Câu 1: (GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d mặt phẳng ( P ) có phương trình: d : x − 12 y − z − = = ; ( P ) : 3x + 5y − z − = Tìm tọa độ giao điểm A ( 0;0;1) B ( 0;0;2 ) C ( 0;0; −2) D (1; 2; −2 ) Đáp án C Giả sử d (P) cắt A ( x ; y0 ;z0 ) ta có : 3x + 5y − z − =   x − 12 y − z −  A ( 0;0; −2 )  = =  Vậy d cắt (P) tọa độ giao điểm A ( 0;0; −2 ) Câu 2: (GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( P ) : y + 2z = ; điểm A (1;2;3) , B ( −1;1;1) Tìm tổng tọa độ điểm M ( P ) cho chu vi tam giác MAB đạt giá trị bé A −14 55 B C −1 D −17 Đáp án A Ta có: CMAB = MA + MB + AB ( AB = const ) C MAB Min  ( MA + MB )Min Điều xảy M giao điểm A B với (P) (Với A’ điểm đối xứng A qua (P)) 17   Dựa vào yếu tố vng góc trung điểm ta tính A   1; − ; −  5  11 22   A B =  −2; ;  5    x = −1 − 10t ( −10;11; 22 )  ( AB) :  y = + 11t z = + 22t   −5  Từ ta tìm giao điểm: M = A B  ( P )  M  ; ; −   11 5  Câu 3: (GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Một cặp véc tơ phương phương trình đường ( d2 ) : phân giác tạo đường thẳng sau ( d1 ) : x −1 y z − = = −1 x −1 y z − = = −2 A (1;5;0) ; ( 5; −1; −2) B ( −1;5;0) ; ( 5;1;5) C ( −1;5;0 ) ; ( 5;1;2 ) D (1;5;0) ; ( −5;1; −5) Đáp án A Ta có d1  d2 = A (1;0;2 ) Gọi vectơ đơn vị d1 d e1 e ta có: e1 = u d1 u d1 ;e2 = u d2 u d2 −1     −2  e1 =  ; ; ; ;  ;e2 =   Hai vectơ  14 14 14   14 14 14     ; ;0  (1;5;0 ) u d1 = e1 + e =    14 14  phương đường phân giác  u = e − e =  ; −1 ; −2  ( 5; −1; −2 )    d2  14 14 14   Câu 4: (GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A (1;0;0) , B ( 0;0;1) C ( 2;1;1) Tìm tổng tọa độ trực tâm H tam giác ABC A B C D Khơng có điểm H Đáp án A - Cách 1: Giả sử H ( x; y;z ) trực tâm tam giác ABC, ta có điều kiện sau: AH.BC = AH ⊥ BC    BH ⊥ AC   BH.AC = H  ABC ( ) AB, AC AH =    Tọa độ điểm H thỏa mãn hệ điều kiện Do nhận xét AB.AC =  AB ⊥ AC nên ta tìm cách giải độc đáo sau: - Cách 2: Vì tam giác ABC vng A nên trực tâm H tam giác ABC trùng với điểm A - Lời giải chi tiết cho cách 2: AB = ( −1;0;1) ; AC = (1;1;1) , nhìn nhanh thấy AB.AC =  AB ⊥ AC nên tam giác ABC vuông A A trực tâm - Lời giải chi tiết cho cách 1: Ta có AB = ( −1;0;1) ; AC = (1;1;1)  AB, AC = ( −1; 2; −1) Nên phương trình mặt phẳng (ABC) là: − ( x − 1) + 2y − z =  x − 2y + z − = Gọi H ( x; y;z ) trực tâm tam giác ABC, ta có HC = ( − x;1 − y;1 − z ) , HC ⊥ AB  HC.AB =  − ( − x ) + (1 − z ) = (1) HB = ( −x; − y;1 − z ) , HB ⊥ AC  HB.AC =  −x − y − z + = ( ) Và H  ( ABC) nên x − 2y + z − = ( 3) Từ (1);(2); (3) ta có x = 1; y = 0; z = Vậy H (1;0;0 ) trùng với A Câu 5(GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d: x −1 y z +1 = = điểm A (1; −4;1) Phương trình mặt cầu có tâm A tiếp xúc với −1 đường thẳng d có bán kính là: A B 12 C 14 D 14 Đáp án C - Gọi H hình chiếu A lên D Vì H  ( d ) → H (1 + 2t; t; −1 − t ) → AH = ( 2t; t + 4; −2 − t ) - Gọi u = ( 2;1; −1) VTCP D Vì AH ⊥ d nên AH.u =  2t.2 + ( t + ) − ( −2 − t ) =  t = −1 → H ( −1; −1;0 ) - Gọi R bán kính mặt cầu cần tìm Do mặt cầu tiếp xúc với d nên R = d ( A,d ) = AH; AH = ( −2;3; −1) → R = AH = 14 Câu 6(GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A ( 0;1;0 ) , B ( 2; −1;2 ) Phương trình mặt phẳng ( P ) qua điểm A, B cắt tia Ox, Oz M N cho diện tích tam giác AMN nhỏ Điểm sau thuộc mặt phẳng ( P ) A (1;3;2) B (1;3; −2) C ( 2;3; −2 ) D ( 2;3; −6 ) Đáp án C Giả sử M ( m;0;0) , N ( 0;0;n ) M,N thuộc tia Ox, Oz nên m,n >0 Mặt phẳng (P) qua A,M,N có phương trình ( P ) : x z + y + = m n Vì B ( 2; −1; )  ( P )  2 − + =  m + n = mn m n Ta có AM = ( m; −1;0 ) , AN = ( 0; −1; n )  AM, AN  = ( −n; −mn; −m ) m2 + n + m2 n  AM, AN  =  2 Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có Suy SAMN = mn = m + n  mn  m2 n2  4mn  mn  Do m2 + n + m2 n  2mn + m2 n = 24  SAMN  x z Đẳng thức xảy m = n =  ( P ) : + y + =  ( P ) : x + 2y + z − = 2 Vậy mặt phẳng cần tìm ( P ) : x + 2y + z − = Câu (GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Trong không gian Oxyz, cho vectơ a = ( x1;y1;z1 ) ,b = ( x ;y2 ;z2 ) Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? x1 + x =  A a = −b  y1 + y2 = z + z =  B ka = ( kx1;ky1;kz1 ) x  C a + b = ( x1 + x ;y1 + y2 ;z1 + z2 ) D a.b = x1x + y1y2 + z1z2 Đáp án D Em có: a.b = x1x + y1y2 + z1z2  Đáp án D sai, đáp án A, B, C Câu (GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz mặt cầu (S) có phương trình x2 + y2 + z2 − 2x + 4y − 6z − = Khi (S) có: A tâm I ( −2;4; −6) bán kính R = 58 B tâm I ( 2; −4;6) bán kính R = 58 C tâm I ( −1;2; −3) bán kính R = D tâm I (1; −2;3) bán kính R = Đáp án D Phương trình mặt cầu có dạng: x2 + y2 + z2 − 2ax − 2by − 2cz + d = có tâm I ( a; b; c) , bán kính R = a2 + b2 + c2 − d  I (1; −2;3) , R = 12 + ( −2) + 32 + = 16 = Câu 9: (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Trong không gian Oxyz, cho điểm A( 0;2;3) Tìm tọa độ điểm M trục tung cho AM = A M ( 0;6;0) , M (0;2;0) B M ( 0;6;0) , M ( 0; −2;0) C M ( 0; −6;0) , M ( 0; −2;0) D M ( 0; −6;0) , M ( 0;2;0) Đáp án B Gọi M ( 0;b;0)  Oy Em có: AB =  AB2 = 25 b − = b = 2 2  ( − 0) + ( b − 2) + ( − 3) = 25  ( b − 2) = 16     b − = −4  b = −2 M ( 0;6;0)  M ( 0; −2;0) Câu 10(GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ a = ( 4;3; −2) ,b = ( 6;5;1) ,c = ( x;2x;3x + 2) Để ba vectơ a , b , c đồng phẳng giá trị x là: A − 13 B 13 C 13 D − 13 Đáp án C Em có: a,b = (13; −16;2) Ba vectơ a,b,c đồng phẳng a,b c =  13x − 32x + 6x + =  −13x = −4 Câu 11(GV Nguyễn Thi Lanh 2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm x= 13 x = t  M ( 0;5; −3) đường thẳng d : y = − t Tổng tọa độ điểm M’ hình chiếu z =  song song M (Oxz) theo phương d là: A B C D Đáp án A Đường thẳng d có vtcp ud = (1; −1;0) x = t  quaM ( 0;5; −3)  Đường thẳng  :    : y = − t   vtcpu = ud = (1; −1;0) z = −3 Em có M’ hình chiếu song song M (Oxz)  M ' =   ( Oxz)  M ' ( 5;0; −3) Vậy tổng tọa độ điểm M’ Câu 12: (GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M ( a;b;c) , (a  0) thẳng d : x − = thuộc đường y + z −1 = Hình chiếu song song điểm M mặt phẳng −1 x = − t ( P) : x + 5y − = theo phương đường thẳng  : y = 1+ 2t điểm M’ cho z = −3t  MM ' = 14 Tính giá trị biểu thức T = a + b − c là: A B C D Đáp án A Vì M  d nên M ( t + 3; −t − 2;2t + 1) ,t  Đường thẳng  có vtcp u = ( −1;2; −3)  x − ( t + 3) y + ( t + 2) z − ( 2t + 1) quaM ( t + 3; − t − 2;2t + 1) Đường thẳng d' :   d' : = = − − vtcpu = u = − 1;2; − ( )  d'   5  M’ hình chiếu song song M (P)  M ' = d' ( P)  M '  t + 2; − t; t −  9  2 4  8  4  Em có: MM ' = 14   t + 1 +  t +  +  t + 3 = 14 9  9  3  224 112  t + t + 14 = 14 81 9 M  − ; ; −8   t = −      2  2  M ( 3; −2;1) t = Mà a  nên M ( 3; −2;1) Vậy T = a + b − c = − − = Câu 13: (GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A ( 0;4;1) ,B( −1;2; −1) đường thẳng ( d) : x −1 y −1 z = = Trên d lấy điểm M cho diện −1 tích tam giác ABM đạt giá trị nhỏ Gọi M’ điểm đối xứng với điểm M qua đường thẳng AB Tổng tọa độ điểm M’ là: A 19 Đáp án B B − 14 C 17 D M  d  M ( 2t + 1; −t + 1;3t ) AM = ( 2t + 1; −t − 3;3t − 1)   AM,BM  = ( −8t − 4; −t − 3;5t + 5) Em có:  BM = 2t + 2; − t − 1;3t + ( )  1 2  SABM =  AM,BM  = (8t + 4) + ( t + 3) + ( 5t + 5) = 90t + 120t + 50 2 = 10 ( 3t + 2) 10 t  +1    Dấu “=” xảy t = −  M  − ; ; −2   3  x = t  quaA ( 0;4;1)  Đường thẳng AB:   AB : y = + 2t vtcpu = AB = − 1; − 2; − ( )  z = 1+ 2t   Gọi H hình chiếu vng góc điểm M đường thẳng AB    H ( t;4 + 2t;1 + 2t )  MH  t + ;2t + ;2t + 3   Em có: 7 11   11 14 13  MH ⊥ AB  MH.AB =  t + +  2t +  + ( 2t + 3) =  t = −  H  − ; ; −  3 9   9  19 13  H trung điểm MM’ nên M '  − ; ; −   9 9 14 Vậy tổng tọa độ điểm M’ là: − Câu 14(GV Nguyễn Thi Lanh 2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm P( 2; −1;3) ,Q(3;2;1) Gọi (  ) mặt phẳng chứa P cách Q khoảng dài Phương trình mặt phẳng (  ) A 3x + y − z − = B x + 3y − 2z + = C x − 2y − 3z − 18 = D 6x + 2y − 3z − = Đáp án B Mặt phẳng (  ) có phương trình dạng Ax + By + Cz + D = (điều kiện A + B2 + C2  ) Vì P thuộc (  ) nên 2A − B + 3C + D =  D = −2A + B − 3C Khoảng cách từ Q đến mặt phẳng (  ) d ( Q, (  ) ) = 3A + 2B + C + D A + B2 + C2 = A + 3B − 2C A + B2 + C2 12 + 32 + ( −2) A + B2 + C2  A + B2 + C2 = 14 A B C = = −2 Do A, B, C không đồng thời nên chọn A = 1,B = 3,C = −2,  D = Như khoảng cách từ Q đến (  ) lớn d = 14 Phương trình mặt phẳng (  ) : x + 3y − 2z + = Câu 15: (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;1;0) B(0;1;2) Vectơ véc tơ phương đường thẳng AB? A b = ( −1;0; ) B c = (1; 2; ) C d = ( −1;1; ) D a = ( −1;0; −2 ) Đáp án A Ta có AB = ( x A − x B ; yA − yB ; z A − z B ) = ( −1;0; ) Vậy b = ( −1;0; ) véc tơ phương đường thẳng AB Câu 16: (GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : x − 2y + z − = Điểm thuộc (P)? A Q ( 2; −1;5) B P ( 0;0; −5) C N ( −5;0;0) D M (1;1;6) Đáp án D Ta thay tọa độ điểm vào phương trình mặt phẳng (P): Với Q ( 2; −1;5) : − ( −1) + − =  Q  ( P ) Với P ( 0;0; −5) : − − − = −10  P  ( P ) Với N ( −5;0;0 ) : −5 − + − = −10  N  ( P ) Với M (1;1;6 ) : − + − =  M  ( P ) Câu 17: (GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(1;2;3) mặt phẳng ( P ) : 2x − 2y − z − = Mặt cầu tâm I tiếp xúc với (P) điểm H Tìm tọa độ H A H ( −1; 4; ) B H ( −3;0; −2 ) C H ( 3;0;2) Đáp án C Vectơ pháp tuyến mặt phẳng (P) n = ( 2; −2; −1) Gọi u vectơ phương đường thẳng IH Vì IH ⊥ ( P ) nên u = n = ( 2; −2; −1) Phương trình đường thẳng IH qua I(1;2;3) có vectơ phương D H (1; −1;0 )  x = + 2t  u = ( 2; −2; −1)  y = − 2t z = − t  Tọa độ H  IH H (1 + 2t;2 − 2t;3 − t ) Mặt cầu tâm I tiếp xúc với (P) điểm H nên H  ( P ) Khi (1 + 2t ) − ( − 2t ) − ( − t ) − =  t =  H (3;0;2 ) Câu 18(GV Nguyễn Thi Lanh 2018): Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình phương trình mặt phẳng qua điểm M ( 3; −1;1) vng góc với đường thẳng  : x −1 y + z − = = ? −2 A 3x − 2y + z + 12 = B 3x + 2y + z − = C 3x − 2y + z − 12 = D x − 2y + 3z + = Đáp án C x −1 y + z − = = có véc tơ phương u = ( 3; −2;1) −2 Phương trình mặt phẳng cần tìm qua M vng góc với đường thẳng x −1 y + z − : = = nên nhận u = ( 3; −2;1) làm véc tơ pháp tuyến có phương trình là: −2 ( x − 3) − ( y + 1) + 1( z −1) =  3x − 2y + z −12 = : Câu 19(GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A ( 2;0; −2) , B ( 3; −2; −4) ,C ( −2;2;0) Điểm D mặt phẳng ( Oyz ) có tung độ dương cao độ âm cho thể tích khối tứ diện ABCD khoảng cách từ D đến mặt phẳng (Oxy) là: A D ( 0; −3; −1) B D ( 0;1; −1) C D ( 0;2; −1) Đáp án D D  ( Oyz )  D ( 0; y0 ;z0 ) , điều kiện z0  Phương trình ( Oxy ) : z =  d ( D, ( Oxy ) ) = z0 = −z0 = Suy −z0 =  D ( 0; y0 ; −1) Ta có AB = (1; −1; −2 ) , AC = ( −4; 2; ) , AD = ( −2; y0 ;1) Suy  AB, AC = ( 2;6; −2 )   AB, AC AD = 6y0 − D D ( 0;3; −1)  VABCD = y = AB, AC AD = y0 − =      y0 = −1 Suy D ( 0;3; −1) D ( 0; −1; −1) (loại) Câu 20(GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A ( 0;2;4) , B (1;2; −3) mặt phẳng ( P ) : x + y + z = Xét đường thẳng d thay đổi thuộc (P) qua B, gọi H hình chiếu vng góc A d Biết d thay đổi H thuộc đường tròn cố định Bán kính R đường tròn là: A R = 38 B R = C R = D R = 3 Đáp án A Gọi K hình chiếu vng góc điểm A mặt phẳng (P) Mặt phẳng (P) có vtpt là: n p = (1;1;1)  qua A ( 0; 2; ) Đường thẳng AK :   AK : x = y − = z − u = n = 1;1;1 ( )  p  AK Mà K = AK  ( P )  K ( −2;0;2 ) AK ⊥ d  KH ⊥ d  KHB = 90 Vậy điểm H ln thuộc đường tròn đường Ta có:  AH ⊥ d kính BK cố định Bán kính đường tròn là: R = BK 38 = 2 Câu 21(GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường  x = −3 + 2t z−3  Phương trình thẳng d1 d có phương trình: d1 :  y = −2 + t d : x − = y − = z = −1 + t  mặt phẳng (P) chứa d1 tạo với d góc lớn là: MA = (3 − 0) + (1 − m ) + ( − 0) MB = ( −2 − 0) + ( − m ) + (1 − 0) 2 2 = m2 − 2m + 10 = m2 − 8m + 21 11 Câu 24: (GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Trong không gian Oxyz, cho ba điểm không thẳng  Do MA = MB nên m − 2m + 10 = m − 8m + 21  m = hàng A ( 0;1;1) , B ( −1;0; 2) , C ( −1;1;0) Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC A C 5+ 3+ B 5+ 3+ D ( 5+ 3+ ( ) ) 5+ 3+ Đáp án A ✓ Gọi r bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC, 2p chu vi tam giác S SABC = pr  r = ABC p ✓ Em có: BA = (1;1; −1) , BC = ( 0;1; −2 ) , CA = (1;0;1)  SABC = Suy ra: r =  BA, BC  = , 2p = AB + BC + AC = + +   2 5+ 3+ Câu 25(GV Nguyễn Thi Lanh 2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ( ) mặt  x = 12 − 3t x −1 y + z +1  = = phẳng chứa hai đường thẳng d1 : d :  y = t Phương trình mặt −1 z = 10 − 2t  phẳng ( ) A 15x − 11y − 17z − 54 = B 15x + 11y − 17z + 10 = C 15x − 11y − 17z − 24 = D 15x + 11y − 17z − 10 = Đáp án D  Đường thẳng d1 qua M1 (1; −2; −1) có VTCP u1 = ( 3; −1;2)  Đường thẳng d2 qua M (12;0;10) có VTCP u2 = ( −3;1; −2) Như vậy: u1 = −u2 ,M1  d2 Suy d1//d2 Chú ý: Hai đường thẳng d1 d2 song song nên em lấy tích có hướng hai VTCP để tìm VTPT mặt phẳng tích có hướng hai vectơ phương vectơkhông Gọi n VTPT mặt phẳng ( ) vng n góc với hai vectơ không phương u1 = ( 3; −1;2) M 1M = (11;2;11) Chọn n =  u1,M 1M  = ( −15; −11;17) Vì phương trình ( ) là: −15( x − 1) − 11( y + 2) + 17( z + 1) =  15x + 11y − 17z − 10 = Câu 26(GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Trong không gian Oxyz, cho điểm A (1;1; −2) hai mặt phẳng ( P ) : 3x − y + = , ( Q) : x − 2z − = Phương trình đường thẳng d qua điểm A đồng thời song song với hai mặt phẳng (P), (Q)  x = + 2t  B  y = 13 + 6t z = t  x = + t  A  y = −6 + t z = − 2t   x = + 2t  C  y = − 6t z = −2 + t  x = + t  D  y = + t z = − 2t  Đáp án B  Mặt phẳng (P) có VTPT n P = ( 3; −1;0 ) , mặt phẳng (Q) có VTPT n Q = (1;0; −2 )   n P , n Q  = ( 2;6;1)  Đường thẳng d cần tìm có VTCP là: u =  n P , n Q  = ( 2;6;1)  x = + 2t  Vì A (1;1; −2)  d nên phương trình đường thẳng d là:  y = + 6t z = −2 + t  Câu 27(GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) : x + y2 + z2 − 2x + 2y − 4z − = Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu (S)? A ( P ) : 2x + y − 2z + = B ( Q) : 2x + 2y − z − = C ( R ) : 3x + 4y −10 = D ( T ) : x + 2y − 5z + 11 = Đáp án B ✓ Mặt cầu (S) có tâm I (1; −1;2) bán kính R = ✓ Kiểm tra thấy tâm I thuộc hai mặt phẳng (P) (T) → Loại A, D ✓ Tính khoảng cách từ I đến hai mặt phẳng (Q) (R) em được: d ( I, ( Q ) ) = d ( I, ( R ) ) = 2.1 + ( −1) − − 22 + 22 + 12 3.1 + (1) − 10 +4 +0 2 = =3=R 11 R Câu 28(GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Trong không gian Oxyz cho điểm A (1;0;0 ) mặt cầu (S) : x + y2 + z2 − 2x − 4y + = Có tiếp tuyến vng góc với đường thẳng d : A  (S) biết  qua điểm A x −1 y z = = 1 B C D Đáp án C  Để tìm đường thẳng cho trước hết ta cần xác định mặt phẳng (P) qua A vuông góc với d Khi đường thẳng  cần tìm nằm (P) ❖ Mặt cầu (S) có tâm I (1;2;0) , bán kính R = Đường thẳng d có véc tơ phương u = ( 2;1;1) Gọi (P) mặt phẳng qua A vng góc với d suy nP = u = ( 2;1;1) Phương trình mặt phẳng ( P) : 2( x − 1) + y + z =  ( P) : 2x + y + z − = Giả sử tiếp điểm  mặt cầu (S) điểm M ( x;y;z) M  ( P)   M  ( S)  2 MA = IA − IM = − =  x= 2x + y + z − =  x = M (1;1; −1)     2 Ta có hệ phương trình: x + y + z − 2x − 4y + =  y =  y =     M ;1;  z = −1  2   5   ( x − 1) + y + z = z =  x =  + TH1: Nếu M (1;1; −1)  AM = ( 0;1; −1)   : y = t z = −t  x −1 y z  3  3 = = + TH2: Nếu M  ;1;   AM =  − ;1;    : −4  5  5 Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu toán x = x −1 y z  = =  : y = t  : − z = −t  Câu 29: (GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Trong không gian Oxyz cho hai điểm A (1;1;3) B (1;3; −1) mặt phẳng (P) có phương trình x − 2y − z + = M điểm mặt phẳng (P) thỏa mãn MA + MB đạt giá trị nhỏ Tọa độ điểm M 3 1 A M  ;1;  2 2 5  B M  − ;1; −  2  C M (1;1;0) D Khơng có M Đáp án A Thay tọa độ điểm A, B vào biểu thức vế trái phương trình ( P:)(1− 2.1− 3+ 1)(1− 2.3+ 1+ 1)   A, B nằm phía (P) Gọi A ' ( x ';y';z' ) đối xứng A qua (P), K trung điểm AA ' Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến nP = (1; −2; −1) Khi đó: + y ' + z' 1 + x '  − 2 − + =  k =  K  ( P) x '− = k x ' =      AA ' = knP y '− = −2k y ' = −1  z' = z'− = − k Vậy A ' ( 2; −1;2) MA+MB đạt giá trị nhỏ M  I giao điểm A 'B (P) Điểm I ( x;y;z) thỏa mãn x − 2y − z + =   t= x − = t − ( ) I  ( P)    1    I  ;1;    2 A 'I = tA 'B y + = t ( + 1) x = ;y = 1;z =  z − = t ( −1− 2)  2   1 Vì M  I → M  ;1;   2 Cách giải nhanh: A  ( P)  AB / / ( P) Kiểm tra  AB.nP = Do I trung điểm A 'B Câu 30(GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng  có phương trình ( P ) : −2x + y − 2z + = Mặt phẳng (Q) chứa x − y −1 z = = mặt phẳng −1  tạo với (P) góc nhỏ nhất, điểm sau thuộc mặt phẳng (Q)  10  A  1;1;   13  Đáp án A 1  B  −2;3;  10   1  C  ; 2;0   13    D  ;1; −2   10  Đường thẳng  có VTCP u = ( 2;1; −1) Mặt phẳng (P) có VTPT nP = ( −2;1; −2) Gọi A =   ( P) → A ( 2;1;0) Gọi d = ( P)  ( Q) Lấy I   , H hình chiếu I lên (P) Dựng HE vng góc với d Suy IEH =  góc (P) (Q) Em có: tan  = IH IH  Dấu “=” xảy E  A EH AH Khi đường thẳng d vng góc với  A Chọn ud =  u ,nP  = ( −1;6;4) Như (Q) mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt a  Do (Q) qua A nhận vectơ uQ =  u ,ud  = (10; −7;13) Phương trình mặt phẳng ( Q) :10( x − 2) − 7( y − 1) + 13z =  10x − 7y + 13z − 13 = Câu 31(GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Cho đường thẳng d có phương trình x y z− = = Tìm 1 −1 khoảng cách từ điểm A (1; 0; 0) đến đường thẳng d? A B C 2 D Đáp án C Cách Áp dụng cơng thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng d( A,d) =  AM,U  d  Ud Lấy M ( 0; 0;1) thay vào công thức ta khoảng cách Cách Để ý thấy d qua M (1;1; 0) N ( 0; 0;1) nên tam giác AMN tam giác vuông A, Và khoảng cách cần tìm đường cao tam giác có hai cạnh góc vng Nên Câu 32(GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm khoảng cách M ( 2; 1; 0) mặt phẳng ( Q) : 2x + 2y − z + = Viết phương trình mặt cầu (S) tâm M tiếp xúc với mặt phẳng (Q) A ( S) : ( x − 2) + ( y − 1) + z2 = B ( S) : ( x + 2) + ( y + 1) + z2 = C ( S) : ( x − 2) + ( y − 1) + z2 = 49 D ( S) : ( x + 2) + ( y + 1) + z2 = 49 2 2 2 2 Đáp án C Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến n ( 2; −2; −1) Mặt cầu (S) tâm M tiếp xúc với mặt phẳng (Q) nên có bán kính ( ) R = d M , ( Q) = 2.2 + + + +1 = Phương trình mặt cầu ( S) : ( x − 2) + ( y − 1) + z2 = 49 Câu 33(GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng 2 ( P) : x − 6y + z + 2017 = điểm A(1; −2; 1) Phương trình đường thẳng qua A vng góc với (P) là:  x = 1+ t  A  :  y = −2 − 6t z = 1+ t   x = −1 + t  B  :  y = −2 − 6t z = 1+ t   x = 1+ t  C  :  y = −6 − 2t z = 1+ t   x = 1+ t  D  :  y = − 2t z = 1+ t  Đáp án A Ta có  vng góc với ( P )  VTCP  u0 (1; −6;1)  x = 1+ t  Vậy  :  y = −2 − 6t z = 1+ t  Câu 34(GV Nguyễn Thi Lanh 2018): Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm  x = 1+ t  M ( 2;1; 4) Điểm H thuộc đường thẳng (  ) :  y = + t ( t   z = + 2t  ) cho đoạn MH ngắn có tọa độ là: A ( 2;3;2) B ( 3; 2;3) Đáp án D M ( 2;1; 4) , H  ( d )  H (1 + t;2 + t;1 + 2t )  MH = ( −1+ t;1+ t; −3 + 2t ) Mà: ad = (1;1;2) C ( 3;3; 2) D ( 2;3;3) MH ngắn  MH ⊥ ( d )  MH ad =  −1 + t + + t − + 4t =  t =  H ( 2;3;3) Bình luận: Nhận thấy đáp án có điểm H ( 2;3;3)  ( d ) Câu 35(GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( S) : ( x − 2) + ( y − 1) 2 + z2 = mặt phẳng ( Q) :2x − 2y − z + = Viết phương trình mặt cầu ( S ) đối xứng với mặt cầu ( S) qua mặt phẳng ( Q ) 2 2 2 2  2  7  2 B  x −  +  y −  +  z +  = 3  3  3  2  2  7  2 D  x −  +  y −  +  z −  = 3  3  3   2  7  2 A  x +  +  y −  +  z −  = 3  3  3   2  7  2 C  x −  +  y +  +  z −  = 3  3  3  Đáp án D Mặt cầu ( S1 ) có tâm M ( 2;1; 0) có bán kính R1 = Gọi M  hình chiếu vng góc M mặt phẳng (Q) Ta có MM  ⊥ ( Q ) nên đường thẳng MM  qua điểm M nhận vectơ pháp tuyến mặt phẳng (Q) làm vectơ phương  x = + 2t   phương trình tham số đường thẳng MM  :  y = − 2t , t   z = −t  Vì M  hình chiếu vng góc M mặt phẳng ( Q)  M  = MM   ( Q)  tọa độ điểm M  nghiệm hệ phương trình:  t = − 2x − 2y − z + = 2 ( + t ) − (1 − 2t ) − ( −t ) + =    x=   x = + 2t  x = + 2t     y = − 2t  y = − 2t y =  z = −t  z = −t    z =   1  M ; ;   3 3 Gọi I ( x; y; z) tâm mặt cầu ( S ) , mặt cầu ( S ) đối xứng với mặt cầu ( S) qua mặt phẳng ( Q )  I đối xứng với M qua mặt phẳng (Q)  I đối xứng với M qua mặt phẳng M   M  trung điểm đường thẳng IM   x = 2xM  − xM =   2    y = 2yM  − yM =  I  ; ;   3 3    z = 2zM  − zM =  Khi mặt cầu ( S)  2 có tâm I  ; ;  , bán kính R = R = nên có phương trình:  3 3  2  7  2  x −  +  y −  +  z−  = 3  3  3  Câu 36(GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : x −1 y − z = = điểm I ( 2;1; −1) Tọa độ điểm M ( a; b; c) có hồnh độ ngun −3 thuộc đường thẳng d cho IM = Tính tổng S = a − 3b + 2017c Chọn đáp án A 2009 B –8 C D 2015 Đáp án B  x = + 2t  d :  y = − 3t , ( t  R)  M  d  M (1 + 2t;3 − 3t;2t )  IM = ( 2t − 1;2 − 3t;2t + 1)  z = 2t  Từ giả thiết: IM = ( ) ( ) ( )  ( 2t − 1) + ( − 3t ) + ( 2t + 1) =  4t − 4t + + − 12t + 9t + 4t + 4t + = 2 t =  17t − 12t =   12 t =  17 Với t1 =  M (1;3; 0) ; với t =  41 15 24  12  M  ; ;  (loại) 17  17 17 17  Câu 37: (GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Trong không gian Oxyz, cho điểm M ( 0;0;1) , N ( 0;1;0 ) , P (1;0;0 ) ,Q (3; −1;2 ) Góc hai đường thẳng MN PQ có số đo bằng: A 30 D 135 C 60 B 45 Đáp án B Em có: MN = ( 0;1; −1) , PQ = ( 2; −1; ) ( ) cos ( MN, PQ ) = cos MN, PQ = MN.PQ = −1− 2.3 MN PQ = Câu 38: (GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Cho mặt cầu (S) có tâm I ( 2;1; −1) tiếp xúc với mặt phẳng (  ) có phương trình 2x-2y-z +3 = Bán kính mặt cầu (S) A B C D Đáp án B Ta có: bán kính mặt cầu tâm I tiếp xúc với mặt phẳng (  ) khoảng cách từ I đến mặt phẳng R = d ( I; (  ) ) = 2.2 − 2.1 − (−1) + =2 + +1 Câu 39: (GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A ( −1;2;3) , B ( 2;1;0 ) Tìm tọa độ điểm C đối xứng với điểm A qua B A ( 3;0; −3) B ( 3; 4;3) Đáp án D Gọi C ( x C ; yC ; zC ) Em có: C đối xứng với A qua B  B trung điểm AB C ( 5;0;3) D ( 5;0; −3) −1 + x C  2 = x C =   + yC   1 =   y C =  C ( 5;0; −3)   z C = −3 + zC  0 =  Câu 40(GV Nguyễn Thi Lanh 2018): Trong không gian Oxyz, cho điểm A ( 4; 2; −3) hai  x = −1 + 2t x y z  đường thẳng d1 : = = , d :  y = + 3t Đường thẳng d qua điểm A, đồng thời −1 z = − t  vuông góc với hai đường thẳng d1 ,d có phương trình là:  x = + 4t  A  y = −2 + 2t z = −3 − 3t   x = + 2t  B  y = + 3t z = −3 − t   x = + 3t  C  y = + 2t z = −3   x = + 3t  D  y = − 2t z = −3  Đáp án D Em có:  x = −1 + 2t  d1 :  y = + 3t  VTCP u1 = ( 2;3; −1) z = − t  d2 : x y z = =  VTCP u = ( 4;6; −1) −1  u1 , u  = ( 3; −2;0 )   qua A ( 4; 2; −3) d VTCP u = ( 3; −2;0 ) Đường thẳng d qua điểm A, đồng thời vng góc với d1 ,d có phương trình là:  x = + 3t   y = − 2t z = −3  Câu 41: (GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A ( 0;2;1) , B (3;0;1) ,C (1;0;0 ) A 2x + 3y – 4z + = B 2x + 3y - 4z – = C 2x – 3y – 4z + = D 2x + 3y – 4z – = Đáp án B Từ giả thiết suy AB = ( 3; −2;0 ) ;CA ( −1; 2;1) Tích có hướng hai vecto n ( −2; −3; ) Do đó, ( ABC) có phương trình −2 ( x − 1) − 3y + 4z =  2x + 3y − 4z − = Câu 42: (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d : x −1 y + z − = = mặt phẳng ( P ) : 2x + y − 2z + = Tọa độ điểm I thuộc d −1 cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) có dạng I ( a; b;c ) Giá trị a + b + c A -3 B C -9 D -1 Đáp án A x = − t  Phương trình tham số d :  y = −3 + 2t z = + t  I  d  I (1 − t; −3 + 2t;3 + t ) , d ( I, ( P ) ) = −2t + t = d ( I, ( P ) ) =  − t =    t = −2 Vậy có hai điểm I1 ( −3;5;7 ) ;I2 ( 3; −7;1) +) Nếu I1 ( −3;5;7 )  a + b + c = +) Nếu I2 ( 3; −7;1)  a + b + c = −3 Câu 43(GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Trong không gian Oxyz cho điểm A (1; 2;3) mặt phẳng ( P) x + y + z + = Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P) B A 3 C D Đáp án A Áp dụng cơng thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng em có ( ) d A, ( P) = 1+ + + 12 + 12 + 12 = 3 Câu 44(GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Trong không gian với tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A ( 0; 0;3) ,B ( 0; 0; −1) ,C (1; 0; −1) ,D ( 0;1; −1) Mệnh đề sau sai? A AB ⊥ BD B AB ⊥ BC C AB ⊥ AC D AB ⊥ CD Đáp án C Ta có: AB = ( 0;0; −4) ; AC (1;0; −4) ; BC (1;0;0) , BD ( 0;1;0) ,CD = ( −1;1;0) AB.BD =  AB ⊥ BD  AB ⊥ BD AB.BC =  AB ⊥ BC  AB ⊥ BC AB.AC = 16  Mệnh đề C sai Câu 45(GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm x = + t  A ( 2; −1;1) đường thẳng d :  y = − 3t Phương trình mặt phẳng (P) qua A vuông z = + 2t  góc với d là: A x + 3y + 2z − = B x − 3y + 2z − = C x + 2y + 2z + = D −x − 3y + 2z − = Đáp án B Ta có: ud = (1; −3;2) Vì (P) vng góc với d nên (P) nhận ud = (1; −3;2) làm vectơ pháp tuyến Mặt phẳng (P) qua A ( 2; −1;1) nhận ud = (1; −3;2) làm vectơ pháp tuyến có phương trình: 1( x − 2) − 3( y + 1) + ( z − 1) =  x − 3y + 2z − = Câu 46(GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Trong không gian Oxyz, cho điểm A ( −1;3; −2) mặt phẳng ( Q) : x − 2y − 2z − 10 = Gọi (P) mặt phẳng qua A song song với mặt phẳng (Q) Phương trình (P) là: A x − 3y + 2z − = B x − 2y + 2z + = C −x + 2y − 2z + = D x − 2y − 2z + = Đáp án D Ta có n(Q) = (1; −2; −2) Vì (P) song song với (Q) nên (P) nhận n(Q) = (1; −2; −2) làm vectơ pháp tuyến Mặt phẳng (P) qua A ( −1;3; −2) nhận n(Q) = (1; −2; −2) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: 1( x + 1) − ( y − 3) − ( z + 2) =  x − 2y − 2z + = Câu 47: (GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Trong Oxyz, cho d đường thẳng A ( 2;1;3) ,B ( 3; −2;1) Phương trình tắc d là: A x − y −1 z − = = −1 B x +1 y − z − = = C x − y + z −1 = = −3 D x − y + z −1 = = −2 Đáp án A Em có: AB = (1; −3; −2)  quaA ( 2;1;3) d  VTCPu = ( −1;3;2) x − y −1 z − = = −1 Câu 48(GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm  Phương trình tắc d là: A ( a; 0; 0) ,B ( 0; b; 0) ,C ( 0; 0; c) với a, b, c số dương thay đổi cho a2 + b2 + c2 = Khi khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) lớn nhất, tổng a + b + c A B C D Đáp án B Em thấy ( ABC) : ( Theo bất đẳng thức Cauchy: Em có: ) x y z + + =  d O; ( ABC) = a b c −1 1 + + a2 b2 c2 1 1 + +  33 2 = a2 + b2 + c2  33 a2 b2c2 a b c abc 1 1 1 + +   + +   d  a b c a b c Dấu = xảy a2 = b2 = c2  a = b = c = 1 a = b = c = Câu 49(GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm Vậy d lớn A ( 0;1;1) ,B ( 3; 0; −1) ,C ( 0;21; −19) mặt cầu ( S) : ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 1) 2 = M ( a,b,c) điểm thuộc mặt cầu (S) cho biểu thức T = 3MA + 2MB2 + MC2 đạt giá trị nhỏ Tính tổng a + b + c A a + b + c = 14 B a + b + c = C a + b + c = 12 D a + b + c = 12 Đáp án A Mặt cầu (S) có tâm I (1;1;1) Gọi E điểm thỏa 3EA + 2EB + EC =  E (1;4; −3) T = 6ME2 + 3EA2 + 2EB2 + EC2 T nhỏ ME nhỏ  M giao điểm đường thẳng IE mặt cầu (S) IE = ( 0;3; −4) , EM = ( a − 1; b − 4; c + 3) IE , ME phương a − = a =    EM = kIE  b − = 3k  b = 3k + c + = −4k c = −4k −    k=−  2 M  ( S)  ( 3k + 3) + ( −4k − 4) =   k = −   1 208 k = −  M1  1; ;   EM1 = 5  5  9 k = −  M2  1; ;   EM2 =  EM1 (Loại)  5  1 Vậy M  1; ;   5 Câu 50: (GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M ( −3;2; 4) đường thẳng d : x + y −1 = = z + Gọi A, B, C hình chiếu vng −2 góc M trục Ox, Oy, Oz M ' ( a; b; c) hình chiếu song song điểm M theo phương d lên mặt phẳng (ABC) Giá trị biểu thức T = a + 2b + c là: A T = −3 B T = 17 C T = 15 17 D T = Đáp án D A ( −3; 0; 0)  Vì A, B, C hình chiếu vng góc M trục Ox, Oy, Oz nên: B ( 0;2; 0)  C ( 0; 0; 4)  Phương trình mặt phẳng (ABC) là: Đường thẳng d có vtcp ud = ( 2; −2;1) x y z + + =  −4x + 6y + 3z − 12 = −3 x = −3 + 2t quaM ( −3;2; 4)  Đường thẳng  :    : y = − 2t vtcpu = ud = ( 2; −2;1)  z = + t Em có M’ hình chiếu song song M (ABC)  −3 14 92   M ' =   ( ABC)  M '  ; − ;   17 17 17  15 Vậy T = a + 2b + c = 17 ... phẳng (Q) A ( S) : ( x − 2) + ( y − 1) + z2 = B ( S) : ( x + 2) + ( y + 1) + z2 = C ( S) : ( x − 2) + ( y − 1) + z2 = 49 D ( S) : ( x + 2) + ( y + 1) + z2 = 49 2 2 2 2 Đáp án C Mặt phẳng (Q) có... phẳng (Q) (R) em được: d ( I, ( Q ) ) = d ( I, ( R ) ) = 2.1 + ( − 1) − − 22 + 22 + 12 3.1 + (1 ) − 10 +4 +0 2 = =3=R 11 R Câu 28 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Trong không gian Oxyz cho điểm A (1 ;0;0 ). .. z ) = (1 ) HB = ( −x; − y;1 − z ) , HB ⊥ AC  HB.AC =  −x − y − z + = ( ) Và H  ( ABC) nên x − 2y + z − = ( 3) Từ (1 ) ;(2 ); (3 ) ta có x = 1; y = 0; z = Vậy H (1 ;0;0 ) trùng với A Câu 5 (GV Nguyễn