TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG CHUYÊN ĐỀ: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC Chủ đề 3: Ứng dụng 1: TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG I LÝ THUYẾT Bài tốn 1: Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số f(x) liên tục đoạn a;b , trục b hoành hai đường thẳng x = 1, x = b tính theo cơng thức S =  f ( x ) dx (1) a Minh họa dạng thường gặp: f ( x )  0, x a;b f ( x )  0, x a;b f ( x ) không mang dấu a;b b b S =   −f ( x )  dx S =  f (x)dx a a b b a c S =  f (x)dx +   −f ( x )  dx Lưu ý: Bằng cách xem x hàm số biến y, tức x = g ( y ) , diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số x = g ( y ) liên tục đoạn a;b , trục tung hai đường thẳng y = a, y = b tính b theo công thức S =  g ( y ) dy (2) a http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Bài tốn 2: Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số f(x), g(x) liên tục a;b b hai đường thẳng x = a, x = b tính theo cơng thức S =  f ( x ) − g ( x ) dx (3) a Minh họa dạng thường gặp: f ( x )  g ( x ) , x a;b f ( x )  g ( x ) , x a;b b S =  f ( x ) − g ( x )  dx a b S =  g ( x ) − f ( x )  dx a f ( x )  g ( x ) , x   a;c ; f ( x )  g ( x ) , x   c;b ; ( a  c  b ) c b a c S =  f ( x ) − g ( x )  dx +  g ( x ) − f ( x )  dx Lưu ý: Bằng cách xem x hàm biến y, diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số x = f ( y ) , x = g ( y ) liên tục đoạn a;b hai đường thẳng y = a, y = b tính theo cơng b thức: S =  f ( y ) − g ( y ) dy (4) a Bài tốn 3: Hình phảng giới hạn nhiều hai đường cong Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị chia thành nhiều phần diện tích, mà phần ta tích theo cơng thức (1), (2), (3) (4) Minh họa dạng thường gặp: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word f ( x )  h ( x ) , x   a;c  f ( y )  g ( y ) ; y   a;c ; g ( x )  h ( x ) , x   c;b ; ( a  c  b ) f ( y )  h ( y ) ; y   c;b ; ( a  c  b ) c b a c S =  f ( x ) − h ( x )  dx +  g ( x ) − h ( x )  dx c b a c S =  f ( y ) − g ( y )  dy +  f ( y ) − h ( y )  dy II PHƯƠNG PHÁP Phương pháp 1: Sử dụng tính chất tích phân (thêm cận trung gian) để tính tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối (GTTĐ) +) Tính chất: Hàm số y = f(x) liên tục K (khoảng đoạn, nửa khoảng) a, b, c ba số thuộc K Khi đó, ta có b c b a a c  f ( x ) dx =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx b Chú ý: Khi áp dụng công thức (3): S =  f ( x ) − g ( x ) dx , việc khử dấu GTTĐ phương pháp a trình bày trên, ta khử dấu GTTĐ theo phương pháp sau: Bước 1: Giải phương trình f ( x ) − g ( x ) = đoạn a;b , giả sử có nghiệm c,d  ( a;b ) ; ( a  c  d  b ) Khi đó, f ( x ) − g ( x ) không đổi dấu đoạn a;c,c;d, d;b Tức là: b c d b a a c d Bước2: S =  f ( x ) − g ( x ) dx =  f ( x ) − g ( x ) dx +  f ( x ) − g ( x ) dx +  f ( x ) − g ( x ) dx c d b a c d =  f ( x ) − g ( x ) dx +  f ( x ) − g ( x ) dx +  f ( x ) − g ( x ) dx Phương pháp 2: Phác thảo dạng đồ thị đưa kết III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Câu 1: Kí hiệu S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành hai đường thẳng x = a, x = b hình vẽ bên Khẳng định sau đúng? b a A S =  f ( x ) dx B S =   −f ( x )  dx a b a b D S =  f ( x ) dx C S =  f ( x ) dx b a Lời giải: b Dựa vào nội dung ý nghĩa tích phân ta có kết quả: S =  f ( x ) dx a  Chọn đáp án D Câu 2: Kí hiệu S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành hai đường thẳng x = a, x = b hình bên Khẳng định sau đúng? b b A S =  f ( x ) sx B S =  f ( x )dx a c b a c b a c a c C S =  f ( x ) dx −  f ( x ) dx D S =  f ( x ) dx +  f ( x )dx Lời giải: Dựa vào nội dung ý nghĩa tích phân chia đoạn a;b thành hai đoạn thành phần a;c;c;b , ta c b a c có kết quả: S =  f ( x ) dx −  f ( x ) dx  chọn đáp án C Câu 3: Kí hiệu S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) hai đường thẳng x = a, x = b hình bên Khẳng định sau đúng? b b A S =  g ( x ) dx −  f ( x ) sx a b b a a a C S =  g ( x ) dx −  f ( x ) dx b b a a b b a a B S =  f ( x ) dx −  g ( x ) dx D S =  f ( x ) dx +  g ( x )dx Lời giải: (Chọn B) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Gọi S1 diện tích hình phẳng giới hạn y = f(x), Ox hai đường thẳng x = a, x = b b  S1 =  f ( x ) dx a Gọi S2 diện tích hình phẳng giới hạn y = g(x), Ox hai đường thẳng x = a, x = b b  S2 =  g ( x ) dx a b b a a Vậy S = S1 − S2 =  f ( x ) dx −  g ( x ) dx Câu 4: Kí hiệu S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) hai đường thẳng x = a, x = b hình bên Khẳng định sau đúng? c b A S =  g ( x ) − f ( x )  dx +  f ( x ) − g ( x )  dx a c b B S =  f ( x ) + g ( x )  dx a c b C S =  f ( x ) − g ( x )  dx +  g ( x ) − f ( x )  dx a c c b a c D S =  f ( x ) dx +  g ( x ) dx Lời giải: (Chọn C) Gọi S1 diện tích hình phẳng giới hạn y = f(x), Ox hai đường thẳng x = a, x = c b  S1 =  f ( x ) − g ( x )  dx a Gọi S2 diện tích hình phẳng giới hạn y = g(x), Ox hai đường thẳng x = a, x = b b  S2 =  g ( x ) − f ( x )  dx c c b a c Vậy S = S1 + S2 =  f ( x ) − g ( x )  dx +  g ( x ) − f ( x )  dx http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Câu 5: Kí hiệu S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x ) = x − 2x trục hồnh hình bên Khẳng định sau sai? 2 f ( x ) dx  A S = B S =  f ( x ) dx − 0 C S =   −f ( x )  dx  D S = −  −f ( x )  dx +  −f ( x ) dx Lời giải: (Chọn B) Hình phẳng đối xứng qua Oy nên S =  f ( x ) dx =  − − 2  −f ( x )  dx =   −f ( x )  dx Câu 6: Kí hiệu S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số x = g ( y ) , trục tung hai đường thẳng y = a, y = b hình vẽ bên Khẳng định sau đúng? b A S =  g ( y ) dx a a B S =  g ( y ) dy b b C S =  g ( y ) dy a b D S =  g ( y ) dx a Lời giải: (Chọn C) b Dựa vào nội dung ý nghĩa tích phân ta có kết S =  g ( y ) dy a Câu 7: Kí hiệu S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số x = f ( y ) , x = g ( y ) hai đường thẳng y = a, y = b hình vẽ bên Khẳng định sau đúng? c b a c A S =  g ( y ) − f ( y )  dx +  f ( y ) − g ( y )  dx b B S =  f ( y ) + g ( y ) dy a c b a c C S =  g ( y ) − f ( y )  dy +  f ( y ) − g ( y )  dy b D S =  f ( y ) − g ( y ) dy a Lời giải: (Chọn C) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Gọi S1 diện tích hình phẳng giới hạn x = f(y), x = g(y) hai đường thẳng y = a, y = c c  S1 =  g ( y ) − f ( y )  dy a Gọi S2 diện tích hình phẳng giới hạn x = f(y), x = g(y) hai đường thẳng y = c, y = b b  S2 =  f ( y ) − g ( y )  dy c c b a c Vậy S = S1 + S2 =  g ( y ) − f ( y )  dy +  f ( y ) − g ( y )  dy Câu 8: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường thẳng y = ex ; y = e− x ;x = A e2 + 2e + e B e2 − 2e + e C e2 + 2e − e D e2 − 2e − e Lời giải: Phương trình hồnh độ giao điểm: e x = e− x  x = S=  e −e x −x dx =  (e x −e −x ) dx = (e x +e −x )| e2 − 2e + =e+e −2 = e −1  Chọn đáp án B Câu 9: Diện tích hình phẳng y = x − 4x + 1, y = m, ( m  −3) ,x = 0,x = là: giới hạn đường A 3m + B −3m + C 3m – D -3m – Lời giải: Ta có: x − 4x + − ( x − ) −  −3, x  x3 3 Do đó: S =  ( x − 4x + − m ) dx =  − 2x + x − mx  = −6 − 3m  0 Chọn đáp án D Câu 10: Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y = −x − 2x + 1, y = m, ( m  2) ,x = 0,x = Tìm m cho S = 48 A m = B m = C m = D m = 10 Lời giải: Ta có: − x − 2x + = − ( x − 1) +  2, x http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word  3 x3 Do đó: S =  ( m + x + 2x − 1) dx =  mx + + x − x  = 3m + 24  0 S = 48  3m + 24 = 48  m =  Chọn đáp án C Câu 11: Diện tích hình phẳng giới y = x − 2x + 1, y = x + 1,x = 0,x = m, (  m  3) bằng: A m3 3m2 − B − m3 3m + C hạn m3 m − + 2m D đường m3 m − − 2m Lời giải: Ta có; x − 3x  0, x 0;m Vì < m <  x 3x  m 3m2 m3 Do đó: S =  x − 3x dx = −  ( x − 3x ) dx = −  − −  = 0 2  0 m m 2  Chọn đáp án B Câu 12: Diện tích hình phẳng giới hạn đường y = x − 2x + 1, y = −x + 1,x = 0,x = m, ( m  ) Khi giá trị m bằng: A -3 B -2 C -1 D -4 Lời giải: Ta có: x − x  0, x  m;0 0  x x  m2 m3 Do S =  x − x dx =  ( x − x ) dx =  −  = − m 2   m m m m3  − =  m = −1 6  Chọn đáp án C S= Câu 13: A  Hình phẳng giới hạn đường elip (E): x + 16y2 = 16 có diện tích bằng: B 2 C 3 D 4 Lời giải: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word S = 4 16 − x dx =  16 − x dx 4    Đặt x = 4sint, t   − ;   dx = 4cos tdt  2  Đổi cận: x =  t = 0; x =  t =        S =  16 − 16sin t.4cos tdt = 16  cos 2dt = 8 (1 + cos2t ) dt =8  (1 + cos2t ) dt =  t + sin 2t  = 4  0 0 0  Chọn đáp án C Câu 14: có diện tích là: A S = Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x , trục Ox đường thẳng x = B S = 16 C S = D S = 4 Lời giải: Phương trình x3 =  x = −x =4 Diện tích hình phẳng: S =  x dx = −  x dx = −2 −2 −2 0 3  Chọn đáp án C Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = − Câu 15: , trục Ox hai đường thẳng x2 x = , x = có diện tích là: B S = A S = 5 C s − D S = Lời giải: 2 2 x2 −1 x −1 x −1 Diện tích hình phẳng: S =  − dx =  dx = −  dx +  dx x x x x 1 1 2 2   1 12     = −  1 −  dx +  1 −  dx = −  x +  +  x +  = x  x  x x1   1 1 2  Chọn đáp án D Câu 16: Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x − 2x,2x − y có diện tích là: A S = B S = C S = D S = 16 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Lời giải: Giải phương trình x − 2x = 2x  x =  x =  x = −2 Diện tích hình phẳng: S =  x − 4x dx = −2 −2 3  ( x − 4x ) dx +  ( 4x − x ) dx = + =  Chọn đáp án A Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = Câu 17: − x 10 x − x y =  x − x  x  , có diện tích là: A S = 13 B S = 15 C S = 13 D S = Lời giải: (Chọn C) Tìm hồnh độ giao điểm: 10 10 x − x = − x  x = 0; x − x = x −  x = 3 Dựa vào đồ thị (hình bên) diện tích hình phẳng cần tìm là: 13  10   10  S =   x − x + x  dx +   x − x − x +  dx = 3   0 1 −3x − , Ox, Oy là: x −1 D S = 4ln + Câu 18: Diện tích hình phẳng giới hạn đường y = A S = 4ln + B S = 4ln 4 C S = 4ln − Lời giải: −3x − 1 =  x = − Vậy S = Xét phương trình x −1  − −3x − dx = 4ln − (đ.v.d.t) x −1  Chọn đáp án C Câu 19: Diện tích hình phẳng giới hạn đường y = x − 4x + , y = x + a a S = ; ( a, b  Z;a  ) ; phân số tối giản Khẳng định sau đúng? b b b 25 A b − a + 103 = B ba + 654 = C D b − a + 107 = a 109 Lời giải: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word b V =    f ( y ) − g ( y )  dy a f ( x )  g ( x ) , x   a; c  ; f ( x )  h ( x ) , x   a; c  ; g ( x )  f ( x ) , x   c; b  g ( x )  h ( x ) , x   c; b  c b a c V =    f ( x ) − g ( x )  dx +    g ( x ) − f ( x )  dx c b a c V =    f ( x ) − h ( x )  dx +    g ( x ) − h ( x )  dx II BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA Câu 1: Thể tích khối tròn xoay phần hình phẳng S hình vẽ quanh trục Ox tính cơng thức: b A V =    f1 ( x ) − f ( x )  dx a b B V =    f1 ( x ) + f ( x )  dx a b C V =    f12 ( x ) − f 22 ( x )  dx a b D V =    f1 ( x ) − f ( x )  dx a Lời giải: b Ta có: f1 ( x )  f ( x )  0; x   a; b   V =    f12 ( x ) − f 22 ( x )  dx a  Chọn đáp án C Câu 2: Cho hình phẳng giới hạn (H) hình vẽ bên Thể tích khối tròn xoay sinh quay hình phẳng (H) quanh trục Ox là: b A V =    f ( x ) − g ( x )  dx a b B V =    g ( x ) − f ( x )  dx a http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word c C V =    f b ( x ) − g ( x ) dx +    g ( x ) − f ( x ) dx a c c b a c D V =    g ( x ) − f ( x )  dx +    f ( x ) − g ( x )  dx Lời giải: Ta có: f ( x )  g ( x )  0; x   a; c; g ( x )  f ( x )  0; x  c; b c b a c V =    f ( x ) − g ( x )  dx +    g ( x ) − f ( x )  dx  Chọn đáp án C Câu 3: Cho hình phẳng giới hạn (H) hình vẽ bên Thể tích khối tròn xoay sinh quay hình phẳng (H) qaunh trục Oy là: b A V =    g ( y ) − f ( y )  dx a b B V =    g ( x ) − f ( x )  dy a a C V =    g ( x ) − f ( x )  dy b b D V =    f ( x ) + g ( x )  dy a Lời giải: a Ta có: g ( y )  f ( y )  0; y  a; b  V =    g ( x ) − f ( x )  dy b  Chọn đáp án C Cho hình phẳng (H) giới hạn đồ thị hàm số y = x ( − x ) trục Ox Khối tròn xoay tạo thành quay hình phẳng (H) quanh trục Ox tích là: 512 16 4  A V = B V = C V = D V = 15 15 Lời giải: x = Phương trình: x ( − x ) =   x = Thể tích khối tròn xoay: Câu 4: 2  x5 x3  16 V =   x ( − x ) dx =   x ( x − x + )dx =   ( x − x3 + x ) dx =   − x +  =  15 5 0  Chọn đáp án B Câu 5: Cho hình phẳng (H) giới hạn đồ thị hàm số y = , trục Ox hai đường x thẳng x = 1, x = Khối tròn xoay tạo thành hình phẳng (H) quay quanh trục Ox tích là: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word A V = 7 C V = B V = ln  D V =  ln Lời giải: Thể tích khối tròn xoay: V =   1    dx = = − + − x x 2  Chọn đáp án C Câu 6: Cho hàm số y = − x có đồ thị (C), khối tròn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn (C) trục Ox, quanh trục Oy tích là: 16 32 A V = B V = 3   16 − −   1024 2  C V = D V =  45 ( ) Lời giải: Do tính đối xứng nên thể tích cần tìm thể tích khối tròn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đường cong x = 4 − y , trục Oy hai đường thẳng y = 0, y = quanh trục Oy 4 2 16 V =   − ydy =   ( − y ) dy = − (4 − y )2 = 3 0  Chọn đáp án B Cho hàm số y = ( x − ) có đồ thị (C), khối tròn xoay tạo thành quay hình Câu 7: phẳng giới hạn (C), trục Ox, trục Oy đường thẳng x = tích là: 33 34 32 33 A V = B V = C V = D V = 5 5 Lời giải: 33 Ta có: V =   ( x − )  dx = (đ.v.t.t)    Chọn đáp án D Câu 8: Thể tích khối tròn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x − x , y = x quanh trục Ox là: 1   A V = B V = C V = D V = 6 Lời giải: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word x = Xét phương trình x − x = x  x − x =   ;2 x − x  x, x  0;1  x =1   V =   ( x − x ) − x  dx = (đ.v.t.t)    Chọn đáp án B Câu 9: Cho hình thang cong (H) giới hạn đường y = e x , y = 0, x = 0, x = ln Đường thẳng x = k (  k  ln 4) chia (H) thành hai hình phẳng S1 S2 hình vẽ bên Quay S1, S2 quanh trục Ox khối tròn xoay tích V1,V2 Với giá trị k V1 = 2V2 32 1 11 32 A k = ln B k = ln11 C k = ln D k = ln 2 3 Lời giải: k Ta có V1 =   ( e ) x ln  e2 x  k  e2 k   e2 x  ln  e2 k x dx =   − ; V2 =   ( e ) dx =   = 8 −  =  2  0   k k Theo giả thiết: V1 = 2V2   e2 k −    e2 k =  8 − 2   2k   e = 11  k = ln11   Chọn đáp án B Thể tích khối tròn xoay quay hình phẳng D giới hạn đường elip (E) x + y = quay quanh Ox bằng: A  B 2 C 3 D 4 Câu 10: 2 Lời giải: − x2 − x2  V =   y 2dx =   dx = 4 9 −3 −3 Ta có: x + y =  y =  Chọn đáp án D Câu 11: Thể tích khối tròn xoay quay hình phẳng D giới hạn đường y = x , y = x quanh trục Ox bằng: A   ( ) x − x dx ( ) C   ( x − x ) dx B   x − x dx 0 D   ( x − x ) dx Lời giải: Xét phương trình x0 x−x  x = 0; x = x − x Và ( ) x  x x   0;1  V =   ( x ) − x dx =   ( x − x ) dx 2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word  Chọn đáp án C Câu 12: Trên mặt phẳng Oxy, cho hình phẳng (H) giới hạn đường y = 3x − x trục hoành Thể tích khối tròn xoay quay (H) quanh tục Ox bằng: 81 9 7 A B C D 9 10 Lời giải: x = 81 Xét phương trình: 3x − x =    V =   ( 3x − x ) dx = 10 x =  Chọn đáp án B Câu 13: Khối tròn xoay hình giới hạn đường y = f ( x ) , y = 0, x = a, x = b, ( a  b ) quanh trục Ox tích V1 Khối tròn xoay hình giới hạn đường y = −3 f ( x ) , y = 0, x = a, x = b, ( a  b ) quay quanh trục Ox tích V2 Chọn phương án đúng? A V1 = 9V2 B 6V1 = V2 C V1 = V2 D 9V1 = V2 Lời giải: b b a a b Ta có: V1 =   f ( x ) dx;V2 =    −3xf ( x )  dx = 9  f ( x ) dx = 9V1 a  Chọn đáp án D Câu 14: Thể tích vật thể tròn xoay quay hình phẳng giới hạn đường a a ; ( a; b  ) ; phân số tối giản Khi a + b có y = − x2 , y = quanh trục Ox có kết dạng b b kết là: A 11 B 17 C 31 D 25 Lời giải Ta có: 1 − x =  x =  x = −1 Vậy V =   (1 − x ) dx = −1 16  a = 16, b = 15  a + b = 31 15  Chọn đáp án C Câu 15: Một bác thợ gốm làm lọ có dạng khối tròn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đường y = x + trục Ox quay quanh trục Ox biết đáy lọ miệng lọ có đường kính 2dm 4dm, thể tích lọ là: 15 14 15 A 8 dm3 B  dm3 C  dm3 D  dm3 3 Lời giải Do đường kính đáy lọ 2dm nên bán kính đáy lọ dm Tương tự, bán kính miệng lọ dm y =  x = 0; y =  x = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Vậy V =   ( ) x − dx = 15 dm3  Chọn đáp án C Câu 16: Cho hình phẳng (H) giới hạn đồ thị hàm số y = x + 5, y = x + Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay hình phẳng (H) quanh trục Ox Một học sinh trình bày giải sau:  x = −1 Bước 1: x + = x +    x=3 2 Bước 2: VOx =   ( x + ) − ( x + 5)  dx   −1  x5  575 Bước 3: VOx =   − + 10 x + 21x  = (đ.v.t.t)   −1 Hỏi lời giải hay sai từ bước nào? A Lời giải B Sai từ bước C Sai từ bước D Sai từ bước Lời giải 2 Ta có: x +  x + 2; x   −1;3  VOx =   ( x + ) − ( x + )  dx   −1  Chọn đáp án C Câu 17: Quay hình phẳng (H) hình tơ đậm hình vẽ bên quanh trục Ox ta khối tròn xoay tích là: A V = 3 B V = 3 C V = 3 D V = 3 Lời giải 2   x2 = x + y = Xét hệ phương trình:    x=− 3 x=   y =1  y =1 Do (H) đối xứng qua Oy nên: 3  x3  V = 2  ( − x ) − 12  dx = 2  ( − x ) dx = 2  3x −  =4 3  0  Chọn đáp án A http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Câu 18: Quay hình phẳng (H) hình tơ đậm hình vẽ bên quanh trục Ox ta khối tròn xoay tích: 46 46 A V = B V = 15 23 C V = D V = 13 Lời giải 2  x + y = Xét hệ phương trình:   x = −1  x = y = x   Do (H) đối xứng qua Oy nên V = 2  ( − x ) −  ( ) 3x  dx − 2   (4 − x  x5 3x5  46 − 3x ) dx = 2  x − − =   15   Chọn đáp án B Câu 19: Quay hình phẳng (H) hình tơ đậm hình vẽ bên quanh trục Ox ta khối tròn xoay tích là: A V = 3 B V =  2 C V = D V = 2 Lời giải  y = + − x2 Ta có: x + ( y − 1) =  ( y − 1) = − x    y = − − x 2 2 (  Ta có: V = 2   + − x 0 ) ( 2 − − − x2 )   dx = 8  − x dx      Đặt x = sint;  t   − ;     2      sin 2t   V = 8  cos tsdt − 4  (1 + cos 2t ) dt = 4  t +  = 2   0 2  Chọn đáp án D Câu 20: Trên mặt phẳng Oxy, cho hình phẳng (H) giới hạn đường ( P ) : y = x ; ( P ') : y = 4x2 ; ( d ) : y = Thể tích khối tròn xoay quay (H) quanh trục Ox bằng: A 9 B 4 C 7 D 2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Lời giải Đặt V thể tích cần tìm Xét phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d):  x=2 x2 −    x = −2 Xét phương trình hoành độ giao điểm (P’) (d):  x =1 x2 =    x = −1  y = x2  VOAC thể tích khối tròn xoay sinh quay (H’):  y = quanh Ox  Oy  VOAB  y = 4x2  thể tích khối tròn xoay sinh quay (H’’):  y = quanh Ox  Oy  Lúc đó: V = VOAC − VOAB 2 2 =    − ( x )  dx −    − ( x )  dx =   ( − x ) dx −   ( − 16 x ) dx     0 0   x5  x5  32 16  4  (đ.v.t.t) =   x −  −   x − 16  =   − − +  = 0 0 5     Chọn đáp án B III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN Câu 1: Câu 2: Cho hình phẳng giới hạn đường y = x , y = x quay quanh trục Ox tạo nen khối tròn xoay tích bằng: 486 487 488 489     A B C D 35 35 35 35 Cho hình phẳng (H) giới hạn đồ thị hàm số y = x − 1, x = trục Ox Khối tròn xoay tạo thành quay hình phẳng (H) quanh trục Ox tích là: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word A V = 7 Câu 3: 5 3 6 C V = D V = Thể tích khối tròn xoay quay hình phẳng D giới hạn B V = đường y = x − , trục hoành, x = 3, x = quanh trục Ox bằng: 6 A  x − 2dx B 3 Câu 4:  ( x − ) dx C   ( x − ) dx D   ( y + ) dy Trên mặt phẳng Oxy, cho hình phẳng B giới hạn đường y = x + x trục hồnh Thể tích khối tròn xoay quay B quanh trục Ox bằng: 5  C 3 D 2 30 Câu 5: Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x3 , trục Oy, trục Ox đường thẳng x = −2 quay quanh trục Ox tích V Khẳng định sau đúng? 128 118 128 128 A B C D 5 Câu 6: Thể tích khối tròn xoay quay hình phẳng D giới hạn đường y = x − , trục hoành, x = 2, x = quanh trục Ox bằng: A B 5 A  x − 1dx B  ( x − 1) dx 2 D   ( y + 1) dx Thể tích vật thể tròn xoay quay hình phẳng giới hạn đường Câu 7: y = , y = 0, x = 1, x = quay quanh Ox là: x A V = 6 B V = 12 Câu 8: C   ( x − 1) dx C V = 4 D V = 8 Cho hình phẳng (H) giới hạn đồ thị số y = x − x + 1, x = 0, y = 0, x = Khối tròn xoay tạo thành quay hình phẳng (H) quanh trục Ox tích là: 2 5 2 C V = D V = 2 Câu 9: Cho hình phẳng (H) giới hạn đồ thị hàm số y = x − x + 1, y = 0, x = 0, x = Khối tròn xoay tạo thành quay hình phẳng (H) quanh trục Ox A V = B V = tích là: 2 5 2 C V = D V = 2 Câu 10: Trên mặt phẳng giới hạn (H) hình vẽ bên Thể tích khối tròn xoay quay hình phẳng (H) quanh trục Ox là: 5  A B C 3 D 2 30 Câu 11: Cho hình phẳng (H) hình vẽ bên Thể tích khối tròn xoay sinh quay hình phẳng (H) quanh trục Ox là: A V = B V = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word b A V =   f b ( x ) − g ( x ) dx B V =    f ( x ) − g ( x )  dx a b a b D V =   f ( x ) − g ( x )  dx C V =   g ( x ) − f ( x )  dx a a Cho hàm số f(x) liên tục đoạn  a; b Thể tích khối tròn xoay Câu 12: sinh quay hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số f(x), trục hoành hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) quanh trục Ox bằng: b A V =  f b ( x ) dx B V =   f a Câu 13: ( x ) dx b C V =   f ( x ) dx a b D V =   f ( x ) dx a a Thể tích khối tròn xoay hình phẳng giới hạn đường y = sinx, y = 0, x = 0, x =  quay quanh trục Ox bằng: A 2 B 2 C 2 D 2 4 Câu 14: Tính thể tích khối tròn xoay hình phẳng giới hạn đường y = − x + 2, y = trục Ox đường thẳng x = quay quanh trục Ox là: 1 A   ( − x + 1) dx 2 −1 Câu 15: −1 D   ( − x + 1) dx +   dx C   ( − x + 1) dx +   dx 2 −1 −1 1 B   ( − x + 1) dx −   dx −1 −1 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình phẳng B giới hạn đường y = x + x trục hoành Thể tích khối tròn xoay tạo thành quay B xung quanh trục Ox bằng: 5 A Câu 16: B  30 C 3 D 2 Cho hình (H) giới hạn đường y = x + 1; y = , x = Quay hình x (H) quanh trục Ox ta khối tròn xoay tích là: 35 125 13 A B C D 18 6 Cho hình phẳng giới hạn đường y = x , y = x quay quanh trục Câu 17: Ox Thể tích khối tròn xoay quay hình phẳng quanh trục Ox tích là:  x Câu 18: Cho hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = e , trục Ox hai đường thẳng x = 0, x = Thê tích khối tròn xoay quay hình quanh trục hồnh cho công thức: A B − C  D http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 2  2x   2x  B   e dx C    e dx  D    e dx  0 0   Thể tích khối tròn xoay quay hình phẳng D giới hạn 1 A   e dx 2x Câu 19: 2x đường y = x + , trục hoành, x = 1, x = quanh trục Ox bằng: A  x + 5dx B Câu 20: C   ( x + ) dx  ( x + 5) dx D   y dy 1 Viết cơng thức tính thể tích V khối tròn xoay tạo thành quay hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số y = − x2 , trục Ox hai đường thẳng x = - 1, x = xung quanh trục Ox: A V =   ( − x ) dx −1 Câu 21: B V =  ( − x ) dx −1 0 −1 −1 C V =   ( − x ) dx D V =   − x dx Gọi (H) hình phẳng giới hạn đường y = 3x, y = x, x = Quay (H) xung quanh trục Ox ta khối tròn xoay tích bằng: 8 8 A B C 8 D 8 3 Gọi (H) hình phẳng giới hạn đường y = x − 1, x = , Ox Câu 22: Quay (H) xung quanh trục Ox ta khối tròn xoay tích bằng: 7 A  B  C  D  6 6 Câu 23: Cơng thức thể tích V khối tròn xoay tạo quay hình cong, giới hạn đồ thị hàm số x = f ( y ) , trục Oy hai đường thẳng y = a, y = b (a < b) quay xung quanh trục Oy là: b A V =   f ( y ) dy b B V =  f ( y ) dy a a b C V =   f ( y ) dy b D V =  f ( y ) dy a a Cho hình phẳng (H) giới hạn đường y = 3x, y = x, x = 0, x = Câu 24: Tính thể tích vật thể tròn xoay (H) quay quanh Ox: 8 8 A B C 8 D 8 3 Câu 25: Cho hình phẳng (H) giới hạn đường y = xlnx, y = 0, x = e Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành (H) quay quanh trục Ox:  e3 −  A V =     27  Câu 26: y=  13e3 −   13e3 −   5e3 −  B V =   C V =     D V =     27     27  Kí hiệu (H) hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số  , y = 0, x = 0, x = Tính thể tích V khối tròn xoay thu quay (H) quanh trục cosx Ox: A 5 B 5 C 5 D  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Câu 27: Kí hiệu (H) hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x ) , y = g ( x ) hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) Khi thể tích V khối tròn xoay thu quay hình (H) xung quanh trục Ox ta tính cơng thức: b A V =    f ( x ) − g ( x )  dx b B V =    f ( x ) − g ( x )  dx a a b C V =   f ( x ) − g ( x ) dx b D V =    g ( x ) − f ( x )  dx a a Câu 28: Thể tích khối tròn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường y = x , x = −1, x = , trục Ox vòng quanh trục Ox là: 6 2 D 7 Câu 29: Thể tích khối tròn xoay hình giới hạn đường y = − x + x, y = x quay quanh Ox có kết là: A   B 2 C    C D Câu 30: Trên mặt phẳng Oxy, cho hình phẳng B giới hạn đường y = x − x trục hồnh Thể tích khối tròn xoay quay B quanh trục Ox bằng: 5  A B C 3 D 2 30 Câu 31: Tính thể tích V khối tròn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đường y = x , y = 0, x = 1, x = xung quanh trục Ox 93 9 A V =  B V = C V = 18,6 D Câu 32: Kí hiệu V1 ,V2 thể tích hình cầu đơn vị thể tích khối tròn A B xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường thẳng y = −2 x + đường cong y = − x xung quanh trục Ox Hãy so sánh V1 ,V2 : A V1  V2 Câu 33: B V1 = V2 C V1  V2 D V1 = 2V2 Tính thể tích V khối tròn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đường y = − x2 , y = xung quanh trục Ox: 512 71 8 C V = D 15 82 Câu 34: Cho hình (H) giới hạn đồ thị hàm số y = x − x + 4, y = 0, x = 0, x = Khi thể tích khối tròn xoay quay hình (H) quanh trục Ox là: Câu 35: A V = 2 B V = A 33 B 33 33 C D 33 5 Hình (S) giới hạn y = x + , Ox, Oy Tính thể tích khối tròn xoay quay hình (S) quanh trục Ox là: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word A 8 B 4 C 2 D 16 Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong (P): y = x − x + , tiếp Câu 36: tuyến (P) điểm A(2;2) đường thẳng x =1 bằng: A B C 3 D 2x −1 , y = 0, x = −1 Thể x −1 tích khối tròn xoay tạo thành quay (H) xung quanh trục Ox bằng:  15   15  15  15    A   − 4ln  B  − 4ln  C   + 4ln  D  + 4ln  \         Câu 38: Trên mặt phẳng Oxy, cho hình phẳng B giới hạn đường x = 0,  x = , y = 0, y = Thể tích khối tròn xoay quay B quanh trục Ox bằng: cosx    A B C  D Câu 37: Cho hình phẳng (H) giới hạn đường y = Câu 39: Cho hình phẳng (H) giới hạn đường y = x y = x Khối tròn xoay tạo thành quay hình phẳng (H) quanh trục Ox tích bằng: A V =  B V =  C V =  D V = 4 3 Câu 40: Cho hình phẳng giới hạn (H) hình vẽ bên Diện tích khối tròn xoay sinh quay hình phẳng (H) quanh trục Ox là: b c b A S =  g ( x ) − f ( x ) dx =   f ( x ) − g ( x )  dx +   g ( x ) − f ( x )  dx a a c b c b a a c b c b a b a c c a a B S =  f ( x ) − g ( x ) dx =   f ( x ) − g ( x )  dx +   f ( x ) − g ( x )  dx C S =  f ( x ) − g ( x ) dx =   f ( x ) − g ( x )  dx +   g ( x ) − f ( x )  dx b D S =  f ( x ) − g ( x ) dx =   f ( x ) − g ( x )  dx +   g ( x ) − f ( x )  dx Câu 41: c Thể tích khối tròn xoay quay hình phẳng D giới hạn đường y = sinx + cosx , trục hoành, x = 0, x = A quanh trục Ox bằng:     2 2  sinx+cosx dx B  ( sinx+cosx ) dx C   sinx+cosxdx 0 Câu 42:  D   ( sinx+cosx ) dx Trên mặt phẳng Oxy, cho hình phẳng B giới hạn đường y = − x + x trục hồnh Thể tích khối tròn xoay quay B quanh trục Ox bằng: A 512 15 B 512 C 512 D 512 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Cho hình phẳng (H) giới hạn đường y = x trục y = – x Khối tròn xoay tạo thành quay hình phẳng (H) quanh trục Ox tích là: 64 16 32 4 A V = B V = C V = D 3 3 Câu 44: Cho hình phẳng giới hạn (H) hình vẽ bên Thể tích khối tròn xoay sinh quay hình phẳng (H) quanh trục Ox là: Câu 43: b A V =    f ( x ) − g ( x )  dx a b B V =    g ( x ) − f ( x )  dx a c C V =    f ( x ) − g ( x )  dx a b D V =    g ( x ) − f ( x )  dx a Câu 45: Thể tích khối tròn xoay quay hình phẳng D giới hạn đường y = x + , trục hoành, x = - 2, x = quanh trục Ox bằng: A  (x + 1) dx −2 4 B   ( x + 1) dx C   x + 1dx 2 −2 −2 D   ( y − 1) dy −2 Cho hai hàm số f(x), g(x) liên tục đoạn  a; b thỏa mãn Câu 46:  f ( x )  g ( x ) , x a; b Thể tích khối tròn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) quanh trục Ox Khi thể tích giới hạn cơng thức: b A   f ( x ) − g ( x )  dx b B    f ( x ) − g ( x )  dx a Câu 47: b b a a C   f ( x ) − g ( x ) dx D    f ( x ) − g ( x )  dx a Cho hình phẳng (H) giới hạn đồ thị hàm số y = xlnx, trục Ox x = e Khối tròn xoay tạo thành quay hình phẳng (H) quanh trục Ox tích bằng: A  ( 5e3 − ) C D 27 27 27 Câu 48: (Đề thi minh họa 2017) Kí hiệu (H) hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số x y = ( x −1) e , trục tung trục hồnh Tính thể tích V khối tròn xoay thu quay hình (H) 27 B  (13e3 + )  (13e3 − )  ( 5e3 + ) xung quanh trục Ox: A V = − 2e Câu 49: B V = ( − 2e ) C V = e − D V = ( e − )  (Tạp chí THPT đề 04/2017) Thể tích khối tròn xoay nhận quay hình phẳng giới hạn đường cong y = 3x − x trục hoành quanh trục hoành bằng: A 81 10 B 85 10 C 41 D 8 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Câu 50: (Tạp chí THPT đề 03/2017)Thể tích V vật thể nằm hai mặt phẳng x = 0, x = 1, biết thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x (  x  1) tam giác có cạnh ln ( x + 1) A V = ( 2ln − 1) Câu 51: B V = ( 2ln + 1) C V = ( 2ln − 1) D V = 16 ( 2ln −1) Quay hình phẳng (H) hình tơ đậm hình vẽ bên quanh trục Ox ta khối tròn xoay tích là:  3 A V = B V = 12 3 C V = D V =  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ... chuyên đề thi – tài liệu file word Khi diện tích dải vườn giới hạn đường (E1); (E2); x = −4; x = diện tích dải vườn 4 5 64 − x dx =  64 − x dx 20 −4 S = 2  3 Tính tích phân phép đổi biến x =... S0=0 Vì vậy, thể tích khối chóp có chiều cao h hS diện tích đáy S là: V = 3) Thể tích khối lăng trụ: Khối lăng trụ có chiều cao h diện tích đáy S tích là: V = hS Bài tốn 2: Tính thể tích khối tròn... dy +  f ( y ) − h ( y )  dy II PHƯƠNG PHÁP Phương pháp 1: Sử dụng tính chất tích phân (thêm cận trung gian) để tính tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối (GTTĐ) +) Tính chất: Hàm số y = f(x)