CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI MẶT CẦU PHẦN TRUNG HỌC PHỔ THƠNG QUỐC GIA 2018 Mơn: Tốn (50 câu trắc nghiệm) I CÁC DẠNG TOÁN MẶT CẦU NGOẠI TIẾP KHỐI CHĨP: Loại 1: Cạnh bên vng góc với đáy: Nếu cạnh bên SA vng góc đáy đáy hình gì, cần tìm bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy R D , ta có cơng thức: R + R D2 + SA Đáy hình vng cạnh a R D = cạnh bên SA vng góc đáy a a đáy tam giác cạnh a R D = Đặc biệt ABC = 900 R = SC tâm trung điểm SC Một trường hợp đặc biệt S.ABC tam diện vng A R2 = AB2 + AC2 + AS2 ) ( Loại 2: Chóp có cạnh bên nhau: Khi bán kính mặt cầu ngoại tiếp: R = SA Chú ý: 2SO + ABCD hình vng, hình chữ nhật, O giao hai đường chéo + ABC vuông, O trung điểm cạnh huyền Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải + ABC đều, O trọng tâm, trực tâm II CÁC CÔNG THỨC KHÁC CỦA MẶT CẦU:  Diện tích mặt cầu: S = 4R  Thể tích mặt cầu: V = R 3 III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM: Câu 1: Chóp S.ABCD có mặt bên (SAB) , (SAD) vng góc với đáy ABCD hình vng cạnh a, góc SC (ABCD) 450 Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD ? A R = a B R = a C R = a D R = 2a Câu 2: Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC biết SA ⊥ ( ABC) , tam giác SBC vng cân B có diện tích 2a ? A R = a B R = 2a C R = a D R = 2a Câu 3: Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC biết SA ⊥ ( ABC) , tam giác ABC vuông B, AB = , a A V = BAC = 300 , góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 600 4a 3 B V = 13a 39 C V = 54 16a D V = 54 Câu 4: Chóp S.ABCD có SA vng góc đáy, ABCD nửa lục giác có AD =  BC AD song song BC Góc SD (SAB) 450 Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD A R = B R = C R = D R = Câu 5: Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC biết SA ⊥ ( ABC) , tam giác ABC vuông A tam giác SBC cạnh a A R = a 2 B R = a C R = a D R = a Câu 6: Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC biết SA ⊥ ( ABC) , tam giác ABC cạnh a đồng thời (SBC) tạo với mặt phẳng đáy góc 600 A S = 43 B S = 43 24 C S = 43 16 D S = 43 12 Câu 7: Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC biết SA ⊥ ( ABC) , tam giác ABC vng A có AB = 3a, AC = 4a Khoảng cách hai đường thẳng SB AC 2a Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải A S = 147a B S = 155a C S = 161a D S = 110a Câu 8: Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp tam giác S.ABC có cạnh bên 2a góc cạnh bên mặt đáy 600 A R = 2a 3 B R = a 3 C R = a D R = a Câu 9: Chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, góc cạnh bên mặt đáy 60 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp là? A R = a B R = a 2 C R = a D R = a Câu 10: Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC biết SA = SB = SC = a , tam giác ABC vng B có AC = 2a A R = 3a C R = B R = a 3a D R = a Câu 11: Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp tứ giác S.ABCD tích diện tích xung quanh đạt giá trị nhỏ A R = B R = D R = C R = 2 3 Câu 12: Chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA ⊥ ( ABC) Gọi H hình chiếu A SB Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp H.ABCD A R = a B R = a C R = a 3 D R = a 2 Câu 13: Chóp S.ABC có SA ⊥ ( ABC) , tam giác ABC vuông B tam giác SAC vuông cân A Mặt phẳng (P) qua A, vng góc với SC cắt SB, SC M, N Xác định tỷ số thể tích hai khối cầu ngoại tiếp tứ diện SAMN khối chóp A.BMNC A B C D Câu 14: Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện gần ABCD có độ dài cạnh sau: AB = CD = a, BC = AD = b, AC = BD = c A R = ab + bc + ca B R = a + b2 + c2 2 C R = a + b2 + c2 D R = a + b2 + c2 Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Câu 15: Trong mặt phẳng (P) cho đường tròn (C) đường kính AB = 2R Gọi M điểm di động đường trịn Kẻ MH vng góc với AB H Dựng đường thẳng vng góc với (P) M Trên đường thẳng lấy điểm S cho MS = MH Xác định giá trị lớn bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABM ? A R B R C R D R Câu 16: Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC vuông cân với AB = AC = a Gọi Bu, Cv nửa đường thẳng vng góc với (P) nằm phía với mặt phẳng (P) Trên các(P) nửa đường thẳng lấy điểm M, N di động cho tam giác AMN vuông M Gọi I trung điểm BC Khi bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AICM đạt giá trị nhỏ bao nhiêu? A R = a B R = a C R = a 2 D R = a Câu 17: Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD có SA ⊥ ( ABC) ABCD hình chữ nhật với AB = 2AD = 2a đồng thời A S = 4 B S = 6 BSD = 10 C S = 13 D S = 8 Câu 18: Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC biết SA = SB = SC = 2a , tam giác ABC có AB = a, AC = 2a trung tuyến AM = A R = 2a 3 B R = a 3 a C R = a D R = a IV BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Chóp S.ABC có SA ⊥ ( ABC) ; tam giác ABC vng C có BC = a; BAC = 300 Góc (SBC) với (ABC) 450 Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABC A R = a B R = a C R = a 2 D R = a 13 Câu 2: Chóp S.ABCD có SA ⊥ ( ABCD ) ; đáy ABCD hình vng cạnh a Góc (SBC) với (ABCD) 450 Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABCD A R = a B R = a C R = a 2 D R = a 13 Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Câu 3: Chóp S.ABCD có SA ⊥ ( ABCD ) ; đáy ABCD hình chữ nhật AB = a; AD = 2a Góc SB với (ABCD) 300 Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABCD A S = a B S = 4a C S = 16a D S = 32a Câu 4: Chóp S.ABCD có SA ⊥ ( ABCD ) ; đáy ABCD hình chữ nhật AB = a; AD = a Góc (SCD) với (ABCD) 600 Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABCD A R = Câu 5: a Chóp B R = S.ABCD a có C R = SA ⊥ ( ABCD ) ; a 2 đáy D R = ABCD a 13 hình thang AB = 2a; AD = DC = CB = a Góc SC với (ABCD) 450 Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABCD A R = a B R = 2a C R = a 2 D R = a 13 Câu 6: Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có tam giác ABC vng B, AC = 2a; BAC = 300 góc A’C với mặt phẳng (ABC) 600 Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp A’.ABC A R = a B R = 2a C R = a 2 D R = a 13 Câu 7: Cho lăng trụ đứng ABCDA’B’C’D’ có ABCD hình vng cạnh a, góc A’B với mặt phẳng (ABCD) 600 Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp chóp A’.ABCD A V = 5a B V = 5a C V = 5a D V = 25 5a Câu 8: Chóp S.ABCD Tứ giác ABCD hình chữ nhật thỏa mãn AB = a; AD = a Các cạnh bên SA = SB = SC = SD = 2a Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp A R = a B R = 2a C R = a 3 D R = 2a 3 Câu 9: Chóp S.ABCD Đáy ABCD hình vng tâm O cạnh a Hình chiếu vng góc S (ABCD) tâm O đáy Góc SB mặt đáy (ABCD) 300 Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp A R = a B R = 2a C R = a 3 D R = 2a 3 Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Câu 10: Chóp S.ABCD ABCD hình chữ AB = 2a; AD = a nhật AC  BD = O, SO ⊥ ( ABCD) Góc (SBC) mặt đáy (ABCD) 450 Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp A R = 13a B R = 11a C R = 9a D R = 7a Câu 11: Chóp S.ABCD có SA vng góc mặt phẳng đáy Đáy ABCD hình chữ nhật với AD = 2a AB = a Góc hai mặt (SBC) (ABCD) 600 Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp B R = 2a A R = 2a C R = a 185 10 D R = a Câu 12: Chóp S.ABC có hai mặt (SAB) , (SAC) vng góc với đáy Đáy cân có BAC = 1200 , AB = AC = 2a , góc (SBC) mặt đáy 600 Xác định thể tích khối cầu ngoại tiếp chóp A V = 3a 19a 19 B V = 18 Câu 13: Tứ diện ABCD có bán kính mặt cầu ngoại tiếp A V = a3 B V = a3 12 13a 13 D V = 10a 20 C V = C V = a Xác định thể tích tứ diện a3 12 D V = a3 24 Câu 14: Tứ diện ABCD có AB = 2a; CD = 2b Gọi I, J trung điểm AB, CD IJ khoảng cách hai đường thẳng đồng thời IJ = c Xác định bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD A R = C R = (b + c2 − a ) + 4a 2c 2 B R = 2c (b + c − a ) + 4a 2 D R = 2a (a + b − c2 ) + 4a 2c2 2a (a + c2 − b ) + 4a b 2 2b Câu 15: Lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy tam giác vuông cân cạnh a, khoảng cách AB B’C’ 2a Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ A R = a B R = a C R = a D R = a Câu 16: Cho tứ diện ABCD Tập hợp điểm M thỏa mãn MA + MB + MC + MD = a mặt cầu có bán kính là? Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải C R = B R = 2a A R = a a D R = a Câu 17: Trên nửa đường trịn đường kính AB = 2R lấy C tùy ý Kẻ CH vuông góc AB H Gọi I trung điểm CH Trên nửa đường thẳng Ix vng góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm S cho ASB = 900 Tính giá trị lớn bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SAOB C thay đổi A R = R B R = R C R = R D R = R Câu 18: Hình thang vng ABCD vng A D có AB = AD = a, CD = 2a Gọi t’Dt đường thẳng vuông góc với (ABCD) D Trên đường thẳng lấy cho MD = 2a Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện MBCD A S = 8a B S = 4a C S = 6a D S = 12a Câu 19: Cho mặt cầu (S) tâm O bán kính R Gọi thể tích khối chóp tứ diện nội tiếp mặt cầu cho Giá trị lớn V là? A V = 64R 81 B V = 16R 3 81 C V = 8R 3 81 D V = R3 81 Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 12: Đáp án D Vì BC ⊥ (SAB)  BC ⊥ AH Lại có AH ⊥ SB, BC ⊥ AH  AH ⊥ (SBC)  AH ⊥ HC Do tam giác AHC vng H Như OA = OB = OC = OH Do O tâm mặt cầu ngoại tiếp đồng thời R = OA = a 2 Câu 13: Đáp án A Chứng minh giống Câu 12, ta có tam giác AMC vuông M tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp A.BMNC trung điểm AC đồng thời bán kính mặt cầu ngoại tiếp R = AC Lại có tam giác SAM SAN vuông M N tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SAMN trung điểm SA bán kính R = SA Vì tam giác SAC vng cân A nên SA = AC Do mặt cầu có bán kính nên thể tích Câu 14: Đáp án B Tứ diện sinh từ hình hộp chữ nhật có đường chéo tơ màu hình vẽ Khi bán kính mặt cầu ngoại tiếp nửa đường chéo dài hình hộp và: RC = x + y2 + z = a + b2 + c2 2 Câu 15: Đáp án A Vì nằm đường trịn đường kính AB nên tam giác MAB vuông M, áp dụng công thức tam diện vuông: R C2 = 1 MA + MB2 + MS2 ) = ( 4R + MH ) ( 4 Vì MHmax = R R Cmax = R Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Câu 16: Đáp án A Đặt BM = x, CN = y Ta có AM = x + a , AN = y + a , MN = 2a + ( y − x ) Vì tam giác AMN vuông M vậy: a2 a2 AM + MN = AN  y = x +  x = 2a x x 2 Các điểm I, M, C nhìn AN góc vng điểm A, M, I, C nội tiếp mặt cầu đường kính AN vậy: R= 1 AN = y + a2  2 Do R = ( 2a ) a + a2 = a ĐÁP ÁN CHI TIẾT BÀI TẬP VỀ NHÀ Đáp án 1-A 2-B 3-C 4-D 5-A 6-B 7-C 8-D 9-A 10-B 11-C 12-B 13-C 14-A 15-B 16-C 17-A 18-A 19- 20- Câu 1: Đáp án A a Ta có: SB = a Do R = SB = 2 Câu 2: Đáp án B Ta có SC = a Do R = SC a = 2 Câu 3: Đáp án C Ta có SC = 4a SC 2a 16a R= = Do S = 4R = 3 Câu 4: Đáp án D Ta có SC = a 13 Do R = SC a 13 = 2 Câu 5: Đáp án A Hình thang ABCD có AB = 2a; AD = DC = CB = a nửa lục giác Khi ta có R D = a Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải ADC vuông A, AD = a; DC = 2a  AC = SA = a Do R = R 2D + SA a = Câu 6: Đáp án B AA '2 Ta có R D = a; AA' = 2a Do R = R + = 4a  R = 2a 2 D Câu 7: Đáp án C Ta có AA ' = a  A 'C = a Do R = A 'C a 5 5a =  V = R = 2 Câu 8: Đáp án D Ta có SO = a Do R = SA 2a = 2SO Câu 9: Đáp án A Ta có SO = a SA a a ; SA = = Do R = 2SO 3 Câu 10: Đáp án B Ta có SO = a; SA = a 11 SA 11a = Do R = 2SO Câu 11: Đáp án C Từ A, kẻ AH vuông góc với BD H  Góc hai mặt (SBD) (ABCD) SHA = 600 Ta có AH = AD.AB AB + AD Do R = R D2 + = 2a 2a 15 a  SA = ; RD = 5 SA 37a a 185 = R= 20 10 Câu 12: Đáp án B Từ A kẻ AM vng góc BC M Tam giác ABC cân có BAC = 1200 , AB = AC = 2a  AM = a; BC = 2a Áp dụng hệ thức Heron, ta có R = AB.AC.BC = 2a , 4S AB + AC + BC   S = p ( p − AB )( p − AC )( p − BC ) = 3;  p =    Lại có, góc (SBC) mặt đáy 600  SA = a Trang 10 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Do R = R 2D + SA 19a a 19 = R= 4 Thể tích khối cầu ngoại tiếp là: V = 19a 19 R = Câu 13: Đáp án C Đặt AB = BC = BD = CD = x BCD đều, O trọng tâm BCD  OB = x 3 x Do AO = AB2 − OB2 = x − x = 3 AB2 x a = = x=a Lại có R = 2AO 4 1 a a2 a3 = Vậy V = AO.SBCD = 3 12 Câu 14: Đáp án A Gọi O tâm mặt cầu ngoại tiếp khối tứ diện ABCD Vì IJ khoảng cách hai đường thẳng tâm O nằm đường thẳng IJ Thật IJ trung trực hai đoạn thẳng AB CD nên OA = OB, OC = OD Để xác định bán kính mặt cầu ta cần giải phương trình OA = OC nguyên ta chưa xác định điểm O nằm đường thẳng IJ nằm vị trí Đặt IO = x, JO = c − x Giải hệ phương trình: OA = OC ta tìm từ ta thu đáp án cần tìm đáp án A Câu 15: Đáp án B Gọi I tâm lăng trụ đứng ABC.A'B'C' I  MN  ( AA'C'C) ; đó: M trung điểm AC, N trung điểm A'C' Khoảng cách AB B'C' MN = 2a  IM = a Giả sử: Tam giác ABC vuông cân B  AB = AC = a  AC = a  AM = Do R = IA = IM + MA = a 2 a Câu 16: Đáp án C Trang 11 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Bài toán toán sử dụng khái niệm vector không gian Gọi G trọng tâm tứ diện ABCD, MA + MB + MC + MD = 4MG MG = mặt cầu tâm G bán kính R = a Vậy quỹ tích M a Câu 17: Đáp án A Đặt HA = x, HB = y ta có hệ thức lượng tam giác vng CH = xy  IH = Ta có xy xy xy  IA = x + , IB = y + 4 ASB = 900 SA + SB2 = AB2  AB2 = 2SI2 + IA + IB2  SI2 = Mặt khác: SIAB =  R IAB = AB2 − IA − IB2 IA.IB.AB IA.IB = IH.AB  R IAB = 4R IAB 2IH xy xy y  x  x2 + y + =  x +  y +  4  4 xy  Lại có, theo cơng thức tính nhanh bán kính mặt cầu: R SAIB SI  y  x  AB2 − IA − IB2 17 x + y2 = R 22 + = x + y + + = xy + + IAB    44   4 16 4R − x − y2 − xy 17 x + y2 R x + y xy R x + y R ( x + y ) − 2xy = xy + + − − = + + xy = + + xy 16 16 8 R SAIB  R SAIB = R 4R − 2xy 3xy 3 7R R + + xy = R +  R + ( x + y ) = R + 4R =  R = 8 Câu 18: Đáp án A Hình thang vng ABCD vng A D có AB = AD = a, CD = 2a  BCD vuông B Ta có R D = a, MD = 2a Do R = R D2 + MD2 = 2a  R = 2a Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện MBCD: S = 4R = 8a Câu 19: Đáp án C Trang 12 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Giả sử tứ diện có cạnh x Khi R= AB2 x2 = = 2AO x − BO x2 x 3 x −    = x 2R =Rx= x 8R 3 = Vậy V = 12 27 Trang 13 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải ... 64R 81 B V = 16 R 3 81 C V = 8R 3 81 D V = R3 81 Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 12 : Đáp án D Vì BC ⊥ (SAB)  BC ⊥ AH Lại có AH... http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải A S = 14 7a B S = 15 5a C S = 16 1a D S = 11 0a Câu 8: Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp tam giác S.ABC có cạnh... tiếp mặt cầu đường kính AN vậy: R= 1 AN = y + a2  2 Do R = ( 2a ) a + a2 = a ĐÁP ÁN CHI TIẾT BÀI TẬP VỀ NHÀ Đáp án 1- A 2-B 3-C 4-D 5-A 6-B 7-C 8-D 9-A 10 -B 11 -C 12 -B 13 -C 14 -A 15 -B 16 -C 17 -A 18 -A