MỘT SỐ KINH NGHIỆM GIẢNG DẠY GIÚP HỌC SINH LỚP TRƯỜNG THCS NGUYỄN BỈNH KHIÊM GIẢI THÀNH THẠO DẠNG TỐN PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ A PHẦN MỞ ĐẦU: I Lí đề xuất sáng kiến kinh nghiệm: Tốn học mơn khoa học tự nhiên quan trọng Để có kết tốt mơn tốn q trình học tập địi hỏi học sinh phải nắm lí thuyết, vận dụng sáng tạo, trình bày lơgic Để giúp em học tập mơn tốn đạt kết tốt người giáo viên khơng nắm vững kiến thức mà phải biết vận dụng phương pháp giảng dạy cách linh hoạt để em lĩnh hội kiến thức cách dễ dàng chắn Như biết giải tốn hình thức vận dụng kiến thức học vào vấn đề cụ thể, vào vấn đề Ngồi giải tốn hình thức tốt để rèn luyện kĩ tính tốn, kĩ biến đổi, kĩ suy luận kĩ vận dụng kiến thức học Nhưng để tìm cách giải cách giải hay khơng phải dễ Trong q trình dạy học mơn Tốn tơi nhận thấy nội dung chương I Đại số là: Học sinh biết phân tích đa thức thành nhân tử, hiểu phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử; Giải thành thạo loại tập phân tích đa thức thành nhân tử; Biết việc phân tích đa thức thành nhân tử có ích cho việc giải số loại toán Mặc dù phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử trình bày cụ thể sách giáo khoa qua số tiết học giải dạng tập học sinh cịn lúng túng khơng biết áp dụng phương pháp giải trước, tiếp phương pháp nào? Nói chung em khơng tìm hướng giải thích hợp Ngồi số tập khơng trực tiếp u cầu phân tích đa thức thành nhân tử giải vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử việc tính tốn nhanh Chính lí nên sau nhiều năm liên tiếp giảng dạy toán 8, thân chọn đề tài để giới thiệu số kinh nghiệm giảng dạy giúp học sinh giải thành thạo dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử II Mục đích sáng kiến kinh nghiệm: - Đề xuất số kinh nghiệm giảng dạy để giáo viên giúp học sinh giải thành thạo dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử góp phần nâng cao chất lượng môn - Giúp em biết phân tích đa thức thành nhân tử Hiểu phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử - Đối với loại tốn phân tích đa thức thành nhân tử giúp em biết nhận xét đa thức tìm hướng giải thích hợp trước giải - Giới thiệu số dạng toán thường gặp chương I mà việc phân tích đa thức thành nhân tử có ích giải III Cơ sở đối tượng sáng kiến kinh nghiệm: 1.Cơ sở: - Dựa vào kiến thức chương I đại số - Kinh nghiệm thực tế qua q trình giảng dạy Tốn Đối tượng: Học sinh lớp trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm IV Phạm vi sáng kiến kinh nghiệm: - Từ đến 10 chương I sách giáo khoa Toán (tập 1) V Phương pháp nghiên cứu: Mỗi nội dung thể gồm ba phần: -Tóm tắt lí thuyết -Bài tập mẫu -Bài tập rèn luyện Các tập mẫu có đưa nhận xét đa thức từ tìm cách giải thích hợp * Thời gian để hoàn thành: Tháng năm 2013 B NỘI DUNG NGHIÊN CỨU I Quá trình thực hiện: Những tồn việc dạy – học toán : *Đối với giáo viên: - Thiên cung cấp giải cho học sinh tiếp thu cách thụ động, chưa ý dạy học sinh giải tốn, khơng rèn cho học sinh kĩ hoạt động trí tuệ - Giáo viên thường lịng, kết thúc cơng việc giải tốn tìm cách giải đó, chưa ý hướng dẫn học sinh tìm tịi cách giải, cách giải hay, khai thác thêm toán vừa giải nhằm phát huy tư duy, sáng tạo học sinh - Chú ý số lượng chất lượng, lo sưu tầm khó, lạ cịn tập lại bỏ qua *Đối với học sinh: - Không nắm vững kiến thức học, lúng túng với đề tốn, khơng vận dụng kiến thức để giải - Trình bày cịn luộm thuộm, khơng rõ ràng, xác Hướng khắc phục yêu cầu đặt ra: *Đối với học sinh: - Phải hiểu rõ phân tích đa thức thành nhân tử, phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ý nghĩa việc vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải dạng toán khác - Biết cách xử lí loại tập, biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo phương pháp học vào phân tích đa thức thành nhân tử *Đối với giáo viên: - Giúp học sinh hiểu phân tích đa thức thành nhân tử, hiểu phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử - Đối với tập cần tập cho học sinh biết quan sát, nhận xét đề bài, từ học sinh biết vận dụng linh hoạt phương pháp học phối hợp phương pháp cách hợp lí để phân tích đa thức thành nhân tử - Tăng cường cho học sinh tập thực hành lớp Giáo viên cần có hướng dẫn, gợi mở tập khó Sau giải xong cần giúp học sinh hệ thống lại cách giải - Luôn động viên, khích lệ việc học sinh tìm cách giải Nội dung minh họa: Sau số tập mà thân áp dụng số kinh nghiệm giảng dạy giúp học sinh giải thành thạo dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử *Thế phân tích đa thức thành nhân tử? Phân tích đa thức thành nhân tử biến đổi đa thức thành tích đơn thức đa thức khác *Bài tập mẫu: Bài tập 1: Trong cách biến đổi sau đây, cách phân tích đa thức thành nhân tử? Tại cách biến đổi cịn lại khơng phải phân tích đa thức thành nhân tử? 2x2+ 3x – = x(2x + 3)- (1) ) (2) x 2x2 + 3x – = 2(x2 + x - ) (3) 2 2x2 + 3x -5 = ( x- 1)(x + ) (4) 2x2 + 3x – = x(2x+ 3- Giải: Hai cách biến đổi (3) (4) phân tích đa thức thành nhân tử Cách biến đổi (1) phân tích đa thức thành nhân tử đa thức chưa biến đổi thành tích đơn thức đa thức khác Cách biến đổi (2) phân tích đa thức thành nhân tử đa thức biến đổi thành tích đơn thức biểu thức đa thức *Bài tập rèn luyện: Bài tập 2: Câu hỏi tập mẫu cho cách biến đổi sau: x2 + 4x – = x(x + )- (5) 3x -9xy = 3x(x-3y) (6) 5x - 5y + ax – ay = 5(x - y) + a(x -y) (7) 5x - 5y + ax – ay = (x -y)(5 + a) (8) * Những phương pháp thường dùng để phân tích đa thức thành nhân tử Phương pháp đặt nhân tử chung : - Dựa vào tính chất phân phối phép nhân phép cộng đa thức ta : AB + AC – AD = A(B + C - D) - Cách tìm nhân tử chung với đa thức có hệ số nguyên : + Hệ số ƯCLN hệ số nguyên dương hạng tử + Các lũy thừa chữ có mặt hạng tử với số mũ lũy thừa số mũ nhỏ - Đơi để xuất nhân tử chung ta cần đổi dấu hạng tử - Sau đặt nhân tử chung ta phải xét đa thức cịn lại ngoặc để phân tích kết cuối *Bài tập mẫu : Bài tập (bài 39/sgk trang 19): Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) 2 x + 5x3 +x2y b) 14x2y -21xy2 +28x2y2 c) 10x(x - y)-8y(y - x) Nhận xét : a) Ta thấy lũy thừa x có mặt hạng tử với số mũ nhỏ Nên hạng tử có nhân tử chung x2 b) ƯCLN(14,21,28) = 7, lũy thừa x, lũy thừa y có mặt hạng tử với số mũ nhỏ Nên hạng tử có nhân tử chung 7xy Các hạng tử viết: 14x2y = 7xy.2x; -21xy2 = 7xy.(-3y); 28x2y2 =7xy.4xy c) Để làm xuất nhân tử chung (x-y) ta đổi dấu (y-x) = -(x-y) Giải a) 2 x + 5x3 +x2y = x2( + 5x + y) 5 b) 14x2y- 21xy2 + 28x2y2 = 7xy(2x - 3y + 4xy) c) 10x(x - y) - 8y(y - x) = 10x(x - y) + 8y(x-y) = 2(x - y)(5x + 4y) *Bài tập rèn luyện : Bài tốn 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) 5x2y2 + 20x2y - 35xy2 b) 3x(x - 2y) + 6y(2y - x) Phương pháp dùng đẳng thức : Nếu đa thức vế đẳng thức đáng nhớ dùng đẳng thức để biễu diễn đa thức thành tích đa thức *Bài tập mẫu : Bài toán (bài 43/sgk trang 20): Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) x2 +6x + b) 8x3 - c) x  64 y 25 Nhận xét : a) Đa thức có dạng vế phải đẳng thức bình phương tổng Nên áp dụng đẳng thức bình phương tổng theo chiều ngược để phân tích b) Đa thức đưa vế trái đẳng thức hiệu hai lập phương Nên áp dụng đẳng thức hiệu hai lập phương theo chiều xi để phân tích c) Đa thức có dạng vế trái đẳng thức hiệu hai bình phương Nên áp dụng đẳng thức hiệu hai bình phương theo chiều xi để phân tích Giải : a) x2 + 6x + = x2 + 2.x.3 + 32 = (x + 3)2 1 1 b) 8x - = (2x)3 -   = (2x - )(4x2 + x + )  2 2 1 x  64 y =  x    y   x  y   x  y  c) 25 5  5   *Bài tập rèn luyện : Bài tốn 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) 9x2 + 6xy + y2 b) (x+1)3 + (x-2)3 c) 9x2 - (x-y)2 3.Phương pháp nhóm hạng tử : - Dùng tính chất giao hoán, kết hợp phép cộng đa thức ta kết hợp hạng tử đa thức thành nhóm thích hợp dùng phương pháp khác (đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức) phân tích đa thức thành nhân tử theo nhóm phân tích chung nhóm - Với phương pháp có nhiều cách nhóm khác cho kết Tuy nhiên nhiều em lúng túng khơng biết nhóm hạng tử với thích hợp +Kinh nghiệm cho thấy sau nhóm hạng tử thành nhóm thường nhóm hạng tử có nhân tử chung có đẳng thức đáng nhớ +Sau phân tích cho nhóm nhóm phải có nhân tử chung có dạng đẳng thức đáng nhớ q trình phân tích tiếp tục +Nếu sau phân tích đa thức thành nhóm mà q trình phân tích khơng thực tiếp cách nhóm hạng tử vừa chọn khơng thích hợp Khi em phải tìm cách nhóm khác +Khi nhóm hạng tử nhóm đặt dấu trừ đằng trước dấu ngoặc ta phải đổi dấu hạng tử ngoặc *Bài tập mẫu : Bài tốn (bài tập 47,48/sgk trang 22): Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) x2 - xy + x - y b) xz + yz – 5(x+y) 2 c) x + 4x - y + d) x2 - y2 - 5x + 5y Nhận xét: a) Nếu nhóm x2 - xy + x - y = (x - xy) + (x - y) nhóm thứ có nhân tử chung x Sau đặt nhân tử chung cho nhóm thứ hai nhóm lại có nhân tử chung (x - y) nên q trình phân tích tiếp tục Vậy nhóm theo cách b) Nếu nhóm xz + yz – 5(x+y) = (xz + yz) – 5(x + y) nhóm ( xz + yz ) có nhân tử chung z Sau đặt nhân tử chung cho nhóm hạng tử xuất nhân tử chung(x+y) nên q trình phân tích tiếp tục.Vậy nhóm theo cách c) Nếu nhóm x2 + 4x - y2 + = (x2 - y2) + (4x + 4) = (x - y)(x + y) + 4(x + 1) trình phân tích khơng tiếp tục chứng tỏ cách nhóm khơng phù hợp ta tìm cách nhóm khác - Nếu nhóm x2 + 4x - y2 + = (x2 + 4x) + (4 - y2) = x(x + 4) + (2 - y)(2 + y) q trình phân tích khơng tiếp tục chứng tỏ cách nhóm khơng phù hợp ta tìm cách nhóm khác - Nếu nhóm x2 + 4x - y2 + = ( x2 + 4x +4) -y2 ,sau dùng đẳng thức bình phương tổng phân tích nhóm (x2+4x+4) hạng tử đa thức lại xuất đẳng thức nên trình phân tích tiếp tục Vậy nhóm theo cách d) Nếu nhóm x2-y2-5x+5y=(x2-y2)-(5x-5y) nhóm (x2-y2 ) có đẳng thức, nhóm (5x - 5y) có nhân tử chung, sau phân tích cho nhóm hai nhóm có nhân tử chung (x - y) nên q trình phân tích tiếp tục Vậy nhóm theo cách Giải a) x2 - 2xy + 5x - 10y = (x2 - 2xy) + (5x -10y) = x(x - 2y) + 5(x - 2y) = (x - 2y)(x + 5) b) x(2x - 3y) - 4xy + 6y = x(2x -3y) - (4xy - 6y2 ) = x(2x - 3y) - 2y(2x - 3y) = (2x - 3y)(x-2y) 2 2 2 c) x + 4x - y + = ( x + 4x + 4) - y = (x + 2) - y = (x + + y)(x + - y) d) x2 - y2 - 5x + 5y =(x2 - y2) - (5x - 5y) = (x + y)(x - y) -5(x - y)=(x - y)(x + y - 5) *Bài tập rèn luyện: Bài tốn 8: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) 3x2 -3x – ax + ay b) x2 + 2xy + y2 - c) 2xy - x2 - y2 + 16 Phân tích đa thức thành nhân tử cách phối hợp nhiều phương pháp - Để phân tích đa thức thành nhân tử ta phải vận dụng linh hoạt phương pháp nêu thường phải phối hợp phương pháp cách hợp lí Kết phân tích đa thức thành nhân tử Lưu ý: Khi phân tích đa thức thành nhân tử để trình làm thuận lợi ta tiến hành sau: +Nếu hạng tử có nhân tử chung ta áp dụng phương pháp đặt nhân tử chung để phân tích bước +Dùng đẳng thức đa thức vế đẳng thức đáng nhớ +Nếu hai phương pháp khơng áp dụng ta xét phương pháp nhóm hạng tử *Bài tập mẫu: Bài tốn 9: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) x3 -2x2 + x b) 3x2 - 3y2 - 12x + 12y c) 2x3 - 4x2y + 2xy2 - 2xz2 d) x2 -2x - 4y2 - 4y e) a3 - a2b - ab2 + b3 f) x4 - 5x2 Nhận xét : +Ta thấy hạng tử đa thức câu a, b, c, f có nhân tử chung nên bước ta sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung để phân tích đa thức +Các hạng tử đa thức câu d, e khơng có nhân tử chung khơng có dạng đẳng thức đáng nhớ nên ta dùng phương pháp nhóm hạng tử Giải a) x3 - 2x2 + x = x(x2 -2x + 1) = x(x - 1)2 b) 3x2 - 3y2 - 12x + 12y = 3(x2 - y2 - 4x + 4y) = [(x2 - y2) - (4x - 4y)] = [(x - y)(x + y) -4(x - y)] = (x – y)(x + y – 4) 2 c) 2x - 4x y + 2xy - 2xz = 2x(x2 - 2xy +y2 –z2) = 2x[(x2 - 2xy + y2) - z2] = 2x[(x - y)2 - z2] = 2x(x – y + z)(x – y - z) d) x2 - 2x - 4y2 - 4y = (x2 - 4y2) - ((2x + 4y) = (x - 2y)(x + 2y) -2(x + 2y) = (x + 2y)(x - 2y -2) 2 3 2 e) a - a b - ab + b = (a - a b) - (ab - b ) = a (a - b) - b2(a - b) = (a - b)(a2 - b2) = (a + b)(a - b)2 f) x4 - 5x2 = x2(x2 - 5) = x2(x - )(x + ) *Bài tập rèn luyện: Bài tốn 10: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) 2x2 + 4x + - 2y2 b) x2 + 6x - y2 + c) 5x3 - 5x2y - 10x2 + 10xy d) 5x2 + 5xy – x - y III Các phương pháp khác để phân tích đa thức thành nhân tử Phân tích đa thức thành nhân tử khơng áp dụng phương pháp: Đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử ta sử dụng hai phương pháp sau : Phương pháp tách hạng tử : + Để phân tích đa thức bậc hai ax 2+bx+c thành nhân tử Nếu khơng áp dụng đẳng bình phương tổng bình phương hiệu để phân tích ta dùng phương pháp tách hạng tử, có nhiều cách để tách hạng tử Ở giới thiệu cách tách hạng tử bx thành b1x+b2x Sao cho b1+b2=b b1.b2=a.c *Cách tìm b1 b2 Bước 1: Tìm tích ac Bước 2: Phân tích tích ac thành tích hai số nguyên Bước 3: Chọn hai thừa số có tích ac nói mà có tổng b làm b1 b2 +Lưu ý sau tách hạng tử ta dùng phương pháp nhóm hạng tử để phân tích bước Ví dụ: Phân tích đa thức x2 - 3x + thành nhân tử (a = 1, b = -3 ,c=2) Tích ac = = 1.2 = (-1).(-2) Chọn b1,b2 hai thừa số có tích mà tổng -3 -1 -2 Ta có: x2 - 3x + = x2 – x - 2x + = (x2 - x) - (2x - 2) = x(x - 1) - 2(x - 1) = (x - 1)(x-2) *Bài tập mẫu: Bài tốn 11: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) x2 + 5x + b) 3x2 - 7x - 10 c) x2 + x - Nhận xét: Các đa thức thức câu a,b,c đa thức bậc hai dạng bình phương tổng bình phương hiệu nên ta dùng phương pháp tách hạng tử Giải a) x +5x+4 = x2+x+4x+4 = (x2+x)+(4x+4) = x(x+1)+4(x+1) = (x+1)(x+4) b)3x2-7x-10 = 3x2+3x-10x-10=(3x2+3x)-(10x+10)=3x(x+1)-10(x+1)=(x+1)(3x-10) c) x2+x-6 = x2-2x+3x-6 = (x2-2x)+(3x-6) = x(x-2)+3(x-2) = (x-2)(x+3) *Bài tập rèn luyện: Bài tốn 12: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) 2x2-5x-7 b) 7x-6x2-2 c) x2-5x+6 2.Phương pháp thêm bớt hạng tử *Bài tập mẫu : Bài tốn 13: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) x4+4 b) x4+ Nhận xét: a) x4+4 = (x2)2 + 22 nên để có đẳng thức bình phương tổng ta cần cộng thêm hạng tử 2.2x2 vào đa thức Khi để giá trị đa thức khơng thay đổi ta phải trừ đa thức cho 2.2x2 b) Ta làm tương tự Giải a) x4 +4=(x2)2+22 =(x2)2+4x2+22-4x2 =[( x2)2+4x2+22 ]-(2x)2 = (x2+2)2-(2x)2 =(x2+2+2x)(x2+2-2x) 2 1 1 1 1  b) x + =(x2)2+   = (x2)2+x2+   -x2 =  x    x = (x2+ +x)(x2+ -x) 2 2  2  2  *Bài tập rèn luyện: Bài tốn 14: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) y4+64 b) y4+ 25 *Giới thiệu số dạng toán gặp chương I mà việc phân tích đa thức thành nhân tử có ích giải Dạng 1: Tính giá trị biểu thức: +Phân tích biểu thức cho thành nhân tử +Thay giá trị biến vào biểu thức phân tích để tính giá trị *Bài tập mẫu: Bài tốn 15: Tính giá trị biểu thức : a) x(x-1)-y(1-x) x=2001,y=1999 b) x2+ x+ x=49,75 16 c) x2-y2-2y-1 tai x = 93, y = d) 2x2+4x+xy+2y x = 88, y= -76 Giải a) x(x-1)-y(1-x) = x(x-1)+y(x-1) = (x-1)(x+y) Tại x = 2001, y = 1999 biểu thức có giá trị : (2001-1)(2001+1999) = 2000.4000 = 8000000 1  1 b) x + x+ =  x   16  4 2 1  Tại x= 49,75 biểu thức có giá trị  49,75    49, 75  0, 25  502 = 2500 4  c) x2-y2-2y-1 = x2-(y2+2y+1) = x2-(y+1)2 =(x+y+1)(x-y-1) Tại x=93,y=6 biểu thức có giá trị (93+6+1)(93-6-1)=100.86=8600 d) 2x2+4x+xy+2y = (2x2+4x)+(xy+2y) =2x(x+2)+y(x+2) =(x+2)(2x+y) Tại x=88,y= -76 biểu thức có giá trị (88+2).(2.88-76) = 90.100 = 9000 *Bài tập rèn luyện : Bài toán 16: Tính giá trị biểu thức a) x2+xy+x x=77, y=22 b) x(x-y)+y(y-x) x=53, y=3 c) x2+xy-7x-7y x= , y= 2 Dạng 2: Tính nhanh Phân tích biểu thức cần tính nhanh thành nhân tử tính *Bài tập mẫu: Bài tập 17: Tính nhanh a) 732-272 b) 452+402-152+80.45 c) 170.22,89-128,9.17 d) 4,8.13,3+4,8.6,7+5,2.13,3+5,2.6,7 Giải a) 732-272 =(73+27).(73-27)=100.46=4600 b)452+402-152+80.45=(452+2.40.45+402)-152=(45+40)2-152=852-152 =(85+15).(85-15) =100.70=7000 c) 170.22,89-128,9.17 =17.228,9-128,9.17=17.( 228,9-128,9)=17.100=1700 d) 4,8.13,3+4,8.6,7+5,2.13,3+5,2.6,7=( 4,8.13,3+4,8.6,7)+( 5,2.13,3+5,2.6,7) =4,8.(13,3+6,7)+5,2.(13,3+6,7) =4,8.20+5,2.20=20.(4,8+5,2)=20.10=200 *Bài tập rèn luyện: Bài tốn 18: Tính nhanh a) 20092 - 92 b) 872 + 732 - 272 - 132 c) 7,8.55,1 + 92,2.55,1 + 7,8.5,1 - 92,2.5,1 Dạng 3: Tìm x thỏa mãn đẳng thức cho trước + Chuyển tất hạng tử vế trái đẳng thức để vế phải + Phân tích vế trái thành nhân tử để đẳng thức dạng A.B = ta giá trị x cần tìm *Bài tập mẫu : Bài tốn 19: Tìm x biết; a) x3-13x = b) x2-4x+3 = c) 2x3+3x2+2x+3 = d) (2x-1)2-(x+3)2 = Giải b) x2-4x+3=0 a) x3-13x = x2-x-3x+3=0 x(x2-13) = x(x-1)-3(x-1)=0 x(x+ 13 )(x- 13 ) (x-1)(x-3)=0 =>x = x+ 13 = x- 13 = =>x-1=0 x-3=0 =>x = x = - 13 x = 13 =>x=1 x=3 c) 2x3+3x2+2x+3 =0 d) (2x-1)2-(x+3)2=0 (2x3+2x)+(3x2+3) = (2x-1+x+3)(2x-1-x-3) =0 2x( x2+1)+3(x2+1) = (3x+2)(x-4) = (x2+1)(2x+3) = =>3x+2=0 x-4 = =>2x+3 = 0(vì x +1 > 0) =>x =  =>x=  x = *Bài tập rèn luyện: Bài tốn 20: Tìm x biết a) x3- x=0 b) x2+5x=6 c/16x2-9(x+1)2 = d) 5x(x-3)-x+3=0 Dạng 4: Chia đa thức *Bài tập mẫu: Bài toán 21: Thực phép chia đa thức sau cách phân tích đa thức bị chia thành nhân tử a) (x5+x3+x2+1) : (x3+1) b) (x2-5x+6):(x-3) c) (x2-2xy+y2):(y-x) d) (x2-3x+xy-3y) : (x+y) Giải a) Vì x5+x3+x2+1= x3(x2+1)+(x2+1) = (x2+1)(x3+1) Nên /(x5+x3+x2+1) : (x3+1) = ( x2+1)(x3+1) : (x3+1) = x2+1 b) x2-5x+6 = x2-2x-3x+6 = x(x-2)-3(x-2) = (x-2)(x-3) Nên (x2-5x+6):(x-3) = (x-2)(x-3):(x-3) = x-2 c) Vì x2-2xy+y2 = (x-y)2 = (y-x)2 Nên (x2-2xy+y2):(y-x) = (y-x)2 : (y-x) = y-x d) Vì x2-3x+xy-3y = (x2-3x)+(xy-3y) = x(x-3)+y(x-3) = (x-3)(x+y) Nên (x2-3x+xy-3y) : (x+y) = (x-3)(x+y) : (x+y) = x-3 10 *Bài tập rèn luyện : Bài toán 22: Thực phép chia sau cách phân tích đa thức bị chia thành nhân tử a) (x3+x2+4) : (x+2) b) (4x2-9y2) : (2x-3y) Dạng 5: Áp dụng vào số học (Các tốn chia hết) Phân tích biểu thức cho thành nhân tử để xuất số chia áp dụng tính chất chia hết *Bài tập mẫu : Bài toán 23: Chứng minh a) 55m+1 - 55m chia hết cho 54 với m số tự nhiên b) Nếu m số ngyên (m+2)2 – (m-2)2 chia hết cho c) n4+2n3-n2-2n chia hết cho 24 với n  Z d) Hiệu bình phương hai số chẵn liên tiếp chia hết cho Giải a) Ta phân tích đa thức 55m+1-55m thành nhân tử 55m+1 - 55m = 55m(55-1) = 55m.54 chia hết cho 54 với m số tự nhiên Cách 1: Ta có (m+2)2 – (m-2)2 = (m+2+m-2)(m+2-m+2) = 2m.4 = 8m chia hết cho với m Z Cách 2: Ta có (m+2)2 – (m-2)2 = m2+4m+4-m2+4m-4 = 8m chia hết cho với m  Z c) Ta có n4+2n3-n2-2n = n(n3+2n2-n-2) = n[n2(n+2)-(n+2)] = n(n+2)(n2-1) = n(n+2)(n+1)(n-1) = (n-1)n(n+1)(n+2) với n  Z Đây tích bốn số ngun liên tiếp nên có chứa hai số chẵn liên tiếp thừa số chia hết cho 2, thừa số chia hết tích chia hết cho Đồng thời tích có chứa tích ba số ngun liên tiếp nên chia hết cho Mà ƯCLN(8,3) = 1, tích chia hết cho 24 với n  Z d) Gọi số chẵn 2n số chẵn liền sau 2n+2 với n  Z Hiệu bình phương hai số chẵn liên tiếp là: (2n+2)2 – ((2n)2 = (2n+2+2n)(2n+2-2n) = (4n+2).2 = 4(2n+1) chia hết cho *Bài tập rèn luyện: Bài toán 24: Chứng minh rằng: a) (n+7)2-(n-5)2 chia hết cho 24 b) (2m+1)2-1 chia hết cho c) n3-n chia hết cho với số nguyên n d) Hiệu bình phương hai số lẻ liên tiếp chia hết cho II Kết vận dụng: *Sau áp dụng số kinh nghiệm vào giảng dạy phần nội dung kiến thức phân tích đa thức thành nhân tử Chương I –Đại số Qua kiểm tra đánh giá kĩ giải tập phân tích đa thức thành nhân tử, tơi nhận thấy đa số em hiểu biết cách giải dạng toán 11 Kết cụ thể: Năm học 2011 - 2012 2012 - 2013 Lớp 8A/32 8B/33 8A/30 8B/33 Giỏi Khá Trung bình C.KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ: Kết luận: Thiết nghĩ sách giáo khoa đại số trình bày rõ phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử tơi sâu vào kĩ nhận xét, phân tích tốn từ định hướng cách giải thích hợp cho loại tốn phân tích đa thức thành nhân tử Một số tập mẫu đưa tập rèn luyện chọn lọc sách giáo khoa nhiều tài liệu tham khảo gồm câu từ dễ đến khó thể rõ nội dung trình bày phần tóm tắt lí thuyết trước đưa tập Khi dạy phần phân tích đa thức thành nhân tử lớp giáo viên chọn lọc đưa số tập vào giảng dạy cho phù hợp với nội dung tương ứng Kiến nghị: Để sáng kiến kinh nghiệm tiếp tục nghiên cứu, áp dụng dạy học môn đạt kết cao hơn, tơi xin có số kiến nghị sau: *Đối với cấp quản lí: Cần tăng cường đạo thực hiện, kiểm tra đánh giá việc đổi phương pháp dạy học có hiệu giáo viên *Đối với cụm, tổ chuyên môn: Cần tổ chức buổi sinh hoạt chuyên môn tập trung vào việc xây dựng chuyên đề dạy học có nội dung kiến thức khó để giáo viên môn chia sẻ kinh nghiệm giảng dạy *Đối với giáo viên: Cần có đầu tư cao cơng tác soạn giảng, không nên áp đặt, buộc học sinh phải giải thầy mà cần phải động viên, khích lệ tìm tịi, sáng tạo việc xây dựng cách giải học sinh Trên kinh nghiệm nhỏ với suy nghĩ chủ quan riêng cá nhân qua năm trực tiếp giảng dạy mơn tốn Trong phần trình bày chắn cịn nhiều thiếu sót, mong nhận bảo, giúp đỡ anh chị đồng nghiệp để đề tài lần sau viết tốt thực có ích giảng dạy Xin trân trọng cảm ơn! TÀI LIỆU THAM KHẢO - SGV Toán tập - Sách tập Toán tập - Sách 500 toán chọn lọc Nguyễn Ngọc Đạm- Nguyễn Quang Hanh- Ngô Long Hậu - Tài liệu dạy học theo chủ đề mơn tốn 8- Nhà xuất giáo dục 12 MỤC LỤC 13 ... học sinh giải thành thạo dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử *Thế phân tích đa thức thành nhân tử? Phân tích đa thức thành nhân tử biến đổi đa thức thành tích đơn thức đa thức khác *Bài... dụng số kinh nghiệm vào giảng dạy phần nội dung kiến thức phân tích đa thức thành nhân tử Chương I –Đại số Qua kiểm tra đánh giá kĩ giải tập phân tích đa thức thành nhân tử, nhận thấy đa số em... = x(2x+ 3- Giải: Hai cách biến đổi (3) (4) phân tích đa thức thành nhân tử Cách biến đổi (1) khơng phải phân tích đa thức thành nhân tử đa thức chưa biến đổi thành tích đơn thức đa thức khác Cách