Phương pháp giải tốn Hình học CHƯƠNG I: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG I MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH · Định lí Pi-ta-go: BC = AB2 + AC 2 · AB = BC.BH ; AC = BC.CH · AH = BH CH · AB.AC = BC.AH · AH = AB + AC Cho tam giác ABC vuông A có AB = 3cm, BC = 5cm AH đường cao Tính BH, CH, AC AH HD: BH = 1,8cm, CH = 3,2cm, AC = 4cm, AH = 2,4cm Cho tam giác ABC vng A có AC = 10cm, AB = 8cm AH đường cao Tính BC, BH, CH, AH HD: BC=2; BH=32/41 ; CH=50/41; AH=40/41 Cho tam giác ABC vng A có BC = 12cm Tính chiều dài hai cạnh góc vng biết AB = HD: AC AB = 36 13 24 13 (cm) AC = (cm) 13 13 , Cho tam giác ABC vuông A có đường cao AH Biết BH = 10cm, CH = 42 cm Tính BC, AH, AB AC HD: BC = 52cm, AH = 105cm, AB = 130 cm, AC = 546 cm Hình thang cân ABCD có đáy lớn AB = 30cm, đáy nhỏ CD = 10cm góc A 60 a) Tính cạnh BC b) Gọi M, N trung điểm AB CD Tính MN HD: a, Gọi P Q chân đường cao kẻ từ D C xuống AB: AP=QB mà PQ=DC=10cm nên AP=QB=(30-10):2=10cm b, NM=DP=AP.=10cm GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122 Dạy trước chương trình cho học sinh du học Nhận dạy kèm học sinh L6-L12 Phương pháp giải tốn Hình học 0 Cho tứ giác lồi ABCD có AB = AC = AD = 10cm, góc B 60 góc A 90 a) Tính đường chéo BD b) Tính khoảng cách BH DK từ B D đến AC d) Vẽ BE ⊥ DC kéo dài Tính BE, CE DC c)Tính HK HD: a, BD2=AB2+AD2 => BD=10cm b, ABC (AB=AC mà ) nên BH=5cm, ADK có nên KD=1/2AD=5cm, c, ABH có nên AH=1/2AB=5cm, mà AK2=AD2-DK2=75 nên AK=5cm suy HK=5-5 cm d, ADC cân có nên => nên BEC vuông cân E nên BE=EC mà BE2+EC2=BC2 => BE=EC=5cm Trong KDC có KD=5cm, KC=AC-AK=10-5 cm Dùng pytago tính DC Cho đoạn thẳng AB = 2a Từ trung điểm O AB vẽ tia Ox ⊥ AB Trên Ox, lấy điểm D OD = a Từ B kẻ BC vng góc với đường thẳng AD cho a) Tính AD, AC BC theo a b) Kéo dài DO đoạn OE = a Chứng minh bốn điểm A, B, C E nằm đường tròn HD: a, AD= DADO DABC nên AD.AC=AB.AO => AC= Dùng pytago cho tam giác ABC để tính BC= b, Chỉ OA=OB=OC=OE Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao BD CE cắt H Trên HB HC lấy điểm M, N cho góc AMC= góc ANB=900 Chứng minh: AM = AN 2 HD: DABD DACE Þ AM = AC.AD = AB.AE = AN AB 20 = Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Biết AC 21 AH = 420 Tính chu vi tam giác ABC HD: P = 2030 Đặt AB = 20k, AC = 21k ⇒ BC = 29k Từ AH.BC = AB.AC Þ k = 29 HD: ABC GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122 Dạy trước chương trình cho học sinh du học Nhận dạy kèm học sinh L6-L12 Phương pháp giải tốn Hình học 10 Cho hình thang ABCD vng góc A D Hai đường chéo vng góc với O Biết AB = 13,OA = , tính diện tích hình thang ABCD Tính được: OB = 4, OD = 9, OC = 13,5 HD: S = 126,75 II TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GĨC NHỌN Định nghĩa: Cho tam giác vng có góc nhọn a sina = cạnh đố i cạnh kề cạnh đố i cosa = tana = cạnh huyề n; cạnh huyề n; cạnh kề; cota = cạnh kề cạnh đố i Chú ý: · Cho góc nhọn a Ta có: < sinα < 1; < cosα < · Cho góc nhọn a, b Nếu sina = sin b (hoặc cosα = cosβ , tana = tan b , cota = cot b ) a = b Tỉ số lượng giác hai góc phụ nhau: Nếu hai góc phụ sin góc cơsin góc kia, tang góc cotang góc Sin (900-a) = cosa tan(900-a)=cotana cos(900-a)=sina cotan(900-a)=tana Ví dụ: sin 250=cos650; tan200=cotan700… Tỉ số lượng giác góc đặc biệt: a 300 450 600 sina 2 cosα 2 2 tana 3 cota 3 Tỉ số LG Một số hệ thức lượng giác tanα = sinα cosα ; sin α + cos α = 1; cotα = cosα sinα ; 1+ tan2 α = GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122 Dạy trước chương trình cho học sinh du học tana cota = 1; cos α ; 1+ cot2 a = sin2 a Nhận dạy kèm học sinh L6-L12 Phương pháp giải toán Hình học Cơng thức tính diện tích tam giác: = P.r = R: Bán kính đường tròn ngoại tiếp, r: Bán kính đường tròn nội tiếp ( Diện tích tam giác nửa tích hai cạnh kề với sin góc xen hai cạnh đó) Trong tam giác bất kì: Với a cạnh đối diện góc A, b cạnh đối diện góc B, c cạnh đối diện góc C BÀI TẬP: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Biết BH = 64cm CH = 81cm Tính cạnh góc tam giác ABC HD: AB2=BH.BC nên AB=96,3cm; AC2=HC.BC nên AC=108,4cm CosC= nên Cho tam giác ABC vuông A Tìm tỉ số lượng giác góc B khi: = 5cm, AB = 3cm b) BC = 13 cm, AC = 12 cm c) AC= 4cm, AB=3cm a) BC HD: a) sin B = 0,8 ; cosB = 0,6 Cho tam giác ABC vng A, có AB = 10cm AC = 15cm Tính góc B b) Phân giác góc B cắt AC I Tính AI a) c) Vẽ AH ⊥ BI H Tính AH HD: a, tanB= nên b, tan nên AI=AB tan=10.tan280 =5,3cm c, sin nên AH=AB.sin = 10.sin280 =4,7cm Tính giá trị biểu thức sau: a) cos2150 + cos2 250 + cos2 350 + cos2 450 + cos2 550 + cos2 650 + cos2 750 b) sin2100 − sin2 200 + sin2 300 − sin2 400 − sin2 500 − sin2 700 + sin2 800 sin150 + sin750 − cos150 − cos750 + sin300 2 2 e) cos 20 + cos 40 + cos 50 + cos 70 c) 0 0 d) sin35 + sin67 − cos23 − cos55 0 0 f) sin20 − tan40 + cot50 − cos70 HD: Dùng công thức: sin(900-a)=cosa; tan(900-a)=cota a)( 3,5 b) − c) 0,5 d) e) f) Cho biết tỉ số lượng giác góc nhọn a, tính tỉ số lượng giác lại a: a) sina = 0,8 b) cosα = 0,6 c) tana = GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122 Dạy trước chương trình cho học sinh du học d) cota = Nhận dạy kèm học sinh L6-L12 Phương pháp giải tốn Hình học HD: Dùng công thức mục ( số hệ thức lượng ) để tính Chú ý góc a nhọn sina >0; cosa >0 a) cosα = 0,6 b) sina = 0,8 a Cho góc nhọn a Biết cosα − sinα = Tính cota b Cho tana=2 Tính A=(sina-3cosa)/(3sina+7cosa) HD: a, cosa- sina= (1) nên (cosa -sina )2= hay cos2a + sin2a -2cosa.sina = hay sina.cosa = Ta có: (cosa + sina )2= cos2a + sin2a + 2cosa.sina= nên cosa+sina= (2)Từ (1)(2) tính cosa sina, từ tính cota (HD: cota = 3) b, Chia tử số mẫu số cho cosa ta được: A= Cho tam giác ABC vuông C Biết HD: tan B = cos A = 13 Tính tanB 12 Rút gọn biểu thức sau: (1− cosα )(1+ cosα ) a) 2 b) 1+ sin α + cos α sin4 α + cos4 α + 2sin2 α cos2α c) sinα − sinα cos α 2 e) tan α − sin a tan α d) 2 f) cos α + tan α cos α HD: a) sin a b) c) sin a d) e) sin a f) Chứng minh hệ thức sau: cosα 1+ sinα = 1− sinα cosα a) (sinα + cosα )2 − (sinα − cosα )2 =4 sinα cosα b) HD: a, Biến đổi tương đương hai vế b, Biến đổi vế trái 10 Cho tam giác nhọn ABC Gọi a, b, c độ dài cạnh đối diện với đỉnh A, B, C a) a b c = = Chứng minh: sin A sin B sinC b) Có thể xảy đẳng thức sin A = sin B + sinC không? c) Chứng minh: ( Diện tích tam giác nửa tích hai cạnh kề với sin góc xen hai cạnh đó) GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122 Dạy trước chương trình cho học sinh du học Nhận dạy kèm học sinh L6-L12 Phương pháp giải tốn Hình học HD: a) Vẽ đường cao AH Xét AHB AHC có: nên hay Tương tự ta chứng minh : b) khơng Vì (tính chất dãy tỉ số nhau) Nếu a=b+c: Vơ lí c) mà Suy ra: Các công thức khác chứng minh tương tự III MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VNG Cho tam giác ABC vng A có BC = a, AC = b, AB = c b = a.sin B = a.cosC ; c = a.sinC = a.cosB b = c.tanB = c.cotC ; c = b.tanC = b.cot B BÀI TẬP: Giải tam giác vng ABC, biết góc A=900 và: a) a = 15cm; b = 10cm HD: a)B=420, C=480, c=11,18cm b) b = 12cm; c = 7cm b) B=600, C=300, a=14cm Cho tam giác ABC có góc B=600, C=500, AC=35cm Tính diện tích tam giác ABC HD: S ≈ 509cm Vẽ đường cao AH Tính AH, HB, HC Cho tứ giác ABCD có góc A=D=900, C=400, AB=4cm, AD=3cm Tính diện tích tứ giác HD: S = 17cm Vẽ BH ^ CD Tính DH, BH, CH Cho tứ giác ABCD có đường chéo cắt O Cho biết AC = 4cm, BD = 5cm, góc AOB =500 Tính diện tích tứ giác ABCD 0 HD: S ≈ 8cm Vẽ AH ^ BD, CK ^ BD Chú ý: AH = OA.sin50 ,CK = OC.sin50 Chứng minh rằng: a) Diện tích tam giác nửa tích hai cạnh nhân với sin góc nhọn tạo đường thẳng chứa hai cạnh b) Diện tích hình bình hành tích hai cạnh kề nhân với sin góc nhọn tạo đường thẳng chứa hai cạnh HD: a) Gọi a góc nhọn tạo hai đường thẳng AB, AC Vẽ đường cao CH CH = AC.sina GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122 Dạy trước chương trình cho học sinh du học Nhận dạy kèm học sinh L6-L12 Phương pháp giải tốn Hình học BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG I Cho tam giác ABC có AB = 21m, AC = 28m, BC = 35m a) Chứng minh tam giác ABC vuông b) Tính sin B,sinC HD: a, Dùng Pytago b, Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH, đường phân giác AD Cho biết HB = 112, HC = 63 a) Tính độ dài AH b) Tính độ dài AD HD: a) AH = 84 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Biết AH = 5, CH = Tính AB, AC, BC, BH b) Tính diện tích tam giác ABC HD: a) b) AD = 60 AB = a) 25 305 61 BH = S= , AC = 61 , b) 12 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Biết AH = 16, BH = 25 a) Tính AB, AC, BC, CH b) Tính diện tích tam giác ABC HD: a, Áp dụng định lí Pytago cho tam giác vng AHB để tính AB Dùng cơng thức: AB2=BH.BC để tính BC suy HC AH.BC=AC.AB để tính AC b, Cho hình thang ABCD có góc A=D=900 hai đường chéo vng góc với O a) Chứng minh hình thang có chiều cao trung bình nhân hai đáy b) Cho AB = 9, CD = 16 Tính diện tích hình thang ABCD c) Tính độ dài đoạn thẳng OA, OB, OC, OD HD: a) Vẽ AE // BD Þ AB = ED AE ^ AC b) S = 150 c) OA = 7,2; OB = 5,4; OC = 12,8; OD = 9,6 Tính diện tích hình thang ABCD (AB // CD), biết AB = 10, CD = 27, AC = 12, BD = 35 2 HD: S = 210 Vẽ BE // AC (E ẻ CD) ị DE = BD + BE Cho biết chu vi tam giác 120cm Độ dài cạnh tỉ lệ với 8, 15, 17 Chứng minh tam giác tam giác vng Tính khoảng cách từ giao điểm ba đường phân giác đến cạnh a) b) HD: a) Tính AB = 24cm, AC = 45cm, BC = 51cm Þ DABC vng A b) Gọi O giao điểm ba đường phân giác Với ; ; ; ta r=9cm GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122 Dạy trước chương trình cho học sinh du học SABC = SOBC + SOCA + SOAB Nhận dạy kèm học sinh L6-L12 Phương pháp giải tốn Hình học Cho tam giác ABC cân A, đường cao AH Biết góc A=480, AH=13cm Tinh chu vi DABC HD: BC ≈ 11,6cm; AB = AC ≈ 14,2cm Cho ∆ ABC vuông A, AB = a, AC = 3a Trên cạnh AC lấy điểm D, E cho AD = DE = EC a) DE DB = Chứng minh DB DC b) Chứng minh ∆BDE đồng dạng ∆ CDB c) Tính tổng góc (AEB+BCD) 2 HD: a) DB = 2a = DE.DC c) Góc(AEB+BCD)=ADB=450 10 Cho hình thang ABCD có hai cạnh bên AD BC nhau, đường chéo AC vng góc với cạnh bên BC Biết AD = 5a, AC = 12a a) sinB + cosB Tính sin B − cosB b) Tính diện tích hình thang ABCD 17 HD: a) b) TH1: ABCD hình thang cân, kẻ CH DM vng góc với AB, - Tính CH suy HB, mà AM=HB nên DC=HM => SABCD TH2: Nếu ABCD hình bình hành SABCD=2SABC=AC.CB 11 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi D điểm đối xứng với A qua điểm B Trên tia đối tia HA lấy điểm E cho HE = 2HA Gọi I hình chiếu D HE a) Tính AB, AC, HC, biết AH = 4cm, HB = 3cm b) Tính HD: a) AB = 5cm, d)góc =900 12 d) Chứng minh: DE ⊥ EC c) Chứng minh AC = 20 16 cm HC = cm 3 , b) =3/2 Cho tam giác ABC vuông A (AB < AC), đường cao AH Đặt BC = a, CA = b, AB = c, AH = h Chứng minh tam giác có cạnh a − h; b − c; h tam giác vuông 2 HD: Chứng minh (b − c) + h = (a − h) 13 Cho tam giác nhọn ABC, diện tích Vẽ ba đường cao AD, BE, CF Chứng minh rằng: a) SAEF + SBFD + SCDE = cos2 A + cos2 B + cos2 C GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122 Dạy trước chương trình cho học sinh du học b) SDEF = sin2 A − cos2 B − cos2 C Nhận dạy kèm học sinh L6-L12 Phương pháp giải tốn Hình học HD: a) Chứng minh 14 Cho ∆ ABC vng A có cosB = HD: 15 SAEF = cos2 A SABC sinC = b) SDEF = SABC − ( SAEF + SBFD + SCDE ) 4cosB Tính tỉ số lượng giác góc B C 3 sinB = sinC = cosC = 2; ; 2; Cho tam giác ABC có ba đường cao AM, BN, CL Chứng minh: a) b) AN.BL CM = AB.BC.CA.cos A.cosB.cosC DANL ∽DABC HD: a, Xét ALC ANB có nên ALC ANB (g.g) nên Xét ANL ABC có ; nên ANL ABC (c.g.c) b, AN=AB.cosA; BL=BC.cosB; CM=AC.cosC 16 Cho tam giác ABC vng A có , BC = 4cm cao AH, đường trung tuyến AM Tính , AH, AM, HM, HC rằng: cos150 = a) Kẻ đường b) Chứng minh 6+ HD: a) ; AH = 1cm; AM = 2cm; HM = 3cm; HC = + 3(cm) b) 17 cos150 = cosC = CH AC Cho tam giác ABC cân A, Có , BC = 1cm Kẻ phân giác CD Gọi H hình chiếu vng góc D AC a) Tính AD, b) Kẻ CK ⊥ BD Giải tam giác BKC DC cos360 = c) Chứng minh 1+ HD: a, BCD cân C, CDA cân A ( Hai góc đáy nhau) Nên DC=DA=BC=1cm b, BKC có: nên CK=BC.sinB=1.sin720 Nên BK=BC.cosB=1.cos720 c, cos360=cosA= ; đặt AB=AC=2x, suy DB=AB-AD=2x-1, theo tính chất phân giác ta có: suy Tìm x= ( x>0) hay AH= Thay AD,AH vào cos360=cosA= => đpcm GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122 Dạy trước chương trình cho học sinh du học Nhận dạy kèm học sinh L6-L12 Phương pháp giải tốn Hình học 18 Cho tam giác ABC có AB = 1, , Trên cạnh BC lấy điểm E cho BE = Vẽ ED // AB (D thuộc AC) Đường thẳng qua A vng góc với AC cắt BC F Gọi H hình chiếu A cạnh BC a) Chứng minh tam giác ABE Tính AH b) Chứng minh góc =450 c) Tính tỉ số lượng giác góc AED góc AEF d) Chứng minh ∆ AED = ∆ AEF Từ suy AD = AF e) Chứng minh rằng: HD: a, BEA có AB=BE=1cm nên BEA AH=AB.cosB=1.cos600= b, Vì mà nên c, Ta có: , từ tính sin600, cos600… d, AED AEF có: AE chung, ; nên AED = AEF ( g.c.g) AD=AF ( hai cạnh tương ứng) e, Ta có: 19 Giải tam giác ABC, biết: a) b) c) Trung tuyến ứng với cạnh huyền d) Trung tuyến ứng với cạnh huyền ma = ma = , đường cao AH = , góc nhọn 47 HD: a, ; AB=BC.cosB=10.cos750=2,59cm; AC=9,66cm b, ; Kẻ AH vng góc BC BH=HC Ta có: BH=AB.cosB=6.cos300= cm nên BC= cm c, BC==2ma=10 cm ( tính chất trung tuyến tam giác vuông) AM=BM=5cm mà AH=4cm nên HM=3cm ( dùng Pytago) hay BH=2cm Mà BH2+AH2=AB2 Từ tính AB AC ( Dùng Pytago) d, nên ; BC=2ma=10 cm ( tính chất trung tuyến tam giác vng) AB=BC.cosB=10.cos470=6,8cm; AC= 7,33cm 20 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH, AB = 3cm, BC = 6cm Gọi E, F hình chiếu H cạnh AB AC a) Giải tam giác vuông ABC b) Tính độ dài AH chứng minh: EF = AH c) Tính: EA.EB + AF.FC GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122 Dạy trước chương trình cho học sinh du học Nhận dạy kèm học sinh L6-L12 Phương pháp giải tốn Hình học HD : Bài 55 Cho ∆ ABC nội tiếp (O) với góc A AM2 = AE AC c)AE AC – AI IB = AI2 d) Hãy tìm vị trí điểm C cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME nhỏ HD : GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122 Dạy trước chương trình cho học sinh du học Nhận dạy kèm học sinh L6-L12 Phương pháp giải tốn Hình học Bài 85 Cho (O) điểm A nằm (O) Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC cát tuyến AMN với (O) (B, C, M, N thuộc (O); AM