Đang tải... (xem toàn văn)
Điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ (Luận án tiến sĩ)Điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ (Luận án tiến sĩ)Điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ (Luận án tiến sĩ)Điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ (Luận án tiến sĩ)Điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ (Luận án tiến sĩ)Điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ (Luận án tiến sĩ)Điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ (Luận án tiến sĩ)Điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ (Luận án tiến sĩ)Điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ (Luận án tiến sĩ)Điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ (Luận án tiến sĩ)Điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ (Luận án tiến sĩ)
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐINH DIỆU HẰNG ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CHO BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ Ngành: Tốn giải tích Mã số: 9460102 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Đỗ Văn Lưu THÁI NGUYÊN - 2018 ii LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các kết viết chung với tác giả khác trí đồng tác giả đưa vào luận án Các kết quả, số liệu luận án trung thực chưa công bố công trình khác Các liệu tham khảo trích dẫn đầy đủ Tác giả Đinh Diệu Hằng iii LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình PGS.TS Đỗ Văn Lưu Tác giả xin bày tỏ kính trọng lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới thầy, giáo thuộc trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện, giúp đỡ tác giả trình học tập nghiên cứu Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường Đại học Công nghệ thông tin truyền thông - Đại học Thái Nguyên, Khoa Khoa học bản, nơi tác giả công tác, tạo điều kiện thuận lợi suốt trình học tập nghiên cứu Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới người thân gia đình ln động viên, chia sẻ khích lệ để tác giả hồn thành luận án tiến sĩ Tác giả Đinh Diệu Hằng Mục lục Trang bìa phụ i Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Mục lục iv Danh mục ký hiệu chữ viết tắt vii Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Bài toán cân 7 1.2 Tách tập lồi không tương giao vi phân hàm lồi 1.3 Dưới vi phân Clarke, vi phân Michel – Penot vi phân Dini 1.3.1 Dưới vi phân Clarke, vi phân Michel – Penot 11 11 1.3.2 1.3.3 Đạo hàm Dini vi phân Dini Một số kết bổ trợ 14 15 1.4 Phần tựa tương đối 16 1.5 Hàm lồi suy rộng 17 Chương Điều kiện tối ưu cho bất đẳng thức biến phân vectơ19 2.1 Điều kiện tối ưu ngôn ngữ vi phân Clarke 19 2.1.1 Nghiệm hữu hiệu yếu 20 2.1.2 2.1.3 Nghiệm hữu hiệu toàn cục Nghiệm hữu hiệu 24 25 v 2.2 Điều kiện tối ưu ngôn ngữ vi phân Michel – Penot 2.2.1 Nghiệm hữu hiệu yếu nghiệm hữu hiệu toàn cục 2.2.2 Chương Nghiệm hữu hiệu 28 29 32 Điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu toán cân vectơ 37 3.1 Điều kiện tối ưu cho toán cân vectơ khơng có ràng buộc 38 3.1.1 3.1.2 Điều kiện cần tối ưu cho toán (VEP) Điều kiện đủ tối ưu cho toán (VEP) 38 41 3.2 Điều kiện tối ưu cho tốn cân vectơ có ràng buộc 3.2.1 Điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu (CVEP) 43 43 3.2.2 Điều kiện đủ tối ưu cho toán (CVEP) 3.3 Áp dụng cho toán bất đẳng thức biến phân vectơ 46 toán tối ưu vectơ 48 3.3.1 3.3.2 Điều kiện tối ưu cho toán bất đẳng thức biến phân vectơ 48 Điều kiện tối ưu cho toán tối ưu vectơ 49 Chương Điều kiện tối ưu cho toán cân vectơ với ràng buộc cân 52 4.1 Điều kiện cần tối ưu Fritz John 52 4.1.1 4.1.2 Phát biểu toán Điều kiện cần tối ưu Fritz John cho toán (VEPEC) 52 54 4.1.3 Điều kiện cần Fritz John với điều kiện quy (VEPEC– RC) 56 4.2 Điều kiện cần tối ưu Kuhn – Tucker 4.2.1 Các điều kiện quy (VEPEC–CQ1) (VEPEC– 58 CQ2) Điều kiện cần Kuhn – Tucker cho nghiệm hữu hiệu yếu 58 toán (VEPEC) 59 Điều kiện cần Kuhn – Tucker cho trường hợp Fx (.) khả vi chặt 61 4.3 Điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu yếu 62 4.2.2 4.2.3 vi 4.3.1 4.3.2 Điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu yếu (VEPEC) Ví dụ 62 65 4.4 Áp dụng cho toán bất đẳng thức biến phân vectơ toán tối ưu vectơ 66 4.4.1 4.4.2 Điều kiện tối ưu cho toán bất đẳng thức biến phân vectơ (VVIEC) 66 Điều kiện tối ưu cho toán tối ưu vectơ (VOPEC) 67 Kết luận chung 70 Danh mục cơng trình cơng bố liên quan đến luận án 72 Tài liệu tham khảo 73 Danh mục ký hiệu chữ viết tắt (V EP EC) Bài toán cân vectơ với ràng buộc cân (V V IEC) Bài toán bất đẳng thức vectơ với ràng buộc cân (V OP EC) Bài toán tối ưu vectơ với ràng buộc cân (V EP EC − CQ1) Điều kiện quy cho toán (VEPEC) (V V IEC − CQ1) Điều kiện quy cho tốn (VVIEC) (V OP EC − CQ1) Điều kiện quy cho tốn (VOPEC) (V EP ), (V EP1 ) Bài toán cân vectơ không ràng buộc (CV EP ), (CV EP1 ) Bài tốn cân vectơ có ràng buộc (V OP ), (V OP1 ) Bài tốn tối ưu vectơ khơng ràng buộc (CV OP ), (CV OP1 ) Bài toán tối ưu vectơ có ràng buộc (V V I), (V V I1 ) Bất đẳng thức biến phân vectơ không ràng buộc (CV V I), (CV V I1 ) Bất đẳng thức biến phân vectơ có ràng buộc t.ư., tương ứng X∗ Không gian tôpô đối ngẫu X ξ, x Giá trị phiếm hàm ξ ∈ X ∗ x ∈ X f (¯ x; v) Đạo hàm theo phương Clarke f x¯ theo phương v ∂f (¯ x) Dưới vi phân Clarke f x¯ f ♦ (¯ x; v) Đạo hàm Michel - Penot f x¯ theo phương v ∂ M P f (¯ x) Dưới vi phân Michel - Penot f x¯ ∂D f (¯ x) Dưới vi phân Dini f x¯ f + (x; v) Đạo hàm Dini f x¯ theo phương v f − (x; v) Đạo hàm Dini f x¯ theo phương v Df (x; v) Đạo hàm Dini f x¯ theo phương v df (x; v) Đạo hàm Hadamard f x¯ theo phương v viii ∇G f (¯ x) Đạo hàm Gâteaux f x¯ theo phương v ∇f (¯ x) Đạo hàm Fréchet f x¯ T (C; x) Nón tiếp tuyến Clarke C x¯ TC (x) Nón tiếp liên C x¯ N (C; x) Nón pháp tuyến Clarke C x¯ ∈ C NC (x) Nón pháp tuyến C x¯ ∈ C: cực nón tiếp liên D∗ Nón đỗi ngẫu D D0 Nón cực D T Phép chuyển vị T∗ Toán tử liên hợp toán tử T intC Phần C riC Phần tương đối C qriC Phần tựa tương đối C coC Bao lồi C conecoA Nón sinh bao lồi A linA Bao tuyến tính A Mở đầu Lý thuyết điều kiện tối ưu cho toán tối ưu phát triển từ giai đoạn sớm toán học Khởi đầu nghiên cứu toán phép tính biến phân cổ điển với điều kiện tối ưu mơ tả dạng phương trình Euler Sự phát triển mạnh mẽ lý thuyết toán điều khiển tối ưu qui hoạch toán học cho kết dạng nguyên lý cực đại Pontryagin qui tắc nhân tử Lagrange Năm 1965 A.YA Dubovitsky A.A Milyutin đưa lý thuyết điều cần tối ưu ngơn ngữ giải tích hàm Lược đồ tổng quát Dubovitsky – Milyutin bao hàm tất toán quy hoạch toán học, điều khiển tối ưu biến phân cổ điển Sau cơng trình Dubovitsky – Milyutin, nhiều lý thuyết điều kiện cần tối ưu tổng quát khác đời lý thuyết R.V Gamkrelidze – G.L Kharatishvili, L.W Neustadt, H Halkin, A.D Ioffe – V.M Tikhomirov, B.N Pshenichnyi, F.H Clarke, B.D Craven, Bài toán tối ưu đa mục tiêu nảy sinh kinh tế, kỹ thuật, giao thông vận tải số ngành khoa học xã hội Các điều kiện tối ưu không trơn phát triển mạnh mẽ ngôn ngữ vi phân Clarke, Michel – Penot, Mordukhovich (xem [13], [14], [20], [23], [30]–[32], [37]–[43], [46], [47], [69], [70]) Jeyakumar – Luc tổng quát hóa khái niệm vi phân đưa khái niệm vi phân suy rộng (convexificator) đóng, khơng lồi cho hàm vơ hướng [29] Jacobian xấp xỉ cho hàm vectơ [28] Từ đó, điều kiện tối ưu ngôn ngữ vi phân suy rộng Jacobian xấp xỉ phát triển mạnh (xem chẳng hạn [28], [29], [38], [39], [43], tài liệu tham khảo đó) Một số nhà tốn học Việt Nam có đóng góp đáng kể việc nghiên cứu toán cân toán bất đẳng thức biến phân giáo sư Hoàng Tụy, Phạm Hữu Sách, Đinh Thế Lục, Phan Quốc Khánh, Nguyễn Đông Yên, Nguyễn Văn Hiền, Lê Dũng Mưu, Đỗ Văn Lưu, Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Xuân Tấn, Nguyễn Bường, Nguyên Năng Tâm nhiều giáo sư khác (xem chẳng hạn [28, 29], [33], [36], [40], [43], [49], [58], [61, 62], [67] ) Bài toán cân vectơ Blum – Oettli [9] đưa năm 1994 Lớp toán cân vectơ bao gồm nhiều lớp toán quan trọng như: toán bất đẳng thức biến phân vectơ, toán tối ưu vectơ, toán điểm bất động, toán bù vectơ, toán cân Nash vectơ Điều kiện tối ưu cho toán cân vectơ toán bất đẳng thức biến phân vectơ nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu (xem [1], [2], [9], [12], [15], [19], [22]–[25], [40]–[44], [48], [54], [55], [63]–[66]) Giannessi – Mastroeni – Pllegrini [19] dẫn điều kiện đủ tối ưu cho bất đẳng thức biến phân vectơ không gian hữu hạn chiều, Morgan – Romaniello [48] thiết lập điều kiện Kuhn – Tucker cho bất đẳng thức tựa biến phân suy rộng vectơ không gian Hilbert Các điều kiện tối ưu cho ε – nghiệm bất đẳng thức biến phân vectơ không gian Banach Yang – Zeng [66] thiết lập Các điều kiện tối ưu [63], [65] thiết lập cách chứng minh tương đương bất đẳng thức biến phân vectơ toán tối ưu vectơ Gong ([23] - [25]) dẫn điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu yếu, nghiệm hữu hiệu Henig, nghiệm hữu hiệu tồn cục cho tốn cân vectơ khơng có ràng buộc điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu tốn cân vectơ có ràng buộc với hàm khả vi Các điều kiện tối ưu cho toán bất đẳng thức biến phân với ràng buộc không trơn loại đẳng thức, bất đẳng thức ràng buộc tập qua vi phân Clarke Michel – Penot vấn đề cần nghiên cứu Trong luận án, nghiên cứu vấn đề Borwein – Lewis (1992, [10]) đưa vào khái niệm phần tựa tương đối (quasirelative interior) tập lồi không gian vô hạn chiều Trong không gian hữu hạn chiều phần tựa tương đối trùng với phần tương đối Cammaroto – Bella (2005, [11]) sử dụng khái niệm phần tựa tương đối Borwein – Lewis [10] thay cho phần để chứng minh tách ngôn ngữ phần tựa tương đối Các điều kiện tối ưu ngôn ngữ phần tựa tương đối vấn đề cần nghiên cứu ... hiệu toán cân vectơ 37 3.1 Điều kiện tối ưu cho toán cân vectơ khơng có ràng buộc 38 3.1.1 3.1.2 Điều kiện cần tối ưu cho toán (VEP) Điều kiện đủ tối ưu cho toán (VEP) 38 41 3.2 Điều. .. để dẫn điều kiện tối ưu cho toán bất đẳng thức vectơ toán tối ưu vectơ Bài toán cân vectơ với ràng buộc cân (hay gọi ràng buộc bù) bao gồm toán bất đẳng thức biến phân vectơ toán tối ưu vectơ. .. phân vectơ toán tối ưu vectơ 66 4.4.1 4.4.2 Điều kiện tối ưu cho toán bất đẳng thức biến phân vectơ (VVIEC) 66 Điều kiện tối ưu cho toán tối ưu vectơ