http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word §3 MỘT SỐ CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC A TĨM TẮT LÝ THUYẾT Cơng thức cộng: sin( a + b) = sin( a - b) = cos( a + b) = cos( a - b) = sin a.cos b + sin b.cos a sin a.cos b - sin b.cos a cos a.cos b - sin a.sin b cos a.cos b + sin a.sin b tan a + tan b tan( a + b) = - tan a.tan b tan a - tan b tan( a - b) = + tan a.tan b Công thức nhân đôi, hạ bậc: a) Công thức nhân đôi sin2a = 2sin a cos a cos 2a = cos2 a - sin2 a = 2cos2 a - = 1- 2sin2 a tan 2a = tan a 1- tan a b) Công thức hạ bậc - cos 2a + cos 2a cos a = - cos 2a tan a = + cos 2a Cơng thức biến đổi tích thành tổng cos a cos b = éëcos( a + b) + cos( a - b)ù û sin a sin b = - éëcos( a + b) - cos( a - b)ù û sin a cos b = éësin( a + b) + sin( a - b)ù û sin a = http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word Công thức biển đổi tổng thành tích cos a + cos b = cos a+ b a- b cos 2 tan a + tan b = a+ b a- b sin 2 a+ b a- b sin a + sin b = sin cos 2 a+ b a- b sin a - sin b = cos sin 2 cos a - cos b = - sin sin( a + b) cos a.cos b tan a - tan b = sin( a - b) cos a.cos b cot a + cot b = sin(a + b) sin a.sin b cot a - cot b = sin(b - a) sin a.sin b B CÁC DẠNG TỐN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI  DẠNG TỐN 1: TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC, BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC Phương pháp giải Sử dụng công thức lượng giác cách linh hoạt để biến đổi biểu thức lượng giác nhằm triệt tiêu giá trị lượng giác góc khơng đặc biệt đưa giá trị lượng giác đặc biệt Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: a)Tính giá trị lượng giác sau: cos7950 A 6- B 6+ C D D 5- b)Tính giá trị lượng giác sau: sin180 A 5- B 5- 2 c)Tính giá trị lượng giác sau: tan C 5- 7p 12 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word A - - B - + d)Tính giá trị lượng giác sau: cot A - B - C - D - - C - D - 2 5p Lời giải: a)Vì 7950 = 750 + 2.3600 = 300 + 450 + 2.3600 nên cos7950 = cos750 = cos 300 cos 450 - sin 300 sin 450 = 2 - = 2 2 6- b)Vì 540 + 360 = 900 nên sin 540 = cos 360 Mà cos 360 = cos (2.180 ) = - sin 180 sin 540 = sin (180 + 360 ) = sin180 cos 360 + sin 360 cos18 = sin180.(1 - sin 180 )+ sin180 cos2 180 = sin180.(1 - sin 180 )+ sin180 (1- sin2 180 ) = 3sin180 - 4sin3 180 Do 3sin180 - sin 180 = - sin2 180 Û (sin180 - 1)(4 sin2 180 + sin180 - 1) = Û sin180 = sin180 = 5- sin180 = Vì < sin180 < nên sin180 = 5+ 5- p p ỉp p ÷ tan + tan 7p 3+ c) tan = tan ỗỗ + ữ = = = - 2ữ ỗố ứ p p 1- 12 - tan tan 3 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word d) cot ỉp p 5p p = cot ỗỗ + ữ = - tan ữ ữ ỗ 8 è2 ø ỉ pư p Ta lại cú = tan = tan ỗỗ2 ữ ữ ữ= çè ø 1- tan2 Û tan tan p = - 1+ p p > nên tan = - + 8 Vậy cot p p - tan suy p p p p = tan Û tan + tan - = 8 8 p = - 18 Do tan tan 5p = 18 2 Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức lượng giác sau: a) A = sin 220 30'cos 2020 30' A - b) B = sin A B - D- 3+ D C - p p + cos 16 6+ B 5+ C 6- p 2p sin - sin 15 c) C = p 2p cos - cos 15 A - B C - 3 D - http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word p 5p 7p d) D = sin - sin + sin 9 A.0 B C - 3 D - Lời giải: a) Cách 1: Ta có cos 2020 30' = cos (1800 + 220 30') = - cos 220 30' Do A = - sin 220 30'cos 220 30' = - Cách 2: A = = sin 450 = 1é sin (220 30'+ 2020 30')+ sin (220 30'- 2020 30')ù = éêsin 2250 + sin (- 1800 )ù ê ú ú û 2ë û 2ë 1é sin (1800 + 450 )- sin1800 ù = - sin 450 = ê ú ë û 2 2 ỉ ỉ p ứ p é p ữ ỗ ỳ + cos p b) B = ỗ2 sin + cos = ờ1 - cos çç2 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ çè 16 ø ờở ốỗ 16 ứỳ ỷ = - cos p p p + cos + cos = + 8 p 1+ = 1+ = 6+ 2 + cos ỉp 2p 1ỉ p 2p ÷ ççp cos çç + sin ÷ - sin ÷ ç è 15 ø èç 5 15 = c) C = p 2p æp 2p ỉp ÷ cos - cos - sin çç + sin çç ÷ ÷ 15 çè 15 ứ ốỗ sin 2p ửữ p ÷ cos ÷ 15 ø = - cot p = =p 2p ư÷ sin ÷ ÷ 15 ø ỉ p 7p 5p 4p p 5p 4p 5p - sin = sin cos - sin = sin - sin =0 d) D = ỗỗsin + sin ữ ữ ữ ỗố 9ứ 9 9 Ví dụ 3: Tính giá trị biểu thức lượng giác sau: http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word a) A = + cos 2900 A sin 2500 3 B 3 C D 3 b) B = (1 + tan 200 )(1 + tan 250 ) A.2 B.1 C.3 D.5 C.3 D.5 D.5 c) C = tan90 - tan 270 - tan630 + tan810 A.2 d) D = sin B.4 p 2p p 2p + sin + sin sin 9 9 A.2 B C Lời giải: a) Ta có cos 2900 = cos (1800 + 900 + 200 ) = - cos (900 + 200 ) = sin 200 sin 2500 = sin (1800 + 900 - 200 ) = - sin (900 - 200 ) = - cos 200 C= sin 200 = cos 200 = sin 200 - sin 200 sin 200.cos 200 sin 600 cos 200 - cos 600 sin 200 sin 400 = cos 200 - sin 200 = 3.2.sin 20 cos 20 sin 400 sin 400 = 3 0ư ỉ sin 200 öæ sin 200 + cos 200 sin 250 + cos 250 ữ ỗỗ1 + sin 25 ữ ữ ữ b) Cỏch 1: Ta cú B = ỗỗỗ1 + = ữ ữ ữỗỗ cos 250 ứ ữ ỗố cos 200 øè cos 200 cos 250 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word = sin 200 cos 450 + cos 200 sin 450 sin 250 cos 450 + cos 250 sin 450 cos 200 cos 250 = sin 650 sin 700 = cos 200 cos 250 Cách 2: Ta có tan 450 = tan (200 + 500 ) = Suy = tan 200 + tan 250 - tan 200 tan 250 tan 200 + tan 250 Û tan 200 + tan 250 + tan 200 tan 250 = 0 - tan 20 tan 25 Û (1 + tan 200 )(1 + tan 250 ) = Vậy B = c) C = tan 90 + tan 810 - (tan 27 + tan 630 ) = sin 90 cos 810 + sin 810 cos 90 sin 27 cos 630 + sin 630 cos 27 cos 90 cos 810 cos 27 cos 630 (sin 540 - sin180 ) 1 2 = = = cos 90 sin 90 cos 27 sin 27 sin180 sin 54 sin18 sin 54 = cos 360.sin180 = sin180.sin 540 p 2p p 2p æ p 2p p 2p + sin sin = ỗỗsin + sin ÷ - sin sin d) D = sin + sin ữ ữ ỗ 9 9 ố 9ø 9 2 ỉ p p 1ỉ p pử p ổ1 pử = ỗỗ2 sin cos ữ + ỗỗcos - cos ữ = cos + çç - cos ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ çè 18 ø èç 9ø 18 ốỗ 9ứ p + cos + 1ổ ỗỗ - cos p ữ = = ữ ữ 2 ỗố 9ứ http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word Lưu ý: Biến đổi sau thường xuyên sử dụng é1 ù p cos x = êê sin x ± cos xú = sin( x ± ) ú êë2 ú û é ù p ê • sin x ± cos x = ê sin x ± cos xú = sin( x ± ) ú êë ú û é1 ù p • sin x ± cos x = ê sin x ± cos xú= sin( x ± ) ê ú ë û Ví dụ 4: Tính giá trị biểu thức lượng giác sau: • sin x ± a) A = sin A p p p p cos cos cos 32 32 16 16 B 16 12 16 C D 16 b) B = sin10o.sin 30o.sin 50o.sin70o A 16 B C D.5 B C D.5 C D.5 p 3p c) C = cos + cos 5 A.2 d) D = cos2 A.2 p 2p 3p + cos2 + cos2 7 B Lời giải: http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word a) A= 1ỉ p p p p p p p p ỗỗ2 sin p cos p ữ cos cos = sin cos cos = sin cos = sin = ÷ ữ ỗố 32 32 ứ 16 16 16 8 8 16 cos 200 cos 400 cos 80o b) Ta có B = 16sin 200.B = 8sin 200 cos 200 cos 400 cos80o = sin 400 cos 400 cos 80 o = sin 800 cos 800 = sin160 sin1600 Suy B = = 16 16 sin 20 p p 2p c) Ta có C = cos cos Vì sin ¹ nên 5 p p p 2p 2p 2p 4p sin C = sin cos cos = sin cos = sin 5 5 5 Suy C = c) D = 2p 4p 6p + cos + cos ö + + = + 1æ ççcos 2p + cos 4p + cos 6p ÷ ÷ 2 2 ỗố 7 ữ ø Xét T = cos 2p 4p 6p p , sin ¹ nên + cos + cos 7 7 + cos http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word a) cos A + cos B + cos C £ b) sin A + sin B + sin C £ 3 c) tan A tan B tan C ³ 3 với ABC tam giác nhọn Lời giải: a) Ta có cos A + cos B + cos C = cos Vì A+ B A- B cos + cos C 2 A+ B p C A+ B C nên cos = = sin 2 2 C Mặt khác cos C = - sin cos A + cos B + cos C = sin æ C A- B C C C A - B 1ö cos + - sin = - ỗỗsin - sin cos - ữ ữ ữ ỗố 2 2 2 2ø ỉ C C A- B A - B÷ A- B = - ỗỗsin - sin cos + cos + + cos ÷ ÷ çè 2 2 ø 2 ỉ C A - B÷ A- B = - ỗỗsin + cos + + cos2 ữ ữ ỗố 2 ứ 2 Vì cos A- B A- B £ Þ cos £ nên 2 cos A + cos B + cos C £ + = Þ ĐPCM 2 b) Trước tiên ta chứng minh bổ đề sau: 55 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word Nếu £ x £ p , £ y £ p Thật vậy, £ sin x + sin y x+ y £ sin 2 x+ y x+ y x- y £ p Þ sin > cos £ nên 2 sin x + sin y x+ y x- y x+ y = sin cos £ sin 2 2 Áp dụng bổ đề ta có: sin A + sin B A+ B , £ sin 2 sin C + sin p p C+ £ sin Suy sin A + sin B + sin C + sin ổ p p pử ỗỗ C+ C+ ữ ữ p £ sin A + B + sin £ sin ỗỗ A + B + 3ữ ữ ữ = sin ỗỗ ữ 2 2ỗ 2 ữ ữ ữ ỗỗố ữ ứ Do ú sin A + sin B + sin C £ 3sin 3 p hay sin A + sin B + sin C £ ĐPCM 3 c) Vì ABC tam giác nhọn nên tan A > 0, tan B > 0, tan C > Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có tan A + tan B + tan C ³ 3 tan A.tan B.tan C Theo ví dụ ta có tan A + tan B + tan C = tan A.tan B.tan C nên tan A tan B tan C ³ 3 tan A.tan B.tan C Û Û (tan A tan B tan C) ỉ tan A.tan B.tan C ỗỗ (tan A tan B tan C ) - 3ữ ữ ữ ỗố ứ Û tan A tan B tan C ³ 3 ĐPCM Ví dụ 4: Chứng minh tam giác ABC ta có: a) sin A + sin B + sin C £ cos A B C + cos + cos 2 56 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word b) cos A cos B cos C £ sin A B C sin sin 2 c) tan A + tan B + tan C ³ cot A B C + cot + cot Với tam giác ABC không vuông 2 Lời giải: a) Vì sin A+ B A- B C = cos > cos £ nên 2 sin A + sin B = sin A+ B A- B C cos £ cos 2 Hồn tồn tương tự ta có sin B + sin C £ cos A B , sin C + sin A £ cos 2 Công vế với vế bất đẳng thức rút gọn ta sin A + sin B + sin C £ cos A B C + cos + cos ĐPCM 2 b) +TH1: Nếu tam giác ABC tù: khơng tính tổng qt giả sử A > p p p Þ B < ,C < 2 suy cos A < 0, cos B > 0, cos C > cos A cos B cos C < Mà sin A B C sin sin > bất đẳng thức 2 + TH2: Nếu tam giác ABC nhọn: cos A cos B = 1é cos (A + B)+ cos (A - B)ù ú û êë Vì cos (A + B) = - cos C cos (A - B) £ nên cos A cos B £ Chứng minh tương tự ta có cos B cos C £ sin C (1- cos C)= sin2 2 A B , cos C cos A £ sin 2 57 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word Do vế không âm nên nhân vế với vế bất đẳng thức ta (cos A cos B)(cos B cos C)(cos C cos A)£ Û cos A cos B cos C £ sin c) Ta có tan A + tan B = sin C A B sin sin 2 2 A B C sin sin ĐPCM 2 sin (A + B) cos A cos B = sin (A + B) cos (A + B)+ cos (A - B) Mà sin (A + B) = sin C , cos (A + B) = - cos C nên sin C sin C tan A + tan B = ³ = - cos C + cos (A - B) - cos C Tương tự ta có tan B + tan C ³ cot C C cos 2 = cot C C 2 sin 2 sin A B , tan C + tan A ³ cot 2 Công vế với vế rút gọn ta tan A + tan B + tan C ³ cot A B C + cot + cot ĐPCM 2 Nhận xét: + Để chứng minh x + y + z ³ a + b + c ta chứng minh x + y ³ 2a (hoặc 2b, 2c ) xây dựng bất đẳng thức tương tự Cộng vế với vế suy đpcm + Để chứng minh xyz ³ abc với x, y , z , a, b, c không âm ta chứng minh xy ³ a2 (hoặc b2 , c ) xây dựng bất đẳng thức tương tự nhân vế với vế suy đpcm Ví dụ 5: Chứng minh tam giác ABC ta có: 58 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word a) sin A + sin B + sin C £ 3 ỉ ỉ ưỉ ữ ỗỗ1 + ữ ỗỗ1 + ữ b) ỗỗ1 + ữ ữ ữ ữ çè sin B ÷ ÷³ çè sin A ø ø çè sin C ø ỉ çç1 + ữ ữ ữ ỗố ứ 3ữ Li gii: a) p dụng bất đẳng thức x + y £ sin A + sin B £ Tương tự ta có (x + y ) với x, y không âm ta có (sin A + sin B) = sin C + sin 2.2 sin A+ B A- B A+ B cos £ sin 2 p 1ổ pử Ê sin ỗỗC + ữ ữ ỗố 3ữ ứ Cụng v vi v ta c sin A + sin B + sin C + Mà sin Suy Hay A+ B + sin A + ổ ữ p A+ B 1ổ pử ỗỗ ữ ữ ỗ sin Ê ỗ sin + sin çC + ÷ ÷÷ ÷ ççè 2 çè ø÷ ø éA + B ỉ ứ ỉ 1ổ pử p ỗỗC + p ữ ỳ= sin ỗỗp + p ữ sin ỗỗC + ữ £ sin + = sin ÷ ÷ ÷ ữ ữ ữ 2 ỗố 3ứ ốỗ ứỳ ốỗ ứ ỷ sin B + sin C + sin sin A + sin B + sin C £ sin p p £ sin 3 p = 3 ĐPCM ỉ ỉ ư 1 ÷ çç1 + ÷ b) Ta có çç1 + ữ ữ ữ ỗố sin B ứ ữ= + sin A + sin B + sin A sin B ỗố sin A ứ 59 http://dethithpt.com Website chuyờn thi, tài liệu file word Áp dụng bất đẳng thức 1 với x, y dương ta có + ³ x y x+ y 1 4 + ³ = = sin A sin B sin A + sin B sin A sin B ỉ ỉ ư ÷ ÷ Do çç1 + çç1 + ÷ ÷ ÷ ÷³ + çè sin A ø èç sin B ø sin A sin B + = sin A sin B sin A sin B ổ ỗỗ1 + ỗố ö ÷ ÷ ÷ ø sin A sin B ÷ Mặt khác 1é cos (A + B)- cos (A - B)ù = éêcos (A + B)+ cos (A - B)ù ê ú ú û 2ë û 2ë cos (A + B)+ A+ B ³ = sin 2 sin A sin B = - æ ổ ử ữ ỗỗ1 + ữ Nờn ỗỗ1 + ữ ữ ỗố sin B ứữ ữ çè sin A ø ỉ ÷ çç ÷ ÷ ỗỗ ữ ữ + (1) ỗỗ ữ A + B ữ ỗỗ sin ữ ữ ỗố ứ ữ ổ ổ ữ ỗỗ ữ ữ çç ÷ çç ỉ ÷ ÷ ư÷ çç ữ ữ ữ ỗ ữ + + Tng t ta cú ỗỗ1 + (2) ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ữ ỗố sin C ứ ç ỉ ÷ p ç ÷ p çç sin ữ ữữ ỗ ỗ ữ ữ ỗỗ sin ççèC + ÷÷ çè ÷÷ ÷ 3ø ø÷ è ø Nhân vế với vế (1) (2) ta c 2 ổ ổ ửổ ữ ỗỗ ữ ữ ữ ỗỗ ỗ ữ ữ ữ ỗỗ ổ ửổ ửổ ửỗ ữ ỗỗ ữ ữ 1 ữ ữ ỗỗ1 + ữ ỗỗ1 + ữ ỗỗ1 + ữ ỗỗ1 + ữ ỗ ỗ ữ ÷ ³ + + ÷ ữ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ ữ ữ ỗố sin A ứ ỗố sin B ứ ốỗ sin C ứ ỗ ổ ỗ ữ p A + B ữ ỗ ữ p ỗỗ sin ữ ç ÷ ÷÷ ç ç sin sin C + ÷ ữ ữữ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗố ữữ 3ứ ố ứ ỗố ỗố 3ữ ứữ ứ 60 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word 2 ỉ ỉ ỉ ÷ ửữ ổ ỗỗ ữ ỗỗ ữ ữ ữ ỗ çç ÷ ÷ ÷ çç çç çç ÷ ÷ ÷ ữ 1 1 ữ ỗ ữ ữ ữ ữ ỗỗ1 + ỗ ữ ỗ ữ ữ + = + Ta li cú ỗỗ1 + ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ữ ỗ ữ ổ ộ ự ỗ ỗỗ ổ ữ A + B ữỗ p ữ p A + B p ữ ỗ ỗ ữ ữ ữữ ỗ ỗ ữ ç ÷ sin ê ú sin çç sin ÷ ÷ ççè + çC + ÷ ççè çç sin ççC + ÷÷ ÷ ÷ ÷ ÷÷ ÷ ø ø ÷ ÷ çè 2è øø ÷ êë 2 ốỗ ứỳữ ố ỷứ ổ ổ ữ ữ ỗỗ ỗỗ ữ ổ ổ ữ ư÷ ỉ ÷ ÷ çç çç ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ÷ ữ ỗ1 + ỗ1 + ỗ1 + ỗ1 + Suy ỗ1 + ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ ỗố sin A ứ ốỗ sin B ứ ốỗ sin C ứ ỗ ỗ ữ ữ p p çç sin ÷ ç ÷ sin ÷ ÷ ç ÷ ữ ỗố ỗ 3ứ ố 3ứ ổ ổ ửổ ử ữ ỗỗ1 + ữ ỗỗ1 + ữ Hay ỗỗ1 + ữ ữ ữ çè sin B ø÷ çè sin C ø÷ ÷³ çè sin A ứ ổ ữ ỗỗ ổ ữ ữ ỗỗ ữ ữ ữ ữ = çç1 + ĐPCM çç1 + ÷ ÷ çè ÷ ÷ p ứ ỗỗ sin ữ ữ ỗố ứ 3ữ Nhận xét: Cho tam giác ABC hàm số f ỉp • Để chứng minh f (A)+ f (B)+ f (C ) f ỗỗ ữ ữ ữ Ta i chng minh ỗố ứ ổA + B ữ f (A)+ f (B) f ỗỗ ữ ữ ỗố ứ ổp ú f (C )+ f ỗỗ ữ ữ ữ ỗố ứ ổ ỗỗC + p ữ ữ ỗ 3ữ ữ ữ t ú suy f ỗỗ ỗỗ ữ ữ ữ ữ ỗỗố ữ ứ ổp f (A)+ f (B)+ f (C )+ f ỗỗ ữ ữ ữ ỗố ứ ộ ổ ửự ỗỗC + p ÷ ê ú ÷ ỉp ÷ A + Bư ổ ỳ ỗỗ ữ ữ ỗ ỗỗ ữ ữ ờf ỗ + f f ữ ữ ỳ ỗ ữ ữ ỗ3ứ ỗỗ ữ ữ ố ốỗ ứ ỳ ữ ữ ỗỗố ú ÷ øú êë û ỉp Do f (A)+ f (B)+ f (C ) f ỗỗ ữ ữ ữ ỗố ứ ổp ổA + B ữ chng minh f (A) f (B) f (C ) f ỗỗ ữ Ta chứng minh f (A) f (B) ³ f ỗỗ ữ ữ ữ ữ ỗố ứ ỗố ø 61 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word mi nht ổ ỗỗC + p ữ ữ ổp ỗ 3ữ ữ ữ t ú suy f ỗỗ ú f (C ) f ỗỗ ữ ữ ữ ỗố ứ ỗỗ ữ ữ ữ ữ ỗỗố ữ ứ ổ ỗỗC + p ÷ ÷ ỉp ỉA + B ÷ 2ỗ ổp 3ữ ữ ữ f (A) f (B) f (C ) f ỗỗ ữ f çç f çç ³ f çç ÷ ÷ ÷ ữ ữ ữ ữ ỗố ứ ỗố ứ ç ÷ çè ÷ ø çç ÷ ÷ ữ ỗố ứ ổp Do ú f (A) f (B) f (C ) f ỗỗ ữ ữ çè ÷ ø Ví dụ 6: Cho tam giác ABC thỏa mãn cos A B- C cos( B - C ) + cos A cos = 2 Chứng minh cos 2B + cos 2C £ Lời giải: Từ giả thiết ta có cos çç2 cos B - C çè Û cos ử B- C ổ ỗỗ2 cos A - 1÷ 1÷ + cos ÷ ÷ ÷ ÷= ốỗ ứ ứ A B- C ổ ỗỗcos B - C + cos A ữ cos ữ ữ2 ỗố 2ứ ổ A ửổ B- C ữ ỗỗ2 cos A cos B - C ççcos + cos ÷ ÷ çè 2 øèç 2 ổ A ỗỗcos + cos B - C ữ ữ ữ= 2 ứ ốỗ 1ữ ÷ ÷= (1) ø A p A p B- C p B- C < Þ cos > , - < < Þ cos > 2 2 2 B+ C p A A B+ C nên = Þ cos = sin 2 2 A B- C B+ C B- C (1) Û cos cos - = Û sin cos = Û sin B + sin C = 2 2 Vì < 62 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word 2 Áp dụng bất đẳng thức x + y ³ 2 (x + y) suy sin B + sin C ³ 2 (sin B + sin C) = Do cos y + cos z = - (sin y + sin z)£ - = ĐPCM Ví dụ 7: Chứng minh tam giác ABC ta ln có sin A B B C C A 3 cos + sin cos + sin cos £ 2 2 2 Lời giải: Do A, B, C bình đẳng nên khơng tính tổng qt giả sử A³ B³ C Þ Suy sin p A B C > ³ ³ >0 2 2 A B C A B C ³ sin ³ sin > 0,cos ³ cos ³ cos > 2 2 2 ổ A B ửổ ỗỗcos B - cos C ữ ị ỗỗsin - sin ữ ữ ữ ữ ỗố 2ữ 2ứ ứốỗ sin A B A C B B B C cos - sin cos - sin cos + sin cos ³ 2 2 2 2 Û sin A B B C A C B B cos + sin cos £ sin cos + sin cos 2 2 2 2 Do sin A B B C C A A C C A B B cos + sin cos + sin cos £ sin cos + sin cos + sin cos 2 2 2 2 2 2 Mà sin ỉA C A C C A B B B B B B B cos + sin cos + sin cos = sin ỗỗ + ữ + sin cos = cos + sin cos ữ ữ ỗ 2 2 2 2 2 è2 2ø (1) 63 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có: cos2 B 3 B + ³ cos = 4 3sin cos B , B B B B B B + cos ³ 3sin cos = sin cos 2 2 2 ổ B 3ử ổ B B B ỗỗ3sin B + cos B ÷ + ³ cos + sin cos Suy ỗỗcos + ữ ữ ữ ữ ữ ỗố ứ ốỗ 2ứ 2 ổ B ổ 2B B Bử ỗỗsin + cos B ữ Ê + Hay ỗỗcos + sin cos ữ ữ ữ ữ ữ= ỗố 2 2ứ 2ứ ốỗ ị cos B B B 3 (2) + sin cos £ 2 Từ (1) (2) ta có sin A B B C C A 3 ĐPCM cos + sin cos + sin cos £ 2 2 2 Bài tập luyện tập Bài 6.58: Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: a) sin C = sin A.cos B + sin B.cos A b) sin C = tan A + tan B ( A, B ¹ 900 ) cos A.cos B c) cot B + cos C cos B = cot C + ( A ¹ 90o ) sin B.cos A sin C.cos A d) cos A B C A B C A B C A B C cos cos = sin sin cos + sin cos sin + cos sin sin 2 2 2 2 2 2 e) sin A B C A B C + sin + sin = + sin sin sin 2 2 2 Lời giải: 64 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word ỉA B C d) Khai triển cos ççç + + ÷ ÷ è2 2÷ ø Bài 6.58: c) VT = VP = tanA æA B C e) Khai trin sin ỗỗỗ + + ữ ữ è2 2÷ ø ỉB C A B C A B C = sin Chỳ ý: T cos ỗỗỗ + ÷  cos cos = sin + sin sin ÷ ÷ è2 ø 2 2 2  sin A B C A A B C cos cos = sin + sin sin sin 2 2 2 Bài 6.59: Cho tam giác ABC Chứng minh: a) tan A + tan B + tan C ³ 3, " D ABC nhọn b) tan2 A + tan2 B + tan2 C ³ 9, " D ABC nhọn c) tan6 A + tan6 B + tan6 C ³ 81, " D ABC nhọn d) tan e) tan A B C + tan + tan ³ 2 A B C + tan + tan ³ 2 Lời giải: Bài 6.59: a, b, c) Sử dụng tan A + tan B + tan C = tan A.tan B.tan C BĐT Cô–si d) Sử dụng a2 + b2 + c ³ ab + bc + ca tan A B B C C A tan + tan tan + tan tan = 2 2 2 ỉ A B Cư e) Khai trin ỗỗỗtan + tan + tan ữ ữ sử dụng câu c) è ø 2 2÷ Bài 6.70: Chứng minh tam giác ABC ta có + cos A cos B cos C ³ sin A sin B sin C 65 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word Lời giải: Bài 6.70: Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức cơsi ta có: (sin A + sin B + sin C)(sin A + sin B + sin C) ³ 3 sin A sin B sin C 3 sin A sin B sin C hay (sin A + sin B + sin C )(sin A + sin B + sin C ) ³ sin A sin B sin C Mặt khác: sin A + sin B + sin C £ (sin A + sin B + sin C) 3 nên 3 ³ sin A sin B sin C Mà theo ví dụ sin A + sin B + sin C = 2(1 + cos A cos B cos C ) 2(1 + cos A cos B cos C) 3 ³ sin A sin B sin C Do + cos A cos B cos C ³ sin A sin B sin C ĐPCM Cách 2: Theo ví dụ ta có sin2 A + sin2B + sin2C = 4sin A sin B sin C cos A + cos B + cos 2C = - (sin A + sin B + sin C ) = - 4(1 + cos A cos B cos C ) = - - cos A cos B cos C Do bất đẳng thức tương đương với - 1- (cos A + cos 2B + cos 2C) ³ Û ( 3(sin A + sin 2B + sin 2C) 3 3 sin A + cos A) + ( sin B + cos B) + ( sin 2C + cos 2C) £ 2 2 2 Û cos(2 A - p p p (*) ) + cos(2B - ) + cos(2C - ) £ 3 ỉ pư ỉ pử ổ pử + ỗỗ2 B - ữ + ỗỗ2C - ữ Ta cú ỗỗ2 A - ữ ữ ữ ÷ ÷ ÷ ÷= (A + B + C )- p = p nờn ỗố ứ ốỗ ứ ốỗ 3ứ 66 http://dethithpt.com Website chuyờn thi, ti liệu file word ỉ ỉ ỉ ỗỗ2 A - p ữ ỗỗ2 B - p ữ ỗỗ2C - p ữ , , ữ ữ ữ ữ ỗố ữ ỗố ữ l ba gúc ca mt tam giỏc ú bt ng thc (*) ỳng ỗố 3ø 3ø 3ø theo ví dụ Þ ĐPCM Cách 3: Bất đẳng thức (*) tương đương với 1+ - (cos A + cos B + cos C ) (1 - cos A)(1 - cos B)(1 - cos C) ³ (**) áp dụng bất đẳng thức cơsi ta có: - (cos A + cos B + cos C ) VT(**) ³ đặt t = cos2 A + cos2 B + cos2 C dễ thấy ³ t ³ 3- t VT(**) ³ ta có - t ³ 0, æ3 - (cos A + cos B + cos C ) ữ ữ ỗỗỗ ữ ữ ỗố ứ ổ3 - t ổ1 ữ ỗỗ = (3 - t ) ỗỗ 3ữ ữ ỗố ứ ốỗ 3 tữ từ điều kiện ³ t ³ ÷ ÷ ø 1 1 3- t ³ - = Þ ĐPCM 3 Cách 4: Đặt x = tan A B C , y = tan , z = tan 2 ìï xy + yz + zx = Bài tốn trở thành : cho ïí chứng minh: ïïỵ x, y , z > - x2 1- y - z 1+ ³ + x2 + y + z 2y 2x 2z 2 + x + y + z2 (***) Ta có : (4) Û (1 + x2 )(1 + y )(1 + z ) + (1- x2 )(1- y )(1- z ) ³ 3xyz Khai triển rút gọn ta có: (***) Û x2 y + y z + z x2 + ³ 3xyz 67 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki cơsi ta có x2 y + y z + z x2 ³ 1 ( xy + yz + zx)2 = 3 xyz = xy.yz.zx £ æxy + yz + zx ữ = ỗỗ ữ ữ ỗố ữ ứ Nên x y + y z + z x + ³ + 27 1 = ³ 3xyz 27 Þ ĐPCM Bài 6.71: Cho D ABC Chứng minh sin A + 3sin B + sin C £ 5cos A B C + 3cos + cos 2 Lời giải: Bài 6.71: Ta có sin A + sin B = sin Tương tự A+ B A- B C cos £ cos 2 A B (sin B + sin C)£ 5cos , (sin C + sin A)£ 3cos 2 2 Cộng vế với vế ta sin A + 3sin B + sin C £ 5cos A B C + 3cos + cos 2 Bài 6.72: Cho D ABC Chứng minh x - 2(cos B + cos C )x + - cos A ³ " x Đẳng thức xảy ? Lời giải: Bài 6.72: Ta thấy VT BĐT tam thức bậc hai có hệ số a = > Do để chứng minh ta cần chứng minh: D £ Ta có: D ' = (cos B + cos C )2 - 2(1 - cos A) = cos2 B+ C B- C A cos2 - sin 2 2 68 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word nht = sin Aổ ỗỗcos B - C ỗố A B- C 1ữ = - sin sin £ ÷ ÷ 2 ø ìï ïï sin B - C = Û Đẳng thức có Û í ïï ïỵ x = cos B + cos C ìï B = C ïí ỵïï x = cos B Bài 6.73: Cho D ABC nhọn Chứng minh bất đẳng thức sau: (tan B + tan C)x2 - 4x + tan A ³ " x Đẳng thức xảy ? Lời giải: Bài 6.73: VT bất đẳng thức tam thức có : a = tan B + tan C = = sin( B + C ) cos B.cos C sin A sin A A ³ = cot > (do D ABC nhọn) Nên để chứng cos( B + C ) + cos( B - C ) 1- cos A minh (1) ta cần chứng minh D ' £ Ta có: D ' = - tan A A A (tan B + tan C) £ - tan cot = 2 ìï cos( B - C ) = ìï B = C ïï ï Û íï Đẳng thức xảy Û í ïï x = ïï x = ïỵ ïỵ tan B + tan C tan B 69 ... 1- 2 B 2- 2 b) Tính giá trị lượng giác sau sin A 2- 2 + 2 B C 3- 2 D 2- 2 p 16 2- c) Tính giá trị lượng giác sau cot A - - p 2+ C 2+ 2+ D 2- 2+ 2 11p 12 B - + C - D - - 11 http://dethithpt.com... - D m + n2 - 2n B 3m + n2 - 2m C m - n2 - D m + n2 - 2n B 2mn m + n2 C m - n2 - D m + n2 - 2n Tính cos (a + b ) A n2 - m m + n2 Tính sin (a + b ) A n2 - m m + n2 Lời giải: 2 Bài 6.30: + Ta có... liệu file word A - - B - + d)Tính giá trị lượng giác sau: cot A - B - C - D - - C - D - 2 5p Lời giải: a)Vì 7950 = 750 + 2.3600 = 300 + 450 + 2.3600 nên cos7950 = cos750 = cos 300 cos 450 - sin