Mở đầu Lý thuyết điều kiện tối ưu cho toán tối ưu phát triển từ giai đoạn sớm toán học Khởi đầu nghiên cứu tốn phép tính biến phân cổ điển với điều kiện tối ưu mơ tả dạng phương trình Euler Sự phát triển mạnh mẽ lý thuyết toán điều khiển tối ưu qui hoạch toán học cho kết dạng nguyên lý cực đại Pontryagin qui tắc nhân tử Lagrange Năm 1965 A.YA Dubovitsky A.A Milyutin đưa lý thuyết điều cần tối ưu ngơn ngữ giải tích hàm Lược đồ tổng quát Dubovitsky Milyutin bao hàm tất tốn quy hoạch tóa học, điều khiển tối ưu biến phân cổ điển Sau cơng trình Dubovitsky - Milyutin, nhiều lý thuyết điều kiện cần tối ưu tổng quát khác đời lý thuyết R.V Gamkrelidze - G.L Kharatishvili, L.W Neustadt, H Halkin, A.D Ioffe - V.M Tikhomirov, B.N Pshenichnyi, F.H Clarke, B.D Craven, Các điều kiện tối ưu không trơn phát triển mạnh mẽ ngôn ngữ vi phân Clarke, Michel - Penot, Mordukhovich Jeyakumar Luc (1999) tổng quát hóa khái niệm vi phân đưa khái niệm vi phân suy rộng (convexificator) đóng, khơng lồi cho hàm vơ hướng Jacobian xấp xỉ cho hàm vectơ Từ đó, điều kiện tối ưu ngôn ngữ vi phân suy rộng Jacobian xấp xỉ phát triển mạnh Một số nhà tốn học Việt Nam có đóng góp đáng kể việc nghiên cứu tốn cân toán bất đẳng thức biến phân giáo sư Hoàng Tụy, Phạm Hữu Sách, Đinh Thế Lục, Phan Quốc Khánh, Nguyễn Đông Yên, Nguyễn Văn Hiền, Lê Dũng Mưu, Đỗ Văn Lưu, Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Xuân Tấn, Nguyễn Bường, Nguyên Năng Tâm nhiều giáo sư khác Bài toán cân vectơ Blum - Oettli đưa năm 1994 Lớp toán cân vectơ bao gồm nhiều lớp toán quan trọng như: toán bất đẳng thức biến phân vectơ, toán tối ưu vectơ, toán điểm bất động, toán bù vectơ, toán cân Nash vectơ Điều kiện tối ưu cho toán cân vectơ toán bất đẳng thức biến phân vectơ nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu Giannessi - Mastroeni - Pllegrini (2000) dẫn điều kiện đủ tối ưu cho bất đẳng thức biến phân vectơ không gian hữu hạn chiều, Morgan Romaniello (2006) thiết lập điều kiện Kuhn - Tucker cho bất đẳng thức tựa biến phân suy rộng vectơ không gian Hilbert Các điều kiện tối ưu cho - nghiệm bất đẳng thức biến phân vectơ không gian Banach Yang - Zeng (2008) thiết lập D.E Ward and G.M Lee (2002), X Q Yang (1993) thiết lập điều kiện tối ưu cách chứng minh tương đương bất đẳng thức biến phân vectơ toán tối ưu vectơ Gong (2010 – 2012) dẫn điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu tốn cân vectơ khơng có ràng buộc điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu toán cân vectơ có ràng buộc với hàm khả vi Các điều kiện tối ưu cho toán bất đẳng thức biến phân vec tơ với ràng buộc không trơn loại đẳng thức, bất đẳng thức ràng buộc tập ngôn ngữ vi phân Clarke Michel–Penot vấn đề cần nghiên cứu Trong luân án, nghiên cứu vấn đề Borwein – Lewis (1992) đưa vào khái niệm phần tựa tương đối (quasirelative interior) tập lồi không gia vô hạn chiều Trong không gian hữu hạn chiều phần tựa tương đối trùng với phần tương đối Cammaroto – Bella (2005) sử dụng khái niệm phần tựa tương đối Borwein – Lewis (1992) thay cho phần để chứng minh định lí tách ngơn ngữ phần tựa tương đối Điều kiện tối ưu cho toán cân vec tơ ngôn ngữ phần tựa tương đối vấn đề cần nghiên cứu Trong luận án, nghiên cứu vấn đề Bằng cách sử dụng định lý tách Cammaroto – Bella (2005), chứng minh điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu toán cân vectơ trường hợp khơng có ràng buộc có ràng buộc qua phần tựa tương đối Các kết áp dụng để dẫn điều kiện tối ưu cho toán bất đẳng thức vectơ toán tối ưu vectơ Bài toán cân vec tơ với ràng buộc cân (hay gọi ràng buộc bù) bao gồm toán bất đẳng thức biến phân vec tơ toán tối ưu vec tơ với ràng buộc cân trường hợp đặc biệt Điều kiện quy điều kiện tối ưu cho toán tối ưu với ràng buộc cân nghiên cứu nhiều tác giả Việc tìm điều kiện quy thích hợp để dẫn điều kiện Kuhn–Tucker cho toán tối ưu với ràng buộc cân đề tài thu hút quan tâm nghiên cứu rộng rãi nhiều tác giả năm gần Các toán tối ưu phi tuyến với ràng buộc cân không thỏa mãn hầu hết điều kiện quy thơng thường cho toán quy hoạch toán học, trừ điều kiện quy Guignard M.L Flegel C Kanzow (2003) thiết lập điều kiện cần kiểu Fritz John Kuhn–Tucker với điều kiện quy kiểu Mangasarian–Fromovitz cho tốn tối ưu vơ hướng khả vi với ràng buộc cân M.L Flegel C Kanzow (2005) chứng minh điều kiện cần cấp cho toán vô hướng với ràng buộc cân với điều kiện quy Guignard, mốt số điều kiện đủ cho điều kiện quy Guignard Điều kiện tối ưu cho tốn cân vec tơ khơng trơn với ràng buộc cân vấn đề cần nghiên cứu Trong luận án, chứng minh điều kiện cần Fritz John cho nghiệm hữu hiệu yếu tốn cân vec tơ khơng trơn với ràng buộc cân ngôn ngữ vi phân Clarke; điều kiện cần Kuhn–Tucker với điều kiện quy thích hợp điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu với vác giả thiết tính lồi suy rộng; Các kết áp dụng áp cho toán bất đẳng thức biến phân vectơ tốn tối ưu vectơ Mục đích luận văn thiết lập điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu toán cân vectơ qua phần tựa tương đối, điều kiện cần Fritz John Kuhn–Tucker cho nghiệm hữu hiệu yếu toán cân vec tơ không trơn với ràng buộc cân ngôn ngữ vi phân Clarke, điều kiện cần đủ cho nghiệm hữu hiệu yếu, nghiệm hữu hiệu, nghiệm hữu hiệu tồn cục tốn bất đẳng thức biến phân vec tơ ngôn ngữ vi phân Clarke Michel–Penot Nội dung mà nghiên cứu bao gồm: a) Thiết lập điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu yếu, nghiệm hữu hiệu, nghiệm hữu hiệu tồn cục tốn bất đẳng thức biến phân vectơ với ràng buộc đẳng thức, ràng buộc nón ràng buộc tập ngơn ngữ vi phân Clarke Michel-Penot b) Thiết lập điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu toán cân vectơ qua phần tựa tương đối trường hợp khơng có ràng buộc có ràng buộc Các điều kiện đủ tối ưu dẫn với giả thiết tính lồi suy rộng hàm liệu Các kết áp dụng để dẫn điều kiện tối ưu cho toán bất đẳng thức vectơ toán tối ưu vectơ c) Thiết lập điều kiện cần Fritz John cho nghiệm hữu hiệu yếu tốn cân vec tơ khơng trơn với ràng buộc cân ngôn ngữ vi phân Clarke; điều kiện cần Kuhn–Tucker với điều kiện quy thích hợp, điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu yếu với vác giả thiết tính lồi suy rộng Các kết áp dụng áp cho toán bất đẳng thức biến phân vectơ toán tối ưu vectơ Luận án bao gồm phần mở đầu, bốn chương, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Các kết luận án báo cáo tại: - Seminar Tối ưu, Khoa Toán - Tin, Đại học Thăng Long, Hà Nội; - Seminar Nghiên cứu sinh Khoa Toán, Trường Đại học Sư Phạm - Đại học Thái Nguyên; - Hội nghị Khoa học hàng năm Trường Đại học Công nghệ Thông tin Truyền thông - Đại học Thái Nguyên, từ 2014–2017 Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày khái niệm kiến thức cần sử dụng chương sau bao gồm: Phát biểu toán cân vec tơ tốn có liên quan, định lý tách tập lồi không tương giao, số kiến thức vi phân hàm lồi, vi phân Clarke, vi phân Michel–Penot vi phân Dini, số tính chất phần tựa tương đối định lý tách, số lớp hàm lồi suy rộng • Mục 1.1 phát biểu toán cân vec tơ tốn có liên quan tốn bất đẳng thức vec tơ tốn tối ưu vec tơ • Mục 1.2 trình bày định lý tách tập lồi không tương giao vi phân hàm lồi • Mục 1.3 trình bày vi phân Clarke, vi phân Michel–Penot, vi phân Dini số kết bổ trợ • Mục 1.4 trình bày khái niệm phần tựa tương đối, tính chất định lý tách Cammaroto–Bella [9] • Mục 1.5 trình bày khái niệm hàm lồi suy rộng hàm ∂-tựa lồi, ∂-giả lồi, ∂-tựa tuyến tính Chương Điều kiện tối ưu cho bất đẳng thức biến phân vectơ Chương trình bày kết điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu yếu, nghiệm hữu hiệu, nghiệm hữu hiệu toàn cục toán bất đẳng thức biến phân vectơ với ràng buộc đẳng thức, ràng buộc nón ràng buộc tập ngôn ngữ vi phân Clarke với điều kiện quy thích hợp sử dụng kết A Jourani (1994) Các điều kiện đủ dẫn với điều kiện tính ∂-tựa lồi đặt hàm ràng buộc Khi sử dụng kết D.V Luu (2012), điều kiện tối ưu cho toán bất đẳng thức biến phân với ràng buộc đẳng thức, ràng buộc theo nón lồi đa diện ràng buộc tập qua vi phân Michel–Penot thiết lập Các kết trình bày chương dựa vào cơng trình nghiên cứu Đ.V Lưu - Đ.D Hằng [1], đăng tạp chí Journal of Mathematical Analysis and Applications, 412 (2014), 792–804 (SCI) 2.1 Điều kiện tối ưu ngôn ngữ vi phân Clarke Giả sử X, Y không gian Banach thực T ánh xạ từ X vào không gian £(X, Y ) gồm tốn tử tuyến tính liên tục từ X vào Y Như vậy, với x ∈ X, T (x) ánh xạ tuyến tính liên tục từ X vào Y Giả sử g h ánh xạ từ X vào Rm Rl Khi đó, g = (g1 , , gm ), h = (h1 , , hl ) Giả sử C S tập đóng khác rỗng X Rm , Q nón lồi đóng nhọn Y Đặt K = {x ∈ C : g(x) ∈ S, h(x) = 0} (2.1) Giả sử X ∗ không gian đối ngẫu tôpô X, x¯ ∈ X f hàm giá trị thực xác định X Nhắc lại: đạo hàm theo phương Clarke f x¯ theo phương v xác định sau: f (¯ x; v) = lim sup x→¯ x,t↓0 f (x + tv) − f (x) t Dưới vi phân Clarke f x¯ xác định bởi: ∂f (¯ x) = ξ ∈ X ∗ : ξ, v ≤ f (¯ x; v), ∀v ∈ X , 2.1.1 Nghiệm hữu hiệu yếu Xét toán bất đẳng thức biến phân vectơ (WVVI): Tìm x ∈ K cho T (x)(y − x) ∈ / −intQ (∀y ∈ K) (2.2) Với intQ = ∅, vectơ x¯ thỏa mãn (2.2) gọi nghiệm hữu hiệu yếu (WVVI) Để thiết lập điều kiện tối ưu cho (WVVI) ta đưa vào điều kiện quy sau: Điều kiện quy (CQ1): g h Lipschitz địa phương x¯ ∈ K; với µ ∈ N (S, g(¯ x)), ν ∈ Rl không đồng thời 0, 0∈ / ∂(µg)(¯ x) + ∂(νh)(¯ x) + N (C, x¯), (2.3) N (C, x) nón pháp tuyến Clarke C x Điều kiện quy (CQ2): Trong trường hợp C = X = Rp , S = Rm +, p tồn v0 ∈ R cho (a) ξi , v0 > 0, ∀ξi ∈ ∂gi (¯ x), i = 1, , m; (b) γ, v0 = 0, ∀γ ∈ ∂h(¯ x); (c) Với γ ∈ ∂h(¯ x), hàng γ hệ độc lập tuyến tính Mệnh đề 2.1 (CQ1) tương đương (CQ2) Định lý 2.1 Giả sử x¯ nghiệm hữu hiệu yếu (WVVI), điều kiện ¯ ∈ Q∗ \{0}, µ quy (CQ1) thỏa mãn Khi đó, ∃λ ¯ ∈ N (S, g(¯ x)), ν ∈ Rl cho ¯ + ∂(¯ ∈ T (¯ x)∗ λ µg)(¯ x) + ∂(νh)(¯ x) + N (C; x¯) ¯ ∈ Q∗ \{0}, µ Định lý 2.2 Giả sử x¯ ∈ K, tồn λ ¯ ∈ N (S, g(¯ x)), ν ∈ Rl cho ¯ + ∂(¯ ∈ T (¯ x)∗ λ µg)(¯ x) + ∂(¯ ν h)(¯ x) + N (C; x¯) (2.4) Giả sử tập S C lồi, ánh xạ µ ¯g ν¯h ∂-tựa lồi x¯ C Khi đó, x¯ nghiệm hữu hiệu yếu (WVVI) 2.1.2 Nghiệm hữu hiệu tồn cục Xét tốn bất đẳng thức biến phân vectơ (GVVI): Tìm x ∈ K cho T (x)(K − x) ∩ (−H\{0}) = ∅, (2.5) H nón lồi nhọn có phần khác rỗng thoả mãn Q\{0} ⊂ intH, x¯ ∈ K thỏa mãn (2.5) gọi nghiệm hữu hiệu toàn cục (GVVI) Từ (2.5), ta thấy trường hợp intQ = ∅, nghiệm hữu hiệu toàn cục nghiệm hữu hiệu yếu Kí hiệu Q∗0 tựa phần (quasi-interior) Q∗ : Q∗0 = {y ∗ ∈ Y ∗ : y ∗ , y > 0, ∀y ∈ Q\{0}} Định lý 2.3 Giả sử x¯ nghiệm hữu hiệu toàn cục (GVVI), điều kiện ¯ ∈ Q∗ , µ ∈ N (S, g(¯ quy (CQ1) thỏa mãn Khi đó, tồn λ x)), ν¯ ∈ Rl cho ¯ + ∂(¯ ∈ T (¯ x)∗ λ µg)(¯ x) + ∂(¯ ν h)(¯ x) + N (C; x¯) ¯ ∈ Q∗ µ Định lý 2.4 Giả sử x¯ ∈ K; Tồn λ ¯ ∈ N (S, g(¯ x)), ν¯ ∈ Rl cho ¯ + ∂(¯ ∈ T (¯ x)∗ λ µg)(¯ x) + ∂(¯ ν h)(¯ x) + N (C; x¯) ¯ ∂-tựa lồi x¯ C Khi Giả sử tập S C lồi, ánh xạ µ ¯g h đó, x¯ nghiệm hữu hiệu toàn cục (GVVI) 2.1.3 Nghiệm hữu hiệu Xét toán bất đẳng thức biến phân vectơ (EVVI): Tìm x¯ ∈ K cho T (¯ x)(x − x¯) ∈ / −Q\{0}, (∀x ∈ K), (2.6) x¯ thỏa mãn (2.6) gọi nghiệm hữu hiệu (EVVI) Giả sử Y = Rn , Q = Rn+ Khi đó, (2.6) viết dạng: khơng tồn x ∈ K cho T (¯ x)k (x − x¯) ≤ với k ∈ J := {1, , n}, T (¯ x)s (x − x¯) < với s ∈ J, T (¯ x) = (T (¯ x)1 , , T (¯ x)n ), T (¯ x)k : X → R (k ∈ J) Điều kiện quy (CQ3): Với s ∈ J với λk ≥ 0(k ∈ J, k = s), µ ∈ N (S, g(¯ x)), ν ∈ Rl , không đồng thời 0, 0∈ / λk T (¯ x)k + ∂(µg)(¯ x) + ∂(νh) + N (C, x¯) k∈J,k=s Định lý 2.5 Giả sử x¯ nghiệm hữu hiệu toán (EVVI), điều kiện quy (CQ3) thỏa mãn với s ∈ J Khi đó, tồn λk ≥ (k ∈ J, k = s), µ ∈ N (S, g(¯ x)), ν ∈ Rl cho ∈ T (¯ x)s + λk T (¯ x)k + ∂(µg)(¯ x) + ∂(νh)(¯ x) + N (C, x¯) (2.7) k∈J,k=s Định lý 2.6 Giả sử x¯ nghiệm hữu hiệu toán (EVVI), điều kiện ¯ k ≥ (k ∈ J, k = quy (CQ3) thỏa mãn với s ∈ J Khi đó, tồn λ s), µ ∈ N (S, g(¯ x)), ν ∈ Rl cho ¯ k T (¯ λ x)k + 0∈ ∂(¯ µ(s) g)(¯ x) + s∈J k∈J ∂(ν (s) h)(¯ x) + N (C, x¯) s∈J ¯ k > (∀k ∈ J, ) µ Định lý 2.7 Giả sử x¯ ∈ K; tồn λ ¯(s) ∈ N (S, g(¯ x)), ν¯(s) ∈ Rl (∀s ∈ J) cho ¯ k T (¯ λ x)k + 0∈ ∂(¯ µ(s) g)(¯ x) + s∈J k∈J ∂(ν (s) h)(¯ x) + N (C, x¯) (2.8) s∈J Giả sử tập S C lồi, ánh xạ µ ¯(s) g ν (s) h (∀s ∈ J) ∂- tựa lồi x¯ C Khi đó, x¯ nghiệm hữu hiệu tốn (EVVI) 2.2 Điều kiện tối ưu ngơn ngữ vi phân Michel - Penot Giả sử g Lipschitz địa phương x¯, h có đạo hàm Fréchet x¯ với đạo hàm Fréchet ∇h(¯ x), S nón lồi đa diện Rm , C tập đóng khác rỗng X, Q nón lồi đóng nhọn Y Khi đó, S = {y ∈ Rm : , y ≥ 0, i = 1, , r} (ai ∈ Rm , i = 1, , r) r ∗ S ={ βi : βi ≥ 0, i = 1, , r} (2.9) i=1 Đặt gi (x) = − , g(x) (i = 1, , r) Khi đó, tốn (WVVI) tương đương với tốn: tìm x ∈ K cho T (x)(y − x) ∈ / −intQ (∀y ∈ K), K = {y ∈ C : gi (x) ≤ (i = 1, , r), hj (x) = (j = 1, , l)} Với x¯ ∈ M , đặt I(¯ x) = {i ∈ {1, , r} : gi (x) = 0}, C(K; x¯) = {v ∈ T (C; x¯) : gi♦ (¯ x, v) ≤ (∀i ∈ I(¯ x)), ∇hj (¯ x), v = (j = 1, , l)}, l H(¯ x) = { µi ∂ MP νj ∇hj (¯ x) + N (C; x¯) : µi ≥ (∀i ∈ I(¯ x)), gi (¯ x)+ j=1 i∈I(¯ x) νj ∈ R(j = 1, , l)} Nhắc lại: Đạo hàm theo phương Michel - Penot f x¯ theo phương v xác định bởi: f ♦ (¯ x; v) = sup lim sup ω∈X t↓0 f (¯ x + t(v + ω)) − f (¯ x + tω) t Dưới vi phân Michel - Penot f x¯ ∂ M P f (¯ x) = ξ ∈ X ∗ : ξ, v ≤ f ♦ (¯ x; v), ∀v ∈ X Điều kiện quy (CQ4): C(K; x¯) ⊂ T (K; x¯) 2.2.1 Nghiệm hữu hiệu yếu nghiệm hữu hiệu toàn cục Định lý 2.8 Giả sử x¯ nghiệm hữu hiệu yếu toán (WVVI) với điều kiện quy (CQ4) thỏa mãn H(¯ x) đóng ∗ yếu Khi đó, tồn ¯ ∈ Q∗ \{0}, µ λ ¯i ≥ (∀i ∈ I(¯ x)), ν¯i ∈ R (j = 1, , l) cho l ∗¯ ∈ T (¯ x) λ + µ ¯i ∂ MP ν¯j ∇hj (¯ x) + N (C; x¯) gi (¯ x) + j=1 i∈I(¯ x) Hệ 2.1 Giả sử x¯ nghiệm hữu hiệu yếu toán (WVVI), ¯ ∈ Q∗ \{0} cho khơng có ràng buộc g h Khi đó, tồn λ ¯ + N (C; x¯) ∈ T (¯ x)∗ λ Định lý 2.9 Giả sử x¯ nghiệm hữu hiệu tồn cục tốn (GVVI) với điều kiện quy (CQ4) thỏa mãn H(¯ x) đóng ∗ yếu Khi đó, tồn ¯ ∈ Q∗ , µ λ x)), ν¯i ∈ R (j = 1, , l) cho ¯ i ≥ (∀i ∈ I(¯ l ∗¯ ∈ T (¯ x) λ + µ ¯i ∂ MP ν¯j ∇hj (¯ x) + N (C; x¯) gi (¯ x) + j=1 i∈I(¯ x) 10 ¯ ∈ Q∗ \{0} (t.ư Q∗ ), µ ¯i ≥ (∀i ∈ Định lý 2.10 Giả sử x¯ ∈ K; tồn λ I(¯ x)), ν¯i ∈ R (j = 1, , l) cho l ∗¯ ∈ T (¯ x) λ + µ ¯i ∂ MP ν¯j ∇hj (¯ x) + N (C; x¯) gi (¯ x) + j=1 i∈I(¯ x) Giả sử C tập lồi, hàm g1 , , gr ∂ M P −tựa lồi x¯ C, hàm ±h1 , , ±hl tựa lồi x¯ C Khi đó, x¯ nghiệm hữu hiệu yếu (t.ư tồn cục) tốn (WVVI) (t.ư (GVVI)) Hệ 2.2 Giả sử x¯ ∈ K ràng buộc g, h (W V V I) ¯ ∈ Q∗ \{0} (hoặc Q∗ ) cho (t.ư (GVVI)) Giả sử C lồi tồn λ ∗¯ ∈ T (¯ x) λ + N (C; x¯) Khi đó, x¯ nghiệm hữu hiệu yếu (toàn cục) (WVVI) (t.ư (GVVI)) 2.2.2 Nghiệm hữu hiệu Giả sử Y = Rn Q = Qn+ Với s ∈ J, Ks = {x ∈ C : T (¯ x)k (x) ≤ T (¯ x)k (¯ x) (∀k ∈ J, k = s),gi (x) ≤ (i = 1, , r), hj (x) = (∀j ∈ L), } C(Ks ; x¯) = {v ∈ T (C; x¯) : T (¯ x)k , v ≤ (∀k ∈ J, k = s), gi♦ (¯ x, v) ≤ (∀i ∈ I(¯ x)), ∇hj (¯ x), v = (j = 1, , l)}, l Hs = { µ ¯i ∂ λk T (¯ x)k + k∈J,k=s MP ν¯j ∇hj (¯ x) + N (C; x¯) : gi (¯ x) + j=1 i∈I(¯ x) µi ≥ (∀i ∈ I(¯ x)), νj ∈ R(j = 1, , l)} Điều kiện quy (CQ5): C(Ks ; x¯) ⊂ T (Ks ; x¯) Định lý 2.11 (i) Giả sử x¯ nghiệm hữu hiệu toán (EVVI), điều kiện quy (CQ5) thỏa mãn với s ∈ J Hs (¯ x) đóng ∗ yếu Khi ¯ k > (∀k ∈ J), µi ≥ (∀i ∈ I(¯ đó, tồn λ x)), νj ∈ R (j = 1, , l) cho l ¯ k T (¯ λ x)k + ∈ T (¯ x)s + k∈J,k=s µ ¯i ∂ i∈I(¯ x) MP ν¯j ∇hj (¯ x) + N (C; x¯) gi (¯ x) + j=1 (2.10) 11 (ii) Giả sử x¯ nghiệm hữu hiệu toán (EVVI); Với s ∈ J, điều kiện quy (CQ5) thỏa mãn Hs (¯ x) đóng ∗ yếu Khi đó, tồn ¯ k > (∀k ∈ J), µi ≥ (∀i ∈ I(¯ λ x)), νj ∈ R (j = 1, , l) cho l ¯ k T (¯ λ x)k + 0∈ k∈J,k=s µ ¯i ∂ MP ν¯j ∇hj (¯ x) + N (C; x¯) (2.11) gi (¯ x) + j=1 i∈I(¯ x) ¯ k > 0(∀k ∈ J), µi ≥ (∀i ∈ I(¯ (iii) Giả sử x¯ ∈ K; Tồn λ x)), νj ∈ R (j = 1, , l) thỏa mãn (2.11) Giả thiết tập C lồi, hàm g1 , , gr ∂ M P -tựa lồi x¯ C, hàm ±h1 , , ±hl tựa lồi x¯ C Khi đó, x¯ nghiệm hữu hiệu (EVVI) 12 Chương Điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu tốn cân vectơ Chương trình bày kết điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu tốn cân vectơ ngơn ngữ phần tựa tương đối (quasirelative interior) trường hợp intQ ∅ Bằng cách sử dụng định lý tách Cammaroto–Bella (2005), chứng minh điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu tốn khơng có ràng buộc ngơn ngữ vi phân Clarle Sử dụng kết Jiménez–Novo (2003) nón giao hai tập, chúng tơi chứng minh điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu tốn có ràng buộc đẳng thức, bất đẳng thức ràng buộc tập qua vi phân Clarke Dini Các điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu dẫn với giả thiết tính ∂-giả lồi ∂D -tựa lồi Các kết áp dụng để dẫn điều kiện tối ưu cho toán bất đẳng thức vectơ toán tối ưu vectơ Các kết trình bày chương dựa vào cơng trình Đ.V Lưu - Đ.D Hằng [2], đăng tạp chí Mathematical Methods of Operations Ressearch, 79 (2014), 163–177 (SCIE) cơng trình Đinh Diệu Hằng [4], đăng Tạp chí Khoa học Cơng nghệ, Đại học Thái Nguyên, Tập 144 (2015), số 14, 223–227 3.1 Điều kiện tối ưu cho tốn cân vectơ khơng có ràng buộc Giả sử X khơng gian Banach, K tập đóng khác rỗng X F ánh xạ từ K × K đến khơng gian Banach Y Giả sử Q nón lồi đóng nhọn Y Xét tốn cân vectơ (VEP): Tìm x ∈ K cho F (x, y) ∈ / −Q\{0} (∀y ∈ K) Véc tơ x thỏa mãn bao hàm thức gọi nghiệm hữu hiệu toán (VEP) Đặt Fx (y) = F (x, y) Với tập lồi C X, phần tựa tương đối C, kí hiệu qriC, tập phần tử x ∈ C cho clcone(C − x) khơng gian tuyến tính X Phần tựa tương đối ký hiệu qriC Chú ý dimX < ∞ and C tập lồi khác rỗng riC = ∅ qriC = riC Ký hiệu NC (x) nón pháp tuyến C x (cực nón tiếp liên) Định lý 3.1 Giả sử x¯ nghiệm hữu hiệu toán (VEP) Với Fx¯ : X → Y Lipschitz địa phương x¯, Fx¯ (¯ x) = TK (¯ x) lồi; qriFx¯ (K) = ∅, qriQ = ∅ clcone[qri(coFx¯ (K)) + qriQ] không không gian tuyến ¯ ∈ Q∗ \{0} cho tính X Khi đó, tồn λ ¯ ◦ Fx¯ )(¯ ∈ ∂(λ x) + NK (¯ x) Hệ 3.1 Giả sử X = Rp Y = Rm x nghiệm hữu hiệu toán (VEP); Fx (.) Lipschitz địa phương x, Fx (x) = T (K; x) lồi Giả sử qriFx (K) = ∅, qriQ = ∅ clcone[qri(coFx (K) + qriQ)] khơng khơng gian tuyến tính X Khi đó, tồn λ ∈ Q∗ \{0} cho ∈ λ ◦ ∂J Fx (x) + NK (x), ∂J Fx (x) Jacobian suy rộng Clarke Fx x Định lý 3.2 Giả sử x ∈ K Giả sử tồn λ ∈ Q∗0 cho ∈ ∂(λ ◦ Fx )(x) + NK (x) (3.1) Giả sử K lồi, ánh xạ λ ◦ Fx ∂−giả lồi x thuộc K Khi đó, x nghiệm hữu hiệu tốn (VEP) Hệ 3.2 Giả sử X = Rp Y = Rm x ∈ K, tồn λ ∈ Q∗0 cho ∈ λ ◦ ∂J Fx (x) + NK (x) Giả thiết K lồi, ánh xạ λ ◦ Fx ∂−giả lồi x K Khi đó, x nghiệm hữu hiệu tốn (VEP) 3.2 Điều kiện tối ưu cho toán cân vectơ có ràng buộc Giả sử X = Rp , Y = Rn , F : Rp × Rp → Rm ; g : Rp → Rm , h : Rp → R ; Q nón lồi đóng nhọn Rn ; C tập đóng khơng rỗng Rp Khi g = (g1 , , gm ), h = (h1 , , h ), g1 , , gm , h1 , , h hàm giá trị thực xác định Rp Đặt I = {1, , m}, L = {1, , }, K = {y ∈ C : gi (y) (i ∈ I), hj (y) = (j ∈ L)} 14 Xét tốn cân vectơ (CVEP): Tìm x ∈ K cho F (x, y) ∈ / −Q \ {0} (∀y ∈ K) (3.2) Điểm x thỏa mãn (3.2) gọi nghiệm hữu hiệu toán (CVEP) I(x) = {i ∈ I : gi (x) = 0}, H = {x ∈ Rp : gi (x) ≤ (∀i ∈ I(x)), hj (x) = (∀j ∈ L)}, D(H) = {v ∈ Rp : Dgi (x; v) < (∀i ∈ I(x)), hj (x), v = (∀j ∈ L)} Giả sử T ánh xạ từ Rp vào L(Rp , Rn ) Với F (x, y) = (T x)(y − x) (x, y ∈ Rp ), (CVEP) trở thành toán bất đẳng thức biến phân vectơ, ký hiệu (CVVI) Giả sử f ánh xạ từ Rp vào Rn Với song hàm F (x, y) = f (y)−f (x) (x, y ∈ Rp ), (CVEP) trở thành toán tối ưu vectơ (CVOP): min{f (x) : x ∈ K} Định lý 3.3 Giả sử x nghiệm hữu hiệu toán (CVEP); Fx (.) Lipschitz địa phương x, Fx (x) = 0; C lồi; h liên tục lân cận x khả vi Fréchet x với đạo hàm Fréchet ∇h(x) = (∇h1 (x), , ∇h (x)); Với i ∈ I(x), gi tựa lồi lân cận x khả vi Dini x, khả vi Hadamard x, hai trường hợp đạo hàm lồi theo phương; Điều kiện quy (CQ1) thỏa mãn: (CQ1) 0∈ γj ∇hj (x) + NC (x), µi µi ∂D gi (x) + (∀i ∈ I(x)) j∈J i∈I(x) ⇒ µi = (∀i ∈ I(x)), γj = (j ∈ L) Giả sử qriFx (K) = ∅, qriQ = ∅ clcone[qri(coFx (K)) + qriQ] khơng khơng gian tuyến tính Rp Khi đó, tồn λ ∈ Q∗ \{0}, µi ≥ (∀i ∈ I(x)), γ j ∈ R (j ∈ L) cho ∈ λ ◦ ∂J Fx (x) + µi ∂D gi (x) + γ j hj (x) + NC (x) j∈J i∈I(x) Hệ 3.3 Giả sử giả thiết Định lí 3.3 thỏa mãn, khơng có ràng buộc bất đằng thức, C = Rp (CQ1) thay hệ ∇h1 (x), , ∇h (x) độc lập tuyến tính Khi đó, tồn λ ∈ Q∗ \{0}, γ j ∈ R cho ∈ λ ◦ ∂J Fx (x) + γ j hj (x) j∈L 15 Hệ 3.4 Giả sử giả thiết Định lí 3.3 thỏa mãn khơng có ràng buộc bất đẳng thức (CQ1) thay điều kiện quy (CQ2): D(H) ∩ (C − x) = ∅ Khi đó, tồn λ ∈ Q∗ \{0}, µi ≥ (i ∈ I(x)) cho ∈ λ ◦ ∂J Fx (x) + µi ∂D gi (x) + NC (x) i∈I(x) Định lý 3.4 Giả sử x ∈ K; Fx : X → Y Lipschitz địa phương x, h khả vi Fréchet x Khi đó, tồn λ ∈ Q∗0 , µi ≥ (i ∈ I(x)), γ j ∈ R (j ∈ L) cho ∈ λ ◦ ∂J Fx (x) + µi ∂D gi (x) + γ j hj (x) + NC (x) (3.3) j∈L i∈I(x) Giả sử C lồi, ánh xạ λ ◦ Fx ∂−giả lồi x C, ánh xạ gi (i ∈ I(x)) ∂D −tựa lồi x C, ánh xạ h1 , , hl tựa tuyến tính x C Khi đó, x nghiệm hữu hiệu toán (CVEP) Kết thu chương áp dụng cho toán bất đẳng thức biến phân vectơ (CVVI) toán tối ưu vectơ (CVOP) 16 Chương Điều kiện tối ưu cho toán cân vectơ với ràng buộc cân Chương trình bày kết điều kiện cần Fritz John cho nghiệm hữu hiệu yếu tốn cân vec tơ khơng trơn với ràng buộc cân (VEPEC) ngôn ngữ vi phân Clarke Với điều kiện quy thích hợp cho toán với ràng buộc cân bằng, điều kiện cần Kuhn– Tucker thiết lập Các điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu yếu với giả thiết tính lồi suy rộng chứng minh Chú ý để thiết lập điều kiện cần cho (VEPEC) tập chấp nhận K, ta xét toán cân vec tơ (VEP1) tập K1 với K1 ⊆ K Để thiết lập điều kiện đủ cho (VEPEC) , ta xét toán cân vec tơ (VEP2) tập K2 với K ⊆ K2 Các kết áp dụng áp cho toán bất đẳng thức biến phân vectơ toán tối ưu vectơ Các kết trình bày chương dựa vào cơng trình Đ.V Lưu - Đ.D Hằng [3], đăng tạp chí Numerical Functional Analysis and Optimization, 36 (2015),1622–1642 (SCIE) 4.1 Điều kiện cần tối ưu Fritz John 4.1.1 Phát biểu tốn Giả sử X khơng gian Banach, F : X × X → Rn , g : X → Rm , h : X → Rp , G : X → Rr , H : X → Rr Giả sử C tập đóng X, Q nón lồi đóng nhọn Rn với intQ = ∅ Đặt K := {x ∈ C : g(x) ≤ 0, h(x) = 0, G(z) ≥ 0, H(x) ≥ 0, G(x)T H(x) = 0}, G(x)T chuyển vị G(x) Xét toán cân (VEPEC): Tìm x ∈ K cho F (x, y) ∈ / −P \ {0}, (4.1) P nón lồi Rn (VEPEC K) Nếu P = intQ x ∈ K thỏa mãn (4.1) gọi nghiệm hữu hiệu yếu (VEPEC) Ta có F = (F1 , , Fn ), g = (g1 , , gm ), h = (h1 , , hp ), G = (G1 , , Gr ), H = (H1 , , Hr ) Với x¯ ∈ K, đặt Fx¯ (y) := F (¯ x, y) I(¯ x) := {i ∈ {1, , m} : gi (¯ x) = 0} Giả thiết 4.1 Các hàm Fx¯ (.), g1 , , gm , h1 , , hp , G1 , , Gr , H1 , , Hr Lipschitz địa phương x¯ Với x ∈ K, đặt A := A(¯ x) := {i ∈ {1, r}|Gi (¯ x) = 0, Hi (¯ x) > 0}, B := B(¯ x) := {i ∈ {1, r}|Gi (¯ x) = 0, Hi (¯ x) = 0}, D := D(¯ x) := {i ∈ {1, r}|Gi (¯ x) > 0, Hi (¯ x) = 0} Với x¯ ∈ K, ta có A ∪ B ∪ D = {1, , r} Xét phân hoạch (B1 , B2 ) B, nghĩa B = B1 ∪ B2 B1 ∩ B2 = ∅, đặt K1 := {x ∈ C :g(x) ≤ 0, h(x) = 0, GA∪B1 (x) = 0, GD∪B2 (x) ≥ 0, HA∪B1 (x) ≥ 0, HD∪B2 (x) = 0}, đó, GA∪B1 (x) vectơ G(x), bao gồm thành phần Gi (x) với i ∈ A ∪ B1 Chú ý K1 phụ thuộc x¯ K1 ⊆ K 4.1.2 Điều kiện cần tối ưu Fritz John cho toán (VEPEC) Xét toán cân vectơ (VEP1): Tìm x ∈ K1 cho F (x, y) ∈ / −intQ (∀y ∈ K1 ) Định lý 4.1 Giả sử x¯ nghiệm hữu hiệu yếu toán (VEPEC); ¯ ∈ Rm , λ ¯i ≥ Fx¯ (¯ x) = Giả thiết 4.1 thỏa mãn Khi đó, tồn τ¯ ≥ 0, λ (∀i ∈ I(¯ x)), µ ¯ ∈ Rp , ν¯ ∈ Rr , ν¯k ≥ (∀k ∈ B2 ), χ¯ ∈ Rr , χ¯l ≥ (∀l ∈ B1 ) không đồng thời 0, hàm cộng tính dương liên tục Λ : Rn → R thỏa mãn tính chất (M): y2 − y1 ∈ intQ ⇒ Λ(y2 ) < Λ(y1 ) cho p ¯ i ∂gi (¯ λ x) + ∈ τ¯∂(Λ ◦ Fx¯ )(¯ x) + i∈I(¯ x) 18 µ ¯j ∂hj (¯ x) j=1 ν¯k ∂Gk (¯ x) − − χ¯l ∂Hl (¯ x) + N (C, x¯), (4.2) l∈D∪B k∈A∪B N (C, x) nón pháp tuyến Clarke C x 4.1.3 Điều kiện cần Fritz John với điều kiện quy (VEPECRC) Điều kiện quy (VEPEC-RC): p 0∈ νk ∂Gk (¯ x) − µj ∂hj (¯ x) − j=1 χl ∂Hl (¯ x) + N (C, x¯) l∈D∪B k∈A∪B ⇒ µj = νk = χl = (j = 1, , p; k ∈ A ∪ B; l ∈ D ∪ B) Định lý 4.2 Giả sử x¯ nghiệm hữu hiệu yếu toán (VEPEC); Fx¯ (¯ x) = 0; Giả thiết 4.1 thỏa mãn điều kiện quy (VEPEC-RC) thỏa ¯ ∈ Rm , λ ¯ i ≥ (∀i ∈ I(¯ mãn Khi đó, tồn τ¯ ≥ 0, λ x)), µ ¯ ∈ Rp , ν¯ ∈ Rr , ¯ = (0, 0), hàm ν¯k ≥ (∀k ∈ B2 ), χ¯ ∈ Rr , χ¯l ≥ (∀l ∈ B1 ) với (¯ τ , λ) cộng tính dương liên tục Λ : Rn → R thỏa mãn tính chất (M) cho p ¯ i ∂gi (¯ λ x) + ∈ τ¯∂(Λ ◦ Fx¯ )(¯ x) + j=1 i∈I(¯ x) − ν¯k ∂Gk (¯ x) − k∈A∪B 4.2 µ ¯j ∂hj (¯ x) χ¯l ∂Hl (¯ x) + N (C, x¯) l∈D∪B Điều kiện cần tối ưu Kuhn–Tucker Điều kiện quy (VEPEC-CQ1): (a) ∈ p x) j=1 µj ∂hj (¯ − k∈A∪B νk ∂Gk (¯ x) − l∈D∪B χl ∂Hl (¯ x) + N (C, x¯) ⇒ µj = νk = χl = (j = 1, , p; k ∈ A ∪ B; l ∈ D ∪ B) (b) Tồn vectơ v ∈ TC (¯ x) cho ζj , υ = (∀ζj ∈ ∂hj (¯ x), j = 1, , p), 19 ηk , υ = (∀ηk ∈ ∂Gk (¯ x), ∀k ∈ A ∪ B); γl , υ = (∀γl ∈ ∂Hk (¯ x), ∀l ∈ D ∪ B); ξi , υ < (∀ξi ∈ ∂gi (¯ x), ∀i ∈ I(¯ x)) Định lý 4.3 Giả sử x¯ nghiệm hữu hiệu yếu (VEPEC); Fx¯ (¯ x) = 0; Giả thiết 4.1 điều kiện quy (VEPEC-CQ1) thỏa mãn Khi đó, tồn ¯ ∈ Rm , λ ¯ i ≥ (∀i ∈ I(¯ λ x)), µ ¯ ∈ Rp , ν¯ ∈ Rr , ν¯k ≥ (∀k ∈ B2 ), χ¯ ∈ Rr , χ¯l ≥ (∀l ∈ B1 ), hàm cộng tính dương liên tục Λ : Rn → R thỏa mãn tính chất (M) cho p ¯ i ∂gi (¯ λ x) + ∈ ∂(Λ ◦ Fx¯ )(¯ x) + j=1 i∈I(¯ x) − ν¯k ∂Gk (¯ x) − k∈A∪B 4.2.1 µ ¯j ∂hj (¯ x) χ¯l ∂Hl (¯ x) + N (C, x¯) l∈D∪B Điều kiện cần Kuhn-Tucker cho trường hợp Fx (.) khả vi chặt Định lý 4.4 Giả sử x¯ nghiệm hữu hiệu yếu (VEPEC) giả thiết Định lý 4.3 thỏa mãn; Fx¯ (.) khả vi chặt x¯ với đạo hàm chặt Ds Fx¯ (¯ x) ∗ m ¯ p ¯ Khi đó, tồn ρ¯ ∈ Q \ {0}, λ ∈ R , λi ≥ (∀i ∈ I(¯ x)), µ ¯ ∈ R , ν¯ ∈ Rr , ν¯k ≥ (∀k ∈ B2 ), χ¯ ∈ Rr , χ¯l ≥ (∀l ∈ B1 ) cho p ¯ i ∂gi (¯ λ x) + ∗ ∈ [Ds Fx¯ (¯ x)] ρ¯ + j=1 i∈I(¯ x) − ν¯k ∂Gk (¯ x) − k∈A∪B ∗ µ ¯j ∂hj (¯ x) χ¯l ∂Hl (¯ x) + N (C, x¯) (4.3) l∈D∪B [Ds Fx¯ (¯ x)] ánh xạ liên hợp Ds Fx¯ (¯ x) 4.3 Điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu yếu 4.3.1 Điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu yếu (VEPEC) Xét tập K2 = {x ∈ C : g(x) ≤ 0, h(x) = 0, G(x) ≥ 0, H(x) ≥ 0} Để dẫn điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu yếu toán (VEPEC), ta xét toán cân vec tơ (VEP2): Tìm x ∈ K2 cho F (x, y) ∈ / −intQ (∀y ∈ K2 ) 20 Nếu x¯ nghiệm hữu hiệu yếu (VEP2) x¯ nghiệm hữu hiệu yếu (VEPEC), K ⊆ K2 Đặt IG (¯ x) := {k ∈ {1, , r} : Gk (¯ x) = 0}, IH (¯ x) := {l ∈ {1, , r} : Hl (¯ x) = 0} Khi đó, với x¯ ∈ K, ta có A ∪ B = IG (¯ x), D ∪ B = IH (¯ x) Định lý 4.5 Giả sử x¯ ∈ K, Fx¯ (¯ x) = Giả thiết 4.1 thỏa mãn, tồn m ¯∈R ,λ ¯ i ≥ (∀i ∈ I(¯ λ x)), µ ¯ ∈ Rp , ν¯ ∈ Rr , ν¯k ≥ (∀k ∈ A ∪ B), χ¯ ∈ Rr , χ¯l ≥ (∀l ∈ D ∪ B), hàm cộng tính dương liên tục Λ : Rn → R thỏa mãn tính chất (M) cho p ¯ i ∂gi (¯ λ x) + ∈ ∂(Λ ◦ Fx¯ )(¯ x) + i∈I(¯ x) − ν¯k ∂Gk (¯ x) − k∈A∪B µ ¯j ∂hj (¯ x) j=1 χ¯l ∂Hl (¯ x) + N (C, x¯) (4.4) l∈D∪B C tập lồi, ánh xạ Λ ◦ Fx¯ ∂−giả lồi x¯ C, ánh xạ gi (i ∈ I(¯ x)) ∂−tựa lồi x¯ C, Gk (k ∈ A ∪ B), Hl (l ∈ D ∪ B) ∂−tựa lõm x¯ C, hj (j = 1, , p) ∂−tựa tuyến tính x¯ C Khi đó, x¯ nghiệm hữu hiệu yếu (VEPEC) Kết thu chương áp dụng cho toán bất đẳng thức biến phân vectơ (VVIEC) toán tối ưu vectơ (VOPEC) 21 Kết luận chung Luận án trình bày điều kiện cần điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu toán cân vec tơ toán biến phân vec tơ ngôn ngữ vi phân Clarke vi phân Michel–Penot Các kết mà luận án thu bao gồm: 1) Chứng minh điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu yếu, nghiệm hữu hiệu, nghiệm hữu hiệu tồn cục tốn bất đẳng thức biến phân vectơ với ràng buộc đẳng thức, ràng buộc nón ràng buộc tập ngơn ngữ vi phân Clarke với điều kiện quy thích hợp sử dụng kết A Jourani (1994) Các điều kiện đủ dẫn với điều kiện tính ∂-tựa lồi cho hàm ràng buộc Khi sử dụng kết D.V Luu (2012), điều kiện tối ưu cho toán bất đẳng thức biến phân với ràng buộc đẳng thức, ràng buộc theo nón lồi đa diện ràng buộc tập qua vi phân Michel–Penot thiết lập 2) Chứng minh điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu toán cân vectơ ngôn ngữ phần tựa tương đối Bằng cách sử dụng định lý tách Cammaroto–Bella (2005), chứng minh điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu tốn khơng có ràng buộc ngôn ngữ vi phân Clarle Sử dụng kết Jiménez–Novo (2003) nón giao hai tập, chứng minh điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu tốn có ràng buộc đẳng thức, bất đẳng thức ràng buộc tập qua vi phân Clarke Dini Các điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu tốn dẫn với giả thiết tính ∂-giả lồi ∂D -tựa lồi Các kết áp dụng để dẫn điều kiện tối ưu cho toán bất đẳng thức vectơ toán tối ưu vectơ 3) Chứng minh điều kiện cần Fritz John cho nghiệm hữu hiệu yếu tốn cân vec tơ khơng trơn với ràng buộc cân (VEPEC) ngôn ngữ vi phân Clarke Với điều kiện quy thích hợp cho toán với ràng buộc cân bằng, điều kiện cần Kuhn–Tucker thiết lập Các điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu yếu với vác giả thiết tính lồi suy rộng chứng minh Các kết áp dụng áp cho toán bất đẳng thức biến phân vectơ toán tối ưu vectơ 4) Đưa ví dụ minh họa cho kết nhận Hướng nghiên cứu tiếp theo: 1) Nghiên cứu điều kiện tối ưu cho toán cân với ràng buộc nón khơng trơn qua Jacobian suy rộng Clarke Jacobian xấp xỉ 2) Nghiên cứu điều kiện tối ưu cho toán cân với ràng buộc cân không trơn qua vi phân suy rộng Jacobian xấp xỉ 3) Nghiên cứu điều kiện tối ưu cho toán bất đẳng thức biến phân hai cấp không trơn qua vi phân Clarke vi phân Michel–Penot 23 Danh mục công trình cơng bố liên quan đến luận án D V Luu and D D Hang (2014), "On optimality conditions for vector variational inequalities", Journal of Mathematical Analysis and Applications, 412, 792-404 (SCI) D V Luu and D D Hang (2014), "Efficient solutions and optimality conditions for vector equilibrium problems", Mathematical Methods Operations Research, 79, 163-177 (SCIE) D V Luu and D D Hang (2015), "On efficiency conditions for nonsmooth vector equilibrium problems with equilibrium constraints", Numerical Functional Analysis and Optimization, 36: 1622–1642 (SCIE) Đinh Diệu Hằng (2015), "Điều kiện tối ưu cho toán bất đẳng thức biến phân vectơ toán tối ưu vectơ qua phần tựa tương đối", Tạp chí Khoa học Công nghệ, Đại học Thái Nguyên, Tập 144, số 14, 223–227  ... dụng cho toán bất đẳng thức biến phân vectơ (CVVI) toán tối ưu vectơ (CVOP) 16 Chương Điều kiện tối ưu cho toán cân vectơ với ràng buộc cân Chương trình bày kết điều kiện cần Fritz John cho nghiệm... đẳng thức biến phân vectơ toán tối ưu vectơ Gong (2010 – 2012) dẫn điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu tốn cân vectơ khơng có ràng buộc điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu tốn cân vectơ có ràng buộc... kiện quy điều kiện tối ưu cho toán tối ưu với ràng buộc cân nghiên cứu nhiều tác giả Việc tìm điều kiện quy thích hợp để dẫn điều kiện Kuhn–Tucker cho toán tối ưu với ràng buộc cân đề tài thu