NGUN HÀM –TÍCH PHÂN T.CASIO TÌM NHANH HỌ NGUN HÀM CỦA HÀM SỐ -I)MỞ ĐẦU VỀ NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Hơm nhận câu hỏi thầy Bình Kami, câu hỏi tính quãng đường vật chuyển động biến đổi câu hỏi xuất đề thi minh họa BGD-ĐT năm 2017 [Câu 24 đề minh họa 2017] Một ô tô chạy với vận tốc 10(m/s) người lái đạp phanh,từ thời điểm , ô tô chuyển động chậm dần với vận tốc v(t) = -2t + 10 (m/s), t khoảng thời gian tính giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn , tơ di chuyển mét? A 15 m B 20 m C 25 m D 40 m Xem nào, xe dừng lại vận tốc hay = -2t +10 thời gian xe di chuyển thêm 5(s) Vậy quãng đường s = v.t = 10.5 = 50(m) mà xe chạy chậm dần phải nhỏ 50(m), 40(m) phải không ? Để chắn, có lẽ phải lập bảng mơ tả quãng đường: Mốc Hết giây thứ Hết giây thứ2 Hết giây thứ Hết giây thứ Hết giây thứ Vận tốc 10→8 8→6 6→4 4→2 2→0 Quãng đường Như tổng quãng đường xe vận tốc giảm đến + + + + = 25 (m) Cách tin cậy hơn, nhiều, thời gian đến phút!!! Vậy cách nhanh khơng nhỉ? Minh Nguyệt giải tốn tìm đáp án xác 25 (m), tốt mặt kết mặt thời gian tính lại lâu Bài ta hồn thành thời gian 20 (s) nhờ công cụ gọi tích phân S =  ( −2t + 10 ) dt = 25(cm) Ta bấm máy tính sau: Khởi động chức tính tích phân : y Nhập biểu thức cần tính tích phân nhấn nút= (p2Q)+10)R0E5= http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Máy tính cho kết 25 (m) Chỉ 20 (s) thật tuyệt vời phải khơng !!! Thầy Bình Kami, Tích phân cơng cụ mà hay ??? Tích phân cơng cụ tuyệt vời mà toán học tạo ra, sử dụng tích phân tính qng đường , vận tốc vật thể tính diện tích hình phức tạp ví dụ hình tròn , hình tham giác, hình e líp…thì có cơng thức diện tích mặt ao hồ hình thù phức tạp có tích phân xử lý được, tính thể tích khoang tầu thủy có hình dạng phức tạp lại phải nhờ đến tích phân Tích phân đại nhà toán học Anh Isac Newton nhà toán học Pháp Laibonit công bố khoảng cuối kỉ 17 người đặt móng cho hình thành phát triển Tích phân nhà tốn học, vật lý học, triết học, thiên văn học thiên tài người Hi Lạp Ac-si-met Tích phân chia làm dạng: Tích phân bất định (không cận ) thường biết tới tên Ngun hàm Tích phân xác định ( có cận ) thường biết đến với tên Tích phân mà e học học kì lớp 12 II) CÁCH TÍNH NGUYÊN HÀM ❖ Xây dựng cơng thức tính ngun hàm : Ta có ( x5 ) ' = x ta nói nguyên hàm 5x x kí hiệu  5x dx = x + C Tương tự ( s inx ) = cos x ta nói nguyên hàm cosx sinx, kí hiệu  cos xdx = s inx + C Tổng quát:  f ( x ) dx = F ( x ) + C  F ' ( x ) = f ( x ) VD1-[Sách BT Nâng cao 12] Hàm số F ( x ) = e x nguyên hàm hàm số : A f ( x ) = e B f ( x ) = x.e 2x 2x ex C f ( x ) = 2x D f ( x ) = x e x − Giải Thưa thầy, em làm ạ! *Đầu tiên em tính đạo hàm F(x) , F(x) hàm hợp nên em áp dụng công thức ( eu ) ' = eu u ' ( ) *Khi đó: F ' ( x ) = e x ' = e x ( x ) ' = x.e x 2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word *Vậy F(x) nguyên hàm hàm số f ( x ) = x.e x ta chọn đáp án B VD2-[Đề thi minh họa ĐHQG 2016] Nguyên hàm hàm số y = x.e2 x A 2e2 x ( x − 2) + C 1  B e x  x −  + C 2  1  C 2e x  x −  + C 2  D e x ( x − ) + C Giải Thưa thầy, thử , với đáp án A F ( x ) = e2 x ( x − 2) Nhưng việc tính đạo hàm F(x) 2e2 x ( x − 2) em thấy khó q ạ, em qn cơng thức !! Trong phòng thi gặp nhiều áp lực, nhiều bị quên công thức đạo hàm hay than chưa học phần làm sao?? Thầy cho em thủ thuật Casio để em quên công thức đáp án đúng: ➢ Ta biết F’(x) = f(x) việc với x thuộc tập xác định ➢ Vậy với x = chẳng hạn Khi F’(1) = f(1) ➢ Tính giá trị f(1) = 7,3890… Q)QK^2Q)r1= ➢ Tính đạo hàm F’(1) với đáp án , đáp án A F ( x) = 2e2 x ( x − 2) qy2QK^2Q)$(Q)p2)$1= Vậy ta kết F’(1) = -14.7781… kết khác với f(1) →Đáp án A sai 1  ➢ Tính đạo hàm F’(1) đáp án B với F ( x ) = e x  x −  2  qya1R2$QK^2Q)$(Q)pa1R2$)$1= http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 1  Ta thu kết giống hệt f ( x ) F '( x) = f ( x ) hay F ( x ) = e x  x −  nguyên hàm 2  f ( x ) = Đáp án B đáp án xác ❖ Bình luận: *Nếu F(x) nguyên hàm f ( x ) F ( x ) + C nguyên hàm hàm f ( x ) ( F ( x ) + C)' = F ' ( x ) + C ' = F ' ( x ) = f ( x ) *Việc sử dụng Casio để tính nguyên hàm đặc biệt hữu ích phức tạp, áp dụng nhiều cơng thức tính đạo hàm lúc, tránh nhầm lẫn việc tính tốn!! VD3-[Câu 23 Đề minh họa năm 2017] Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = x − : ( x − 1) x − + C f ( x ) dx = − 2x −1 + C A  f ( x ) dx = C  B  f ( x ) dx = ( x − 1) D  f ( x ) dx = 2x −1 + C 2x −1 + C Giải ❖ Cách 1: CASIO ➢ Nhắc lại công thức quan trọng Nếu F(x) nguyên hàm f ( x ) F ( x) = f ( x) Khi ta chọn giá trị x = a thuộc tập xác định F(a) = f(a) ➢ Chọn giá trị x = chẳng hạn ( thỏa mãn điều kiện x −   x  ) Khi f(2) = 1,732… s2Q)p1r2=n Theo quy trình ta chọn đáp án F(x) đáp án , A, B, C, D đáp án thỏa mãn F’(2)=f(2) = 1,732… http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Thử đáp án A F ( x ) = ( x − 1) x − qya2R3$(2q)p1)s2Q)p1$$2= Vậy F’(2) = 3,4641…là giá trị khác f(2) = 1,732 điều có nghĩa điều kieneh F’(x) = f(x) không đáp ứng Vậy đáp án A sai ➢ Ta tiếp tục thử nghiệm với đáp án B Khi f (2) = 1, 732 có nghĩa điều kiện F’(x) = f(x) thỏa mãn Vậy đáp án xác B ❖ Cách tham khảo: Tự luận *Dựa vào đặc điểm hàm f(x) ta thấy x − mặt chất có dạng (2 x − 1) Ta nghĩ đến công thức đạo hàm (u n ) ' = n.u n−1.u ' +)Trong công thức đạo hàm số mũ u bị giảm Vậy hàm F(x) có số mũ lớn f(x) đơn vị Vậy F(x) phải có số mũ 3   +)Ta thực phép đạo hàm ( x − 1)  ' = ( x − 1) (2 x − 1) ' = x −   1  *Cân hệ số ta ( x − 1)  = x − Điều có nghĩa nguyên hàm 3  1 F ( x ) = ( x − 1) = ( x − 1) x − = B đáp án ❖ Bình luận: *Nếu có chút kiến thức đạo hàm việc sử dụng máy tính Casio để tìm đáp án nhẹ nhàng Chúng ta việc thử đáp án A B đáp án có số mũ *Điều đặc biệt dạng số mũ nguyên hàm F(x) lúc lớn số mũ hàm số f(x) đơn vị +) Chúng ta áp dụng cách linh hoạt Ví dụ tìm ngun hàm hàm số y = m vơ x đơn giản http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Ta thấy y = m 1 mặt chất x mũ − chắn nguyên hàm phải x x x 1 mũ − + = 2 +Ta xét đạo hàm gốc x ( x )' = 21x (*)Việc lại cân hệ số, để tạo thành ( ) vế (*) với 2m xong Khi 2m x ' = VD4- Một nguyên hàm hàm số f ( x ) = A x + 3x − ln x B m ta nhận x m Thật đơn giản phải không!! x x + 3x − x x 3x − + ln x 2 C x2 x2 + x + 3x − ln x + D 2 x Giải ❖ Cách 1: CASIO ➢ Ta chọn giá trị x thuộc tập xác định (x # 0) x = Khi f(5) = 7.6 aQ)d+3Q)p2RQ)r5=n ➢ Với đáp án C ta có F ( x ) = x2 + 3x − 2ln x + có qyaQ)dR2$+3Q)p2HQ))+1$5= ❖ Cách tham khảo : Tự luận *Hàm số f ( x ) = x + 3x − có tên gọi hàm phân thức hữu tỉ với bậc tử bậc lớn bậc x mẫu bậc http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word *Phương pháp giải: Thực phép chia tử số cho mẫu số ta được: f ( x ) = x + − Khi hàm số x trở thành dạng đơn giản ta dễ dàng tìm nguyên hàm  x2  x2 +)Có  + 3x  ' = x + + x nguyên hàm x +   +)Có (ln x) ' = 2 Cân hệ số ta có ( −2 ln x ) ' = − -2lnx nguyên hàm − x x x  x2  x + 3x − Tổng kết  + 3x − 2ln x  ' = x + − = x x   Hay x2 x2 + 3x − ln x nguyên hàm cần tìm + 3x − 2ln x + nguyên hàm 2 1  *Cân hệ số ta ( x − 1)  ' = x − Điều có nghĩa nguyên hàm 3  1 F ( x ) = ( x − 1) = ( x − 1) ( x − 1) = B đáp án ❖ Bình luận: *Tìm nguyên hàm hàm phân thức hữu tỉ dạng toán hay biết nguyên tắc tư khơng biết khó khăn *Ta phải nhớ này, phân thức hữu tỉ bậc tử lớn bậc mẫu ta thực phép chia tử số cho mẫu số thu hàm số dễ tính ngun hàm *Ngồi dạng hay phân thức hữu tỉ có mẫu số phân tích thành nhân tử ta xử lý ? Mời bạn xem ví dụ VD5- Nguyên hàm hàm số f ( x ) = A ln ( x − 2) − 2ln ( x + 2) + C C ln x+2 +C x−2 là: x −4 B 2ln ( x − 2) + ln ( x + 2) + C D ln x−2 +C x+2 Giải ❖ Cách 1: CASIO ➢ Ta chọn giá trị x thuộc tập xác định ( x  ) x = Khi f(5) = 7.6 aQ)d+3Q)p2RQ)r5=n http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ➢ Với đáp án C ta có F ( x ) = x2 + 3x − 2ln x + có qyaQ)dR2$+3Q)p2hQ))+1$5= Ta F ' ( 5) = 7.6 = f ( 5) Vậy đáp án C đáp án xác ❖ Cách tham khảo: Tự luận *Hàm f ( x ) = có tên gọi hàm phân thức hữu tỉ có mẫu số phân tích thành nhân tử x −4 *Phương pháp giải: Chia phân thức phức tạp ban đầu thành phân thức phức tạp +) Có 4 = x + ( x − )( x + ) +)Ta tách phân thức lớn thành phần nhỏ đơn giản : 1 = m + n x +4 ( x − 2) ( x + 2) +) Để tách ta lại dùng phương pháp hệ số bất định: m ( x + 2) + n ( x − 2) 1 = m + n  x +4 ( x − 2) ( x + 2) ( x − )( x + )  0= m+n  m =1  = m ( x − ) + n ( x + )  x + = x ( m + n ) + 2m − 2n    n = −1  = 2m − 2n Vậy 1 = − x + ( x − 2) ( x + 2) *Thành công việc đưa phân số đơn giản, ta nhớ đến công thức sau: x ( ln x ) ' = ( ln u ) = u ' u Dễ dàng áp dụng: ln ( x − )  ' = 1 1 ( x − 2) ' = ( x + 2) ' = ln ( x + )  ' = x−2 x−2 x+2 x+2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Tổng hợp ln ( x − ) − ln ( x + )  ' = 1  x−2 −   ln x−2 x+2  x+2 Vậy nguyên hàm f ( x ) F ( x ) = ln   ' = x2 −  x−2 +C x+2 ❖ Bình luận: *Qua ví dụ thấy hữu hiệu phương trình pháp hệ số bất định, phân số phức tạp chia thành phân số đơn giản *Về ngun tắc tích phân hàm phân thức chia thành hang chục phân số đơn giản trương trình học THPT chia làm phân thức Chúng ta theo dõi phép chia sau: x2 − 5x −1 x2 − 5x −1 x2 − 5x −1 m n p = = = + + 2 x − x − x + ( x − ) ( x − 1) ( x − )( x − 1)( x + 1) x − x − x +  Tử số vế trái = Tử số vế phải  = m + 2n + p m =    x − x − = m ( x − 1) + n ( x − x − ) + p ( x − 3x + )   −5 = −n − p  n =   −1 = −m = p n =1   2 Cuối ta thu được: 2 x2 − 5x −1 = + + x − 2x − x + x − x −1 x + Và ta dễ tính nguyên hàm + + : x − x −1 x +1 ln ( x − 2) + 2ln ( x − 1) + ln ( x + 1) + C Thật hiệu phải khơng!! VD6-[Báo Tốn học tuổi trẻ tháng 12-2016] Nguyên hàm hàm số f ( x ) = sinx.cos x tập số thực : A cos x + C B − cos x + C C − sinx.cos x D − cos x + C Giải ❖ Cách 1: CASIO ➢ Chuyển máy tính Casio chế độ Radian ( làm toán liên quan đến lượng giác ) qw4 ➢ Chọn giá trị x ví dụ x =  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ➢ Khi giá trị f ( x ) x =  jQ))kQ))rqKP6=n ➢ Theo đáp án A F ( x ) =     cos x Nếu đáp án A F '   = f   Ta tính F(2) = 6 6   -0,4430 giá trị khác f   Vậy đáp án A sai 6 qya1R4$k2Q))$aqKR6= ➢ Ta tiếp tục thử nghiệm với đáp án B qypa1R4$k2Q))$aqKR6=     Ta F '   = 0, 4430 = f   Vậy đáp án xác B 6 6 ❖ Cách tham khảo: Tự luận * Dễ thấy cụm sinxcosx quen thuộc ta nhớ đến cơng thức có nhân đơi: sin2x = 2sinxcosx *Từ ta rút gọn f ( x ) = sin x *Cái đạo hàm sin cos!! Ta nhớ đến cơng thức ( cos u ) ' = −u '.sin u Áp dụng ( cos2 x ) ' = − sin x ( x ) ' = −2sin x   Cân hệ số cách chia hai vế cho -4 ta  − cos x  ' = sin x   http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 10 Ta thấy S1 = 1410(m) A đáp án xác ❖ Bình luận: ▪ Mốc thời gian ban đầu khơng thiết phải nhiên sử dụng phép thử để tìm t0 ta ln ưu tiên t0 = VD4-[Thi thử chuyên Hạ Long - Quảng Ninh lần năm 2007] Một vận động viên đua F1 chạy với vận tốc 10(m/s) tăng tốc với gia tốc ( ) a ( t ) = m / s t khoảng thời gian tính giây từ lúc tăng tốc Hỏi quãng đường xe thời gian 10(s) kể từ lúc bắt đầu tăng tốc bao nhiêu? A 1100m B 400m C 1010m D 1110m Giải ❖ Cách 1: CASIO ➢ Ta có quãng đường S ( t ) = v ( t ) t Vi phân vế theo t ta S ' ( t ) dt = v (t ) dt  S ' (t ) = v (t ) t1 ⇒ S ( t ) nguyên hàm v ( t )  S ( t ) =  v ( t ) dt t0 ➢ Vận tốc xe v ( t ) = v0 + a (t )  v (t ) = 10 + 6t Chọn gốc thời gian lúc xe bắt đầu tăng tốc t0 =0 t1 = t0 + 10 = 10 10 Quãng đường S =  (10 + 6t )dt Sử dụng máy tính Casio với chức tính tích phân y(10+6Q))R0E10= Ta thấy kết 400(m) B đáp án xác ❖ Bình luận: at 6.102 = 10.10 + = 400(m) 2 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[Thi thử THPT Lương Thế Vinh – HN lần năm 2017] Giả sử vật từ trạng thái nghỉ t = chuyển động với vận tốc v ( t ) = t ( − t ) (m/s) Tính ▪ Ta giải theo cơng thức vật lý: S = v0t + quãng đường vật dừng hẳn 125 125 125 125 (m) (m) (m) (m) A B C D 12 Bài 2-[Thi thử Group nhóm tốn Facebook năm 2017] Học sinh lần đầu thử nghiệm tên lửa tự chế phóng từ mặt đất theo phương thẳng đứng với vận tốc 15m/s Hỏi sau 2.5s tên lửa đến độ cao bao nhiêu? Giả sử bỏ qua sức cản gió, tên lửa chịu tác động trọng lực g = 9.8 (m/s2) A 62.25m B 6.875m C 68.125m D 30.625m http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 56 Bài 3-[Bài 15 trang 153 Sách giáo khoa giải tích nâng cao 12] Một vật chuyển động với vận tốc v = 10 ( m / s ) tăng tốc độ với gia tốc a ( t ) = 3t + t (m / s ) Tính quãng đường vật thời gian 10(s) kể từ lúc bắt đầu tăng tốc A 996m B 1200 C 1680m D 3600m Bài 4-[Đề cương chuyên KHTN Hà Nội năm 2017] sin ( t ) Một vật chuyển động với vận tốc v ( t ) = + (m / s) Quãng đường di chuyển vật 2  khoảng thời gian 1,5 giây xác đến 0,01 (m) là: A 0.32m B 0.33m C 0.34m D 0.35m Bài 5-[Thi thử nhà sách Lovebook lần năm 2017] Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước Gọi h(t) thể tích nước bơm sau t giây Cho h ' ( t ) = 3at + bt với a, b tham số Ban đầu bể khơng có nước Sau giây thể tích nước bể 150mm, sau 10 giây thể tích nước bể 1100m3 Tính thể tích nước bể sau bơm 20 giây A 8400m3 B.2200m3 C.600m3 D.4200m3 LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài ▪ Thời điểm t0 = vật trạng thái nghỉ Tại thời điểm t1 ( t1 > t0 ) vật dừng lại hẳn v (t ) =  t1 ( − t1 ) =  t1 = ▪ Vận tốc hàm biến thiên theo thời gian, đồng thời v ( t ) liên tục miền 0;5 ⟹ Quãng đường vật di chuyển từ trạng thái nghỉ đến dừng hẳn là: t1 t0  v(t )dt =  t ( − t ) dt = 125 yQ)(5pQ))R0E5= ⇒ D đáp án xác Chú ý: Vận tốc vật theo thời điểm biểu diễn trục tọa độ Oxy Parabol Dựa vào đề u cầu tìm thời điểm để vật có vận tốc lớn ta dựa vào tọa độ đỉnh   25 Parabol suy t = vận tốc lớn vật đạt v   = (m / s ) 2 Bài ▪ Phương trình vận tốc theo thời gian v ( t ) = v0 + gt = 15 − 9.8t ▪ Vì hàm v ( t ) liê tục miền [0;2.5] nên quãng đường vật di chuyển từ thời điểm t0 = đến thời t1 2.5 t0 điểm t1 = 2.5( s) tính theo cơng thức S =  v(t )dt =  (15 − 9.8t ) dt = 6.875(m) y(15p9.8Q))R0E2.5=n http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 57 ⇒ Nếu chọn chọn đáp án B Chú ý: Nếu xét theo phân loại dạng vật lý dạng chuyển động thẳng đứng Bài ▪ Ta có vận tốc v ( t ) = v0 + at = 10 + ( 3t + t ) t v ( t ) hàm biến thiên theo thời gian liên tục R ⇒ Quãng đường vật di chuyển từ thời điểm t0 = đến thời điểm t1 = 10 tính theo t1 10 t0 ( ( )) công thức S = S ( t ) =  v(t )dt =  10 + 3t + t t dt = 966(m) y(10+(3Q)+Q)d)Q))R0E10= ⇒ Đáp án xác D Chú ý: Ta phải nhớ rõ công thức v ( t ) = v0 + at với a = 3t + t tránh nhầm lẫn at = 3t + t  v ( t ) = 10 + 3t + t sai Bài ▪ Vận tốc v ( t ) hàm biến thiên theo thời gian ⇒ Quãng đường vật di chuyển từ lúc bắt đầu tới 1.5  sin ( t )  thời điểm 1,5 giây là:  v(t )dt =   +  dt = 0.34( s ) (sau làm tròn) 2   t0  qw4y(a1R2qK$+ajqKQ))RqK$)R0E1.5= t1 ⇒ C đáp án xác Bài ▪ h ' ( t ) hàm biến thiên theo thời gian liên tục R ⇒ Thể tích nước bơm tính theo t1 ( ) công thức V = h ( t ) =  3at + bt dt t0  bt  ▪ Tại thời điểm t1 = giây V =  ( 3at + bt ) dt = 150(m3 )   at +  = 150 0   125a + 12.5b = 150 10  bt  ▪ Tại thời điểm t1 = 10 giây V =  ( 3at + bt ) dt = 1100(m3 )   at +  = 1100 0   1000a + 50b = 1100 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 58 125a + 12.5b = 150 ▪ Giải hệ phương trình  1000a + 50b = 1100 w51125=12.5=150=1000=50=1100=== 20 Vậy thời điểm t1 = 20 thể tích V =  (3t ) + 2t dt = 8400 ⇒ A đáp án xác y(3Q)d+2Q))R0E20= T CASIO GIẢI BÀI TỐN TÍCH PHÂN CHỐNG LẠI CASIO I) KIẾN THỨC NỀN TẢNG  Kỹ thuật ép hệ phương trình: Cho hệ thức  f ( x ) dx = f ( a, b, c ) , muốn tìm a, b, c thỏa mãn hệ  thức h(a, b, c)=m Ta tính giá trị tích phân  f ( x ) dx = lưu vào A   f ( a, b, c ) = A Vậy ta ép hệ phương trình  Để giải hệ phương trình ta sử dụng chức h ( a, b, c ) = m dò nghiệm SHIFT SOLVE chức lập bảng giá trị MODE máy tính Casio (Xem ví dụ minh họa 1, 2, 3, 4, 5, 6) Kỹ thuật ép cận nguyên hàm: Cho nguyên hàm gốc  f ( u ( t ) ) dt  f ( x ) dx nguyên hàm hệ qua phép biến đổi biến x = u ( t ) Để sử dụng máy tính Casio ta ép hệ số cho  nguyên hàm gốc để trở thành tích phân xác định  f ( x ) dx Vì nguyên hàm gốc nguyên hàm hệ  tương đương nên  '  '  f ( x ) dx =  f (u (t ) ) dx (  ',  ' cận mới) (Xem ví dụ minh họa 7, 8, 9) II) VÍ DỤ MINH HỌA VD1-[Câu 26 Đề minh họa Bộ GD-ĐT lần năm 2017] Biết x dx = a ln + b ln + c ln với a, b, c số nguyên Tính S = a + b + c +x A S = B S = C S = -2 Giải D S = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 59 ➢ Tính tích phân x dx lưu vào biến A +x ya1RQ)d+Q)R3E4=qJz ➢ Khi A = a ln + b ln + c ln  A = ln ( 2a.3b.5c )  a.3b.5c = e A = 16 15 QK^Qz= 16 2.2.2.2 = = 24.3−1.5−1 = 2a.3b.5c  a = 4; b = −1; c = −1  S = 15 3.5 ⇒ Đáp án xác B VD2-[Tổng hợp tích phan chống Casio – Internet 2017] Dễ thấy Cho I =  ln ( x + 1) dx = a ln + b ln + c ( a, b, c  Z ) Tính giá trị biểu thức A = a + b + c A B C D ➢ Tính giá trị tích phân I =  ln ( x + 1) dx lưu giá trị vào biến A yhQ)+1)R1E2=qJz ( ) ➢ Khi a ln + b ln + c = A  ln 3a.2b.ec = ln e A  3a.2b.ec = e A  3a.2b = Để tính 3a.2b ta sử dụng chức MODE với hàm f ( X ) = 3a.2b = eA ec eA ec w7aQK^QzRQK^Q)==p9=10=1= Quan sát hình xem giá trị f ( X ) (cũng 3a.2b ) số hữu tỉ nhận Dễ thấy với X = c = −1 3a.2b = 6.75 = 27 = 33.2−2  a = 3; b = −2 Tóm lại a + b + c = − −1 = ⇒ Đáp án A đáp án xác VD3-[Tổng hợp tích phân chống Casio – Internet 2017] http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 60  Cho I =   sin x − cos x dx = ( a + b ) ln + c ln ( a, b, c  Q ) Tính giá trị biểu thức: A = a + b + c sin x + cos x A Giải B C D  ➢ Tính giá trị tích phân I =   sin x − cos x dx lưu giá trị vào biến A sin x + cos x yajQ))pkQ))RjQ))+kQ))RaqKR4EEaqKR2=qJz ➢ Khi ( a + b ) ln + c ln = A  ln ( 3a +b.2c ) = ln e A Mà ta tính e A = QK^Qz= ⇒ 3a +b.2c = = 30.2  a + b = 0; c = 1 = 2 ⇒ Đáp án B đáp án xác VD4-[Tổng hợp tích phân chống Casio – Internet 2017] Tóm lại a + b + c = +  Cho I =  sin xdx =  a + b ( a, b  Q ) Tính giá trị biểu thức A = a + b A 11 32 B − 32 C D Giải ➢ Tính giá trị tích phân I =  ln ( x + 1) dx lưu giá trị vào biến A yjQ))^4R0EaqKR4=qJz  a + b = A  ➢ Khi  a + b = A Nếu đáp số A hệ  11 có nghiệm hữu tỉ (thuộc Q)  a + b = 32 ==$$Rp5P32== http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 61 ; b = − số hữu tỉ ⇒ B đáp án xác 32 VD5-[Tổng hợp tích phân chống Casio – Internet 2017] Rõ ràng a =  Cho I =  x (1 + sin x ) dx = 2 +a b A = a +b A 20 B 40 → ( a, b  Q ) với a phân số tối giản Tính biểu thức b C 60 Giải D 10  ➢ Tính giá trị tích phân I =  x (1 + sin x ) dx lưu giá trị vào biến A yQ)(1+j2Q)))R0EaqKR4=qJz ➢ Khi 2 +a = A Nếu đáp số A a + b = 20  b = 20 − a  A = b Sử dụng chức SHIFT SOLVE để tìm a (với a số nguyên) QzQraqKd+Q)R20pQ)qr=10= 2 +a 20 − a Kết không số nguyên ⇒ Đáp số A sai ➢ Nếu đáp số B a + b = 40  b = 40 − a  A = 2 +a 40 − a $$$$R$4qr=20= Vậy a =  b = 32 ⇒ Đáp án A đáp án xác VD6-[Tổng hợp tích phân chống Casio – Internet 2017] Cho I =  x ln xdx = với a b ; phân số tối giản Tính biểu thức A = a + b c c A 15 B -28 C 36 ae + b c ( a, b, c  Z ) D 46 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 62 Giải ➢ Tính giá trị tích phân I =  x ln xdx lưu giá trị vào biến A yQ)(1+j2Q)))R0EaqKR4=qJz ➢ Khi ae4 + b = A Nếu đáp số A c = 15 − a − b  15 A − a A − b A = a.e + b c 15 A − a A − a.e A +1 Sử dụng chức MODE để tìm a (với a số nguyên) w7a15QzpQzQ)pQK^4$Q)RQz+1==p9=10=1= b= Kết khơng tìm số ngun ⇒ Đáp số A sai ➢ Tương tự với đáp số C  b = 36 A − a A − a.e4 A +1 C$$$oo36===== Ta tìm nghiệm a = 129 số hữu tỉ ⇒ Đáp án C đáp án xác VD7-[Trích đề thi ĐH khối B năm 2005]  Cho tích phân I =  esin x sin xdx Nếu đổi biến số t = sin x thì:   A I =  et t.dt B I =  et t.dt C I = 2 et t.dt 0 D I =  et t.dt Giải  ➢ Tính giá trị tích phân I =  esin x sin xdx yQK^jQ))$j2Q))R0EaqKR2= http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 63 ➢ Nếu đáp án A giá trị tích phân câu A phải giống giá trị tích phân đề  Tính I =  et t.dt yQK^Q)$Q)R0EaqKR2= Kết số khác ⇒ Đáp số A sai ➢ Tương tự với đáp số C I = 2 et t.dt = 2yQ)QK^Q)R0E1= ⇒ Đáp án C đáp án xác Chú ý: Đổi cận phải đổi biến ⇒ Dễ dàng loại đáp án A D VD8-[Trích đề thi ĐH khối D năm 2011] Sử dụng phương pháp đổi biến đưa tích phân I =  4x −1 dx thành tích phân 2x +1 +  f ( t ) dt Khi f ( t ) hàm hàm số sau? 2t − A f ( t ) = t+2 2t − C f ( t ) = (t + 2) B ( 2t f (t ) = D ( 2t f (t ) = ) − 8t + ( t + ) t ) − 8t + ( t + ) 2t Giải ➢ Tính giá trị tích phân I =  4x −1 dx 2x +1 + ya2Q)dp3RQ)+2R3E5= 2t − 2t − dt = 6.2250 điều ➢ Nếu đáp án A f ( t ) = giá trị tích phân I =  t+2 t+2 2t − dt = 9.6923 t+2 sai I =  ya2Q)dp3RQ)+2R3E5= http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 64 Kết số khác ⇒ Đáp số A sai ➢ Tương tự nhưu với đáp số B xác ya(2Q)dp8Q)+5)(Q)p2)RQ)R3E5= VD9- Nếu sử dụng phương pháp đổi biến tìm nguyên hàm, ta đặt t = + ln x nguyên hàm ln x + ln x dx có dạng:  x A  3t ( t 3 ) − dt C  3t ( t + 1) dt B  t ( t − 1) dt D  t ( t + 1) dt Giải ➢ Để sử dụng máy tính Casio ta phải tiến hành chọn cận để đưa nguyên hàm (tích phân bất định) trở thành tích phân (tích phân xác định) Ta chọn hai cận e7 Tính giá trị tích phân e7 ln x + ln x dx = 43.1785 ahQ))Oq^3$1+hQ))RQ)R1EQK^7= 1 x  x =  t = + ln1 = ➢ Khi tiến hành đổi biến ta phải đổi cận:  Nếu đáp án A  x = e7  t = + ln 37 = 2 giá trị tích phân câu A phải giống giá trị tích phân đề Tính I =  3t ( t − 1) dt yQK^Q)$Q)R0EaqKR2= Kết số khác ⇒ Đáp số A sai ➢ Tương tự với đáp số C I =  et t.dt = y3Q)^3$(Q)^3$p1)R1E2=n ⇒ Đáp án A đáp án xác http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 65 Chú ý: Ta chọn cận không thiết phải e7 (chỉ cần thỏa mãn tập xác định hàm số được) Ví dụ 3: Nếu f ( x ) = ( ax + bx + c ) x − nguyên hàm hàm số g ( x ) = 1  khoảng  ; +  a + b + c có giá trị là: 2  A B C Giải 10 x − x + 2x −1 D Tự luận: (( ax + bx + c ) ) 2x −1 ' = 5ax + ( −2a + 3b ) x − b + c 2x −1 a = 10 x − x +  =  b = −1  a + b + c = Ca 2x −1 c =  sio: Tư nghĩ sau: 10 x − x + a x − dx = F (b ) − F ( a ) b Nếu ta chọn x cho F ( a ) = → x = 0.5 em nhìn giá trị đạo hàm khơng xác định x = 0.5 nên ta lấy giá trị lân cận 0.5 Chú ý f (1) = ( a + b + c ) → Chọn b = 10 x − x + dx  a + b + c Thì  2x −1 0.5+x Chọn đáp án D Nếu mà đề hỏi 4a + 2b + c em tính tích phân từ 0.5 + x → BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[Tổng hợp tích phân chống Casio - Nguồn Internet 2017]  Cho tích phân  tan xdx = a + b ( a, b  Q ) Tính giá trị biểu thức P = a + b B P = C P = 4 Bài 2-[Tổng hợp tích phân chống Casio - Nguồn Internet 2017] A P = Cho tích phân ( a, b  Q ) D P = 11 1− x x e dx = a.e + b.e ( a, b  Q ) Tính giá trị biểu thức P = a + b x  A P = −1 B P = 0.5 C P = Bài 3-[Tổng hợp tích phân chống Casio - Nguồn Internet 2017] D P =  Cho tích phân cos x + cos x  + 3sin x − cos x dx = a ln + b ln + c ( a, b, c  Z ) Tính P = a + b + c http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 66 A P = −3 B P = −2 C P = Bài 4-[Tổng hợp tích phân chống Casio - Nguồn Internet 2017] Cho tích phân  2x D P = dx =a ln + b ln + c ln11( a, b, c  Z ) Tính giá trị biểu thức + 5x + P = a +b+c A P = B P = −3 C Bài 5-[Tổng hợp tích phân chống Casio - Nguồn Internet 2017] D x2 + x + 1 x + x dx = a ln + b ln + c ( a, b, c  Z ) Tính giá trị biểu thức Cho tích phân P = a +b+c A P = B P = −2 C Bài 6-[Tổng hợp tích phân chống Casio - Nguồn Internet 2017] D -1 Nếu sử dụng phương pháp đổi biến với ẩn phụ t = x2 − đưa tích phân  dx x x2 −1 thành tích phân sau đây? A  dt t +1 B  dt t +1 C  dt t ( t + 1) D  t (t dt +1 ) Bài 7-[Tổng hợp tích phân chống Casio - Nguồn Internet 2017] Nếu sử dụng phương pháp đổi biến với ẩn phụ t = + 3cos x đưa nguyên hàm sin x + sin x I = dx thành nguyên hàm sau đây? + 3cos x −2t − −2t − −2t − 1 −2t − B C  D  dt dt dt dt  t  9 t t t Bài 8-[Tổng hợp tích phân chống Casio - Nguồn Internet 2017] Nếu sử dụng phương pháp đổi biến với ẩn phụ t = + 3cos x đưa nguyên hàm sin x + sin x I = dx thành nguyên hàm sau đây? + 3cos x A A −2t −  t dt B −2t − −2t − C  dt dt  t t LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN D −2t − dt 9 t Bài  ▪ Tính giá trị tích phân  tan xdx lưu vào biến A qw4y1Q))dR0EaqKR4=qJz http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 67 a + b = A  ▪ Nếu đáp số A ta có hệ phương trình   a = 1.7334 số hữu tỉ ⇒ a + b = Đáp số A sai w511=qK=Qz=1=1=5P4==  a + b = A a =  ▪ Tương tự với đáp án B ta có hệ phương trình   B đáp số  b =  a + b = xác ==$$R3P4=== Bài 1− x x e dx lưu vào biến A x2 ▪ Tính giá trị tích phân  ya1pQ)RQ)d$QK^Q)R1E2=qJz ae2 + be = A a = −0.5  ▪ Với đáp số A ta có hệ phương trình  a + b = 0.5 b =  w51QKd=QK=Qz=1=1=0.5== ⇒ Đáp số A xác Bài  ▪ Tính giá trị tích phân cos 3x + cos x  + 3sin x − cos x dx lưu vào biến A yak3Q))+2kQ))R2+3jQ))pk2Q))R0EaqKR2=qJz ( ) ( ) ▪ Vậy a ln + b ln + c = A  ln 2a.3b.ec = ln e A  2a.3b = eA Tìm a.3b chức lập c e bảng giá trị MODE với biến X = c w7aQK^QzRQK^Q==p9=10=1= http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 68 Ta a.3b =18 với X = c = −2 Vậy 18 = 2.32 = 2a.3b  a = 1; b = ⇒ P = a + b + c = + − =  Đáp án xác D Bài 4 ▪ Tính giá trị tích phân  2x dx = lưu vào biến A + 5x + ya1R2Q)d+5Q)+3R1E4=qJz ▪ Vậy a ln + b ln + c ln11 = A  ln ( 2a 5b11c ) = ln ( e A )  2a5b11c = e A = 25 5.5 = = 52 2−111−1 22 2.11 Rõ ràng a = −1; b = 2; c = −1  P = a + b + c = + − = ⇒ Đáp số xác D Bài ▪ Tính giá trị tích phân  2x dx = lưu vào biến A + 5x + yaQ)d+2Q)+2RQ)d+Q)R1E2=qJz ( ) ( ) ▪ Vậy a ln + b ln + c = A  ln 2a.3b.ec = ln e A  2a.3b.ec = e A  2a.3b = eA Tìm a.3b c e chức lập bảng giá trị MODE với biến X = c w7aQK^QzRQK^Q)==p9=10=1= = 23.3−1  a = 3; b = −1 với X = c =  P = a + b + c = −1+1 =  Đáp số xác A Bài Ta 2a.3b = 2.66 ( ) = ▪ Tính giá trị tích phân I =  dx x x2 −1 =  12 ya1RQ)sQ)dp1Ra2Rs3EEs2= http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 69 Tích phân có giá trị Ta có đáp án B có giá trị: t  đáp án 12 dt  = + 12 qw4ya1RQ)d+1Ra1Rs3EE1= ⇒ Đáp số xác A Chú ý: Giá trị tích phân khơng thay đổi theo phép biến đổi biến (đặt ẩn phụ) Bài  sin x + sin x  dx ▪ Chọn cận Tính giá trị tích phân I =  + 3cos x yaj2Q))+jQ))Rs1+3kQ))R0EaqKR2=  x =  t = + cos x =  ▪ Tiến hành đổi biến phải đổi cận    x =  t = 1 2t + dt ▪ Với đáp số D ta có −  94 t a1R9$yap2Q)p1RsQ)R4E1=nn ⇒ Đáp số xác D Chú ý: Chọn cận nhiên nên chọn cận x cho t đẹp http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 70 ... hình e líp…thì có cơng thức diện tích mặt ao hồ hình thù phức tạp có tích phân xử lý được, tính thể tích khoang tầu thủy có hình dạng phức tạp lại phải nhờ đến tích phân Tích phân đại nhà tốn... định, phân số phức tạp chia thành phân số đơn giản *Về nguyên tắc tích phân hàm phân thức chia thành hang chục phân số đơn giản trương trình học THPT chia làm phân thức Chúng ta theo dõi phép chia... triển Tích phân nhà toán học, vật lý học, triết học, thiên văn học thiên tài người Hi Lạp Ac-si-met Tích phân chia làm dạng: Tích phân bất định (khơng cận ) thường biết tới tên Nguyên hàm Tích phân