TÓM tắt GIẢI TÍCH 2

6 18 0
  • Loading ...
1/6 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 13/07/2018, 10:41

aaaa aaaa aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaasdfasdf aaaaaaaaaaaaa weraf e e gsff e ă e ddddddddddddg ddddddddddddddddddddddđ ádfawerfafsd;lkjasd;klfjaslkdjfa ;lsdkjf a;werasdvzxcvzvxcv TĨM TẮT PHẦN TÍCH PHÂN GIẢI TÍCH Tích phân bội - Nếu miền Ω có hình chiếu xuống mặt phẳng Oxy miền D giới hạn mặt z=φ(x,y) giới hạn z=ψ(x,y) thì: ϕ ( x, y ) ∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz =∫∫ dxdy ∫ Ω D f ( x, y, z ) dz ψ ( x, y ) - Một số lưu ý tìm hình chiếu: + Khi vật thể giới hạn mặt ta tìm hình chiếu xuống mặt z=0 cách khử z từ hai phương trình mặt VD: z = x2 + y z = − x2 − y2 ta x2 + y2 = − x2 − y ⇔ x2 + y = + Đối với vật thể có giới hạn nhiều mặt ta chọn dựa vào phương trình khơng chứa z để tìm D z = x2 + y2 VD: miền D , y = x2 , y =1 , z=0 ta chọn mặt y = x2 , y=1 để lấy +Nếu mặt khơng đủ để tạo miền D đóng ta tìm giao tuyến mặt lại với mặt z=0 để tìm miền D Còn mặt đủ tạo miền D đóng giao tuyến mặt lại giúp cho ta định φ(x,y) ψ(x,y) cận cận - Đổi biến sang tọa độ trụ:  x = ρ sin θ cos ϕ   y = ρ sin θ sin ϕ ; J = ρ sin θ  z = ρ cos θ   Tọa độ cầu mở rộng: ∫∫∫ f ( x, y, z) dxdydz =∫ dϕ ∫ dθ ∫ ρ sin θ fd ρ Ω J = abρ sin θ với a,b hệ số x,y phương trình elip - Ứng dụng hình học: Tính thể tích cho f=1 Tích phân đường loại - Cách tính tham số hóa đường cong: Cung AB có x=x(t), y=y(t), với t1≤t≤t2: ∫ AB f ( x, y )dl = ∫ f ( x(t ), y (t )) xt' + yt' dt Tương tự cho không gian chiều x, y, z Lưu ý: Cách tìm đường thẳng qua điểm A, B: x − xA y − yA = x A − xB y A − yB ;  x = x A + ( x A − xB )t   y = y A + (y A − yB )t - Ứng dụng: tính độ dài đường thẳng Tích phân đường loại Cách tính: - Cách 1: Dùng định nghĩa: Nếu cung AB có tham số: x=x(t), y=y(t) từ A(x(t1), y(t1)) đến B(x(t2), y(t2)) thì: t2 ∫ Pdx + Qdy = ∫  P( x(t ), y(t )) x (t ) + Q( x(t ), y (t )) x (t )  dt ' AB ' t Lưu ý: Không ghi t1≤t≤t2 ghi t từ t1 đến t2 - Cách 2: Dùng cơng thức Green: Cho D miến đóng bị chặn mp Oxy với biên C trơn khúc Ñ ∫ Pdx + Qdy = ± ∫∫ (Q ' x C − Py' )dxdy D Lưu ý: Dấu “+” hướng C đường cong kín hướng dương Nếu C khơng kín ta phải bù thêm Nếu miền C có điểm khơng tính ta bỏ điểm (Xem giảng để biết chi tiết) - Cách 3: Tích phân khơng phụ thuộc đường đi: Nếu Q’x=P’y, tồn U(x,y) cho dU=Pdx+Qdy Có cách để tính: + Chọn đường khác từ A đến B cho song song với trục tọa độ +Giải hệ: ' U x = P  ' U y = Q tìm U giống pt vi phân tồn phần (giải tích 1) ∫ Pdx + Qdy = ∫ dU = U (B) − U ( A)  AB Lưu ý: Ta nên sử dụng cách theo ưu tiên sau đây: Nếu hàm P, Q đơn giản: Khơng phụ thuộc đường đi, tính theo định nghĩa, Green Nếu hàm P, Q phức tạp: Không phụ thuộc đường đi, Green, tính theo định nghĩa Tích phân mặt loại 1: Cách tính: B1: Tìm hình chiếu mặt S xuống mặt phẳng Oxy (D xy), Oyz (Dyz), Oxz (Dxz) Ở ta giả sử chiếu xuống mặt Oxy B2: Từ phương trình mặt phẳng F(x, y, z)=0 ta rút z theo x, y Tính dS = + z x' + z 'y dxdy I= Ta được: ∫∫ f ( x, y, z ( x, y ))dS = ∫∫ f ( x, y, z ( x, y )) Dxy + z x' + z 'y dxdy Dxy Tích phân mặt loại 2: - Vecto gradient: ∇F(M)=(F’x(M), F’y(M),F’z(M)) r ∇F n=± ∇F - Cách xác định vecto đơn vị mặt S với phương trình mặt S F(x, y, z)=0 B1: ∇F=(F’x, F’y,F’z) B2: Xác định góc α, β, γ (góc hợp vecto pháp tuyến với trục Ox, Oy, Oz) nhọn hay tù đề suy tọa độ pháp vecto dương hay âm so sánh với dấu tọa độ tương ứng r ∇F n=± ∇F = (cosα, cosβ, cosγ) B3: Xác định dấu pháp vecto đơn vị - Cách tính tích phân mặt loại 2: + Cách 1: Chuyển tích phân mặt loại 1: Tím pháp vecto n mặt S: r ∇F n=± ∇F = (cosα, cosβ, cosγ) Thay vào công thức sau: ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = ∫∫ ( P cosα + Qcos β + R cos γ )dS S S + Cách 2: Tính phần tích phân mặt loại 2: I1 = ∫∫ P ( x, y, z )dydz = ∫∫ P cos α dS S S theo bước: B1: xác định góc α nhọn hay tù để biết cosα dương hay âm B2: Vì cần tính theo dydz nên ta tìm hình chiếu S xuống mặt phẳng Oyz Dyz B3: Viết phương trình mặt S: F(x,y,z)=0 ↔ x=x(y,z) để thay vào hàm P B4: Đưa tích phân thành tích phân kép: I1 = ∫∫ P( x, y, z )dydz = ± ∫∫ P ( x( y, z ), y,z )dydz S Dyz Trong tích phân kép lấy dấu dương hay âm cosα dương hay âm Nếu S song song với trục Ox α=π/2 nến cosα=0 I 1=0 Tương tự cho tích phân I2, I3 + Cách 3: Cơng thức Gauss-Ostrogratxki: Cho miền V đóng bị chặn khơng gian có biên mặt S trơn khúc: ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = ± ∫∫∫ ( P + Q ' x S ' y + Rz' )dV V Trong tích phân bội ba lấy dấu “+” S biên V lấy dấu “-“ S biên phía V - Cơng thức Stockes: Đ ∫ ( Pdx + Qdy + Rdz ) = ∫∫ (Q ' x C − Py' )dxdy + (Pz' − Rx' )dzdx + (R 'y − Qz' )dydz S Với S mặt có biên đường cong C trơn khúc Trong hướng S lấy cho đứng mặt S theo phía chọn dọc đường cong C theo hướng cho ta thấy mặt S bên tay trái Lưu ý: Một số kinh nghiệm xác định hướng mặt S trình tính theo CT Stockes: γ< Ngược chiều KĐH nhìn từ trục z dương có π → cos γ > β> Ngược chiều KĐH nhìn từ phía trục y âm có π → cos β < α> Cùng chiều KĐH nhìn từ phía trục x dương có π → cos α < Các kinh nghiệm số trường hợp nên khuyến khích sử dụng cách xác định giảng thầy cô nêu SƠ ĐỒ MỐI LIÊN HỆ GIỮA CÁC TÍCH PHÂN Hết -Chúc bạn tốt!
- Xem thêm -

Xem thêm: TÓM tắt GIẢI TÍCH 2, TÓM tắt GIẢI TÍCH 2

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn

Nhận lời giải ngay chưa đến 10 phút Đăng bài tập ngay