„I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S× PHM NGUYN SONG H XP X NGHIM CHO BT NG THÙC BIN PHN VẻI H Vặ HN CC NH X KHặNG GIN Ng nh: ToĂn GiÊi tẵch M số: 9460102 TM TT LUN N TIN S TON HÅC THI NGUYN - 2018 Cổng trẳnh ữủc ho n th nh tÔi: Trữớng Ôi hồc Sữ phÔm - Ôi hồc ThĂi Nguyản Ngữới hữợng dăn khoa hồc: GS.TS Nguyạn Bữớng PhÊn biằn 1: Ph£n bi»n 2: Ph£n bi»n 3: Luên Ăn s ữủc bÊo vằ trữợc Hởi ỗng chĐm luên Ăn cĐp Trữớng hồp tÔi: Trữớng Ôi hồc Sữ phÔm - Ôi hồc ThĂi Nguyản V o hỗi giớ ng y thĂng nôm 2018 Cõ th tẳm hiu luên Ăn tÔi thữ viằn: - Thữ viằn Quốc gia Viằt Nam Trung tƠm hồc liằu Ôi hồc ThĂi Nguyản - Thữ viằn trữớng Ôi hồc Sữ phÔm - Ôi hồc ThĂi Nguyản - M Ưu i toĂn bĐt ng thực bián phƠn  ữủc ã xuĐt v o nhỳng nôm Ưu cừa thêp niản 60 thá k XX, gn liãn vợi nhỳng nghi¶n cùu cõa Lions, Stampacchia v cëng sü (Lions v Stampacchia, 1965, 1967; Hartman v Stampacchia, 1966) Tø â ¸n nay, bĐt ng thực bián phƠn luổn l mởt chừ ã nghiản cựu mang tẵnh thới sỹ v thu hút ÷đc sü quan t¥m cõa nhi·u nh khoa håc v ngo i nữợc Nhiãu b i toĂn nhữ: b i to¡n cüc trà; b i to¡n iºm b§t ëng; b i toĂn cƠn bơng; b i toĂn bũ; phữỡng trẳnh vợi toĂn tỷ ỡn iằu; b i toĂn biản cõ dÔng cừa phữỡng trẳnh Ôo h m riảng : : : câ thº quy v· mỉ h¼nh B i toĂn bĐt ng thực bián phƠn dữợi cĂc giÊ thiát thẵch hủp Vẳ thá b i toĂn n y l mởt cổng cử mÔnh v thống nhĐt nghiản cựu nhiãu mổ hẳnh b i toĂn lẵ thuyát v ựng dửng thỹc tá b Viằt Nam, theo nhiãu ữớng tiáp cên khĂc nhau, cĂc nh khoa hồc cõ nhỳng âng gâp quan trång cho b i to¡n n y cõ th k án nhữ cĂc nhõm nghiản cựu cừa GS.TSKH PhÔm Ký Anh (P.K Anh v tg, 2015, 2017); GS.TSKH Phan Quèc Kh¡nh (P.Q Kh¡nh v tg, 2005, 2006); GS.TSKH inh Th¸ Lưc (.T Lưc v tg, 2008, 2014); GS.TSKH Lả Dụng Mữu (L.D Mữu v tg, 2005, 2012); GS.TSKH PhÔm Hỳu SĂch (P.H SĂch v tg, 2004, 2008); GS.TSKH Nguyạn XuƠn TĐn (N.X TĐn v tg, 2012, 2013); GS.TSKH Nguyạn Yản (N Yản v tg, 2005, 2008); GS.TS Nguyạn Bữớng (N Bữớng v tg, 2011, 2013, 2015, 2016); PGS.TS PhÔm Ngồc Anh (P.N Anh v tg, 2004, 2005, 2010); PGS.TS Nguy¹n Quang Huy (N.Q Huy v tg, 2011) v PGS.TS Nguy¹n Thà Thu Thõy (N.T.T Thõy v tg, 2013, 2016) : : : Bản cÔnh õ, bĐt é ng thực bián phƠn v mởt số b i toĂn liản quan cụng  v ang l ã t i nghiản cựu cừa nhiãu tĂc giÊ l tián sắ v nghiản cựu sinh nữợc Mổ hẳnh b i toĂn bĐt ng thực bián phƠn cờ in cõ dÔng: T¼m x C cho: hF (x ); x x i 0; 8x C; â C l têp lỗi õng khĂc rộng cừa khổng gian Hilbert H v F : H ! H (0.1) l ¡nh xÔ xĂc nh trản H Trong trữớng hủp têp C cừa b i toĂn (0.1) ữủc cho dữợi dÔng ân l têp im bĐt ởng chung cừa mởt hồ hỳu hÔn hay vổ hÔn cĂc Ănh xÔ khổng giÂn thẳ b i toĂn (0.1) cõ liản hằ vợi nhiãu b i toĂn thỹc tiạn nhữ b i toĂn khổi phửc tẵn hiằu, b i toĂn phƠn phối thổng, kim soĂt nông lữủng cho hằ thống mÔng viạn thổng CDMA v kắ thuêt xỷ lẵ tẵn hiằu tƯn º câ thº ùng dưng b i to¡n b§t ¯ng thực bián phƠn v o thỹc tiạn, ỏi họi phÊi câ nhúng ph÷ìng ph¡p gi£i sè hi»u qu£ cho b i to¡n n y V¼ l³ â, mët nhúng hữợng nghiản cựu quan trồng hiằn d nh ÷đc sü quan t¥m cõa nhi·u nh to¡n håc v ngo i nữợc õ l viằc ã xuĐt cĂc phữỡng phĂp mợi tẳm nghiằm cừa b i toĂn (0.1) hoc cÊi tián hiằu quÊ cừa nhiãu phữỡng phĂp  cõ Cho án ngữới ta  thiát lêp ữủc nhiãu kắ thuêt giÊi bĐt ng thực bián phƠn dỹa trản phữỡng phĂp chiáu cừa Goldstein (1964), Polyak (1966, 1967, 1969), phữỡng phĂp im gƯn kã cừa Martinet (1970), Rokaffellar (1976), nguyản lỵ b i toĂn phử cừa Cohen (1980), phữỡng phĂp hiằu chnh dÔng Browder-Tikhonov (Browder, 1966; Tikhonov, 1963), phữỡng phĂp im gƯn kã hiằu chnh cừa Lehdili v Moudafi (1996), Ryazantseva (2002) v phữỡng phĂp im gƯn kã quĂn tẵnh Alvarez v Attouch (2001) ã xuĐt hoc dỹa trản mởt số kắ thuêt tẳm im bĐt ởng nh÷ ph÷ìng ph¡p l°p Krasnosel'skii-Mann (Mann, 1953; Krasnosel'skii, 1955), ph÷ìng phĂp lp Halpern (1967) v phữỡng phĂp xĐp x mãm (Moudafi, 2000) Phữỡng phĂp lp in hẳnh giÊi b i toĂn (0.1) l phữỡng phĂp chiáu gradient (Goldstein, 1964; Zeidler, 1990) ÷đc mỉ t£ nh÷ sau: â PC l php hơng số dữỡng cố nh Phữỡng phĂp (0.2) cõ cĐu trúc ỡn giÊn nản viằc vên dửng nhỳng tẳnh cử th khĂ thuên tiằn Phữỡng phĂp n y l sü k¸t hđp giúa vi»c sû dưng trỹc tiáp dÔng õng cừa php chiáu PC v phữỡng phĂp kiu ữớng dốc nhĐt Nhớ cõ nhỳng tián bở Ăng k lẵ thuyát im bĐt ởng cừa Ănh xÔ khổng giÂn thá k XX, phữỡng phĂp lai ghp ữớng dốc nhĐt ữủc Yamada v cởng sỹ (Yamada v tg, 1998, 1999) ã xuĐt nhữ l mởt bián th cừa phữỡng phĂp ữớng dốc nhĐt tẳm cỹc tiu cừa mởt h m lỗi trản têp im bĐt ởng chung cừa cĂc Ănh xÔ khổng giÂn c im chẵnh cừa phữỡng phĂp n y l dũng dÔng õng cừa cĂc Ănh xÔ khổng giÂn bĐt kẳ m têp im bĐt ởng chung cừa nõ l têp r ng buëc cõa b i to¡n M°t kh¡c, nhi·u i toĂn thỹc tá, chng hÔn b i toĂn xỷ lẵ tẵn hiằu (Iiduka, 2010), kim soĂt nông lữủng cho hằ thống mÔng viạn thổng CDMA (Iiduka, 2012) hoc phƠn phối b«ng thỉng (Iiduka v Uchida, 2011) : : : câ th ữa vã b i toĂn tẳm nghiằm cừa bĐt ng thực bián phƠn b trản têp im bĐt ởng cừa mởt hoc mởt hồ cĂc Ănh xÔ khổng giÂn Hỡn nỳa, biát rơng, mồi têp lỗi õng ãu cõ th biu diạn dữợi dÔng giao ám ÷đc cõa c¡c nûa khỉng gian, â l giao ám ữủc cừa têp im bĐt ởng cĂc Ănh xÔ khổng giÂn cĂc toĂn tỷ chiáu lản nhỳng nỷa khổng gian n y Vẳ thá b i toĂn tẳm nghiằm cừa bĐt ng thực bián phƠn (0.1) trản mởt têp lỗi õng cõ th quy vã viằc tẳm nghiằm bĐt ng thực bián phƠn trản têp im bĐt ởng chung cừa mởt hồ cĂc Ănh xÔ khổng giÂn Khi õ, mởt vĐn ã t l xĂc nh phữỡng ph¡p l°p x§p x¿ nghi»m cho b i to¡n b§t ng thực bián phƠn (0.1) nhữ thá n o náu cõ dÔng hiằn cừa cĂc Ănh xÔ khổng l giÂn Ti? (i I vợi I l têp ch số n o õ) XuĐt phĂt tứ ỵ tững n y, nôm 2001, Yamada  xƠy dỹng phữỡng phĂp lai ghp ữớng dốc nhĐt m phữỡng phĂp n y hởi tử mÔnh vã mởt th nh phƯn nơm têp im bĐt ởng chung cừa hồ hỳu hÔn cĂc Ănh xÔ khổng giÂn ỗng thới thọa mÂn l nghiằm cừa b i toĂn bĐt ng thực bián phƠn (0.1) Cư thº, C := Fix(T ) l tªp im bĐt ởng cừa mởt Ănh xÔ khổng giÂn, Yamada  thiát lêp ữủc nh lẵ hởi tử mÔnh sau ành l½ 0.2 T k Cho F : H ! H l Ănh xÔ liản tửc L-Lipschitz v -ỡn iằu mÔnh trản H Cho : H ! H l Ănh xÔ khổng giÂn trản H vợi Fix(T ) 6= ; Gi£ sû (0; =L ) v d¢y (0; 1] thäa m¢n c¡c i·u ki»n: (L1) lim k!1 k Khi õ, vợi im ban Ưu tũy ỵ x0 H, d¢y l°p x¡c ành bði hëi tư mÔnh tợi nghiằm nhĐt x cừa b i toĂn (0.1) Trong trữớng hủp C l têp im bĐt ởng chung cừa mởt hồ hỳu hÔn cĂc Ănh xÔ khổng gi¢n Ti : H ! H (i = 1; 2; 3; :::; N), dÂy lp xoay vỏng xĐp x nghiằm cho b i toĂn (0.1) ữủc Yamada xƠy dỹng cõ dÔng Ơy, [k] := k mod N l nh l½ 0.3 Cho F : H!Hl Ti : H ! H l hồ hỳu hÔn cĂc Ănh xÔ khổng giÂn trản H vợi C := C = Fix(T1T2 : : : TN ) = Fix(T2T3 : : : TN T1) = = Fix(TN T1 : : : TN 1): Gi£ sû (0; =L ) v (L1) lim k!1 = 0; (L2) k Khi â, vỵi iºm ban Ưu tũy ỵ x0 H, dÂy lp (0.4) hởi tử mÔnh tợi nghiằm nhĐt cừa b i toĂn (0.1) x Tứ õ án nay,  cõ nhiãu cổng trẳnh nghiản cựu nhơm m rởng hoc cÊi tián phữỡng phĂp cừa Yamada theo nhiãu hữợng khĂc Chng hÔn, theo hữợng l m giÊm nhà iãu kiằn t lản c¡c d¢y tham sè l°p (Xu v tg, 2003; Zeng v tg, 2007) hay loÔi bọ giÊ thiát vã tẵnh giao hoĂn trản têp im bĐt ởng cừa cĂc Ănh xÔ khổng giÂn Ti (Nguyạn Bữớng v tg, 2011) Hoc, x²t b i to¡n (0.1) tr÷íng hđp têng qu¡t hỡn vợi C têp im bĐt ởng chung cừa mởt hồ vổ hÔn ám ữủc cĂc Ănh xÔ khổng giÂn Theo hữợng n y, mởt số phữỡng phĂp lp ữủc thiát lêp xĐp x nghiằm cho b i toĂn (0.1) thổng qua viằc dũng Ănh xÔ W Ănh xÔ W l k (Iemoto v tg 2008; Yao v tg, 2010; Wang, 2011) Tuy vêy, k cõ cĐu trúc phực tÔp Ngo i ra, cĂc kát quÊ nõi trản ãu ữủc thiát lêp khổng gian Hilbert H v mội bữợc lp ãu ữủc thỹc hiằn luƠn phiản xoay vỏng nản õ l cĂc phữỡng phĂp tuƯn tỹ Mởt hữợng khĂc l nghiản cựu m rởng tứ khổng gian Hilbert H tỵi c¡c lỵp khỉng gian Banach E (Ceng v tg, 2008; Chidume v tg, 2011; Nguyạn Bữớng v tg, 2013, 2015) Nời bêt õ l hai phữỡng phĂp lp dÔng hiằn xĐp x nghiằm cho mởt lợp b i toĂn bĐt ng thực bián phƠn khổng gian Banach cừa Nguyạn Bữớng v cởng sỹ (2015) CĂc phữỡng phĂp n y sỷ dửng Ănh xÔ Sk cõ cĐu trúc ỡn giÊn v cõ th tẵnh toĂn song song ữủc Cõ th khng nh rơng, viằc xƠy dỹng cĂc phữỡng phĂp giÊi bĐt ng thực bián phƠn khổng gian Banach l mởt vĐn ã ữủc nÊy sinh mởt cĂch tỹ nhiản v cƯn thiát l m phong phú v ho n thiằn thảm cho lỵ thuyát v· b i to¡n quan trång n y V¼ nhúng lẵ  phƠn tẵch trản, chúng tổi lỹa chồn ã t i nghiản cựu cho luên Ăn l "XĐp x nghiằm cho bĐt ng thực bián phƠn vợi hồ vổ hÔn cĂc Ănh xÔ khổng giÂn" Mửc ẵch chẵnh cừa luên Ăn n y l nghiản cựu ã xuĐt cĂc phữỡng phĂp lp dÔng hiằn xĐp x nghiằm cho mởt lợp b i toĂn bĐt ng thực bián phƠn Cử th, lợp b i toĂn õ "B i toĂn bĐt ng thực bián phƠn trản têp im bĐt ởng chung cừa mởt hồ vổ hÔn ám ữủc cĂc Ănh xÔ khổng giÂn trản khổng gian Banach phÊn xÔ thỹc, lỗi cht v cõ chuân khÊ vi GƠteaux ãu" Luên Ăn giÊi quyát cĂc vĐn ã sau: l XƠy dỹng cĂc phữỡng phĂp lp dÔng hiằn xĐp x nghiằm cho lợp b i toĂn nghiản cựu thổng qua viằc ã xuĐt v sỷ dửng cĂc Ănh xÔ mợi ~ ^ Sk ỗng thới, thiát lêp Sk; Sk v cĂc vẵ dử minh hồa cử th v tữỡng quan vợi mởt số phữỡng phĂp  cõ p dửng phữỡng phĂp mợi cho mởt lợp b i toĂn tẳm im bĐt ởng chung cừa mởt hồ vổ hÔn ám ữủc cĂc Ănh xÔ khổng giÂn p dửng phữỡng ph¡p mỵi cho mët lỵp b i to¡n x¡c ành khổng im chung cừa mởt hồ vổ hÔn ám ữủc cĂc Ănh xÔ j-ỡn iằu cỹc Ôi Luên Ăn gỗm phƯn m Ưu, ba chữỡng, kát luên v t i liằu tham khÊo Chữỡng giợi thiằu sỡ lữủc vã mởt số vĐn ã liản quan án cĐu trúc hẳnh håc cõa c¡c khỉng gian Banach, lỵp b i to¡n nghiản cựu, mởt số mằnh ã v bờ ã cƯn sỷ dửng cho viằc chựng minh cĂc kát quÊ nghiản cựu Ôt ữủc cĂc chữỡng sau cừa luên Ăn Chữỡng trẳnh b y ba kát quÊ nghiản cựu mợi cừa chúng tổi vã cĂc vĐn ã nảu trản Chữỡng ã cêp án mởt b i toĂn thỹc tá liản quan cĂc vẵ dử cử th minh hồa Chữỡng Mởt số kián thực chuân b 1.3 Mởt lợp b i toĂn bĐt ng thực bián phƠn 1.3.1 Mổ hẳnh b i toĂn cõ chuân kh£ vi G¥teaux ·u Cho E l khỉng gian Banach phÊn xÔ thỹc, lỗi cht -giÊ co cht vợi + > Gi£ v Cho F : E ! E l Ănh xÔ j-ỡn iằu mÔnh vợi hằ số v Lợp b i toĂn bĐt ng thực bián phƠn, kẵ hiằu l VIP sỷ fTig l hồ vổ hÔn ám ữủc cĂc Ănh xÔ khổng giÂn trản E vợi C := T¼m x C cho: hF (x ); j(x x )i 0; 8x C; â j l Ănh xÔ ối ngău chuân tc cừa E im x C thọa mÂn (1.2) ữủc gồi l nghi»m cõa b i to¡n VIP (F; C) 1.3.2 Ph÷ìng phĂp lai ghp ữớng dốc nhĐt Trong phƯn n y, chúng tổi s trẳnh b y chi tiát mởt số nghiản cựu m rởng hoc cÊi biản phữỡng phĂp lai ghp ữớng dốc nhĐt xĐp x nghiằm cho b i toĂn bĐt ng thực bián phƠn cõ dÔng (0.1) hoc (1.2) Khi C l têp im bĐt ởng chung cừa mởt hồ hỳu hÔn cĂc Ănh xÔ khổng giÂn khổng gian Hilbert thỹc, nôm 2003, Xu v Kim  chựng minh ữủc kát quÊ tữỡng tỹ nh lẵ 0.2 v nh lẵ 0.3 thay thá (L3) v (L3) (L4) lim k= k+1 = t÷ìng ùng bði c¡c i·u ki»n v k!1 (L4) lim k= k+N = 1: k!1 Cõ th thĐy rơng, iãu kiằn (L4) yáu hỡn thüc sü (L3), hìn núa i·u ki»n (L4) cho ph²p ta cõ th lỹa chồn vợi dÂy tham số chẵnh tc f1=kg â (L3) khỉng thäa m¢n M°t khĂc, khổng khõ khôn ch rơng iãu kiằn (L3) suy iãu kiằn (L4) náu giợi hÔn lim = k k+N tỗn tÔi Nôm 2007, Zeng v cởng sỹ  ã xuĐt phữỡng phĂp lp xoay vỏng k!1 vỵi tham sè xk+1 = T[k+1](xk) k+1 k+1F (T[k+1](xk)); k = 0; 1; 2; ::: k+1 khỉng ph£i l h¬ng sè cè ành nh÷ (0.4) v i·u ki»n °t lản cĂc dÂy tham số lp cụng ữủc cÊi biản º £m b£o sü hëi tư ành l½ 1.3 Cho F : H ! H l Ănh xÔ liản tửc L-Lipschitz v -ỡn iằu mÔnh trản H Cho T Ti : H ! H l hồ hỳu hÔn cĂc Ănh xÔ khổng giÂn trản H vợi C := N i=1 Fix(Ti) 6= ; v C = Fix(T1T2 : : : TN ) = Fix(T2T3 : : : TN T1) = = Fix(TN T1 : : : TN 1): Gi£ sû k (0; =L2) vỵi måi k N v c¡c i·u ki»n sau b£o £m: i) k2 (0; 1) thäa m¢n i·u ki»n p (L2), 2 2 ii) j k =L j aL =L vợi ẵt nhĐt mởt a (0; =L ); iii) lim ( k+N ( k= k+N ) k) = 0: k!1 Khi õ, vợi im ban Ưu tũy ỵ x0 H, n¸u lim sup T : : : T (x ) x h [k+N] [k+1] k k+N ;T [k+N] :::T [k+1] (x ) k x ki k!1 thẳ dÂy lp (1.3) hởi tử mÔnh tợi nghiằm nh§t x cõa b i to¡n (0.1) Rã r ng, náu k = vợi mồi k v (0; =L2) thẳ ta cõ ii) Náu thảm giÊ thiát (L4) thọa mÂn thẳ iãu kiằn iii) nh lẵ trản ữủc bÊo Êm Hỡn nỳa, Zeng v cởng sỹ cụng  ch rơng cĂc iãu kiằn (L1), (L2) v (L4) l i·u ki»n õ º fxkg bà ch°n ỗng thới, iãu kiằn dữợi Ơy ữủc thọa mÂn: lim sup T h [k+N] :::T [k+1] (x ) x k k+N ;T [k+N] :::T [k+1] (x ) k x ki 0: k!1 Vẳ thá, nh lẵ 1.3 l so vợi kát quÊ m Yamada, Xu v Nôm 2010, Liu v l iãu kiằn thọa mÂn tẵnh chĐt giao hoĂn trản têp im bĐt ởng cừa cĂc Ănh xÔ khổng v giÊ thiát (1.4), nôm 2011, giÂn Ti Nhơm loÔi bọ cĂc iãu kiằn (L3), (L3) Nguyạn Bữớng v LƠm Thũy Dữỡng xƠy dỹng dÂy lp õ, ~ xk+1 = k k V =T T k N N  chựng minh ữủc kát quÊ sau nh lẵ 1.4 Cho F : H ! H l Ănh xÔ liản tửc L-Lipschitz v -ỡn iằu mÔnh trản H Cho T Ti : H ! H l hồ hỳu hÔn cĂc Ănh xÔ khổng giÂn trản H vợi C := i=1 Fix(Ti) 6= ; Gi£ sû (0; =L ) l hơng số dữỡng cố nh v dÂy k (0; 1) thäa m¢n c¡c i·u ki»n (L1) i v (L2) ỗng thới, giÊ thiát rơng k ( ; ) vỵi i = 0; 1; 2; : : : ; N, â ; (0; 1) v i lim j k +1 k!1 i kj = vỵi i = 1; 2; 3; : : : ; N: Khi õ, vợi im ban Ưu tũy ỵ x0 H, dÂy lp (1.5) hởi tử mÔnh tợi nghi»m nh§t x cõa b i to¡n (0.1) 16 Nôm 2007, tẳm im bĐt ởng chung cho mởt hồ vổ hÔn cĂc Ănh xÔ khổng gi Ân fTig trản mởt têp lỗi õng Q cừa E, Suzuki  xƠy dỹng lữủc ỗ lp nhữ sau: Nhên x²t 2.13 â, u Q cè ành, x1 si = s~ < v k [0; 1] thäa m¢n i·u ki»n (L1) v X =1 i Nôm 2009, tẳm khổng im chung cừa mởt hồ cĂc Ănh xÔ Ai : E ! E, Ofoedu v Shehu  ã xuĐt thuêt toĂn: xk+ Ơy, =1 i;k =1 X i ùng thäa m¢n c¡c i·u ki»n (L1), (L2) v lim k!1 i=1 X j i;k+1 k Ró r ng, náu nhẳn dữợi quan im tẵnh toĂn, thẳ tÔi mội vỏng lp, chuội cĂc toĂn tỷ cĂc thuêt toĂn (2.38), (2.39) cho thĐy náu chóng ta khỉng câ c¡c thỉng tin ti¶n nghi»m v· tờng cĂc chuội n y thẳ thiát ká cừa cĂc phữỡng phĂp õ khổng th Ăp dửng Vẳ thá, cĂc kát quÊ trản l khõ nhên biát v khõ cõ th lêp trẳnh tẵnh toĂn trản mĂy tẵnh Nhữ vêy, mởt vĐn ã tỹ nhiản t l liằu cõ th thay thá cĂc tờng vổ hÔn c¡c ph÷ìng ph¡p (2.38) v (2.39) bði c¡c têng riảng tữỡng ựng hay khổng? Nhỳng nởi dung trẳnh b y ti¸p theo, ngo i vi»c khc phưc nhúng khâ khôn  phƠn tẵch l trÊ lới cho cƠu họi nảu trản Nhên xt 2.14 Bơng viằc sỷ dửng cĂc kẵ hiằu v lêp luên tữỡng tỹ nhữ Nhên xt 2.5 v Nhên xt 2.6, vợi x1 tũy ỵ thuởc E, ta cụng nhên ữủc cĂc dÂy lp hiằn dữợi ¥y v â k M»nh · 2.12 Cho E, fTig, , v sè thüc cè ành thuëc (0; 1) Khi Đy, dÂy fxkg xĂc nh bi bĐt ởng chung p C k ! v k 17 M»nh · 2.13 Cho E A ,, vs , f ig k i ữủc giÊ thiát tữỡng tỹ Mằnh · 2.11 Gi£ sû a l sè thüc cè ành thuởc (0; 1) Khi Đy, dÂy fxkg xĂc nh bi (2.41) hởi tử mÔnh tợi khổng im chung p C k ! v p thäa m¢n (2.19) Nhên xt 2.15 Phữỡng phĂp (2.31) v cĂc hằ quÊ trỹc tiáp cừa nõ th hiằn ữủc mởt số im vữủt trởi CĐu trúc phữỡng phĂp (2.31) l ỡn giÊn hỡn (2.1) v (2.25) Bản cÔnh õ, phữỡng phĂp n y  l m giÊm số th nh phƯn phÊi tẵnh mội bữợc lp v vẳ thá nõ cƯn ½t thíi gian t½nh to¡n hìn tr¶n m¡y t½nh (xem thảm Vẵ dử 3.4 Mửc 3.2 cừa Chữỡng 3) i) CĂc thuêt toĂn (2.40) v (2.41) sỷ dửng dÂy c¡c têng ri¶ng cõa chi h m l ìn gi£n hỡn, nhên biát hỡn v cõ th tẵnh toĂn trản mĂy tẵnh Trong õ, ối vợi cĂc kát qu£ cõa Ofoedu v Suzuki l khỉng thüc hi»n ÷đc Nhên xt 2.16 Trong trữớng hủp, náu T ii) l Ănh xÔ khổng giÂn trản mởt têp lỗi õng Q cõa E th¼ Ti : Q ! Q l Ănh xÔ liản tửc 1-Lipschitz Náu Q chựa phƯn tỷ gèc cõa E th¼ xk+1 Q Do â M»nh ã 2.12 văn úng trữớng hủp n y Tiáp theo, náu Q khổng chựa phƯn tỷ gốc cừa E thẳ ta xt f := aI + (1 a)u vợi u Q l i ành Khi â, thay v¼ (2.40) ta nhên ữủc phữỡng phĂp cÊi biản kiu Halpern: têng qu Ta câ k¸t qu£ M»nh · 2.14 Cho E, , a, k v vổ hÔn cĂc Ănh xÔ khổng giÂn trản mởt têp lỗi õng Q cừa E vỵi C := â Fix(Ti) := fx Q : x = Ti(x)g Khi Đy, dÂy fxkg xĂc nh bi mÔnh tợi im bĐt ởng chung p C k ! v p thäa m¢n (2.24) Vợi lêp luên tữỡng tỹ nhữ nhên xt trản, chúng tổi cụng nhên ữủc phữỡng phĂp lp mợi, mởt cÊi biản cừa phữỡng phĂp lp Halpern tẳm khổng im chung cừa mởt hồ cĂc Ănh xÔ j-ỡn iằu cỹc Ôi Mằnh ã 2.15 Cho E, , a, Ai : Q ! E l k v hå væ i\ Zer(A E vỵi C := =1 x¡c ành bði xk+1 = k u + hởi tử mÔnh tợi khæng iºm chung p C k ! v Chữỡng Mởt b i toĂn thỹc tá v kát quÊ tẵnh toĂn số 3.1 B i toĂn phƠn phối thổng Xt mởt mÔng (Iiduka v ~ L = f1; 2; :::; Lg l têp cĂc liản kát mÔng Vợi mội liản kát l cl > GiÊ thiát rơng mội mởt nguỗn cõ th dũng nhiãu ữớng dăn Kẵ hiằu Ps cĂc ữớng dăn ữủc sỷ dửng bi nguỗn s, Ls ữớng dăn p P s i qua v truyãn tÊi cừa nguỗn s m s2S ữớng dăn p Ps i qua Khi õ, tốc truyãn tÊi cừa X nguỗn s ữủc biu diạn bi xs = x(sp) p2Ps Têp r ng buởc vã dung lữủng kẵ hiằu l C, cõ r ng buởc vã dung lữủng ối vợi mội liản k¸t cho têng tèc ë truy·n t£i cõa c¡c nguỗn m dũng chung mởt liản kát õ l nhọ hỡn hoc bơng dung lữủng cừa liản kát Têp C ÷đc x¡c ành bði C := ð ¥y I s;l(p) = < : Gi£ sû l r > Kẵ hiằu têp r ng buởc iãu chnh l D := \ D , â D s s 2S~ s s l cĂc yảu cƯu vã tốc nhữ vêy ối vợi nguỗn s v Ds := i toĂn phƠn phối thổng cõ th quy vã b i toĂn cỹc Ôi trản têp im bĐt ởng cừa mởt Ănh xÔ khổng giÂn sau Ơy: B Tẳm x â U : RN ! R l h x¡c ành bði T (x) := (1=2)(x + T (x)) vỵi T (x) := P ^ R+N \Cl0 19 Ta câ thº sû dưng ba ph÷ìng ph¡p (2.1), (2.25) v (2.31) º tẳm nghiằm xĐp x cừa b i toĂn (3.3) Cử thº, cho E := RN , F := rU v chån Ti := T vỵi måi i N: Ba mằnh ã sau tữỡng ựng l hằ quÊ trỹc tiáp cõa c¡c ành l½ 2.1, ành l½ 2.4 v ành l½ 2.5 M»nh · 3.1 Cho U : RN ! R l h m kh£ vi li¶n tưc câ -ìn iằu mÔnh v + -giÊ co cht vợi vợi Fix(T ) 6= ; Cho i (0; 1) Gi£ sû N > Cho T : R ! R k (0; 1) N N l Ănh xÔ rU : R ! R N l Ănh xÔ khổng giÂn v ki»n (L1), (L2) v x k+1 hëi tư tỵi nghi»m nh§t cõa b i to¡n M»nh · 3.2 Cho U, ữủc giÊ thiát tữỡng tỹ Mằnh ã 3.1 GiÊ sû k (0; 1) thäa m¢n c¡c i·u ki»n (L1), (L2) v fsig l dÂy số thỹc dữỡng giÊm ng°t, hëi tư v· N Khi â, vỵi iºm ban Ưu tũy ỵ x1 R , dÂy fxkg x¡c ành bði x k+1 = (I + U) kr i=1 (1 ) kI + i i i=1 i i kT T v i (x ); k 1; k hëi tử tợi nghiằm nhĐt cừa b i toĂn Mằnh ã 3.3 Cho U v T ữủc giÊ thiát tữỡng tü M»nh · 3.1 Gi£ sû l cè ành thuëc (0; 1) v k (0; 1) thäa m¢n c¡c i·u ki»n (L1) v (L2) Khi â, vỵi iºm N ban Ưu tũy ỵ x1 R , dÂy fxkg x¡c ành bði xk+1 = (I + krU)((1 )I + T )(xk); k 1; hởi tử tợi nghiằm nhĐt cừa b i toĂn (3.3) Nhên xt 3.1 Náu i := (0; 1) cè ành th¼ (3.6) v (3.7) s cõ dÔng (3.8) Mt khĂc, ta lÔi cõ Fix(T ) = Fix(T ) nản vợi = 1=2 ta cõ thº chån Ti := T vỵi måi i hđp n y, d¢y fxkg trð th nh v d¢y l°p (3.9) hởi tử tợi nghiằm nhĐt cừa b i toĂn (3.3) vợi cĂc giÊ thiát tữỡng tỹ Mằnh ã 3.3 3.2 Vẵ dử số minh hồa CĂc phữỡng phĂp lp dÔng hiằn mợi cừa chúng tổi cõ th Ăp dửng º t¼m nghi»m cõa b 20 â ' l phiám h m lỗi cõ Ôo h m '0(x) liản tửc Lipschitz, ỡn iằu mÔnh trản khổng ữủc cho bi gian Rn v Ci l cĂc têp lỗi õng cõa Rn n ho°c i i i Ci = fx R : a1 u1 + a2 u2 + + an un big; n X j n =1 i Ci = fx R : (uj aj ) ri g; ri > 0; ¥y aij; bi; ri R (1 j n): V½ dư 23.1 X²t b i toĂn (3.10)-(3.11) trữớng hủp tiảu ' : R ! R cõ dÔng 2 n = H m möc '(x) := kxk = u + u vợi x = (u1; u2): CĂc têp Ci ÷ñc cho bði Ci = fx R2 : ai1u1 + ai2u2 big vỵi ai1 = 1=i; ai2 = bi = vợi mồi i Trong trữớng hủp n y, thĐy x = (0; 0) l 1v b i toĂn p dửng phữỡng phĂp (2.1) cho vẵ dử n y vợi F (x) = r'(x) v ban Ưu x1 = (2:0; 3:0) v c¡c d¢y tham sè thäa mÂn iãu kiằn hởi tử cừa nh lẵ 2.1 si = i = 1=i(i + 1): Sau 100 bữợc lp ta nhên ữủc kát quÊ tẵnh l k = 1=(k + 2) v to¡n x100 = ( 0:000100272; 0:000040995) Ti¸p theo, chóng tỉi ¡p dưng ph÷ìng ph¡p (1.7) cõa Iemoto v tg cho còng b i to¡n tr¶n Ta chån c¡c tham sè thäa m¢n i·u ki»n hëi tư cõa ành l½ 1.5 l k = 1=(k+2); k = 1=100+1=k(k+1) v = 1=20: Kát quÊ tẵnh toĂn ối vợi phữỡng phĂp (1.7) vợi im ban Ưu v số bữợc l°p l x100 = ( 0:335041279; 0:149090066) N¸u ta chån = 1=3 thẳ kát quÊ nhên ữủc nhữ sau x100 = ( 0:037590156; 0:016727249) BƠy giớ, sỷ dửng phữỡng phĂp (1.8) cõa Yao v tg C¡c tham sè ÷đc chån thọa v tẵnh toĂn cho phữỡng phĂp (1.8) vợi im ban Ưu v mÂn nh lẵ 1.6 l k = 1=(k + 2); k = 1=100 + 1=k(k + 1) Kát quÊ số bữợc lp k = 1=100: nhên ÷đc l x100 = (0:000210945; 0:000385873) N¸u ta chån k = 1=1000 thẳ kát quÊ nhên ữủc trữớng hủp n y l x100 = (0:000373078; 0:000568259) Dữợi Ơy l bÊng tữỡng quan vã sai số tẵnh toĂn so vợi nghiằm chẵnh xĂc cừa cĂc phữỡng phĂp (1.7), (1.8) v (2.1) Phữỡng phĂp (1.7) (1.7) (vợi (vợi = 1=3) = 1=20) (1.8) (1.8) (2.1) (vỵi (vỵi k = 1=100) k = 1=1000) 21 Nhên xt 3.2 Cõ th thĐy rơng, méi ph÷ìng ph¡p (1.7), (1.8) v ph÷ìng ph¡p (2.1) cõa chóng tỉi ·u câ d¢y c¡c tham sè lp Tham số thự nhĐt, k cĂc phữỡng phĂp thäa Tham sè thù m¢n c¡c i·u ki»n (L1) v (L2) nh÷ v ÷đc chån gièng l k = 1=(k +2) hai i thäa m¢n c¡c i·u ki»n kh¡c £m b£o sü hëi tö, ð â nâ ÷đc chån cho c¡c bi¸n thº cõa nâ nhỳng thuêt toĂn n y l nhữ Tham số (1.7), (1.8) v s ph÷ìng ph¡p (2.1) cõa chóng tỉi âng vai trá kh¡c nhau, nâ cho php thỹc hiằn cĂc quy tc riảng biằt thiát ká cừa mội thuêt toĂn Ró r ng, vẵ dử trản, phữỡng phĂp (2.1) cừa chúng tổi ã xuĐt cõ tốc hởi tử nhanh hỡn v cƯn ẵt thới gian tẵnh toĂn hỡn cĂc phữỡng phĂp (1.7), (1.8) k i V½ dư 3.2 X²t b i to¡n (3.10)-(3.12) trữớng hủp n = H m mửc tiảu ' : R2 ! R ÷đc x¡c ành bði C¡c tªp C i '(x) = (u1 1) + (u2 2) vợi x = (u1; u2): ữủc cho bi Ci = fx R : (u1 i a1 ) + (u2 i a2 ) ri g vỵi ri = 1, a1i = + 1=i v a2i = vợi mồi i Trong trữớng hđp n y x = (1:5; l nghi»m nh§t cừa b i toĂn p dửng phữỡng phĂp (2.1) vợi F (x) = r'(x) v x1 = (3:0; 3:0) v p dÂy cĂc tham số tữỡng tỹ nhữ Vẵ dử 3.1 Khi õ, kát quÊ tẵ toĂn bữợc lp 46000 ta nhên ữủc nghiằm xĐp x l Trong õ, bữợc lp nhữ trản, náu Ăp dửng phữỡng phĂp (1.7) vợi = 1=3 thẳ nghiằm xĐp x l (1:552771131; 0:894458825), náu sỷ dửng phữỡng phĂp (1.8) vợi (1:548117716; 0:903764265) k = 1=100 thẳ ta nhên ữủc nghiằm xĐp x l BÊng tữỡng quan vã sai số tẵnh toĂn so vợi nghiằm chẵnh xĂc cừa cĂc phữỡng phĂp (1.7), (1.8) v (2.1) v½ dư n y l : Phữỡng phĂp (1.7) (1.8) (2.1) (vợi (vợi = 1=3) k = 1=100) Nhên xt 3.3 Trong vẵ dử n y, cụng thĐy phữỡng phĂp (2.1) cõ tốc hởi tử nhanh hỡn v cƯn ẵt thới gian tẵnh toĂn hỡn cĂc phữỡng phĂp (1.7) v phữỡng phĂp (1.8) V½ dư 3.3 Ta x²t b i to¡n (3.10)-(3.11) tr÷íng hđp n = v h m mưc tiảu ' : R2 ! R ữủc xĂc nh bi T T '(x) = x Ax + b x + c vỵi x = (u1; u2); 22 â A= CĂc têp Ci ữủc cho bi Ci = fx R2 : u1 + u2 big vỵi = 1, = i v bi = vỵi 1212 p dửng phữỡng phĂp (2.25) cho vẵ dử n y vỵi F (x) = r'(x) v Ti = PCi Chån iºm ban ¦u x1 = ( 3:0; 3:0) v c¡c tham sè thäa m¢n i·u ki»n hëi tư cõa ành l½ 2.4 l 0, i = 1=i(i + 1) vỵi i 1: Sau 1000 váng l°p, ta câ x1000 = (1:999975551; 2:999969617) Náu sỷ dửng phữỡng phĂp (1.7) vợi im xuĐt phĂt v chồn cĂc tham số l°p = 1=100 + 1=k(k + 1) thäa m¢n i·u ki»n hëi tư cõa ành l½ 1.5 l k = 1=(k + 2); k v = 1=20 thẳ kát quÊ tẵnh toĂn ối vợi phữỡng phĂp n y bữợc l°p thù 1000 l k = 1=k + 2; si = 1=(i + 1)(i + 2) vỵi i x1000 = ( 0:003777417; 0:004757678) Nghi»m n y cán sai sè rĐt lợn so vợi nghiằm chẵnh xĂc cừa b i toĂn Náu sỷ dửng (1.8) vợi im xuĐt phĂt v chån c¡c tham sè l°p thäa m¢n i·u ki»n hëi tư cõa ành l½ 1.6 l k = 1=(k + 2); k = 1=100 + 1=k(k + 1) v k = 1=2 thẳ kát quÊ số bữợc lp l x1000 = (1:999988011; 2:999986013) Náu sỷ dửng phữỡng phĂp (2.1) vợi im xuĐt phĂt v cĂc tham sè l°p ÷đc chån t÷ìng tü nh÷ ph÷ìng ph¡p (2.25) thẳ ta nhên ữủc x1000 = (1:999993006; 2:999991008) BÊng tữỡng quan vã sai số tẵnh toĂn so vợi nghiằm chẵnh x¡c cõa c¡c ph÷ìng ph¡p (1.7), (1.8), (2.1) v (2.25) vẵ dử n y l : Phữỡng phĂp (1.7) (1.8) (2.1) (2.25) Nhên xt 3.4 Trong vẵ dử n y, ta th§y tèc ë hëi tư v thíi gian tẵnh toĂn cừa phữỡng phĂp (2.1) l nhanh nhĐt sè ph÷ìng ph¡p Tèc ë hëi tư cõa ph÷ìng phĂp (2.25) l nhanh hỡn phữỡng phĂp (1.7) lÔi chêm hỡn so vợi phữỡng phĂp (1.8) Tuy nhiản, phữỡng phĂp (2.25) lÔi cõ thới gian tẵnh toĂn nhanh gĐp hai lƯn so vợi phữỡng phĂp (1.8) trữớng hủp n y Vẵ dử 3.4 Sỷ dửng phữỡng phĂp (2.31) cõa chóng tỉi cho b i to¡n (3.10)-(3.11) vỵi c¡c giÊ thiát tữỡng tỹ nhữ Vẵ dử 3.1 Vợi còng iºm ban ¦u x1 = (2:0; 3:0), chån = 0:5 v gi¡ trà cõa c¡c tham sè l°p kh¡c ÷đc chån gièng nh÷ ph÷ìng ph¡p (2.1) ð V½ dư 3.1 l k = 1=(k + 2) v si = 1=i(i + 1) thẳ sau 100 bữợc lp chúng tổi nhên ữủc x100 = ( 0:000078416; 0:000004588) 23 BƠy giớ, sỷ dửng cĂc phữỡng phĂp (1.17), (1.18) cừa Nguyạn B÷íng v tg Chån c¡c tham sè k; si nh÷ trản v k = 0:5 Khi õ, vợi im ban Ưu, ta cõ nghiằm xĐp x số bữợc lp tữỡng ựng vợi hai phữỡng phĂp l x100 = ( 0:00539367; 0:00032443) v x100 = ( 0:01002674; 0:00057259) BÊng tữỡng quan vã sai số tẵnh toĂn so vợi nghiằm chẵnh xĂc cừa cĂc phữỡng phĂp (1.17), (1.18), (2.1) v (2.31) vẵ dử n y l : Phữỡng phĂp (1.17) (1.18) (2.1) (2.31) Tiáp theo, sỷ dửng phữỡng ph¡p (2.31) èi vỵi b i to¡n (3.10)-(3.12) vỵi c¡c giÊ thiát tữỡng tỹ nhữ Vẵ dử 3.2 Khi õ, vợi im ban Ưu x1 = (3:0; 3:0), chån = 0:5 v gi¡ trà cõa c¡c tham sè lp khĂc ữủc chồn giống nhữ trản thẳ tÔi bữợc lp 45000 nghiằm xĐp x cừa b i toĂn l (1:5034141156; 0:8682249753) Sû dưng ph÷ìng ph¡p (1.17) v (1.18) vợi ựng l k = 1=50 náu k chđn cỏn k = 1=100 náu k l thẳ ta cõ nghiằm xĐp x tữỡng x46000 = (1:709749782; 0:707411290) v x46000 = (1:578254678; 0:816731616) Trong tr÷íng hđp n y ta câ b£ng tữỡng quan: Phữỡng phĂp (1.17) (1.18) (2.1) (2.31) Nhên xt 3.5 Trong v½ dư n y, chóng ta câ thº thĐy phữỡng phĂp (2.31) cõ tốc hởi tử nhanh hìn v tèn ½t thíi gian t½nh to¡n hìn c¡c phữỡng phĂp (1.17), (1.18) v (2.1) Bản cÔnh õ, nõ th hiằn tẵnh vữủt trởi hỡn cĂc phữỡng phĂp cĂc vẵ dử  trẳnh b y trản 24 KT LUN V KIN NGHÀ Trong luªn ¡n, chóng tổi  ã xuĐt ba phữỡng phĂp lai ghp ữớng dốc nhĐt xĐp x nghiằm cho mởt lợp b i toĂn bĐt ng thực bián phƠn trản têp im bĐt ởng chung cừa mởt hồ vổ hÔn ám ữủc cĂc Ănh xÔ khổng giÂn trản khổng gian Banach phÊn xÔ thỹc, lỗi cht v cõ chuân khÊ vi GƠteaux ãu Luên Ăn  Ôt ữủc cĂc kát quÊ sau: ã xuĐt ữủc ba phữỡng phĂp lp dÔng hiằn mợi l ph÷ìng ph¡p (2.1), ph÷ìng ph¡p (2.25) v ph÷ìng ph¡p (2.31) xĐp x nghiằm cho lợp b i toĂn nghiản cựu Nởi dung v sỹ hởi tử mÔnh cừa cĂc phữỡng phĂp (nh lẵ 2.1, nh lẵ 2.4 v nh lẵ 2.5) ữủc trẳnh b y chi tiát - CĂc phữỡng phĂp mợi cõ th Ăp dửng cho b i toĂn tẳm im bĐt ởng chung cừa hồ vổ hÔn ám ữủc cĂc Ănh xÔ khổng giÂn hoc tẳm khổng im chung cừa mởt hồ vổ hÔn ám ữủc cĂc Ănh xÔ j-ỡn iằu cỹc Ôi - XƠy dỹng ữủc v½ dư sè cư thº minh håa cho c¡c thuêt toĂn mợi ã xuĐt v tữỡng quan vợi mởt số phữỡng phĂp (Vẵ dử 3.1-Vẵ dử 3.4) - Mởt số hữợng nghiản cựu tiáp theo cho kát quÊ cừa luên Ăn nhữ sau: (I) (AI) (BI) Nghiản cựu tẵnh ờn nh cừa cĂc phữỡng phĂp lp Nghiản cựu cĂc tiảu chuân dứng cừa cĂc phữỡng phĂp lp  ã xuĐt tứ õ cõ thảm cỡ s so sĂnh tốc hởi tử cừa cĂc phữỡng phĂp lp  ã xuĐt so vợi cĂc kát quÊ cừa mởt số tĂc giÊ khĂc Nghiản cựu giÊi b i toĂn bĐt ng thực bián phƠn tĂch (bĐt ng thực bián phƠn nhiãu cĐp) DANH MệC CC CặNG TRNH CặNG BÈ LIN QUAN N LUN N (1) Buong Ng., Ha Ng S., Thuy Ng T T (2016), "A new explicit iteration method for a class of variational inequalities", Numer Algorithms, 72, pp 467-481 (2) Buong Ng., Ha Ng S., Thuy Ng T T (2016), "Hybrid steepest-descent method with a countably infinite family of nonexpansive mappings on Banach spaces", Nonlinear Funct Anal Appl., 21, pp 273-287 (3) Ha Ng S., Buong Ng., Thuy Ng T T (2018), "A new simple parallel iteration method for a class of variational inequalities", Acta Math Vietnam., 43, pp 239-255 ... lữủng cho hằ thống mÔng viạn thổng CDMA v kắ thuêt xỷ lẵ tẵn hiằu tƯn  câ thº ùng dưng b i to¡n b§t ¯ng thùc bián phƠn v o thỹc tiạn, ỏi họi phÊi cõ nhúng ph÷ìng ph¡p gi£i sè hi»u qu£ cho b... phong phú v ho n thiằn thảm cho lỵ thuyát vã b i toĂn quan trồng n y Vẳ nhỳng lẵ  phƠn tẵch trản, chúng tổi lỹa chồn ã t i nghiản cựu cho luên Ăn l "XĐp x nghiằm cho bĐt ng thực bián phƠn vợi... nh lẵ dữợi Ơy nh lẵ 1.12 Cho E l khổng gian Banach phÊn xÔ thỹc lỗi cht, cõ chuân khÊ vi GƠteaux ãu Cho F : E ! E l Ănh xÔ j-ỡn iằu mÔnh vỵi h» sè v -gi£ co ch°t vỵi + > Cho fTig l hồ vổ hÔn ám