Tính chính quy của nghiệm yếu của hệ phương trình navier stokes ( Luận văn thạc sĩ)

36 13 0
  • Loading ...
1/36 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 10/07/2018, 17:30

Tính chính quy của nghiệm yếu của hệ phương trình navier stokes ( Luận văn thạc sĩ)Tính chính quy của nghiệm yếu của hệ phương trình navier stokes ( Luận văn thạc sĩ)Tính chính quy của nghiệm yếu của hệ phương trình navier stokes ( Luận văn thạc sĩ)Tính chính quy của nghiệm yếu của hệ phương trình navier stokes ( Luận văn thạc sĩ) ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM VŨ THỊ THÙY DƯƠNG TÍNH CHÍNH QUY CỦA NGHIỆM YẾU CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER - STOKES LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUN, 2014 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM VŨ THỊ THÙY DƯƠNG TÍNH CHÍNH QUY CỦA NGHIỆM YẾU CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER - STOKES Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TSKH NGUYỄN MINH TRÍ Thái Ngun - Năm 2014 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Lời cam đoan Tơi cam đoan cơng trình nghiên cứu Các kết nêu luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Thái Ngun, tháng năm 2014 Tác giả Vũ Thị Thùy Dương i Soá hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Một số ký hiệu • C(U ) = {u : U → R | u liên tục} • C(U¯ ) = {u ∈ C(U ) | u liên tục đều} • C k (U ) = {u : U → R | u liên tục khả vi k lần} • C k (U¯ ) = {u ∈ C k (U ) | Dα u liên tục với |α| ≤ k } ¯ ) Dα u thác triển liên tục tới U¯ với đa Do đó: u ∈ C k (U số α, |α| ≤ k • L2 ([a, b], Rm ): tập hàm khả tích bậc hai [a, b] lấy giá trị Rm • C ∞ (U ) = C ∞ (U¯ ) = ∞ C k (U ) = {u : U → R | u khả vi vô hạn lần}, k=0 ∞ C k (U¯ ) k=0 • Cc (U ), Cck (U ), ,, ký hiệu hàm C(U ), C k (U ), , với giá compact • Lp (U ) = {u : U → R | u đo Lebesgue, u Lp (U ) < ∞} Trong u Lp (U ) p p |u| dx = U (1 ≤ p < ∞) • L∞ (U ) = {u : U → R | u đo Lebesgue, u L∞ (U ) Trong u L∞ (U ) = ess sup |u| U • Lploc (U ) = {u : U → R | u ∈ Lp (V ), với V ⊂⊂ U } ii Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ < ∞} Mục lục Lời cam đoan i Một số ký hiệu ii Mục lục iii Mở đầu 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Holder 1.2 Không gian Sobolev 1.2.1 Đạo hàm yếu 1.2.2 Không gian Sobolev 1.2.3 Không gian H −1 1.2.4 Không gian phụ thuộc thời gian Một số bất đẳng thức 1.3.1 Bất đẳng thức Cauchy với ε 1.3.2 Bất đẳng thức Holder 1.3.3 Bất đẳng thức nội suy chuẩn Lp 1.3.4 Bất đẳng thức Gronwall 1.3.5 Bất đẳng thức Sobolev 1.3.6 Bất đẳng thức Hardy - Littlewood 1.3 Nghiệm yếu hệ phương trình Navier-Stokes 2.1 10 Phương trình Stokes 10 iii Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 2.2 2.3 2.1.1 Định nghĩa 10 2.1.2 Tính chất 11 Toán tử Stokes 11 2.2.1 Định nghĩa 11 2.2.2 Tính chất 11 Nghiệm yếu hệ phương trình Navier-Stokes 13 2.3.1 Định nghĩa 13 2.3.2 Sự tồn nghiệm yếu hệ Navier - Stokes 14 Tính quy nghiệm yếu hệ phương trình Navier - Stokes 17 3.1 Nghiệm yếu quy 17 3.2 Điều kiện quy nghiệm yếu thông qua tiêu chuẩn lượng 19 Kết luận 29 Tài liệu tham khảo 30 iv Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mở đầu Hệ phương trình Navier-Stokes lần nghiên cứu vào năm 1822, có nhiều cơng trình nghiên cứu viết phương trình nhiên hiểu biết ta phương trình q khiêm tốn Muốn hiểu tượng sóng dập sau đuôi tàu chạy mặt nước hay tượng hỗn loạn khơng khí sau máy bay bay bầu trời, phải tìm cách giải hệ phương trình Navier-Stokes Do nhu cầu Khoa học Công nghệ mà việc nghiên cứu hệ phương trình Navier-Stokes ngày trở nên thời cấp thiết Hệ phương trình Navier-Stokes mơ tả chuyển động chất lỏng Rn (n = n = 3) Ta giả thiết chất lỏng không nén lấp đầy Rn Ta tìm hàm vector vận tốc u(t, x) = (ui (t, x)), i = 1, 2, , n hàm áp suất p(t, x), xác định vị trí x ∈ Rn thời gian t > 0, thỏa mãn hệ phương trình Navier-Stokes sau: ∂ui + ∂t n uj j=1 ∂ui ∂p = ν ui − + fi (t, x) ∂xj ∂xi (x ∈ Rn , t > 0, i = 1, 2, , n), u = (u1 , u2 , , un ), n div u = i=1 ∂ui = (x ∈ R, t > 0) ∂xi Với điều kiện ban đầu u(0, x) = u0 (x) Ở đây, hàm vector u0 (x) hàm khả vi vô hạn với div u0 = 0, fi (t, x) hàm biết biểu thị lực tác động bên ngoài, ν hệ số dương Luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, kết luận tài liệu tham khảo Cụ thể sau: Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Chương 2: Nghiệm yếu hệ phương trình Navier-Stokes Trong chương trình bày khái niệm phương trình Stokes, tốn tử Stokes, hệ phương trình Navier - Stokes, tồn nghiệm yếu hệ phương trình Navier - Stokes Chương 3: Tính quy nghiệm yếu hệ phương trình NavierStokes Chương trình bày kết tính quy nghiệm yếu hệ phương trình Navier - Stokes Một nghiệm yếu u hệ phương trình Navier - Stokes gọi quy động năng lượng phân tán liên tục Holder trái, hàm t với số mũ Holder nửa chuẩn Holder đủ nhỏ, theo [3] Cuối cùng, tơi xin bày tỏ kính trọng lòng biết ơn sâu sắc tới thầy PGS TSKH Nguyễn Minh Trí, người tận tình hướng dẫn, tạo điều kiện giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Sau đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán – Trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên thầy, giáo giảng dạy khố học, xin chân thành cảm ơn ThS Đào Quang Khải - Phòng Phương trình vi phân quan tâm, động viên giúp đỡ suốt thời gian học tập làm luận văn Số hóa Trung tâm Học lieäu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương trình bày sơ khơng gian Holder, không gian Sobolev số bất đẳng thức 1.1 Không gian Holder Cho U ⊂ Rn tập mở < γ ≤ Định nghĩa 1.1.1 (i) Hàm số u : U → R gọi liên tục Holder bậc γ tồn số C > cho |u(x) − u(y)| ≤ C|x − y|γ , x, y ∈ U Khi γ = 1, hàm số u gọi liên tục Lipschitz (ii) Nếu u : U → R bị chặn liên tục, ta định nghĩa: u ¯) C(U = sup |u(x)| x∈U (iii) Nửa chuẩn Holder bậc γ u : U → R [u]C 0,γ (U¯ ) = sup x,y∈U x=y |u(x) − u(y)| |x − y|γ chuẩn Holder bậc γ u ¯) C 0,γ (U = u ¯) C(U + [u]C 0,γ (U¯ ) Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ¯ ) gồm tất hàm số Định nghĩa 1.1.2 Không gian Holder C k,γ (U u ∈ C k (U¯ ), mà chuẩn u ¯) C k,γ (U Dα u = ¯) C(U [Dα u]C 0,γ (U¯ ) + |α|=k |α|≤k ¯ ) gồm tất hàm số u cho hữu hạn Như vậy, không gian C k,γ (U đạo hàm riêng cấp k bị chặn liên tục Holder bậc γ ¯ ) không gian Banach với Định lý 1.1.1 Không gian Holder C k,γ (U chuẩn 1.2 1.2.1 · ¯ ) C k,γ (U Không gian Sobolev Đạo hàm yếu Định nghĩa 1.2.1 Giả sử u, v ∈ L1loc (U ) α đa số Ta nói v đạo hàm yếu cấp α u uDα φdx = (−1)|α| U vφdx U với hàm thử φ ∈ Cc∞ (U ) Ký hiệu Dα u = v Bổ đề 1.2.1 (Tính đạo hàm yếu) Một đạo hàm yếu cấp α u tồn xác định cách (sai khác tập có độ đo khơng) 1.2.2 Không gian Sobolev Định nghĩa 1.2.2 Cố định ≤ p ≤ ∞ cho k số nguyên không âm Không gian Sobolev Wpk (U ) tập tất hàm khả tổng địa phương u : U → R cho với đa số α, |α| ≤ k , đạo hàm yếu Dα u tồn thuộc Lp (U ) Chú ý: Nếu p = ta có H k (U ) = W2k (U ) (k = 0, 1, 2, ) không gian Hilbert Chú ý H (U ) = L2 (U ) Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ... Chương 3: Tính quy nghiệm yếu hệ phương trình NavierStokes Chương trình bày kết tính quy nghiệm yếu hệ phương trình Navier - Stokes Một nghiệm yếu u hệ phương trình Navier - Stokes gọi quy động... Chương 2: Nghiệm yếu hệ phương trình Navier- Stokes Trong chương trình bày khái niệm phương trình Stokes, tốn tử Stokes, hệ phương trình Navier - Stokes, tồn nghiệm yếu hệ phương trình Navier - Stokes. .. trình Navier- Stokes 13 2.3.1 Định nghĩa 13 2.3.2 Sự tồn nghiệm yếu hệ Navier - Stokes 14 Tính quy nghiệm yếu hệ phương trình Navier - Stokes
- Xem thêm -

Xem thêm: Tính chính quy của nghiệm yếu của hệ phương trình navier stokes ( Luận văn thạc sĩ), Tính chính quy của nghiệm yếu của hệ phương trình navier stokes ( Luận văn thạc sĩ)

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn

Nhận lời giải ngay chưa đến 10 phút Đăng bài tập ngay