CÁC BÀI TỐN HÌNH HỌC ƠN THI VÀO LỚP 10 PHẦN 49 Bài 51:Cho (O), từ điểm A nằm đường tròn (O), vẽ hai tt AB AC với đường tròn Kẻ dây CD//AB Nối AD cắt đường tròn (O) E C/m ABOC nội tiếp Chứng tỏ AB2=AE.AD �  ACB � C/m góc AOC BDC cân CE kéo dài cắt AB I C/m IA=IB B I A O E D C Hình 51 1/C/m: ABOC nt:(HS tự c/m) � chung 2/C/m: AB2=AE.AD Chứng minh ADB ∽ ABE , có E � � (góc tt dây) Sđ ABE = sđ cung BE Sđ � = BDE � (góc nt chắn BE � ) sñ BE �  ACB � 3/C/m AOC �  ABC � * Do ABOC nt AOC (cùng chắn cung AC); AC = AB (t/c tt cắt �  ACB � � AOC �  ACB � nhau)  ABC cân A ABC � = sđ BEC � � � * sđ ACB (góc tt dây); sđ BDC = sđ BEC (goùc 2 nt) � = ACB � � = BDC � �  BCD �  BDC maø ABC (do CD//AB)  BDC  BDC cân B �  ECB � 4/ Ta có $ (góc tt dây; góc nt chắn cung I chung; IBE BE) IBE∽ICB IE IB   IB2=IE.IC IB IC � = sñ ( DB �  BE � ) mà BDC cân Xét IAE ICA có $ I chung; sñ IAE � � = sñ CE= � sñ ECA � �  BC � sñ IAE � = sñ (BC-BE) B DB  IAE∽ICA Bài 52: 50 IA IE  IA2=IE.IC Từ vàIA2=IB2 IA=IB IC IA Cho ABC (AB=AC); BC=6; Đường cao AH=4(cùng đơn vò độ dài), nội tiếp (O) đường kính AA’ Tính bán kính (O) Kẻ đường kính CC’ Tứ giác ACA’C’ hình gì? Kẻ AKCC’ C/m AKHC hình thang cân Quay ABC vòng quanh trục AH Tính diện tích xung quanh hình tạo A 1/Tính OA:ta có BC=6; đường cao AH=4  AB=5; ABA’ vuông BBH =AH.A’H C' K O A’H= AA’=AH+HA’= H B BH = AH C A' AO= 25 25 2/ACA’C’ hình gì? Hình Do O trung điểm 52 AA’ CC’ACA’C’ Hình bình hành Vì AA’=CC’(đường kính đường tròn)AC’A’C hình chữ nhật 3/ C/m: AKHC thang cân:  ta có AKC=AHC=1vAKHC nội tiếp.HKC=HAC(cùng chắn cung HC) mà OAC cân OOAC=OCAHKC=HCAHK//ACAKHC hình thang  Ta lại có:KAH=KCH (cùng chắn cung KH) KAO+OAC=KCH+OCAHình thang AKHC có hai góc đáy nhau.Vậy AKHC thang cân 4/ Khi Quay  ABC quanh trục AH hình sinh hình nón Trong BH bán kính đáy; AB đường sinh; AH đường cao hình nón 2 Sxq= p.d= 2.BH.AB=15 1/ a/ C/m MPOI laø thang 1 vuông V= B.h= BH2.AH=12 Vì OIMI; COIO(gt) 3 Bài 53:Cho(O) hai đường kính AB; CO//MI CD vuông mà góc với Gọi I trung MPCO C điểm OA Qua I vẽ dây MQOA (M cung AC ; Q AD) Đường MPMIMP//OIMPOI thẳng vuông P M góc với MQ M cắt (O) P thang vuông C/m: a/ PMIO thang vuông b/ C/m: P; Q; O thẳng S Q; O thẳng hàng b/ P; hàng: Gọi H S Giao điểm AP với Do CQ Tính Góclà CSP thang MPOI Gọi H giao điểm AP với vuông MQ Cmr: IMP=1v hay A a/ MH.MQ= MP2 B QMP=1v QP đường Ib/ MP O tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp QHP kính (O) Q; O; P thẳng hàng J 2/ Tính góc CSP: Ta có sđ CSP= sđ(AQ+CP) Q 51 D (góc có đỉnh nằm đường tròn) mà Hình 53 2 CM=QD  CP=QD  sđ CSP= sđ(AQ+CP)= sđ CSP= sđ(AQ+QD) = sđAD=45o Vậy CSP=45o 3/ a/ Xét hai tam giác vuông: MPQ MHP có : Vì  AOM cân O; I trung điểm AO; MIAOMAO tam giác cân M AMO tam giác  cung AM=60o MC = CP =30o  cung MP = 60o  cung AM=MP  góc MPH= MQP (góc nt chắn hai cung nhau.) MHP∽MQP đpcm b/ C/m MP tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp  QHP Gọi J tâm đtròn ngoại tiếp QHP.Do cung AQ=MP=60o HQP cân H QHP=120oJ nằm đường thẳng HO HPJ tam giác mà HPM=30oMPH+HPJ=MPJ=90o hay JPMP P nằm đường tròn ngoại tiếp HPQ đpcm Bài 54: Cho (O;R) cát tuyến d không qua tâm O.Từ điểm M d (O) ta kẻ hai tiếp tuyến MA MB với đườmg tròn; BO kéo dài cắt (O) điểm thứ hai C.Gọi H chân đường vuông góc hạ từ O xuống d.Đường thẳng vuông góc với BC O cắt AM taïi D C/m A; O; H; M; B nằm đường tròn C/m AC//MO MD=OD Đường thẳng OM cắt (O) E F Chứng tỏ MA2=ME.MF Xác đònh vò trí điểm M d để MAB tam giác đều.Tính diện tích phần tạo hai tt với đường tròn trường hợp B d E F O 52 D C A H 1/Chứngminh OBM=OAM=OHM=1v 2/ C/m AC//OM: Do MA MB hai tt cắt BOM=OMB MA=MB MO đường trung trực ABMOAB Mà BAC=1v (góc nt chắn nửa đtròn CAAB Vậy AC//MO Hình 54 Do OD//MB (cùng CB)DOM=OMB(so le) mà OMB=OMD(cmt)DOM=DMODOM cân Dđpcm 3/C/m: MA2=ME.MF: Xét hai tam giác AEM MAF có góc M chung C/mMD=OD Sđ AFM= sđcungAE(góc nt chắn cungAE) EAM=A FM Sđ EAM= sd cungAE(góc tt dây) MAE∽MFAđpcm 4/Vì AMB tam giác đềugóc OMA=30oOM=2OA=2OB=2R Gọi diện tích cần tính S.Ta có S=S OAMB-Squạt AOB Ta có AB=AM= OM  OA =R S AMBO= BA.OM= Squaït=   2R R = R2  R 120 R R 3   R2 = S= R2 = 360 3 Bài 55: Cho nửa (O) đường kính AB, vẽ tiếp tuyến Ax By phía với nửa đường tròn Gọi M điểm cung AB N điểm đoạn AO Đường thẳng vuông góc với MN M cắt Ax By D C C/m AMN=BMC C/mANM=BMC DN cắt AM E CN cắt MB F.C/m FEAx Chứng tỏ M trung điểm DC x D y M C E F A N O B 53 Hình 55 1/C/m AMN=BMA Ta có AMB=1v(góc nt chắn nửa đtròn) NMDCNMC=1v vậy: AMB=AMN+NMB=NMB+BMC=1v AMN=BMA 2/C/m ANM=BCM: Do cung AM=MB=90o.dây AM=MB MAN=MBA=45o.(AMB vuông cân M)MAN=MBC=45o Theo c/mt CMB=AMN ANM=BCM(gcg) 3/C/m EFAx Do ADMN ntAMN=AND(cùng chắn cung AN) Do MNBC ntBMC=CNB(cùng chắn cung CB)  AND=CNB Mà AMN=BMC (chứng minh câu 1) Ta lại có AND+DNA=1vCNB+DNA=1v ENC=1v mà EMF=1v EMFN nội tiếp EMN= EFN(cùng chắn cung NE) EFN=FNB  EF//AB mà ABAx  EFAx 4/C/m M trung điểm DC: Ta có NCM=MBN=45o.(cùng chắn cung MN) NMC vuông cân M MN=NC Và NDC vuông cân NNDM=45o MND vuông cân M MD=MN MC= DM đpcm Bài 56: Từ điểm M nằm (O) kẻ hai tiếp tuyến MA MB với đường tròn Trên cung nhỏ AB lấy điểm C kẻ CDAB; CEMA; CFMB Gọi I K giao điểm AC với DE BC với DF C/m AECD nt C/m:CD2=CE.CF Cmr: Tia đối tia CD phân giác góc FCE C/m IK//AB A F K C x M D O I E 54 B Hình 56 1/C/m: AECD nt: (dùng phương pháp tổng hai góc đối) 2/C/m: CD2=CE.CF Xét hai tam giác CDF CDE có: -Do AECD ntCED=CAD(cùng chắn cung CD) -Do BFCD ntCDF=CBF(cùng chắn cung CF) Và sđ CBF= sđ cung BC(góc tt dây)FDC=DEC Mà sđ CAD= sđ cung BC(góc nt chắn cung BC) Do AECD nt vaø BFCD nt DCE+DAE=DCF+DBF=2v.Maø MBD=DAM(t/c hai tt cắt nhau)DCF=DCE.Từ và CDF∽CEDđpcm 3/Gọi tia đối tia CD Cx,Ta có góc xCF=180 o-FCD xCE=180o-ECD.Mà theo cmt có: FCD= ECD xCF= xCE.đpcm 4/C/m: IK//AB Ta có CBF=FDC=DAC(cmt) Do ADCE ntCDE=CAE(cùng chắn cung CE) ABC+CAE(góc nt góc tt… chắn cung)CBA=CDI.trong CBA có BCA+CBA+CAD=2v hay KCI+KDI=2vDKCI nội tiếp KDC=KIC (cùng chắn cung CK)KIC=BACKI//AB Bài 57: Cho (O; R) đường kính AB, Kẻ tiếp tuyến Ax Ax lấy điểm P cho P>R Từ P kẻ tiếp tuyến PM với đường tròn C/m BM/ / OP Đường vuông góc với AB O cắt tia BM N C/m OBPN hình bình hành AN cắt OP K; PM cắt ON I; PN OM kéo dài cắt J C/m I; J; K thẳng hàng N P J Q I K M A O B 55 Hình 57 1/ C/m:BM//OP: Ta có MBAM (góc nt chắn nửa đtròn) OPAM (t/c hai tt cắt nhau)  MB//OP 2/ C/m: OBNP hình bình hành: Xét hai  APO OBN có A=O=1v; OA=OB(bán kính) NB//AP  POA=NBO (đồng vò)APO=ONB PO=BN Mà OP//NB (Cmt)  OBNP hình bình hành 3/ C/m:I; J; K thẳng hàng: Ta có: PMOJ PN//OB(do OBNP hbhành) mà ONABONOJI trực tâm OPJIJOP -Vì PNOA hình chữ nhật P; N; O; A; M nằm đường tròn tâm K, mà MN//OP MNOP thang cânNPO= MOP, ta lại có NOM = � � MPN (cùng chắn cung NM)  IPO= IOP IPO cân I Và KP=KOIKPO Vậy K; I; J thẳng hàng Bài 58:Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB; đường thẳng vuông góc với AB O cắt nửa đường tròn C Kẻ tiếp tuyến Bt với đường tròn AC cắt tiếp tuyến Bt I C/m ABI vuông cân Lấy D điểm cung BC, gọi J giao điểm AD với Bt C/m AC.AI=AD.AJ C/m JDCI nội tiếp Tiếp tuyến D nửa đường tròn cắt Bt K Hạ DHAB Cmr: AK qua trung điểm DH Hình 58 I C D N J K 56 A O H B 1/C/m ABI vuông cân(Có nhiều cáchsau C/m cách): -Ta có ACB=1v(góc nt chắn nửa đtròn)ABC vuông C.Vì OCAB trung điểm OAOC=COB=1v  cung AC=CB=90o CAB=45 o (góc nt ABC vuông cân C Mà BtAB có góc CAB=45 o  ABI vuông cân B 2/C/m: AC.AI=AD.AJ Xét hai ACD AIJ có góc A chung sđ góc CDA= sđ cung AC =45o Mà  ABI vuông cân BAIB=45 o.CDA=AIB ADC∽AIJđpcm 3/ Do CDA=CIJ (cmt) CDA+CDJ=2v CDJ+CIJ=2vCDJI nội tiếp 4/Gọi giao điểm AK DH N Ta phải C/m:NH=ND -Ta có:ADB=1v DK=KB(t/c hai tt cắt nhau) KDB=KBD.Mà KBD+DJK= 1v KDB+KDJ=1vKJD=JDKKDJ cân K KJ=KD KB=KJ -Do DH JBAB(gt)DH//JB p dụng hệ Ta lét tam giác AKJ AKB ta có: DN AN NH AN DN NH    ;  maø JK=KBDN=NH JK AK KB AK JK KB Baøi 59: Cho (O) hai đường kính AB; CD vuông góc với Trên OC lấy điểm N; đường thẳng AN cắt đường tròn M Chứng minh: NMBO nội tiếp CD đường thẳng MB cắt E Chứng minh CM MD phân giác góc góc góc AMB C/m hệ thức: AM.DN=AC.DM Nếu ON=NM Chứng minh MOB tam giác E C M N A O D B 1/C/m NMBO nội tiếp:Sử dụng tổng hai góc đối) 2/C/m CM MD phân giác góc góc góc AMB: -Do ABCD trung điểm O AB CD.Cung AD=DB=CB=AC=90 o sđ sđcungAD=45o AMD= 57 Hình 59 sđ DMB= sđcung DB=45o.AMD=DMB=45o.Tươngtự CAM=45o EMC=CMA=45o.Vậy CM MD phân giác góc góc góc AMB 3/C/m: AM.DN=AC.DM Xét hai tam giác ACM NMD có CMA=NMD=45 o.(cmt) Và CAM=NDM(cùng chắn cung CM)AMC∽DMNđpcm 4/Khi ON=NM ta c/m MOB tam giác Do MN=ONNMO vcân NNMO=NOM.Ta lại có: NMO+OMB=1v NOM+MOB=1vOMB=MOB.Mà OMB=OBM OMB=MOB=OBMMOB tam giác Bài 60: Cho (O) đường kính AB, d tiếp tuyến đường tròn C Gọi D; E theo thứ tự hình chiếu A B lên đường thẳng d C/m: CD=CE Cmr: AD+BE=AB Vẽ đường cao CH ABC.Chứng minh AH=AD BH=BE Chứng tỏ:CH2=AD.BE Chứng minh:DH//CB 1/C/m: CD=CE: Hình 60 d D C E A O H B hình thang ta có:OC= 3/C/m BH=BE.Ta có: Do ADd;OCd;BEd AD//OC//BE.Mà OH=OBOC đường trung bình hình thang ABED CD=CE 2/C/m AD+BE=AB Theo tính chất đường trung bình BE  AD BE+AD=2.OC=AB sđ BCE= sdcung CB(góc tt dây) 58 ... tỏ:BH.HC=4.OE.OF Do ABC vuông A có AH đường cao p dụng hệ thức lượng tam giác vuông ABC có:AH 2= BH.HC Mà AH=EF AH =2. OE =2. OF(t/c đường chéo hình chữ nhật) BH.HC = AH2= (2. OE )2= 4.OE.OF 65 Bài 69: Cho ABC... vuông.Hai tam giác vuông COM CND có góc C chung OCM~NCDCM.CN=OC.CD Từ  ta có CD=2R;OC=R.Vậy trở thành:CM.CN=2R2 không đổi.vậy tích CM.CN không phụ thuộc vào vò trí vò trí M 4/Do COPM hình. .. đềugóc OMA=30oOM=2OA=2OB=2R Gọi diện tích cần tính S.Ta có S=S OAMB-Squạt AOB Ta coù AB=AM= OM  OA =R S AMBO= BA.OM= Squaït=   2R R = R2  R 120 R R 3   R2 = S= R2 = 360 3 Baøi 55: