TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* Hoàng Thị Quỳnh ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ BẬC NHẤT CHO CÁC BÀI TỐN TỐI ƯU CĨ RÀNG BUỘC KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích Hà Nội, Năm 2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TỐN ************* Hồng Thị Quỳnh ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ BẬC NHẤT CHO CÁC BÀI TỐN TỐI ƯU CĨ RÀNG BUỘC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHĨA LUẬN Ts Nguyễn Văn Tuyên Hà Nội, Năm 2018 Lời cảm ơn Em xin gửi lời cảm ơn tới thầy, cô giáo Khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, truyền cho em niềm cảm hứng tri thức q báu để em hồn thành khóa luận tốt nghiệp hồn thành nhiệm vụ khóa học Đặc biệt nữa, em xin bày tỏ kính trọng lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Nguyễn Văn Tuyên người trực tiếp hướng dẫn, bảo tận tình, giúp đỡ em để em hồn thành khóa luận Do buổi đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nên khóa luận khơng thể tránh khỏi thiếu sót mà thân chưa thấy Vì vậy, em mong nhận ý kiến đóng góp thầy bạn để khóa luận đầy đủ xác Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 10 tháng năm 2018 Sinh Viên Hoàng Thị Quỳnh Lời cam đoan Dưới hướng dẫn tận tình thầy Nguyễn Văn Tun khóa luận chun ngành tốn giải tích với đề tài "Điều kiện cực trị bậc cho tốn tối ưu có ràng buộc" hồn thành trình học tập nghiên cứu thân, khơng trùng với khóa luận khác Trong nghiên cứu hoàn thành đề tài nghiên cứu em tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo Hà Nội, ngày 10 tháng năm 2018 Sinh Viên Hoàng Thị Quỳnh Mục lục Lời cảm ơn Lời cam đoan Lời nói đầu 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 1.2 Hàm lồi 1.1.1 Các khái niệm 1.1.2 Hàm lồi trơn 1.1.3 Hàm lồi không trơn Nón tiếp tuyến 1.2.1 Các khái niệm 1.2.2 Ràng buộc trơn tính quy metric 12 1.2.3 Ràng buộc lồi không trơn 19 1.2.4 Ràng buộc lồi trơn 24 CÁC ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU 27 2.1 Bài tốn trơn khơng có ràng buộc 27 2.2 Bài tốn lồi khơng có ràng buộc 29 2.3 Bài tốn trơn có ràng buộc 30 i Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hồng Thị Quỳnh 2.4 Bài tốn lồi có ràng buộc 38 2.5 Bài tốn lồi-trơn có ràng buộc 43 Kết luận 46 Tài liệu tham khảo 47 ii Lời nói đầu Các điều kiện cần cực trị bậc nhất, thường gọi quy tắc Fermat, giúp tìm điểm mà hàm số đạt cực tiểu cực đại Nếu thêm vào giả thiết tính lồi, điều kiện cần cực trị bậc trở thành điều kiện đủ Việc nghiên cứu điều kiện cực trị vấn đề quan trọng lý thuyết tối ưu Vì vậy, với mong muốn tìm hiểu lý thuyết tối ưu ứng dụng tốn học thực tế, chọn nghiên cứu đề tài “Điều kiện cực trị bậc cho toán tối ưu có ràng buộc” hướng dẫn thầy Nguyễn Văn Tun Mục đích khóa luận trình bày cách có hệ thống, kiến thức quan trọng hàm lồi, nón tiếp tuyến, điều kiện tối ưu tốn có ràng buộc khơng có ràng buộc Các kết khóa luận trình bày dựa chun khảo [3] Nội dung khóa luận gồm có chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị: Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm, tính chất hàm lồi nón tiếp tuyến Chương 2: Các điều kiện tối ưu: Trong chương này, chúng tơi Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hồng Thị Quỳnh trình bày điều kiện tối ưu tốn trơn có ràng buộc khơng có ràng buộc, tốn lồi có ràng buộc khơng có ràng buộc, tốn lồi-trơn có ràng buộc Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 1.1.1 Hàm lồi Các khái niệm Kí hiệu R := R ∪ {±∞} gọi tập số thực mở rộng Cho f : Rn → R hàm số Miền hữu hiệu tập đồ thị f tương ứng kí hiệu bởi: domf = {x ∈ Rn : f (x) < +∞} , epif = {(x, v) ∈ Rn × R : v ≥ f (x)} Định nghĩa 1.1 Một tập X ∈ Rn gọi lồi với x1 , x2 ∈ X α ∈ [0, 1], ta có (1 − α)x1 + αx2 ∈ X Định nghĩa 1.2 Bao lồi tập X kí hiệu conv X giao tất tập lồi chứa X Định nghĩa 1.3 Cho X tập lồi đóng Rn x ∈ Rn Một điểm thuộc X gần x gọi hình chiếu x lên X kí hiệu ΠX (x) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hồng Thị Quỳnh Theo [3, Theorem 2.10], hình chiếu điểm lên tập lồi đóng ln tồn Định nghĩa 1.4 Một tập K ⊂ Rn gọi nón αx ∈ K với α > x ∈ K Bổ đề 1.1 Giả sử X tập lồi Khi tập cone(X) = {γx : x ∈ X, γ ≥ 0} nón lồi Định nghĩa 1.5 Cho K nón Tập hợp K ◦ := {y ∈ Rn : y, x ≤ 0, ∀x ∈ K} gọi nón cực K Định nghĩa 1.6 Cho X tập lồi đóng x ∈ X Tập hợp NX (x) = {v ∈ Rn : ΠX (x + v) = x} gọi nón pháp tuyến X x Theo định nghĩa, dễ dàng chứng minh NX (x) = [cone(X − x)]◦ Định nghĩa 1.7 Một hàm số f gọi lồi epif tập lồi Định nghĩa 1.8 Một hàm f gọi lõm −f lồi Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Thị Quỳnh f (ˆ x), y − x ≥ Do hàm f (·) lồi Định lí 1.1 ta có f (y) ≥ f (ˆ x) + f (ˆ x), y − x Vì f (y) ≥ f (ˆ x) với y ∈ X Định lý chứng minh Nếu hàm f (·) có đạo hàm theo hướng xˆ, điều kiện cần tối ưu f (ˆ x, d) ≥ 0, ∀d ∈ TX (ˆ x) (2.7) Chứng minh điều kiện dễ dàng đạt lập luận tương tự chứng minh Định lí 2.4, sau cơng thức (2.6) Chúng ta cần sử dụng đạo hàm theo hướng f (ˆ x, d) thay cho f (ˆ x), d Sự phát triển điều kiện cần tối ưu cho lớp khác tốn tối ưu phi tuyến giải mã điều kiện (2.4) cho tập chấp nhận X khác Các cơng thức nón cực nón tiếp tuyến X xˆ đóng vai trò then chốt Bây xét toán tối ưu phi tuyến f (x) với giả thiết gi (x) ≤ 0, i = 1, , m, hi (x) = 0, i = 1, , p, x ∈ X0 33 (2.8) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hồng Thị Quỳnh Chúng ta giả sử hàm f : Rn → R, gi : Rn → R, i = 1, , m hi : Rn → R, i = 1, , p, khả vi liên tục, tập X0 ⊂ Rn lồi đóng Tập chấp nhận tốn kí hiệu X Các điều kiện tối ưu Định lí 2.4 cho tốn (2.8) bao hàm nón tiếp tuyến tập chấp nhận X điểm tối ưu xˆ Trong Định lí 1.5, thiết lập ràng buộc tốn (2.8) quy metric điểm xˆ, nón tiếp tuyến tập chấp nhận X có dạng gi (ˆ x), d ≤ 0, i ∈ I (ˆ x), TX (ˆ x) = {d ∈ TX0 (ˆ x) : (2.9) hi (ˆ x), d , i = 1, , p} Như trước, I (ˆ x) tập ràng buộc bất đẳng thức hoạt xˆ : I (ˆ x) = {1 ≤ i ≤ m : gi (ˆ x) = 0} Công thức (2.9) đúng, tất hàm ràng buộc gi (·) hi (·) affine tập X tập lồi đa diện Trong trường hợp phi tuyến tính, điều kiện Robinson (1.15), tương đương với quy metric, đủ cho (2.9) Khi X0 = Rn điều kiện chuẩn hóa ràng buộc Mangasarian-Fromovitz đủ (xem Bổ đề 1.15) Sử dụng Hệ 1.2 cho hàm lồi trơn ta thấy công thức (2.9) toán (2.8) thỏa mãn điều kiện Slater: hàm gi (·), i = 1, , m lồi, hàm hi (·), i = 1, , p affine, tồn điểm chấp nhận xs cho gi (xs ) < 0, i = 1, , m xs ∈ int X0 p > Nếu điều kiện đủ cho (2.9) thỏa mãn, ta nói tốn (2.8) thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa ràng buộc 34 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hồng Thị Quỳnh Định lý 2.5 Cho xˆ cực tiểu địa phương toán (2.8) Giả sử xˆ điều kiện chuẩn hóa ràng buộc thỏa mãn Khi ˆ i ≥ 0, i = 1, , m, µ tồn nhân tử λ ˆi ∈ R, i = 1, , p, cho p m ˆ i gi (ˆ λ x) + ∈ f (ˆ x) + µ ˆi hi (ˆ x) + NX0 (ˆ x), (2.10) i=1 i=1 ˆ i gi (ˆ λ x) = 0, i = 1, , m (2.11) Chứng minh Từ điều kiện chuẩn hóa ràng buộc, nón TX (ˆ x) xác định (2.9) nón tiếp tuyến tập chấp nhận X xˆ Khi đó, từ Định lí 2.4, − f (ˆ x) ∈ (TX (ˆ x))◦ Phần lại để mơ tả cực nón tiếp tuyến Để đơn giản ta giả sử I (ˆ x) = {1, , m0 } Điều kiện Robinson suy giả thiết [3, Theorem 2.36] thỏa mãn với  (      ( A=  (     ( T  g1 (ˆ x))     T gm0 (ˆ x))  , T  h1 (ˆ x))      T hp (ˆ x)) K1 = TX0 (ˆ x), p K2 = Rm − × {0} Nếu hàm ràng buộc gi (·) hi (·) affine tập X0 lồi đa diện, 35 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hồng Thị Quỳnh [3, Theorem 2.36] mà khơng cần có thêm giả thiết tính quy p Vì K2◦ = Rm + × R , suy tồn nhân tử ˆ i ≥ 0, i ∈ I (ˆ λ x) µ ˆi ∈ R, i = 1, , p cho p ˆ i gi (ˆ λ x) + − f (ˆ x) ∈ µ ˆi hi (ˆ x) + [TX0 (ˆ x)]◦ i=1 i∈I (ˆ x) ˆ i = Từ [TX (ˆ Với i ∈ / I (ˆ x) đặt λ x)]◦ = NX0 (ˆ x), hệ thức cuối trở thành đồng với (2.10) Đòi hỏi nhân tử λi với ràng buộc khơng hoạt viết (2.11) ˆ i , i = 1, , m µ Các hệ số λ ˆi , i = 1, , p (2.10)–(2.11) gọi hệ số Lagrange Các điều kiện (2.10)–(2.11) gọi điều kiện Karush-Kuhn-Tucher (KKT) Bổ đề 2.1 Cho xˆ cực tiểu địa phương toán (2.8) cho ˆ ∈ Rm µ ˆ x) tập hợp hệ số Lagrange λ Λ(ˆ ˆ ∈ Rp thỏa mãn + (2.10)–(2.11) ˆ x) lồi đóng (i) Tập hợp Λ(ˆ ˆ x) (ii) Nếu tốn (2.8) thỏa mãn điều kiện Robinson xˆ tập Λ(ˆ bị chặn Bây giới thiệu hàm Lagrange liên kết với tốn có ràng buộc p m L(x, λ, µ) = f (x) + λi gi (x) + i=1 36 µi hi (x) i=1 (2.12) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hồng Thị Quỳnh Sử dụng hàm Lagrange, điều kiện (2.10) viết lại sau − ˆ x, λ, µ ˆ) x L(ˆ ∈ NX0 (ˆ x) (2.13) Do điều kiện cần Định lí 2.4 cho điểm cực tiểu hàm ˆ µ L(x, λ, ˆ) x ∈ X0 thỏa mãn xˆ Chúng ta tìm hiểu điều Định lí 2.6 Định lý 2.6 Giả sử hàm f (·) gi (·), i = 1, , m, lồi hàm hi (·), i = 1, , p, affine Nếu điểm xˆ ∈ X nhân tử ˆ i ≥ 0, i = 1, , m, µ λ ˆi ∈ R, i = 1, , p, thỏa mãn điều kiện (2.10)-(2.11), xˆ cực tiểu tồn cục tốn (2.8) ˆ µ Chứng minh Theo giả thiết, hàm Lagrange L(x, λ, ˆ) lồi theo x Từ (2.13) phần hai Định lí 2.4, ˆ µ ˆ µ L(ˆ x, λ, ˆ) ≤ L(x, λ, ˆ), ∀x ∈ X0 Tại điểm chấp nhận tốn (2.8) ta có ˆ µ L(ˆ x, λ, ˆ) ≤ f (x), điểm xˆ điều kiện (2.11) suy ˆ µ f (x) = L(ˆ x, λ, ˆ) Do f (ˆ x) ≤ f (x) với x ∈ X 37 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.4 Hồng Thị Quỳnh Bài tốn lồi có ràng buộc Nếu hàm mục tiêu hàm ràng buộc toán tối ưu phi tuyến lồi không thiết khả vi, sử dụng dưới-gradient chúng điều kiện cần tối ưu Xét toán tối ưu ràng buộc f (x), x∈X (2.14) với hàm lồi f : Rn → R tập lồi X ⊂ Rn Định lý 2.7 Giả sử xˆ điểm cực tiểu địa phương toán (2.14) tồn điểm x0 ∈ X cho f liên tục x0 Khi tồn s ∈ ∂f (ˆ x) cho −s ∈ NX (ˆ x) (2.15) Ngược lại, điểm xˆ ∈ X thỏa mãn hệ thức (2.15) với s ∈ ∂f (ˆ x) đó, xˆ cực tiểu tồn cục tốn (2.14) Chứng minh Xét hàm δX (x) =   0 x ∈ X,  +∞ trái lại Bài toán (2.14) tương đương với tốn tối ưu khơng ràng buộc f (x) + δX (x) x∈Rn 38 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Thị Quỳnh Nếu f (·) liên tục x0 ∈ X, từ Định lí 1.3 ta có ∂[f (ˆ x) + δX (ˆ x)] = ∂f (ˆ x) + ∂δX (ˆ x) Từ Định lí 2.2, xˆ cực tiểu ∈ ∂[f (ˆ x) + δX (ˆ x)] Kết hợp hai hệ thức cuối ta thấy phải tồn dưới-gradient s ∈ ∂f (ˆ x) cho −s ∈ ∂δX (ˆ x) Sử dụng [3, Exercise 2.81] trang 67 ta có ∂X (ˆ x) = NX (ˆ x) (2.15) Để chứng minh điều ngược lại, giả sử (2.15) thỏa mãn với s ∈ ∂f (ˆ x) Khi đó, với y ∈ X, f (y) ≥ f (ˆ x) + s, y − xˆ Vì y − xˆ ∈ KX (ˆ x) −s ∈ NX (ˆ x), s, y − xˆ ≥ Vì f (y) ≥ f (ˆ x) với y ∈ X Điều kiện tối ưu tổng quát giúp nhận 39 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hồng Thị Quỳnh điều kiện tối ưu cho toán sau f (x) với giả thiết gi (x) ≤ 0, i = 1, , m, (2.16) hi (x) = 0, i = 1, , p, x ∈ X0 ¯ gi : Rn → R, i = 1, , m Chúng ta giả sử hàm f : Rn → R, lồi hàm hi : Rn → R, i = 1, , p affine Tập X0 lồi đóng Nhắc lại điều kiện Slater cho ràng buộc lồi có dạng: Tồn điểm xs ∈ X0 cho gi (xs ) < 0, i = 1, , m, hi (xs ) = 0, i = 1, , p, xs ∈ intX0 p > Trong Định lí 1.7 thiết lập điều kiện p ◦ cone[∂gi (ˆ x)] + NX (ˆ x) = [KX0 (ˆ x)] + lin[ hi (ˆ x)] (2.17) i=1 i∈I (ˆ x) Ở I (ˆ x) tập hợp i ∈ {1, , m} mà gi (ˆ x) = Điều kết hợp với Định lí 2.7 để đạt điều kiện tối ưu cho toán (2.16) sau Định lý 2.8 Giả sử xˆ điểm cực tiểu toán (2.16), hàm số f (·) liên tục điểm chấp nhận x0 điều kiện ˆ ∈ Rm µ Slater thỏa mãn Khi tồn λ ˆ ∈ Rp cho + p m ˆ i ∂gi (ˆ λ x) + ∈ ∂f (ˆ x) + i=1 µ ˆi hi (ˆ x) + NX0 (ˆ x) i=1 40 (2.18) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hồng Thị Quỳnh ˆ i gi (ˆ λ x) = 0, i = 1, , m (2.19) Ngược lại, với điểm chấp nhận xˆ (2.16) ˆ ∈ Rm µ ˆ ∈ Rp điều kiện (2.18)–(2.19) thỏa với λ + mãn, xˆ nghiệm cực tiểu địa phương toán (2.16) Chứng minh Sử dụng Định lí 2.7, cơng thức (2.17) cho nón pháp tuyến đẳng thức [KX0 (ˆ x)]◦ = NX0 (ˆ x), ta thấy tồn s ∈ ∂f (ˆ x) cho p −s ∈ NX0 (ˆ x) + cone[∂gi (ˆ x)] + lin[ hi (ˆ x)] i=1 i∈I (ˆ x) ˆ i ≥ 0, i ∈ I (ˆ Điều nghĩa tồn λ x) µ ∈ Rp cho p ˆ i ∂gi (ˆ λ x) + −s ∈ NX0 (ˆx) + µ ˆi hi (ˆ x) i=1 i∈I (ˆ x) ˆ i = với i ∈ Đặt λ / I (ˆ x) ta (2.18)–(2.19) Để chứng minh điều ngược lại, giả sử có (2.18)–(2.19) Điều nói tồn dưới-gradient s ∈ ∂f (ˆ x), si ∈ ∂gi (ˆ x), i ∈ I (ˆ x) υ ∈ NX0 (ˆ x) cho p ˆ i si + λ 0=s+ µ ˆi hi (ˆ x) + υ i=1 i∈I (ˆ x) Giả sử y điểm chấp nhận tốn (2.16) Lấy tích vơ 41 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hồng Thị Quỳnh hướng y − xˆ với hai vế phương trình cuối ta p ˆ i si , y − xˆ + λ = s, y − xˆ + µ ˆi hi (ˆ x), y − xˆ + υ, y − xˆ i=1 i∈I (ˆ x) Vì y chấp nhận được, y − xˆ ∈ KX0 (ˆ x) Do υ, y − xˆ ≤ υ ∈ NX0 (ˆ x) Hơn nữa, gi (y) ≤ với i ∈ I (ˆ x) ta có si , y − xˆ ≤ gi (y) − gi (ˆ x) ≤ Cuối cùng, tính chấp nhận y suy hi (ˆ x), y − xˆ = 0, i = 1, , p Ba phương trình hiển thị cuối cho ta bất đẳng thức s, y − xˆ ≥ Điều nghĩa f (y) ≥ f (ˆ x) Một lần sử dụng hàm Lagrange p m L(x, λ, µ) = f (x) + λi gi (x) + i=1 µi hi (x) i=1 Ta viết điều kiện cần tối ưu (2.18) ˆ µ ∈ ∂x L(ˆ x, λ, ˆ) + NX0 (ˆ x), điều kiện cần đủ cho tính tối ưu tốn cực tiểu ˆ µ L(x, λ, ˆ) x ∈ X0 42 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.5 Hồng Thị Quỳnh Bài tốn lồi-trơn có ràng buộc Trong mục này, xét toán tối ưu có dạng sau f (x) với giả thiết gi (x) ≤ 0, i = 1, , m, (2.20) h(x) ∈ Y0 , x ∈ X0 Ta giả sử hàm gi : Rn → R, i = 1, , m, lồi khơng trơn hàm f : Rn → R h : Rn → Rp khả vi liên tục Các tập X0 ∈ Rn Y0 ⊂ Rp lồi đóng Xét tập hợp xác định ràng buộc lồi C = {x ∈ X0 : gi (x) ≤ 0, i = 1, , m}, I (ˆ x) tập hợp ràng buộc hoạt điểm tối ưu xˆ: I (ˆ x) = {i : gi (ˆ x) = 0} Khi toán (2.20) viết lại sau f (x) với giả thiết h(x) ∈ Y0 , x ∈ C 43 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hồng Thị Quỳnh Nhắc lại điều kiện Robinson (1.10) toán có dạng h (ˆ x)KC (ˆ x) − KY0 (h(ˆ x)) = Rp (2.21) Tập KC (ˆ x) nói chung, khó để mơ tả xác, với điều kiện Slater, ta tìm tập khác rỗng Thật vậy, tồn x) hướng xs ∈ X0 cho gi (xs ) < 0, i = 1, , m tập KC0 (ˆ d ∈ KC (ˆ x) cho gi (ˆ x, d) < 0, i ∈ I (ˆ x) khác rỗng Hiển nhiên d = xs − xˆ Vì vậy, ta xây dựng điều kiện đủ rõ ràng cho điều kiện Robinson cách thay KC (ˆ x) với KC0 (ˆ x) Định lý 2.9 Giả sử xˆ ∈ X0 cực tiểu địa phương toán (2.20) Giả sử hàm gi (·), i ∈ I (ˆ x), khả vi phân xˆ tồn xS ∈ X0 cho gi (xS ) < 0, i = 1, , m Hơn nữa, điều ˆ ∈ Rm µ ˆ∈ kiện Robinson thỏa mãn xˆ Khi đó, tồn λ + [TY0 (h(ˆ x))]◦ cho m 0∈ ˆ i (ˆ λ∂g x) + [h (ˆ x)]T µ ˆ + NX0 (ˆ x), f (ˆ x) + (2.22) i=1 ˆ i gi (ˆ λ x) = 0, i = 1, , m (2.23) ˆ µ ˆ x) nhân tử (λ, Mặt khác, tập Λ(ˆ ˆ) thỏa mãn điều kiện lồi compact Chứng minh Lấy X tập chấp nhận tốn (2.20) Từ Định lí 2.4, − f (ˆ x) ∈ [TX (ˆ x)]◦ 44 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Thị Quỳnh Từ Định lí 1.8, cực nón tiếp tuyến X có dạng [TX (ˆ x)]◦ =NX0 (ˆ x) + {[h (ˆ x)]T µ : µ ∈ [TY0 (h(ˆ x))]◦ } + cone(∂gi (ˆ x)) i∈I (ˆ x) ˆ i ≥ µ Điều suy tồn λ ˆ ∈ [TY0 (h(ˆ x))]◦ cho ˆ i gi (ˆ λ x) + [h (ˆ x)]T µ ˆ + NX0 (ˆ x) ∈ f (ˆ x) + i∈I (ˆ x) Điều tương đương với (2.22)-(2.23) Tính compact tập hợp nhân tử Lagrange chứng minh tương tự chứng minh Bổ đề 2.1 45 Kết luận Trên toàn nội dung đề tài "Điều kiện cực trị bậc cho tốn tối ưu có ràng buộc" Trong khóa luận tốt nghiệp em trình bày hiểu biết cách hệ thống, rõ ràng điều kiện tối ưu ứng dụng qua ví dụ Khố luận đạt mục đích nhiệm vụ đề Tuy nhiên kiến thức thân thời gian nghiên cứu hạn chế, phần lần thực khóa luận nên khơng tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận đóng góp quý báu thầy, cô giáo bạn sinh viên để khóa luận đầy đủ hồn thiện Trước kết thúc khóa luận này, lần em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc thầy, giáo khoa Tốn, đặc biệt thầy Nguyễn Văn Tuyên tận tình hướng dẫn giúp đỡ em hồn thành khóa luận Em xin chân thành cảm ơn! 46 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Huỳnh Thế Phùng, Cơ sở Giải tích lồi, NXB Giáo dục Việt Nam, 2012 [B] Tài liệu tiếng Anh [2] R T Rockafellar, Convex Analysis, Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1970 [3] A Ruszczy´ nski, Nonlinear Optimization, Princeton University Press, 2006 47 ... 2: Các điều kiện tối ưu: Trong chương này, Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hồng Thị Quỳnh trình bày điều kiện tối ưu toán trơn có ràng buộc khơng có ràng buộc, tốn lồi có ràng buộc khơng có ràng buộc, ... lý thuyết tối ưu ứng dụng tốn học thực tế, chọn nghiên cứu đề tài Điều kiện cực trị bậc cho tốn tối ưu có ràng buộc hướng dẫn thầy Nguyễn Văn Tun Mục đích khóa luận trình bày cách có hệ thống,... 1.2.2 Ràng buộc trơn tính quy metric 12 1.2.3 Ràng buộc lồi không trơn 19 1.2.4 Ràng buộc lồi trơn 24 CÁC ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU 27 2.1 Bài toán trơn khơng có ràng buộc