ ❬✸❪ ◆❣✉②➵♥ ▼✐♥❤ ❈❤÷ì♥❣✲ ▲➯ ✣➻♥❤ P❤✐✲ ◆❣✉②➵♥ ❈ỉ♥❣ ◗✉ý✱ ❍➻♥❤ ❤å❝ ❝➜♣✱ ◆❳❇ ●✐→♦ ❞ư❝✱ ✭✶✾✻✸✮✳ ❬✹❪ ❱➠♥ ◆❤÷ ❈÷ì♥❣✱ ❍➻♥❤ ❤å❝ ❆❢✐♥ ✈➔ ❤➻♥❤ ❤å❝ ❒❝❧✐t✱ ◆❳❇ ✣↕✐ ❤å❝ ◗✉è❝ ❣✐❛ ❍➔ ◆ë✐✱ ✭✶✾✾✽✮✳ ❬✺❪ ❚↕♣ ❝❤➼ ❚♦→♥ ❤å❝ ✈➔ t✉ê✐ tr➫ sè ✶✸✸✱ ✭✶✾✽✸✮✳ ❬✻❪ ◆❣✉②➵♥ ❍ú✉ ✣✐➸♥✱ ▼ët sè ❝❤✉②➯♥ ✤➲ ✈➲ ❤➻♥❤ ❤å❝ tê ❤đ♣✱ ◆❳❇ ●✐→♦ ❞ư❝✱ ✭✷✵✵✺✮✳ ❬✼❪ ❱ô ✣é ❯②➯♥ ❱②✲ P❤↕♠ ❑❤❛♥❣ ❍②✱ ❈❤✉②➯♥ ✤➲ ❚♦→♥ ❤å❝ sè ✽✳ ❬✽❪ ❱➠♥ ◆❤÷ ❈÷ì♥❣✱ ❍➻♥❤ ❤å❝ ❝➜♣ ✈➔ t❤ü❝ ❤➔♥❤ ❣✐↔✐ t♦→♥✱ ◆❳❇ ✣↕✐ ❤å❝ s÷ ♣❤↕♠✭✷✵✵✺✮✳ ❬✾❪ ▲➯ ❍♦➔♥❤ P❤á✱ ❇ë ✤➲ t❤✐ tü ❧✉➟♥ ❚♦→♥ ❤å❝✱ ◆❳❇ ✣↕✐ ❤å❝ ◗✉è❝ ❣✐❛ ❍➔ ◆ë✐✱ ✭✷✵✶✷✮✳ ✺✷ ... ❞✐➺♥ t➼❝❤ ✤❛ ❣✐→❝ ✈➔ t❤➸ t➼❝❤ ✤❛ ❞✐➺♥ ✤➦❝ t ữỡ ỵ P ởt số t➟♣ ù♥❣ ❞ư♥❣✧ ❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔②✱ ❡♠ s➩ ♥➯✉ ♠ët số tự ỵ tt ợ t ỵ P ởt số t ự ỵ P tr ổ ❇↔♥❣ ❦➼ ❤✐➺✉ c ✤ m g ci c✤ cm ❧➔ ❦➼... ❧➔ sè ❝❤➤♥✳ i=1 i=1 ❚❛ ❧↕✐ ❝â ci ❧➔ sè ❧➫ ∀i = 1; m2 ♥➯♥ m2 ❧➔ sè ❝❤➤♥✳ ❱➟② tr♦♥❣ ♠ët ✤❛ ỗ số t õ số ❝↕♥❤ ❧➫ ❧➔ ♠ët sè ❝❤➤♥✳ ❱➼ ❞ö ✶✳✹✳✷✳ ự tr ởt ỗ c + ≤ 3m ≤ 2c✳ ✷✳ ❈â ➼t ♥❤➜t ♠ët ♠➦t... ❣â❝ ♥➔② ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ❝ë♥❣ tê♥❣ sè ❣â❝ ð ♠é✐ ✤➾♥❤ ❧↕✐✳ ●✐↔ sû ❤➻♥❤ ❝❤✐➳✉ ❜à ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ❜ð✐ ởt ỗ n õ số ♥❣♦➔✐ ❧➔ n ✈➔ sè ✤➾♥❤ tr♦♥❣ ❧➔ (✤ − n)✳ ❚ê♥❣ sè ❣â❝ ð ♠é✐ ✤➾♥❤ tr♦♥❣ ❧➔ ♠ët ❣â❝ ✤➛② ✭2π✮✳ ❉♦
- Xem thêm -

Xem thêm: Đa giác, đa diện và một số bài toán liên quan đến định lý pick trong không gian hai chiều (2018), Đa giác, đa diện và một số bài toán liên quan đến định lý pick trong không gian hai chiều (2018)

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn

Nhận lời giải ngay chưa đến 10 phút Đăng bài tập ngay