Nghiên cứu một số tính chất của lớp hàm điều hòa dưới trên c

76 12 0
  • Loading ...
1/76 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 08/07/2018, 00:06

Lời cảm ơn Lời đầu tiên, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy, TS.Vũ Việt Hùng, người thầy đáng kính định hướng nghiên cứu hướng dẫn tận tình chúng tơi, giúp đỡ tài liệu nghiên cứu động viên chúng tơi có nghị lực hồn thành đề tài này! Trong q trình làm đề tài, chúng tơi nhận giúp đỡ thầy cô giáo Khoa Toán - Lý -Tin, đặc biệt thầy Bộ mơn Giải tích, Phòng KHCN & QHQT, Thư viện Trường Đại học Tây Bắc, bạn sinh viên Lớp K56 ĐHSP Tốn Những ý kiến đóng góp, giúp đỡ động viên q thầy cơ, bạn bè tạo điều kiện thuận lợi để chúng tơi hồn thành đề tài Nhân dịp chúng tơi xin bày tỏ lòng biết ơn giúp đỡ q báu nói Chúng tơi xin chân thành cảm ơn! Sơn La, tháng năm 2018 Sinh viên thực đề tài Tênh Ly Vang Sua Xênh Vừ A Giông Bùi Thị Châu Nguyễn Hải Yến Nguyễn Thị Thùy Mục lục Lời cảm ơn Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hàm khả vi phức 1.2 Điều kiện Cauchy - Riemann 1.3 Hàm chỉnh hình biến 11 1.3.1 Định nghĩa hàm chỉnh hình 11 1.3.2 Khai triển chuỗi lũy thừa hàm chỉnh hình 12 Tích phân Cauchy 14 1.4.1 Tích phân phức 14 1.4.2 Định lý tích phân Cauchy 15 1.5 Hàm nửa liên tục 16 1.6 Hàm điều hòa 18 1.6.1 Hàm điều hòa hàm chỉnh hình 18 1.6.2 Tích phân Poisson 25 1.6.3 Điều hòa dương 28 1.4 Hàm điều hòa số tính chất 2.1 32 Hàm điều hòa 32 2.1.1 33 Hàm nửa liên tục 2.1.2 Hàm điều hòa tính chất 36 2.1.3 Tính khả tích hàm điều hòa 40 2.1.4 Một số định lý hữu ích hàm điều hòa 43 Thế vị toán tử Laplace tổng quát 43 2.2.1 Thế vị logarit 43 2.2.2 Tập cực 46 2.2.3 Độ đo cân 48 2.3 Phương trình Laplace Pisson tổng quát 49 2.4 Phương trình Poisson 55 Một số tốn ban đầu hàm điều hòa C 60 2.2 3.1 3.2 Bài toán Dirichlet độ đo điều hoà 60 3.1.1 Bài toán Dirichlet 60 3.1.2 Hàm Perron 61 3.1.3 Độ đo điều hòa 65 Dung lượng đường kính siêu hạn 68 Kết luận 75 Tài liệu tham khảo 76 Mở đầu Lý chọn đề tài Giải tích phức ngành cổ điển Toán học bắt nguồn từ khoảng kỉ XIX chí trước Giải tích phức đặc biệt lý thuyết ánh xạ bảo giác có nhiều ứng dụng khí Nó sử dụng lý thuyết số giải tích Ngày giải tích phức nghiên cứu nhiều với ứng dụng động lực phức Fractal Một nhánh quan trọng khác giải tích phức lý thuyết vị đa vị Đây nhánh phát triển mạnh mẽ vòng 30 năm trở lại Nhiều kết quan trọng lý thuyết người ta biết đến từ sớm trước năm 80 kỉ trước, chẳng hạn Định lý Josefson tương đương tính đa cực địa phương đa cực tồn thể tập Cn Trong năm sau đó, số tác giả tiếp tục trình bày hướng nghiên cứu khác lý thuyết giải toán Dirichlet, thiết lập hội tụ yếu dãy độ đo Monge-Ampère tương ứng với hội tụ theo dung lượng, nghiên cứu toán xấp xỉ hàm đa điều hồ Có thể nói, đóng vai đối tượng chủ yếu vấn đề nghiên cứu nói lớp hàm điều hồ, điều hồ nói riêng đa điều hòa nói chung Vì nghiên cứu hàm điều hồ, đa điều hồ để có nhìn ban dầu lớp hàm này, từ tổng hợp lại số kiến thức Hàm biến phức, đồng thời mong muốn tìm hiểu mơn Hàm biến phức ứng dụng đẹp mơn phát triển tốn học nói chung lý thuyết hàm biến phức nói riêng Tại Trường ĐH Tây Bắc, nghiên cứu lớp hàm điều hòa chưa nghiên cứu cách nhiều có tính hệ thống, điều gây khó khăn cho sinh viên tìm tài liệu tham khảo, đặc biệt sinh viên Khoa Toán - Lý - Tin Ta tìm thấy Thư viện Trường Đại học Tây bắc, lý thuyết hàm điều hòa chủ yếu giới thiệu mục nhỏ thơng qua Cơ sở lí thuyết Đa vị[1], Phương trình đạo hàm riêng[2], Hàm biến phức [3], Giải tích phức phần II hàm nhiều biến[4] The complex Monge-Ampere operatro in pluripotential theory, Lecture notes, unpublish [5] Hơn nữa, tài liệu tiếng Việt viết nghiên cứu hàm điều hòa nói chung Để tìm hiểu khơng phải lúc dễ dàng gây nhiều chở ngại cho bạn sinh viên, bạn sinh viên học Toán Lý Như nói việc trình bày chi tiết vấn đề liên quan đến hàm điều hoà, đa điều hoà Cn nói chung C nói riêng giúp cho sinh viên có hiểu biết sâu sắc thêm định hướng, làm quen dần với nội dung kiến thức chuyên sâu cần thiết cho nghiên cứu vấn đề Xuất phát từ lý trên, chọn đề tài: “Nghiên cứu số tính chất lớp hàm điều hòa C” để làm đề tài nghiên cứu cho khóa luận nhằm tìm hiểu hiệu hàm điều hòa C Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu làm sáng tỏ số tính chất hàm điều hồ điều hoà - Nghiên cứu số ứng dụng ban đầu hàm điều hoà - Rèn luyện khả nghiên cứu khoa học thân Đối tượng nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết tính chất hàm điều hòa C Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu, nghiên cứu trình bày khái niệm, tính chất hàm điều hòa C 5 Phương pháp nghiên cứu - Sưu tầm, đọc nghiên cứu tài liệu, phân tích tổng hợp kiến thức - Trao đổi thảo luận với giáo viên hướng dẫn, trình bày seminar với tổ môn, giáo viên hướng dẫn nhóm làm đề tài Từ tổng hợp kiến thức trình bày theo đề cương nghiên cứu, qua thực kế hoạch hồn thành đề tài Tính hướng phát triển đề tài 6.1 Tính mẻ đề tài Đây vấn đề thân giải tích phức Đồng thời vấn đề chưa tiếp cận nhiều bạn sinh viên ĐHSP Toán Nhà trường 6.2 Hướng phát triển đề tài Tiếp tục nghiên cứu sâu hàm điều hòa C nói riêng Cn nói chung Những đóng góp đề tài Đề tài tổng hợp nghiên cứu đầy đủ tính chất hàm điều hòa C Cấu trúc đề tài Với mục đích đề tài chia thành chương với nội dung sau đây: Chương 1: Trình bày số kiến thức hàm biến phức C nhằm trang bị kiến thức để thực nhiệm vụ nghiên cứu nội dung đề tài Chương 2: Nghiên cứu trình bày định nghĩa tính chất hàm điều hòa điều hòa C Chương 3: Nghiên cứu số ứng dụng hàm đa điều hòa điều hòa lý thuyết vị C Chương Kiến thức chuẩn bị Chương chúng tơi trình bày vấn đề hàm chỉnh hình biến, tích phân Cauchy, hàm nửa liên tục hàm điều hòa C 1.1 Hàm khả vi phức Định nghĩa 1.1.1 Cho D tập mở khác rỗng C Hàm f : D → C gọi khả vi phức (C - khả vi) điểm z0 ∈ D tồn giới hạn f (z) − f (z0 ) z → z0 z − z0 Đặt h = z − z0 , f (z0 + h) − f (z0 ) h→0 h f (z0 ) = lim Giới hạn gọi đạo hàm phức hàm f điểm z0 ký hiệu df (z0 ) dz f (z0 ) Ví dụ 1.1.2 a) Xét hàm f (z) = z có đạo hàm f (z) = 2z điểm ∀z ∈ C Thật lấy z ∈ C ta có: f (z + h) − f (z) (z + h)2 − z = lim = 2z h→0 h→0 h h f (z) = lim b) Xét hàm f (z) = z.z, ta thấy f (z0 + h) − f (z0 ) (z0 + h)(z0 + h) − (z0 z ) = h h z0 h + z h + h.h = h h = z0 + z + h h Tại z0 = ta có f (z0 + h) − f (z0 ) = h→0 h lim Giả sử z0 = 0, lim (z + h) = z z0 h→0 h khơng có giới hạn h → nên h hàm f khả vi z0 = c) Xét hàm f (z) = z = x − iy Cho z số gia tương ứng h = h1 + ih2 , f (z + h) − f (z) (z + h) − z h = = h h h Trường hợp : Cho h ∈ R ta có f (z0 + h) − f (z0 ) = h→0 h lim Trường hợp : Cho h = ih2 với h2 ∈ R ta có f (z0 + h) − f (z0 ) = −1 h→0 h lim Do hàm f khơng có đạo hàm điểm z ∈ C 1.2 Điều kiện Cauchy - Riemann Cho hàm f (z) = u(x, y) + iv(x, y) z = x + iy ∈ D với D tập mở khác rỗng C Hàm f gọi R2 - khả vi z hàm u(x, y) v(x, y) khả vi (x, y) theo nghĩa giải tích thực (tồn đạo hàm riêng liên tục) Định lý 1.2.1 Hàm f gọi C - khả vi z = x + iy ∈ D f hàm R2 - khả vi điểm z thỏa mãn điều kiện Cauchy - Riemann (x, y):  ∂v ∂u    (x, y) = (x, y) ∂x ∂y    ∂u (x, y) = − ∂v (x, y) ∂y ∂x f (z + h) − f (z) = h→0 h Chứng minh Giả sử f khả vi phức z Khi ta có: lim f (z) Giới hạn tồn không phụ thuộc vào cách tiến đến h = h1 + ih2 nên chọn h = h1 ta có: u(x + h1 , y) + iv(x + h1 , y) − u(x, y) − iv(x, y) h→0 h v(x + h1 , y) − v(x, y) u(x + h1 , y) − u(x, y) + i lim = lim h→0 h→0 h h f (z) = lim Khi u, v có đạo hàm riêng theo x f (z) = ∂u ∂v (x, y) + i (x, y) ∂x ∂x (1.1) ∂u ∂v (x, y) + i (x, y) ∂y ∂y So sánh hai biểu thức ta điều phải chứng minh Tương tự chọn h = ih2 ta có: f (z) = − Ví dụ 1.2.2 a) Cho hàm f (z) = x4 y + ix3 y với z = x + iy hàm khả vi thực C ∂v ∂u Ta thấy (x, y) = x4 y (x, y) = x3 y ∂x ∂y Theo điều kiện Cauchy - Riemann ta có:    4x3 y = 4x3 y   3x4 y = −3x2 y Điều tương đương với: 3x2 y (x2 + y ) = hay xy = Do điểm mà f khả vi phức điểm nằm trục tọa độ b) Hàm f (z) := ex cos y + iex sin y với z = x + iy Làm tương tự ví dụ ta thấy f (z) thỏa mãn điều kiện Cauchy - Riemann với điểm C nên f khả vi phức C Nhận xét 1.2.3 1) Không phải tất hàm khả vi thực u(x, y) phần thực hàm khả vi phức Điều kiện Cauchy-Riemann đưa điều kiện cần cho hàm u để điều xảy 2) Giả sử f = u + iv hàm R-khả vi z ∈ D ⊂ C ∂f ∂f dx + dy Xét vi phân: df = ∂x ∂y Vì dz = dx + idy dz = dx − idy nên: dx = (dz + dz) dy = (dz − dz) 2i Thay vào đẳng thức vi phân ta được: ∂f ∂f df = dz −i ∂x ∂y ∂f ∂f + dz +i ∂x ∂y Ta định nghĩa vi phân phức: ∂f ∂f ∂f = −i ∂z ∂x ∂y ∂f ∂f ∂f = +i ∂z ∂x ∂y (1.2) df = ∂f ∂f dz + dz ∂z ∂z Bởi ∂f ∂f ∂f = +i ∂z ∂x ∂y = ∂u ∂v −i ∂x ∂y +i ∂v ∂v −i ∂x ∂y nên f = u + iv thỏa mãn điều kiện Cauchy - Riemann z ∂f (z) = ∂z Hay nói cách khác hàm R2 -khả vi z hàm C-khả vi ∂f (z) = ∂z 3) Từ điều kiện Cauchy-Riemann biểu thức (1.2), f C-khả vi z 10 ... trên, chọn đề tài: Nghiên c u số tính chất lớp hàm điều hòa C để làm đề tài nghiên c u cho khóa luận nhằm tìm hiểu hiệu hàm điều hòa C M c đích nghiên c u - Nghiên c u làm sáng tỏ số tính chất hàm. .. hàm điều hồ điều hồ - Nghiên c u số ứng dụng ban đầu hàm điều hoà - Rèn luyện khả nghiên c u khoa h c thân Đối tượng nghiên c u Nghiên c u lý thuyết tính chất hàm điều hòa C Nhiệm vụ nghiên c u. .. Tiếp t c nghiên c u sâu hàm điều hòa C nói riêng Cn nói chung Những đóng góp đề tài Đề tài tổng hợp nghiên c u đầy đủ tính chất hàm điều hòa C Cấu tr c đề tài Với m c đích đề tài chia thành chương
- Xem thêm -

Xem thêm: Nghiên cứu một số tính chất của lớp hàm điều hòa dưới trên c , Nghiên cứu một số tính chất của lớp hàm điều hòa dưới trên c

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn

Nhận lời giải ngay chưa đến 10 phút Đăng bài tập ngay