HTTP://DETHITHPT.COM 3.5 – PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT A KIẾN THỨC CƠ BẢN Đinh ̣ nghiã • Phương triǹ h lôgarit là phương trình có chứa ẩ n số biể u thức dưới dấ u lôgarit • Bấ t phương triǹ h lôgarit là bấ t phương triǹ h có chứa ẩ n số biể u thức dưới dấ u lôgarit Phương trin ̀ h và bấ t phương trin ̀ h lôgarit bản: cho a, b  0, a  • Phương triǹ h lôgarit bản có da ̣ng: log a f ( x) = b • Bấ t phương triǹ h lôgarit bản có da ̣ng: log a f ( x)  b; log a f ( x)  b; log a f ( x)  b; log a f ( x)  b Phương pháp giải phương trin ̀ h và bấ t phương trin ̀ h lơgarit • Đưa về cùng sớ  f ( x)  ➢ log a f ( x) = log a g ( x)   , với mo ̣i  a   f ( x) = g ( x)  g ( x)  ➢ Nế u a  thì log a f ( x)  log a g ( x)    f ( x)  g ( x)  f ( x)  ➢ Nế u  a  thì log a f ( x)  log a g ( x)    f ( x)  g ( x) • Đă ̣t ẩ n phu ̣ • Mũ hóa B KỸ NĂNG CƠ BẢN • Giải phương trình bất phương trình lơgarit phương pháp: đưa lơgarit có số, mũ hóa dùng ẩn phụ, sử dụng tính chất hàm số C MỘT SỐ DẠNG TOÁN CÀ N LUYỆN TẬP Điều kiện xác định phương trình Câu 1: Điều kiện xác định phươg trình log( x − x − 6) + x = log( x + 2) + A x  B x  −2 C \ [ − 2;3] D x  Kiểm tra xem giá trị nghiệm phương trình Câu 2: Phương trình log3 (3x − 2) = có nghiệm là: 29 11 B x = 3 Tìm tập nghiệm phương trình A x = C x = 25 D x = 87 Câu 3: Phương trình log22 ( x + 1) − 6log2 x + + = có tập nghiệm là: A 3;15 B 1;3 C 1;2 Tìm số nghiệm phương trình Câu 4: Số nghiệm phương trình log4 ( log2 x ) + log2 ( log x ) = là: D 1;5 HTTP://DETHITHPT.COM A B C D Tìm nghiệm lớn nhất, hay nhỏ phương trình Câu 5: Tìm nghiệm lớn phương trình log3 x − 2log x = log x − 1 B x = C x = D x = 4 Tìm mối quan hệ nghiệm phương trình (tổng, hiệu, tích, thương…) A x = Câu 6: Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình log x − log16 x = Khi tích x1.x2 bằng: A B −1 C −2 D Cho phương trình, đặt ẩn phụ thu phương trình (ẩn t ) Câu 7: Nếu đặt t = log x phương trình + = trở thành phương trình − log x + log x A t − 5t + = B t + 5t + = C t − 6t + = D t + 6t + = Tìm điều kiện tham số m để phương trình thỏa điều kiện nghiệm số (có nghiệm, vơ nghiệm, nghiệm thỏa điều kiện đó…) Câu 8: Tìm m để phương trình log32 x + log3 x + m − = có nghiệm B m  A m  D m  C m  Câu 9: Tìm m để phương trình log32 x + log32 x + − 2m − = có nghiệm thuộc đoạn 1;3    A m  [0; 2] B m  (0; 2) C m  (0; 2] D m  [0; 2) Điều kiện xác định bất phương trình Câu 10: Điều kiện xác định bất phương trình log (4 x + 2) − log ( x − 1)  log x là: B x  A x  C x  − 2 D x  −1 10 Tìm tập nghiệm bất phương trình Câu 11: Bất phương trình log (2 x + 1) + log (4 x + 2)  có tập nghiệm: B (−;0) A (−;0] C [0; +) D ( 0; + ) Câu 12: Bất phương trình log ( x − x − )  log 0,5 ( x − 1) + có tập nghiệm là: ) ) ( ( A 1 + 2; + B 1 − 2; + C −;1 +  D −;1 −  11 Tìm nghiệm nguyên (tự nhiên) lớn nhất, nguyên (tự nhiên) nhỏ bất phương trình Câu 13: Nghiệm nguyên nhỏ bất phương trình log2 ( log x )  log ( log x ) là: A 17 B 16 C 15 D 18 12 Tìm điều kiện tham số m để bất phương trình thỏa điều kiện nghiệm số (có nghiệm, vơ nghiệm, nghiệm thỏa điều kiện đó…) Câu 14: Tìm m để bất phương trình log (5x − 1).log (2.5x − 2)  m có nghiệm x  HTTP://DETHITHPT.COM A m  B m  D m  C m  3.2 - LÔGARIT NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU Câu Điều kiện xác định phươg trình log x−3 16 = là: A  x  2 B x  C x  3  \  ; 2 2  D x  Hướng dẫn giải  2 x −   x  Biểu thức log x−3 16 xác định      x  ,chọn đáp án A 2 x −   x  Câu Điều kiện xác định phươg trình log x (2 x − x − 12) = là: A x  ( 0;1)  (1; + ) B x  ( −;0 ) C x  ( 0;1) D x  ( 0; + ) Hướng dẫn giải Biểu thức log x (2 x − x − 12) xác  x  x     x   x  (0;1)  (1; +) định   x  2 x − x + 12   47  2 ( x − ) +    16    chọn đáp án A Câu Điều kiện xác định phương trình log ( x − 1) = log A x  (1; + ) B x  ( −1;0) x là: x +1 C x  \ [ − 1;0] D x  ( −;1) Hướng dẫn giải  x 0  x  −1  x  x    x 1 Biểu thức log5 ( x − 1) log xác định   x + x  x +1   x −  chọn đáp án A Câu Điều kiện xác định phươg trình log A x  \ [ − 1;0] 2x = là: x +1 B x  ( −1; + ) C x  ( −1;0) Hướng dẫn giải Biểu thức log 2x xác định : x +1 D x  ( −;1) HTTP://DETHITHPT.COM  Câu 2x   x  −1  x   x  (−; −1)  (0; +) , chọn đáp án A x +1 Phương trình log (3x − 2) = có nghiệm là: A x = B x = C x = D x = Hướng dẫn giải  3x −  x   PT    x = , chọn đáp án A 3x − =  x =  Câu Phương trình log ( x + 3) + log ( x − 1) = log có nghiệm là: A x = B x = C x = Hướng dẫn giải D x = x  x   x −1       x = −8  x = , chọn đáp án A PT   ( x + 3)( x − 1) =  x + x − =    x = Câu Phương trình log ( x − 6) = log ( x − 2) + có tập nghiệm là: A T =  B T = {0;3} C T = {3} D T = {1;3} Hướng dẫn giải   x −  x  −  x     x   x   , chọn đáp án A PT   x −   x − = 3( x − 3)  x=0     x = Câu Phương trình log x + log ( x − 1) = có tập nghiệm là: A 2 B 1;3 C −1;3 D 1 Hướng dẫn giải x  x  x        x = −1  x = , chọn đáp án A PT   x −  log x( x − 1) =  x − x − =    x =  2 Câu Phương trình log22 ( x + 1) − 6log2 x + + = có tập nghiệm là: A 1;3 B 3;15 C 1;2 Hướng dẫn giải D 1;5 HTTP://DETHITHPT.COM  x  −1  x  −1 x +1  x =   PT   , chọn A   log ( x + 1) =    x =   x = log ( x + 1) − 3log ( x + 1) + =    2  log ( x + 1) =  x =   Câu 10 Số nghiệm phương trình log4 ( log2 x ) + log2 ( log x ) = là: A B C Hướng dẫn giải D x  log x  x     1 PT   1  log x    log ( log x ) + log  log x  =    log ( log x ) + log ( log x ) = 2  x  x     1  3  log ( log x ) + log 2 + log ( log x ) =  log ( log x ) − =  x  x  x      x = 16 ,chọn đáp án A log log x = log x = x = 16 ( )   2   Câu 11 Số nghiệm phương trình log x.log3 (2 x − 1) = 2log x là: A B C Hướng dẫn giải D x    x   PT  2 x −  log x.log (2 x − 1) = 2log x log x  log (2 x − 1) − 2 =   1   x  x  x =      , chọn đáp án A log x = x =1   x =     log (2 x − 1) =   x = Câu 12 Số nghiệm phương trình log ( x3 + 1) − log ( x − x + 1) − log x = là: A B C Hướng dẫn giải D x   x  x +1    PT   x3 + x − x +    x ( x − x + 1) =  log ( x3 + 1) − log ( x − x + 1) − log x =  2 x  x  x     ( x + 1)( x − x + 1)    x  ,chọn đáp án A  x ( x − x + 1) =  x + =  x = −1  HTTP://DETHITHPT.COM Câu 13 Số nghiệm phương trình log5 ( 5x ) − log 25 ( 5x ) − = : A B C Hướng dẫn giải D x  x  x    PT     1 log5 (5 x) − log 25 (5 x) − = log5 (5 x) − log5 (5 x) − =  log (5 x) − =  2 x  x  x      x = 55 ,chọn đáp án A  log5 (5 x) = 5x = x = Câu 14 Phương trình log (5 x − 3) + log ( x + 1) = có nghiệm x1 , x2 x1  x2 Giá trị P = x1 + 3x2 A 14 B C Hướng dẫn giải D 13  5 x −   x  PT  log (5 x − 3) + log ( x + 1) =     log (5 x − 3) − log ( x + 1) =  x 3     x = x  x  x        5 x =1 x = log (5 x − 3) = log ( x + 1) 5 x − = x +  x − x + =     3    x = Vậy x1 + 3x2 = 2.1 + 3.4 = 14 ,chọn đáp án A Câu 15 Hai phương trình 2log5 (3x −1) + = log (2 x + 1) log ( x − x − 8) = − log ( x + 2) có nghiệm x1 , x2 Tổng x1 + x2 là? A B C Hướng dẫn giải D 10 PT1: 2log5 (3x −1) + = log (2 x + 1) 3x −    x   PT  2 x +  2 log (3x − 1) + = log (2 x + 1) log (3x − 1) + log = 3log (2 x + 1) 5  5  1   x  x    3 log 5(3x − 1) = log (2 x + 1) 5(3x − 1) = (2 x + 1)3   1   x  x    3 5(9 x − x + 1) = x + 12 x + x + 8 x − 33 x + 36 x − =   HTTP://DETHITHPT.COM  x      x1 =  x =   x = PT2: log ( x − x − 8) = − log ( x + 2)   x  −2  x  x − 2x −      x  −2 PT   x +  log ( x − x − 8) = − log ( x + 2) log ( x − x − 8) = + log ( x + 2)  2   x  x  x       2 log ( x − x − 8) = log 2( x + 2)  x − x − = 2( x + 2)  x − x − 12 = x      x = −2  x2 =  x =  Vậy x1 + x2 = + = ,chọn đáp án A Câu 16 Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình log x − log16 x = Khi tích x1.x2 bằng: B −1 A C Hướng dẫn giải D −2 [Phương pháp tự luận] Điều kiện:  x  1 PT  log x − log16 x =  log x − log 24 x =  log x − log x =  log x − 4(log x 2) − 1 =0 =  4(log x 2) − = 4log x 4log x 1   log x =  x1 =  = x   (log x 2) =      x2 = 1 − log = −  = x   x Vậy x1.x2 = = ,chọn đáp án A [Phương pháp trắc nghiệm] Đáp án B,D có tích âm x1  x2  khơng thỏa mãn điều kiện x nên loại HTTP://DETHITHPT.COM Câu 17 Nếu đặt t = log x phương trình A t − 5t + = + = trở thành phương trình nào? − log x + log x B t + 5t + = C t − 6t + = Hướng dẫn giải D t + 6t + = Đặt t = log x PT  + t + 2(5 − t ) + =1 =  + t + 2(5 − t ) = (5 − t )(1 + t ) − t 1+ t (5 − t )(1 + t )  11 − t = + 4t − t  t − 5t + = , chọn đáp án A Câu 18 Nếu đặt t = lg x phương trình A t − 3t + = + = trở thành phương trình nào? − lg x + lg x B t + 2t + = C t − 2t + = Hướng dẫn giải D t + 3t + = Đặt t = lg x PT  2 + t + 2(4 − t ) + =1 =  + t + 2(4 − t ) = (4 − t )(2 + t ) 4−t 2+t (4 − t )(2 + t )  10 − t = + 2t − t  t − 3t + = , chọn đáp án A Câu 19 Nghiệm bé phương trình log 23 x − log 2 x = log x − là: A x = B x = C x = D x = Hướng dẫn giải TXĐ: x  PT  log 23 x − log 2 x = log x −  log 23 x − log 2 x − log x + =  log 23 x − log x − log 2 x + =  log x(log 2 x − 1) − 2(log 2 x − 1) = x = log x =  log x − =  (log 2 x − 1)(log x − 2) =    log x = −1   x =  log x − = log x = x =  chọn đáp án A x = nhỏ Câu 20 Điều kiện xác định bất phương trình log (4 x + 2) − log ( x − 1)  log x là: A x  B x  C x  − Hướng dẫn giải D x  −1 HTTP://DETHITHPT.COM x  x     BPT xác định khi: 4 x +    x  −  x  , chọn đáp án A x −1     x  Câu 21 Điều kiện xác định bất phương trình log ( x + 1) − 2log (5 − x)  − log ( x − 2) là: A  x  B  x  C  x  Hướng dẫn giải D −4  x  x +1   x  −1   BPT xác định : 5 − x    x    x  , chọn đáp án A x −  x    Câu 22 Điều kiện xác định bất phương trình log log (2 − x )   là: A x  ( −1;1) B x  ( −1;0)  ( 0;1) C x  ( −1;1)  ( 2; + ) D x  [ − 1;1] Hướng dẫn giải −  x   2 − x   −  x  BPT xác định :     2    log (2 − x )  2 − x  1 − x   −  x    −1  x  , chọn đáp án A  −1  x  Câu 23 Bất phương trình log (2 x + 1) + log (4 x + 2)  có tập nghiệm là: A (−;0] C [0; +) B (−;0) Hướng dẫn giải Xét x   x  20 =  x +   log ( x + 1)  log 2 = (1) x   x  40 =  x +  + =  log ( x + )  log 3 = 1( ) Cộng vế với vế (1) ( 2) ta được: log (2 x + 1) + log (4 x + 2)  Mà BPT: log (2 x + 1) + log (4 x + 2)  nên x  ( loai ) Xét x   x  20 =  x +   log ( x + 1)  log 2 = 1( ) x   x  40 =  x +  + =  log ( x + )  log 3 = ( ) Cộng vế với vế ( 3) ( 4) ta được: log2 (2x + 1) + log3 (4x + 2)  ( tm) Vậy x  hay x  ( −;0 , chọn đáp án A Câu 24 Bất phương trình log ( x − x − )  log 0,5 ( x − 1) + có tập nghiệm là: D ( 0; + ) HTTP://DETHITHPT.COM ) A 1 + 2; + ( ) ( B 1 − 2; + C −;1 +  Hướng dẫn giải D −;1 −   x − x −   x  −1  x  TXĐ    x2 x   x −1  BPT  log ( x − x − )  log 0,5 ( x − 1) +  log ( x − x − )  log 2−1 ( x − 1) +  log ( x − x − ) + log ( x − 1) −   log 2 (x  − x − ) ( x − 1) (x − x − ) ( x − 1) 0   ( x − x − ) ( x − 1)   x ( x − x − 1)   x  − ( loai )  x2 − 2x −1     x  1+  x  + ( tm ) chọn đáp án A Câu 25 Nghiệm nguyên nhỏ bất phương trình log2 ( log x )  log ( log x ) là: A B 10 C Hướng dẫn giải D x  log x  x     BPT   1  log x   + log  log x   log ( log x )    + log ( log x )  log ( log x ) 2  x  x      1  + log log x  log log x log ( log x ) −  log ( log x ) ( ) 2 2      2   x   x  x   x   1     x8  log ( log x )  log x   x   log ( log x )  chọn đáp án A ( ) Câu 26 Nghiệm nguyên nhỏ bất phương trình log3 − x  log (1 − x ) là: A x = B x = C x = Hướng dẫn giải 1− D x = 1+ HTTP://DETHITHPT.COM Nhấn CALC cho X = (thuộc đáp án B D) máy tính khơng tính Vậy loại đáp án B D Nhấn CALC cho X = (thuộc đáp án C) máy tính hiển thị -0,6309297536 Vậy loại C, chọn A ( ) Câu 50 Bất phương trình log 2 x − x +  có tập nghiệm là: 1  A S = ( −;0 )   ; +  2   3 C S =  0;   2 3  B S =  −1;  2  3  D S = ( −;1)   ; +  2  Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] x  log ( x − x + 1)   x − x +    x   2 Vậy chọn A [Phương pháp trắc nghiệm] ( ) Nhập vào hình máy tính log 2 X − X + Nhấn CALC cho X = −5 (thuộc đáp án A D) máy tính hiển thị -9,9277… Vậy loại đáp án B C Nhấn CALC cho X = (thuộc đáp án A) máy tính hiển thị -1,709511291 Vậy chọn A Câu 51 Tập nghiệm bất phương trình log 3  A S =  −2; −  2  4x +  là: x B S =  −2;0) C S = ( −;2 Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận]  4x +   x  4x + x  −  x  log 0   −2  x  − x  4x +  −2  x    x Vậy chọn A [Phương pháp trắc nghiệm] Nhập vào hình máy tính log 4X + X D S =   \  − ;0    HTTP://DETHITHPT.COM Nhấn CALC cho X = (thuộc đáp án C D) máy tính hiển thị 2,095903274 Vậy loại đáp án C D Nhấn CALC cho X = −1 (thuộc đáp án B) máy tính khơng tính Vậy loại B, chọn A Câu 52 Nghiệm nguyên nhỏ bất phương trình log0,2 x − log5 ( x − )  log0,2 là: A x = B x = C x = Hướng dẫn giải D x = [Phương pháp tự luận] Điều kiện: x   x  −1 log 0,2 x − log5 ( x − )  log 0,2  log 0,2  x ( x − )   log 0,2  x − x −    x  So điều kiện suy x  [Phương pháp trắc nghiệm] Nhập vào hình máy tính log0,2 X − log5 ( X − 2) − log0,2 Nhấn CALC cho X = (nhỏ nhất) máy tính hiển thị Vậy loại đáp án B Nhấn CALC cho X = máy tính hiển thị -0.6094234797.Vậy chọn A Câu 53 Nghiệm nguyên lớn bất phương trình log ( 4.3x −1 )  x − là: A x = B x = C x = Hướng dẫn giải D x = −1 [Phương pháp tự luận] log ( 4.3x −1 )  x −  4.3x −1  32 x −1  32 x − 4.3x    3x   x  log Vậy chọn A [Phương pháp trắc nghiệm] Nhập vào hình máy tính log ( 4.3 X −1 ) − X + Nhấn CALC cho X = (lớn nhất) máy tính hiển thị –1.738140493 Vậy loại đáp án C Nhấn CALC cho X = máy tính hiển thị – 0.7381404929 Vậy loại B Nhấn CALC cho X = máy tính hiển thị 0.2618595071 Vậy chọn A HẾT -[3.5 – PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT] VẬN DỤNG THẤP Câu 54 Điều kiện xác định phương trình log 3log ( x − 1) − 1 = x là: HTTP://DETHITHPT.COM A x  +1 B x  C x  D x  (0; +) \{1} Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Biểu thức log 3log ( x − 1) − 1 = x xác định khi:  1   x  +1 log ( x − 1)   3 x −  23 +  3log ( x − 1) −  x      3x −  x   x  1 x     3  chọn đáp án A [Phương pháp trắc nghiệm] Thay x = (thuộc B, C, D) vào biểu thức log2 ( 3x −1) log (0) không xác định, loại B, C, D, chọn đáp án A ) ( ) ( Câu 55 Điều kiện xác định phương trình log x − x − log x + x − = log x − x − là: B x  −1 A x  D x  −1 x  C x  0, x  Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Phương trình xác định :  x − x2 −1     x + x −   x  , chọn đáp án A  x2 −1   [Phương pháp trắc nghiệm] ) ( Thay x = −1 (thuộc B, D) vào biểu thức log x − x − log (−1) không xác định, Thay (thuộc C) vào biểu thức x − Vậy loại B, C, D chọn đáp án A x= −3 không xác định ) ( ) ( Câu 56 Nghiệm nguyên phương trình log x − x − log x + x − = log x − x − là: B x = −1 A x = [Phương pháp tự luận] Điều kiện: x  ( ) C x = Hướng dẫn giải D x = ) ( log x − x − log x + x − = log x − x − ) ( ) (  log 6.log ( x + x − ) log 6.log ( x + x − ) − log ( x + Đặt t = log ( x + x − ) ta ( )  log x + x − log x + x − = log x + x − 2 6 6 ) x2 −1 = HTTP://DETHITHPT.COM log 6.log 6.t − t = ( ( ) ) log x + x − = t =    1 t = log x + x − =  log 6.log log 6.log   x + x − = (1)   log x + x − = log ( )   x + x − =  x = 1 (1)    x − x − =  x + x − = 2log6 2log6 + 2− log6   x =  ( )  − log 2  x − x − = chọn đáp án A [Phương pháp trắc nghiệm] Thay x = vào phương trình ta VT = VP chọn đáp án A  x3   32  Câu 57 Nếu đặt t = log x bất phương trình log 42 x − log 21   + 9log    4log 22−1 ( x ) trở thành x    bất phương trình nào? A t − 13t + 36  B t − 5t +  C t + 13t + 36  D t − 13t − 36  Hướng dẫn giải ( ) ( ) [Phương pháp tự luận] Điều kiện: x   x3   32  log 42 x − log 21   + log    log 22−1 ( x ) x     log 42 x − ( 3log x − 3) + ( − log x ) − log 22 x   log 42 x − 13log 22 x + 36  Vậy chọn đáp án A  x3   32  Câu 58 Nghiệm nguyên lớn bất phương trình log 42 x − log 21   + 9log    4log 22−1 ( x ) là: x    A x = B x = C x = D x = Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Điều kiện: x   x3   32  log 42 x − log 21   + log    log 22−1 ( x ) x     log 42 x − ( 3log x − 3) + ( − log x ) − log 22 x   log 42 x − 13log 22 x + 36  4  x    log x    log x     1  x −  log x  −  8 chọn đáp án A 2 HTTP://DETHITHPT.COM [Phương pháp trắc nghiệm] Lần lượt thay x = 7; x = 8; x = 4; x = 1thấy x = đúng, chọn đáp án A ( ) Câu 59 Bất phương trình log x log3 ( x − 72 )  có tập nghiệm là: ( A S = log3 73;2 ( B S = log3 72;2 C S = log3 73;2  D S = ( −;2 Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Điều kiện x  log3 73 ( ) log x log3 ( x − 72 )   log3 ( x − 72 )  x  x − 3x − 72   3x   x  Chọn đáp án A [Phương pháp trắc nghiệm] Thay x = log3 73 (thuộc B, C, D) vào biểu thức log x log3 ( x − 72 ) log x (0) không xác ( ) định, loại B, C, D, chọn đáp án A Câu 60 Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình log  x ( x − 1)  = Khi tích x1.x2 bằng: A −2 B C −1 Hướng dẫn giải D [Phương pháp tự luận] Điều kiện x  x   x = −1 log  x ( x − 1) =  x − x − =    x1.x2 = −2  x2 = Vậy chọn đáp án A Câu 61 Nếu đặt t = log ( x − 1) phương trình log ( 5x − 1) log ( 2.5x − ) = trở thành phương trình nào? A t + t − = B 2t = C t − t − = Hướng dẫn giải D t = Điều kiện: x  log ( 5x − 1) log ( 2.5x − ) =  log ( 5x − 1) 1 + log ( x − 1)  − = Vậy chọn đáp án A Câu 62 Số nghiệm phương trình log4 ( x + 12) log x = là: A B C Hướng dẫn giải D Điều kiện :  x   x = −3 log ( x + 12 ) log x =  log ( x + 12 ) = log x  − x + x + 12 =   x = Loại x = −3 chọn đáp án A Câu 63 Phương trình log52 (2 x −1) − 8log5 x −1 + = có tập nghiệm là: A 3;63 B 1;3 C −1; −3 Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] D 1;2 HTTP://DETHITHPT.COM log 52 (2 x − 1) − 8log x − + =  log 52 (2 x − 1) − log ( x − 1) + = Điều kiện : x  log ( x − 1) = x =    x = 63 log ( x − 1) = Chọn đáp án A [Phương pháp trắc nghiệm] Thay x = (thuộc B, D) vào vế trái ta = vô lý, loại B, D, Thay x = −1 vào log5 ( x −1) ta log5 ( −3) không xác định, nên loại C Vậy chọn đáp án A x −1 x −1 x +1  log log Câu 64 Nếu đặt t = log bất phương trình log log trở thành bất phương x +1 x +1 x −1 trình nào? t −1 t2 +1 t −1 0 0 A B t −  C D  t t t Hướng dẫn giải Điều kiện: x  ( −; −1)  (1; +) Sau đưa số 4, tiếp tục biến đổi số ta bất phương trình x −1 log − 0 x + log x − x +1 Chọn đáp án A Câu 65 Phương trình log x −3 ( 3x − x + 3) − = có nghiệm là: A x = B x = C x = 2; x = Hướng dẫn giải D x = 1; x = [Phương pháp tự luận] Điều kiện x  ; x  2 x = 2 log x −3 ( 3x − x + 3) − =  3x − x + = ( x − 3)  x − x + =   x = Chọn đáp án A Lần lượt thay x = 1; x = (thuộc B,C, D) vào vê trái ta đẳng thức sai, loại B, C, D, Vậy chọn đáp án A Câu 66 Nghiệm nguyên nhỏ bất phương trình log2 ( log x )  log ( log x ) là: A 17 B 16 C 15 D 18 Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Điều kiện: x  log2 ( log4 x )  log ( log x )  log ( log x )   log x   x  16 Vậy chọn đáp án A Phương pháp trắc nghiệm] Thay x = 16;15 (thuộc B, C) vào phương trình ta bất dẳng thức sai nên loại B, C Thay x = 17;18 vào phương trình ta bất đẳng thức Vậy chọn đáp án A HTTP://DETHITHPT.COM Câu 67 Phương trình A e3 + = có tích nghiệm là: − ln x + ln x B C e e D Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Điều kiện: x  0, x  e −2 ; x  e x = e ln x = 1 + =  ln x − 3ln x + =    − ln x + ln x ln x =  x = e Vậy chọn đáp án A Câu 68 Phương trình x log x = x có nghiệm? A B C D Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Điều kiện : x  0; x  ( ) x log9 x = x  log 9 x log9 x = log ( x )  + log 92 x − log x =  log x =  x = Vậy chọn đáp án A Câu 69 Nghiệm nguyên nhỏ bất phương trình log x − log x  là: A x = B x = C x = Hướng dẫn giải D x = [Phương pháp tự luận] Điều kiện : x  0; x  1; x  log x − log x   log3 x  0  x  −1 0  log3 x ( log3 x − 1) x  log3 x  Vậy chọn đáp án A [Phương pháp trắc nghiệm] Loại B, D x  1; x  Loại C x =  log − log  Vậy chọn đáp án A Câu 70 Phương trình x A x = e ln +7 = 98 có nghiệm là: B x = C x = e Hướng dẫn giải ln x D x = e [Phương pháp tự luận] Điều kiện : x  0; x  Đặt x = et xln + 7ln x = 98  et ln + 7ln e = 98  2.7t = 98  t = Chọn đáp án A [Phương pháp trắc nghiệm] Lần lượt thay x = 2; x = e; x = e vào phương trình ta đẳng thức sai, loại B, C, D, Vậy chọn đáp án A Câu 71 Bất phương trình log ( x − x − )  log 0,5 ( x − 1) + có tập nghiệm là: t ) A S = 1 + 2; + ) ( C S = −;1 +  Hướng dẫn giải B S = 1 − 2; + ( D S = −;1 −  HTTP://DETHITHPT.COM [Phương pháp tự luận] Điều kiện : x  log ( x − x − )  log 0,5 ( x − 1) +  log ( x − x − ) ( x − 1)    ( x − x − ) ( x − 1) −  1 −  x   x3 − x − x     x  + Chọn đáp án A [Phương pháp trắc nghiệm] Dựa vào điều kiện ta loại B, C, D, Vậy chọn đáp án A 1 Câu 72 Biết phương trình − log x + = có hai nghiệm x 1, x Khẳng định sau log x đúng? A x13 + x23 = 2049 B x13 + x23 = − 2047 2049 C x13 + x23 = − 4 Hướng dẫn giải D x13 + x23 = 2047 x  x   Điều kiện:  log x   x  Đặt t = log x Phương trình cho trở thành 3t − 7t − =  x = 23 = log x = t =     − (thỏa mãn điều kiện) log x = − t = − x=2 =  3   2049   Vậy tập nghiệm phương trình cho S = 8;   x13 + x23 = 4  ( ) ( ) Câu 73 Số nghiệm nguyên dương phương trình log 4x + = x − log 2x+1 − là: A B C Hướng dẫn giải D Điều kiện: x +1 −   x  log − Ta có: log ( x + ) = x − log ( x +1 − 3)  log 2 4x + 4x + = x  = 2x x +1 x +1 −3 −3 (1) Đặt t = x , t  Ta có (1)  t + = 2t − 3t  t − 3t − =  t =  x = 22  x = (thỏa mãn điều kiện) Vậy nghiệm phương trình cho x = Câu 74 Tập nghiệm bất phương trình log ( log ( x − 1) )  là:  3 A S =  1;   2  3 B S =  0;   2 C S = ( 0;1) Hướng dẫn giải 2 x −   x  Điều kiện:  log (2 x − 1)  3  D S =  ;  2  HTTP://DETHITHPT.COM Ta có: log ( log ( x − 1) )   log ( log ( x − 1) )  log 1 2 log (2 x − 1)  0  x −      x  (thỏa mãn điều kiện) log (2 x − 1)  2 x −   3 Vậy tập nghiệm bất phương trình cho S =  1;   2 Câu 75 Tập nghiệm bất phương trình log ( x + x + 1)  log ( x + 1) là:   C S =  − ;1   Hướng dẫn giải  x  −  x  −  2 x + x +    x− Điều kiện:  2 x +  x  −    A S =  − ;    (  1 B S =  0;   2 ) ( 1  D S =  ;1 2  ) Ta có: log4 x2 + 3x +  log ( x + 1)  log x2 + 3x +  log ( x + 1)  x  (thỏa mãn điều kiện)   Vậy tập nghiệm bất phương trình cho S =  − ;     x + 3x +  x + x +  x + x   − Câu 76 Tập nghiệm bất phương trình log x (125 x ) log 25 x  ( ) A S = 1; ( ) B S = −1; ( + log 52 x là: ) ( Hướng dẫn giải Điều kiện:  x  (*) 3 + log 52 x  ( log x 53 + log x x ) log 52 x  + log 52 x 2 3 1   ( 3log x + 1)  log x   + log 52 x  + log x  + log 52 x  log 52 x − log x  2 2  Ta có: log x (125 x).log 25 x  1   log5 x    x    x  (thỏa mãn điều kiện) ( ) Vậy tập nghiệm bất phương trình cho S = 1; Câu 77 Tích nghiệm phương trình log x.log x.log x.log16 x = A B Hướng dẫn giải C 81 : 24 D Điều kiện: x  Ta có: log x.log x.log x.log16 x = ) D S = − 5; −1 C S = − 5;1 81 1    81  ( log x )  log x  log x  log x  = 24 2    24 HTTP://DETHITHPT.COM (thỏa mãn điều kiện) 1  Vậy tập nghiệm phương trình cho S =  ;8  x1.x2 = 8   log 42 = 81  log x = 3  x = x = Câu 78 Phương trình log A x + = có nghiệm ? C Hướng dẫn giải B D Điều kiện: x  −1 Ta có: log x + =  x + =  x + = 3  x = x = −4 (thỏa mãn điều kiện) Vậy tập nghiệm phương trình cho S = −4;2 Câu 79 Biết phương trình 4log9 x − 6.2log9 x + 2log3 27 = có hai nghiệm x 1, x Khi x 12 + x 22 : A 6642 B 82 6561 C 20 D 90 Hướng dẫn giải Điều kiện: x  Ta có phương trình tương đương 22log9 x − 6.2log9 x + 23 = (1) t = Đặt t = 2log9 x , t  (1)  t − 6t + =   t = - Với t =  2log9 x =  log x =  x = - Với t =  2log9 x = 22  log x =  x = 81 Vậy tập nghiệm phương trình cho S = 9;81  x12 + x22 = 6642 Câu 80 Tập nghiệm bất phương trình  1 A S =  0;   ( 2; + )  2 1  C S = ( −;0 )   ;  2  log 22 x − 10 x log x +  là: 1  B S = ( −2;0 )   ; +  2  1  D S =  −;   ( 2; + ) 2  Hướng dẫn giải Điều kiện: x  (*) Đặt u = log x  x = 2u ( ) Bất phương trình cho trở thành 2u − 10 2u −u +   2u − 10 2u +  (1) 2 t  −5 (l)  2u   u   u  u  −1 Đặt t = 2u , t  (1)  t + 3t − 10    t  - Với u   log x   x  - Với u  −1  log x  −1  x  Kết hợp điều kiện (*), ta nghiệm bất phương trình cho x   x  Câu 81 Tập nghiệm phương trình 4log2 x − xlog2 = 2.3log2 x là: HTTP://DETHITHPT.COM  1 B S = −   2 1  A S =   4 4 C S =   9  Hướng dẫn giải D S = −2 Điều kiện:  x  Ta có: 4log2 x − xlog2 = 2.3log2 x  41+log2 x − 6log2 x = 2.32+2log2 x  4.4log2 x − 6log2 x = 19.9log2 x (1) Chia vế cho 4log2 x 9 (1)  18   4 3   2 log x log x 3 +  2 log x 3 − = Đặt t =   2 log x  t =  PT  18t + t − =   t = − (l)  −2 4 3 =   =    log x = −2  x = 2−2 = 9 2 1  Vậy tập nghiệm phương trình cho S =   4 (thỏa mãn điều kiện) VẬN DỤNG CAO Câu Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình log3 x − log3 ( x − ) = log m có nghiệm? A m  B m  C m  Hướng dẫn giải D m  [Phương pháp tự luận] Điều kiện x  2; m  2m m2 − Phương trình có nghiệm x  m  ,chọn đáp án A [Phương pháp trắc nghiệm] Thay m = (thuộc C, D) vào biểu thức log m không xác định, loại C, D, log3 x − log3 ( x − ) = log m  x = ( x − 2) m2  x = Thay m = (thuộc B) ta phương trình tương đương x = x − vô nghiệm Vậy chọn đáp án A Câu Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình log ( x + x + m )  nghiệm với x  ? A m  B m  log ( x + x + m )  x  C m  Hướng dẫn giải  x + x + m −  x  D  m  0m7 Vậy chọn A ( ) Câu Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình log mx − x  log vô nghiệm? A −4  m  m  B   m  −4 C m  D −4  m  HTTP://DETHITHPT.COM Hướng dẫn giải log ( mx − x )  log  mx − x   x − mx +  5 x − mx +  vô nghiệm  x − mx +  x  R     −4  m  Vậy chọn A Câu Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình log ( mx − x ) = vô nghiệm? A −4  m  B m  m  C   m  −4 Hướng dẫn giải D m  −4 log ( mx − x ) =  − x + mx − = 0(*) Phương trình (*) vơ nghiệm     m − 16   −4  m  Vậy chọn A Câu Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình log 24 x + 3log x + 2m − = có nghiệm phân biệt? 13 13 13 13 A m  B m  C m  D  m  8 8 Hướng dẫn giải Phương trình có nghiệm phân biệt     13 − 8m   m  13 Vậy chọn A Câu Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình log (5x − 1).log (2.5x − 2)  m có nghiệm x  1? A m  B m  C m  D m  Hướng dẫn giải BPT  log (5x − 1).log (2.5 x − 2)  m  log (5 x − 1) 1 + log (5 x − 1)   m ( ) Đặt t = log x + x − x   t  2; + ) BPT  t (1 + t )  m  t + t  m  f (t )  m Với f (t ) = t + t f , (t ) = 2t +  với t   2; + ) nên hàm đồng biến t   2; + ) Nên Minf (t ) = f (2) = Do để để bất phương trình log (5x − 1).log (2.5x − 2)  m có nghiệm x  1thì : m  Minf (t )  m  chọn đáp án A HTTP://DETHITHPT.COM Câu Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình log32 x + log3 x + m − = có nghiệm? A m  B m  C m  D m  Hướng dẫn giải TXĐ: x  PT có nghiệm    − (m − 1)   − m   m  , chọn đáp án A Câu Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình log (5 x − 1)  m có nghiệm x  1? A m  B m  C m  D m  Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] x   5x −   log ( x − 1)   m  Vậy chọn đáp án A Câu Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình log32 x + log32 x + − 2m − = có nghiệm thuộc đoạn 1;3  ?   A m  [0; 2] B m  (0; 2) C m  (0; 2] Hướng dẫn giải D m  [0; 2) Với x  1;3  hay  x  3  log32 +  log 32 x +  log 32 3 + hay  t    Khi tốn phát biểu lại là: “Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn 1;2 ” Ta có PT  2m = t + t + t Xét hàm số f (t ) = t + t − 2, t 1;2 , f '(t ) = 2t +  0, t  1;2 + f(t) Suy hàm số đồng biến 1;2 Khi phương trình có nghiệm  2m    m  Vậy  m  giá trị cần tìm f (t) Câu 10 Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình log ( x − 1) log ( 2.5 x − ) = m có nghiệm x  ? A m 3; + ) B m 2; + ) D m ( −;3 C m  (−; 2] Hướng dẫn giải Với x   x   log ( x − 1)  log ( − 1) = hay t  Khi tốn phát biểu lại là: “Tìm m để phương trình có nghiệm t  ” Xét hàm số f (t ) = t + t , t  2, f '(t ) = 2t +  0, t  t Suy hàm số đồng biến với t  + f(t) Khi phương trình có nghiệm 2m   m  Vậy m  giá trị cần tìm f (t) Câu 11 Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình + + HTTP://DETHITHPT.COM log32 x − ( m + 2) log3 x + 3m −1 = có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1.x2 = 27 ? A m = B m = −1 C m = −2 Hướng dẫn giải D m = Điều kiện x  Đặt t = log3 x Khi phương trình có dạng: t − ( m + 2) t + 3m − = Để phương trình có hai nghiệm phân biệt m  − 2  = ( m + ) − ( 3m − 1) = m2 − 8m +    ( *)  m  + 2 Với điều kiện (*) ta có: t1 + t2 = log3 x1 + log3 x2 = log3 ( x1.x2 ) = log3 27 = Theo Vi-ét ta có: t1 + t2 = m +  m + =  m = (thỏa mãn điều kiện) Vậy m = giá trị cần tìm Câu 12 Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình có nghiệm thuộc 32;+ ) ? ( A m  1;  log 22 x + log x − = m ( log x − 3) ) B m  1; ( ) C m   −1; Hướng dẫn giải Điều kiện: x  Khi phương trình tương đương: D m  − 3;1 log22 x − 2log x − = m ( log x − 3) Đặt t = log x với x  32  log x  log 32 = hay t  Phương trình có dạng t − 2t − = m ( t − 3) (*) Khi tốn phát biểu lại là: “Tìm m để phương trình (*) có nghiệm t  ” Với t  (*)  ( t − 3) ( t + 1) = m ( t − 3)   t +1 − m t − =  m = Ta có t − ( ) t +1 − m t − = t +1 t −3 t +1 t +1 t +1 4 = 1+  1+ = hay  Với t    +  1  t −3 t −3 t −3 5−3 t −3 t −3 suy  m  Vậy phương trình có nghiệm với  m  Tìm tất giá trị thực tham số m cho khoảng ( 2;3) thuộc tập nghiệm bất phương trình log ( x + 1)  log ( x + x + m ) − (1) A m  −12;13 B m 12;13 C m  −13;12 D m −13; −12 Hướng dẫn giải  x2 + x + m x +1  m  − x − x = f ( x) (1)    m  x − x + = g ( x)  x2 + 4x + m   m  Max f ( x) = −12 x =   2 x 3  −12  m  13 Hệ thỏa mãn x  ( 2;3)   m  Min f ( x) = 13 x =  2 x 3  HTTP://DETHITHPT.COM Câu 13 Tìm tất giá trị thực log ( x + )  log ( mx + x + m ) , x  A m ( 2;5 tham số m để phương trình D m −2;5) C m  2;5) B m ( −2;5 bất Hướng dẫn giải Bất phương trình tương đương x +  mx + x + m  0, x   ( − m ) x − x + − m  (2)  , x  mx + x + m  (3)   - m = : (2) không thỏa x  - m = : (3) không thỏa x  7 − m   2 = − ( − m )   (1) thỏa x    m    = − m   m   m    m   m  m  Câu 14 Tìm tất giá trị thực tham + log ( x + 1)  log ( mx + x + m ) có nghiệm x A m ( 2;3 B m ( −2;3 số C m  2;3) Hướng dẫn giải Bất phương trình tương đương ( x + 1)  mx + x + m  0, x   ( − m ) x − x + − m  (2)  (*), x  mx + x + m  (3)   - m = m = : (*) không thỏa x  5 − m   2 = − ( − m )    m  - m  m  : (*)   m     = − m   -HẾT - m để bất phương D m −2;3) trình ... 2  ) Ta có: log4 x2 + 3x +  log ( x + 1)  log x2 + 3x +  log ( x + 1)  x  (thỏa mãn điều kiện)   Vậy tập nghiệm bất phương trình cho S =  − ;     x + 3x +  x + x +  x + x   −... log x + log x B t + 5t + = C t − 6t + = Hướng dẫn giải D t + 6t + = Đặt t = log x PT  + t + 2(5 − t ) + =1 =  + t + 2(5 − t ) = (5 − t )(1 + t ) − t 1+ t (5 − t )(1 + t )  11 − t = + 4t... log (2 x + 1) + log (4 x + 2)  có tập nghiệm: B (−;0) A (−;0] C [0; +? ??) D ( 0; +? ?? ) Câu 12: Bất phương trình log ( x − x − )  log 0,5 ( x − 1) + có tập nghiệm là: ) ) ( ( A 1 + 2; +? ?? B 1