MỤC LỤC Trang Công thức lượng giác cần nắm vững A – Phương trình lượng giác bản Bài tập áp dụng Hướng dẫn giải bài tập áp dụng - Bài tập rèn luyện 29 B – Phương trình bậc hai và bậc cao đối với một hàm lượng giác - 32 Bài tập áp dụng 33 Hướng dẫn giải bài tập áp dụng - 35 Bài tập rèn luyện 56 C – Phương trình bậc nhất theo sin và cos - 59 Bài tập áp dụng 59 Hướng dẫn giải bài tập áp dụng - 62 Bài tập rèn luyện 81 D – Phương trình lượng giác đẳng cấp 84 Bài tập áp dụng 85 Hướng dẫn giải bài tập áp dụng - 87 Bài tập rèn luyện 92 E – Phương trình lượng giác đối xứng - 93 Bài tập áp dụng 94 Bài tập rèn luyện 96 F – Phương trình lượng giác chứa thức và trị tuyệt đối 97 Bài tập áp dụng 97 Bài tập rèn luyện 99 G – Phương trình lượng giác không mẫu mực 101 Bài tập áp dụng 102 Bài tập rèn luyện 104 H – Phương trình lượng giác chứa tham số – Hai phương trình tương đương 106 Bài tập áp dụng 106 Bài tập rèn luyện 112 I – Hệ phương trình lượng giác 116 Bài tập áp dụng 117 J – Hệ thức lượng tam giác – Nhận dạng tam giác 121 Bài tập áp dụng 122 Bài tập rèn luyện 125 Page CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC NẮM VỮNG   Công thức bản ● tanx.cot x = ● sin2 x + cos2 x = ● cot x = cosx sinx ● + tan2 x = cos2x ● tanx = sinx cosx ● 1+ cot2 x = sin2 x  Công thức cung nhân đôi – Công thức hạ bậc – Công thức cung nhân ba ● sin2x = 2sinx.cosx 1- cos2x ● sin3x = 3sinx - 4sin3 x ● sin2 x = écos2 x - sin2 x ● cos2x = ê ê2cos2 x - = 1- 2sin2 x ê ë 1+ cos2x ● cos2x = ● cos3x = 4cos3 x - 3cosx  Công thức cộng cung ● sin( a ± b) = sina.cosb ± cosa.sinb ● cos ( a ± b) = cosa.cosb msina.sinb tana + tanb 1- tana.tanb ỉπ 1+ tanx ÷ ÷ + x = ç ● tanç ÷ ç ÷ è4 ø 1- tanx ● tan( a - b) = ● tan( a + b) = tana - tanb 1+ tana.tanb ỉπ 1- tanx ữ ữ x = ỗ tanỗ ữ ỗ ÷ 1+ tanx è4 ø  Công thức biến đổi tổng thành tích a+b a- b cos 2 a+b a- b ● sina + sinb = 2sin cos 2 sin( a + b) ● tana + tanb = cosa.cosb ● cosa + cosb = 2cos a+b a- b sin 2 a+b a- b ● sina - sinb = 2cos sin 2 sin( a - b) ● tana - tanb = cosa.cosb ● cosa - cosb = - 2sin  Công thức biến đổi tích thành tổng ● cosa.cosb = ● sina.sinb = cos( a + b) + cos( a - b) cos( a - b) - cos( a + b) ● sina.cosb = sin( a + b) + sin( a - b) 2  Mợt sớ cơng thức thơng dụng khác ỉ πư ỉ ổ ổ ữ ỗỗx - ữ ỗỗx - ữ ỗỗx + ữ ữ ữ ữ = 2cos sinx cosx = 2sin = 2cos ỗx + ữ sinx + cosx = 2sinỗ ữ ữ ữ ỗố 4ứ ữ ữ ữ ữ ỗố 4ứ ỗ 4ứ ỗ 4÷ è è ø ● cos4 x + sin4 x = 1Page 2 + 1cos4x sin 2x = ● cos6 x + sin6 x = 1- + 3cos4x sin 2x = Để giải được phương trình lượng giác cũng các ứng dụng của nó, các bạn học sinh cần nắm vững tất cả những công thức lượng giác Đó là hành trang, là công cụ cần thiết nhất để chinh phục thế giới mang tên: "Phương trình lượng giác"  Một số lưu y: é Điều kiện có nghiệm của phương trình êsinx = a là: £ a £ ê  cosx = a ê ë Khi giải phương trình có chứa các hàm số hoặc , có mẫu số hoặc bậc chẵn thì nhất thiết tan cot  phải đặt điều kiện để phương trình xác định p Phương trình chứa tanx , điều kiện: cosx ¹ Û x ¹ + kp ( k ẻ Â ) Phng trinh cha cot x , điều kiện: sinx ¹ Û x kp k ẻ Â ( ) p Phương trình chứa cả tanx và cot x , điều kiờn: x k ( k ẻ Â )  Khi tìm được nghiệm phải kiểm tra (so) với điều kiện Ta thường dùng một các cách sau để  kiểm tra điều kiện: Kiểm tra trực tiếp bằng cách thay giá trị của x vào biểu thức điều kiện Nếu thế vào, giá trị  ấy làm đẳng thức đúng thì nhận nghiệm, nếu sai thì loại nghiệm Dùng đường tròn lượng giác, nghĩa là biểu diễn các ngọn cung của điều kiện và cung của  nghiệm Nếu các ngọn cung này trùng thì ta loại nghiệm, nếu không trùng thì ta nhận nghiệm ¼ có Cách biểu diễn cung – góc lượng giác đường tròn: " Nếu cung hoặc góc lng giac AM k.3600 ữ k2p ổ ỗ ữ hay a + ỗ sụ o la a + vi k ẻ Â,n ẻ Ơ + thi co n iờm M trờn ng tron ữ ỗ ữ n ứ n ỗ ố lng giac cach ờu nhau" ẳ = p + k2p thì có một điểm M tại vị trí p (ta chọn k = ) Ví dụ 1: Nếu sđ AM 3 ¼ = p + kp thì có điểm M tại vị trí p và 7p (ta chọn k = 0,k = 1) Ví dụ 2: Nếu sđ AM 6 ¼ = p + k 2p thì có điểm M tại các vị trí p ; 11p và 19p , ( k = 0;1;2) Ví dụ 3: Nếu sđ AM 4 12 12 ¼ = p + k p = p + k2p thì có điểm M tại các vị trí p , 3p , 5p ; 7p Ví dụ 4: Nếu sđ AM 4 4 4 (ứng với các vị trí k = 0,1,2,3 ) p p Ví dụ 5: Tổng hợp hai cung x = + kp và x = + kp Page p p 5p và + kp đường tròn thì có điểm tại các vị trí: 6 p p 4p Biểu diễn cung x = + kp đường tròn thì có điểm tại các vị trí: và 3 Tổng hợp hai cung gồm điểm hình vẽ và p p cung tổng hợp là: x = + k π/3 5π/6 é é êcos x = êcosx = ± Đối với phương trình ê 2Û ê ta không nên giải ê ê  êsin2 x = êsinx = ± O ê ê 2 ë ë –π/6 trực tiếp vì đó có tới nghiệm, kết hợp và so sánh với điều kiện rất phức tạp, ta nên hạ bậc là tối ưu nhất Nghĩa là: 4π/3 é êcos x = é2cos2 x - = écos2x = ê ê Û Û ê ê ê êcos2x = Tương tự đối với phương trình 2sin x - = êsin2 x = ê ê ë ë ê ë ésin2 x = ésinx = ±1 ê ê Û êcos2 x = êcosx = ±1 ta không nên giải thế, mà nên biến đổi dựa vào công thức ê ê ë ë ésin2 x = écos2 x = écosx = ê ê 2 Û ê sin x + cos x = Lúc đó: ê êsin2 x = Û êsin x = cos x = ê ê ê ë ë ë Sử dụng thành thạo câu thần chú: '' Cos đối – Sin bù – Phụ chéo ''  Đây có thể xem là câu thần chú ''đơn giản, dễ nhớ'' lượng giác nó lại đóng vai trò là  một những nhân tố cần thiết, hiệu quả nhất giải phương trình lượng giác Cos đối, nghĩa là cos của hai góc đối thì bằng nhau, tức là cos - a = cosa , còn các cung ( )  góc lượng giác còn lại thì bằng '' – '' chính nó: sin( - a ) = - sin a, tan( - a ) = - tan a, cot ( - a ) = - tan a Biểu diễn cung x = -  Sin bù, nghĩa là sin của hai góc bù thì bằng nhau, tức là sin p - a = sin a , còn các cung ( ) góc lượng giác còn lại thì bằng '' – '' chính nó: cos( p - a ) = - cosa, tan( p - a ) = - tan a, cot ( p - a ) = - tan a   Page Phụ chéo, nghĩa là với hai góc phụ (có tổng bằng 900) thì sin góc này bằng cos góc và ngược lại, tức là: ỉ æ ö æ ö æ ö p p p p ữ ữ ữ ữ sinỗ = cosa, cosỗ = sin a, tanỗ = cot a, cot ỗ = tan a ç - a÷ ç - a÷ ç - a÷ ç - a÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç2 ç2 ç2 è2 ø è ø è ø è ø Ta hãy thử đến với ví dụ nhỏ sau để thấy được hiệu quả của '' câu thần chú '' này: Giải phương trình lượng giác: sinu = cosv Rõ ràng, ở phần phương trình lượng giác bản, ta chỉ biết cách giải cho phương trình sinu = sinv , vậy còn phương trình sinu = cosv thì ? ỉ p ÷ ÷ v ỗ Cõu tra li õy chinh la phu cheo, bi: sinu = cosv sinu = sinỗ ữ ç ÷ è2 ø u=  p p - v + k2p Ú u = + v + k2p , ( k ẻ Â ) 2 ổ 2p ữ - xữ ỗ Qua vi du nay, chc hẳn nếu bài gặp những phương trình dạng sinx = cosỗ ữ ỗ ữ ố3 ứ thi cac bạn học sinh sẽ không còn cảm thấy lúng túng nữa Mợt sớ cung góc hay dùng khác: ìï sin( x + k2p) = sinx ìï ï và ï sin( x + p + k2p) = - sinx í í ïï cos( x + k2p) = cosx ïï cos( x + p + k2p) = - cosx ïỵ ïỵ ( k ẻ Â) A PHNG TRINH LNG GIAC CƠ BẢN éu = v + k2p  Dạng: sinu = sinv Û ê = p - v + k2p ê ë Đặc biệt: éu = v + k2p  Dạng: cosu = cosv Û ê = - v + k2p ê ë Đặc biệt: tanu = tanv Û u = v + kp  Dạng: p Ðk : u,v ¹ + kp Đặc biệt:  Dạng: cot u = cot v Û u = v + kp Ðk : u,v ¹ kp Đặc biệt: ìï ïï sinx = Þ x = kp ïï ïï p í sinx = Þ x = + k2p ïï ïï p ïï sinx = - Þ x = - + k2p ïỵ ìï ïï cosx = Þ x = p + kp ïï ïí cosx = Þ x = k2p ïï ïï cosx = - Þ x = p + k2p ïï î ìï tanx = Û x = kp ïï í ïï tanx = ±1 Û x = ± p + kp ïïỵ ìï ïï cot x = Û x = p + kp ï í ïï p ïï cot x = ±1 Û x = ± + kp ïỵ BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài ù Giải phương trình: cos3x - 4cos2x + 3cosx - = ( *) , " x Ỵ é ê0;14û ú ë Bài Giải phương trình: ( 2cosx - 1) ( 2sinx + cosx) = sin2x - sinx Bài Giải phương trình: cos3x + cos2x - cosx - = Bài Giải phương trình: sinx + cosx + + sin2x + cos2x = Bài Giải phương trình: sinx ( 1+ cos2x) + sin2x = 1+ cosx ( *) Page ( *) ( *) ( *) Bài Bài Bài Bài Bài 10 Bài 11 Bài 12 Bài 13 ổ 7p ữ = 4sinỗ - xữ ỗ ( *) ữ ỗ ổ 3pử ữ ố4 ứ ữ ç ÷ sinçx ÷ ÷ ç 2ø è ỉ ổ pử p 4 ữ ữ cot ỗ çx + ÷ ç - x÷ Giải phương trình: sin x + cos x = cot ỗ ( *) ữ ữ ữ ố ữ ỗ6 ỗ 3ứ ố ứ + Giải phương trình: sinx sin4 2x + cos4 2x = cos4 4x ( *) ỉ ỉ Giai phng trinh: p p ữ ữ tanỗ tanỗ ỗ - xữ ỗ + xữ ữ ữ ữ ố ữ ç ç4 è4 ø ø ỉ 3p x ổ p 3x ỗ ữ ữ - ữ = sin + ữ ỗ ỗ Giai phng trinh: sinỗ ( 1) ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ 10 2 10 2ứ ố ứ ố ổ ổ pử pử ỗ ÷ ÷ 3x - ÷ = sin2x sin x+ ÷ ç ç Giải phương trình: sinç ( 1) ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ 4ø è ø è ỉ pử ữ 8cos3 ỗ x+ ữ = cos3x ( 1) ç ÷ ç ÷ 3ø è ỉ pư ÷ 2sin3 ç x+ ÷ = 2sinx ( 1) ç Giải phương trinh: ữ ỗ ữ 4ứ ố ổ pử ữ x- ữ = 2sinx ( 1) ỗ Giai phng trinh: sin ỗ ữ ỗ ữ 4ứ ố ( *) Bai 14 Giải phương trình: cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 2 2 Bài 16 Giải phương trình: sin x + sin 2x + sin 3x = Bài 15 Giải phương trình: sin2 x + sin2 2x + sin2 3x = ( *) ( *) 2 2 Bài 17 Giải phương trình: sin x + sin 3x = cos 2x + cos 4x 2 2 Bài 18 Giải phương trình: sin 3x - cos 4x = sin 5x - cos 6x ( *) ( *) ỉ 5x 9x p ữ - 2cos2 ỗ + ữ Bai 19 Giai phng trinh: cos3x + sin7x = 2sin ỗ ữ ữ ỗ 2ứ ố4 2 Bai 20 Giải phương trình: sin x = cos 2x + cos 3x ( *) ( *) Bài 21 Giải phương trình: 2sin 2x + sin7x - = sinx ( *) Bài 22 Giải phương trình: sinx + sin2x + sin3x = + cosx + cos2x 3 Bài 23 Giải phương trình: sin xcos3x + cos x sin3x = sin 4x ( *) ( *) Bài 24 Giải phương trình: cos10x + 2cos 4x + 6cos3x cosx = cosx + 8cosx cos 3x ( *) 3 Bài 25 Giải phương trình: 4sin x + 3cos x - 3sinx - sin xcosx = ( *) Bài 26 Giải phương trình: ( 2sinx + 1) ( 3cos4x + 2sinx - 4) + 4cos x = ( ( *) ) ( *) 6 8 Bài 27 Giải phương trình: sin x + cos x = sin x + cos x Bài 28 Giải phương trình: sin8 x + cos8 x = sin10 x + cos10 x + cos2x ( Page ) ( *) ( ) ( *) ( *) 3 5 Bài 29 Giải phương trình: sin x + cos x = sin x + cos x 2 Bài 30 Giải phương trình: 3cos x - 4cos x sin x + sin x = Bài 31 Giải phương trình: cos3x cos3 x - sin3x sin3 x = - ( *) Bài 32 Giải phương trình: cosxcos2x cos4x cos8x = ( *) 16 Bài 33 Giải phương trình: 4sin3x cos2x = 1+ 6sinx - 8sin x ( *) Bài 34 Giải phương trình: cosx + cos2x + cos3x + cos4x + cos5x = - ( *) sin2x + 2cosx - sinx - = ( *) tanx + 1+ sin2x + cos2x = 2sinx sin2x ( *) Bài 36 Giải phương trình: 1+ cot2 x Bài 37 Giải phương trình: tanx + cot x = 2( sin2x + cos2x) ( *) Bài 35 Giải phương trình: ( *) Bài 38 Giải phương trình: tan x - tanx tan3x = Bài 39 Giải phương trình: tan2 x + cot2 x + cot2 2x = 11 ( *) ỉ p÷ x x - ÷ tan x - cos2 = ỗ Bai 40 Giai phng trinh: sin ỗ ữ ỗ ố2 4ữ ứ Bài 41 Giải phương trình: sin2x ( cot x + tan2x) = 4cos x ( *) ( *) cot2 x - tan2 x = 16( 1+ cos4x) ( *) cos2x Bài 43 Giải phương trình: 2tanx + cot2x = 2sin2x + ( *) 2sin2x 3( sinx + tanx) Bài 44 Giải phương trình: - 2( 1+ cosx) = ( *) tanx - sinx Bài 42 Giải phương trình: Bài 45 Giải phương trình: ( 1- cosx) + ( 1+ cosx) 4( 1- sinx) Bài 46 Giải phương trình: cos3x tan5x = sin7x - tan2 x sinx = 1+ sinx) + tan2 x ( *) ( ( *) 1 = 2cot x ( *) 2sinx sin2x sin4 x + cos4 x Bài 48 Giải phương trình: = ( tanx + cot2x) ( *) sin2x 2 2 Bài 49 Giải phương trình: tan x.cot 2x.cot 3x = tan x - cot 2x + cot 3x Bài 47 Giải phương trình: sin2x + sinx - ỉ xư ÷ 1+ tanx tan ÷ =4 ỗ Bai 50 Giai phng trinh: cot x + sinx ỗ ữ ỗ ữ 2ứ ố Page ( *) ( *) HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN  ù Bài Giải phương trình: cos3x - 4cos2x + 3cosx - = ( *) , " x Ỵ é ê0;14û ú ë Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2002  Lời bình: Từ việc xuất hiện ba cung x,2x,3x , giúp ta liên tưởng đến việc đưa chúng về cùng một cung Nhưng đưa về cung x hay cung 2x ? Các bạn có thể trả lời câu hỏi đó dựa vào quan niệm sau: " Trong phương trình lượng giác tồn tại ba cung x,2x,3x , ta nên đưa về cung trung gian 2x nếu biểu thức có chứa sin2x (hoặc cos2x) Còn không chứa sin2x (hoặc cos2x), nên đưa về cung x " Bài giải tham khảo ( *) Û ( 4cos ) ( ) x - 3cosx - 2cos2 x - + 3cosx - = Û 4cos3 x - 8cos2 x = écosx = ( N) p Û 4cos x ( cosx - 2) = Û ê êcosx = L Û x = + kp , ( k ẻ Â ) ( ) ìïï p 3p 5p 7pü ïì - 0,5 £ k Ê ằ 3,9 ùù ự,k ẻ Â Ê p + kp £ 14 Û ïí Do x Ỵ ộ 0;14 ị x ẻ ; ; ; ý ỳ ỷ ùù k ẻ Â ùùợ 2 2 ỵ ùù ợ Bai Giải phương trình: ( 2cosx - 1) ( 2sinx + cosx) = sin2x - sinx ( *) Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2004 Bài giải tham khảo ( *) Û ( 2cosx - 1) ( 2sinx + cosx) = 2sinx cosx - sinx Û ( 2cosx - 1) ( 2sinx + cosx) - sinx ( 2cosx - 1) = ù= Û ( 2cosx - 1) ( sinx + cosx) = Û ( 2cosx - 1) é ê( 2sinx + cosx) - sinxû ú ë é2cosx - = Û ê êsinx + cosx = Û ê ë é êcosx = cos p ê 3Û ê tanx = - ê ë é êx = ± p + k2p ê ( k;l ẻ Â ) p ờx = - + lp ê ë ( *) Bài Giải phương trình: cos3x + cos2x - cosx - = Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2006  Lời bình: Từ việc xuất hiện các cung 3x và 2x , chúng ta nghĩ đến việc đưa chúng về cùng một cung x bằng công thức nhân ba và công thức nhân đôi của hàm cos Bài giải tham khảo ( *) Û 4cos3 x - 3cosx + 2cos2 x - 1- cosx - = Û 2cos3 x + cos2 x - 2cosx - = ( ) Û cos2 x ( 2cosx + 1) - ( 2cosx + 1) = Û ( 2cosx + 1) cos2 x - = Page ésin x = ê Û - ( 2cosx + 1) sin x = Û ê Û êcosx = - ê ë ộx = kp ờ ( k;l ẻ Â ) êx = ± 2p + l2p ê ë ( *) Bài Giải phương trình: sin x + cosx + + sin2x + cos2x = Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối B năm 2005 Bài giải tham khảo ( *) Û ( sinx + cosx) + 2sinx cosx + 2cos x = Û ( sinx + cosx) + 2cosx ( sinx + cosx) = Û ( sinx + cosx) ( + 2cosx) = é ésinx = - cosx étanx = - êx = - p + kp ê ê ê Û ê Û ê Û ê ( k;l ẻ Â ) p ờcosx = êcosx = cos 2p ê ê ê êx = ± + l2p ë ë ë Bài Giải phương trình: sinx ( 1+ cos2x) + sin2x = 1+ cosx ( *) Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2008  Lời bình: Từ việc xuất hiện của cung 2x và cung x mà ta nghĩ đến việc chuyển cung 2x về cung x bằng công thức nhân đôi của hàm sin và cos, từ đó xuất hiện nhân tử chung ở hai vế ( *) Û ( ) sinx 1+ 2cos2 x - + 2sinx cosx = + cosx Û 2sinx cos2 x + 2sinx cosx = + cosx Û 2sinx cosx ( cosx + 1) - ( + cosx) = é êcosx = - Û ( cosx + 1) ( sin2x - 1) = Û ê 2Û ê sin2x = ê ë + Bài Giải phương trình: sinx é êx = ± 2p + k2p ( k,l ẻ Â ) ê p êx = + lp ê ë æ 7p ữ ữ = 4sinỗ x ỗ ( *) ữ ỗ ổ 3pữ ữ ố4 ứ ỗ ữ sinỗx ữ ỗ 2ữ ố ứ Trich thi tuyển sinh Đại học khối A năm 2008 3p 7p và - x giúp ta suy nghĩ đến việc đưa hai cung khác này về cùng một cung chung là x Để làm được điều đó, ta có thể dùng công thức cộng cung hoặc dùng câu thần chú "cos đối – sin bù – phụ chéo'' Ta thực hiện hai ý tưởng đó qua hai cách giải sau  Lời bình: Từ việc xuất hiện hai cung x - Bài giải tham khảo Cách giải Sử dụng công thức cộng cung: sin( a ± b) = sina.cosb ± cosa.sinb Page ( *) Û + sinx ỉ 7p 7p÷ ÷ = 4ỗ sin cosx sinx cos ỗ ỗ ữ 4÷ è ø 3p 3p - sin cosx 2 é ù 1 ê Û + = ê( sinx + cosx) úú sinx cosx ê ú ë û sinx + cosx Û = - 2( sinx + cosx) sinx cosx sinxcos Điều kiện: sinx cosx ¹ Û sin2x ¹ ( ) Û ( sinx + cosx) + 2sinx cosx ( sinx + cosx) = Û ( sinx + cosx) 1+ 2sin2x = é êx = - p + kp ê étanx = - ésinx + cosx = ê ê p Û ê Û ê Û ê x = - + lp ( k,l,m ẻ Â ) ê ê 1+ 2sin2x = ê ê ê êsin2x = ë ê 5p ë êx = + mp ê ë Cách giải Sử dụng "cos đới – sin bù – phụ chéo'' ìï éỉ ửự 3pữ p ùù sinổ ữ ỗ ỗ ú= cosx ÷ ÷ x = sin p x ç ç ÷ ÷ ïï êè ú ÷ ÷ ç ç 2 è ø ø ê ú ë û Ta có: ïí é ù ỉ ỉ ỉ pử ùù 7p pữỳ ỗ ờ2p - ỗ ữ ÷ ÷ - x÷ = sin x + = sin x+ ữ =ùù sinỗ ỗ ỗ ỗ ( sinx + cosx) ữ ữ ữ ỳ ỗ ỗ ỗ ữ ÷ú ÷ 4ø 4ø è4 ø è è ïïỵ ê ë û é ù 1 ( *) Û sinx + cosx = êê- ( sinx + cosx) úú Giải tương tự cách giải ë ỷ ổ pử ổ p ữ ỗ ữ ữ cot ỗ cot x ỗx + ữ ỗ ( *) ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ố 3ø è6 ø Trích đề thi tuyển sinh Đại học Giao Thông Vận Tải Tp HCM năm 1999 4 Bài Giải phương trình: sin x + cos x = p p p + - x = giúp ta liên tưởng đến câu ''phụ chéo'' , thật vậy: ù ỉ p÷ ỉ ỉ p÷ ö ép æ ö æ pö æ pö p p ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ - ỗ ỳ= cot ỗ ữ ữ ữ ữ ữ ữ cot ỗ x + cot x = cot x + cot + x x + tan x+ ữ = ỗ ỗ ç ç ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ỳ ỗ ỗ ỗ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ÷ ÷ ÷ ÷ 3 3 è ø è ø è ø ê è ø è ø è ø ú ë û Công việc còn lại của chúng ta là dùng công thức: sin4 x + cos4 x = 1- sin2 2x Nếu cos không có nhận xét này, mà ta tiến hành biến đổi tan cot = , rồi qui đồng thì bài toán sin trở nên rất phức tạp, chưa tính đến việc đối chiếu nghiệm với điều kiện  Lời bình: Từ tổng hai cung x + Bài giải tham khao ổ pử ùỡù ữ x+ ữ ùù sinỗ ỗ ữ ỗ ổ pử ổ ổ ÷ p ỉ pư pư 3ø è ï ÷ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ sinỗ x+ ữ sin x cos 2x cos 2x ỗ ỗ ỗ ç ĐK: í ÷ ÷ ÷ ÷ ç ỉ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ùù p 3ứ ố6 ố 6ứ 6ứ ố ứ ố ữ ỗ - xữ ùù sinỗ ữ ỗ ữ è ø ïïỵ Page 10 Bài 417 Giải hệ phương trình: Bài 418 Giải hệ phương trình: Bài 419 Giải hệ phương trình: Bài 420 Giải hệ phương trình: Bài 421 Giải hệ phương trình: Bài 422 Giải hệ phương trình: Bài 423 Giải hệ phương trình: Bài 424 Giải hệ phương trình: Bài 425 Giải hệ phương trình: Bài 426 Giải hệ phương trình: Bài 427 Giải hệ phương trình: Bài 428 Giải hệ phương trình: Page 118 ìï sinx - 7cosy = ï í ïï 5siny - cosx = ỵ ìï tanx + 2siny = sin2x ï í ïï 2sinycos( x - y) = sinx ïỵ ìï sinx = sin2y ïï ïï é ù ïí x Î é0;pù, y Î ê- p ; p ú ê ú ë û ê 4ú ïï ë û ïï ïï cosx = 2cosy ỵ ìï ïï sin( px) cos( py) = ïï ï 3tan px = tan py í ( ) ( ) ïï ïï < x + y < ïï ỵ ìï cosx - cos2y = x - 2y ( 1) ï í ïï tanx = 3tany ( 2) ùợ ổ pữ ùỡù y+ ữ ùù tanx + cot x = 2sinỗ ỗ ( 1) ỗ ữ 4ữ ố ứ ùớ ổ pử ùù ữ x- ữ ỗ ùù tany + cot y = 2sinỗ ( 2) ữ ỗ ữ 4ứ ố ùùợ ìï sin x + sin y = sin( x + y) ï í ïï x + y = ïỵ ìï ïï sinx cosysin( x + y) + = í ïï x = y + z ïïỵ ìï ïï sin x - 2sinx cos2y = cos x + y + cos x - y - í 2 ïï cosx + cosy 2sin 2y = ïïỵ ìï cot x - cot y = x - y ïï ïí 5x + 8y = 2p ïï ïï < x,y < p ỵ ìï cos( x + y) = 2cos( x - y) ïï í ïï cosx cosy = ïïỵ ìï ỉ 3pư ữ ùù tanx + cot x = 2sinỗ ữ yỗ ữ ỗ ù ữ 4ứ ố ùớ ổ pử ùù ữ x+ ữ ỗ ùù tany + cot y = 2sinỗ ữ ỗ ữ 4ứ ố ùùợ Bai 429 Giai hệ phương trình: Bài 430 Giải hệ phương trình: Bài 431 Giải hệ phương trình: Bài 432 Giải hệ phương trình: Bài 433 Giải hệ phương trình: Bài 434 Giải hệ phương trình: Bài 435 Giải hệ phương trình: Bài 436 Giải hệ phương trình: Bài 437 Giải hệ phương trình: Bài 438 Giải hệ phương trình: Bài 439 Giải hệ phương trình: Bài 440 Giải hệ phương trình: Bài 441 Giải hệ phương trình: Bài 442 Giải hệ phương trình: ìï ïï ex- y = sinx ïï siny ïï í 10 x + = y + ùù ổ 5pử ùù ữ p; ữ ỗ ùù x,y ẻ ỗ ữ ỗ ữ ố 4ứ ùùợ ìï sinx + siny = ï í ïï sin x + sin2 y = ïỵ ìï tanx + tany + tanx tany = ï í ïï 3sin2y - = cos4x ỵ ìï ïï sinxsiny = - ï í ïï ïï cosxcosy = ïỵ ìï sin x = cosxcosy ï í ïï cos2 x = sinxsiny ïỵ ìï ïï sinxcosy = í ïï 3tanx = tany ïïỵ ìï tanx + tany = ïï í ïï tan x + tan y = ïïỵ 2 ìï tg2x + tg2y = ï í ïï tgx.cot gy + tgy.cot gx = - ïỵ ìï sinx.cosy = ïï í ïï 2sin2 x - cos2y - = ïỵ ìï x ± y = φ ïï í sinx ïï =m ïïỵ siny ìï x ± y = φ ïï í cosx ïï =m ïïỵ cosy ìï x ± y = φ ïï í tanx ïï =m ïïỵ tany ìï x ± y = φ ï í ïï tanx.tany = m ỵ ìï x ± y = φ ï í ïï cot x.cot y = m ỵ ( ) Page 119 Bài 443 Bài 444 Bài 445 Bài 446 Bài 447 Bài 448 Bài 449 Bài 450 ìï ïï sinx + siny = Cho hệ phương trình: í ïï cos2x + cos2y = m ïïỵ a/ Giải hệ phương trình m = - b/ Tìm tham sớ m để hệ có nghiệm ìï x - y = m ï Cho hệ phương trình: í ïï 2( cos2x + cos2y) - 1- 4cos2 m = ïỵ Tìm tham sớ m để hệ phương trình có nghiệm ìï cosx cosy = m + ï Cho hệ phương trình: í ïï sinxsiny = 4m2 + 2m ïỵ a/ Giải hệ phương trình m = - b/ Tìm tham số m để hệ có nghiệm ìï y2 + tan2 x = ï Cho hệ phương trình: í Tìm tham số m để hệ có nghiệm nhất ïï y + = ax2 + a + sinx ïỵ ìï sinx + sin2x = m ï Cho hệ phương trình: í ïï cosx + cos2x = m ỵ a/ Giải hệ phương trình m = b/ Tìm tham sớ m để hệ có nghiệm ìï 2x + x = cosx + x2 + a ï Cho hệ phương trình: ïí Tìm tham sớ a để hệ có nghiệm nhất ïï x + cos2 x = ïỵ ìï sinx + cosy = a ï Tìm điều kiện cần và điều kiện đủ để hệ sau có nghiệm: í ïï siny + cosx = b î ìï sin x + mtany = m ï Cho hệ phương trình: í ïï tan2 y + msinx = m ïỵ a/ Giải hệ phương trình m = - b/ Tìm tham số m để hệ có nghiệm J – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC – NHẬN DẠNG TAM GIÁC   Định lí hàm sớ sin và cosin µ B, µ C µ và R, S tương ứng là bán kính đường Cho ∆ABC có a, b, c lần lượt là ba cạnh đối diện của A, tròn ngoại tiếp và diện tích ∆ABC A b c B Page 120 a C a b c = = = 2R sinA sinB sinC · a2 = b2 + c2 - 2bccosA = b2 + c2 - 4S.cot A · · b2 = a2 + c2 - 2accosB = a2 + c2 - 4S.cot B · c2 = a2 + b2 - 2abcosC = a2 + b2 - 4S.cotC  Định lí về đường trung tuyến A Cho ∆ABC có trung tuyến AM thì BC 2 a hay : c2 + b2 = 2m2a + AB2 + AC2 = 2AM + c b ma B M a C  Diện tích tam giác Gọi S : là diện tích ∆ABC R : bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC r : bán kính đường tròn nội tiếp ∆ABC p : nửa chu vi của ∆ABC 1 1 1 ● S = a.ha = b.hb = c.hc ● S = absinC = acsinB = bcsinA 2 2 2 abc a+b+c ● S= ● S = pr, p = 4R ● S = p( p - a) ( p - b) ( p - c)  Bán kính đường tròn Gọi R : bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC r : bán kính đường tròn nội tiếp ∆ABC a abc = 2sinA 4S S ● r= p  Định lí hàm số tan và cot A- B tan a- b ; = ● a+b A +B tan ● r = ( p - a) tan ● R= A B C = ( p - b) tan = ( p - c) tan 2 ● cot A + cot B + cotC = BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 451 Chứng minh các đẳng thức bản ∆ABC A B C cos cos 2 A B C b/ cosA + cosB + cosC = + 4sin sin sin 2 c/ sin2A + sin2B + sin2C = 4sinA sinB sinC a/ sinA + sinB + sinC = 4cos Page 121 a2 + b2 + c2 4S d/ cos2A + cos2B + cos2C = - 1- 4cosA cosB cosC e/ sin2 A + sin2 B + sin2 C = + 2cosA cosB cosC f/ cos2 A + cos2 B + cos2 C = 1- 2cosA cosB cosC A B C A B C + sin2 + sin2 = 1- 2sin sin sin 2 2 2 A B C A B C h/ cos2 + cos2 + cos2 = + 2sin sin sin 2 2 2 i/ tanA + tanB + tanC = tanA tanB tanC A B B C C A j/ tan tan + tan tan + tan tan = 2 2 2 g/ sin2 Bài 452 Chứng minh ∆ABC, ta có: tankA + tankB + tankC = tankA tankB tankC , ( k ẻ Ơ ) A B tan = Chứng minh: a + b = 2c 2 Bài 454 Cho ∆ABC có ba góc A, B, C theo thứ tự tạo thành cấp số nhân công bội q = Chứng minh: Bài 453 Cho ∆ABC Biết tan 1 + + = sin A sin B sin C c/ cos2 A + cos2 B + cos2 C = b/ cosA cosB cosC = - a/ d/ 1 = + a b c A C Bài 455 Cho D ABC, BC = a, CA = b, AB = c Chứng minh: 2b = a + c Û cot cot = 2 sinA sinB sinC = = Bài 456 Cho ∆ABC Biết rằng: Tính các góc của ∆ABC Bài 457 Cho ∆ABC Biết rằng có ba góc A, B, C tạo thành một cấp số nhân có cơng bợi q = µ