CHUYÊN ĐỀ : NHỊ THỨC NEWTON Câu 1: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Tìm hệ số x10 khai triển nhị Niu thức (2 + x) Tơn n , biết C0n 3n − C1n 3n −1 + C2n 3n −2 − C3n 3n −3 + + ( −1) Cnn = 2048 n A 12 B 21 C 22 D 23 Đáp án C Ta có 2n = ( + ( −1) ) = C0n 3n − C1n 3n −1 + Cn2 3n −2 − C3n 3n −3 + + ( −1) Cnn = 2048  n = 11 n n Số hạng tổng quát khai triển ( x + ) 11 Tk +1 = C11k x11− k 2k hệ số x10 ứng với k=1  hệ số cần tìm 2C111 = 22 Câu 2: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Cho biết số hạng đầu khai n   triển  x +  , x  có hệ số số hạng liên tiếp cấp số cộng Tìm số x  hạng thứ khai triển A 35 x B 35 C 53 x D 53 Đáp án C n = 1( L) 1 Cn0 + Cn1 = 2.Cn1 = n − 9n + = =  n = 8(TM ) 1 Ba số hạng có hệ số Cn0 , Cn1 , Cn1 lập thành CSC suy n = 1( L) 1 Cn0 + Cn1 = 2.Cn1 = n − 9n + = =  n = 8(TM ) Số hạng thứ ứng với k=4: C84 Câu 3: ( GV C84 35 x = = 24 NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Tính 2017 2018 S = C2018 32018 − C2018 32017 + C2018 32016 − C2018 32015 + − C2018 + C2018 A S = 32018 B S = 2018 C S = 22018 D S = −2018 Đáp án C 2018 k 32018− k (−1) k = (3 − 1) 2018 = 2018 Dễ thấy theo nhị thức Newton ta có: S =  C2018 k =0 tổng Câu 4( GV NGUYỄN BÁ PHƯƠNG TRẦN 2018 ) Tính tổng 1 1 S = Cn0 + Cn1 + Cn2 + Cn3 + + Cnn n +1 2n +1 + B S = n +1 2n +1 − A S = n +1 2n +1 C S = n +1 2n +1 D S = n+2 Đáp án A Xét khai triển (1 + x ) = Cn0 + Cn1 x + Cn2 x + + Cnn x n n 1 1     ( x + 1) dx = Cn0 x + Cn1 x + Cn1 x + + Cnn x n  n  0 n  S =  ( x + 1) n ( x + 1) dx = n +1 n +1 = 2n+1 − n +1 Câu 5.( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Số hạng không chứa x khai   triển  x +  , x  số hạng thứ bao nhiêu? x  A Số hạng thứ B Số hạng thứ C Số hạng thứ D Số hạng thứ Đáp án B 7−k 28− k 7  3 k k =  C7 x 12 Ta có  x +  =  C7 x k x  k =0  x k =0 Số hạng không chứa x số hạng thứ k thỏa mãn 28 − 7k =  k =  Là số hạng thứ Câu 6( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Tìm mãn C21n + C23n + C25n + C27n + + C22nn −1 = 223 A n = 10 B n = 12 C n = D n = 15 Đáp án B (1 + 1)2 n = C20n + C21n + + C22nn  22 n = ( C21n + C23n + + C22nn−1 ) Xét khai triển  2n 2n (1 − 1) = C2 n − C2 n + + C2 n Do 2.223 = 22n  224 = 22n  n = 12 n thỏa Câu 7: ( GV M= NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Tính giá trị biểu thức An4+1 + An3 , biết ( n + 1)! Cn2+1 + 2Cn2+ + 2Cn2+3 + Cn2+ = 149 A M = B M = C M = 15 D M = 17 25 Đáp án A Từ đề ta có Cn2+1 + 2Cn2+ + 2Cn2+3 + Cn2+ = 149  ( n + 1)! + ( n + )! + ( n + 3)! + ( n + )! = 149 ( n − 1)! n! ( n + 1)! ( n + )!  6n + 24n + 28 = 298  n =  n = −9 Vậy n=5 Câu8 : ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Tìm số hạng khơng chứa x 5n 2  khai triển  x3 +  , x   biết Cn2Cnn − + 2Cn2Cn3 + Cn3Cnn −3 = 100 A 3630 B 3603 C 3360 D 6330 Đáp án B Cn2Cnn − + 2Cn2Cn3 + Cn3Cnn −3 = 100  ( Cn2 ) + 2Cn2Cn3 + ( Cn3 ) = 100 2  ( Cn2 + Cn3 ) = 100  Cn2 + Cn3 = 10 n=4 5n 5n k 5n 5n 15 n 5n 2 −k −5 k  2 −k   2 x + = x = x ( )    2   x   x  k =0 k =0 k =6 Câu 9: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Gọi a hệ số x khai 3n 2  triển  x +  , x  0, biết x  2n − ( Cnn − − Cn1− − n ) = Cnn−−12 A a = 96069 B a = 96906 C a = 96960 D a = 96096 A L =  B L = C L = + D L = Đáp án D ĐK n  ( )  ( n − )! − n  = ( n − 1)! n! −   2!( n − )! ( n − 3)!   ( n − )! Ta có 2n − Cnn − − Cn1− − n = Cnn−−12  2n −4   n ( n − 1)   2n −  − ( n − ) − n  = n −  2n−5 ( n2 − 5n + ) = n −    2n−5 ( n − 1)( n − ) = n −  2n−5 ( n − ) =  n = n = 5, Với 3n 15 xét 15− k 2k 15 2 3 2  2 k  x + = x + = C x  15       x x    x k =0 Xét khai 15 =  C15k x k − 45 triển 215−k k =0 5k − 45 =  k = 10 3 10 Vậy hệ số x C15 = 96096 Câu 10: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Trong khai triển nhị thức n 1   x +  , x  0, hệ số số hạng thứ lớn hệ số số hạng thứ 35 Tìm số hạng x  khơng chứa x khai triển nói A 225 B 252 C 522 Đáp án B n 1 Ta có: ( x + ) n =  Cnk x n − k ( ) k x x k =0 Hệ số số hạng thứ lớn hệ số số hạng thứ 35 Cn2 − Cn1 = 35 = n − 3n − 70 = = n = 10 Số hạng không chưa x => n=5 => Hệ số C105 = 252 D 525 Câu 11: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Tính đạo hàm cấp n hàm số y = x − 3x − 20 x2 − x − A y ( n ) = (−1)n n!3 ( x + 1)  − n −1 C y ( n ) = ( −1) n!3 ( x + 1)  n − n −1 + ( x − 3) − n −1 − ( x − 3)   − n −1 B y ( n ) = n!3 ( x + 1)  − n −1 + ( x − 3) − n −1    D y ( n ) = n!3 ( x + 1)− n−1 − ( x − 3)− n−1     Đáp án A x − 3x − 20 7x − Ta có y = = 5+ = 5+ + x − 2x − x +1 x − ( x − 3)( x + 1)  y = − − = −3 ( x + 1) − ( x − 3) −2 −2 ( x + 1) ( x − 3) −3 −3 −3 −3  y = ( x + 1) + ( x − 3) = 3.2!( x + 1) + 4.2!( x − 3) −4 −4 −4 −4  y = −18 ( x + 1) − 24 ( x − 3) = −3.3!( x + 1) − 4.3!( x − 3) 2 Bằng quy nạp ta chứng minh y ( n) = ( −1) n !3 ( x + 1)  n − n −1 + ( x − 3) n −1   Câu 12: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Cho n số nguyên dương thỏa mãn 3Cn2 + An2 = 3n + 15 Tìm hệ số số hạng chứa x10 khai triển n  3   x −  , x  x   A 1088640 B 1088460 C 1086408 D 1084608 Đáp án A Ta có 3Cn2 + An2 = 3n + 15  3n! 2n ! + = 3n + 15  n(n − 1) = 3n + 15 (n − 2)!2! (n − 2)!  n = 10  n − 7n − 30 =   Mà n nguyên dương nên n = 10  n = −3 Khi đó: n 10 10 k  3 −2 10 k 10−k −2 k x − = x − x = C x − x = C10k 210−k ( −3) x30−5 k , x  ( ) ( ) ( )   10   x   k =0 k =0 Số hạng chứa x 10 khai triển ứng với 30 − 5k = 10  k = 4, có hệ số là: Câu 13: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Cho dãy số ( un ) xác định u u u n +1 u1 = , un +1 = un Đặt S n = u1 + + + + n , tính L = lim S n n → 9n n A L = − B L = C L = − Đáp án B Ta có u1 = ; u2 = ; u3 = 9 Ta chứng minh un =  un+1 = n n quy nạp Thật vậy, giả sử un = n n 9 n +1 n +1 n n +1 un = = (đúng với giả thiết quy nạp) 9n 9n 9n 9n+1 Vậy theo nguyên lý quy nạp ta có un = Sn = n 9n u1 u2 u3 u + + + + n n n 1 1−   n n n u 1i 1 1 1 Khi đó:  S n =  i = i =  i =   = 1 − n  1− 8  i =1 i i =1 i i =1 9 1 1  lim Sn = lim 1 − n  = n→+ n→+   C104 210−4.(−3) = 1088640 D L = ... 11: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Tính đạo hàm cấp n hàm số y = x − 3x − 20 x2 − x − A y ( n ) = ( 1)n n!3 ( x + 1)  − n −1 C y ( n ) = ( − 1) n!3 ( x + 1)  n − n −1 + ( x − 3) − n −1 − (. .. − ( x − 3 )( x + 1)  y = − − = −3 ( x + 1) − ( x − 3) −2 −2 ( x + 1) ( x − 3) −3 −3 −3 −3  y = ( x + 1) + ( x − 3) = 3.2 !( x + 1) + 4.2 !( x − 3) −4 −4 −4 −4  y = −18 ( x + 1) − 24 ( x... 1) − 24 ( x − 3) = −3.3 !( x + 1) − 4.3 !( x − 3) 2 Bằng quy nạp ta chứng minh y ( n) = ( − 1) n !3 ( x + 1)  n − n −1 + ( x − 3) n −1   Câu 12: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Cho n số nguyên