tich phan pho thong trung hoc

7 23 0
  • Loading ...
1/7 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 09/07/2018, 15:30

Tích phân Trần Só Tùng x2 - Ví dụ 17: Tính tích phân bất đònh: I = ò dx x(x + 3x + 2) Giải: Đặt t = x Suy ra: dt = 2xdx & x (2 - 3x )8 dx = Khi ñoù: I = t -3 dt t(t + 1)(t + 2) t -3 ò t(t - 1)(t + 2) dt t -3 a b c (a + b + c)t + (2a + 2b + c)t + 2a Ta coù: = + + = t(t + 1)(t - 2) t t + t + t(t + 1)(t + 2) ìa + b + c = ìa = -3/ ï ï Đồng đẳng thức, ta được: í3a + 2b + c = Û í b = ï2a = -3 ïc = -5 / ỵ ỵ t -3 31 Khi ñoù: =+ t(t + 1)(t + 2) t t +1 t + ö ổ 31 Do ủoự: I = ũ ỗ + ÷ dt = - ln t + ln | t + | - ln | t + | + C 2 è t t +1 t + ø = - ln(x ) + ln(x + 1) - ln(x + 2) + C 2 Ví dụ 18: Tính tích phân bất đònh: I = dx ò t(x6 + 1)2 Giải: Đặt t = x Khi đó: I = Suy ra: dt = 3x dx & dx dt = x(x + 1) t(t + 1)2 dt ò t(t + 1)2 a bt ct (a + b)t + (2a + b + c)t + a Ta coù: = + + = t(t + 1)2 t t + (t + 1)2 t(t + 1)2 ìa + b = ï Đồng nhất, ta được: í2a + b + c = Û ïa = ỵ ìa = ï í b = -1 ï c = -1 ỵ Þ dt t t = - - t(t + 1) t t + (t + 1)2 é1 t t ù 1 - dt = ln | t | - ln | t + | + +C Do đó: I = ò ê - 2ú 2 t +1 ë t t + (t + 1) û t2 1 x6 = (ln + ) + C = (ln + ) + C t +1 t +1 x +1 x +1 Trang 46 Trần Só Tùng Tích phân - x4 Ví dụ 19: Tính tích phân bất đònh: I = ò dx x(1 + x ) Giải: Đặt t = x Suy ra: dt = 4x 3dx & Khi đó: I = Ta coù: - x4 1- t = x(1 + x ) t(1 + t) 1- t dt ò t(1 + t) 1- t a b (a + b)t + a = + = t(1 + t) t t + t(t + 1)2 ìa + b = -1 ìa = 1- t Đồng đẳng thức, ta được: í Ûí Þ = t(1 + t) t t + ỵa = ỵ b = -2 |t| x4 ổ1 Do ủoự: I = ũ ỗ dt = ln | t | ln | t + | + C = ln + C = ln + C ÷ (t + 1)2 (x + 1)2 è t t +1ø Ví dụ 20: Tính tích phân bất đònh: I = (x - 1)dx ò x(x3 - 4)(x - 4x + 1) Giải: Biến đổi I dạng: I = (x - 1)dx ò (x - 4x)(x - 4x + 1) Sử dụng đồng thức: = (x - 4x + 1)( -(x - 4x) [(x - 4x + 1) - (x - 4x)](x - 1)dx (x - 1)dx (x - 1)dx Ta được: I = ò =ò -ò (x - 4x)(x - 4x + 1) x - 4x x - 4x + 1 x - 4x = (ln | x - 4x | - l n | x - 4x + |) + C = ln + C 4 x - 4x + x2 - dx Ví dụ 21: Tính tích phân bất đònh: I = ò x + 2x - x + 2x + Giaûi: Chia tử mẫu biểu thức dấu tích phân cho x ¹ 0, ta được: 1ư ổ ổ dỗx + ữ d ỗ x + + 1÷ xø x ø è I=ò dx = ò =ò è 2 1ö 1ö ö æ æ æ x + 2x - + + ỗx + ữ + 2ỗx + ữ - ỗ x + + 1ữ - x x xø xø x ø è è è 1- x2 1 x + x +1- x2 - x + = ln + C = ln + C x + +1+ x + 3x + x Trang 47 Tích phân Trần Só Tùng BÀI TẬP Bài 20 Tính tích phân sau: dx a/ ò ; 4x + 8x + 2x + ln + C; ÑS: a/ 2x + dx ; - 7x + 10 x-5 b/ ln + C; x-2 b/ òx Bài 21 Tính tích phân sau: 2x - 5x - a/ ò dx; b/ ò dx; x - 3x + x - 3x + ÑS: dx - 2x - 1 3x + c/ ln + C 3x + c/ ò a/ 5ln x - - 3ln x - + C; b/ c/ 3ln x + - ln x + + C; d/ ò 3x c/ 2 2x + dx; x + 5x + 2x + dx; 9x - 6x + x -1 5ln x + - ln + C; x +1 d/ ò 2 17 ỉ ln 3x - - ç ÷ + C 9 è 3x - ø Bài 22 Tính tích phân sau: dx xdx 2x + 41x - 91 a/ ò ; ; b/ ò dx; c/ ò 6x - 7x - 3x (x + 1)(2x + 1) (x - 1)(x - x - 12) x3 - d/ ò dx; 4x - x ÑS: (x - 3x + 2)dx e/ ò ; x(x + 2x + 1) 1 a/ ln x + - ln x + + C; 2 (x + 2)2 dx f/ ò x(x - 2x + 1) b/ ln x - + ln x - + ln x + + C; 3 c/ - ln x + ln x - + ln x + + C; 33 11 d/ x + ln x - ln x - - ln x + + C; 16 16 e/ x + ln x ln x + - + C; x +1 f/ ln x - ln x - - + C x -1 Bài 23 Tính tích phân sau: xdx xdx x 7dx a/ ò ; b/ ò ; d/ ; c/ ò 2 x - 3x + x - 2x - (x + 1) f/ ò x 5dx x2 - dx ; g/ h/ ; ò x(x10 + 1)2 ò x + dx; x6 - x3 - ÑS: a/ c/ x2 - ln + C; x2 - 1 ln b/ x - (1 + 2) + C; d/ x - (1 - 2) Trang 48 x 5dx 2dx ò x6 - x3 - ; e/ ò x(x + 1) ; i/ ò x3 x 2dx k/ dx; ò (1 - x)10 (x + 1)2 1ỉ ỗ ln x - + ữ + C; 4è x +1 ø 1 x3 - ln x6 - x3 - + ln + C; 18 x + Trần Só Tùng Tích phaân x2 + C; x2 + f/ x2 ln + C; x +4 e/ ln g/ ổ x10 ln ỗ 10 + C; h/ ÷ + 10 è x +1ø x +1 é ù x+ - 2ú ê x ln ê ú + C; 2 êx + + ú x ë û i/ 1é ù ln(x + 1) + + C; k/ 2 êë x + úû - 1 + C 7(x - 1) 4(x - 1) 9(x - 1)9 2x + 2x + x - 3x + m n p a/ Tìm m, n, p để f(x) = + + (x - 1) x -1 x + Bài 24 Cho hàm số f(x) = b/ Tìm họ nguyên hàm f(x) ĐS: a/ m = 3;n = 1; p = (ÑHTM_1994) ln (x - 1)(x + 2) + C x -1 b/ Bài 25 Tìm họ nguyên hàm hàm số: a/ f(x) = ĐS: a/ x4 - ; x3 - x x2 - ln + C x2 b/ x + ln x - ln x - + C; 2 b/ (ÑHTM_1994) x2 - ln + C x2 3x + 3x + Bài 26 Cho hàm số y = x - 3x + a b c + + (x - 1) x - x - a/ Xác đònh số a, b, c để y = b/ Tìm họ nguyên hàm y ĐS: a/ a = 3; b = 2; c = b/ (ĐHQG–Hà Nội_1995) - + ln x - + ln x + + C x -1 Baøi 27 Tìm họ nguyên hàm hàm số: a/ f(x) = x 2001 (1 + x )1002 c/ f(x) = x2 - (x + 5x + 1)(x - 3x + 1) b/ f(x) = 1999 x(x 1001 ổ x2 ẹS: a/ ỗ ữ 2002 è + x ø c/ + C; x - 3x + ln + C x - 5x + Trang 49 b/ + 2000) x1999 ln 1999 + C; 1999 - 2000 x + 2000 Tích phân Trần Só Tùng Vấn đề 8: NGUYÊN HÀM CÁC HÀM LƯNG GIÁC Để xác đònh nguyên hàm hàm lượng giác ta cần linh hoạt lựa chọn phương pháp sau: Sử dụng dạng nguyên hàm Sử dụng phép biến đổi lượng giác đưa nguyên hàm Phương pháp đổi biến Phương pháp tích phân phần SỬ DỤNG CÁC DẠNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN Bài toán 1: Xác đònh nguyên hàm hàm lượng giác việc sử dụng dạng nguyên hàm Dạng 1: Tính tích phân bất đònh: I = ò dx sin(x + a)sin(x + b) PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực theo bước sau: · Bước 1: Sử dụng đồng thức: sin(a - b) sin[(x + a) - (x + b) 1= = sin(a - b) sin(a - b) · Bước 2: Ta được: dx sin[(x + a) - (x - b)] I=ò dx = dx ò sin(x + a)sin(x + b) sin(a - b) sin(x + a)sin(x + b) sin(x + a).cos(x + b) - cos(x + a).sin(x + b) = dx ò sin(a - b) sin(x + a)sin(x + b) = é cos(x + b) cos(x + a) ù dx - ò dx ò ê sin(a - b) ë sin(x + b) sin(x + a) úû = [ln | sin(x + b)} - ln | sin(x + a) |] + C sin(a - b) = sin(x + b) ln + C sin(a - b) sin(x + a) Chú ý: Phương pháp áp dụng cho dạng tích phân sau: dx sin(a - b) I = ò , sử dụng đồng thức = cos(x + a) cos(x + b) sin(a - b) I = ò dx cos(a - b) , sử dụng đồng thức = sin(x + a) cos(x + b) cos(a - b) Trang 50 Trần Só Tùng Tích phân Ví dụ 1: Tìm họ nguyên hàm hàm số f(x) = ã pử ổ sin x.cos ỗ x + ÷ 4ø è Giải: Cách 1: Sử dụng phương pháp dạng toán p cos éỉ x + p - x ự ữ cos ờỗ ø ûú éỉ pư ù è ë Sử dụng ủong nhaỏt thửực: = = = cos ờỗ x + ÷ - x ú p 4ø û ëè cos éỉ pư ù pư pư ổ ổ cos ờỗ x + ữ - x ỳ cos ỗ x + ữ cosx + sin ỗ x + ÷ sin x 4ø û 4ø 4ø ëè è è Ta được: F(x) = ò dx = ũ pử pử ổ ổ sin x.cos ỗ x + ữ sin x.cos ỗ x + ữ 4ứ 4ứ ố ố ộ pử ự ổ sin ỗ x + ữ ú ê cos x 4ø è = êò dx + ò dx ú p sin x ỉ ê cos ỗ x + ữ ỳ ờở ứ ỳỷ è é pứ ỉ = ê ln | sin x | - ln cos ỗ x + ữ ỳ + C = ln 4øû è ë · sin x +C pử ổ cos ỗ x + ữ 4ứ è Cách 2: Dựa đặc thù hàm f(x) dx dx Ta có: F(x) = ò = 2ò sin x.(cos x - sin x) sin x(cot gx - 1) = - 2ò d(cot gx) d(cot gx - 1) = - 2ò = - ln cot gx - + C cot gx - cot gx - Dạng 2: Tính tích phân bất đònh: I = ò dx sin x + sin a PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực theo bước sau: dx dx · Bước 1: Biến đổi I dạng: I = ò = ò (1) sin x + sin a sin x + a cos x - a 2 · Bước 2: Áp dụng toán để giải (1) Chú ý: Phương pháp áp dụng cho dạng tích phân sau: dx I = ò , với | m | £ sin x + m dx dx I = ò I = ò , với | m | £ cos x + cos a cos x + m Trang 51 Tích phân Trần Só Tùng Ví dụ 2: Tìm họ nguyên hàm hàm số f(x) = sin x + Giải: Biến đổi f(x) dạng: 1 1 f(x) = = = 6x + p 6x - p p 1ư ỉ sin x + sin sin cos ỗ sin x + ữ 12 12 ố 2ø (1) p æ 6x + p 6x - p cos ỗ ữ ố ứ = cos ổ 6x + p - 6x - p ö 12 12 = Sửỷ duùng ủong nhaỏt thửực: = ỗ ÷ p è 12 12 ø 3 cos cos ỉ 3x + p 6x - p cos ỗ ữ ố ứ 12 12 Ta ủửụùc: F(x) = ò sin + p cos 6x - p 12 12 6x + p 6x - p 6x + p 6x - p cos 12 cos 12 + sin 12 sin 12 = ò 6x + p 6x - p sin cos 12 12 6x + p 6x - p ù é cos sin ê 12 dx + 12 dx ú = êò ò 6x - p ú ê sin 6x + p ú cos ë û 12 12 6x + p é 6x + p 6x + p ù 12 + C = ln ê ln sin 12 - ln cos 12 ú + C = 6x 3ë cos - p û 12 sin Daïng 3: Tính tích phân bất đònh: I = ò tgx.tg(x + a)dx PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực theo bước sau: · Bước 1: Biến đổi I dạng: sin x.sin(x + a ) I = ò tgx.tg(x + a )dx = ò dx cos x.cos(x + a ) æ cos x.cos(x + a) + sin x.sin(x + a ) = ũỗ - ữ dx cos x.cos(x + a ) è ø cos adx dx =ò - ò dx = cos a ò -x cos x.cos(x + a) cos x.cos(x + a ) (1) · Bước 2: Áp dụng toán để giải (1) Chú ý: Phương pháp áp dụng cho dạng tích phân sau: Trang 52
- Xem thêm -

Xem thêm: tich phan pho thong trung hoc, tich phan pho thong trung hoc

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn

Nhận lời giải ngay chưa đến 10 phút Đăng bài tập ngay