Xây dựng nông thôn mới ở thị xã ba đồn, tỉnh quảng bình

72 20 0
  • Loading ...
1/72 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 10/07/2018, 23:51

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC THỊ THƢƠNG CÁCH GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN ĐẠI SỐ TỔ HỢP TRONG CHƢƠNG TRÌNH TỐN TRUNG HỌC PHỔ THƠNG KHỐ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC SƠN LA, NĂM 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC THỊ THƢƠNG CÁCH GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN ĐẠI SỐ TỔ HỢP TRONG CHƢƠNG TRÌNH TỐN TRUNG HỌC PHỔ THƠNG Chun ngành: Khoa học tự nhiên KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngƣời hƣớng dẫn: ThS Nguyễn Thị Hƣơng Lan SƠN LA, NĂM 2018 LỜI CẢM ƠN Trong q trình làm khóa luận, em tham khảo số tài liệu liên quan đến toán tổ hợp, trao đổi, lấy ý kiến thầy cô bạn sinh viên lớp sƣ phạm ngành Toán, giảng viên Toán trƣờng Đại học Tây Bắc, số giáo viên Toán trƣờng phổ thơng, bạn sinh viên chun ngành Tốn em học sinh trƣờng phổ thông Đồng thời tổng kết kinh nghiệm từ thực tế qua trình giảng dạy thầy cô Mặc dù cố gắng q trình làm khóa luận nhƣng hạn chế thời gian trình độ kiến thức nên khóa luận khơng tránh đƣợc thiếu sót, mong đƣợc đóng góp ý kiến thầy bạn Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Nguyễn Thị Hƣơng Lan tận tình bảo, hƣớng dẫn tạo điều kiện cho em q trình thực khóa luận Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy cô mơn Tốn (khoa Tốn – Lý – Tin Trƣờng Đại học Tây Bắc), Trƣởng khoa thầy Hoàng Ngọc Anh bạn bè ngƣời thân động viên, giúp đỡ em hồn thành tốt khóa luận Một lần tác giả xin chân thành cảm ơn! Sơn La, tháng năm 2018 Lê Thị Thƣơng MỤC LỤC TRANG PHẦN 1: MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tƣợng nghiên cứu……………………………………………… 3.2 Phạm vi nghiên cứu………………………………………………….1 Phƣơng pháp nghiên cứu………………………………………………… Dự kiến đóng góp khóa luận Cấu trúc khóa luận PHẦN 2: NỘI DUNG Chƣơng I: Cơ sở lý thuyết tổ hợp 1.1 Nhắc lại tập hợp 1.1.1 Tập hợp 1.1.2 Tập hợp thứ tự 1.1.3 Số phần tử số tập hợp 1.2 Quy tắc cộng quy tắc nhân 1.2.1 Quy tắc cộng 1.2.2 Quy tắc nhân 1.3 Giai thừa hoán vị 1.3.1 Giai thừa 1.3.2 Hoán vị 1.4 Chỉnh hợp 1.5 Tổ hợp 1.6 Chỉnh hợp có lặp, hốn vị có lặp tổ hợp có lặp 1.6.1 Chỉnh hợp có lặp 1.6.2 Hoán vị lặp 1.6.3 Tổ hợp lặp 1.7 Nhị thức Newton 1.7.1.Nhị thức Newton 1.7.2 Tam giác Pascal KẾT LUẬN CHƢƠNG I Chƣơng II: Cách giải số dạng toán đại số tổ hợp 2.1 Bài tốn tính tốn, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức 2.2 Bài tốn tính tổng 12 2.2.1 Sử dụng công thức 12 2.2.2 Sử dụng khai triển nhị thức Newton 17 2.2.3 Sử dụng đạo hàm 19 2.2.4 Sử dụng tích phân xác định 22 2.3 Bài tốn giải phƣơng trình, bất phƣơng trình, hệ bất phƣơng trình 25 2.3.1 Giải phƣơng trình 26 2.3.2 Giải bất phƣơng trình 28 2.3.3 Giải hệ bất phƣơng trình 30 2.4 Bài toán đếm 32 2.4.1 Bài toán lập số 33 2.4.2 Bài toán chọn vật, chọn ngƣời, xếp 36 2.4.3 Các toán khác 39 2.5 Một số toán chỉnh hợp có lặp, hốn vị có lặp, tổ hợp có lặp 42 2.5.1 Bài tốn chỉnh hợp có lặp 42 2.5.2 Bài tốn hốn vị có lặp 45 2.5.3 Bài tốn tổ hợp có lặp 47 2.6 Các toán liên quan đến nhị thức 48 2.6.1 Bài toán khai triển đa thức 48 2.6.2 Bài toán hệ số khai triển đa thức 51 2.6.3 Bài tốn tìm số hạng số hạng có giá trị lớn khai triển nhị thức 57 2.6.4 Bài toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức tổ hợp 60 KẾT LUẬN CHƢƠNG II 64 PHẦN 3: KẾT LUẬN 65 TÀI LIỆU THAM KHẢO 66 BẢNG CÁC KÝ HIỆU VIẾT TẮT Các ký hiệu khóa luận ký hiệu thông dụng đƣợc dùng sách giáo khoa: Ank số chỉnh hợp chập k n phần tử Ank số chỉnh hợp có lặp n phần tử BPT: Bất phƣơng trình Cnk số tổ hợp chập k n phần tử Cnk số tổ hợp có lặp n phần tử CMR: Chứng minh CT: Công thức  n : phần nguyên n Pn số hốn vị có lặp n phần tử Pn số hoán vị n phần tử : Điều phải chứng minh Trong khóa luận khơng có điều kiện n, m, p, k , x, y ta hiểu chúng thuộc PHẦN 1: MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Toán tổ hợp lĩnh vực toán học đƣợc nghiên cứu từ sớm ngày đƣợc quan tâm nhờ vai trò quan trọng nội tốn học nhƣ nghành khoa học khác Kết quan trọng đánh dấu tốn đếm số phân hoạch Leonhard Euler Trong toán học kết đóng vai trò kiến thức tảng giải tích, xác suất, thống kê, hình học,… Trong thực tiễn giáo dục việc dạy học toán tổ hợp quan trọng học tốt tốn tổ hợp ngƣời học có lực sáng tạo tƣ nhạy bén để học tốt môn học khác nhƣ lĩnh vực khác sống Các tốn đại số tổ hợp ln nội dung quan trọng đề thi đại học cao đẳng nƣớc ta, mức độ khơng khó nhƣng thí sinh thƣờng gặp khó khăn giải tốn Trong kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, thi toán sinh viên trƣờng đại học cao đẳng, thi Olympic toán khu vực quốc tế toán tổ hợp xuất thử thách lớn cho thí sinh Rất nhiều tốn hay khó đƣợc giải cách gọn đẹp cách sử dụng kiến thức tổ hợp Em ngƣời u thích tốn tổ hợp nhƣng bết sơ qua ngồi ghế nhà trƣờng phổ thơng Vì em lựa chọn đề tài: “CÁCH GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN ĐẠI SỐ TỔ HỢP TRONG CHƢƠNG TRÌNH TỐN TRUNG HỌC PHỔ THƠNG’’ Mục đích nghiên cứu Với mục đích nghiên cứu lý thuyết tổ hợp từ xây dựng cách có hệ thống, có sáng tạo tốn đại số tổ hợp Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tƣợng nghiên cứu Các toán đại số tổ hợp chƣơng trình trung học phổ thông, định nghĩa, quy tắc, dạng toán thƣờng gặp học sinh 3.2 Phạm vi nghiên cứu Từ nguồn tài liệu, giáo trình thầy, có nhiều kinh nghiệm, từ kiến thức học đƣợc trƣờng trung học phổ thông trƣờng đại học, em nghiên cứu cấc toán đại số tổ hợp cách giải chúng Phƣơng pháp nghiên cứu a Nghiên cứu tài liệu b Phân tích tổng hợp kiến thức c Trao đổi thảo luận với giáo viên hƣớng dẫn Dự kiến đóng góp khóa luận Trong khóa luận em tổng kết nêu số cách giải dạng tập đại số tổ hợp Tuy dạng tập khơng nhƣng khóa luận hệ thống mở rộng số tập hay khó đóng góp nhỏ khóa luận Cấu trúc khóa luận Ngồi phần mở đầu, phần nội dung khóa luận đƣợc chia làm hai chƣơng: Chƣơng 1: Cơ sở lý thuyết tổ hợp Chƣơng 2: Cách giải số dạng toán đại số tổ hợp PHẦN 2: NỘI DUNG Chƣơng I: Cơ sở lý thuyết tổ hợp Chƣơng nhắc lại số lý thuyết tập hợp hệ thống lý thuyết toán tổ hợp nhƣ: Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, nhị thức Newton, Các nội dung đƣợc giảng dạy cho học sinh trung học phổ thông hệ bản, nâng cao hệ chuyên nghành toán 1.1 Nhắc lại tập hợp 1.1.1 Tập hợp Định nghĩa: Cho tập hợp A Tập hợp B gọi tập tập A phần tử tập B thuộc A B  A   x, xB  x  A Tính chất: - Mọi tập hợp A có tập  A - Tập A có n phần tử số tập A 2n 1.1.2 Tập hợp thứ tự Một tập hợp hữu hạn có m phần tử đƣợc gọi thứ tự với phần tử tập hợp ta cho tƣơng ứng số tự nhiên từ đến m , cho với phần tử khác ứng với số khác Khi thứ tự m phần tử dãy hữu hạn m phần tử hai thứ tự  a1, a2 , , am   b1, b2 , , bm  phần tử tƣơng ứng  a1, a2 , , am  =  b1, b2 , , bm   = bi ( i  1,2, , m ) 1.1.3 Số phần tử số tập hợp Tập hợp A có hữu hạn phần tử số phần tử A đƣợc kí hiệu là: │ A │ n  a  A, B, C tập hợp hữu hạn, đó: │ A  B │= │ A │+│ B │-│ A  B │ A  B  C │=│ A │+│ B │+│ C │-│ A  B │-│ B  C │-│ A  C │ +│ A  B  C │ Tổng quát: Cho A1, A2 , , An n tập hợp hữu hạn (n  1) Khi đó: │ A1  …  n +  1i  k l  n n An │=  i 1 Ai  n  1i  k  n Ai  Ak  n 1 Ai  Ak  Al +…+ (1) A1  A2   An (1) 1.2 Quy tắc cộng quy tắc nhân 1.2.1 Quy tắc cộng Giả sử có hai cơng việc: Việc thứ làm n cách, Việc thứ hai làm m cách Và hai việc khơng thể làm đồng thời, có n  m cách làm hai việc Quy tắc cộng dạng tổng quát: Giả sử công việc T1, T2 , , Tm làm tƣơng ứng n1, n2 , , nm cách giả sử khơng có hai việc làm đồng thời Khi số cách làm việc là: n1  n2   nm Biểu diễn dƣới dạng tập hợp: Nếu X , Y hai tập hợp hữu hạn, khơng giao thì: X Y  X  Y Nếu X1, X , , X n n tập hữu hạn, đơi khơng giao thì: X1  X   X n  X1  X   X n Nếu X , Y hai tập hữu hạn X  Y thì: X Y\X Y  X 1.2.2 Quy tắc nhân Giả sử để hoàn thành nhiệm vụ H cần thực hai công việc nhỏ H1 H , đó: H1 làm n1 cách, p! r s t   (với r+s+t+…=p)  r !s !t ! Hay p! r s t    r  s t   p r !s !t !  Bài 1: P( x)  (1  3x  x )2012 tìm hệ số x khai triển Giải: Áp dụng hệ ta có hệ số x khai triển P( x) là: a3  2012! r s t ( s  2t  3) r  s t  2012 r !s !t !   Bộ (r , s, t ) thỏa mãn là: (2010, 1, 1), (2009, 3, 0)  a3  2012! 2012 1 2012! 2009 35  35 2010!1!1! 2009!3!0!  15.2012.2011  2012.2011.2010 = 36657955920 Bài 2: Tìm hệ số khơng phụ thuộc vào x phƣơng trình 2  P( x)  (1  x) 1   x       1   1    x   x   Giải: k 0 m 0 n 0 t 0 2m P( x)   C k2x k  C m  C 6nx 3n  C 8t x 4t 4x k 0 m 0 n 0 t 0 n t k  2m 3n  4t   C k2  C m  C  C 8x Hệ số không phụ thuộc vào x a0   k 0 k C2  m 0 Với k  2m  3n  4t   k  2m  2n  4t Trong k 0,2, m 0,4, n 0,6, t 0,8 + k   m  n  t  52 m C4 n  C  C 8t n 0 t 0 + k   2m  3n  4t   không tồn (m, n, t) thỏa mãn + k   m  1, n  t   a0  C 02C 04C 06C 80  C 22C14C 60C 80  Bài 3: Khai triển: P( x)  (1  x  x  x3 )2012  a0  a1x   a6036 x6036 a) Tính hệ số a4 b) Tính S1  a0  a1   a6036 , S2  a0  a1  a2   a6036 c) CMR: S  a0  2a1  4a2   26036 a6036 chia hết cho 2012 Giải: a) P( x)  (1  x  x  x3 )2012  (1  x)(1  x )    2012 2012 2012 2012 2012 i 0 j 0 i 0 j 0 j j   C i2012xi  C 2012 x j   C i2012  C 2012 xi  j 2012 2012 i 0 j 0 j với i  j   Hệ số a4   C i2012  C 2012 Các bội số (i, j) thỏa mãn: (0, 2),(2, 1),(4, 0)  a4  C 02012C 22012  C 22012C12012  C 42012C 02012  2013C 22012  C 42012 b) Có P(1)  42012  a0  a1   a6036  S1 P(1)   a0  a1   a6036   S2  S1  42012 ; S2  c) Có P(2)  402012  a0  2a1   26036 a6036  S  S  402012  408.402004 mà 408 2012  S 2012 53 Bài 4: Cho P( x)  2012  i(1  x)i  a0  a1x   a2012 x 2012 Tính hệ số i 1 a1000 Giải: 2012 i P( x)   i  C ijx j i 1 j 0 1000 1000  a1000  1000C1000 1000  1001C1001   2012C 2012 2012   nC1000 n n 1000 Bài 5: Xác định hệ số x n khai triển: P( x)  (1  x  x   nx n )2 Giải: P( x)  (1  x  x   nx n )(1  x   nx n )  Hệ số x n là: an  1.n  1(n  1)   n.1 = 2n  n(1    n)  (12  22   n2 )  2n  n n(n  1) n(n  1)(2n  1)  n3  11n   Bài tập tự giải: Bài 1: (ĐHTL-2000) Cho đa thức: P( x)  (1  x)9  (1  x)10   (1  x)14 Có khai triển P( x)  a0  a1x   a14 Tính hệ số a9 Bài 2: (ĐHQGHN-B(2000)) Tìm hệ số số hạng không chứa x khai triển biểu thức 17   34 P( x)    x  ( x  0) 3   x  54 Bài 3: (Đề thi khối D- 2012) Cho khai triển : ( x  1)n ( x  2)n Gọi a3n 3 hệ số x3n 3 , tìm n để a3n3  26n 2.6.2.2 Bài tốn tìm hệ số lớn Phƣơng pháp: Bƣớc 1: Tìm hệ số tổng quát ak khai triển Bƣớc 2: Lập tỷ lệ Bƣớc 3: Cho ak rút gọn ak 1 ak a  (hoặc k  1) tìm nghiệm ak 1 ak 1 Bƣớc 4: Kết luận Bài 1: Xác định n cho khai triển nhị thức p( x)  ( x  2) có hạng tử n thứ 11 có hệ số lớn Giải: n p( x)  ( x  2)   C in2i x n i n i 0 Hệ số hạng tử thứ 10, 11, 12 9 10 10 11 11 C n2 , C n , C n Để hạng tử thứ 11 có hệ số lớn thì:  2 10 9  C10 31  10 n 9 n Cn   14  n   10  10 C11 211 C 2  n  n  n 10 11  n  15 (don  ) Bài 2: Cho đa thức p( x)  (1 x)  12 Giải: 12 i i i p( x)  (1 x)   C12 x2, 12 i 0 i i i  C12  i  1, 2, , 12 55 12  a i x i Tìm max(1,2 , ,12 ) i 0 i i i 1 a C i 12 Xét ,  i 1 i 1  2(12  i ) a i 1 C12 i 1 23 a a i 1 < a i  i   2(12  i)   i  a i 1 a i 1 > a i  a i   i    i  23 2(12  i) a i 1  đạt giá trị lớn i  hay 8 max(1, , ,12 )=8  C12  126720 Tổng quát: P(x)= (a bx)  n n  a i x i , tìm max(1,2 , , n ) i 0 Giải: n p( x)  (a bx)   C ina ib n i x n i n i 0 i n i a i  C na b i Xét  i  1, 2, , n  a i  b(i  1) , a i 1 a(n  i) b(i  1) a a i 1 < a i  i   a(n  i)  a i 1 a i 1 > a i  a i   b(i  1)  a(n  i ) a i 1 Nếu a, b dấu thì: an  * a i 1 < a i  i  a  b  * a i 1 > a i  i  a  b  Nếu k  an  an  nguyên max(1, , , n )   k  k 1 ab 56 Nếu k  an  khơng ngun max(1, , , n )  [k ] ab Nếu a, b trái dấu thì: an  * a i 1 < a i  i  a  b  * a i 1 > a i  i  a  b  an  Nếu k= an  nguyên min(1, , , n )   k  k 1 ab Nếu k= an  không nguyên min(1, , , n )  [k ] , ab max(1, , , n )  0  n Bài tập tự giải: Bài 1: Khai triển p( x)  (13x)  8 Bài 2:  a i xi Tìm max(1,2 , ,8 ) i 0 Tìm hệ số lớn hệ số khai triển n 1285 1  p( x)    x  , biết tổng hệ số hạng tử đầu n 2  Bài 3: Tìm hệ số x m khai triển p( x)  n i  (1 x) Xét trƣờng i k hợp m1  khai triển có ba số hạng  (1   )n   n  n(n  1)    n Tức (1   )n   n ,   0, 1  n  Bài tập tự giải Bài 1: CMR : p p 1 p p C nC m  C nC n   C n C m  C mn ( p  , p  n, p  m ) Bài 2: CMR (n  1)n  nn1 (2  n  )  1 Bài 3: Cho dãy số thực (U n ) : U n  1    n a) Chứng minh (U n ) dãy giảm b) Chứng minh  U n  8, n   62 2n 1 Bài n 4: Cho m, n nguyên m 1  1  1    1    n  m 63 dƣơng thỏa mãn m n CMR: KẾT LUẬN CHƢƠNG II Đây chƣơng chứa nội dung khóa luận Chƣơng em phân dạng hệ thống toán đại số tổ hợp Đặc biệt chƣơng em sáng tạo tổng qt số tốn để có đƣợc tốn hay khó 64 PHẦN 3: KẾT LUẬN Trong q trình làm khóa luận em nhận thấy tốn tổ hợp đẹp riêng, em hiểu sâu hệ thống xây dựng đƣợc số tốn hay khó Các kết khóa luận là:  Hệ thống đầy đủ sở lý thuyết để giải toán đại số tổ hợp bao gồm lý thuyết tập hợp lý thuyết tổ hợp  Phân dạng hệ thống cách công phu tốn hay khó đại số tổ hợp  Đặc biệt khóa luận sáng tạo tổng quát số toán để thu đƣợc toán phức tạp Khóa luận nghiên cứu toán tổ hợp Em mong muốn kết khóa luận góp phần nhỏ vào kho tàng kiến thức tốn tổ hợp Khóa luận tài liệu bổ ích cho cơng tác giảng dạy học tập, ngồi khóa luận khơng dừng lại việc cung cấp toán hay mà mang đến cho ngƣời học cách thức, tƣ để xây dựng tốn tài liệu tham khảo tốt cho u thích tổ hợp có lòng say mê tìm tòi, sáng tạo Trong q trình nghiên cứu khóa luận thời gian hạn chế nên thời gian sau hồn thành khóa luận, em tiếp tục nghiên cứu sâu tổ hợp để tổng hợp phƣơng pháp, kỹ giải có hệ thống tập hay, đa dạng Em mong đƣợc giúp đỡ nhiều thầy cô bạn 65 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Thị Vân Anh, (2010), Hướng dẫn giải dạng tập từ đề thi quốc gia mơn tốn, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Văn Cơ, (2005), Giới thiệu đề thi tuyển sinh vào đại học cao đẳng năm học 2001-2002 đến năm học 2005-2006 mơn tốn, Nhà xuất Đại học sƣ phạm [3] Lê Hồng Đức - Nhóm cự mơn, (2007), Bài giảng chun sâu tốn thpt giải tốn đại số giải tích 11, Nhà xuất Hà Nội [4] Trần Văn Hạo - Vũ Tuấn - Đào Ngọc Lam - Lê Văn Tiến - Vũ Viết Yên, (2008), Đại số giải tích 11, Nhà xuất giáo dục [5] Ngô Long Hậu-Trần Thanh Phong-Nguyễn Đình Thọ, (2011), Giới thiệu đề thi tuyển sinh vào đại học - cao đẳng toàn quốc từ 2002 – 2003 đến năm 2011 – 2012, Nhà xuất Hà Nội [6] Ngơ Thúc Lanh, (1998), Tìm hiểu đại số tổ hợp phổ thông, Nhà xuất giáo dục [7] Hoàng Văn Minh - Nguyễn Tuấn Quế, (2011), Bộ đề ơn luyện thi tốn, Nhà xuất Đại hoc sƣ phạm [8] Hoàng Văn Minh - Nguyễn Đức Tiến, (2010), Phương pháp ôn luyện thi đại học cao đẳng mơn tốn theo chủ đề-chủ đề tổ hợp xác suất, Nhà xuất Đại học sƣ phạm [9] Vũ Trí - Trần Hà, (2011), Tuyển tập 39 đề thi thử thi tuyển sinh vào trường đại học – cao đẳng mơn tốn, Nhà xuất Hà Nội 66 ... thuyết tổ hợp từ xây dựng cách có hệ thống, có sáng tạo toán đại số tổ hợp Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tƣợng nghiên cứu Các tốn đại số tổ hợp chƣơng trình trung học phổ thông, định nghĩa,... nhƣng khóa luận hệ thống mở rộng số tập hay khó đóng góp nhỏ khóa luận Cấu trúc khóa luận Ngồi phần mở đầu, phần nội dung khóa luận đƣợc chia làm hai chƣơng: Chƣơng 1: Cơ sở lý thuyết tổ hợp Chƣơng... tốt khóa luận Một lần tác giả xin chân thành cảm ơn! Sơn La, tháng năm 2018 Lê Thị Thƣơng MỤC LỤC TRANG PHẦN 1: MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối
- Xem thêm -

Xem thêm: Xây dựng nông thôn mới ở thị xã ba đồn, tỉnh quảng bình , Xây dựng nông thôn mới ở thị xã ba đồn, tỉnh quảng bình

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn

Nhận lời giải ngay chưa đến 10 phút Đăng bài tập ngay