CHƯƠNG IV NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ NHỮNG BÀI TỐN THỰC TẾ Các em học sinh thân mến, có em nghe câu chuyện toán cân voi trạng nguyên Lương Thế Vinh ? Vào đời vua Lê Thánh Tông, quan sứ Trung Quốc Chu Hy sang Việt Nam ta với thái độ hống hách coi thường đất nước Việt Nam ta Chu Hy thách đố nước ta để cân khối lượng voi Vào thời ấy, khơng thể có loại cân đủ lớn để cân khối lượng voi lên hàng Dĩ nhiên ta xẻ thịt voi để cân Vậy Trạng nguyên Lương Thế Vinh cân voi cách nào? Chuyện kể Trạng nguyên Lương Thế Vinh sai quân lính dẫn voi lên thuyền, voi nặng nên thuyền đắm sâu xuống, Lương Thế Vinh cho quân lính đánh dấu mực nước thành thuyền, dắt voi lên bờ Sau đó, ơng sai quân lính vác đá bỏ lên thuyền thuyền đắm sâu tới mức đánh dấu lúc dừng lại Cuối cùng, ơng bảo qn lính cân hết số đá thuyền khối lượng voi Khi ấy, Chu Hy bực tức lòng thán phục Cách cân voi trạng nguyên Lương Thế Vinh mang “hơi hướng” phép tính tích phân đại ngày Để tính khối lượng voi, Lương Thế Vinh chia thành nhiều phần nhỏ (là viên đá) tính tổng khối lượng viên đá Trong thực tế ngày ta gặp nhiều vấn đề tương tự tốn cân voi Ví dụ để tính diện tích mảnh vườn hình chữ nhật, hay hình vng, hay hình tròn chuyện dễ dàng Tuy nhiên, khó khăn nhiều tính diện tích mảnh vườn có hình dạng phức tạp, cách chia nhỏ hình phức tạp thành nhiều hình đơn giản quen thuộc, sau tính tổng diện tích hình đơn giản cho kết hình phức tạp ban đầu Qua ta thấy phép tính tích phân đại giúp cho giải tốn cách đơn giản Khơng dừng lại đó, phép tính tích phân phát huy ưu qua nhiều ứng dụng thực tế: o Tính thể tích vật thể có hình dạng phức tạp (khơng phải hình hộp có sẵn cơng thức tính) o Tính quãng đường chuyển động vật (xe, máy bay, ) biết vận tốc suốt quãng đường o Dự đoán phát triển bào thai o Dự đoán chi phí sản xuất doanh thu doanh nghiệp o Và nhiều ứng dụng khác Tuy nhiên, chương trình sách giáo khoa lớp 12 thiên tính tốn khơ khan, học sinh biết tính tốn cách máy móc mà không thấy ứng dụng thực tế Với xu đổi cách đánh giá lực học sinh tốn ứng dụng thực tế tích phân chủ đề nóng cần thiết cho học sinh chuẩn bị cho kì thi THPT Quốc gia Trong chương này, làm quen với toán thực tế áp dụng phép tính tích phân theo định hướng đề Bộ giáo dục đào tạo Nội dung chương bao gồm: http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word • • • • Phần A: Tóm tắt lý thuyết kiến thức liên quan Phần B: Các toán ứng dụng thực tế Phần C: Các toán trắc nghiệm khách quan Phần D: Đáp án hướng dẫn giải câu hỏi trắc nghiệm http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word PHẦN A: TÓM TẮT LÝ THUYẾT I Nguyên hàm Khái niệm nguyên hàm • Cho hàm số f ( x ) xác định K Hàm số F ( x ) gọi nguyên hàm f ( x ) K F ( x ) = f ( x ) , x  K • Nếu F ( x ) nguyên hàm f ( x ) K họ tất nguyên hàm f ( x ) K  f ( x ) dx = F ( x ) + C , C  ¡ • Mọi hàm số f ( x ) liên tục K có nguyên hàm K Tính chất Cho số C, k  ¡  f  ( x ) dx = f ( x ) + C   f ( x )  g ( x ) dx =  f ( x ) dx   g ( x ) dx  k f ( x ) dx = k. f ( x ) dx, ( k  ) Nguyên hàm số hàm thường gặp • Cho a, b, c , ,   ¡ số ▪ ▪ ▪ ▪  0dx = c  dx = x + c  +1 ▪ x +1 + c ( = co nst ,  −1)  +1 dx  x2 = − x + c   x dx = dx ▪  ▪  cos xdx = sin x + c  sin xdx = − cos x + c ▪ ▪ =2 x + c x  cos2 x dx = tan x + c ▪  sin ▪ ax x a dx = + c (  a  1)  ln a ▪  e dx = e ▪  x dx = ln|x|+c ▪  x ln a dx = log |x|+c (  a  1) x x ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ dx = − cot x + c x ( ax + b ) ax + b dx = + c (  −1, a  ) ( )  a  +1 1  ax + b dx = a ln|ax + b|+c , ( a  )  cos ( ax + b ) dx = a sin ( ax + b ) + c , ( a  )  sin ( ax + b ) dx = − a cos ( ax + b ) + c , ( a  ) 1  cos2 ( ax + b ) dx = a tan ( ax + b ) + c , ( a  ) ▪  1  sin ( ax + b) dx = − a cot ( ax + b) + c , ( a  ) a x +  , (  a  1,  )  ln a ax + b ax + b  e dx = a e + c , ( a  ) a  x+  dx = +c 1 a http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word II Tích phân Khái niệm tích phân • Cho hàm số f ( x ) liên tục K a, b  K Nếu F ( x ) nguyên hàm f ( x ) K giá trị F(b) – F(a) gọi tích phân hàm f ( x ) từ a đến b, kí hiệu b  f ( x ) dx = F ( b ) − F ( a ) a • Đối với biến số, ta chọn chữ khác thay cho x , tức b  a b b a a f ( x ) dx =  f ( t ) dt =  f ( u ) du = Tính chất tích phân Cho hàm số f ( x ) liên tục a; b k  ¡ , c  ( a; b ) b  a b  a a f ( x ) dx = −  f ( x ) dx b c b f ( x ) dx =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx a c b b a a  k f ( x ) dx = k. f ( x ) dx b b b a a a   f ( x )  g ( x ) dx =  f ( x ) dx   g ( x ) dx III Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng Diện tích hình phẳng (H) giới hạn đường cong (C) trục hoành  y = f ( x) ( C )  ( H ) : y =  x = a , x = b ( a  b)  Diện tích tính theo cơng thức b S =  f ( x) dx a Diện tích hình phẳng (H) giới hạn đường cong  y = f ( x ) ( C1 )  y = g ( x ) (C2 ) ( H ) :  x = a x = b ( a  b )  Diện tích tính theo cơng thức b S =  f ( x) − g ( x ) dx a IV Ứng dụng tích phân tính thể tích khối tròn xoay http://dethithpt.com – Website chun đê thi, tài liệu file word Cho hàm y = f ( x ) liên tục đoạn a; b Gọi (H) hình thang cong giới hạn đường sau: ( C ) : y = f ( x )  y=0 ( H ) :  x = a  x = b ( a  b )  y (C):y=f(x) (H) x a O b Thể tích khối tròn xoay sinh hình (H) xoay quanh trục Ox b V =   f ( x ) dx a Cho hàm số y = f ( x ) y = g ( x ) liên tục đoạn a; b thỏa điều kiện f ( x )  g ( x )  0, x  a; b Gọi (H) hình phẳng giới hạn đường sau: y ( C ) : y = f ( x )  (C) : y = g ( x ) ( H ) :  x = a x = b ( a  b )  y=f(x) y=g(x) x O a b Thể tích khối tròn xoay sinh hình phẳng (H) quay quanh trục Ox: b V =    f ( x ) − g ( x )  dx a PHẦN B: CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TẾ Với đại lượng f ( x ) biến thiên theo biến số x tốc độ thay đổi (vận tốc) f ( x ) theo biến x đạo hàm f  ( x ) (với giả sử f  ( x ) tồn tại) Ngược lại, biết tốc độ thay đổi f  ( x ) đại lượng f ( x ) suy mơ hình hàm số biểu thị cho đường đại lượng cách lấy nguyên hàm f  ( x ) Nghĩa f ( x ) =  f  ( x ) dx Kết hợp thêm điều kiện ban đầu thích hợp để tìm f ( x ) cách xác Khi biết tốc độ thay đổi f  ( x ) đại lượng f ( x ) Sự chênh lệch giá trị đại lượng f ( x ) khoảng giá trị biến x từ a đến b xác định công thức: b f ( b ) − f ( a ) =  f  ( x )dx a http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word Đây mấu chốt quan trọng để giải toán thực tiễn biết tốc độ tăng trưởng đại lượng, ta tìm hàm số biểu thị số lượng đại lượng qua thời kì Trong thực tế, nhiều tốn liên quan tới nội dung kể đến như: chuyển động vật, gia tăng dân số, phát triển vi khuẩn, toán sản xuất kinh doanh… DẠNG 1: BÀI TỐN VỀ CHUYỂN ĐỘNG • Giả sử vật M chuyển động quãng đường có độ dài s khoảng thời gian t Khi đó, vật M chuyển động với vận tốc trung bình v= s t • Tuy nhiên, gặp nhiều trường hợp vật chuyển động không đều, vận tốc thay đổi liên tục tùy theo vị trí thời gian Ví dụ xe chạy đường gặp nhiều chướng ngại vật giảm tốc, chạy đường thơng thống tăng tốc Vì ta cần phương pháp tính vận tốc xe thời điểm • Giả sử v(t) vận tốc vật M thời điểm t, s(t) quãng đường vật sau khoảng thời gian t tính từ lúc bắt đầu chuyển động Ta có mối liên hệ s(t) v(t) o Đạo hàm quãng đường vận tốc s ( t ) = v ( t ) o Nguyên hàm vận tốc quãng đường s ( t ) =  v ( t ) dt • Từ ta có quãng đường vật khoảng thời gian t   a; b  là: b  v (t ) dt = s ( b ) − s ( a ) a • Nếu gọi a(t) gia tốc vật M ta có mối liên hệ v(t) a(t) o Đạo hàm vận tốc gia tốc v ( t ) = a ( t ) o Nguyên hàm gia tốc vận tốc v ( t ) =  a ( t ) dt Bài tốn 1: (Trích đề minh họa 2017 Bộ GD - ĐT) Một ô tô chạy với vận tốc 10m/s tài xế đạp phanh; từ thời điểm đó, tơ chuyển động chậm dần với vận tốc v ( t ) = −5t + 10 ( m/s ) , t khoảng thời gian tính giây, kể từ lúc đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn, tơ di chuyển mét ? A 0, 2m B 2m C 10m D 20m ◼ Phân tích tốn • Ta có nguyên hàm vận tốc v ( t ) = −5t + 10 quãng đường s ( t ) mà ô tô sau thời gian t giây kể từ lúc tài xế đạp phanh • Vào thời điểm tơ bắt đầu đạp phanh ứng với http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word t = • Vào thời điểm tơ dừng lại v ( t ) =  −5t + 10 =  t = • Từ ta tính quãng đường xe từ lúc t = đến t = theo công thức  v ( t ) dt Hướng dẫn giải • Lúc bắt đầu đạp phanh, tức thời điểm t , tơ có vận tốc v0 = 10 ( m / s ) Suy v ( t0 ) = −5t0 + 10 = 10  t0 = • Khi tơ dừng lại thời điểm t1 vận tốc v1 = ( m / s ) Suy v ( t1 ) = −5t1 + 10 =  t1 = • Ta có mối liên hệ đại lượng biến thiên quãng đường S ( t ) vận tốc v ( t ) là: Nguyên hàm vận tốc v ( t ) quãng đường S ( t ) Suy quãng đường từ lúc đạp phanh đến dừng lại tích phân hàm v ( t ) thời gian t từ 0s đến 2s  t2  v t dt = − t + 10 dt = ( ) ( )  −5 + 10t  = 10m 0 0  0 2 • Vậy chọn đáp án C ◼ Bình luận: Qua tốn ta cần lưu ý: Một là, nguyên hàm vận tốc quãng đường vật chuyển động Hai là, biết s(t) nguyên hàm v(t) quãng đường vật b khoảng thời gian t   a; b  tính theo công thức  v ( t ) dt = s ( b ) − s ( a ) a Ba là, tốn giải theo phong cách Vật lí Từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn, tơ di chuyển qng đường S = vo t + at a = −5  t =  S = 10.2 + ( −5 ) = 10m v = 10  o Bài toán 2: Một xe mô tô phân khối lớn sau chờ hết đèn đỏ bắt đầu phóng nhanh với vận tốc tăng liên tục biểu thị đồ thị đường cong Parabol có hình bên Biết sau 15s xe đạt đến vận tốc cao 60m/s bắt đầu giảm tốc Hỏi từ lúc bắt đầu đến lúc đạt vận tốc cao xe quãng đường mét ? v(m) 60 t(s) O http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word 15 ◼ Phân tích tốn • Lúc ban đầu mơ tơ phóng nhanh với vận tốc thay đổi liên tục biểu đồ thị (P) hình vẽ, đề chưa cho biểu thức vận tốc v ( t ) , ta cần tìm biểu thức vận tốc chuyển động • Vì đồ thị vận tốc có dạng đường Parabol hình vẽ nên biểu thức vận tốc có dạng v ( t ) = at + bt + c , đường cong Parabol có đỉnh I ( 15; 60 ) , đồng thời qua gốc tọa độ O(0;0) • Lúc bắt đầu tăng tốc xem t = , theo đồ thị xe đạt vận tốc cao vào thời điểm t = 15 • Nhắc lại nguyên hàm vận tốc v ( t ) quãng đường Vậy quãng đường xe kể từ lúc tăng tốc ( t = s) đến lúc đạt vận tốc cao ( t = 15 s) tính theo cơng thức 15  v ( t ) dt Hướng dẫn giải • Hàm vận tốc v ( t ) = at + bt + c có dạng đường Parabol có đỉnh I ( 15; 60 ) , đồng thời qua gốc tọa độ O(0;0), suy a.0 + b.0 + c = c = c =     b  = 15  30a + b =  a = − − 15  2a a.152 + b.15 + = 60   a.15 + b.15 + c = 60 b =  v ( t ) = − t + 8t 15 • Theo đồ thị xe bắt đầu tăng tốc lúc t = đạt vận tốc cao lúc t = 15 s nên quãng đường xe từ lúc bắt đầu tăng tốc đến lúc đạt vận tốc cao 15    2 0 v ( t ) dt = 0  − 15 t + 8t  dt =  − 45 t + 4t  = 600m 15 15 • Vậy từ lúc bắt đầu tăng tốc đến lúc đạt vận tốc cao xe quãng đường dài 600m ◼ Bình luận: Qua tốn ta cần lưu ý: http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word b Thơng thường để tính tích phân  f ( x ) dx đề ln cho sẵn biểu thức f ( x ) a Tuy nhiên, ví dụ này, đề cho đồ thị hàm f ( x ) học sinh phải thiết lập biểu thức f ( x ) Đây kĩ cần thiết q trình học phổ thơng, học sinh thường làm toán chiều Tức là, từ hàm số f ( x ) vẽ thành đồ thị, (thậm chí khơng có) học sinh gặp tốn từ đồ thị suy biểu thức hàm f ( x ) Bài toán 3: Một máy bay chuyển động thẳng mặt đất với vận tốc v = ( m/s ) bắt đầu tăng tốc với độ biến thiên vận tốc hàm số a ( t ) có đồ thị hàm số đường thẳng hình bên Sau 15s tăng tốc máy bay đạt đến vận tốc đủ lớn để phóng khỏi mặt đất Hãy tính vận tốc máy bay bắt đầu rời khỏi mặt đất a 90 t(s) O 15 ◼ Phân tích tốn • Máy bay bắt đầu tăng tốc với độ biến thiên vận tốc hàm số a ( t ) , đề chưa cho công thức a ( t ) , nên bước đầu ta cần tìm cơng thức a ( t ) • Vì đồ thị hàm số a ( t ) đường thẳng nên có dạng a ( t ) = mt + n , đường thẳng qua gốc tọa độ O(0;0) điểm A(16;90) từ suy phương trình a ( t ) • Nhớ rằng: Nguyên hàm gia tốc a ( t ) vận tốc v ( t ) vật chuyển động nên ta có • v ( t ) =  a ( t ) dt • Chú ý điều kiện vận tốc máy bay lúc bắt đầu tăng tốc v ( ) = ( m/s ) , từ ta suy hàm số v ( t ) http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word • Để tính vận tốc máy bay lúc rời khỏi mặt đất ta cần tính v ( 15 ) Hướng dẫn giải • Đường thẳng a ( t ) = mt + n qua gốc tọa độ O(0;0) điểm A(16;90) nên suy m.0 + n = n =   a ( t ) = 6t  m.15 + n = 90 m = • Ta hiểu rằng: Nguyên hàm gia tốc a ( t ) vận tốc vật chuyển động Do ta có cơng thức vận tốc v(t) tính theo cơng thức v ( t ) =  a ( t ) dt =  6tdt = 3t + C • Tại thời điểm bắt đầu tăng tốc xem t = vận tốc lúc v = ( m/s ) Suy v ( ) =  3.0 + C =  C =  v ( t ) = 3t + • Vậy vận tốc máy bay đạt bắt đầu phóng khỏi mặt đất v ( 15 ) = 3.152 + = 678 (m/s) ◼ Bình luận: Qua tốn ta cần lưu ý: Một là, cho đồ thị hàm số, từ suy phương trình hàm số Hai là, nguyên hàm gia tốc vận tốc vật chuyển động Bài tốn 4: Một viên đạn bắn lên trời với vận tốc 72 m/s độ cao 2m Hãy xác định chiều cao viên đạn sau thời gian 5s kể từ lúc bắn ◼ Phân tích tốn • Để xác định chiều cao viên đạn thời điểm bất kì, ta cần tìm cơng thức quãng đường s(t) mà viên đạn • Xem thời điểm t0 = viên đạn bắn lên Theo giả thiết ta có s ( ) = v ( ) = 72 • Ta biết chuyển động ném đứng từ lên gia tốc trọng trường có giá trị âm thời điểm t, nghĩa a ( t ) = −9,8 m / s2 • Vận tốc v(t) nguyên hàm a(t) nên ta có v ( t ) =  −9,8dt , kết hợp điều kiện vận tốc ban đầu v ( ) = 72 ta suy dạng v ( t ) • Tiếp tục có s(t) nguyên hàm v(t), kết hợp điều kiện vị trí ban đầu s ( ) = ta tìm phương trình s(t) Từ ta tính s(5) Hướng dẫn giải • Ta có vận tốc viên đạn thời điểm t v ( t ) =  −9,8dt = −9,8t + C1 Do v ( ) = 72 nên v ( ) = −9,8.0 + C1 = 72  C1 = 72  v ( t ) = −9,8t + 72 • Độ cao viên đạn thời điểm t s ( t ) =  v ( t ) dt =  ( −9,8t + 72 ) dt = −4,9t + 72t + C http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word v ( ) = ln + + C =  C =  v ( t ) = ln t + + • Vận tốc vật chuyển động giây thứ 10 v ( 10 ) = ln 10 + +  13, m / s • Chọn đáp án C Bình luận : Trong câu em cần nhớ: Đạo hàm vận tốc v(t) thời điểm t gia tốc vật chuyển động thời điểm Câu 3: Đáp án A Phân tích hướng dẫn giải: • Xe mơ tơ tăng tốc với gia tốc a(t ) = t + 3t( m / s2 ) Vận tốc v ( t ) nguyên hàm hàm số a(t ) ( ) v ( t ) =  a(t )dt =  t + 3t dt = t3 t2 + +C • Vận tốc ban đầu (tại thời điểm t0 = ) xe v0 = 10m / s nên 03 02 t3 t2 + + C = 10  C = 10  v ( t ) = + + 10 3 v ( ) = 10  • Mặt khác, đạo hàm quãng đường s(t) vận tốc v(t) xe chuyển động thời điểm t Suy ra, quãng đường xe sau 10s tích phân hàm v ( t ) biến t từ 0s đến 10s  t3  t2 4300 (m) S =  v ( t ) dt =   + + 10  dt = 3  0  10 10 • Chọn đáp án D Bình luận (nếu có): v ( t ) =  a(t )dt =  dt = 3ln t + + C t +1 Câu 4: Đáp án B Hướng dẫn giải: • Nguyên hàm vận tốc v ( t ) quãng đường s ( t ) Suy quãng đường khoảng thời gian từ t = 0s đến t = 5s là: 5 0 ( ) ( S =  v ( t ) dt =  4t + 2t + dt = t + t + 3t ) = 665 m Câu 5: Đáp án D Hướng dẫn giải: • Quãng đường máy bay từ giây thứ đến giây thứ 10 tích phân hàm vận tốc v ( t ) t = 4s đến t = 10s 10 S =  v ( t ) dt = 10  ( 3t ) ( + dt = t + 5t ) 10 = 966m Câu 6: Đáp án B Hướng dẫn giải: • Quãng đường vật giây http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word 4  t2 +  S =  v ( t ) dt =   1, +  dt =  11,81m t+3  0 Câu 7: Đáp án B Phân tích hướng dẫn giải • Vận tốc v ( t ) nguyên hàm gia tốc a ( t ) nên ta có:   v ( t ) =  a ( t ) dt =   − t + t  dt = − t + t + C 16  96 48  24 • Tại thời điểm ban đầu ( t = 0s ) vận động viên vị trí xuất phát nên vận tốc lúc v0 =  v ( ) =  − + +C =  C = 96 48 • Vậy công thức vận tốc v ( t ) = − t + t 96 48 • Vận tốc vận động viên giây thứ v ( ) = 6, 51m / s Câu 8: Đáp án B Phân tích hướng dẫn giải: • Xem thời điểm t0 = học sinh phóng tên lửa với vận tốc ban đầu 20m/s Ta có s ( ) = v ( ) = 20 • Vì tên lửa chuyển động thẳng đứng nên gia tốc trọng trường thời điểm t s ( t ) = −9,8 m / s2 • Nguyên hàm gia tốc vận tốc nên ta có vận tốc tên lửa thời điểm t v ( t ) =  −9,8dt = −9,8t + C1 Do v ( ) = 20 nên v ( ) = 20  −9,8.0 + C1 = 20  C1 = 20  v ( t ) = −9,8t + 20 • Vậy vận tốc tên lửa sau 2s v ( ) = −9,8.2 + 20 = 0, (m/s) Câu 9: Đáp án C Phân tích hướng dẫn giải • Độ cao tên lửa nguyên hàm vận tốc, suy s ( t ) =  v ( t ) dt =  ( −9,8t + 20 ) dt = −4,9t + 20t + C Vì s ( ) = nên s ( ) = −4,9.0 + 20.0 + C2 =  C2 =  s ( t ) = −4,9t + 20t • Đồ thị hàm số s ( t ) = −4,9t + 20t đường cong Parabol có đỉnh  100 1000  1000 I ; nên tên lửa đạt độ cao lớn (m) thời điểm  49  49 49  100 t= ( s) 49 Câu 10: Đáp án C Phân tích hướng dẫn giải • Kể từ lúc đạp phanh (t = 0) đến lúc xe dừng lại xe quãng đường s Vì khoảng cách an tồn xe dừng lại tối thiểu 1m nên người điều khiển xe máy phải bắt đầu đạp phanh cách xe dừng phía trước tối thiểu khoảng s + (m) http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word • Tại thời điểm t = xe bắt đầu phanh, xe dừng lại vận tốc 0, v(t ) =  10 − 5t =  t = • Trong khoảng thời gian từ t = s đến t = s xe chạy thêm quãng đường s =  (10 − 5t ) dt = 10 (m) • Vậy xe nên bắt đầu đạp phanh cách xe dừng phía trước tối thiểu khoảng 11m để giữ khoảng cách an toàn Câu 11: Chọn đáp án D Phân tích hướng dẫn giải • Tốc độ phát triển vi khuẩn ngày thứ t F ( t ) = 1000 Suy số lượng vi 2t + khuẩn vào ngày thứ t tính theo cơng thức F ( t ) =  F ( t ) dt =  1000 1000 dt = ln 2t + + C = 500 ln 2t + + C 2t + • Lúc ban đầu bệnh nhân có 2000 vi khuẩn nên F ( ) = 2000  500 ln 2.0 + + C = 2000  C = 2000 F ( t ) = 500 ln 2t + + 2000 • Số vi khuẩn sau 15 ngày F ( 15 ) = 500 ln 2.15 + + 2000 = 3716,99 bệnh nhân cứu Câu 12: Chọn đáp án D Phân tích hướng dẫn giải • Ta có h ( t ) nguyên hàm h ( t ) = 13 t + , nên ta có 1 (t + ) h ( t ) =  h ( t ) dt =  t + 8dt = 5 • Lúc đầu bồn không chứa nước nên h ( ) =  h (t ) = +C = t + 8)3 + C ( 20 12 + 8)3 + C =  C = − ( 20 12 t + 8)3 − ( 20 • Vậy lượng nước bơm sau thời gian giây h (6) = 12 − + = 2,66 cm ( ) 20 Câu 13: Chọn đáp án B ◼ Phân tích tốn: ▪ Để tính diện tích phần gỗ ta cần dùng ý nghĩa hình học phân M ▪ Đầu tiên ta cần lập phương trình đường Elip biểu A thị bảng gỗ Chọn hệ trục tọa độ Oxy cho bảng gỗ đối xứng qua trục Ox Oy Q y tích C N x O B P D http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word ▪ Theo số liệu đề cho ta có độ dài CD = 1m, MN = 1,5m, NP = 0,75m ▪ x2 y 3 3 Đường Elip + = có trục nhỏ CD = 1m qua điểm N  ;  , ta có a b 4 8  2b =   b= 2        x2 + y =  y =  1 − x2      9     a = + =   a2 b2 ▪ Diện tích gỗ cần có tính theo cơng thức ,75 ,75 7  − x dx =  − x dx  1, m2 9 −0 ,75 −0 ,75 Câu 14: Chọn đáp án A y Phân tích hướng dẫn giải I(0;0,5) • Ta mơ hình hóa cánh cửa rào hình thang A(-2,5;0) B(2,5;0) x O cong ADCB vng C D, cung AB hình vẽ D C -1,5 • Chọn hệ trục tọa độ Oxy cho điểm A, B nằm trục Ox hình vẽ • Vậy diện tích cánh cửa diện tích hình chữ nhật ABCD cộng thêm diện tích miền cong AIB Để tính diện tích miền cong AIB ta cần dùng tích phân • Đầu tiên ta tìm cách viết phương trình Parabol y = ax2 + bx + c biểu thị cho đường  1   cong AIB Parabol có đỉnh I  0;  , cắt trục hoành điểm   5  A − ;  , B ;    2   a.0 + b.0 + c =   c =  b  =0  b =  y = − x2 + − 25  2a  2  5 a = − 5 25  a   + b   + c = 2    • Diện tích miền cong AIB tính công thức  2 1  − 25 x +  dx =  −2,5  2,5  • Suy diện tích cánh cửa ( ) 55 + 1, 5.5 = m • Giá 1m2 cửa rào sắt giá 700.000 Vậy giá tiền cửa rào sắt 6416666 Câu 15: Chọn đáp án A http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word • Phân tích hướng dẫn giải • Gọi S(t) số lượng vi khuẩn buồng cấy sau t Ta có S(t) nguyên hàm hàm vận tốc v (t ) S ( t ) =  v(t )dt =  450e1,1257t dt = 450 e1,1257t + C 1,1257 • Số lượng vi khuẩn lúc ban đầu 500 nên e1,1257.0 + C = 500  C = 100, 25 1,1257 S ( t ) = 450 .e1,1257t + 100, 25 1,1257 S ( ) = 500  450 • Số vi khuẩn buồng cấy sau S ( 3) = 450 e1,1257.3 + 100, 25 = 11807 1,1257 Câu 16: Chọn đáp án B Phân tích hướng dẫn giải • Gọi S(t) quãng đường chất điểm sau t giây Ta có S(t) nguyên hàm vận tốc v ( t ) = t e−t ( m / s ) S ( t ) =  v ( t ) dt =  ( t e − t ) dt • Dùng phương pháp nguyên hàm phần ta tính S ( t ) =  v ( t ) dt =  ( t e −t ) dt = − e −t (t + 2t + 2) Câu 17: Chọn đáp án C Phân tích hướng dẫn giải • Số lượng máy tính từ đầu tuần thứ đến hết tuần thứ là:  10  40000 dt = 4000t 42 +  t − 10   4000 1 − 10 − t  6333 Câu 18: Chọn đáp án D Phân tích hướng dẫn giải • Gọi P ( t ) dân số giới sau t năm tính từ 2003 • Khi theo đề ta có P ( t ) = e 0.001t Suy P ( t ) =  P ' ( t ) dt =  P ' ( t ) =  e 0.001t dt = 0.001t e +C 0,001 • Dân số năm 2009 (ứng với t = ) 4,5 tỷ người nên P ( ) = 4,  P ( ) = 4,  4, = 1000 e 0.001.6 + C  C = 4, − 1000 e 0.001.6 • Do P ( t ) = e 0.001.t + 4, − 1000e 0.001.6 0,001 http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word • Suy P ( 11) = e 0.001.11 + 4, − 1000 e 0.001.6 = 9, 54 0,001 • Vậy dân số giới năm 2013 9,54 (tỷ người) Câu 19: Chọn đáp án B Phân tích hướng dẫn giải • Tốc độ thay đổi số dân thị trấn vào năm thứ t f  ( t ) = 120 ( t + 5) Suy nguyên hàm f  ( t ) hàm số f ( t ) mô tả số dân thị trấn vào năm thứ t Ta có f ( t ) =  f  ( t ) dt =  120 ( t + 5) dt = −120 +C t +5 • Số dân thị trấn vào năm 1970 (ứng với t = 0) −120 + C =  C = 26 0+5 −120  f (t ) = + 26 t +5 f ( 0) =  • Vậy số dân thị trấn vào năm 2008 (ứng với t = 38) f ( 28 ) = −120 + 26 = 23, 21 ngàn người 38 + Câu 20: Chọn đáp án C Phân tích hướng dẫn giải • Gọi M(t) số tiền có sau t (giờ) thực việc quyên góp • Khi theo đề ta có M ( t ) = 300t.e −0.1t Suy M ( t ) =  M  ( t ) dt =  300t.e −0.1t dt du = 300dt u = 300t   • Đặt  −0,1t −0,1t e dv = e dt v = − 0,1  • Suy M ( t ) = −3000t.e −0,1t +  3000.e −0.1t dt = −3000t.e −0,1t − 3000 −0,1t e +C 0.1 • Lúc ban đầu (t = 0) số tiền qun góp M (0) =  −3000 + C =  C = 30000 0,1 • Do M ( t ) = −3000t.e −0,1t − 30000.e −0,1t + 30000 • Sau số tiền qun góp M ( ) = −30005.e −0,1.5 − 30000.e −0,1.5 + 30000 = 2706,12 triệu đồng Câu 21: Chọn đáp án B Phân tích hướng dẫn giải • Vận tốc khí hít vào mơ hình công thức v(t ) = V sin 2 t Suy lượng khí hít vào sau giây : http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word 2 0 N ( ) =  v( x)dx =  V sin 2 t 5V  2  dt = 1 − cos  = 1, 44V lít khí 2   Câu 22: Chọn đáp án A Phân tích hướng dẫn giải • Gọi P ( t ) lợi nhuận phát sinh vốn sau t năm đầu tư Ta có P ( t ) nguyên hàm hàm tốc độ P  ( t ) • Lợi nhuận phát sinh sau 10 năm 10 10 0 ( )  P (t ) dt =  126 + t dt = 4780 (triệu đồng) Câu 23: Chọn đáp án C Phân tích: • Vật chuyển động chậm dần với vận tốc giây thứ t v ( t ) = 150 − 10t ( m / s ) Ta biết quãng đường vật s ( t ) nguyên hàm vận tốc v (t ) • Khi vật dừng thời điểm t cho v ( t ) =  150 − 10t =  t = 15 ( s ) Suy sau bắt đầu chuyển động chậm dần vật thêm thời gian 16s dừng lại • Vậy quãng đường vật khoảng thời gian 4s trước dừng tích phân hàm v ( t ) = 150 − 10t ( m / s ) từ t = 11s đến t = 15s Hướng dẫn giải: • Vật chuyển động chậm dần dừng hẳn v ( t ) =  150 − 10t =  t = 15 ( s ) • Quãng đường vật từ giây thứ 13 đến giây thứ 16 15 15 11 11 S =  v ( t ) dt =  (150 − 10t ) dt = 80 ( m ) Câu 24: Chọn đáp án B Phân tích: • Đề cho biểu thức gia tốc vật chuyển động a(t ) = ( m / s2 ) t+2 • Ta biết vận tốc chuyển động v(t) vật nguyên hàm gia tốc a(t ) • Từ ta lập cơng thức tính v ( t ) =  a(t )dt , kết hợp với điều kiện vận tốc ban đầu v0 = m / s • Suy cơng thức tính vận tốc v ( t ) vật thời điểm t tính v(5) Hướng dẫn giải: • Vận tốc vật thời điểm t tính theo công thức http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word v ( t ) =  a(t )dt =  dt = ln t + + C t+2 • Vì vận tốc ban đầu (lúc t = ) vật v0 = 6m / s nên v ( ) = ln + + C =  C = − ln  v ( t ) = ln t + + − ln • Vận tốc vật chuyển động giây thứ v ( ) = ln + + − ln  9, 51 m / s Câu 25: Chọn đáp án C Phân tích hướng dẫn giải • Độ cao tên lửa nguyên hàm vận tốc, suy s ( t ) =  v ( t ) dt =  ( −9,8t + 30 ) dt = −4,9t + 30t + C Vì s ( ) = nên s ( ) = −4,9.0 + 30.0 + C2 =  C2 =  s ( t ) = −4,9t + 30t • Đồ thị hàm số s ( t ) = −4,9t + 30t đường cong Parabol có đỉnh  150 2250  2250 I ; nên tên lửa đạt độ cao lớn (m) thời điểm  49  49 49  150 t= ( s) 49 Câu 26: Chọn đáp án B Phân tích hướng dẫn giải • Tốc độ phát triển vi khuẩn ngày thứ t F  ( t ) = 1000 Suy số lượng vi t +1 khuẩn vào ngày thứ t tính theo cơng thức F ( t ) =  F  ( t ) dt =  1000 dt = 1000 ln t + + C = 1000 ln t + + C t +1 • Lúc ban đầu bệnh nhân có 2000 vi khuẩn nên F ( ) = 2000  1000 ln 2.0 + + C = 2000  C = 2000  F ( t ) = 1000 ln t + + 2000 • Số vi khuẩn sau 10 ngày F ( 10 ) = 1000 ln 2.10 + + 2000 = 5044, 52 bệnh nhân không cứu Câu 27: Chọn đáp án B • Phân tích hướng dẫn giải Ta có sau 15s xe đạt vận tốc 15m / s ( áp dụng v = v0 + at ) Þ 15 = 12 + a.15 Þ a = = 0.2 m / s2 ( ) • Vận tốc mà xe đạt sau 30s v = 12 + 0, 2t • Vậy quãng đường xe sau tăng tốc 30s S = 30 ò0 (12 + 0.2t)dt = 450m http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word Câu 28: Chọn đáp án A Hướng dẫn giải • Khi kéo lò xo từ 10 cm đến 15 cm bị kéo căng thêm cm = 0,05 m  f ( , 05) = 40  , 05k = 40  k = 800 Do f ( x ) = 800x • Cơng sinh kéo căng lò xo từ 15 cm đến 20 cm W = ,1  f ( x ) dx ,05 ,1 W =  f ( x ) dx = ,05  ,1  x  ( 800x ) dx = 800   ,05 ,1 = (J) ,05 Câu 29: Chọn đáp án B Hướng dẫn giải • Số lượng máy tính từ đầu tuần thứ đến hết tuần thứ 4  10   (10 − t ) là:  2000 1 −   dt = 1523   Câu 30: Chọn đáp án B Hướng dẫn giải • Vận tốc khí hít vào mơ hình cơng thức v(t ) = V sin 3 t Suy lượng khí hít vào sau giây : 2 0 N ( ) =  v( x)dx =  V sin 3 t 5V  3  dt = 1 − cos  = 1, 06V lít khí 3   Câu 31: Chọn đáp án B Hướng dẫn giải • Ta có: 100 km / h = 250 250 m / s , vận tốc nhanh dần là: v = 20t + 9 • Gọi t o thời gian xe hồn thành 4000 − 260 = 3740m lại to  • Ta có S =   20t + 0  10to2 +  250  to 250  250 t  = 10to2 + t  dt =  10t +  0 o  to = 18 250 to = 3740    to = 18s t = − 187 (l) o  • Thời gian xe hồn thành 4km đường đua + 18 = 21s Câu 32: Chọn đáp án C Hướng dẫn giải • Ta có 18km / h = 18 = 5m / s Quãng đường vật khoảng thời gian 3,6 t : S = v0 t + at giây thứ quãng đường D S = 5.5 + a.52 a.4 - 5.4 = 5,9 Þ a = 0,2 m / s2 2 http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word • Vậy quãng đường mà vật sau 10s kể từ lúc bắt đầu chuyển động S= 10 ò (5 + 0,2t)dt = 60m Câu 33: Chọn đáp án C Hướng dẫn giải Từ hình vẽ ta chia cửa rào sắt thành phần sau: Khi S = S1 + S2 = S1 + 5.1, = S1 + , Để tính S1 ta vận dụng kiến thức diện tích hình phẳng tích phân Gắn hệ trục Oxy O trùng với trung điểm AB , OB  Ox,OC  Oy , Theo đề ta có đường cong có dạng hình Parabol Giả sử ( P ) : y = ax2 + bx + c     A  − ;   ( P )  25 a −    4    25 Khi đó:  B  ;   ( P )   a +    4   1  C  ,   ( P ) c =     ,5  b+c=0 a = − 25  b + c =  b =  ( P ) : y = − x2 + 25  c =   2 1 10 55 55 x +  dx = m S = m  600.000 = 5.500.000 đồng 2 6  25 ( ) Diện tích S2 =   − ( ) Câu 34: Chọn đáp án A Hướng dẫn giải • Ta có i = u = 0,02 cos (100 t ) (A) Ta có i ( t ) = q ' ( t ) R t2 • Do q =  i ( t )dt Xét điện lượng từ t = đến t = t1 s 600 600 • Ta có: q = 0,02  cos (100 t )dt = 3,18.10 −5 C Câu 35: Chọn đáp án B Hướng dẫn giải • Ta có v =  a ( t ) dt =  −20 ( 2t + 1) • Khi t =  v ( ) = 30  dt = 10 +C 2t + 10 + C = 40  C = 30 + 2.0 • Do biểu thức vận tốc theo thời gian v ( t ) = 20 + 10 ( m / s) 2t + Câu 36: Chọn đáp án A Hướng dẫn giải http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word • Ta biết cường độ dòng diện lượng điện tích qua tiết diện vật dẫn đơn vị thời gian Nếu gọi hàm i ( t ) biểu thị cho cường độ dòng điện lượng điện tích q ( t ) nguyên hàm i ( t ) • Ta có biểu thức điện tích q ( t ) =  i ( t ) dt =  ( 0, − 0, 2t ) dt = 0, 3t − 0,1t + C • Ta có q ( ) =  C = Do tổng điện tích qua điểm 0,05 s là: q ( 0,05 ) = 0, ( 0,05 ) − 0,1 ( 0,05 ) = 0,015 mC Câu 37: Chọn đáp án D Hướng dẫn giải • Lưu ý 1nF = 10−9 F , 1 s = 10−6 s • Ta biết điện tích q ( t ) nguyên hàm cường độ dòng điện i ( t ) • Ta có UC =  4,94.10  0,042.10 −3 i t dt = tdt = ( )  t + K C 8, 5.10−9    • Theo giả thiết ta có U ( ) =  K = • Do UC ( t ) = 2, 47.10 t • Khi UC (  s ) = 2, 47.103 ( 2.10−6 ) = 9,882.10 −9 = 9,882 nV Câu 38: Chọn đáp án A Phân tích hướng dẫn giải • Đầu tiên ta xác định số lò xo (theo đơn vị m) Ta có F = kx  12 = k ( 18 − 16 ) 10 −2  k = 600 N / m • Do ta có F = 600x Nên công sinh xác định A = 0,04  f ( x ) dx = 0,02 ( )  A = 300 x 0,04 0,02 0,04  600 xdx 0,02 = 3,6 N Câu 39: Chọn đáp án A Phân tích hướng dẫn giải • Gọi x thời gian cần thiết để người đạt đến tốc độ 120km/h • Ta nhận xét độ tăng vận tốc thời gian tích phân hàm f(t) với t = đến t = x Như ta xét phương trình sau : x x  120 2 1 1     300 t + 1350 t  dt = 3600   900 t + 2700 t  = 30  900 x + 2700 x = 30  x = (s ) 0 Câu 40: Chọn đáp án A Phân tích hướng dẫn giải • Ta nhận xét nguyên hàm f(t) g(t) hàm vận tốc hai người http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word 1  t +  dt = t + t + C1 (m/s) 200 10  100 10  • Hàm vận tốc người thứ nhất:  f ( t ) dt =   • Do vận tốc đầu hai người 0m/s nên C1 = , hàm vận tốc người thứ là: f1 ( t ) = t + t (m / s) 200 10 • Tương tự, hàm vận tốc người thứ hai : g1 ( t ) =  8 dt = t ( m / s ) 25 25 • Nguyên hàm f1 ( t ) , g1 ( t ) hàm quãng đường người • Hàm quãng đường người thứ nhất:   f ( t ) =  f1 ( t ) dt =   t + t  dt = t + t (m) 10  200 20  200 • Từ ta suy thời gian để người thứ hoàn tất 400m 40s   t  dt = t ( m ) 25  25  • Hàm quãng đường người thứ hai: g ( t ) =  g ( t ) dt =   • Thời gian để người thứ hai hoàn tất 400m 50s • Như thời gian chênh lệch người 10s => đáp án B Câu 41: Chọn đáp án A Phân tích hướng dẫn giải • Lúc bắt đầu đạp phanh, tức thời điểm t , xe máy có vận tốc v0 = ( m / s ) Suy v ( t0 ) = −4t0 + =  t0 = • Khi xe máy dừng lại thời điểm t1 vận tốc v1 = ( m / s ) Suy v ( t1 ) = −4t1 + =  t1 = • Ta có mối liên hệ đại lượng biến thiên quãng đường S ( t ) vận tốc v ( t ) là: Nguyên hàm vận tốc v ( t ) quãng đường S ( t ) Suy quãng đường từ lúc đạp phanh đến dừng lại tích phân hàm v ( t ) thời gian t từ 0s đến 2s  t2  v t dt = − t + dt = ( ) ( )  −4 + 8t  = 8m 0 0  0 2 Câu 42: Chọn đáp án A Phân tích hướng dẫn giải • Hàm vận tốc v ( t ) = at + bt + c có dạng đường Parabol có đỉnh I (10; 50 ) , đồng thời qua gốc tọa độ O(0;0), suy http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word  a.02 + b.0 + c = c = c =    b   − = 10  20a + b =    a = −  2a2  a.102 + b.10 + = 50   b = 10  a.10 + b.10 + c = 50   v (t ) = − t + 10t • Theo đồ thị xe bắt đầu tăng tốc lúc t = đạt vận tốc cao lúc t = 10 s nên quãng đường xe từ lúc bắt đầu tăng tốc đến lúc đạt vận tốc cao 10 1000    2 0 v (t ) dt = 0  − t + 10t  dt =  − t + 5t  = m 10 10 Câu 43: Chọn đáp án A Hướng dẫn giải • Số lượng vi khuẩn ngày thứ t mơ hình hàm số B(t) nguyên hàm B’(t) B (t ) =  1000 (1 + 0, 25t ) dt = 1000  ( + 0, 25t ) dt = − −2 1000 +C 0, 25 (1 + 0, 25t ) • Số lượng vi khuẩn lúc ban đầu 600 ml nước nên B ( ) = 600  − 1000 + C = 600  C = 4600 0, 25 (1 + 0, 25.0 ) • Suy hàm số biểu thị cho số lượng vi khuẩn ngày thứ t B (t ) = − 1000 + 4600 0, 25 (1 + 0, 25t ) • Số lượng vi khuẩn 4000 ml nước người bơi an tồn; người bơi khơng an toàn B (t )  4000  − − 1000 + 4600  4000 0, 25 (1 + 0, 25t ) 1000 20 68  −600  + 0, 25t  t  22, 67 3 0, 25 (1 + 0, 25t ) • Vậy sau ngày thứ 23 số lượng vi khuẩn 4000 hồ bơi bắt đầu cần thay nước Câu 44: Chọn đáp án A Hướng dẫn giải • Ta biết chiều cao h(t) mực nước bơm nguyên hàm tốc độ tăng h’(t) chiều cao mực nước h ( t ) =  h ( t ) dt =  3 t + 3dt = t + 3) + C ( 500 2000 • Lúc ban đầu (tại t = ) hồ bơi không chứa nước, nghĩa 33 +C =  C = − h (t ) =  + ( ) 2000 2000 • Suy mực nước bơm thời điểm t giây http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word h (t ) = 3 t + 3) − ( 2000 2000 • Theo giả thiết, lượng nước bơm độ sâu hồ bơi nên ta có 3 33 h ( t ) = h1  t + 3) − = 300  t  7619s ( 2000 2000 • Vậy sau khoảng thời gian phút bơm độ sâu hồ bơi Câu 45: Chọn đáp án A Hướng dẫn giải • Lượng nước lũ xả khoảng thời gian 30 phút (1800 giây) L= 1800  v (t ) dt = 1800  (10t + 500) dt = ( 5t + 500t ) 1800 ( ) = 17,1.106 m3 • Vậy khoảng thời gian 30 phút, nhà máy xả lượng nước 17,1 triệu khối, tức hồ chứa nước thoát 17,1 triệu khối nước Câu 46: Chọn đáp án A Hướng dẫn giải • Gọi S ( t ) số đơn vị sản phẩm mà công nhân sản xuất sau t tính từ lúc sáng Ta có S ( t ) = q ( t ) = 100 + e −0 ,5t • Số đơn vị sản phẩm người sản xuất từ sáng ( t = 1) đến 11 trưa ( t = ) 5 1 ( ) −0,5t  q (t ) dt =  100 + e dt  401 đơn vị sản phẩm Câu 47: Chọn đáp án A Hướng dẫn giải Xét đường cong cạnh bên lu đường AC chọn hệ trục tọa độ Oxy hình vẽ Khi ta có BC : y = 25 − x  Khi thể tích lu Vlu = 2  ( 25 − x2 ) dx = 132 (dm ) Câu 48: Chọn đáp án C Hướng dẫn giải Gắn mặt phẳng tọa độ Oxy trùng với mặt cắt vng góc với hình trụ Ta có OB = , AOB = 300 Nếu gọi S ( x ) diện tích thiết diện nêm cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word Cụ thể S ( x ) diện tích tam giác vuông đỉnh thuộc cung Bx Do S ( x ) = 16 − x 16 − x 16 − x tan 300 = 2 4 128 16 − x ) dx = ( ( cm )  Khi thể tích nêm V = 2 S ( x ) dx = Câu 49: Chọn đáp án B Hướng dẫn giải Gắn mặt phẳng tọa độ Oxy trùng với mặt cắt vng góc với hình trụ Ta có OB = 1, AOB = 450 Nếu gọi S ( x ) diện tích thiết diện nêm cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x Cụ thể S ( x ) diện tích tam giác vng đỉnh thuộc cung Bx Do S ( x ) = 1 − x2 − x − x tan 450 = 2 1 0 Khi thể tích nêm V = 2 S ( x ) dx =  (1 − x2 ) dx = ( ) m3 Câu 50: Chọn đáp án A Hướng dẫn giải Gắn mặt phẳng tọa độ Oxy trùng với mặt cắt vng góc với hình trụ Ta có OB = 15 , AOB = 450 Nếu gọi S ( x ) diện tích thiết diện nêm cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x Cụ thể S ( x ) diện tích tam giác vuông đỉnh thuộc cung Bx Do S ( x ) = 152 − x 152 − x 152 − x tan 450 = 2 15 15 0 Khi thể tích nêm V =  S ( x ) dx =  (152 − x2 ) dx = 2250 ( cm3 ) http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word ... biên tăng thêm 10 3,3 5, 64 2, 34 11 3,8 5,51 1,71 12 4, 5 5 ,41 0,91 13 5 ,4 5,33 -0 ,07 14 6,5 5,26 -1 , 24 15 7,8 5,21 -2 ,59 16 9,3 5,17 -4 ,13 17 11 5,13 -5 ,87 18 12,9 5,11 -7 ,79 • Quan sát bảng số... THUYẾT I Nguyên hàm Khái niệm nguyên hàm • Cho hàm số f ( x ) xác định K Hàm số F ( x ) gọi nguyên hàm f ( x ) K F ( x ) = f ( x ) , x  K • Nếu F ( x ) nguyên hàm f ( x ) K họ tất nguyên hàm f... hàm số y = 7569 − 40 0 x2 , 4, 35  x  4, 35 trục Ox 30 • Thể tích trứng thể tích khối tròn xoay sinh hình phẳng (H) xoay quanh trục Ox:   V =   7569 − 40 0 x2  dx 30  4, 35  4, 35 =  4, 35