Đang tải... (xem toàn văn)
Điều kiện tối ưu cho bài toán quy hoạch bán vô hạn (Luận văn thạc sĩ)Điều kiện tối ưu cho bài toán quy hoạch bán vô hạn (Luận văn thạc sĩ)Điều kiện tối ưu cho bài toán quy hoạch bán vô hạn (Luận văn thạc sĩ)Điều kiện tối ưu cho bài toán quy hoạch bán vô hạn (Luận văn thạc sĩ)Điều kiện tối ưu cho bài toán quy hoạch bán vô hạn (Luận văn thạc sĩ)Điều kiện tối ưu cho bài toán quy hoạch bán vô hạn (Luận văn thạc sĩ)Điều kiện tối ưu cho bài toán quy hoạch bán vô hạn (Luận văn thạc sĩ)Điều kiện tối ưu cho bài toán quy hoạch bán vô hạn (Luận văn thạc sĩ)Điều kiện tối ưu cho bài toán quy hoạch bán vô hạn (Luận văn thạc sĩ)Điều kiện tối ưu cho bài toán quy hoạch bán vô hạn (Luận văn thạc sĩ)Điều kiện tối ưu cho bài toán quy hoạch bán vô hạn (Luận văn thạc sĩ)Điều kiện tối ưu cho bài toán quy hoạch bán vô hạn (Luận văn thạc sĩ)Điều kiện tối ưu cho bài toán quy hoạch bán vô hạn (Luận văn thạc sĩ)Điều kiện tối ưu cho bài toán quy hoạch bán vô hạn (Luận văn thạc sĩ)
✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆ ❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❑❍❖❆ ❍➴❈ ✖✖✖✖✖✖✕♦✵♦✖✖✖✖✖✖✕ ✣➱ ❍Ú❯ ◆●❍➚ ✣■➋❯ ❑■➏◆ ❚➮■ ×❯ ❈❍❖ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ◗❯❨ ❍❖❸❈❍ ❇⑩◆ ❱➷ ❍❸◆ ▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆✱ ✹✴✷✵✶✽ ✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆ ❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❑❍❖❆ ❍➴❈ ✖✖✖✖✖✖✕♦✵♦✖✖✖✖✖✖✕ ✣➱ ❍Ú❯ ◆●❍➚ ✣■➋❯ ❑■➏◆ ❚➮■ ×❯ ❈❍❖ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ◗❯❨ ❍❖❸❈❍ ❇⑩◆ ❱➷ ❍❸◆ ❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤✿ ❚♦→♥ ù♥❣ ❞ö♥❣ ▼➣ sè✿ ✽✹✻✵✶✶✷ ▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈ ◆●×❮■ ❍×❰◆● ❉❼◆ ❑❍❖❆ ❍➴❈ P●❙✳❚❙✳ ✣➱ ì ử ỵ ❤✐➺✉ ✷ ▼ð ✤➛✉ ✸ ✶ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ tè✐ ÷✉ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ q✉② ❤♦↕❝❤ ❜→♥ ✈ỉ ❤↕♥ ✤ì♥ ♠ư❝ t✐➯✉ ❦❤ỉ♥❣ trì♥ ✻ ✶✳✶✳ ❈→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➔ ❦➳t q✉↔ ❜ê trñ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✳✷✳ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝❤➼♥❤ q✉② ✻ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵ ✶✳✸✳ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ tè✐ ÷✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✼ ✷ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ tè✐ ÷✉ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ q✉② ❤♦↕❝❤ ❜→♥ ✈æ ❤↕♥ ✤❛ ♠ư❝ t✐➯✉ ❦❤ỉ♥❣ trì♥ ✷✸ ✷✳✶✳ ❈→❝ ❦➳t q✉↔ ❜ê trñ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✸ ✷✳✷✳ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ tè✐ ÷✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✹ ✷✳✸✳ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤õ tè✐ ÷✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✶ ❑➳t ❧✉➟♥ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ✸✺ ✸✼ ✷ ỵ M õ t M M ỗ t M M õ ỗ s r ❜ð✐ M ∅ t➟♣ ré♥❣ T (M, x) ♥â♥ t✐➳♣ ❧✐➯♥ ❝õ❛ M t↕✐ x A(M, x) ♥â♥ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ❝❤➜♣ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ❝õ❛ M t↕✐ x ϕ0 (x, d) ✤↕♦ ❤➔♠ s✉② rë♥❣ ❈❧❛r❦❡ ❝õ❛ ϕ t↕✐ x t❤❡♦ ữỡ d c (x) ữợ r t x (x) ữợ ỗ t↕✐ x (GCQ) ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝❤➼♥❤ q✉② ●✉✐❣❛r❞ (KT CQ) ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝❤➼♥❤ q✉② ❑✉❤♥✕❚✉❝❦❡r (CCQ) ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝❤➼♥❤ q✉② ❈♦tt❧❡ (ACQ) ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝❤➼♥❤ q✉② ❆❜❛❞✐❡ (BCQ) ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝❤➼♥❤ q✉② ❝ì ❜↔♥ T x0 t➟♣ ❝→❝ ❝❤➾ sè r➔♥❣ ❜✉ë❝ t➼❝❤ ❝ü❝ (SIP ) ❜➔✐ t♦→♥ q✉② ❤♦↕❝❤ t♦→♥ ❤å❝ ❜→♥ ✈ỉ ❤↕♥ ✤ì♥ ♠ư❝ t✐➯✉ (M OSIP ) ❜➔✐ t♦→♥ q✉② ❤♦↕❝❤ t♦→♥ ❤å❝ ❜→♥ ✈æ ❤↕♥ t ỵ ✤➲ t➔✐ ❇➔✐ t♦→♥ q✉② ❤♦↕❝❤ ❜→♥ ✈æ ❤↕♥ ❧➔ ♠ët ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ❝â ✈ỉ ❤↕♥ r➔♥❣ ❜✉ë❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝✳ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ tè✐ ÷✉ ❧➔ ♠ët ❜ë q trồ ỵ tt tố ữ õ ❦✐➺♥ tè✐ ÷✉ ❝❤♦ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ q✉② ❤♦↕❝❤ ❜→♥ ✈ỉ ❤↕♥ ✤➣ ✈➔ ✤❛♥❣ ✤÷đ❝ ♥❤✐➲✉ t→❝ ❣✐↔ q✉❛♥ t➙♠ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✳ ◆✳ ❑❛♥③✐ ✭❬✺❪✱ ✷✵✶✶✮ ✤➣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ tè✐ ÷✉ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ q✉② ❤♦↕❝❤ ✤ì♥ ♠ư❝ t✐➯✉ ❦❤ỉ♥❣ trì♥ ✈ỵ✐ ❝→❝ ❤➔♠ ▲✐♣s❝❤✐t③ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✳ ❈→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❑❛r✉s❤ ✲ ❑✉❤♥ ✲ ❚✉❝❦❡r ữủ ợ q r ✲ ❚✉❝❦❡r✱ ❈♦tt❧❡✳ ◆✳ ❑❛♥③✐ ✈➔ ❙✳ ◆♦❜❛❦❤t✐❛♥ ✭❬✻❪✱ ✷✵✶✹✮ ✤➣ t❤✐➳t ❧➟♣ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ tè✐ ÷✉ ❝❤♦ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ②➳✉ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ q✉② ❤♦↕❝❤ ❜→♥ ✈æ ❤↕♥ ✤❛ ♠ư❝ t✐➯✉ ❦❤ỉ♥❣ trì♥✳ ✣➙② ❧➔ ✈➜♥ ✤➲ ❝â t➼♥❤ t❤í✐ sü tr♦♥❣ t♦→♥ ù♥❣ ❞ư♥❣✳ ❈❤➼♥❤ ✈➻ ✈➟②✱ tỉ✐ ❝❤å♥ ✤➲ t➔✐✿ ❦✐➺♥ tè✐ ÷✉ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ q✉② ❤♦↕❝❤ ❜→♥ ✈æ ❤↕♥✧✳ ✧✣✐➲✉ ✷✳ ◆ë✐ ❞✉♥❣ ✤➲ t➔✐ ▲✉➟♥ ✈➠♥ tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ tè✐ ÷✉ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ q✉② ❤♦↕❝❤ ❜→♥ ✈ỉ ❤↕♥ ✤ì♥ ♠ư❝ t✐➯✉ ❦❤ỉ♥❣ trì♥ ❝õ❛ ◆✳ ❑❛♥③✐ ✤➠♥❣ tr➯♥ t↕♣ ❝❤➼ ❏♦✉r♥❛❧ ♦❢ ●❧♦❜❛❧ ❖♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ✹✾ ✭✷✵✶✶✮✱ ✼✶✸ ✲ ✼✷✺✱ ✈➔ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ tè✐ ÷✉ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ q✉② ❤♦↕❝❤ ❜→♥ ✈ỉ ❤↕♥ ✤❛ ♠ư❝ t✐➯✉ ❦❤ỉ♥❣ trì♥ ❝õ❛ ◆✳ ❑❛♥③✐ ✈➔ ❙✳ ◆♦❜❛❦❤t✐❛♥ ✤➠♥❣ tr➯♥ t↕♣ ❝❤➼ ❖♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ▲❡tt❡rs ✽ ✭✷✵✶✹✮✱ ✶✺✶✼ ✲ ✶✺✷✽✳ ▲✉➟♥ ✈➠♥ ❜❛♦ ỗ ữỡ t ♠ư❝ ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦✳ ✹ ❈❤÷ì♥❣ ✶ ✧✣✐➲✉ ❦✐➺♥ tè✐ ÷✉ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ q✉② ❤♦↕❝❤ ❜→♥ ✈ỉ ❤↕♥ trì♥ ✤ì♥ ♠ư❝ t✐➯✉ ❦❤ỉ♥❣ trì♥✧ tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ◆✳ ❑❛♥③✐ ✭❬✺❪✱ ✷✵✶✶✮ ✈➲ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝❤➼♥❤ q✉② ✈➔ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ tè✐ ÷✉ ❑❛r✉s❤✕❑✉❤♥✕❚✉❝❦❡r ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ q✉② ❤♦↕❝❤ ❜→♥ ✈ỉ ❤↕♥ ✤ì♥ ♠ư❝ t✐➯✉ st ữỡ ợ r t tự ữỡ ✷ ✧✣✐➲✉ ❦✐➺♥ tè✐ ÷✉ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ q✉② ❤♦↕❝❤ ❜→♥ ✈ỉ ❤↕♥ ✤❛ ♠ư❝ t✐➯✉ ❦❤ỉ♥❣ trì♥✧ tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ◆✳ ❑❛♥③✐ ✈➔ ❙✳ ◆♦❜❛❦❤t✐❛♥ ✭❬✻❪✱ ✷✵✶✹✮ ✈➲ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ tè✐ ÷✉ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ q✉② ❤♦↕❝❤ t♦→♥ ❤å❝ ❜→♥ ✈ỉ ❤↕♥ ✤❛ ♠ư❝ t✐➯✉ ▲✐♣s❝❤✐t③ ữỡ ợ r t tự ❦✐➺♥ ❝❤➼♥❤ q✉② ✤÷đ❝ ✤÷❛ ✈➔♦ ✤➸ ❞➝♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ tè✐ ÷✉ ❑❛r✉s❤✕ ❑✉❤♥✕❚✉❝❦❡r ❝❤♦ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ữủ ự ợ tt t ỗ s rở ✤÷đ❝ t❤ü❝ ❤✐➺♥ t↕✐ ❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❑❤♦❛ ❤å❝ ✲ t ữợ sỹ ữợ ❞➝♥ ❝õ❛ P●❙✳❚❙✳ ✣é ❱➠♥ ▲÷✉✳ ❚→❝ ❣✐↔ ①✐♥ ✤÷đ❝ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ✈➔ s➙✉ s➢❝ tợ t ữợ ữớ t ự tớ ữợ ❞➝♥ ✈➔ t➟♥ t➻♥❤ ❣✐↔✐ ✤→♣ ♥❤ú♥❣ t❤➢❝ ♠➢❝ ❝õ❛ t→❝ ❣✐↔ tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ ❧➔♠ ❧✉➟♥ ✈➠♥✳ ❚→❝ ❣✐↔ ❝ơ♥❣ ✤➣ ❤å❝ t➟♣ ✤÷đ❝ r➜t ♥❤✐➲✉ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤ ❜ê ➼❝❤ ❝❤♦ ❝æ♥❣ t→❝ ✈➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝õ❛ ❜↔♥ t❤➙♥✳ ❚→❝ ❣✐↔ ①✐♥ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❝↔♠ ì♥ s➙✉ s➢❝ tỵ✐ ❝→❝ t❤➛② ❣✐→♦✱ ❝ỉ ❣✐→♦ ✤➣ t❤❛♠ ❣✐❛ ❣✐↔♥❣ ❞↕② ❧ỵ♣ ❝❛♦ ❤å❝ ❚♦→♥ ❑✶✵❨✱ ♥❤➔ tr÷í♥❣ ✈➔ ❝→❝ ♣❤á♥❣ ❝❤ù❝ ♥➠♥❣ ❝õ❛ tr÷í♥❣✱ ❦❤♦❛ ❚♦→♥ ✲ ❚✐♥✱ tr÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❑❤♦❛ ❤å❝ ✲ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ✤➣ q✉❛♥ t➙♠ ✈➔ ❣✐ó♣ ✤ï t→❝ ❣✐↔ tr♦♥❣ s✉èt t❤í✐ ❣✐❛♥ ❤å❝ t➟♣ t↕✐ tr÷í♥❣✳ ❳✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥ ❛♥❤ ❝❤à ❡♠ ❧ỵ♣ ❝❛♦ ❤å❝ ❑✶✵❨✱ ỗ tr ✈➔ ❦❤➼❝❤ ❧➺ t→❝ ❣✐↔ tr♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣✱ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➔ ❧➔♠ ❧✉➟♥ ✈➠♥✳ ✺ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ ♥❣➔② ✵✺ t❤→♥❣ ✹ ♥➠♠ ✷✵✶✽ ❚→❝ ❣✐↔ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ✣é ❍ú✉ ◆❣❤à ✻ ❈❤÷ì♥❣ ✶ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ tè✐ ÷✉ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ q✉② ❤♦↕❝❤ ❜→♥ ✈ỉ ❤↕♥ ✤ì♥ ♠ư❝ t✐➯✉ ❦❤ỉ♥❣ trì♥ ❈❤÷ì♥❣ ✶ tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ◆✳ ❑❛♥③✐ ✭❬✺❪✱ ✷✵✶✶✮ ✈➲ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝❤➼♥❤ q✉② ✈➔ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ tè✐ ÷✉ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ q✉② ❤♦↕❝❤ ổ ỡ t st ữỡ ợ r➔♥❣ ❜✉ë❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝✳ ❈→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝❤➼♥❤ q✉② ●✉✐❣♥❛r❞✱ ❑✉❤♥✕❚✉❝❦❡r✕❈♦tt❧❡ ✈➔ t➼♥❤ ❝❤➜t Ps❤❡♥✐❝❤♥②✐✕ ▲❡✈✐♥✕❱❛❧❛❞✐r❡ ✭P▲❱✮ ✤÷đ❝ tr➻♥❤ ❜➔② ❝ò♥❣ ✈ỵ✐ ♠è✐ q✉❛♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝❤➼♥❤ q✉② ✈➔ t➼♥❤ ❝❤➜t ✭P▲❱✮✳ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ tè✐ ÷✉ ❑❛r✉s❤✕❑✉❤♥✕ ❚✉❝❦❡r ✤÷đ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✈ỵ✐ ✈ỵ✐ ♠ët tr♦♥❣ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝❤➼♥❤ q✉② ✤â✳ ✶✳✶✳ ❈→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➔ ❦➳t q✉↔ ❜ê trđ ❇➔✐ t♦→♥ q✉② ❤♦↕❝❤ ❜→♥ ✈ỉ P ởt t tố ữ ợ t ❝❤➜♣ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝✱ ✤÷đ❝ ♠ỉ t↔ ❜ð✐ ✈ỉ ❤↕♥ ❝→❝ r➔♥❣ ❜✉ë❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝✳ ❚❛ ①➨t ❜➔✐ t♦→♥ q✉② ❤♦↕❝❤ ❜→♥ ✈æ ❤↕♥ s❛✉ ✤➙②✿ ✼ inf f (x), gi (x) ≤ 0, i ∈ I, ✭❙■P✮ x ∈ Rn , tr♦♥❣ ✤â f ✱ gi , i ∈ I ❧➔ ❝→❝ ❤➔♠ ▲✐♣s❝❤✐t③ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ tø Rn ✈➔♦ R{+} t số I tũ ỵ ổ t t❤✐➳t ❤ú✉ ❤↕♥ ♣❤➛♥ tû✱ ❦❤→❝ ∅✳ ❈❤♦ ♠ët t➟♣ M = ∅ tr♦♥❣ Rn ✱ ❦➼ ❤✐➺✉ M , conv(M ) ✈➔ cone(M ) ❧➛♥ ❧÷đt ❧➔ ❜❛♦ ✤â♥❣✱ ỗ õ ỗ ự s M ✳ ◆â♥ ❝ü❝ ✈➔ ♥â♥ ❝ü❝ ❝❤➦t ❝õ❛ M ✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐✿ M := {d ∈ Rn | x, d ≤ 0, ∀x ∈ M } M s := {d ∈ Rn | x, d < 0, ∀x ∈ M }, tr♦♥❣ ✤â ·, · ❧➔ t➼❝❤ ổ ữợ tr Rn ú ỵ r M õ ỗ õ r r M s = ∅ t❤➻ M s = M ỵ s ỹ t r M 00 = cone(M )✱ tr♦♥❣ ✤â cone(M ) ❧➔ ❦➼ ❤✐➺✉ õ ỗ õ M ởt số ♥✐➺♠ ✈➔ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❝õ❛ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ▲✐♣s❝❤✐t③ tr♦♥❣ ❬✷❪✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶ ●✐↔ sû M ⊆ Rn ✈➔ x ∈ M ✳ ■✳ ◆â♥ t✐➳♣ ❧✐➯♥ ❝õ❛ M t↕✐ x ✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ T (M, x) := h Rn |tỗ t {tk } R+ , tk → 0, {hk } ⊂ Rn , hk → h s❛♦ ❝❤♦✿ x + tk hk ∈ M ✈ỵ✐ ♠å✐ k ∈ N ■■✳ ◆â♥ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ❝❤➜♣ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ❝õ❛ M ✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ A(M, x) := h ∈ Rn | ✈ỵ✐ ♠å✐ {tk } ⊂ R+ , tk 0, tỗ t {hk } Rn , hk → h, s❛♦ ❝❤♦✿ x + tk hk ∈ M ✈ỵ✐ ♠å✐ k ∈ N ✽ ❈❤ó þ r➡♥❣ T (M, x) ✈➔ A(M, x) ❧➔ ❝→❝ õ õ õ ổ ỗ tr Rn t❛ ❧✉æ♥ ❝â q✉❛♥ ❤➺ A(M, x) ⊆ T (M, x) ✭✶✳✶✮ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷ ●✐↔ sû ϕ : Rn → R ∪ {+∞} ❧➔ ❤➔♠ ▲✐♣s❝❤✐t③ ✈➔ x ∈ dom(ϕ)✳ ■✳ ✣↕♦ ❤➔♠ s✉② rë♥❣ ❈❧❛r❦❡ ❝õ❛ ϕ t↕✐ x t❤❡♦ ♣❤÷ì♥❣ d ∈ Rn ✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ ϕ(y + td) − ϕ(y) ; t y→x;t→0 ϕ0 (x; d) := lim sup ữợ r ϕ t↕✐ x ✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ ∂c ϕ(x) := ξ ∈ Rn |ϕ0 (x; d) ≥ ξ, d , ∀d ∈ Rn ; ■■■✳ ❚❛ ♥â✐ r➡♥❣ ϕ ❧➔ ❝❤➼♥❤ q✉② t❤❡♦ ♥❣❤➽❛ ❈❧❛r❦❡ t↕✐ x ♥➳✉ ϕ0 (x; d) = ϕ (x, d), ∀d ∈ Rn , tr♦♥❣ ✤â ϕ (x, d) ❧➔ ✤↕♦ ❤➔♠ t❤❡♦ ♣❤÷ì♥❣ ❝ê t x t ữỡ d ú ỵ r ữợ r st ữỡ t↕✐ ♠å✐ ✤✐➸♠ tr♦♥❣ ❝õ❛ ♠✐➲♥ ❤ú✉ ❤✐➺✉ t❤➻ ❧✉æ♥ rộ t ỗ ữợ r q ✈➲ ❣r❛❞✐❡♥t ❝ê ✤✐➸♥ ❝õ❛ ❤➔♠ ❦❤↔ ✈✐ ❧✐➯♥ tö❝ q ữợ t t ỗ ỗ ỗ ỳ ❤↕♥ ✈➔ ❦❤↔ ✈✐ ❧✐➯♥ tö❝ ❧➔ ❝→❝ ✈➼ ❞ö ✈➲ ❝→❝ ❤➔♠ ❝❤➼♥❤ q✉② t❤❡♦ ♥❣❤➽❛ ❈❧❛r❦❡✳ ▼ët ❧ỵ♣ rë♥❣ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ ❝❤➼♥❤ q✉② t❤❡♦ ♥❣❤➽❛ ❈❧❛r❦❡ ❧➔ ❧ỵ♣ ❝→❝ ❤➔♠ trì♥✳ ❚❛ ♥❤➢❝ ❧↕✐ ♠ët ❦➳t q✉↔ tr t ỗ t s sỷ s❛✉ ♥➔②✳ ✷✹ ≤ ✣à♥❤ ❧➼ s♦♥❣ ❝ü❝ ✭ ①❡♠ ❬✽❪ ✮ ♣❤→t ❜✐➸✉ r➡♥❣ (D≤ ) = cone (D) ◆â♥ t✐➳♣ ❧✐➯♥ T (D, x) t↕✐ x ∈ D ✤÷đ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❜ð✐ T (D, x) := {d ∈ Rn |∃tk ↓ 0, ∃dk → d : x + tk dk ∈ D ∀k ∈ N} ❚❛ ❜✐➳t r➡♥❣ T (D, x) ❧➔ ♠ët ♥â♥ ✤â♥❣ ✭❦❤æ♥❣ t tt ỗ tr Rn T (D, x) := xk − x | λk ↓ 0, xk ∈ D, xk → x k→∞ λk lim ❑❤→✐ ♥✐➺♠ s rở r ữợ r ữủ tr ữỡ ú ỵ r ữợ r c (x) ởt t ỗ t rộ tr Rn ✤❛ trà x → ∂c ϕ (x) ❧➔ ♥û❛ ❧✐➯♥ tử tr ợ ỗ , c (x) trũ ợ ữợ (x) t t ỗ ữủ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ∂Φ(x) := {ξ ∈ Rn |Φ(x) ≥ Φ(x) + ξ, x − x ∀x ∈ Rn } ✷✳✷✳ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ tè✐ ÷✉ P❤➛♥ ♥➔② tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ tè✐ ÷✉ ❜➔✐ t♦→♥ q✉② ❤♦↕❝❤ ❜→♥ ✈ỉ ❤↕♥ ✤❛ ♠ư❝ t✐➯✉ s❛✉ ✤➙②✿ (M OSIP ) inf (f1 (x), f2 (x), , fp (x)), gt (x) ≤ 0, t ∈ T, x ∈ Rn , tr♦♥❣ ✤â fi , i = 1, 2, , p ✈➔ gt , t ∈ T ❧➔ ❤➔♠ ▲✐♣s❝❤✐t③ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ tø Rn ✈➔♦ R ∪ {+∞}✱ ✈➔ t➟♣ ❝❤➾ sè T tũ ỵ ổ t tt ỳ tỷ ✭♥❤÷♥❣ ❦❤→❝ ré♥❣✮✳ ❑➼ ❤✐➺✉ M ❧➔ t➟♣ ❝❤➜♣ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭▼❖❙■P✮ M := {x ∈ Rn |gt (x) ≤ ∀t ∈ T } ✷✺ ◆❤➢❝ ❧↕✐ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ②➳✉ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭▼❖❙■P✮✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✶ ✣✐➸♠ x0 ∈ M ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ②➳✉ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭▼❖❙■P✮ ổ tỗ t x M s fi (x) < fi (x0 ) ∀i = 1, 2, , p ❱ỵ✐ ✤✐➸♠ x0 ∈ M ✱ t❛ ✤➦t T x0 := {t ∈ T | gt (x0 ) = 0}, p F (x0 ) := ∂c fi (x0 ), i=1 G(x0 ) := ∂c gt (x0 ) t∈T (x0 ) ❇➙② ❣✐í t❛ ✤÷❛ ✈➔♦ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝❤➼♥❤ q✉② ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ✭▼❖❙■P✮✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✷ ❚❛ ♥â✐ r➡♥❣ ✭❛✮ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝❤➼♥❤ q✉② ❆❜❛❞✐❡ ✭❆❈◗✮ ✤ó♥❣ t↕✐ x0 ∈ M ♥➳✉ G≤ (x0 ) ⊆ T (M, x0 ), ✭❜✮ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝❤➼♥❤ q✉② ❝ì ❜↔♥ ✭❇❈◗✮ ✤ó♥❣ t↕✐ x0 ∈ M ♥➳✉ T ≤ (M, x0 ) ⊂ cone(G(x0 )), ✭❝✮ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝❤➼♥❤ q✉② ✭❘❈◗✮ ✤ó♥❣ t↕✐ x0 ∈ M ♥➳✉ F < (x0 ) ∩ G≤ (x0 ) ⊆ T (M, x0 ) ▼è✐ q✉❛♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝❤➼♥❤ q ữủ tr tr ỵ s ✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✶ ❬✻❪ ●✐↔ sû x ∈ M ✳ ❈→❝ ♣❤→t ❜✐➸✉ s❛✉ ✤ó♥❣✿ ✭❛✮ (BCQ) =⇒ (ACQ) =⇒ (RCQ) ✭❜✮ ◆➳✉ (G(x0)) ✤â♥❣✱ t❤➻ (ACQ) =⇒ (BCQ)✳ ✭❝✮ gt ỗ ợ ộ t T t ❦➨♦ t❤❡♦ cone(G(x0)) ✤â♥❣✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✭❛✮ ❑➳t ❧✉➟♥ ✤÷đ❝ s r tứ ỵ s ỹ sỹ F < (x0 )∩G≤ (x0 ) ⊂ G≤ (x0 ) ỵ s ỹ t t ♥❤✐➯♥ ✤ó♥❣✳ ✭❝✮ ✣➸ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ ✭❝✮ t❛ ❣✐↔ sû r➡♥❣ z ∈ T (M, x0 )✳ ❑❤✐ õ tỗ t k xk M s❛♦ ❝❤♦ xk → x0 ✈➔ xk − x0 z = lim k→∞ λk ✭✷✳✶✮ ▼➦t ❦❤→❝✱ ✈ỵ✐ ♠é✐ t ∈ T x0 ✈➔ ξt ∈ ∂gt (x)✱ t❛ ❝â gt (xk ) ≥ gt (x0 ) + ξt , xk − x0 ❇ð✐ ✈➻ xk ∈ M ✈➔ gt (x0 ) = 0✱ ♥➯♥ ≥ gt (xk ) ≥ ξt , xk − x0 ❱➻ ✈➟②✱ ✭✷✳✶✮ ❦➨♦ t❤❡♦ ξt , z ≤ 0✳ ❉♦ ✤â✱ ✈ỵ✐ ♠é✐ t ∈ T x0 ✱ t❛ ❝â z ∈ (∂gt (x0 ))≤ ✳ ❱➻ ✈➟②✱ T (M, x0 ) ⊆ G≤ (x0 ) ✈➔ tø ✭❇❈◗✮ t❛ ❝â cone(G(x0 )) = G≤≤ (x0 ) ⊆ T ≤ (M, x0 ) ⊆ cone(G(x0 )) ◆❤÷ ✈➟②✱ cone(G(x0 )) ❧➔ ✤â♥❣✳ ✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✷ ❬✻❪ ●✐↔ sû x0 ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ②➳✉ ❝õ❛ ✭▼❖❙■P✮ ✈➔ ✭❘❈◗✮ ✤ó♥❣ t↕✐ x0✳ ❑❤✐ ✤â✱ ✷✼ ✭✐✮ ∈ conv(F (x0 )) + cone(G(x0 )) ✭✷✳✷✮ ✭✐✐✮ ❍ì♥ ♥ú❛✱ ♥➳✉ cone(G(x0)) ❧➔ ♠ët õ õ t tỗ t i ợ i = 1, 2, , p✮ ✈➔ βt ≥ ✭✈ỵ✐ t ∈ T x ✮✱ ✈ỵ✐ βt = ✈ỵ✐ ♠ët sè ❤ú✉ ❤↕♥ ❝→❝ ❝❤➾ sè✱ s❛♦ ❝❤♦ p 0∈ αi ∂c fi (x0 ) + i=1 βt ∂c gt (x0 ) ✭✷✳✸✮ t∈T x0 p αi = ✭✷✳✹✮ i=1 ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✣➸ ✤ì♥ ❣✐↔♥ t❛ ❦➼ ❤✐➺✉ F (x0 ) ✈➔ G(x0 t÷ì♥❣ ự F G tr ự ữợ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ F < ∩ T (M, x0 ) = sỷ tỗ t ởt tr tở tr õ tỗ t (tl , dl ) −→ (0+ , d) s❛♦ ❝❤♦ x0 + tl dl ∈ M ✈ỵ✐ ♠å✐ l ∈ N✳ ❇ð✐ ✈➻ d ∈ F < ✱ t❛ s✉② r❛ ξ, d < 0, ∀ξ ∈ ∂c fi (x0 ), ∀ = 1, 2, · · · , p ✭✷✳✻✮ ❚❤❡♦ ✤à♥❤ ❧➼ ❣✐→ trà tr✉♥❣ ❜➻♥❤ ▲❡❜♦✉r❣ ✭✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✹✮ ✈ỵ✐ ♠é✐ l N tỗ t ul tr t (x0 , x0 + tl dl ) ✈➔ ξl ∈ ∂c fl (ul ) s❛♦ ❝❤♦ f1 (x0 + tl dl ) − f1 (x0 ) = tl ξl , dl ✭✷✳✼✮ ❇ð✐ ✈➻ ul −→ x0 ✈➔ →♥❤ ①↕ x −→ ∂c f1 (x) ❧➔ ♥û❛ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥✱ tỗ t lm l s ❝❤♦ ξlm −→ ξ ✈➔ ξ ∈ ∂c fl (x0 )✳ ❚❤➟t ✈➟②✱ ❞♦ ✭✷✳✻✮ t❛ ❝â ξ, d < 0✳ ❚ø ✭✷✳✼✮ t❛ s✉② r❛ f1 (x0 + tlm dlm ) − f1 (x0 ) = tlm ξlm , dlm ✷✽ ❇ð✐ ✈➻ ξlm , dlm → ξ, d < 0✱ ✈➔ tlm > 0✱ ✤➥♥❣ t❤ù❝ tr➯♥ t tỗ t N1 > s f1 (x0 + tlm dlm ) < f1 (x0 ), ∀m > Nl (1) (1) ❉♦ ✤â✱ t❛ ❝❤➾ r❛ r tỗ t ởt {x0 + tl dl } ❝õ❛ {x0 + tl dl } s❛♦ ❝❤♦ (1) (1) f1 (x0 + tl dl ) < f1 (x0 ) (1) (1) ❇➙② ❣✐í t❛ →♣ ❞ư♥❣ ❞➣② ❝♦♥ {x0 + tl dl } ❝õ❛ f2 tr♦♥❣ ✭✷✳✼✮✱ ✈➔ s r (2) (2) (1) (1) tỗ t {x0 + tl dl } ❝õ❛ {x0 + tl dl } s❛♦ ❝❤♦ ✈ỵ✐ ❝→❝ ❝❤➾ sè ✤õ ❧ỵ♥ t❛ ❝â f1 (x0 + t(2) d(2) ) < f1 (x0 ), l l f (x + t(2) d(2) ) < f (x ) l l (p) (p) ❚✐➳♣ tư❝ ❧➔♠ ♥❤÷ ✈➟② t❛ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ❞➣② ❝♦♥ {x0 + tl dl } ❝õ❛ {x0 + tl dl } s❛♦ ❝❤♦ (p) (p) f (x + t l dl ) < f1 (x0 ), f2 (x0 + t(p) d(p) ) < f2 (x0 ), l l ✳✳ ✳ fp (x0 + t(p) d(p) ) < fp (x0 ) l l (p) (p) ❉♦ {x0 + tl dl } ⊂ M ✈➔ ❝→❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ tr➯♥ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ♠ët ♠➙✉ t❤✉➝♥ ❝õ❛ t➼♥❤ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ②➳✉ ❝õ❛ x0 ✱ ✈➔ ♥❤÷ ✈➟②✱ t❛ s✉② r❛ ✤✐➲✉ ự ữợ t ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ F < ∩ G≤ ⊆ F < ∩ T (M, x0 ) = ∅ ❇ð✐ ✈➻ (conv(F ))< = F < ✈➔ (cone(G))≤ = G≤ ✱ t❛ s✉② r❛ r➡♥❣ (conv(F ))< ∩ (cone(G))≤ = ∅ ✭✷✳✽✮ ✷✾ ữợ r r (conv(F )) (cone(G)) = ∅ ✭✷✳✾✮ ◆➳✉ ✭✷✳✾✮ ❦❤ỉ♥❣ ✤ó♥❣ t❤➻ (conv(F )) ∩ (−cone(G)) = ∅✳ ❇ð✐ ✈➻ conv(F ) ❧➔ t➟♣ ỗ t rộ (cone(G)) õ ỗ õ t t tỗ t q ∈ Rn s❛♦ ❝❤♦ q, y < ∀y ∈ conv(F ), q, y ≥ ∀y ∈ (−cone(G)) ◆❤÷ ✈➟②✱ q ∈ (conv(F ))< ∩ (−cone(G))≤ ữủ ởt t ợ t ự tọ ú ữợ tỗ t u s u conv(F ), −u ∈ cone(G) ❉♦ ✤â ✭✷✳✷✮ ✤ó♥❣ ✈➔ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝õ❛ ✭✐✮ ❧➔ ✤➛② ✤õ✳ P❤➛♥ ✭✐✐✮ s✉② r❛ ♥❣❛② tø ✭✷✳✷✮ ✈➔ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❝õ❛ conv(F ) ✈➔ cone(G)✳ ú ỵ r tứ ỵ ỵ ✷✳✷ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ s❛✉✳ ❍➺ q✉↔ ✷✳✶ ◆➳✉ t❛ t❤❛② ✭❘❈◗✮ ❜➡♥❣ ✭❆❈◗✮ ❤♦➦❝ ✭❇❈◗✮✱ ✣à♥❤ ỵ ụ ú q sỷ x0 ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ②➳✉ ❝õ❛ ✭▼❖❙■P✮ ♠➔ t↕✐ ✤â tọ gt, t T ỗ õ tỗ t i 0, i = 1, ã ã · , p ✈➔ βt ≥ 0, t ∈ T x ✱ ✸✵ βt = ✈ỵ✐ ❤ú✉ ❤↕♥ ❝→❝ ❝❤➾ sè s❛♦ ❝❤♦ p 0∈ βt ∂gt (x0 ), αi ∂c fi (x0 ) + i=1 t∈T x0 p i = i=1 ú ỵ r q✉↔ ✷✳✷ ❦❤ỉ♥❣ ✤ó♥❣ ♥➳✉ t❛ t❤❛② ✭❇❈◗✮ ❜➡♥❣ ✭❆❈◗✮✳ ❙ü ❦✐➺♥ ♥➔② ✤÷đ❝ ❝❤➾ r❛ ❜➡♥❣ ✈➼ ❞ư s❛✉ ✤➙②✳ ❱➼ ❞ö ✷✳✶ ❳➨t ❜➔✐ t♦→♥ q✉② ❤♦↕❝❤ ❜→♥ ✈ỉ ❤↕♥ ✤❛ ♠ư❝ t✐➯✉ (P ) inf (f1 (x), f2 (x)), gt (x) ≤ 0, t ∈ N ∪ {0}, x ∈ R2 , tr♦♥❣ ✤â • f1 (x) = f2 (x) := −x✱ • gt (x) := sup { x, y |y ∈ Xt }✱ • Xt := (x1 , x2 ) ∈ R2 |x21 + x22 − 2(1 + t)x2 ≤ 0, x1 ≥ 0, x2 ≥ ✳ ❚❛ ❝â • M = (x1 , x2 ) ∈ R2 |x1 ≤ 0, x2 ≤ ✱ • x0 := (0, 0) ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ②➳✉ ❝õ❛ ✭P✮✱ • ∂c gt (x0 ) = Xt ✱ • T (M, x0 ) = M ✱ • ∂c f1 (x0 ) = ∂c f2 (x0 ) = {(−1, 0)}✱ • cone(G(x0 )) = (x1 , x2 ) ∈ R2 |x1 ≥ 0, x2 < ∪ {0, 0}✱ • conv(F (x0 )) = {(−1, 0)}✱ • G≤ (x0 ) = M ✳ ✸✶ ❇ð✐ ✈➻ {Xt } ❧➔ ❞➣② t➠♥❣ ✈➔ G≤ (x0 ) = (∂c gt (x0 ))≤ ✱ t❛ s✉② r❛ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ s❛✉ ❝ò♥❣✳ ✣✐➲✉ ú ỵ cone(G(x0 )) ổ õ ú ♥❤÷♥❣ ✭❇❈◗✮ ❦❤ỉ♥❣ ✤ó♥❣✳ ❉➵ ❞➔♥❣ ❦✐➸♠ tr❛ r➡♥❣ ✭✷✳✷✮ ỵ ú ữ ổ ú ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤õ tè✐ ÷✉ ❚r♦♥❣ ♠ư❝ ♥➔② t❛ tr➻♥❤ ởt số tố ữ ợ tt t ỗ s rở rữợ t t ữ ỗ s rở ▲✐♣s❝❤✐t③ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✸ ●✐↔ sû ϕ : Rn → R ❧➔ ❤➔♠ ▲✐♣s❝❤✐t③ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✳ ✭✐✮ ϕ ữủ ỗ s rở t x ợ ♠é✐ y ∈ Rn ✈➔ ❜➜t ❦ý ξ ∈ ∂c ϕ(x)✱ ϕ(y) − ϕ(x) ≥ ξ, y − x , ữủ ỗ s rở t t x✱ ♥➳✉ ✈ỵ✐ ♠é✐ y ∈ Rn ✱ y = x ✈➔ ❜➜t ❦ý ξ ∈ ∂c ϕ(x)✱ ϕ(y) − ϕ(x) > ξ, y − x , ✭✐✐✐✮ ϕ ✤÷đ❝ tỹ ỗ s rở t x ợ ♠é✐ y ∈ Rn ✈➔ ❜➜t ❦➻ ξ ∈ ∂c ϕ(x)✱ ϕ(y) ≤ ϕ(x) =⇒ ξ, y − x ≤ 0, ữủ tỹ ỗ s rở ❝❤➦t t↕✐ x✱ ♥➳✉ ✈ỵ✐ ♠é✐ y ∈ Rn ✱ y = x ✈➔ ❜➜t ❦➻ ξ ∈ ∂c ϕ(x)✱ ϕ(y) ≤ ϕ(x) =⇒ ξ, y − x < 0, sỷ ỗ s rë♥❣ ❝❤➦t ✈➔ ϕ1, ϕ2, , ϕss ỗ s rở t x > ✈➔ λl ≥ ✈ỵ✐ l = 1, 2, , s t❤➻ λl ϕl ❧➔ ❤➔♠ ỗ s l=0 rở t t x ự s l=0 λl ϕl ❇ð✐ ✈➻ ❤➔♠ ∂c ( s l=0 λl ϕl )(x) ❧➔ ❤➔♠ ▲✐♣s❝❤✐t③ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ð ❣➛♥ x✱ ❝❤♦ ♥➯♥ s l=0 λl ϕl (x))✳ = ∅✳ ●✐↔ sû ξ ∈ ∂c ( ❉♦ ♣❤➛♥ ✭❜✮ ✈➔ ỵ t ữủ s c s λl ϕl s (x) ⊆ l=0 ∂c (λl ϕl )(x) = l=0 λl ∂c ϕl (x) l=0 ❱➻ ✈➟②✱ tỗ t l c l (x), l = 0, 1, , s s❛♦ ❝❤♦ s ξ= l l l=0 t ỗ s rở t t ỗ s rở l (l = 1, 2, , s)✱ t❛ ❝â ϕ0 (y) − ϕ0 (x) > ξ0 , y − x , ∀y ∈ Rn , ϕ (y) − ϕ (x) ≥ ξ , y − x , ∀l = 1, 2, , s l l l ❉♦ ✤â✱ s s λl ξl , y − x λl (ϕl (y) − ϕl (x)) < l=0 l=0 ❱➻ ✈➟②✱ s ξ, y − x < s λl ϕ l l=0 (y) − λl ϕl (x) l=0 ✣â ❧➔ ✤✐➲✉ ♣❤↔✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✸ ❬✻❪ ●✐↔ sỷ x M T x = tỗ t↕✐ α ∈ Rp+ ✈➔ βt ≥ 0, t ∈ T x ✱ βt = ✈ỵ✐ ♠ët sè ❤ú✉ ❤↕♥ ❝→❝ ❝❤➾ sè t s❛♦ ❝❤♦ ✭✷✳✸✮ ✈➔ ✭✷✳✹✮ ✤ó♥❣✳ ◆➳✉ ❝→❝ ❤➔♠ ∗ ∗ ✸✸ fi , i ∈ {1, 2, , p|αi = 0}✱ gt , t ∈ {t ∈ T x |βt = 0} ỗ s rở t t ởt tr õ ỗ s rở t t x ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ②➳✉✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ∗ ✣➦t ∗ J(x∗ ) := {t ∈ T x |βt = 0} tọ t s r tỗ t ξi ∈ ∂c fi (x∗ ) ✈ỵ✐ i ∈ {1, , p} ✈➔ ζt ∈ ∂c gt (x∗ ) ✈ỵ✐ t ∈ J(x∗ ) s❛♦ ❝❤♦ p αi ξi + ✭✷✳✶✶✮ βt ζt = t∈J(x∗ ) i=1 ●✐↔ sû ♥❣÷đ❝ ❧↕✐ x∗ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ P õ tỗ t ✤÷đ❝ x ❝õ❛ ✭▼❖❙■P✮ s❛♦ ❝❤♦ fi (x) < fi (x∗ ), ✈ỵ✐ ♠å✐ i = 1, 2, , p ◆❤÷ ✈➟②✱ t❛ ❝â p p αi fi (x∗ ) αi fi (x) ≤ i=1 ✭✷✳✶✷✮ i=1 ❇ð✐ ✈➻ x ❧➔ ✤✐➸♠ ❝❤➜♣ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ❝õ❛ ✭▼❖❙■P✮ ✈➔ βt gt (x∗ ) = ✈ỵ✐ ♠å✐ t ∈ J(x∗ )✱ ❝❤♦ ♥➯♥ βt gt (x∗ ) βt gt (x) ≤ t∈J(x∗ ) ❚ø ✭✷✳✶✷✮ ✈➔ ✭✷✳✶✸✮ s✉② r❛ p i=1 t∈J(x∗ ) t∈J(x∗ ) p αi fi (x∗ ) + βt gt (x) − αi fi (x) + ✭✷✳✶✸✮ i=1 βt gt (x∗ ) ≤ t∈J(x∗ ) ✭✷✳✶✹✮ ✸✹ p i=1 αi fi (x) + ❚ø ❇ê ✤➲ ✷✳✶ t❛ s r tJ(x ) t gt (x) ỗ s✉② rë♥❣ ❝❤➦t✳ ❱➻ ✈➟②✱ p αi fi (x∗ ) + βt ζt ∈ ∂c αi ξi + i=1 p t∈J(x∗ ) βt gt (x∗ ) ✭✷✳✶✺✮ t∈J(x∗ ) i=1 ❉♦ ✤â✱ t❤❡♦ ✭✷✳✶✶✮✕✭✷✳✶✺✮✱ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ p 0> βt ζt , x − x∗ αi ξi + = 0, x − x∗ t∈J(x∗ ) i=1 ◆❤÷ ✈➟②✱ t❛ ✤✐ ✤➳♥ ♠ët ♠➙✉ t❤✉➝♥✳ ✣à♥❤ ỵ ữủ ự ú t ụ õ t ự ♠✐♥❤ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤õ tè✐ ÷✉ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ✭▼❖❙■P✮ ✈ỵ✐ sü ❣✐↔♠ ♥❤➭ ❝→❝ ❣✐↔ t❤✐➳t ✈➲ t➼♥❤ ỗ s rở sỷ x M T x = tỗ t ∈ Rpt ✈➔ βt ≥ 0, t ∈ T x ✱ βt = ✈ỵ✐ ❤ú✉ ❤↕♥ ❝❤➾ sè t s❛♦ ❝❤♦ ✭✷✳✸✮ ✈➔ ✭✷✳✹✮ ✤ó♥❣✳ ◆➳✉ t➜t ❝↔ ❝→❝ ❤➔♠ fi , i ∈ {1, 2, · · · , p|αi = 0}✱ gt , t ∈ {t ∈ T x |t = 0} tỹ ỗ s rở t t ởt tỹ ỗ s rở ❝❤➦t✱ t❤➻ x∗ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ②➳✉✳ ∗ ∗ ∗ ❇➙② ❣✐í t❛ ❝❤♦ ♠ët ✈➼ ❞ư ♠✐♥❤ ❤å❛ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ tè✐ ÷✉ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ q✉② ❤♦↕❝❤ ❜→♥ ✈ỉ ❤↕♥ ✤❛ ♠ư❝ t✐➯✉✳ ❱➼ ❞ư ✷✳✷ ❳➨t ❜➔✐ t♦→♥ q✉② ❤♦↕❝❤ ❜→♥ ✈ỉ ❤↕♥ ✤❛ ♠ư❝ t✐➯✉ s❛✉ ✤➙②✿ (P ) inf (f1 (x), f2 (x)), gt (x) ≤ 0, t ∈ N, x ∈ R2 , tr♦♥❣ ✤â f1 (x) = f2 (x) := |x1 | − |x2 |, gt (x) := x21 + x22 − t2 , ✈ỵ✐ ♠å✐ t ∈ N ✸✺ ❚❛ ❝â • M = {(x1 , x2 ) ∈ R2 |x21 + x22 ≤ 1}❀ • x0 := (0, −1)❀ • T x0 = {1}❀ • ∂c f1 (x0 ) = ∂c f2 (x0 ) = [−1; 1] × [−1; 1]❀ • G(x0 ) = {(0; −2)}✳ ✣✐➲✉ ✤→♥❣ ❝❤ó þ ❧➔ cone(g(x0 )) ✤â♥❣ ✈➔ ✭❆❈◗✮ ✤ó♥❣✳ ❉➵ ❦✐➸♠ tr❛ ✭✷✳✷✮ tr♦♥❣ ✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✷ ✤ó♥❣✳ ✸✻ ❑➳t ❧✉➟♥ ▲✉➟♥ ✈➠♥ ✤➣ tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ tè✐ ÷✉ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ q✉② ❤♦↕❝❤ ❜→♥ ✈ỉ ❤↕♥ ✤ì♥ ♠ư❝ t✐➯✉ ❦❤ỉ♥❣ trì♥ ❝õ❛ ◆✳ ❑❛♥③✐ ✭❬✺❪✱ ✷✵✶✶✮ ✈➔ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ tè✐ ÷✉ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ q✉② ❤♦↕❝❤ ❜→♥ ✈ỉ ❤↕♥ ✤❛ ♠ư❝ t✐➯✉ ❦❤ỉ♥❣ trì♥ ❝õ❛ ◆✳ ❑❛♥③✐ ✈➔ ❙✳ ◆♦❜❛❦❤t✐❛♥ ✭❬✻❪✱ ✷✵✶✹✮✳ ◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ỗ t q ổ ỡ t st ữỡ ợ r ❜✉ë❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✭❙■P✮❀ ✲ ❈→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝❤➼♥❤ q✉② ●✉✐❣♥❛r❞✱ ❑✉❤♥✕❚✉❝❦❡r✕❈♦tt❧❡ ✈➔ t➼♥❤ ❝❤➜t Ps❤❡♥✐❝❤♥②✐✕▲❡✈✐♥✕❱❛❧❛❞✐r❡ ❝ò♥❣ ✈ỵ✐ ♠è✐ q✉❛♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝❤➼♥❤ q✉② ✈➔ t➼♥❤ ❝❤➜t ✭P▲❱✮❀ ✲ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ tè✐ ÷✉ ❑❛r✉s❤✕❑✉❤♥✕❚✉❝❦❡r ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ✭❙■P✮❀ ✲ ❇➔✐ t♦→♥ q✉② ❤♦↕❝❤ ❜→♥ ✈æ t st ữỡ ợ r ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✭▼❖❙■P✮❀ ✲ ❈→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝❤➼♥❤ q✉② ✭❆❈◗✮✱ ✭❇❈◗✮✱ ✭❘❈◗✮ ✈➔ q✉❛♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ❝❤ó♥❣❀ ✲ ❈→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ tè✐ ÷✉ ❑❛r✉s❤✕❑✉❤♥✕❚✉❝❦❡r ❝❤♦ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ②➳✉ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭▼❖❙■P✮❀ ✲ ❈→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤õ tố ữ t P ợ tt t ỗ s rở tố ữ ❜➔✐ t♦→♥ q✉② ❤♦↕❝❤ ❜→♥ ✈ỉ ❤↕♥ ❦❤ỉ♥❣ trì♥ ❧➔ ✤➲ t➔✐ ✤➣ ✈➔ ✤❛♥❣ ✤÷đ❝ ♥❤✐➲✉ t→❝ ❣✐↔ q✉❛♥ t➙♠ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✳ ✸✼ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ❚✐➳♥❣ ❱✐➺t ❬✶❪ ✣é ❱➠♥ ▲÷✉✱ P❤❛♥ ❍✉② ❑❤↔✐ ✭✷✵✵✵✮✱ ●✐↔✐ t➼❝❤ ỗ tt ✣é ❱➠♥ ▲÷✉ ✭✶✾✾✾✮✱ ●✐↔✐ t➼❝❤ ▲✐♣s❝❤✐t③✱ ◆❳❇ ❑❤♦❛ ❤å❝ ✈➔ ❦➽ t❤✉➟t✱ ❍➔ ◆ë✐✳ ❚✐➳♥❣ ❆♥❤ ❬✸❪ ❈❧❛r❦❡✱ ❋✳❍✳ ✭✶✾✽✸✮✱ ❖♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ❛♥❞ ◆♦♥s♠♦♦t❤ ❆♥❛❧②s✐s✱ ❲✐❧❡② ■♥t❡rs❝✐❡♥❝❡✱ ◆❡✇ ❨♦r❦ ❬✹❪ ❍✐r✐❛rt✲❯rr✉t②✱ ❏✳❇✳✱ ▲❡♠❛r❡❝❤❛❧✱ ❈✳ ✭✶✾✽✾✮✱ ❈♦♥✈❡① ❆♥❛❧②s✐s ❛♥❞ ▼✐♥✐♠✐③❛t✐♦♥ ❆❧❣♦r✐t❤♠s✱ ❙♣r✐♥❣❡r✱ ❇❡r❧✐♥✱ ❍❡✐❞❡❧❜❡r❣ ❬✺❪ ❑❛♥③✐✱ ◆✳ ✭✷✵✶✶✮✱ ✧◆❡❝❡ss❛r② ♦♣t✐♠❛❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r ♥♦♥s♠♦♦t❤ s❡♠✐✲✐♥❢✐♥✐t❡ ♣r♦❣r❛♠♠✐♥❣ ♣r♦❜❧❡♠s✧✱ t✐♦♥✱ ✹✾✱ ✼✶✸✲✼✷✺ ❏♦✉r♥❛❧ ♦❢ ●❧♦❜❛❧ ❖♣t✐♠✐③❛✲ ❬✻❪ ❑❛♥③✐✱ ◆✳✱ ◆♦❜❛❦❤t✐❛♥✱ ❙✳ ✭✷✵✶✹✮✱ ✧❖♣t✐♠❛❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r ♥♦♥s✲ ♠♦♦t❤ s❡♠✐✲✐♥❢✐♥✐t❡ ♠✉❧t✐♦❜❥❡❝t✐✈❡ ♣r♦❣r❛♠♠✐♥❣✧✱ ❖♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ t❡rs ✽✱ ✼✶✼✲✼✷✼ ▲❡t✲ ✸✽ ❬✼❪ ❑❛♥③✐✱ ◆✳✱ ◆♦❜❛❦❤t✐❛♥✱ ❙✳ ✭✷✵✵✽✮✱ ✧❖♣t✐♠❛❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r ♥♦♥s✲ ❖♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ✺✸✱ ✶✺✶✼✲✶✺✷✽ ❬✽❪ ❘♦❝❦❛❢❧❧❛r✱ ❘✳❚✳✱ ❲❡ts✱ ❏✳❇✳ ✭✶✾✾✽✮✱ ❱❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ❆♥❛❧②s✐s✱ ❙♣r✐♥❣❡r✲ ♠♦♦t❤ s❡♠✐✲✐♥❢✐♥✐t❡ ♣r♦❣r❛♠♠✐♥❣✧✱ ❱❡r❧❛❣✱ ❇❡r❧✐♥