Đang tải... (xem toàn văn)
“Tập 20 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 (có đáp án chi tiết)”;ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN LỚP 9 ĐỀ SỐ: 01Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 –H. Thiệu Hóa, ngày 24102017Năm học 2017 2018ĐỀ BÀICâu 1: (4,0 điểm) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A.b) Tính giá trị của A khi c) So sánh A với .Câu 2: (4,0 điểm) a) Giải phương trình : . b) Tìm các cặp số nguyên (x, y) thoả mãn: Câu 3: (4,0 điểm)a)Cho a, b, c là 3 số nguyên thỏa mãn: a + b + c = . Chứng minh rằng: a5 + b5 + c5 chia hết cho 5. b) Cho a, b, c, d là các số hữu tỉ khác 0 thỏa mãn điều kiện: . Chứng minh rằng: là số hữu tỉ.Câu 4: (5,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn với các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.a) Chứng minh rằng: và b) Chứng minh rằng : c) Nếu = thì khi đó tam giác ABC là tam giác gì? Câu 5: (1,0 điểm) Cho tam giác đều ABC; các điểm D, E lần lượt thuộc các cạnh AC, AB sao cho BD cắt CE tại P và diện tích tứ giác ADPE bằng diện tích tam giác BPC. Tính Câu 6: (2,0 điểm) Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn: x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = Hết HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN LỚP 9 ĐỀ SỐ: 01Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 –H. Thiệu Hóa, ngày 24102017Năm học 2017 2018.CâuÝTóm tắt cách giảiĐiểm1(4điểm)a2,0đ 0,250,50.250,50,5b1,0đ Ta có 0,250,50,25c1,0đBiến đổi ta được: Chứng minh được với mọi 0,250,250,250,252(4 điểm)a2đ Ta có: Dấu = xảy ra khi và chỉ khi Dấu = xảy ra khi và chỉ khi Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 0,50,50,50,5b2đTa có: (1)Nhận thấy x = 1 không phải là nghiệm của PT (1). Chia cả 2 vế của phương trình cho x – 1, ta được: (2) PT có nghiệm x, y nguyên, suy ra nguyên nên x – 1 •x – 1 = 1 x = 0•x – 1 = 1 x = 2Thay x = 0 vào PT(2) ta được: ; Thay x = 2 vào PT(2) ta được: ; Vậy phương trình đã cho nghiệm nguyên .0,250,250,50,250,250,53(4 điểm)a2đTa có a5 a = a( a4 1) = a( a2 1)( a2 + 1) = a( a2 1)( a2 4 + 5) = a( a2 1)( a2 4) + 5 a(a2 1) = a(a 1)(a + 1)(a 2) (a +2) + 5 a( a 1)( a+ 1)Vì a 2; a 1; a; a + 1; a + 2 là 5 số nguyên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 5 suy ra (a 2) (a 1)a( a + 1)( a+ 2) chia hết cho 5 ()Mặt khác 5a(a 1)( a+ 1) chia hết cho 5 ()Từ () và () suy ra a5 – a chia hết cho 5 (1) tương tự có b5 – b chia hết cho 5 (2), c5 – c chia hết cho 5 (3)Từ (1) (2) (3) suy ra a5 – a + b5 – b + c5 – c chia hết cho 5 Mà a + b+ c = 24102017 chia hết cho 5 Nên a5 + b5 + c5 chia hết cho 50,250,250,50,250,250,5b2đTa có: (vì d 0) Vì a, b, c, d là các số hữu tỉ nên là số hữu tỉ.Vậy là số hữu tỉ0,50,250,250,250,250,54(5điểm) a) Tam giác ABE vuông tại E nên cosA = Tam giác ACF vuông tại F nên cosA = .Suy ra = Từ suy ra b) Tương tự câu a, Từ đó suy ra Suy ra c) Từ Tương tự: ; . Do đó: + + = •Ta chứng minh được: (x + y + z)2 3(xy + yz + zx) ()Áp dụng () ta chứng minh được: Dấu bằng xảy ra khi tam giác ABC đều.0,50,50,50,5110,250,250,250,255(1 điểm) Kẻ tại F, tại G. Theo giả thiết Mà và Suy ra Do đó 0,250,250,250,256(2 điểm)Áp dụng BĐT côsi ta có (Vì x + y + z =1)Chứng minh tương tự: Mà Do đó A Vậy GTLN của A = khi x = y = z = 0,250,250,250,250,50,5Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. Hết ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐMÔN: TOÁN LỚP 9 ĐỀ SỐ: 02Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 – TP. Thanh Hóa Năm học 2016 2017ĐỀ BÀIBài 1: (5,0 điểm) Cho biểu thức: . Với x 0, x 1.a)Rút gọn biểu thức P.b)Tìm x để .c)So sánh: P2 và 2P. Bài 2: (4,0 điểm) a)Tìm thỏa mãn: b)Cho a, b, c là các số nguyên khác 0 thỏa mãn điều kiện: Chứng minh rằng: chia hết cho 3.Bài 3: (4,0 điểm) a)Giải phương trình sau: b)Cho x, y là 2 số thực thoả mãn: x2 + 2y2 + 2xy + 7x + 7y + 10 = 0.Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức: A = x + y + 1.Bài 4: (6,0 điểm)Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. N là điểm tùy ý thuộc cạnh AB. Gọi E là giao điểm của CN và DA. Vẽ tia Cx vuông góc với CE và cắt AB tại F. Lấy M là trung điểm của EF.a)Chứng minh: CM vuông góc với EF. b)Chứng minh: NB.DE = a2 và B, D, M thẳng hàng.c)Tìm vị trí của N trên AB sao cho diện tích của tứ giác AEFC gấp 3 lần diện tích của hình vuông ABCDBài 5: (1,0 điểm) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: Hết HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN LỚP 9 ĐỀ SỐ: 02Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 – TP. Thanh Hóa Năm học 2016 2017.CâuÝNội dungĐiểmBài 15,0đa2 đĐiều kiện : x 0, x 1. 0,50,50,50,5 b 2,0đVới x 0, x 1. Ta có: Vì nên (tm)Vậy P = khi x = 4 0,5 1,00,250,25 c 1,0đVì Dấu “=” xảy ra khi P = 2 x = 0Vậy P2 2P0.250,250,250,25Bài 24,0đA2 đ Vì x, y Z nên x 1 Ư(1) = +) Nếu x – 1 = 1 x = 2 Khi đó 2y2 y – 2 = 1 y = 1 (tm) hoặc y = Z (loại)+) Nếu x – 1 = 1 x = 0 Khi đó 2y2 y = 1 y = 1 (tm) hoặc y = Z (loại)Vậy 0,50,250,50,50,25b2đa) Từ giả thiết Vì a, b, c 0 nên a + b + c = 0 Vậy với a, b, c Lưu ý: Nếu học sinh sử dụng hằng đẳng thứcx3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx) mà không chứng minh thì trừ 0,5 điểm.0,50,50,50,250,25Bài 34,0đa2đĐkxđ: Vì với 10x – 20 Ta có: Vậy phương trình có nghiệm là x = 4 0,250,5 0,5 0,50,25b2đx2 + 2y2 + 2xy + 7x + 7y + 10 = 0. x + y + 1 = 4 khi x = 5; y = 0 x + y + 1 = 1 khi x = 2; y = 0Vậy Amin = 4 khi x= 5; y = 0 Amax = 1 khi x = 2; y = 0“Tập 20 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 (có đáp án chi tiết)”
“Tập 20 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Tốn lớp (có đáp án chi tiết)” ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỀ SỐ: 01 MƠN: TỐN - LỚP Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Nguồn: Đề thi HSG Toán –H Thiệu Hóa, ngày 24/10/2017-Năm học 2017 - 2018 ĐỀ BÀI Câu 1: (4,0 điểm) � �2x x 2x x x x � � � �: � 1 x x � � 1 x 1 x x � � Cho biểu thức A � a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị A x 17 12 c) So sánh A với A Câu 2: (4,0 điểm) 3x x 12 x 10 x x x b) Tìm cặp số nguyên (x, y) thoả mãn: xy x y x y xy a) Giải phương trình : Câu 3: (4,0 điểm) a) Cho a, b, c số nguyên thỏa mãn: a + b + c = 24102017 Chứng minh rằng: a5 + b5 + c5 chia hết cho b) Cho a, b, c, d số hữu tỉ khác thỏa mãn điều kiện: a b c d Chứng minh rằng: M (ab cd )(bc da)(ca bd ) số hữu tỉ Câu 4: (5,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn với đường cao AD, BE, CF cắt H a) Chứng minh rằng: AEF ABC S AEF cos S ABC 2 b) Chứng minh : S DEF cos A cos B cos C S ABC c) Nếu HA HB HC = BC AC AB tam giác ABC tam giác gì? Câu 5: (1,0 điểm) Cho tam giác ABC; điểm D, E thuộc cạnh AC, AB cho � BD cắt CE P diện tích tứ giác ADPE diện tích tam giác BPC Tính BPE Câu 6: (2,0 điểm) Cho số thực dương x, y, z thoả mãn: x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức: A = x xyz y xyz z xyz xyz Hết - https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm “Tập 20 đề thi học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn lớp (có đáp án chi tiết)” HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ SỐ: 01 ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MƠN: TỐN - LỚP Nguồn: Đề thi HSG Tốn –H Thiệu Hóa, ngày 24/10/2017-Năm học 2017 - 2018 Câu Ý a 2,0đ (4điểm) Tóm tắt cách giải ��2x x 2x x x x � � � � A � x 0;x � ;x �1� � � �: � � � 1 x x �� 1 x 1 x x � � 0,25 � � x x x 1 x 1 : x 1 : 1 x 1 : xx xx 0,5 0.25 0,5 1 x x x 0,5 Ta có A 1,0đ 1 x x x 1 x 1 x 1 x 1 1,0đ x 17 12 3 2 � x c � x 2x x � x 1 x � 2x x x � : � x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x x � � � � x x 1 x 1 � x 1 � x x 1 � : � x x 1 1 x 1 x 1 x 1 x x � � � � � � x 1 � x : �2 x � � � � � x x x x x 1 � � � � b Điểm 1 3 2 17 12 3 2 3 2 3 2 3 2 0,5 15 10 3 2 5 3 2 3 2 1 x x x 1 x x 1 x với x 0;x � ;x �1 x 0,25 0,25 Biến đổi ta được: A Chứng minh �A x 1 1� A 1� A 1 � A x � A A 0� A A https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm 0,25 0,25 A 1 0,25 0,25 “Tập 20 đề thi học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn lớp (có đáp án chi tiết)” Ta có: VT a 3x x 12 x 10 x 2đ 3( x 1) 5( x 1) � 5 Dấu "=" xảy x 1 VP x x 2( x 1) �5 Dấu "=" xảy x 1 � VT VP � x 1 Vậy phương trình có nghiệm x 1 b xy x y x y xy y x 1 x x 1 y x 1 0 (1) 2y2 x y điểm) 0 x PT có nghiệm x, y nguyên, suy nên x – � 1;1 x – = -1 x = x–1=1 x=2 nguyên x Ta có a5 - a = a( a4 - 1) = a( a2 - 1)( a2 + 1) = a( a2- 1)( a2 - + 5) = a( a2- 1)( a2 - 4) + a(a2 - 1) 2đ = a(a - 1)(a + 1)(a -2) (a +2) + a( a - 1)( a+ 1) Vì a - 2; a - 1; a; a + 1; a + số nguyên liên tiếp nên có số chia hết cho suy (a -2) (a - 1)a( a + 1)( a+ 2) chia hết cho (*) Mặt khác 5a(a - 1)( a+ 1) chia hết cho (**) a điểm) 0,5 0,25 0,25 (2) Thay x = vào PT(2) ta được: y y 0 y 1 ; y Thay x = vào PT(2) ta được: y y 0 y 1 ; y Vậy phương trình cho nghiệm nguyên x; y � 0;1 ; 2;1 (4 0,5 Nhận thấy x = nghiệm PT (1) Chia vế phương trình cho x – 1, ta được: (4 0,5 Ta có: 2đ 0,5 Từ (*) (**) suy a – a chia hết cho 5 (1) tương tự có b – b chia hết cho (2), c – c chia hết cho (3) 5 Từ (1) (2) (3) suy a – a + b – b + c – c chia hết cho Mà a + b+ c = 2410 Nên 5 2017 0,5 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,5 chia hết cho 5 a + b + c chia hết cho https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm “Tập 20 đề thi học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn lớp (có đáp án chi tiết)” b 2đ 0,5 Ta có: a b c d � ad bd cd d (vì d �0) � ad d bd cd � �� bd d cd ad � cd d ad bd � 0,25 M (ab cd )(bc da )(ca bd ) ( ab d ad bd )(bc d bd cd )(ca d cd ad ) ( a d )(b d )(b d )(c d )(a d )(c d ) (a d )(b d )(c d ) ( a d )(b d )(c d ) Vì a, b, c, d số hữu tỉ nên (a d )(b d )(c d ) hữu tỉ Vậy M (ab cd )(bc da )(ca bd ) số hữu tỉ số 0,25 0,25 0,25 0,5 (5điểm) https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm “Tập 20 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Tốn lớp (có đáp án chi tiết)” A 0,5 E F 0,5 H B 0,5 D C 0,5 AE a) Tam giác ABE vuông E nên cosA = AB Tam giác ACF vuông F nên cosA = AF AC AE AF � AEF : ABC (c.g c) = AB AC S AEF �AE � � � cos A * Từ AEF : ABC suy S ABC �AB � Suy 0,25 S S 2 CDE BDF b) Tương tự câu a, S cos B, S cos C ABC ABC Từ suy 0,25 SDEF S ABC S AEF S BDF SCDE cos A cos B cos C S ABC S ABC 2 Suy S DEF cos A cos B cos C S ABC HC CE HC HB 0,25 0,25 CE.HB S HBC c) Từ AFC : HEC � AC CF � AC AB CF AB S ABC HB.HA S HA.HC S HAC HAB Tương tự: AC.BC S ; AB.BC S Do đó: ABC ABC HC.HB HB.HA HA.HC S HBC S HCA S HAB 1 + + = S ABC AC AB AC.BC AB.BC Ta chứng minh được: (x + y + z)2 �3(xy + yz + zx) (*) Áp dụng (*) ta chứng minh được: HA HB HC �3 BC AC AB Dấu xảy tam giác ABC https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm “Tập 20 đề thi học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn lớp (có đáp án chi tiết)” (1 điểm) Kẻ EF AC F, DG BC G Theo giả thiết S ADPE S BPC � S ACE S BCD � DCG � 600 Mà AC BC � EF DG EAF Suy AEF CDG � AE CG � ECA � Do AEC CDB(c g c) � DBC 0,25 0,25 0,25 0,25 � PBC � PCB � PCD � PCB � 600 � BPE (2 điểm) Áp dụng BĐT cơsi ta có x xyz xyz x x � x yz yz x ( x z )( x y ) yz x ( x y z ) yz yz 3� 1� �x y x z y z � � � �x � � � �x � � 3� 2 � � 3� � 0,25 (Vì x + y + z =1) Chứng minh tương tự: y xyz xyz � 3� 1� �y � � 3� z xyz xyz � � 1� �z � � 3� 0,25 0,25 Mà 0,25 �x y z � xyz � � � � � 3 0,5 5 1 x y z 3 3 Vậy GTLN A = x = y = z = 3 Do A � 0,5 Lưu ý: Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa Hết - ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ MƠN: TỐN - LỚP Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm ĐỀ SỐ: 02 “Tập 20 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Tốn lớp (có đáp án chi tiết)” Nguồn: Đề thi HSG Tốn – TP Thanh Hóa -Năm học 2016 - 2017 ĐỀ BÀI Bài 1: (5,0 điểm) �x x � x 1 Cho biểu thức: P � Với x �0, x �1 �: x x x x 1 x � � a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm x để P c) So sánh: P 2P Bài 2: (4,0 điểm) a) Tìm x, y �Z thỏa mãn: y x x y x y xy b) Cho a, b, c số nguyên khác thỏa mãn điều kiện: �1 1 � 1 � � b c �a b c � a 3 Chứng minh rằng: a b c chia hết cho Bài 3: (4,0 điểm) a) Giải phương trình sau: x 20 x 25 x x 10 x 20 b) Cho x, y số thực thoả mãn: x2 + 2y2 + 2xy + 7x + 7y + 10 = Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức: A = x + y + Bài 4: (6,0 điểm) Cho hình vng ABCD có cạnh a N điểm tùy ý thuộc cạnh AB Gọi E giao điểm CN DA Vẽ tia Cx vng góc với CE cắt AB F Lấy M trung điểm EF a) Chứng minh: CM vng góc với EF b) Chứng minh: NB.DE = a2 B, D, M thẳng hàng c) Tìm vị trí N AB cho diện tích tứ giác AEFC gấp lần diện tích hình vng ABCD Bài 5: (1,0 điểm) Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a b c a b c ab bc ca bc ca ab Hết HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ SỐ: 02 ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MƠN: TỐN - LỚP Nguồn: Đề thi HSG Tốn – TP Thanh Hóa -Năm học 2016 - 2017 https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Câu Ý Nội dung Điể m � mơn Tốn lớp (có đáp án chi tiết)” �0, Điều kiện : xgiỏi “Tập 20 đề thi học sinh cấpxhuyện a 2đ �x P� x x x � � x2 � � � x 1 x � x � x 1 �: x 1 1 x � � x � x 1 : x 1 x 1 � � � x x ( x 1) ( x x 1) x 1 x x 1 x x 1 x 1 x x 1 : x 1 2 x 1 x x 1 Với x �0, x �1 Ta có: P 2 � x x 1 Bài 5,0đ b 2,0đ 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 � x x 1 � x x 60 � ( x 2)( x 3) Vì x nên x � x (t/m) Vậy P = x = 1,0 0,25 0,25 Vì x �0 � x x �1 0.25 �2 x x 1 � P �2 � P ( P 2) �0 0,25 �0 c 1,0đ � P P �0 ۣ P2 2P Dấu “=” xảy P = � x = Vậy P2 �2P y x x y x y xy 0,25 0,25 � y x x y x y xy � x 1 (2 y y x) 1 Vì x, y �Z nên x - 1�Ư(-1) = 1; 1 https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm +) Nếu x – = � x = Khi 2y2 - y – = - 0,5 0,25 “Tập 20 đề thi học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn lớp (có đáp án chi tiết)” * Vì a, b, c > nên Tương tự: � a a ac 1� ab ab abc b ba c cb ; bc abc ca abc a b c (1) ab bc ca * Ta có: 0,5 a a bc a (b c) Vì a, b, c > nên theo bất đẳng thức Cô- si ta có: Bài 1,0đ a (b c) � a (b c) 2 ۣ abc a(b c) 2a abc Tương tự: � a a(b c) 2a abc 2b b � ; abc ac a bc 2c c � abc ba a b c �2 bc ca ab Dấu ‘ =” xảy a = b +c; b = c + a; c = a +b tức a = b = c (vô lý) � a b c (2) bc ca ab 0,5 Từ (1) (2) ta có đpcm Lưu ý: Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa - Với 5, học sinh vẽ hình sai khơng vẽ hình khơng chấm Hết - https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm “Tập 20 đề thi học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn lớp (có đáp án chi tiết)” ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỀ SỐ: 03 MƠN: TỐN - LỚP Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Nguồn: Đề thi HSG Tốn –H Thiệu Hóa, ngày 12/01/2017-Năm học 2016 - 2017 ĐỀ BÀI Câu 1: (4,0 điểm) x 1 1 x y ( ): y x y xy ( x y ) x y xy xy Cho biểu thức: A = ( ) a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị biểu thức A x = + ; y = - Câu 2: (3,5 điểm) a) Cho hàm số bậc : y = mx + m – 1(*) (m tham số) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số (*) tạo với trục tọa độ Oxy tam giác có diện tích b) Giải phương trình: x x x x x Câu 3: (3,5 điểm) a) Tìm nghiệm nguyên phương trình: 2x6 + y2 – 2x3y = 320 b) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a b c 2016 2a 3b 3c 3a 2b 3c 3a 3b 2c �6 Chứng minh rằng: 2015 a 2016 b 2017 c Câu 4: (5,0 điểm) Cho đường tròn (O;R), đường kính BC Điểm A thuộc đường tròn cho (A khác B C) Hạ AH vuông góc với BC H, lấy điểm M đối xứng với điểm A qua điểm B Gọi I trung điểm HC a) Chứng minh: Tam giác AHM đồng dạng với tam giác CIA b) Chứng minh: MH vng góc với IA c) Gọi K trọng tâm tam giác BCM, chứng minh điểm A chuyển động đường tròn ( O; R) với B, C cố định điểm K ln thuộc đường tròn cố định Câu 5: (2,0 điểm) Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I bán kính độ dài đường cao tam giác ABC số nguyên dương Chứng minh tam giác ABC Câu (2,0 điểm) Cho a, b, c, d số không âm thỏa mãn a + b + c + d = (a b c)(a b) abcd Hết - Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm 10 “Tập 20 đề thi học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn lớp (có đáp án chi tiết)” Hàm số y = f(x) hàm số nghịch biến Vì Vì 2 0 f 2 2 f 0 2 nên f 2 nên f 1,0 đ Lưu ý: Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa Hết - https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm 85 “Tập 20 đề thi học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn lớp (có đáp án chi tiết)” ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MƠN: TỐN - LỚP Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ SỐ: 18 ĐỀ BÀI Bài 1: (2 điểm) Tính giá trị biểu thức : A= 1 + 2 + + 120 121 Bài 2: (4 điểm) a) Giải phương trình: x x 1 x( x 3) b) Cho biết: x x 13 x x 10 1 Tính: x x 13 x x 10 Bài 3: (3 điểm) Cho ba số dương a, b, c Hãy chứng minh: a2 b2 c2 a +b +c � b +c c+a a +b Bài 4: (4 điểm) Cho hàm số: y = mx - 3x + m + c Xác định điểm cố đinh hàm số b Tìm giá trị m để đồ thị hàm số đường thẳng cắt hai trục tọa độ tạo thành tam giác có diện tích Bài 5: (3 điểm) Cho hình vng ABCD, cạnh BC lấy điểm M, tia đối tia BA lấy điểm N cho BN = BM Gọi H giao điểm AM CN, chứng minh: H nằm đường tròn ngoại tiếp hình vng ABCD Bài 6: (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi M N theo thứ tự chân đường vng góc kẻ từ H đến AB AC, biết AH = 4AM.AN Tính số đo góc nhọn tam giác ABC Hết - https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm 86 “Tập 20 đề thi học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn lớp (có đáp án chi tiết)” HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MƠN: TỐN - LỚP ĐỀ SỐ: 18 Bài Câu Nội dung A= = 1 + 1 2 1 ( ) ( 1) + 1 = + + + Điểm 120 121 2 120 121 ( 3) ( ) + + ( 121) ( 120 ) 2 120 121 + + 1 = 120 121 = 121 11 10 Điều kiện: x 3 Bình phương hai vế phương trình ta có: x x( x 3) x 1 x( x 3) x( x 3) x 1 x 3x x x 0 x 1 x 4 0 x 0 hoặc: x 0 x=1 (loại) x=4 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.25đ 0.5đ a b Vậy phương trình có nghiệm x=4 Đặt A= x x 13 ; B= x x 10 (A 0, B 0) Theo ta có: A - B = A2 - B2 = (x2 - 6x + 13) - (x2 - 6x + 10) = Mặt khác ta có: A2 - B2 = (A-B)(A+B) suy ra: A+B =3 Vậy: x x 13 x x 10 =3 0.5đ 0.5đ 0.25đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương ta có: a2 bc a2 bc a2 b c a (1) 2 hay bc bc bc 0.5đ Tương tự ta có: b2 a c b (2) ac c2 a b c (3) ; a b 0.5đ Cộng (1), (2) (3) theo vế ta có: a2 bc b2 a c c2 a b a b c + + bc ac a b https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm 0.5đ 87 “Tập 20 đề thi học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn lớp (có đáp án chi tiết)” a a2 b2 c2 a b c a b c b c a c a b a2 b2 c2 a b c ( a b c ) b c a c a b 0.5đ a2 b2 c2 a b c (đpcm) b c a c a b 0.5đ 0.5đ Hàm số: y = (m – 3)x + (m + 1) Giả sử M(x0; y0) điểm cố định đồ thị hàm số, ta có: y0 = mx0 – 3x0 + m+ Thỏa mãn với giá trị m � m( x0 1) (1 x0 y0 ) 0, m 0.5đ Vậy điểm cần tìm M(-1;4) Hình minh họa: y m+1 A O b 0.5đ 0.5đ �x0 �x0 1 �� �� x0 y0 � �y0 4 0.5đ B m 1 m x Đồ thị hàm số đường thẳng cắt hai trục tọa độ khi: m đó: m - �۹ 0.5đ đồ thị cắt trục tung điểm có tung độ m+1, cắt trục hồnh điểm có hồnh độ 2 � (m 1) m Ta có: S ABO = m m 1 m m 1 1 m3 Nếu: m> � m2 +2m +1 = 2m -6 � m2 = -7 ( loại) Nếu: m < � m2 +2m +1 = - 2m � m2 + 4m - =0 � (m – 1)(m + +5) = � m = 1; m = -5 https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm 0.5đ 0.5đ 0.5đ 88 “Tập 20 đề thi học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn lớp (có đáp án chi tiết)” Vẽ hình xác D M A 0.5đ C B H N Xét AMB CNB có: AB = CB (cạnh hình vng) ABM CBN 90 BM = BN (gt) � AMB = CNB (c-g-c) � BAM BCN 0.5đ Xét AMB CMH có: AMB CMH (đối đỉnh); BAM BCN (c/m trên) 0.5đ � ABM CHM � CHM 90 � H thuộc đường tròn đường kính AC � H thuộc đường tròn ngoại tiếp hình vng ABCD 0.5đ 0.5đ 0.5đ B M H 0.5đ E A N Theo giả thiết ta có AH2 = 4AM.AN (1) Tam giác AHC vuông H; HN AC nên AH2 = AN.AC (2) Từ (1) (2) suy AC = 4AM = 4HN (3) Gọi E trung điểm AC, ta có: EH = EA = EC = AC C (4) 0.5đ 0.5đ 0.5đ Từ (3) (4) suy HE = 2HN Mà HNE 90 nên HEN 30 0.5đ 0.5đ Ta thấy tam giác EHC cân E nên ECH HEN 30 15 0.5đ 2 0.5đ 0 0 hay ACB 15 ABC 90 ACB 90 15 75 Hết - https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm 89 “Tập 20 đề thi học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn lớp (có đáp án chi tiết)” ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MƠN: TỐN - LỚP Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ SỐ: 19 ĐỀ BÀI Bài 1:(3 điểm ) Cho biểu thức : A 15 x 11 x 2 x x x 1 x x 3 Rút gọn A Tìm giá trị A x = 4+ Bài 2: (3 điểm ) Giải phương trình: a) x x 12 x (1) b) x x x 2.3 x x x Bài 3:(4 điểm): a) Tìm giá trị lớn biểu thức: A (2) y 1 x 1 ( x �1; y �1) y x b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức : Y x2 x x x Bài 4:(3 điểm ) 2 3 Cho hai hàm số bậc y = m x (1); y = (2 - m)x - (2) Với giá trị m thì: a Đồ thị hàm số (1) (2) hai đường thẳng cắt b Đồ thị hàm số (1) (2) hai đường thẳng song song Bài : ( đểm ) Cho tam giác ABC có AB = 12cm; góc ABC 400; góc ACB 300, đương cao AH, Tính độ dài AH AC Bài : ( đểm ) Cho tam giác EFG vng E có EF = 3cm, EG = 4cm a) Tính FG, góc F, góc G b) Phân giác góc E cắt FG H Tính FH, GH c) Từ H kẻ HM HN vng góc với EF EG Tứ giác EMHN hình gì? Vì sao? Tính chu vi diện tích tứ giác EMHN (Góc làm tròn đến phút, độ dài đến chữ số thập phân thứ 3) Bài 7:(1 điểm ) Cho x �1, y �1 .Chứng minh : x y y x �xy Hết https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm 90 “Tập 20 đề thi học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn lớp (có đáp án chi tiết)” HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MƠN: TỐN - LỚP Bài 1.1 ĐỀ SỐ: 19 Nội dung A điểm 15 x 11 x 2 x x x 1 x x 3 Đ /k : x �0; x �1 Rút gọn: A 15 x 11 (3 x 2)( x 3) (2 x 3)( x 1) ( x 1)( x 3) ( x 1)( x 3) ( x 1)( x 3) 15 x 11 x x x x ( x 1)( x 3) 2,0 x 5x ( x 1)(5 x 2) ( x 1)( x 3) ( x 1)( x 3) x 2 x 3 A 1.2 Khi x = + thoả mãn điều kiện x �0; x �1 ta có x = = : A= 2.a) 2b) 1 4 1 = =1+ 17 = 4 13 1,0 x x 12 x Giải: Với điều kiện ≤ x ≤ 12 Ta có: (1) x 12 x x 19x x 84 x 4(19x – x2 – 84) = x2 – 8x + 16 76x – 4x2 – 336 – x2 + 8x – 16 = 5x2 – 84x + 352 = Giải: (2) x x x 2.3 x x x x 1 | x | 2.| x 1| Đặt y = x (y ≥ 0) phương trình cho trở thành: 1,5 – Nếu ≤ y < 1: y + + – y = – 2y y = –1 (loại) – Nếu ≤ y ≤ 3: y + + – y = 2y – y = – Nếu y > 3: y + + y – = 2y – (vô nghiệm) Với y = x + = x = Vậy: phương trình cho có nghiệm x = Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số khơng âm ta có: 1,5 y 1 | y | | y 1| 3a) https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm 91 “Tập 20 đề thi học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn lớp (có đáp án chi tiết)” 1 y 1 y y 1.( y 1) � 2 xy � x y 1 � xy y x 1 � Tương tự : x y y x �xy Do : x y� y x 1 0,5 x y 1 y x 1 xy xy y 1 x 1 �1 y x �x �x �� Dấu “=” xảy � � �y �y Do : 0,5 Vậy giá trị lớn A 3b) Y x x 1 x 1 x 1 x ( x 1)2 ( x 1)2 (1 x 1 x 1)2 x 1 Áp dụng bđt :|A| + |B| ≥|A + B| ta có : Y x 1 x x 1 x x 1 ( x 1) (1 Bài 4.a x x 1 1 Vậy y nhỏ x 2 x 1) 0 x 1 1 (x 1) 0 x 2 Đồ thị hàm số (1) (2) hai đường thẳng cắt m 0 m 0 m 2 m 0,5 m 2 m 2 m 0,5 1,5 Vậy m ; m 2; m đồ thị (1) cắt đồ thị (2) Bài 4.b b Đồ thị hàm số (1) (2) l hai đường thẳng có tung độ gốc khác (1 ) chúng song song với https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm 92 “Tập 20 đề thi học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn lớp (có đáp án chi tiết)” � m� m 0 � � ۹ � m m 0 � m 2 m � m � đồ thị (1) song song với đồ thị (2) 1,5 Xét tam giác vuông HPQ ta có: AH = AB.SinB = 12.Sin400 => AH �7,713 (cm) Vậy m = AH = AC.SinC => AC HA => Sin300 A AC �15,427 (cm) Vậy AH = 7,713 (cm) AC =15,427 (cm) 300 C 6a F (cm) EG EF EG M Theo định nghĩa tỉ số lượng giác ta có tgF = 2 B H EG => EF góc F ≈ 37 => góc G ≈53 6c H 400 Theo định lí pi Ta go ta có : 6b 12 E G N EF HF EG HG HG HF HG HF Áp dụng tính chất dãy tỉ số => => 3 HG 20 HF 15 =>HG = 2 => HF = 2 7 7 7 Vậy HG = ; HF = 7 Do EH tia phân giác góc E nên: tứ giác EMHN hình vng (đường chéo AE hình bình hành EMHN vừa phân giác ) * Chu vi EMHN : 4HN mà HN = HC.sinG = sin370 �1,714(cm) 1,5 1.5 * Diện tích EMHN là: HN = 1,741 = 2,939 (cm ) Vậy: Chu vi EMHN 1,741x4 = 6,857cm; diện tích EMHN 2,939 cm2 Áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho hai số khơng âm ta có: 1 y 1 y y 1.( y 1) � 2 xy y x 1 � Tương tự : xy � x y 1 � Do : x y y x �xy Lưu ý: Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa Hết https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm 93 “Tập 20 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Tốn lớp (có đáp án chi tiết)” ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MƠN: TỐN - LỚP Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ SỐ: 20 ĐỀ BÀI Bài 1: (6 điểm) 1) Cho biểu thức: K = 3x x x 1 x 2 x x 3 x 1 x x �0; x �1 a/ Rút Gọn K b/ Tính giá trị biểu thức K x = 24+ 29 12 2) Chứng minh số A= n +3n – n - chia hết cho 48 với n lẻ Bài 2: (4đ) a) Giải phương trình x 3x x x x 2x b) Cho a, b, c số đôi khác thoả mãn: a b c + + =0 b-c c-a a-b a b c Chứng minh rằng: (b - c)2 + (c - a) + (a - b) = Bài (3đ) a)) Cho x, y, z số thực dương thoả mãn x2 + y2 + z2 = Chứng minh: 2 x + y3 + z3 + + � + x + y2 y2 + z2 z + x 2 xyz b) Tìm nghiệm nguyên phương trình x 25 y ( y 6) Bài (6 điểm) Cho điểm M nằm nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R (M không trùng với A B) Trên nửa mặt phẳng chứa nửa đường tròn có bờ đường thẳng AB, kẻ tia Ax vng góc với AB Đường thẳng BM cắt Ax I; tia phân giác góc IAM cắt nửa đường tròn tâm O E, cắt IB F; đường thẳng BE cắt AI H, cắt AM K a) Chứng minh : điểm F, E, K, M nằm đường tròn b) Tứ giác AHFK hình ?Vì ? c) Chứng minh đường thẳng HF tiếp xúc với đường tròn cố định điểm M di chuyển nửa đường tròn tâm O Bài 5:( điểm ) Tìm số n nguyên dương thoả mãn: + =6 Hết - https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm 94 “Tập 20 đề thi học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn lớp (có đáp án chi tiết)” HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN - LỚP ĐỀ SỐ: 20 Bài Ý 1.(4đ) a)(2đ) NỘI DUNG CẦN ĐẠT a, Với x , x≠ ta có: = Bài (6đ) 3x x x 1 x 2 x x 3 x 1 x K= 3x x = b)(2đ) x 2 x 1 x 1 x3 x 2 x 2 = x 2 = x 2 x 1 x 2 x 2 ĐIỂM 0,5 0,5 x 1 x 1 x 1 0,5 0,5 x 1 x 1 b,Ta có : x = 24+ = 24+ = 24+ = 24+ = 25 Thay x = 25 vào A ta có: K= = = 0,5 0,5 0,5 0,5 2)(2đ) Ta có A = n +3n - n-3 = (n-1)(n+1)(n+3) Với n =2k+1 A=8k(k+1)(k+2) A (1) Vì k(k+1)(k+2) ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho A (2) Từ (1) (2) A 48 0,5 0,5 0,5 0,5 https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm 95 “Tập 20 đề thi học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn lớp (có đáp án chi tiết)” a,(2đ) a, x 3x x x x 2x (1) x 3x 0 x 2 ĐK: x 0 x 2x 0 Bài (4đ) (1) + = + x a 0 Đặt: x b 0 x c 0 a.b + c = b + a.c (1) 0,25 0,5 0,25 0,5 a(b - c) - (b - c) = (a - 1)(b - c) = a 1 b c Với a = Với b = c nghiệm x 1 x - = x = (thoả mãn đk) x x x - = x + 0x = vơ Vậy phương trình (1) có nghiệm x = b(2đ) 0,5 b) Từ giả thiết ta có: a b c ab - b - ac + c = = b-c a-c a-b a - b a - c Nhân vế đẳng thức với b - c ta có: b-c ab - b - ac + c2 = a - b a - c b - c a 0,5 0,5 Vai trò a, b, c nhau, thực hoán vị vòng quanh a, b, c ta có: b c - a = c a - b cb - c - ab + a a - b a - c b - c , = 0,5 ac - a - bc + b a - b a - c b - c Cộng vế với vế đẳng thức trên, ta có a b c + + =0 2 (b - c) (c - a) (a - b) https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm 0,5 96 “Tập 20 đề thi học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn lớp (có đáp án chi tiết)” a) Vì x2 + y2 + z2 = nên: a(1,5đ) 2 x + y2 + z2 x + y2 + z2 x + y2 + z2 + + = + + x + y2 y + z2 z + x2 x + y2 y2 + z2 z2 + x z2 x2 y2 + + +3 = x + y2 y2 + z2 x + z2 0,5 z2 z2 2 Ta có x + y ≥ 2xy , x + y2 2xy x2 x2 y2 y2 Tương tự 2 � , 2 � y +z 2yz x + z 2xz 0,5 2 z x z2 x2 y y2 Vậy 2 + 2 + 2 + � + + +3 x +y y +z 2xy 2yz x +z 2xz 2 x + y3 + z 0,5 � + + � + , đpcm 2 2 x +y y +z z +x 2xyz b) Từ x 25 y ( y 6) Ta có : (y+3+x)(y+3-x) = - 16 0,5 Khi ta thấy: ( y+3+x)+(y+3-x) = 2(y+3) số chẵn Suy số ( y+3+x ) (y+3-x) tính chẵn lẻ Ta lại có tích chúng số chẵn, số ( y+3+x ) (y+3-x) số chẵn Ta có cách phân tích -16 tích số chẵn sau đây: - 16 = (-2) = (-4) = (-8) 0,5 Ta có bảng giá trị sau: y+3+x y+3-x x y -2 -2 -5 -8 -6 -8 -5 -6 Vì phương trình cho có nghiệm: (x,y) = �5, ; �5, 6 ; �4, 3 https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm -4 -3 -4 -4 -3 0,5 97 “Tập 20 đề thi học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn lớp (có đáp án chi tiết)” Bài (3đ) a(2đ) a) Các tam giác AEB, AMB vng ( AB đường kính) suy � KMF � 900 BEF Gọi C trung điểm KF ta có EC CM KF b(2đ) 0,5 0,5 hay EC CM CK CF Suy điểm F, E, K, M nằm đường tròn tâm C 0,5 b) Ta có AE vừa đường cao vừa phân giác tam giác AHK nên AH=AK HE=EK 0,5 0,5 EC đường trung bình tam giác HKF nên EC HF, mà c(2đ) Bài (6đ) EC= KF nên HF=KF 0,5 K trực tâm tam giác FAB nên FK AB , mà AH AB � EAH � AH//KF suy KFE KEF HEA suy AH = KF Do AH = AK = KF = EH AF HK nên tứ giác AHFK hình thoi 0,5 0,5 c) Vì AHFK hình thoi suy HF//AM, mà AM BF nên HF BF (1) Mặt khác HK trung trực AF hay BH trung trực AF nên BF=AB=2R (2) Từ (1) (2) suy HF tiếp tuyến đường tròn (B; 2R) cố định https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm 0,5 0,5 0,5 0,5 98 “Tập 20 đề thi học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn lớp (có đáp án chi tiết)” Bài (1đ) Do 3+2 >0, - > nên bậc hai có nghĩa Ta thấy : = Đặt = a = Phương trình cho tương đương với: a + =6 a2- 6a +1=0 có nghiệm a = 3-2; a = 3+2 +Với a = 3- = -2 = = (3 +2)-1 = (3 2) 2 n = -2 (loại ) + Với a = 3+2 = 3+2 = (3 2 ) n=2 Vậy pt có nghiệm nguyên dương n = 0,25 0,25 0,25 0,25 Lưu ý: Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa Hết - https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm 99 ... Tập 20 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Tốn lớp (có đáp án chi tiết) HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ SỐ: 01 ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MÔN: TỐN - LỚP Nguồn: Đề thi HSG Tốn –H Thi u Hóa, ngày 24/10 /201 7-Năm học. .. https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408 296 -loc-tin-tai.htm ĐỀ SỐ: 06 29 Tập 20 đề thi học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn lớp (có đáp án chi tiết) ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MƠN: TỐN - LỚP Nguồn: Đề thi HSG Toán –H Bình Giang - Năm học 201 2 - 201 3 Câu Phần... https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408 296 -loc-tin-tai.htm Tập 20 đề thi học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn lớp (có đáp án chi tiết) ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỀ SỐ: 03 MƠN: TỐN - LỚP Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Nguồn: Đề thi