tich phan pho thong trung hoc

7 29 0
  • Loading ...
1/7 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 09/07/2018, 15:30

nhưng để P(x) phân tích ta sử dụng đồng thức quen thuộc Q(x) x2 Dạng 1: Tính tích phân bất đònh: I = ò dx, với a ¹ (ax + b)2 PHƯƠNG PHÁP CHUNG Sử dụng đồng thức: 1 x = a2 x = [(ax + b) - b]2 = [(ax + b)2 - 2b(ax + b) + b2 ] a a a x2 (ax + b)2 - 2b(ax + b) + b Ta được: = (ax + b)a a2 (ax + b)a = ù é 2b b2 + ê a-2 a-1 aú a ë (ax + b) (ax + b) (ax + b) û é dx 2bdx b 2dx ù I = êò + ú a ë (ax + b)a-2 ò (ax + b)a-1 ò (ax + b)a û Khi đó: = é d(ax + b) 2bd(ax + b) b d(ax + b) ù + ê ú a3 ë ò (ax + b)a-2 ò (ax + b)a-1 ò (ax + b)a û Trang 33 Tích phân Trần Só Tùng x2 Ví dụ 3: Tính tích phân bất đònh: I = ò dx (1 - x)39 Giải: Sử dụng đồng thức: x = (1 - x)2 - 2(1 - x) + x2 (1 - x)2 - 2(1 - x) + 1 Ta được: = = + 39 39 37 37 (1 - x) (1 - x) (1 - x) (1 - x) (1 - x)39 Khi đó: I = ò = dx 2dx dx -ò +ò 37 38 (1 - x) (1 - x) (1 - x)39 + + C 36(1 - x)36 37(1 - x)37 38(1 - x)38 Chú ý: Mở rộng tự nhiên phương pháp giải ta xét ví dụ: x3 Ví dụ 4: Tính tích phân bất đònh: I = ò dx (x - 1)10 Giải: Sử dụng đồng thức (công thức Taylo): x = + 3(x - 1) + 3(x - 1)2 + (x - 1)3 x3 + 3(x - 1) + 3(x - 1)2 + (x - 1)3 Ta được: = (x - 1)10 (x - 1)10 = 3 + + + 10 (x - 1) (x - 1) (x - 1) (x - 1)7 é 3 ù Khi đó: I = ò ê + + + dx 10 (x - 1) (x - 1) (x - 1)7 úû ë (x - 1) 3 =+ C 9(x - 1) 8(x - 1) 7(x - 1) 6(x - 1)6 Dạng 2: Tính tích phân bất đònh: I n = ò dx , với a ¹ n nguyên dương (ax + bx + c)n PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta xét trường hợp sau: · Trường hợp 1: Nếu n = Ta xét ba khả D = b - 4ac Ÿ Khả 1: Nếu D > 1 (x - x ) - (x - x1 ) Khi đó: = = ax + bx + c a(x - x1 )(x - x ) a(x1 - x ) (x - x1 )(x - x ) = ổ 1 ỗ ÷ a(x1 - x ) è x - x1 x - x ø Trang 34 Trần Só Tùng Tích phân ỉ 1 [ln x - x1 - ln x - x2 ] + C ç ÷ dx = ò a(x1 - x2 ) è x - x1 x - x2 ø a(x1 - x2 Do đó: I1 = = x - x1 ln + C a(x1 - x ) x - x2 Ÿ Khả 2: Nếu D = 1 Khi đó: = ax + bx + c a(x - x )2 Do đó: I = dx =+ C ò a (x - x0 ) a(x - x0 ) Ÿ Khả 3: Nếu D < ỉ p pư Khi thực phép ủoồi bieỏn x = tgt vụựi t ẻ ỗ - ; ÷ è 2ø · Trường hợp 2: Nếu n > Bằng phép đổi biến t = x + b dt , ta được: I n = n ò 2a a (t + k)n Sử dụng phương pháp tích phân phần với phép đặt: 2ntdt ì ì ïu = ïdu = - n (t + k) Þ í (t + k)n +1 í ïdv = dt ïv = t ỵ ỵ Khi đó: I n = = an an é t t dt ù ì t [(t + k) - k]dt ü 2n 2n + = + ê n ò (t + k)n +1 ú an í (t + k)n ò (t + k)n +1 ý ë (t + k) û ỵ þ ì t dt dt é ùü + 2n ê ò - kò í n n n +1 ỳ ý (t + k) ỷ ỵ (t + k) ỵ (t + k) é t ù t n ê (t + k)n + 2n(I n - kI n+1 ) ú Û 2nkI n+1 = (t + k)n + (2n - a )I n ë û t Û 2(n - 1(kI n = + (2n - - a n -1 )I n +1 (1) n -1 (t + k) = an Chú ý: Vì công thức (1) không trình bày phạm vi sách giáo khoa 12, em học sinh làm thi không phép sử dụng nó, trường hợp sử dụng công thức cồng kềnh khó nhớ cách xác, tường hợp n > tốt em nên trình bày theo bước sau: – Bước 1: Xác đònh I1 – Bước 2: Xác đònh In theo In–1 (chứng minh lại (1)) – Bước 3: Biểu diễn truy hồi In theo I1 ta kết cần tìm Ví dụ 5: Cho hàm số f(x) = x - (m + 2)x + 2m Trang 35 Tích phân Trần Só Tùng Tính tích phân bất đònh I = ò f(x)dx biết: a/ m = b/ m = Giaûi: dx dx dx d(x - 2) d(x - 1) =ò -ò =ò -ò x - 3x + x -2 x -1 x-2 x -1 x-2 = ln x - - ln x - + C = ln + C x -1 a/ Với m = 1: I = ò f(x)dx = ò b/ Với m = 2: I = ò f(x)dx = ò dx =+ C (x - 2) x-2 Ví dụ 6: Tính tích phân bất đònh: I = ò dx (x + 4x + 3)3 Giải: Xét tích phân J n = ò · Với n = dx dx ỉ 1 x +1 =ũ = ũỗ + C ữ dx = ln x + 4x + (x + 1)(x + 3) è x + x + ø x +3 Với n > Bằng phương pháp tích phân phần với phép đặt: 2ntdt ì ì ïu = ïdu = - n (t - 1) Þ í (t - 1)n +1 í ïdv = dt ïv = t ỵ ỵ J1 = ò · dx , ta có: (x + 4x + 3)n 2 Khi đó: J n = = t t dt t [(t - 1) + 1]dt + 2n = + 2n ò (t - 1)n+1 (t - 1)n ò (t - 1)n+1 (t - 1)n t é dt dt ù t + 2n ê ò +ò = + 2n(J n + J n +1 ) n n n +1 ú (t - 1) (t - 1) û (t - 1)n ë (t - 1) Û 2nJn+1 = Û Jn = Do đó: t t - (2n - 1)Jn Û 2(n - 1)Jn = - - (2n - 3)Jn-1 n (t - 1) (t - 1)n-1 é t ù = + 2n 3)J n ú 2(n - 1)n êë (t - 1)n-1 û 1æ t J2 = - ỗ + J1 ữ è t -1 ø 1é t ù 1ì t ì 1ỉ t üü I = J3 = - ê + 3J = + + J í ỗ ữ ýý ỳ (t - 1)2 ỵ (t - 1)2 ø þþ û ỵ è t -1 =- x+2 3(x + 2) x +1 + + ln + C 2 4(x + 4x3+) 8(x + 4x + 3) 16 x + Trang 36 Trần Só Tùng Tích phân Dạng 3: Tính tích phân bất đònh: I n = ò (lx + m )dx , với a ¹ n nguyên dương (ax + bx + c)n PHƯƠNG PHÁP CHUNG Phân tích: lx + m = l lb (2ax + b) + m 2a 2a Khi đó: I n = l (2ax + b)dx lb dx + (m - ) ò ò n 2a (ax + bx + c) 2a (ax + bx + c)n a/ Với J n = l (2ax + b)dx thì: ò 2a ((ax + bx + c)n Ÿ Nếu n = 1, ta được: J1 = l (2ax + b)dx l = ln ax + bx + c + C ò 2a ax + bx + c 2a Ÿ Nếu n > 1, ta được: Jn = l (2ax + b)dx l = + C ò n 2a (ax + bx + c) 2a(n - 1) (ax + bx + c)n-1 b/ Với K n = ò dx , ta biết cách xác đònh dạng (ax + bx + c)n Tổng quát hẹp: Trong phạm vi phổ thông chúng thường gặp tích phân bất đònh sau: I=ò P(x)dx , với a ¹ bậc P(x) lớn ax + bx + c Ta thực theo bước sau: – Bước 1: Thực phép chia đa thức P(x) cho ax + bx + c ta được: P(x) lx + m = Q(x) + 2 ax + bx + c ax + bx + c l 2ax + b lb = Q(x) + + (m - ) 2a ax + bx + c 2a ax + bx + c l (2ax + b)dx lb dx – Bước 2: Khi đó: I = ò Q(x)dx + ò + (m - ) ò 2a ax + bx + c 2a ax + bx + c Chú ý: Tuy nhiên trường hợp ax + bx + c coù D = b2 - 4ac > (ta hai nghiệm x1, x2), thực phép phân tích: lx + m = ax + bx + c 1ổ A B + ỗ ữ a è x - x1 x - x ø Ví dụ 7: Tính tích phân bất đònh: I = ò (2x - 10x + 16x - 1)dx x - 5x + Giaûi: Trang 37
- Xem thêm -

Xem thêm: tich phan pho thong trung hoc, tich phan pho thong trung hoc

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn

Nhận lời giải ngay chưa đến 10 phút Đăng bài tập ngay