Cấp số cộng cấp số nhân Câu 1:( Chuyên Vĩnh Phúc-Lần 3) Cho cấp số nhân q=− 1 Hỏi số hạng thứ 10 102017 ( un ) có u1 = −1 , cơng bội (un ) ? A Số hạng thứ 2018 B Số hạng thứ 2017 C Số hạng thứ 2019 D Số hạng thứ 2016 Đáp án A  1 Gọi u n = 2017 = ( −1)  −  10  10  n −1 ( −1) = n 10n −1  n − = 2017  n = 2018 Câu 2:( Chuyên Vĩnh Phúc-Lần 3) Cho cấp số cộng ( un ) có u = −12, u14 = 18 Tính tổng 16 số hạng cấp số cộng A S16 = −24 B S16 = 26 C S16 = −25 D S16 = 24 Đáp án D 16 ( −42 + 15.3) u = u1 + 3d = −12 u1 = −21 Ta có    S16 = = 24 u14 = u1 + 13d = 18 d = Câu 3: ( Chuyên Vĩnh Phúc-Lần 3) Cho cấp số cộng ( un ) biết u = 18 4Sn = S2n Tìm số hạng u1 công sai d cấp số cộng A u1 = 2, d = B u1 = 2, d = C u1 = 2, d = D u1 = 3, d = Đáp án A Giả sử u n = u1 + ( n −1) d  u5 = u1 + 4d = 18 (1) n  2u1 + ( n − 1) d  2n 2u1 + ( 2n − 1) d  Ta có: Sn =  ;S2n =  2 Do S2n = 4Sn  2n  2u1 + ( 2n − 1) d  = 4n 2u1 + ( n − 1) d   2u1 + ( 2n − 1) d = 4u1 + ( 2n − ) d  2u1 = d ( 2) Từ (1) (2) suy u1 = 2, d = Câu 4:(Chuyên Hạ Long-Quảng Ninh-1-2018 ) Dãy số sau giảm? A u n = n −5 (n  4n + * ) C u n = 2n + ( n  B u n = * ) D u n = cos ( 2n + 1) ( n  * − 3n (n  2n + * ) ) Đáp án B Câu 5: (Chuyên Thái Nguyên Lần 1)Trong dãy số un cho đây, dãy số có giới hạn khác 1? A un = n ( n − 2018 ) ( n − 2018) 2017 B un = 2018 −1 n ( n + 2020 − 4n + 2017 ) u1 = 2018  D  un+1 = ( un + 1) , n    1 C un = + + + 1.3 3.5 ( 2n + 1)( 2n + 3) Đáp án C 2017  2018  2017 1 − 2017  n ( n − 2018 ) n  = lim  =1 Ta có + lim 2018 2018 n ( 2017 )  2017  1 − 2018  n    −1  − 3n2  −1  + lim  n2 + 2020 − 4n2 + 2017  = lim   =1 n  n2 + 2020 + 4n2 + 2017  n  ) ( +un = 1 1 1 1  n +1 n +1 + + + = 1 − + − + −  lim = = 1.3 3.5 2n + ( 2n + 1)( 2n + 3)  3 2n + 2n +  2n + u1 = 2018  +  2un +1 − = un −  ( un +1 − 1) = un − 1 u = u + , n  ( ) n + n  v Đặt +1 = un +1 −  2vn +1 =  +1 = n ; v1 = 2017  cấp số nhân với v1 = 2017 n −1 n −1  1 1  = 2017    un = 2017   +  lim un =  2 2 q = Câu 6: (Chuyên Khoa Học Tự Nhiên) Cho cấp số cộng ( u n ) biết u = u = Gía trị u15 A 27 Đáp án B 31 C 35 D 29 u = u1 + 3d = d = Ta có    u15 = u1 + 14d = 29 u1 = u = u1 + d = Câu 7: (Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ)Trong phát biểu sau, phát biểu sai? A Dãy số có tất số hạng cấp số nhân B Dãy số có tất số hạng cấp số cộng C Một cấp số cộng có cơng sai dương dãy số tăng D Một cấp số cộng có cơng sai dương dãy số dương A B C D Đúng Dãy số cấp số nhân với công bội q = Đúng Dãy số cấp số cộng với công sai d = Đúng Vì dãy số cấp số cộng nên: u n +1 − u n = d   u n +1  u n Sai Ví dụ dãy −5; −2;1;3; dãy có d =  dãy số dương Câu 8: (Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ)Cho dãy số (an ) xác định a1 = 5, a n +1 = q.a n + với n  1, q số, a  0, q  Biết công thức số hạng tổng quát dãy số viết dạng a n = .q A 13 Đáp án C B Ta có: an+1 − k = q ( an − k )  k − kq =  k = C 11 n −1 − q n −1 + Tính  + 2 ? 1− q D 16 1− q Đặt = an − k  vn+1 = q.vn = q2 vn−1 = = qnv1   Khi v n = qn−1.v1 = qn−1 ( a1 − k ) = qn−1  −   1− q    − qn−1 n−1  n−1  n−1 = 5q + Vậy an = v n + k = q  −  + k = q  − + 1− q  1− q   1− q  1− q Do dó:  = 5;  =   + 2 = + 2.3 = 11 Cách Theo giả thiết ta có a1 = 5, a = 5q + Áp dụng công thức tổng quát, ta  − q1−1 1−1 a =  q +  =  1− q 5 =   , hay suy ,   −1 5q + =  q +  − q  a = .q 2−1 +  = .q +   1− q   + 2 = + 2.3 = 11 + C2017 + C2017 Câu (Chuyên Thái Bình- 2018)Tổng T = C2017 A 22017 − B 22016 C 22017 D 22016 − Đáp án B  =   = 2017 + + C2017 bằng: Ta có: 2016 2017 (1 − 1) 2017 = C2017 − C2017 + C2017 − + C2017 − C2017 2016 2017 (1 + 1) 2017 = C2017 + C2017 + C2017 + + C2017 + C2017 2017 = 22017 = 2(C2017 + C2017 + + C2017 ) = 22016 = T Câu 10: (Chuyên Bắc Ninh-2018) Trong dãy số sau, dãy số dãy số giảm? 2n + A un = B un = n3 − C un = n D un = 2n n −1 Đáp án A Phương pháp: - Định nghĩa dãy số giảm: Dãy ( un ) gọi dãy số giảm un +1  un ( n  * ) - Có thể giải tốn cách xét hàm số đáp án tập * (Dãy số hàm số) - Hàm số nghịch biến * dãy số dãy số giảm Cách giải: −3  0, n  1, n  * nên dãy ( un ) dãy số giảm Đáp án A: u ' ( n ) = ( n − 1) Đáp án B: u ' ( n ) = 3n2  0, n  * nên dãy ( un ) dãy số tăng Đáp án C: u ' ( n ) = 2n  0, , n  * nên dãy ( un ) dãy số tăng Đáp án D u ' ( n ) =  0, , n  * nên dãy ( un ) dãy số tăng Câu 11: (Chuyên Lam Sơn –Lần 2) Cho un  cấp số cộng có cơng sai d, vn  cấp số nhân có cơng bội q khẳng định II ) = q n v1n  2, n  N I ) un = d + un−1n  2, n  N u +u IV ) −1vn =vn2−1   2, n  N III ) un = n −1 n +1 n  2, n  N Có khẳng định khẳng định trên? A Đáp án B B C D Phương pháp: Dựa vào định nghĩa tính chất số cộng cấp số nhân Cách giải: Khẳng định I) theo định nghĩa Khẳng định II) sai = q n −1v1 n  2, n  Khẳng định III) theo tính chất cấp số cộng Khẳng định IV) sai Ta có: −1vn = v1.q n − v1.q n −1 = v12 q n −3 vn2+1 = v12 ( q n ) = v12 q n  −1vn  vn2+1 Khẳng định V) sai vì: v1 + v2 + + = v1 (1 − q n−1 ) 1− q n ( v1 + ) n ( v1 + v1q = 2  v1 + v2 + +  n −1 ) = v ( n + nq ) n −1 n ( v1 + ) Vậy có hai khẳng định Câu 12: (Viên Khoa Học Thương Mại Quốc Tế) Cho dãy số ( un ) thỏa mãn un+1 = 2un , n  Số hạng tổng quát dãy là:  u1 = B un = 2n −1 A un = 2n Đáp án A C un = 2n D un = 2n +1 Phương pháp: +) Nhận xét dãy số cấp số nhân, tìm số hạng u1 cơng bội q +) Tìm số hạng tổng quát cấp số nhân u1 = u1.q n −1 Cách giải: Dễ thấy dãy số ( u n ) cấp số nhân có số hạng u1 = công bội q = =>Số hạng tổng quát u n = u1.q n −1 = 2.2n −1 = 2n Câu 13: (Chuyên Hùng Vương-Bình Dương.) Một cấp số cộng có số hạng đầu u = 2018 cơng sai d = −5 Hỏi số hạng cấp số cộng nhận giá trị âm A u 406 B u 403 C u 405 D u 404 Đáp án C Số hạng tổng quát là: u n = u1 + ( n −1) d = 2018 + ( n −1)( −5) = −5n + 2023   n  404,6  số hạng thứ 405 nhận giá trị âm Câu 14 (Chuyên Hùng Vương-Bình Dương.) Một cấp số cộng có tổng n số hạng đầu Sn tính theo công thức Sn = 5n + 3n, ( n  * A u1 = −8;d = 10 Đáp án C ) Tìm số hạng đầu u1 cơng sai d cấp số cộng B u1 = −8;d = −10 C u1 = 8;d = 10 D u1 = 8;d = −10 d  = d = 10 n dn  d Ta có: Sn =  2u1 + ( n − 1) d  = +  u1 −  n = 5n + 3n    2  2  u − d =  u1 =  Câu 15: (Chuyên Hùng Vương-Bình Dương.) Chọn phát biểu sai phát biểu sau A Dãy số có tất số hạng cấp số cộng B Một cấp số nhân có công bội q  dãy tăng C Dãy số có tất số hạng cấp số nhân D Một cấp số cộng có cơng sai dương dãy tăng Đáp án B Đáp án B sai u1  chẳng hạn u1 = −1 cấp số nhân dãy số giảm Câu 16: (Chuyên Sư Phạm Hà Nội Lần 2) Cho dãy số ( un ) gồm 89 số hạng thỏa mãn u n = n n  N,1  n  89 Gọi P tích tất 89 số hạng dãy số Giá trị biểu thức log P A 89 B C D 10 Đáp án C Phương pháp : Áp dụng công thức : tan .cot  =  tan  ( tan 90 −  ) = Cách giải : Ta có : P = u1.u u u89  P = tan10.tan 20.tan 30 tan 890  P = ( tan10.tan 890 ) ( tan 20.tan 880 ) ( tan 30.tan 87 ) tan 450  P = ( tan10.cot19 ) ( tan 20.cot ) ( tan 30.cot 30 ) ( tan 440.cot 440 ) tan 450  P = 1.1.1 =  log P = log1 = Câu 17: (Chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi – Lần 1) Cho dãy số ( un ) với u1 = 1 1 Gọi Sn = + +,,, + Tính limSn  u 1u u u u n u n +1 u n +1 = u n + 2, n  1 A limSn = B limSn = C limSn = D limSn = Đáp án Phương pháp: u1 = +) Dãy số ( u n ) :  dãy cấp số cộng, với u1 = công sai d = u n +1 = u n + 2, n  Số hạng tổng quát dãy u n = u n −1 + ( n −1) d, n  +) Dãy số Cách giải ( un ) : u1 = 1 u k +1 − u k  1   = =  −    u k u k +1  u n +1 = u n + 2, n  u k u k +1 u k u k +1 u1 = dãy cấp số cộng, với u1 = công sai d =  u n +1 = u n + 2, n   u n = u1 + ( n − 1) d = + ( n − 1) = 2n − Dãy số ( un ) : 1 1 1  1 1  1 1  1 1  + + + =  −  +  −  + +  − =  −  u 1u u u u n u n +1  u1 u   u u   u n u n +1   u1 u n +1  1  n =  − =  1 + 2n  + 2n Sn = Câu 18 : ( Chuyên Tiền Giang-2018) Cho cấp số cộng ( u n ) có u = −15, u 20 = 60 Tổ ng S20 20 số hạng cấp số cộng A S20 = 600 Đáp án C B S20 = 60 Gọi số hạng đầu công sai CSC C S20 = 250 ( un ) D S20 = 500 u1 , d, ta có u1 + 4d = −15 u1 = −35   d = u1 + 19d = 60 20 Suy S20 = ( −35 + 60 ) = 250 Câu 19: (Cụm trường chuyên)Cho số a, b, c theo thứ tự tạo thành cấp số nhân với công bội khác Biết theo thứtự chúng số thứ nhất, thứ tư thứ tám cấp số cộng cơng sai a s  Tính s 4 A B C D 9 Đáp án D Phương pháp: Sử dụng công thức tổng quát CSC u n = u1 + ( n − 1) d tính chất CSN u n −1u n +1 = u n2 Cách giải: a, b, c số thứ nhất, thứ tư thứ tám cấp số cộng công sai s  b = a + 3s nên ta có  a, b, c theo thứ tự tạo thành cấp số nhân với công bội khác c = a + 7s nên ta có a ac = b  a ( a + 7s ) = ( a + 3s )  a + 7as = a + 6as + 9s  9s = a s  9s = a  = s Câu 20: (Chuyên Chu Văn An-2018)Người ta trồng theo hình tam giác, với quy luật: hàng thứ có cây, hàng thứ hai có cây, ỏ hàng thứ có cây,… hàng thứ n có n Biết người ta trồng hết 4950 Hỏi số hàng trồng theo cách nbao nhiêu? A 101 B 100 C 99 D 98 Đáp án C n ( n + 1) Cách giải: Giả sử trồng n hàng với quy luật số trồng là: n ( n + 1) + + + + n = = 4950  n + n − 9900 =  n = 99 Câu 21: ( Chuyên Trần Phú – Lần 2) Cho cấp số cộng ( u n ) có u 2013 + u = 1000 Phương pháp: Sử dụng tổng + + + + n = Tổng 2018 số hạng cấp số cộng là: A 1009000 B 100900 C 100800 D 1008000 Đáp án A Phương pháp: Sử dụng công thức SHTQ CSC: u n = u1 + ( n − 1) d công thức tổng n số hạng CSC: Sn = n  u1 + u n  n 2u1 + ( n − 1) d  =  Cách giải: u 2013 + u = 1000  u1 + 2012d + u1 + 5d = 1000  2u1 + 2017d = 1000 2018  2u1 + 2017d  2018.1000 = 1009000 2 Câu 22: (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang ) Cho dãy số 4, 12, 36, 108, 324,… Số hạng thứ 10 dãy số A 73872 B 77832 C 72873 D 78732 Đáp án B S2018 = = Dãy số CSN với số hạng đầu công bội 3, suy u10 = 4.39 = 78732 Câu 23: (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang ) Cho dãy số 4, 12, 36, 108, 324,… Số hạng thứ 10 dãy số A 73872 B 77832 C 72873 D 78732 Đáp án B Dãy số CSN với số hạng đầu công bội 3, suy u10 = 4.39 = 78732 ... số có tất số hạng cấp số nhân B Dãy số có tất số hạng cấp số cộng C Một cấp số cộng có cơng sai dương dãy số tăng D Một cấp số cộng có công sai dương dãy số dương A B C D Đúng Dãy số cấp số nhân. .. Nhận xét dãy số cấp số nhân, tìm số hạng u1 cơng bội q +) Tìm số hạng tổng quát cấp số nhân u1 = u1.q n −1 Cách giải: Dễ thấy dãy số ( u n ) cấp số nhân có số hạng u1 = công bội q = = >Số hạng tổng... =  Câu 15: (Chuyên Hùng Vương-Bình Dương.) Chọn phát biểu sai phát biểu sau A Dãy số có tất số hạng cấp số cộng B Một cấp số nhân có cơng bội q  dãy tăng C Dãy số có tất số hạng cấp số nhân