BÀI TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ NB-TH: 26 câu - VD: 21 câu - VDC: câu A LÝ THUYẾT ■ Định nghĩa: Cho hàm số y = f (x) xác định K , với K khoảng, nửa khoảng đoạn ( ) ( ) Þ f ( x ) > f ( x ) Hàm số y = f (x) đồng biến (tăng) K "x1 , x2 ỴK, x1 < x2 Þ f x1 < f x2 Hàm số y = f (x) nghịch biến (giảm) K "x1 , x2 ỴK, x1 < x2 ■ Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y = f (x) có đạo hàm khoảng K () f ' ( x ) £ 0,"x ÎK Nếu hàm số đồng biến khoảng K f ' x ³ 0,"x ỴK Nếu hàm số nghịch biến khoảng K ■ Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y = f (x) có đạo hàm khoảng K () f ' ( x ) < 0,"x ỴK hàm số nghịch biến khoảng K f ' ( x ) = 0,"x ỴK hàm số không đổi khoảng K Nếu f ' x > 0,"x ỴK hàm số đồng biến khoảng K Nếu Nếu ■ Chú ý Nếu K đoạn nửa khoảng phải bổ sung giả thiết “ Hàm số y = f (x) liên tục đoạn nửa khoảng đó” Chẳng hạn: Nếu hàm số y = f (x) liên tục đoạn éë a;b ùû có đạo ( ) () f ' ( x ) ³ 0,"x ỴK ( f ' ( x ) £ 0,"x ỴK ) f ' ( x ) = số điểm hữu hạn K hàm f ' x > 0,"x ÎK khoảng a;b hàm số đồng biến đoạn éë a;b ùû Nếu hàm số đồng biến khoảng K ( nghịch biến khoảng K ) B BÀI TẬP 1.1.1 Chiều biến thiên hàm số Câu [NB-TH]Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm K Ì Khẳng định sau khẳng định đúng? A Nếu f '(x) ³ 0,"x ỴK , f '(x) = số hữu hạn điểm K hàm số tăng K () B Nếu f ' x > 0thì hàm số đồng biến khoảng K C Nếu f '(x) ³ 0,"x ỴK hàm số tăng K ( ) ( ) D Hàm số y = f (x) đồng biến (tăng) K nu "x1 , x2 ẻK, x1 < x2 ị f x1 > f x2 Hướng dẫn giải Xem phần lý thuyết Câu x +1 Khẳng định khẳng đinh đúng? 1- x A Hàm số đồng biến khoảng ( -¥;1) (1;+¥ ) [NB-TH]Cho hàm số y = http://dethithpt.com B Hàm số đồng biến khoảng ( -¥;1) È (1;+¥) ( ) ( ) C Hàm số nghịch biến khoảng -¥;1 1;+¥ ( ) ( ) D Hàm số nghịch biến khoảng -¥;1 È 1;+¥ Hướng dẫn giải +) TXĐ: D = +) y ' = \ {1} > , "x ¹ (1- x)2 +) Hàm số đồng biến khoảng ( −;1) (1; + ) Câu [NB-TH]Cho hàm số y = -x + 3x - 3x + Khẳng định sau khẳng định đúng? A Hàm số nghịch biến B Hàm số nghịch biến khoảng ( -¥;1) (1;+¥) C Hàm số đồng biến khoảng ( -¥;1) nghịch biến khoảng (1;+¥ ) D Hàm số đồng biến Hướng dẫn giải +) TXĐ: D = +) y' = -3x + 6x - = -3(x -1)2 £ , "x Ỵ Câu [NB-TH]Cho hàm số y = -x + 4x +10 khoảng sau: ( ) ( ( ) ) (I) -¥;- ;(II) - 2;0 ;(III) 0; Hỏi hàm số đồng biến khoảng nào? A (I) (III) B (I) (II) C (II) (III) D Chỉ (I) Hướng dẫn giải +) TXĐ: D = x = +) y ' = −4 x3 + x = x(2 − x ) Giải y ' =   x =  ( ) ( ) +) Trên khoảng -¥;- 0; , y '  nên hàm số đồng biến Câu 3x -1 Khẳng định sau khẳng định đúng? -4 + 2x A Hàm số nghịch biến khoảng xác định [NB-TH]Cho hàm số y = B Hàm số nghịch biến ( ) ( ) C Hàm số đồng biến khoảng -¥;2 2;+¥ http://dethithpt.com ) ( ( ) D Hàm số nghịch biến khoảng -¥;- -2;+¥ Hướng dẫn giải \ {2} +) TXĐ: D = +) Ta có y ' = − Câu 10  0, x  D (−4 + x) [NB-TH]Hỏi hàm số sau nghịch biến ? 4 A f (x) = - x5 + x - x B g ( x) = x3 + 3x + 10 x + D k ( x) = x3 + 10 x − cos x C h( x) = x − x + Hướng dẫn giải Ta có: f '(x) = -4x + 4x -1= -(2x -1)2 £ 0,"x Ỵ Câu x - 3x + [NB-TH]Cho hàm số y = Hỏi hàm số nghịch khoảng nào? x +1 A ( −4; −1) ( −1; ) B ( −4;2 ) C ( −; −1) ( −1; + ) D (-¥;-4) (2;+¥) Hướng dẫn giải +) TXĐ: D = +) y ' = \ {-1} x2 + 2x − ( x + 1)2 x = +) Giải y ' =  x + x − =    x = −4 y ' không xác định x = −1 +) BBT x − f’(x) -4 + -1 − − f(x) − − +) Hàm số nghịch biến khoảng ( −4; −1) ( −1; ) http://dethithpt.com + + + −11 + Câu x3 [NB-TH]Cho hàm số y = - 3x + 5x - Hỏi hàm số nghịch biến khoảng nào? A ( 2;3) B 1;6 C -¥;1 D (5;+¥) ( ) ( ) Hướng dẫn giải +) TXĐ: D = éx = +) y ' = x - 6x + = Û ê ëx = ( ) +) lập bảng biến thiên, suy hàm số nghịch biến 1;5 Câu [NB-TH]Cho hàm số y = x - 3x + 4x - Hỏi hàm số đồng biến khoảng nào? A B (-¥;0) C (0;2) D (2;+¥) Hướng dẫn giải +) TXĐ: D = +) y' = 3x -12x3 +12x = 3x (x - 2)2 ³ , "x Ỵ Câu 10 [NB-TH]Cho hàm số y = ax + bx + cx + d Hỏi hàm số đồng biến R nào? é a = b = 0,c > A ê ë a > 0;b - 3ac £ é a = b = 0,c > B ê ë a > 0;b - 3ac ³ é a = b = 0,c > C ê a < 0;b 3ac £ ë éa = b = c = D ê a < 0;b 3ac < ë Hướng dẫn giải é a = b = 0,c > y ' = 3ax + 2bx + c ³ 0,"x Ỵ Û ê ë a > 0;b - 3ac £ Câu 11 [NB-TH]Cho hàm số y = x3 + 3x − x + 15 Khẳng định sau khẳng định sai? A Hàm số đồng biến C Hàm số đồng biến ( −9; −5) B Hàm số nghịch biến khoảng ( −3;1) D Hàm số đồng biến khoảng ( 5; + ) Hướng dẫn giải +) TXĐ: D = +) Do y ' = 3x + x − = 3( x − 1)( x + 3) nên hàm số không đồng biến Câu 12 [NB-TH]Cho hàm số y = 3x - x Khẳng định sau khẳng định sai? A Hàm số đồng biến khoảng ( -¥;0 ) ( 2;3) B Hàm số đồng biến khoảng ( 0;2 ) http://dethithpt.com C Hàm số nghịch biến khoảng ( -¥;2 ); ( 2;3) D Hàm số nghịch biến khoảng ( 2; 3) Hướng dẫn giải +) ĐK: x − x   x  suy D = (−;3] +) y ' = x − 3x 2 3x − x3 x = Giải y ' =   x = x = y ' không xác định  x = +) BBT x − − y' || + + − || y 0 Hàm số nghịch biến (−;0) (2;3) Hàm số đồng biến (0; 2) x + sin x, x Î[ 0; p ] Hỏi hàm số đồng biến khoảng nào? ỉ 7p 11p ỉ 7p ổ 11p A ỗ 0; ữ v ỗ B ỗ ; ;p ữ ố 12 ứ è 12 ø è 12 12 ÷ø Câu 13 [NB-TH]Cho hàm số y = ỉ 7p ỉ 7p 11p C ỗ 0; ữ v ỗ ; ố 12 ø è 12 12 ÷ø Hướng dẫn giải +) TXĐ: D = +) y ' = + sin x http://dethithpt.com ỉ 7p 11p ỉ 11p D ỗ ; v ;p ố 12 12 ữứ ỗố 12 ữứ x = + k  12 Giải y ' =  sin x = −   , kỴ  x = 7 + k  12 ( Vì x  0;   nên có giá trị x = ) 11 7 x = thỏa mãn điều kiện 12 12 +) BBT x y' | 11 12 7 12 + -  + |  y  7 Hàm số đồng biến  0;  12   11  ;      12  Câu 14 [NB-TH]Cho hàm số y = x + cos x Khẳng định sau khẳng định đúng? A Hàm số ln đồng biến ỉp B Hm s ng bin trờn ỗ + kp ;+Ơữ v nghch bin trờn khong ố4 ứ ổ p -Ơ; + k p ỗố ữứ ổp C Hm s nghch bin trờn ỗ + kp ;+Ơữ v ng bin trờn khong ố4 ứ ổ p ỗố -Ơ; + kp ữứ D Hm số nghịch biến Hướng dẫn giải +) TXĐ: D = ; y' = 1- sin 2x ³ , "x Ỵ +) Hàm số ln đồng biến Câu 15 [NB-TH]Cho hàm số sau: x −1 y = x3 − x + 3x + ; y = ; y = x + ; y = x3 + x − sin x y = x + x + x +1 Có hàm số đồng biến khoảng mà xác định? A http://dethithpt.com B C D Hướng dẫn giải ( ) +) y ' = x - 2x + = x -1 + > , "x Ỵ  x −1  y' =  0 ,  =  x +  ( x + 1) ' y'= ( x2 + )= ' x  −1 x x +4 y ' = x3 + x = x(2 x + 1) Câu 16 [NB-TH]Hỏi hàm số sau nghịch biến toàn trục số ? y = -x + 3x - 3x +1(I ) y = sin x - 2x(II ) y = - x3 + 2(III) y= x-2 (IV ) 1- x A (I), (II) B (I), (II) (III) C (I), (II) (IV) D (II), (III) Hướng dẫn giải +) y' = (-x + 3x - 3x +1)' = -3x + 6x - = -3(x -1)2 £ , "x Ỵ ; +) y' = (sin x - 2x)' = cos x - < +) y ' = − ( ) 3x ' x +2 =− x +2 0 "x Ỵ ; (  x−2  x−2  0 +) y ' =   =  =− (1 − x)  1− x   −x +1 ' ) x  − 2; + ; ' x  Câu 17 [NB-TH]Xét mệnh đề sau (I) Hàm số y = -(x -1)3 nghịch biến (II) Hàm số y = ln( x − 1) − (III) Hàm số y = x x +1 x đồng biến tập xác định x −1 đồng biến Hỏi có mệnh đề đúng? A Hướng dẫn giải http://dethithpt.com B C D ( ) ' +) y' = -(x -1)3 = -3(x -1)2 £ "x Ỵ ' ỉ x x +) y ' = ỗ ln(x -1) = > 0,"x > ữ x -1ø ( x -1)2 è ( x +1 - x +) y ' = x +1 x2 + ) ỉ x x +1 - x.ỗ ữ ố x +1 ứ = >0 x +1 x +1 x +1 ' = ( ( ) "x Ỵ ) Câu 18 [NB-TH]Cho hàm số y = x +1 x - Khẳng định sau khẳng định sai? A Hàm số nghịch biến khoảng (-¥;-1) B Hàm số nghịch biến khoảng (-1; ) C Hàm số đồng biến khoảng (-¥;-1) ( ;+¥) 1 D Hàm số nghịch biến khoảng (-1; ) đồng biến khoảng ( ;+¥) 2 Hướng dẫn giải ì2x -1, x > -1 +) y ' = í-2x +1, x < -1 ỵ +) y ' = Û x = x y' -¥ -1 + - || +¥ + y Câu 19 [NB-TH]Cho hàm số y = x + 3+ 2 - x Khẳng định sau khẳng định đúng? ( ) ( ) A Hàm số đồng biến khoảng -¥;1 nghịch biến khoảng 1;2 http://dethithpt.com ( ) ( ) ( ) B Hàm số đồng biến khoảng -¥;-2 nghịch biến khoảng -2;2 ( ) C Hàm số nghịch biến khoảng -¥;-2 đồng biến khoảng -2;2 ( ( ) ) D Hàm số nghịch biến khoảng -¥;1 đồng biến khoảng 1;2 Hướng dẫn giải +) TXĐ: D = ( −; 2 y' = − x −1 Giải y ' =  − x =  x = 2− x y ' không xác định x = +) BBT x − + y' − || y − ỉ p pư Câu 20 [NB-TH]Cho hàm số y = cos 2x + sin 2x.tan x,"x ẻỗ - ; ữ Khng nh sau khẳng è 2ø định đúng? ổ p pử A Hm s khụng i trờn ỗ - ; ÷ è 2ø ỉ p pư B Hm s luụn tng trờn ỗ - ; ữ è 2ø ỉ p pư C Hàm số luụn gim trờn ỗ - ; ữ ố 2ø ỉ p pư D Hàm số đơn điệu ç - ; ÷ ( vừa tăng, vừa giảm è 2ø Hướng dẫn giải    +) Xét khoảng  − ;   2 http://dethithpt.com ổ p pử ỗố - ; ữứ ) y = cos x + sin x.tan x = cos x.cos x + sin x.sin x =1 y ' = cos x æ p pử +) Hm s khụng i trờn ỗ - ; ÷ è 2ø 1.1.2 Tìm tham số, để hàm số đơn điệu Câu 21 [NB-TH]Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y = khoảng mà xác định ? A m 1 Hướng dẫn giải +) Tập xác định: D = +) y ' = \ { m} x − 2mx + m − m + ( x − m) http://dethithpt.com C m 0,"t Ỵ 1; Ta có bảng biến thiên sau t g’(t) + g(t) -3 http://dethithpt.com +) Từ BBT suy −3  m  giá trị cần tìm Câu 44 [VD]Tìm tất giá trị thực tham số m cho nghiệm bất phương trình: ( ) x − x +  nghiệm bất phương trình mx + m +1 x + m +1 ³ ? B m £ - A m ³ - C m £ -1 D m ³ -1 Hướng dẫn giải +) Bất phương trình (1)   x  +) Bất phương trình (2)  m( x2 + x + 1)  − x −  m  −x − với  x  x + x +1 +) Xét hàm số f ( x) = Có f '( x) = −x − x + x +1 2 x + 4x +  0, x  [1;2] ( x + x + 1) +) Yêu cầu toán Û m ³ max f (x) Û m ³ [1;2] Câu 45 [VD]Tìm tất giá trị thực tham số m cho phương trình: log32 x + log32 x +1 - 2m -1 = có nghiệm đoạn é1;3 ù ? ë B -1£ m £ A £ m £ C £ m £ D -1 £ m £ Hướng dẫn giải +) Đặt t = log 32 x +1 Điều kiện : t ³ +) Phương trình thành: t + t - 2m - = (*) Khi x Î é1;3 ù Þ t Î[1;2] ë û (*) Û f (t) = t2 + t - =m +) Bảng biến thiên f (t) t f '(t ) +) Từ bảng biến thiên ta có : £ m £ http://dethithpt.com + f (t ) û Câu 46 [VDC]Tìm tất giá trị thực tham số m cho phương trình x + mx + = 2x +1 có hai nghiệm thực? A m ³ B m ³ C m ³ - D "m Ỵ 2 Hướng dẫn giải +) Điều kiện : x ³ - +) Vì x = khơng nghiệm nên (*) Û 3x + 4x -1= mx Û m= +) Xét f (x) = 3x + 4x -1 x 3x + 4x -1 x Ta có f '(x) = 3x +1 > "x ³ - ; x ¹ x +) Bảng biến thiên − x f’(x) + + + +¥ + f(x) − +) Từ bảng biến thiên ta có để phương trình có hai nghiệm m ³ Câu 47 [VDC]Tìm tất giá trị thực tham số m cho phương trình x -1 + m x +1 = x -1 có hai nghiệm thực? A £ m < B -1 £ m £ Hướng dẫn giải +) Điều kiện : x  +) Pt Û Û3 http://dethithpt.com x -1 x +1 +m=2 x -1 (x +1)2 x -1 x -1 + m = 24 x +1 x +1 C -2 < m £ D £ m < +) t = x -1 với x ³ ta có £ t m + 2x - 5x + nghiệm với x Ỵ éê - ;3ùú ? ë û B m > A m < D m >1 C m m +) BBT t f’(t) + 49 + 14 f(t) +) Từ bảng biến thiên ta có : m < http://dethithpt.com Câu 49 [VDC]Tìm tất giá trị thực tham số m cho bất phương trình ( ) 1+ x + 3- x - (1+ x)(3- x) ³ m nghiệm với x Ỵ[ -1;3]? B m ³ A m £ - C m ³ - D m £ Hướng dẫn giải +) Đặt t = 1+ x + 3- x Þ t = + (1+ x)(3- x) Û (1+ x)(3- x) = t - +) Với x Ỵ[ -1;3] => t Ỵ[2;2 2] Thay vào bất phương trình ta : m £ -t + 3t - +) Xét hàm số f (t) = -t + 3t + 4; f '(t) = -2t + f '(t) = Û t = m.4 x + ( m -1).2 x+2 + m-1> Û m.t + 4( m -1).t + ( m -1) > 0,"t > Û m( t + 4t +1) > 4t +1,"t > Û g (t ) = 4t +1 < m,"t > t + 4t +1 2 Ta có g ¢ ( t ) = -4t - 2t < nên g ( t ) nghịch biến [ 0;+¥ ) ( t + 4t +1) +) ycbt Û Max g ( t ) = g ( 0) = £ m t³0 Câu 52 [VDC]Tìm tất giá trị thực tham số m cho bất phương trình: -x + 3mx - < - nghiệm "x ³ ? x 3 A m < B m  C m  D −  m  3 Hướng dẫn giải +) Bpt  3mx  x − 13 + 2, x   3m  x − 14 + = f ( x ) , x  x x x +) Ta có f  ( x ) = x + 45 − 22  2 x  45  − 22 = 22−  suy f ( x ) tăng x x  x x x +) Ycbt  f ( x )  3m, x   f ( x ) = f (1) =  3m   m x 1 Câu 53 [VDC]Tìm giá trị lớn tham số m cho bất phương trình 2cos x + 3sin x ³ m.3cos x có nghiệm? A m = B m = C m = 12 D m = 16 2 Hng dn gii ổ 2ử +) (1) ỗ ữ ố 3ứ cos2 x ổ 1ử + 3ỗ ữ è 9ø cos2 x ³ m +) Đặt t = cos2 x,0 £ t £ t t t t 2 1 2 1 +) (1) trở thành   +    m (2) Đặt f (t ) =   +   3 9 3 9 +) Ta có (1) có nghiệm  (2) có nghiệm t  [0;1]  m  Max f (t )  m  t[0;1] x3 + 3x2 + x + 16 − − x  có tập nghiệm éë a;b ùû Hỏi tổng a + b có giá trị bao nhiêu? A B Câu 54 [VD]Bất phương trình C -2 Hướng dẫn giải http://dethithpt.com D +) Điều kiện: −2  x  +) Xét f (x) = 2x + 3x + 6x +16 - - x đoạn  −2;4 ( ) x + x +1 +) Có f ¢(x) = 2x + 3x + 6x +16 + 4- x > 0,"x Ỵ( -2;4) Do hàm số đồng biến  −2;4 +) Bpt  f ( x)  f (1) =  x  +) So với điều kiện, tập nghiệm bpt S = [1; 4] x - 2x + - x - 6x +11 > 3- x - x -1 có tập nghiệm ( a;b ùû Hỏi Câu 55 [VD]Bất phương trình hiệu b - a có giá trị bao nhiêu? A B C D -1 Hướng dẫn giải +) Điều kiện:  x  ; bpt  ( x −1) + + x −1  +) Xét f (t ) = t + + t với t  +) Có f '(t ) = t t +2 + t  0, t  Do hàm số đồng biến [0; +) +) (1)  Û f (x -1) > f (3- x) Û x -1> Û x > +) So với điều kiện, bpt có tập nghiệm S = (2;3] http://dethithpt.com (3 − x ) + + 3− x ... hàm số y = f ( x) = x + a sin x + bcosx tăng ? A a2 + b2  B a + 2b = C 1 + = a b D a + 2b  Hướng dẫn giải +) Tập xác định +) y ' = + acosx − b sin x +) Áp dụng bất đẳng thức Schwartz ta có. .. Hướng dẫn giải +) Đặt t = + x + − x   t = ( + x + − x ) = + ( + x )( − x )   t = + ( + x )( − x )  + ( + x ) + ( − x ) = 18  18 + 3x − x = ( + x )( − x ) = ( t − ) ; t  3;3  +) Xét f (... http://dethithpt.com D +) Điều kiện: −2  x  +) Xét f (x) = 2x + 3x + 6x +1 6 - - x đoạn  −2;4 ( ) x + x +1 +) Có f ¢(x) = 2x + 3x + 6x +1 6 + 4- x > 0,"x Ỵ( -2;4) Do hàm số đồng biến  −2;4 +) Bpt  f