HTTP://DETHITHPT.COM LỚP 10 Chương IV Bài BẤT ĐẲNG THỨC BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM TÀI LIỆU LỚP 10 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word Mục lục A TÓM TẮT LÝ THUYẾT B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI DẠNG TỐN 1: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍCH CHẤT CƠ BẢN Phương pháp giải Các ví dụ minh họa Loại 1: Biến đổi tương đương bất đẳng thức Loại 2: Xuất phát từ BĐT ta biến đổi đến BĐT cần chứng minh Bài tập luyện tập DẠNG TOÁN 2: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY(cơsi) ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRI LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT 13 Loại 1: Vận dụng trực tiếp bất đẳng thức côsi 14 Loại 2: Kĩ thuật tách, thêm bớt, ghép cặp 18 Loại 3: Kĩ thuật tham số hóa 25 Loại 4: Kĩ thuật côsi ngược dấu 28 Bài tập luyện tập 31 DẠNG 3: ĐẶT ẨN PHỤ TRONG BẤT ĐẲNG THỨC 48 DẠNG 4: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ 59 C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỔNG HỢP 70 TỔNG HỢP LẦN 70 TỔNG HỢP LẦN 76 GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 BẤT ĐẲNG THỨC A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa : http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word Cho a, b hai số thực Các mệnh đề " a > b ", " a < b ", " a ³ b ", " a £ b " gọi bất đẳng thức • Chứng minh bất đảng thức chứng minh bất đẳng thức đúng(mệnh đề đúng) • Với A, B mệnh đề biến " A > B " mệnh đề chứa biến Chứng minh bất đẳng thức A > B (với điều kiện đó) nghĩa chứng minh mệnh đề chứa biến " A > B " với tất giá trị biến(thỏa mãn điều kiện đó) Khi nói ta có bất đẳng thức A > B mà khơng nêu điều kiện biến ta hiểu bất đẳng thức xảy với giá trị biến số thực Tính chất : * a > b b > c Þ a > c * a> b Û a+ c > b+ c * a > b c > d Þ a + c > b + d * Nếu c > a > b Û ac > bc Nếu c < a > b Û ac < bc * a> b³ 0Þ a> b * a ³ b ³ Û a2 ³ b2 * a > b ³ Þ a n > bn Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối * - a £ a £ a với số thực a * x < a Û - a < x < a ( Với a > ) éx > a * x > aÛ ê êx < - a ë ( Với a > ) Bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân (Bất đẳng thức Cauchy) a) Đối với hai số không âm Cho a ³ 0, b ³ , ta có a+ b ³ ab Dấu '=' xảy a = b Hệ : * Hai số dương có tổng khơng đổi tích lớn hai số * Hai số dương có tích khơng đổi tổng nhỏ hai số b) Đối với ba số không âm http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word a+ b+ c ³ Cho a ³ 0, b ³ 0, c ³ , ta có abc Dấu '=' xảy a = b = c B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI DẠNG TỐN 1: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍCH CHẤT CƠ BẢN Phương pháp giải Để chứng minh bất đẳng thức(BĐT) A ³ B ta sử dụng cách sau: Ta chứng minh A - B ³ Để chứng minh ta thường sử dụng đẳng thức để phân tích A - B thành tổng tích biểu thức khơng âm Xuất phát từ BĐT đúng, biến đổi tương đương BĐT cần chứng minh Các ví dụ minh họa Loại 1: Biến đổi tương đương bất đẳng thức Ví dụ : Cho hai số thực a , b , c Chứng minh bất đẳng thức sau ỉa + b ÷ b) ab Ê ỗỗ ữ ỗố ữ ứ a2 + b2 a) ab £ 2 c) 3(a2 + b2 + c )³ (a + b + c) d) (a + b + c) ³ (ab + bc + ca) Lời giải: a) Ta có a2 + b2 - 2ab = ( a - b)2 ³ Þ a + b2 ³ 2ab Đẳng thức Û a = b æa + b ữ b) Bt ng thc tng ng vi ỗỗ ữ ữ - ab ỗố ứ Û a + 2ab + b ³ 4ab Û (a - b) ³ (đúng) ĐPCM Đẳng thức xảy Û a = b c) BĐT tương đương (a2 + b2 + c )³ a2 + b2 + c + 2ab + 2bc + 2ca 2 Û (a - b) + (b - c) + (c - a) ³ (đúng) ĐPCM Đẳng thức xảy Û a = b = c d) BĐT tương đương a2 + b2 + c + 2ab + 2bc + 2ca ³ (ab + bc + ca) 2 Û (a2 + b2 + c )- (ab + bc + ca)³ Û (a - b) + (b - c) + (c - a) ³ (đúng) ĐPCM Đẳng thức xảy Û a = b = c http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word Nhận xét: Các BĐT vận dụng nhiều, xem "bổ đề" chứng minh bất đẳng thức khác Ví dụ : Cho năm số thực a, b, c , d, e Chứng minh a2 + b2 + c + d + e ³ a(b + c + d + e ) Lời giải: Ta có : a + b2 + c + d + e - a(b + c + d + e ) = =( a2 a2 a2 a2 - ab + b2 ) + ( - ac + c ) + ( - ad + d ) + ( - ae + e ) 4 4 a a a a = ( - b)2 + ( - c)2 + ( - d)2 + ( - e)2 ³ Þ đpcm 2 2 Đẳng thức xảy Û b = c = d = e = a Ví dụ : Cho ab ³ Chứng minh : 1 + ³ a + b + 1 + ab Lời giải: Ta có 1 1 + =( )+ ( ) a + b + 1 + ab a + 1 + ab b + 1 + ab = ab - a2 ab - b2 a- b b a a - b b - a + a2b - b2 a + = ( ) = + ab (1 + b2 )(1 + a2 ) ( a2 + 1)(1 + ab) (b2 + 1)(1 + ab) + ab + b2 + a2 = a - b ( a - b)( ab - 1) ( a - b)2 ( ab - 1) = ³ (Do ab ³ 1) + ab (1 + b2 )(1 + a2 ) (1 + ab)(1 + b2 )(1 + a2 ) Nhận xét : Nếu - < b £ BĐT có chiều ngược lại : 1 + £ a + b + 1 + ab Ví dụ 4: Cho số thực x Chứng minh a) x4 + ³ x b) x4 + > x2 + 4x c) x12 + x4 + > x9 + x Lời giải: a) Bất đẳng thức tương đương với x4 - x + ³ Û (x - 1)(x3 + x2 + x - 3)³ Û (x - 1) (x2 + 2x + 3)³ é Û (x - 1) ê(x + 1) + ë ù 1ú³ (đúng với số thực x ) û Đẳng thức xảy x = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word b) Bất đẳng thức tương đương với x4 - x2 - 4x + > 2 Û x4 - x2 + + x2 - x + > Û (x2 - 1) + (x - 2) > 2 2 Ta có (x2 - 1) ³ 0,(x - 2) ³ Þ (x - 1) + (x - 2) ³ ìï x - = Đẳng thức xảy ïí (khơng xảy ra) ïï x - = ỵ 2 Suy (x2 - 1) + (x - 2) > ĐPCM c) Bất đẳng thức tương đương với x12 - x9 + x4 - x + > + Với x < : Ta có x12 - x9 + x - x + = x12 + x4 (1 - x5 )+ (1 - x) Vì x < nên 1- x > 0, 1- x5 > x12 - x9 + x4 - x + > + Với x ³ : Ta có x12 - x9 + x4 - x + = x9 (x3 - 1)+ x (x3 - 1)+ Vì x ³ nên x3 - ³ x12 - x9 + x4 - x + > Vậy ta có x12 + x4 + > x9 + x Ví dụ 5: Cho a , b , c số thực Chứng minh a) a4 + b4 - 4ab + ³ 2 b) (a4 + 1)+ (b2 + 1) ³ (ab + 1) ( c) (a + b2 )- ab + ³ a b + + b a + ) Lời giải: a) BĐT tương đương với (a4 + b4 - 2a2 b2 )+ (2a2 b2 - 4ab + 2)³ 2 Û (a2 - b2 ) + (ab - 1) ³ (đúng) Đẳng thức xảy a = b = ± b) BĐT tương đương với (a4 + 1)+ (b4 + 2b2 + 1)- (a2 b2 + 2ab + 1)³ Û (a4 + b4 - 2a2 b2 )+ (2a2 - 4ab + 2b2 )+ (a4 - 4a2 + 1)³ Û ( a2 - b2 )2 + 2( a - b)2 + ( a - 1)2 ³ (đúng) Đẳng thức xảy a = b = ± http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word ( ) c) BĐT tương đương với (a + b2 )- 2ab + - a b2 + + b a + ³ é2 ù 2 2 Û éêa - 4a b2 + + (b2 + 1)ù ú+ êb - 4b a + + (a + 1)ú+ (a - ab + b )³ ë û ë û ( ) ( ) Û a - b2 + + b - a + + (a - b) ³ (đúng) Đẳng thức khơng xảy Ví dụ 6: Cho hai số thực x, y thỏa mãn x ³ y Chứng minh rằng; a) (x3 - y )³ (x - y) b) x3 - 3x + ³ y - 3y Lời giải: a) Bất đẳng thức tương đương (x - y)(x2 + xy + y )- (x - y) ³ 2ù é Û (x - y)ê4 (x + xy + y )- (x - y) ú³ Û (x - y)éê3x + 3xy + y ù ³ ú ë û ë û éỉ y ư2 y ù ú³ (đúng với x ³ y ) PCM (x - y)ờờỗỗx + ữ ữ+ ỳ ữ ỗ ữ 2ứ ỳ ờởố ỷ ng thc xảy x = y b) Bất đẳng thức tương đương x3 - y3 ³ 3x - 3y - Theo câu a) ta có x3 - y ³ (x - y) , ta cần chứng minh (x - y) ³ 3x - 3y - (*), Thật vậy, BĐT (*) Û (x - y) - 12 (x - y)+ 16 ³ é ù Û (x - y - 2)ê(x - y) + (x - y)- 8ú³ ë û Û (x - y - 2) (x - y + 4) ³ (đúng với x ³ y ) Đẳng thức xảy không xảy http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word Loại 2: Xuất phát từ BĐT ta biến đổi đến BĐT cần chứng minh Đối với loại thường cho lời giải không tự nhiên ta thường sử dụng biến có ràng buộc đặc biệt * Chú ý hai mệnh đề sau thường dựng a ẻ ộởa ; b ự ỷị (a - a )(a - b ) £ (* ) a , b , c ẻ ộởa ; b ự ỷị (a - a )(b - a )(c - a )+ (b - a)(b - b)(b - c) ³ (* * ) Ví dụ : Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh : a2 + b2 + c < 2( ab + bc + ca) Lời giải: Vì a,b,c độ dài ba cạnh tam giác nên ta có : a + b > c Þ ac + bc > c2 Tương tự bc + ba > b2 ; ca + cb > c cộng ba BĐT lại với ta có đpcm Nhận xét : * Ở toán ta xuất phát từ BĐT tính chất độ dài ba cạnh tam giác Sau cần xuất bình phương nên ta nhân hai vế BĐT với c Ngoài xuất phát từ BĐT |a - b|< c bình phương hai vế ta có kết Ví dụ : Cho a , b , c Ỵ [0;1] Chứng minh : a2 + b2 + c £ + a2 b + b2 c + c a Lời giải: Cách 1: Vì a , b , c ẻ [0;1] ị (1 - a )(1 - b )(1 - c ) ³ Û + a2 b2 + b2 c + c a2 - a2b2c ³ a2 + b2 + c (*) Ta có : a2 b2 c ³ 0; a2 b2 + b2c + c a2 £ a2b + b2c + c a nên từ (*) ta suy a2 + b2 + c £ + a2 b2 + b2c + c a2 £ + a2b + b2c + c a đpcm Cách 2: BĐT cần chứng minh tương đương với a (1 - b)+ b2 (1 - c)+ c (1 - a) £ Mà a , b , c Ỵ éë0;1ùû Þ a2 £ a, b2 £ b, c £ c a2 (1 - b)+ b2 (1 - c)+ c (1 - a) £ a (1 - b)+ b (1 - c)+ c (1 - a) Ta cần chứng minh a (1 - b)+ b (1 - c)+ c (1 - a) £ Thật vậy: a , b , c Ỵ éë0;1ùû nên theo nhận xét (* * ) ta có http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word abc + (1 - a)(1 - b)(1 - c) ³ Û a + b + c - (ab + bc + ca) £ Û a (1 - b)+ b (1 - c)+ c (1 - a) £ BĐT ban đầu chứng minh Ví dụ : Cho số thực a,b,c thỏa mãn : a2 + b2 + c2 = Chứng minh : 2(1 + a + b + c + ab + bc + ca) + abc ³ Lời giải: Vì a2 + b2 + c = ị a , b , c ẻ [- 1;1] nên ta có : (1 + a)(1 + b)(1 + c) ³ Û + a + b + c + ab + bc + ca + abc ³ (*) Mặt khác : (1 + a + b + c)2 ³ Û + a + b + c + ab + bc + ca ³ (**) Cộng (*) (**) ta có đpcm Ví dụ 10: Chứng minh a ³ 4, b ³ 5, c ³ a2 + b2 + c = 90 a + b + c ³ 16 Lời giải: Từ giả thiết ta suy a < 9, b < 8, c £ áp dụng (* ) ta có (a - 4)(a - 9)£ 0,(b - 5)(b - 8)£ 0,(c - 6)(c - )£ nhân cộng BĐT chiều lại ta được: a + b2 + c - 13( a + b + c ) + 118 £ suy a+ b+ c ³ a + b2 + c + 118) = 16 a2 + b2 + c = 90 ( 13 a + b + c ³ 16 dấu “=” xảy a = 4, b = 5, c = Ví dụ 11: Cho ba số a, b, c thuộc éë- 1;1ùû không đồng thời không Chứng minh a4 b2 + b4 c + c a2 + ³ a 2012 + b2012 + c 2012 Lời giải: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word Vì ba số a, b, c thuộc éë- 1;1ùû nên £ a2 , b2 , c £ Suy (1 - b2 )(1 + b2 - a ) ³ Û a4 + b4 - a4b2 £ (*) Mặt khác a4 ³ a2012 , b4 ³ b2012 với a, b thuộc éë- 1;1ùû Suy a4 + b4 - a4 b2 ³ a2012 + b2012 - a4b2 (**) Từ (*) (**) ta có a2012 + b2012 £ a4 b2 + hay a b2 + c 2012 + ³ a 2012 + b2012 + c 2012 b4 c + a 2012 + c a + b2012 + ³ 2012 ³ Tương tự ta có 2012 a + b2012 + c 2012 a + b2012 + c 2012 Cộng vế với ta a b2 + b4 c + c a + a2012 + b2012 + c 2012 + ³ a 2012 + b2012 + c 2012 a4 b2 + b4 c + c a2 + ³ ĐPCM Hay a 2012 + b2012 + c 2012 Bài tập luyện tập Bài 4.0 Cho số thực a, b, c số thực Khẳng định sau a) A a + b + c ³ ab + bc + ca B 2a + 2b + 2c ³ C a + b + c ³ ab + bc + D a + b + c ³ ca ab + ab + bc + bc + ca ca b) A a2 + b2 + ³ ab + 3a + 2b B a2 + b2 + ³ ab + a + b C a2 + b2 + ³ 2ab + a + b D a2 + b2 + ³ ab + a+ b c) A a2 + b2 + c + ³ 2(a + b + c) C 2a + 2b2 + 2c + ³ 2( a + b + c) B a2 + b2 + c + ³ 2( a + b + c ) D 2 a + b + c + ³ 2(a + b + c) 2 d) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word = 1 + + + 2 ab + bc + ca ab + bc + ca ab + bc + ca a +b +c Mặt khác : ab + bc + ca £ 1 ( a + b + c )2 = Þ ³ 21 3 ab + bc + ca 1 + + ³ =9 2 2 ab + bc + ca ab + bc + ca a + b + c + 2(ab + bc + ca) a +b +c Suy : 1 1 + + + ³ + 21 = 30 đpcm 2 ab bc ca a +b +c Đẳng thức xảy Û a = b = c = 3 + + = Ví dụ 7: Cho a, b, c số thuộc éë0;1ùû thỏa mãn 4 a + 4b + 4c + Tìm giá trị lớn P = ab2 c Lời giải: Ta chứng minh bất đẳng thức sau Với x, y thuộc [0,1] , ta ln có 1 + £ (*) 2 4x + y + 4x y + Thật vậy, BĐT (*) Û (2 x4 + y + 5)(4 x2 y + 5)£ (4 x4 + 5)(4 y + 5) Û x4 y - 10 x2 y + (x4 + y )(5 - x2 y )³ Û (5 - 4x2 y2 )( x2 - y2 )2 ³ (đúng với x, y Ỵ [0,1] ) Dấu xảy x = y Áp dụng BĐT (*) ta có: Suy Và 1 1 + £ , + £ 2 2 a + 4c + a c + 4b + 4c + 4b c + 1 2 + + £ + 2 £ (1) 2 4a + 4b + 4c + 4a c + 4b c + 4abc + 1 + £ 4b + 4 b , 2 +5 1 + £ c +5 4 c 2 +5 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 64 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word Suy 1 + + £ 4b + 4c + Ta lại có + abc + Từ (1), (2) (3) ta có bc b 2 + +5 c £ +5 ab2 c +5 4 bc ab2 c ³ +5 +5 +5 + + + £ a + 4b + 4c + (2) (3) Kết hợp giả thiết suy ab2 c +5 Þ ab2 c £ Dấu xảy a = b = c = a = b = c = 16 Vậy max P = £ Bài tập luyện tập Bài 4.50: Cho a, b, x, y  R Chứng minh bất đẳng thức sau: a + x + b2 + y ³ (a + b)2 + ( x + y)2 (1) Lời giải: Bình phương vế ta được: (1)  (a2 + b2 )( x2 + y ) ³ ab + xy (*) • Nếu ab + xy < (*) hiển nhiên • Nếu ab + xy ³ bình phương vế ta được: (*)  (bx - ay)2 ³ (đúng) Áp dụng chứng minh bất đẳng thức sau: a) Cho a, b  thoả a + b = Giá trị nhỏ P = A B.1 b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = A 17 B 17 + a + + b2 C.3 a2 + + b2 C.1 D.4 b2 + a2 D.54 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 65 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word c) Cho x, y, z > thoả mãn x + y + z = Tìm giá trị nhỏ P= x2 + + x2 y2 + A 82 + y2 z2 + z2 B 12 C.1 d) Cho x, y, z > thoả mãn x + y + z = D.4 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 223 + x2 + 223 + y + 223 + z2 P= A 2010 B.2010 C.232 D.12 Lời giải: Bài 4.50: Bình phương vế ta được: (1)  (a2 + b2 )( x2 + y ) ³ ab + xy (*) • Nếu ab + xy < (*) hiển nhiên • Nếu ab + xy ³ bình phương vế ta được: (*)  (bx - ay)2 ³ (đúng) a) Sử dụng (1) Ta có: b) Sử dụng (1) P  Chú ý: + a2 + + b2 ³ æ1 ( a + b) + ỗỗỗ + ốa (1 + 1)2 + ( a + b)2 = 1ö ÷ ÷ ³ ø b÷ ỉ ÷ ( a + b) + ỗỗỗ ữ = ốa + b ÷ ø 17 1 + ³ (với a, b > 0) a b a+ b c) Áp dụng (1) liên tiếp hai lần ta được: x + 2+ x y + 2+ y 2 z + ³ z 2 æ1 1 ( x + y + z) + ỗỗ + + ữ ữ ữ ỗố x y z ứ ÷  æ ( x + y + z) + ỗỗ ỗố x + y + Chỳ ý: ÷ = ÷ ÷ z÷ ø 82 1 (với x, y, z > 0) + + ³ x y z x+ y+ z d) Tương tự câu c) Ta có: P  (3 223 ) + ( x + y + z)2 = Bài 4.51: Cho a, b dương Chứng minh 2010 1 + ³ (1) a b a+ b http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 66 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word Áp dụng chứng minh BĐT sau: a) æ 1 1 1 ữ + + ỗỗỗ + + ÷ ÷; với a, b, c > èa + b b + c c + a ø a b c b) ỉ 1 1 1 ữ + + ỗỗỗ + + ữ; vi a, b, c > è 2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c ÷ ø a+ b b+ c c+ a c) Cho a, b, c > thoả d) 1 1 1 + + £1 + + = Chứng minh: 2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c a b c ab bc ca a+ b+ c + + £ ; với a, b, c > a+ b b+ c c+ a e) Cho x, y , z dương thoả mãn x + y + 4z = 12 Chứng minh: xy yz xz + + £ x + y y + 4z 4z + x f) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác, p nửa chu vi Chứng minh rằng: æ1 1ử 1 + + ỗỗỗ + + ÷ ÷ èa b c ÷ ø p- a p- b p- c Lời giải: Bài 4.51: a) Áp dụng (1) ba lần ta được: 1 1 1 + ³ ; + ³ ; + ³ a b a+ b b c b+ c c a c+ a Cộng BĐT vế theo vế ta đpcm b) Tương tự câu a) c) Áp dụng a) b) ta được: d) Theo (1): ỉ 1 1 1 ÷ + + ỗỗỗ + + ữ ữ è 2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c ø a b c 1 ổ1 ab Ê ỗỗỗ + ÷ £ ( a + b)  ÷ ÷ è ø a+ b a b a+ b Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế ta đpcm e) Áp dụng câu d) với a = x, b = 2y, c = 4z a + b + c = 12  đpcm f) Nhận xét: (p – a)+ (p – b) = p – (a + b) = c Áp dụng (1) ta được: 1 4 + ³ = p - a p - b ( p - a) + ( p - b) c Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta đpcm http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 67 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word Bài 4.52: Cho a , b , c số dương Chứng minh 1 + + ³ (1) a b c a+ b+ c Áp dụng chứng minh BĐT sau: æ ö 1 ÷ a) (a2 + b2 + c ) ỗỗ + + ữ ữ ỗốa + b b + c c + a ø³ (a + b + c) với a , b , c dương b) a b c + + £ Với a , b , c dương thoả a + b + c = a+ b+ c+ c) 1 + + ³ Với a , b , c dương thỏa mãn a + b + c £ a + 2bc b + 2ac c + 2ab d) 2009 + ³ 670 Với a , b , c dương thỏa mãn a + b + c = 2 ab + bc + ca a +b +c 2 Lời giải: ỉ1 1 Bài 4.52: Ta có: (1)  ( a + b + c ) ỗỗỗ + + ữ ữ ữ Dễ dàng suy từ BĐT Cô–si èa b c ø a) Áp dụng (1) ta được:  VT  1 + + ³ a + b b + c c + a 2(a + b + c) 9( a2 + b2 + c ) 3( a2 + b2 + c ) = ³ ( a + b + c) 2( a + b + c) a+ b+ c Chú ý: ( a + b + c)2 £ 3( a2 + b2 + c ) b) Để áp dụng (1), ta biến đổi P sau: P= æ 1 ö x + 1- y + 1- z + 1- ÷ + + = - ỗỗ + + ữ ữ ỗ ữ x+ y+ z+ è x + y + z + 1ø Ta có: 1 9 + + ³ = Suy ra: P  - = x+ y+ z+ x+ y+ z+ 4 c) Ta có: P  9 = ³ a + 2bc + b + 2ca + c + 2ab (a + b + c)2 2 d) Ta có 1 9 + + ³ = ³ 2 2 ab + bc + ca ab + bc + ca a + b + c + (ab + bc + ca) (a + b + c)2 a +b +c 2 (ab + bc + ca) £ (a + b + c) nên 2007 ³ ab + bc + ca 3.2007 (a + b + c) ³ 669 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 68 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word Đẳng thức xảy a = b = c = Bài 4.53: Cho a, b, c ³ abc = Chứng minh : ab bc ca + + £ 5 a + b + ab b + c + bc c + a5 + ac Lời giải: Bài 4.53: Ta có : a5 + b5 ³ a3b2 + b3 a2 = a2b2 (a + b) Þ a5 + b5 + ab ³ ab Þ ab £ a + b5 + ab Tương tự : a+ b+ c c ab c = a+ b+ c a+ b+ c ab c bc a ca b £ ; £ 5 b + c + bc a + b + c c + a + ac a + b + c Cộng ba BĐT lại với ta có đpcm Bài 4.54: Cho ba số thực khơng âm a, b, c khơng có hai số đồng thời khơng Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = A P = a b c ab + bc + ca + + + 2 b+ c c+ a a+ b a + b2 + c B P = C P = D P = 12 Lời giải: Trước tiên, ta chứng minh kết sau: a b c a2 + b2 + c + + ³ (1) b + c c + a a + b ab + bc + ca Nhân hai vế (1) với ab + bc + ca , để ý a a é ù= a + abc ( ab + bc + ca) = a ( b + c ) + bc û b+ c b+ c ë b+ c Dễ thấy đó, (1) trở thành a2 + abc abc abc + b2 + + c2 + ³ a2 + b2 + c b+ c c+ a a+ b ỉ 1 ÷ + + ³ (hiển nhiên đúng) Điều phải chng minh Hay abc ỗỗ ữ ữ ỗốb + c c + a a + b ø * Quay trở lại toán, sử dụng kết trên, ta suy P ³ a2 + b2 + c ab + bc + ca + 2 = t2 + , với t = 2 ab + bc + ca t a +b +c a2 + b2 + c ab + bc + ca Với cách đặt trên, dễ dàng suy t ³ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 69 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word Vậy ta tìm giá trị nhỏ f (t ) = t + Áp dụng BĐT cơsi ta có f (t ) = t + Đẳng thức xảy t = với t ³ t 2 2 2 2 + ³ 3 t2 =6 t t t t hay a = b > 0, c = hoán vị tương ứng Vậy P = a = b > 0, c = hoán vị tương ứng C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỔNG HỢP TỔNG HỢP LẦN Bài Nếu a > b c > d bất đẳng thức sau đúng? A ac > bd Bài B a - c > b - d B a2 < b2 a b  c d B a - c > b - d D a + c > b + d B 3a > 6a C - 3a > - 6a D + a > + a B a2 < b2 C ac > bc D ac < bc Nếu a > b > , c > d > bất đẳng thức sau không đúng? B a - c > b - d C a2 > b2 D ac > bd Nếu a > b > , c > d > bất đẳng thức sau không đúng? A a + c > b + d Bài C ac > bd Nếu a , b , c số a < b bất đẳng thức sau đúng? A ac > bc Bài D c - a > c - b Bất đẳng thức sau với số thực a? A 3a + 2c < 3b + 2c Bài C a + c > b + c Nếu a > b c > d bất đẳng thức sau đúng? A 6a > 3a Bài D m – n< Nếu a, b c số a > b bất đẳng sau đúng? A Bài C – m > –n B n – m< A ac > bc Bài D - ac > - bd Nếu m > , n < bất đẳng thức sau đúng? A m > - n Bài C a - d > b - c Sắp xếp ba số B ac > bd + 13 , 19 a b C > c d + 16 a d D > b c theo thứ tự từ bé đến lớn thứ tự http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 70 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word Bài 10 A 19 , + 16 , + 13 B + 16 , 19 , + 13 C 19 , + 13 , + 16 D + 13 , + 16 , 19 Nếu a + 2c > b + 2c bất đẳng thức sau đúng? B a2 > b2 A - 3a > - 3b Bài 11 D 1 < a b Nếu 2a > 2b - 3b < - 3c bất đẳng thức sau đúng? A a < c Bài 12 C 2a > 2b B a > c C - 3a > - 3c D a2 > c2 Một tam giác có độ dài cạnh 1,2, x x số nguyên Khi đó, x A B C D KHÔNG ĐÁP ÁN Bài 13 Với số thực a bất kì, biểu thức sau nhận giá trị âm? A a2 + 2a + Bài 14 B a2 + a + D a2 + 2a - Với số thực a bất kì, biểu thức sau luôn dương A a2 + 2a + Bài 15 C a2 - 2a + B a2 + a + Trong số + 2, 15 , + C a2 - 2a + D a2 + 2a - , A số nhỏ 15 , số lớn + B số nhỏ + , số lớn D số nhỏ + , số C số nhỏ lớn + Bài 16 15 , số lớn + Cho hai số thực a, b cho a > b Bất đẳng thức sau không đúng? A a4 > b4 B - 2a + < - 2b + C b - a < D a- > b- Bài 17 Nếu < a < bất đẳng thức sau ? A Bài 18 > a a B a > a C a > a D a3 > a2 Cho a, b, c , d số thực a, c ¹ Nghiệm phương trình ax + b = nhỏ nghiệm phương trình cx + d = b c A < a d Bài 19 B b c > a d b a C > d c D b d > a c Nếu a + b < a b - a > b bất đẳng thức sau đúng? http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 71 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word A ab > Bài 20 B b < a C a < b < D a > b < Cho a , b , c độ dài ba cạnh tam giác Mệnh đề sau không ? A a2 < ab + ac B ab + bc > b2 C b2 + c2 < a2 + 2bc D b2 + c2 > a2 + 2bc Bài 21 Cho f (x) = x - x Kết luận sau đúng? A f ( x) có giá trị nhỏ C f ( x) có giá trị nhỏ Bài 22 Cho hàm số f (x) = x2 + 1 B f ( x) có giá trị lớn D f ( x) có giá trị lớn Mệnh đề sau ? A f ( x) có giá trị nhỏ , giá trị lớn B f ( x) khơng có giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn C f ( x) có giá trị nhỏ , giá trị lớn D f ( x) khơng có giá trị nhỏ giá trị lớn Bài 23 ìï x + y = Với giá trị a hệ phương trình ïí có nghiệm ( x; y) với x.y ïïỵ x - y = 2a - lớn A a = Bài 24 Bài 25 Bài 26 B a = C a = - D a = Cho biết hai số a b có tổng Khi đó, tích hai số a b A có giá trị nhỏ B có giá trị lớn C có giá trị lớn D khơng có giá trị lớn Cho a - b = Khi đó, tích hai số a b A có giá trị nhỏ - B có giá trị lớn - C có giá trị nhỏ a = b D khơng có giá trị nhỏ Cho x2 + y = , gọi S = x + y Khi ta có A S £ C - B S ³ 2 £ S£ D - £ S £ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 72 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word Bài 27 Bài 28 Cho x, y hai số thực thay đổi cho x + y = Gọi m = x2 + y Khi ta có: A giá trị nhỏ m B giá trị nhỏ m C giá trị lớn m D giá trị lớn m Với x > , biểu thức: x+ x 2 , , , , giá trị biểu thức 2 x x + x- nhỏ nhất? A Bài 29 x Bài 33 B - C - là: 27 C B - 81 D - D C D a với a ³ Mệnh đề sau mệnh đề đúng? Cho biểu thức P = - a + A Giá trị lớn P B Giá trị nhỏ P C Giá trị lớn P D P đạt giá trị nhỏ a = Giá trị lớn hàm số f (x) = A Bài 34 B - x D Giá trị nhỏ củabiểu thức x2 − x với x  ¡ là: A - Bài 32 x- C Giá trị nhỏ biểu thức x + x với x Ỵ ¡ là: A - Bài 31 x+ Giá trị nhỏ biểu thức x2 + 3x với x Ỵ ¡ A - Bài 30 B 11 Cho biểu thức f (x) = B 11 x - 5x + C 11 D 11 - x Kết luận sau đúng? A Hàm số f ( x) có giá trị lớn nhất, khơng có giá trị nhỏ B Hàm số f ( x) có giá trị nhỏ nhất, khơng có giá trị lớn C Hàm số f ( x) có giá trị nhỏ giá trị lớn D Hàm số f ( x) khơng có giá trị nhỏ khơng có giá trị lớn Bài 35 Cho a số thực bất kì, P = 2a Bất đẳng thức sau với a? a +1 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 73 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word A P > - Bài 36 B P > D P £ C P < - Cho Q = a2 + b2 + c - ab - bc - ca với a , b , c ba số thực Khẳng định sau đúng? A Q ³ a , b , c số dương B Q ³ a , b , c số không âm C Q > với a , b , c số D Q ³ với a , b , c số Bài 37 Số nguyên a lớn cho a200 < 3300 là: A Bài 38 B C D Điền dấu ( , , ,  ) thích hợp vào trống để bất đẳng thức A Nếu a, b dương ab a+ b a+ b B Với a, b (a2 - ab + b2 ) a2 + b2 C Nếu a , b , c dương Bài 39 a b c + + b+ c c+ a a+ b Cho a, b số thực Xét tính đúng–sai mệnh đề sau: ỉa + b ÷ a2 + b2 A ỗỗ ữ ỗố ữ ứ B a2 + b2 + ³ a + b + ab C a + b2 + > (a + b)+ ab Bài 40 Cho hai số thực a, b tùy ý Mệnh đề sau đúng? A a + b = a + b Bài 41 Bài 42 B a + b £ a + b C a + b < a + b D a + b > a + b Cho hai số thực a, b tùy ý Mệnh đề sau đúng? a a > với b ¹ b - b A - ab < a b B C Nếu a < b a2 < b2 D a - b > a - b Cho hai số thực a, b tùy ý Mệnh đề sau đúng? A a - b £ a + b B a - b = a + b http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 74 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word C a - b = a - b Bài 43 Bất đẳng thức sau với số thực x ? A x > x Bài 44 Bài 45 Bài 48 C - b £ a £ b D a £ b Cho a> Nếu x < a bất đẳng thức sau ln đúng? C x < a D 1 > x a B 1 < x a C - x < - a D x < a Cho a ³ 1, b ³ Bất đẳng thức sau không ? A a ³ a - B ab ³ a b - C ab < 2b a - D b - £ b Giá trị nhỏ hàm số f ( x) = x + B với x> x C Giá trị nhỏ hàm số f ( x) = x + B Giá trị nhỏ hàm số f ( x) = A Bài 51 B - x £ x Nếu x < a bất đẳng thức sau đúng? A Bài 50 D x ³ x 1 £ với ab ¹ a b B A Bài 49 C x > x A a2 £ b2 A x < - a Bài 47 B x > - x Nếu a, b số thực a £ b bất đẳng thức sau ln đúng? A x < a Bài 46 D a - b > a - b B 2 D 2 với x> x C D x với x> + x- C 2 Cho x ³ Giá trị lớn hàm số f ( x) = D x- x http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 75 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word A Bài 52 2 B C C B D với x> x D 2 với x > x2 D 2 C Cho a, b, c , d số dương Hãy điền dấu (> , < , ³ , £ ) thích hợp vào ô trống A Nếu a+ b c+ d a c < > a c b d C a + b + c ³ Bài 55 Giá trị nhỏ hàm số f ( x) = x + A Bài 54 Giá trị nhỏ hàm số f ( x) = x + A Bài 53 B ab + bc + ca B Nếu a+ b c+ d a c > > b d b d D ab ( a + b ) £ ab + a + b Điền số thích hợp vào chỗ chấm để mệnh đề A Giá trị lớn hàm số y = x- + - x với £ x £ là… 2 x = ………… B Giá trị nhỏ hàm số y = 2x2 - 5x + …… Bài 56 17 x = ……… Cho a2 + b2 + c2 = Hãy xác định tính đúng-sai mệnh đề sau: Đúng A ab + bc + ca ³ Sai B ab + bc + ca ³ - C ab + bc + ca < Sai D ab + bc + ca £ Đúng TỔNG HỢP LẦN Bài 57 Tìm mệnh đề đúng? Bài 58 1 > a b A a < b Þ ac < bc B a < b Þ C a < b Úc < d Þ ac < bd D a < b Þ ac < bc , (c > 0) Suy luận sau ìï a > b A ùớ ị ac > bd ùùợ c > d ìï a > b a b B ùớ ị > ùùợ c > d c d http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 76 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word ìï a > b C ùớ ị a- c > b- d ùùợ c > d Bài 59 ìï a > b > D ùớ ị ac > bd ùùợ c > d > Bất đẳng thức (m + n) ³ 4mn tương đương với bất đẳng thức sau 2 B m2 + n2 ³ 2mn A n (m - 1) - m (n - 1) ³ 2 C (m + n) + m - n ³ Bài 60 Với a, b ¹ , ta có bất đẳng thức sau đúng? A a - b < Bài 61 Bài 62 D (m - n) ³ mn B a2 - ab + b2 < C a2 + ab + b2 > D a - b > Với hai số x, y dương thoả xy = 36 , bất đẳng thức sau đúng? A x + y ³ xy = 12 B x + y ³ 2xy = 72 C 4xy £ x2 + y D 2xy < x2 + y Cho hai số x, y dương thoả x + y = 12 , bất đẳng thức sau đúng? A ỉx + y ÷ ÷ = 36 B xy < ỗỗ ữ ỗố ø ÷ xy £ C 2xy < x2 + y Bài 63 Cho x, y hai số thực thỏa xy = Giá trị nhỏ A = x2 + y A Bài 64 Bài 65 xy ³ D B Cho a > b > và x = C D 1+ a 1+ b , y= Mệnh đề nào sau đúng ? 1+ a + a + b + b2 A x > y B x < y C x = y D Không so sánh 1 a b c a b Cho bất đẳng thức: (I) + ³ (II) + + ³ (III) + + ³ (với a b c a+ b+ c b c a b a a, b, c > 0) Bất đẳng thức nào các bất đẳng thức đúng? A chỉ I đúng B chỉ II đúng C chỉ III đúng D I, II, III đều đúng Bài 66 Với a, b, c > Biểu thức P = A < P < B a b c + + Mệnh đề nào sau đúng? b+ c c+ a a+ b < P C £ P D £ P http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 77 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word Bài 67 Cho a, b > và ab > a + b Mệnh đề nào sau đúng ? A a + b = Bài 68 B a + b > C a + b < D a + b £ Cho a < b < c < d và x = (a + b)(c + d), y = (a + c)(b + d), z = (a + d)(b + c) Mệnh đề nào sau đúng? A x < y < z Bài 69 B y < x < z C z < x < y D x < z < y Với a, b, c , d > Trong mệnh đề sau mệnh đề sai? A a a a+ c < 1Þ < b b b+ c B a a a+ c > 1Þ > b b b+ c C a c a a+ c c < Þ > > b d b b+ c d D Có ít nhất hai ba mệnh đề sai Bài 70 a2 + b2 ổ a + bữ Ê ỗỗỗ Hai sớ a, b thoả bất đẳng thức thì ÷ ÷ è ø A a < b Bài 71 B a > b C a = b D a ¹ b Cho x, y , z > và xét ba bất đẳng thức (I) x3 + y3 + z3 ³ 3xyz (II) 1 x y z (III) + + ³ Bất đẳng thức + + £ x y z x+ y+ z y z x nào đúng? A Chỉ I đúng B Chỉ I và III đúng C Chỉ III đúng D Cả ba đều đúng http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 78 ... Ta có f ( x) = x2 - x + 1 = x- + +2 x- x- > Áp dụng BĐT cơsi ta có x- Do x > nên x - > 0, x- 2+ ³ x- (x - 2) = x- Suy f (x) ³ Đẳng thức xảy Û x - = Û (x - 2) = Û x = (loại) x = (thỏa mãn) x-... x + > Û (x2 - 1) + (x - 2) > 2 2 Ta có (x2 - 1) ³ 0,(x - 2) ³ Þ (x - 1) + (x - 2) ³ ìï x - = Đẳng thức xảy ïí (khơng xảy ra) ïï x - = ỵ 2 Suy (x2 - 1) + (x - 2) > ĐPCM c) Bất đẳng thức tương đương... ỷ ng thức xảy x = y b) Bất đẳng thức tương đương x3 - y3 ³ 3x - 3y - Theo câu a) ta có x3 - y ³ (x - y) , ta cần chứng minh (x - y) ³ 3x - 3y - (*), Thật vậy, BĐT (*) Û (x - y) - 12 (x - y)+