TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC KHOA: TOÁN- LÝ-TIN SÝ THỊ HIỂN MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH CĨ CHỨA ẨN DƢỚI DẤU CĂN BẬC HAI KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC SƠN LA, NĂM 2018 TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC KHOA: TOÁN- LÝ- TIN SÝ THỊ HIỂN MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH CĨ CHỨA ẨN DƢỚI DẤU CĂN BẬC HAI Thuộc nhóm chuyên ngành: Khoa học tự nhiên KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngƣời hƣớng dẫn: TS Hoàng Ngọc Anh SƠN LA, NĂM 2018 LỜI CẢM ƠN Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành với Giảng viên chính- Tiến sĩ: Hồng Ngọc Anh tận tình dẫn giúp đỡ trình hồn thành khóa luận Tơi xin gửi lời cảm ơn đến thầy giáo khoa Tốn - Lý - Tin, phòng Đào tạo Đại học, Trung tâm Thơng tin Thư viện, phòng ban khoa trực thuộc Trường Đại học Tây Bắc tạo điều kiện giúp đỡ tơi q trình hồn thành khóa luận Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn tới bạn sinh viên lớp K55 - ĐHSP Toán đóng góp ý kiến chia sẻ kinh nghiệm cho tơi Với khóa luận này, tơi mong nhận ý kiến đóng góp Thầy Cơ giáo, bạn sinh viên để để tài hoàn thiện Tôi xin trân thành cảm ơn! Sơn La, tháng 05 năm 2018 Ngƣời thực khóa luận Sý Thị Hiển DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT THPT : Trung học phổ thông NXB : Nhà xuất SGK : Sách giáo khoa VN : Vô nghiệm VT : Vế trái VP : Vế phải L : Loại N : Nghiệm MỤC LỤC PHẦN I: MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài khóa luận Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu Cấu trúc khóa luận PHẦN II: NỘI DUNG Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Phương trình 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Các kiến thức liên quan (tính chất, nghiệm, ) 1.2 Phương trình có chứa dấu bậc hai 1.2.1 Định nghĩa 2.1 Một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dấu bậc hai thường dùng 2.1.1 f x g x 2.1.1.1 Phương pháp giải 2.1.1.2 Ví dụ 2.1.2.2 Bài tập thêm 10 2.1.3 f ( x) g ( x) 10 2.1.3.1 Phương pháp giải 10 2.1.3.2 Ví dụ 11 2.1.2.3 Bài tập thêm 11 2.2 Đưa phương trình dạng tích 12 2.2.1 Phương pháp 12 2.2.2 Ví dụ 12 2.2.3 Bài tập thêm 13 2.3 Phương pháp đặt ẩn phụ 14 2.3.1 Phương pháp 14 2.3.2 Ví dụ 14 2.3.3 Bài tập thêm 18 2.4 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức 19 2.4.1 Phương pháp 19 2.4.2 Ví dụ 19 2.4.3 Bài tập thêm 26 2.5 Đưa hệ phương trình để giải 27 2.5.1 Phương pháp 27 2.5.2 Ví dụ 27 2.5.3 Bài tập thêm 31 KẾT LUẬN 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO 33 PHẦN I: MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài khóa luận Trong chương trình tốn Trung học phổ thơng, mà cụ thể phân môn Đại số 10, em tiếp cận với phương trình chứa ẩn dấu bậc hai tiếp cận với vài cách giải thơng thường tốn đơn giản Tuy nhiên thực tế tốn giải phương trình chứa ẩn dấu bậc hai phong phú đa dạng đặc biệt đề thi Đại học - Cao đẳng, em gặp lớp toán phương trình chứa ẩn dấu bậc hai mà có số biết phương pháp giải trình bày lủng củng chưa gọn gàng, sáng sủa trí mắc số sai lầm khơng đáng có trình bày Trong chương trình sách giáo khoa Đại số lớp 10, phần Phương trình chứa ẩn dấu bậc hai mục nhỏ Phương trình quy phương trình bậc nhất, bậc hai chương III Thời lượng dành cho phần có tiết lý thuyết sách giáo khoa, giới thiệu sơ lược ví dụ đưa cách giải, phần tập đưa sau học Để biến đổi giải xác phương trình chứa ẩn dấu đòi hỏi học sinh cần nắm vững nhiều kiến thức, phải có tư mức độ cao phải có lực biến đổi tốn học linh hoạt xác Với mong muốn hệ thống lại số phương pháp giải tập hợp số dạng tập để giúp em học sinh lớp 10 tự học để nâng cao kiến thức, đặc biệt giúp em học sinh lớp 12 tự ôn tập để giải tốt đề thi Đại học - Cao đẳng nên tơi chọn đề tài khóa luận: “Một số phương pháp giải phương trình có chứa ẩn dấu bậc hai” Mục đích nghiên cứu Tổng hợp phân loại kiến thức phương trình có chứa ẩn dấu bậc hai, sở phân loại thành dạng tập đưa cách giải phù hợp Qua giúp học sinh chủ động lĩnh hội kiến thức chương phương trình cách đơn giản, nhanh chóng đầy đủ Nhiệm vụ nghiên cứu - Tổng hợp phân loại kiến thức phương trình có chứa ẩn dấu bậc hai - Nghiên cứu số phương pháp giải phương trình có chứa ẩn dấu bậc hai Phƣơng pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu tài liệu (sách, báo tài liệu internet có liên quan đến đề tài khóa luận) - Phương pháp phân tích, tổng hợp - Trao đổi, thảo luận với Thầy hướng dẫn khóa luận Đối tƣợng nghiên cứu Phương trình chứa ẩn dấu bậc hai Phạm vi nghiên cứu Một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dấu Cấu trúc khóa luận Ngoài phần mở đầu, mục lục, tài liệu tham khảo khóa luận gồm chương: Chương 1: Một số kiến thức Chương 2: Một số phương pháp giải phương trình có chứa ẩn dấu bậc hai PHẦN II: NỘI DUNG Chƣơng MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Phƣơng trình 1.1.1 Định nghĩa Trong tốn học, phương trình mệnh đề chứa biến có dạng: f x1 , x2 , g x1 , x2 , h x1 , x2 , f x1 , x2 , h x1 , x2 , ax bx c g x1 , x2 , y Trong x1 , x2 , gọi biến số phương trình bên phương trình gọi vế phương trình Chẳng hạn phương trình (1) có f x1 , x2 , vế trái nằm bên tay trái, g x1 , x2 , vế phải nằm bên tay phải Ở phương rình (4) có a, b, c hệ số x, y biến Có nhiều cách để phân loại phương trình Phân loại phương trình theo số ẩn ta có: phương trình ẩn, phương trình hai ẩn Phân loại phương trình theo phép tốn phương trình ta có: phương trình vơ tỷ, phương trình mũ, phương trình lơgarit Cần ý phân biệt phương trình với đẳng thức, đẳng thức nên hiểu khái niệm phương trình Số học, vế chúng số 1 thể giá trị hai hàm số với biến số Khi cẩn thận, nên sử dụng dấu " " thay cho dấu " " viết đẳng thức, phương trình (3) Trong ngơn ngữ lập trình cho máy tính, người ta hay quy ước dùng dấu " " cho phương trình dấu " " cho đẳng thức Biểu diễn phương trình lập trình trả lại giá trị hai vế sai hai vế khác 1.1.2 Các kiến thức liên quan (tính chất, nghiệm, ) Tính chất Do phương trình có vế đa thức, phương trình thể đầy đủ tính chất đa thức, tức là: Với phương trình khơng phân bậc, chúng có thuộc tính sau: - Cộng, trừ, nhân, chia hai vế với số với điều kiện phép nhân chia số khác không chứa điều kiện xác định - Bậc phương trình bậc đa thức, phương trình (4) phương trình bậc - Rút gọn phương trình tối giản tương tự rút gọn đa thức không vi phạm điều kiện xác định - Căn bậc n nâng lũy thừa bậc n đa thức không âm âm không vi phạm điều kiện xác định - Các nghiệm phải thỏa mãn điều kiện xác định làm vế phương trình - Chuyển vế đổi dấu thực chất phép cộng trừ tương ứng Nghiệm Nghiệm phương trình ( x1 , x2 , ) tương ứng ta thay vào phương trình ta có mệnh đề đơn giản làm cho hai phương trình nhau, chẳng hạn ta có phương trình 5x , nghiệm phương trình làm cho vế phương trình hiểu theo công thức tổng quát, phương trình f x phương trình x a f a có a gọi nghiệm , điều định nghĩa tương tự với phương trình nhiều ẩn khác như: f x, y, z, 0, a, b, c, S x a, y b, z c ; f a, b, c, Giải phương trình tìm tập nghiệm phương trình Với tập nghiệm phương trình tập tất nghiệm phương trình Kí hiệu: S x, y, z, Xuất phát từ chữ tiếng Anh Set có nghĩa tập, nhóm 1) x 2) x x x 3) x 4) x 3x x 5) 3x x 6) x x 2x x x x 4x 4x x x x 3x 3x x x 16 5x 5x 2 2x Bài tập 3: Giải phương trình sau: 1) x 2) x 3)1 x x x2 x2 4) x 5) x x x2 17 9x x x x x x 4x 3x x2 x 17 5x 2.4 Phƣơng pháp sử dụng bất đẳng thức 2.4.1 Phƣơng pháp Cần nhớ bất đẳng thức sau: a+b + ab ab a b ( a,b 0) 2 Dấu “ ” xảy khi: a 3 abc a+b + c + abc a b c ( a,b,c b 0) Dấu “ ” xảy khi: a b 2.4.2 Ví dụ Ví dụ 1: Giải phương trình: 1) x y z (x y z) 19 c Hướng dẫn: Điều kiện: x x x x.1 y z x Áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có: 0, y 1, z ( y 1) y 2 ( z 2) z ( z 2).1 2 y z ( x y z) ( y 1).1 x Dấu “=” xảy khi: y 1 z x y z Vậy nghiệm phương trình 1; 2; 2) ( x2 1)( y 2)( z 32 xyz ,với x, y, z 3) Hướng dẫn: Ta biến đổi dạng; x2 y2 z2 32 xyz Áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có: x2 x y2 2 y 2 2 y z2 z 2.2 2.z ( x2 1)( y 2x 2)( z 8) 32 xyz x2 x Dấu “ ” xảy khi: y 2 y z2 z 2 Vậy nghiệm phương trình là: 1; 2; 2 3) x x2 y2 4y 20 Hướng dẫn: Điều kiện: x Theo bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: 2 x.1 x x x2 y2 4y x2 (2 x ) 12 2 (2) 12 (1) 1)2 (2 y Từ (1 ) (2 ) ta có dấu “ ” xảy khi: x 2y x x2 1 (x y 0) x 16 x y 1225 z 665 y Vậy nghiệm phương trình là: 1; - 4) 82 x y z 665 Hướng dẫn: Điều kiện: x 16 x 3, y x 665 Ta viết phương trình lại dạng: 1, z y y 1225 z 665 z Áp dụng bất đẳng thức Cơ si cho cặp số ta có: 16 x x 16 x x 3 y y y y z 665 1225 z 665 VT 82 1225 z z 665 Dấu “ ” xảy khi: 21 665 70 665 82 16 x y x x 16 y z 665 1225 y 1225 z 665 z 665 Vậy nghiệm phương trình là: x, y, z 5) 4( y 1) y x x 19;5;1890 10 ( y 1) x 19 y z 1890 Hướng dẫn: Điều kiện: x x 0, y 4( y 1) y 1 x x x x ( y 1) ( y 1) 10 4 ( y 1) x 10 ( y 1) 2 VT ( y 1) Dấu “ ” xảy khi: x 10 1; y x 1; y Vậy nghiệm phương trình là: 1; ; 1; 6) x x 2( x 3)2 2x Hướng dẫn: Điều kiện: x ( x 1.1 ( x VT 2( x 3).1) 3) ( x 1) 2( x 1) (x VP 22 3) (1 1) Dấu “ ” xảy khi: x 1 x 3) (x Vậy nghiệm phương trình x 7) x2 x 2 x3 x2 x2 7x 1, x x x x 10 0 2x x Hướng dẫn: Ta có: x3 x2 (2 x 1)( x x x 1) x Điều kiện: x Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho số không âm x x x Ta có: (2 x 1)( x x 1) ( x2 (2 x 1) Dấu “ ” xảy khi: x x2 Vậy phương trình có nghiệm x 8) x2 x x x2 x2 x x2 x 1) x x x 0; x (1) Hướng dẫn: Áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có: ( x2 x 1).1 (x x2 x 1).1 x ( x2 (x x x 1) 2 x 1) x2 x2 x x x2 x (2) 23 x x x Từ (1 ) (2 ) ta có: x2 x x2 x 2x 1 x2 x x 1 nghiệm phương trình Thử lại ta có x 9) x x2 x x2 3x 13 (1) Hướng dẫn: Điều kiện: 21 x 2 Áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có: (x (x x 5).1 x2 3).1 x2 x ( x2 x 5) 2 x 3) (x x2 x x2 x x x2 4 x (2) Từ (1 ) (2 ) ta có: x2 3x x x2 4x x 2 x Vậy phương trình có nghiệm x 10) x 10 x x2 12 x 40 Hướng dẫn: Điều kiện: x 10 Áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có: x 10 ( x 2) x ( x 2).4 4 (10 x) 14 x x (10 x).4 4 VT x 10 x (1) Mặt khác: 24 x2 VP 12 x x2 40 2.6.x 36 x Từ (1 ) (2 ) ta có dấu “ ” xảy khi: x 6 4 nghiệm phương trình Thử lại ta có x Lƣu ý: Bài toán phụ: a, b a b a b 2(a b) (a (a b) x (x (a b) b2 ) Từ ta có VT x 10 2) (10 x) ( sau giải tương tự trên) Ví dụ 2: Giải phương trình: x x2 y2 y2 Hướng dẫn: Đối với tốn ta có cách giải Cách 1: Điều kiện: xy x2 x2 y2 Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho số không âm: y2 ) x2 ( x2 ( y2 ) y2 x y 1 Dấu “ ” xảy khi: Cách 2: Đưa phương trình dạng: A B C 2 A B C Ta có: x2 x2 y2 ( x2 x 2.x x y2 x ) x2 y x2 y ( y2 y2 y y y 25 y2 ) y2 x y x x2 0 0 x y 1 0 Ví dụ 3: Giải phương trình: x 4 x x Hướng dẫn: Điều kiện: x2 x Áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có: x x x 1 x x 1 x x x x 1 x (1) (2) (3) Cộng vế (1), (2), (3) ta được: x2 4 x x 1 x x Áp dụng bất đẳng thức Cô si thêm lần ta được: x (1 x).1 x (1 x).1 x 1 (1 x) (1 x) x VT x 2 x x 1 x Dấu “ ” xảy khi: Vậy phương trình có nghiệm x x 0 2.4.3 Bài tập thêm Giải phương trình 1) x y 2) 2( x 1) x 3) ( x 1) 3x 4) x 6x y2 3xy 2y x 2x y y 12 4y 5x4 10 x 2 ( x2 26 2x 4x 3)( y 2 x2 4y 2) 2.5 Đƣa hệ phƣơng trình để giải 2.5.1 Phƣơng pháp Dạng 1: Đưa hệ phương trình bình thường Hoặc hệ đối xứng loại Đặt u x tìm mối quan hệ x ,v x từ x tìm hệ theo u,v Dạng 2: Đưa phương trình cho hệ đối xứng loại hai Ta tìm nguồn gốc tốn giải phương trình cách đưa hệ đối xứng loại II Ta xét hệ phương trình đối xứng loại II sau: Ta biến hệ phương trình cách đặt y đúng, y x ( x 1)2 ( x x y 2 y x 2 f ( x) cho (2) ln 1,khi ta có phương trình: 1) x2 Vậy để giải phương trình x 2x x 2x 2 ta đặt lại đưa hệ x ( x ) ay b Bằng cách tương tự xét tổng quát dạng bậc hai: , ta ( y ) ax b an )n x b b xây dựng phương trình dạng sau: đặt ( y Tóm lại phương trình thường cho dạng khai triển ta phải viết dạng: n x dấu p n a'x n y b để đưa hệ, ý ax ?? Việc chọn ; n x , đặt b' p n a'x thông thường cần viết dạng: chọn b' 2.5.2 Ví dụ Ví dụ 1: Giải phương trình sau: 1) 35 2) x3 x x 25 x x3 30 3) x 2x x 4) 27 x 2x x Hướng dẫn: 1) Đặt y x3 35 x3 y3 35 Khi phương trình chuyển hệ phương trình sau: giải hệ ta tìm x; y trình x 2) xy x x3 y y3 30 35 , 3;2 Tức nghiệm phương 2;3 2;3 Điều kiện: x u Đặt: x x u 1,0 v v Ta đưa hệ phương trình sau: u u v v 4 u 2 2 v4 v Giải phương trình thứ 2: v 2 1 v , từ tìm v thay vào tìm nghiệm phương trình 3) Điều kiện: x Đặt a x 1, b a2 b b2 a Vậy 4) a x 1 Điều kiện: Đặt: u 5 b a x x ,v x a 0, b b x đưa hệ phương trình sau: a x 5 y u, v 28 10 b x x a b 11 17 Khi ta hệ phương trình: u2 v 10 4 2u u v z u v 10 u v 2uv uv Ví dụ 2: Giải phương trình: 1) x 2x 2) x 2 2x 6x 4x 3) x 3x 4)32 x 32 x 13x x 15 20 Hướng dẫn: 1) Điều kiện: x Ta có phương trình viết lại là: x Đặt y x ta đưa hệ sau: Trừ hai vế phương trình ta được: x 2 2x x2 2x y y2 2y x y x y Giải ta tìm nghiệm phương trình là: x Vậy nghiệm hệ phương trình là: x; y 2) 2;1 Ta biến đổi phương trình sau: Điều kiện: x x 12 x Đặt y 2x 2y 2 4x 4y 4x 2x y Với x y 2x 2 4x 11 ta hệ phương trình sau: 4x Với x x 4x y y x y x x x Vậy nghiệm hệ phương trình là: x; y 29 2 ; x; y 2; 3) Điều kiện: x Phương trình (3) trở thành: 4x2 12 x Đặt: 3x 3x x 3) (2 x ) (2 y 3) , (Điều kiện: y (2 y 3x (2 y 3) Kết hợp với đề ta có hệ phương trình: (2 x 3) 3) 15 y 4y 15 y 15 y 2y 5) x (2') y 2y x 15 18 y 97 (L) (N) 2y vào (1’) ta được: +) Thay x y2 97 97 y x 2y y 73 (L); y= 73 (N) x 11 Vậy phương trình cho có nghiệm là: 15 x, y 4) Điều kiện: x 97 15 ; 97 11 x; y 73 ; 73 Phương trình (4) trở thành: 32 x y vào (1’) ta được: +) Thay x y )(2 x 3x x (1') x Trừ (1’) (2’) ta được: ( x (4) x 32 x x 15 20 2(4 x 30 2) 2 x 15 28 (5) 73 Đặt: 2x 15 ) 2 , (ĐK: y 4y 2) (4 y Kết hợp với đề ta có hệ phương trình: x 15 (4 y 2) 2 x 15 (4') (4 x 2) 2 y 15 (5') x Trừ (4’) (5’) ta được: ( x y )(8 x 8y 9) y x y 11 (L) y y vào (4’) ta được: 16 y + ) Thay x x 14 y 11 y (N) x x2 y ;y Vậy phương trình có nghiệm là: x 2.5.3 Bài tập thêm Bài tập 1: Giải phương trình sau: 1) x 2) x 3) x x x2 x x2 17 x x 17 4) x 1 x2 x2 2 x 5) x 6) x2 x 7) 17 x 17 8) x x x2 Bài tập : Giải phương trình sau: 1) x 2) x 2 2x x 3)7 x 7x 4) x 5) x2 4x ,x 28 x 6) x 7) 4 8) x 9) x 10)3 31 x x x x x x x x x x 1 KẾT LUẬN Khóa luận mang tên “Một số phương pháp giải phương trình có chứa ẩn dấu bậc hai” thời gian nghiên cứu đạt số kết sau: Thông qua khóa luận này, tơi hệ thống lại số phương pháp giải phương trình có chứa ẩn dấu bậc hai giới thiệu đến sinh viên nghành Sư phạm Toán học sinh THPT Sau thời gian nghiên cứu, sở tổng hợp kiến thức phương trình có chứa ẩn dấu bậc hai, tơi đưa phương pháp giải tốn tốn giải phương trình có chưa ẩn dấu bậc hai Ở phương pháp đưa cách giải cụ thể đưa ví dụ minh họa có liên quan cuối phương pháp đưa tập để luyện tập củng cố Hi vọng khóa luận trở thành tài liệu tham khảo cho bạn sinh viên nghành sư phạm Toán học học sinh THPT Do khn khổ thời gian có hạn trình độ hạn chế nên khóa luận khơng tránh khỏi thiếu xót nên mong nhận ý kiến đóng góp q thầy bạn quan tâm để khóa luận thêm hồn chỉnh 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Văn Hạo (2017), Đại số 10, NXB Giáo dục [2] Nguyễn Thị Hòe (1997), Rèn luyện tư qua việc giải tập toán, NXB Giáo dục [3] Nguyễn Bá Kim (2004), Phương pháp dạy học mơn tốn, NXB Giáo dục [4] G.PơLya (1975), Giải toán nào?, NXB Giáo dục [5] Đoàn Quỳnh (2010), Tài liệu giáo khoa chuyên Toán Đại số 10 , NXB Giáo dục 33 ... số dương, bậc hai viết dạng ký hiệu lũy thừa, a Căn bậc hai số âm bàn luận khn khổ số phức Chƣơng MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH CÓ CHỨA ẨN DƢỚI DẤU CĂN BẬC HAI 2.1 Một số phƣơng pháp giải. .. diễn hình học phương trình bậc hai ẩn, phương trình ẩn có nghiệm ln nằm điểm trục số 1.2 Phƣơng trình có chứa dấu bậc hai 1.2.1 Định nghĩa Căn bậc hai Trong toán học, bậc hai số a số x cho x nói... Tổng hợp phân loại kiến thức phương trình có chứa ẩn dấu bậc hai - Nghiên cứu số phương pháp giải phương trình có chứa ẩn dấu bậc hai Phƣơng pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu tài liệu (sách,