Bµi tËp «n tËp tæng hîp ***** Bài 1. Tìm m để đồ thị hàm số: 2 x 4mx 5 y mx 2 + + = − a) Không có tiệm cận. b) Có tiệm cận xiên. ĐS: a) m = 0, b) m ≠ 0 Bài 2. Tìm a đề đồ thị hàm số: y = 2 x x a x a − + + + có tiệm cận xiên đi qua A(2; 0). ĐS: a = 1 Bài 3. Cho họ đồ thị (C m ): y = mx 1 x 1 2 x + − − . Tìm m để tiệm cận xiên của (C m ) tạo với hai trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 8. ĐS: m = 3 v m = -5 Bài 4. Cho hàm số: 2 x 3x 1 y x 2 + − = − . Chứng minh tích các khoảng cách từ một điểm thuộc đồ thị hàm số đến các tiệm cận của nó luôn không đổi. ĐS: d = 9 2 = const Bài 5. Cho hàm số: 2 ax (2a 1)x a 3 y x 2 + + + + = + (a ≠ 1, a ≠ 0). CMR: tiệm cận xiên của đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định. ĐS: Điểm cố định M(0; 1) Bài 6. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy là a. Gọi M, N là trung điểm SB, SC. Tính theo a diện tích ∆AMN, biết (AMN) vuông góc với (SBC). ĐS: S = 2 a 10 16 Bài 7. Cho lăng trụ ABC.A'B'C' các các mặt bên đều là hình vuông cạnh a. Gọi D, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, C'B'. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A'B và B'C'. ĐS: d = a 21 7 Bài 8. Cho hình chóp SABC có độ dài các cạnh đều bằng 1, O là trọng tâm của tam giác ∆ABC. I là trung điểm của SO. a) Mặt phẳng (BIC) cắt SA tại M. Tìm tỉ lệ thể tích của tứ diện SBCM và tứ diện SABC. b) H là chân đường vuông góc hạ từ I xuống cạnh SB. Chứng minh rằng IH qua trọng tâm G của ∆SAC. ĐS: (SBCM) SABC V 1 V( ) 4 = Bài 9. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC biết: A(-1; 2), B(2; 0), C(-3; 1). a) Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. b) Tìm M trên BC sao cho diện tích tam giác ABC bằng 1/3 diện tích tam giác ABC. ĐS: a) I(-11/14; -13/14), b) M(11/3; -1/3) Bài 10. Trong không gian Oxyz cho A(1; 2; -1), đường thẳng (D): x 2 y z 2 1 3 2 − + = = và mặt phẳng (P): 2x + y – z + 1 = 0. a) Tìm điểm B đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (P). b) Viết phương trình đường thẳng đi qua A, cắt đường thẳng (D) và song song với mặt phẳng (P). ĐS: a) B(-3; 0; 1), b) x 1 y 2 z 1 2 9 5 − − + = = − − Bài 11. Tính các tích phân sau: a) I = 1 3 2 0 x 1 x dx− ∫ b) I = 2 3 0 5cos x 4sinx dx (cosx+sinx) π − ∫ c) 2 1 x dx 1+ x-1 ∫ ĐS: a) I = 2/15, b) I = 1/2, c) I = 11/3 - 4ln2 Bài 12. Giải các hệ phương trình sau: a) 3 3 x y 8 x y 2xy 2  + =  + + =  b) 2 2 3 2x y x 3 2x y y  + =     + =   c) 3 3 x 1 2y y 1 2x  + =   + =   ĐS: a) (0; 2) v (2; 0) b) x = y = 1 c) (1; 1), ( 1 5 1 5 ; 2 2 − + − + ), ( 1 5 1 5 ; 2 2 − − − − ) Bài 13. Giải các phương trình sau: a) log 2 x + 2log 7 x = 2 + log 2 x. log 7 x b) 3 x + 5 x = 6x + 2 c) log 4 ( 2 x x 1− − ).log 5 ( 2 x x 1+ − ) = log 20 ( 2 x x 1− − ) ĐS: a) x = 7; x = 4 b) x = 0; x = 1 c) x = 1 v x = 1/2(a+1/a) trong đó a = 20 log 4 5 Bài 14. Giải các phương trình sau: a) 2sin2x – cos2x = 7sinx + 2cosx – 4 b) sin3x = cosx.cos2x.(tan 2 x + tan2x) c) tanx + 2cot2x = sin2x d) cos3xcos 3 x – sin3xsin 3 x = cos 3 4x + 1 4 ĐS: a) x k2 6 5 x k2 6 π  = + π   π  = + π   b) x = k π c) x = k 4 2 π π + d) k x 8 4 k x 24 4 π π  = +   π π  = ± +  