BÀI TỐN ỨNG DỤNG THỰC TẾ CỦA TÍCH PHẦN Câu 1: (CHUYÊN KHTN L4) Gọi ( H ) phần giao hai khối hình trụ có bán kính a , hai trục hình trụ vng góc với Xem hình vẽ bên Tính thể tích ( H ) A V( H ) = 2a B V( H ) = C V( H ) = a3 D V( H ) = 3a3  a3 Hướng dẫn giải Chọn đáp án A Ta gọi trục tọa độ Oxyz hình vẽ Khi phần giao ( H ) vật thể có đáy phần tư hình tròn tâm O bán kính a , thiết diện mặt phẳng vng góc với trục Ox hình vng có diện tích S ( x ) = a − x Thể tích khối ( H ) Câu 2: a a 2a 0 S ( x ) dx = 0 ( a − x )dx = 2 (CHUYÊN VINH – L2)Trong Cơng viên Tốn học có mảnh đất mang hình dáng khác Mỗi mảnh trồng loài hoa tạo thành đường cong đẹp tốn học Ở có mảnh đất mang tên Bernoulli, tạo thành từ đường Lemmiscate có phương trình hệ tọa độ Oxy 16 y = x ( 25 − x ) hình vẽ bên Tính diện tích S mảnh đất Bernoulli biết đơn vị y x hệ tọa độ Oxy tương ứng với chiều dài mét 125 125 A S = B S = m2 ) m2 ) ( ( 125 250 C S = D S = ( m2 ) ( m2 ) 3 Hướng dẫn giải Cho ̣n D Vì tính đối xứng trụ nên diện tích mảnh đất tương ứng với lần diện tích mảnh đất thuộc góc phần tư thứ hệ trục tọa độ Oxy Từ giả thuyết tốn, ta có y =  x − x Góc phần tư thứ y = x 25 − x ; x   0;5 Nên S( I ) = Câu 3: 125 125 x 25 − x dx = S= (m )  40 12 (CHUYÊN VINH – L2)Gọi V thể tích khối tròn xoay y tạo thành quay hình phẳng giới hạn đường y = x , y = x = quanh trục Ox Đường thẳng x = a (  a  4) cắt đồ thị hàm y = x M (hình vẽ bên) Gọi V1 thể tích khối tròn xoay tạo thành quay tam O giác OMH quanh trục Ox Biết V = 2V1 Khi A a = B a = 2 C a = M a K D a = Hướng dẫn giải Chọn D Ta có x =  x = Khi V =   xdx = 8 ( Ta có M a; a ) Khi quay tam giác OMH quanh trục Ox tạo thành hai hình nón có chung đáy: • Hình nón ( N1 ) có đỉnh O , chiều cao h1 = OK = a , bán kính đáy R = MK = a ; • Hình nón ( N2 ) R = MK = a thứ có đỉnh H , chiều cao h2 = HK = − a , bán kính đáy H x 1 Khi V1 =  R h +  R h =  a 3 Theo đề V = 2V1  8 =  a  a = Câu 4: (CHU VĂN AN – HN) Cho hai mặt cầu ( S1 ) , ( S2 ) có bán kính R thỏa mãn tính chất: tâm ( S1 ) thuộc ( S2 ) ngược lại Tính thể tích phần chung V hai khối cầu tạo ( S1 ) ( S ) A V =  R3 B V =  R3 C V = 5 R3 12 D V = 2 R3 Hướng dẫn giải y Chọn C (C ) : x + y = R Gắn hệ trục Oxy hình vẽ Khối cầu S ( O, R ) chứa đường tròn lớn O R R (C ) : x2 + y = R2 Dựa vào hình vẽ, thể tích cần tính R V = 2  R Câu 5: ( R  x3  5 R R − x dx = 2  R x −  = R 12  2 ) Một thùng rượu có bán kính đáy 30cm, thiết diện vng góc với trục cách hai đáy có bán kính 40cm, chiều cao thùng rượu 1m (hình vẽ) Biết mặt phẳng chứa trục cắt mặt xung quanh thùng rượu đường parabol, hỏi thể tích thùng rượu ( đơn vị lít) ? x A 425, lit B 425162 lit C 212581 lit D 212, lit y S A 0,4m 0,3m x O 0,5m Hướng dẫn giải  Gọi ( P ) : y = ax2 + bx + c parabol qua điểm A ( 0,5;0,3) có đỉnh S ( 0;0, 4) (hình vẽ) Khi đó, thể tích thùng rượu thể tích khối tròn xoay cho hình phẳng giới hạn ( P ) , trục hoành hai đường thẳng x = 0, quay quanh trục Ox  Dễ dàng tìm ( P ) : y = − x + 0,  Thể tích thùng rượu là: 0,5   V =    − x + 0,  dx = 2  −0,5  203  2  0  − x + 0,  dx = 1500  425,5 (l) 0,5 Chọn A Câu 6: Một bồn hình trụ chứa dầu, đặt nằm ngang, có chiều dài bồn 5m, có bán kính đáy 1m, với nắp bồn đặt mặt nằm ngang mặt trụ Người ta rút dầu bồn tương ứng với 0,5m đường kính đáy Tính thể tích gần khối dầu lại bồn (theo đơn vị m ) A 11,781 m B 12,637 m C 14,923 m3 D 8,307 m3 Hướng dẫn giải H C B A D O O'  Thể tích bồn (hình trụ) đựng dầu là: V =  r h =  2.5 = 5 (m3 )  Thể tích phần rút dầu (phần mặt (ABCD)) là:  3 V1 =  −   3, 070 (m ) 3   Vậy thể tích cần tìm là: V2 = V − V1 = 5 − 3, 07  12, 637 (m3 ) Chọn B Câu 7: Bác Năm làm cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất đến đỉnh 2,25 mét, chiều rộng tiếp giáp với mặt đất mét Giá thuê mét vuông 1500000 đồng Vậy số tiền bác Năm phải trả là: A 33750000 đồng B 12750000 đồng C 6750000 đồng D.3750000 đồng Hướng dẫn giải y B x O A  Gắn parabol ( P ) hệ trục tọa độ cho ( P ) qua O(0;0)  Gọi phương trình parbol (P): ( P ) : y = ax2 + bx + c Theo đề ra, ( P ) qua ba điểm O(0;0) , A(3; 0) , B(1,5; 2, 25) Từ đó, suy ( P ) : y = − x2 + 3x  Diện tích phần Bác Năm xây dựng: S =  − x + 3x dx = 9  Vậy số tiền bác Năm phải trả là: 1500000 = 6750000 (đồng) Chọn C Câu 8: Một Bác thợ gốm làm lọ có dạng khối tròn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đường y = x + trục Ox quay quanh trục Ox biết đáy lọ miệng lọ có đường kính dm dm, thể tích lọ là: 15 14 15  dm dm A 8 dm B  dm3 C D Hướng dẫn giải y O x A  r1 = y1 =  x1 =  r2 = y2 =  x2 =  x2  15 Suy ra: V =   y dx =   ( x + 1) dx =   + x  30 =    0 Chọn B 3 Câu 9: Trong chương trình nơng thơn mới, xã X có xây cầu bê tơng hình vẽ Tính thể tích khối bê tơng để đổ đủ cầu (Đường cong hình vẽ đường Parabol) 0,5m 2m 5m 0,5m A 19m3 19m 0,5m B 21m3 C 18m3 Hướng dẫn giải D 40m3 Chọn D Chọn hệ trục Oxy hình vẽ y O x Ta có  19  Gọi ( P1 ) : y = ax2 + c Parabol qua hai điểm A  ;0  , B ( 0; )   Nên ta có hệ phương trình    19  0 = a   + a = −  x +2 361  ( P1 ) : y = −  2 361 2 = b b =  sau:  5 Gọi ( P2 ) : y = ax2 + c Parabol qua hai điểm C (10;0 ) , D  0;   2   a = − 40 0 = a (10 ) +   ( P2 ) : y = − x + Nên ta có hệ phương trình sau:  40 5 = b b =   Ta tích bê 19  10  5    V = 5.2    − x + dx −   − x + dx  = 40m3 0 2  361     40 tơng là: Câu 10: Ơng An có mảnh vườn hình Elip có độ dài trục lớn 16m độ dài trục bé 10m Ông muốn trồng hoa dải đất rộng 8m nhận trục bé elip làm trục đối xứng (như hình vẽ) Biết kinh phí để trồng hoa 100.000 đồng/ 1m2 Hỏi ông An cần tiền để trồng hoa dải đất đó? (Số tiền làm tròn đến hàng nghìn.) A 7.862.000 đồng B 7.653.000 đồng C 7.128.000 đồng D 7.826.000 đồng 8m Hướng dẫn giải Chọn B Giả sử elip có phương trình x2 y + = a b2 Từ giả thiết ta có 2a = 16  a = 2b = 10  b = 5  y=− 64 − y ( E1 )  x y Vậy phương trình elip + =1  64 25  y = 64 − y ( E )  2 Khi diện tích dải vườn giới hạn đường ( E1 ); ( E2 ); x = −4; x = 4 5 64 − x dx =  64 − x dx 20 −4 diện tích dải vườn S =   3 Tính tích phân phép đổi biến x = 8sin t , ta S = 80  +  6   3 Khi số tiền T = 80  +  100000 = 7652891,82 7.653.000 6  Câu 11: (SỞ GD HÀ NỘI) Cho hàm số y = f ( x ) = ax3 + bx2 + cx + d , ( a, b, c  , a  0) có đồ thị ( C ) Biết đồ thị ( C ) tiếp xúc với đường thẳng y = điểm có hồnh độ âm đồ thị hàm số y = f  ( x ) cho hình vẽ đây: Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị ( C ) trục hoành A S = B S = 27 C 21 D Hướng dẫn giải Chọn B Từ đồ thị suy f  ( x ) = 3x − f ( x ) =  f  ( x ) dx =  ( 3x − 3) dx = x − 3x + C Do ( C ) tiếp xúc với đường thẳng y = điểm có hồnh độ x0 âm nên f  ( x0 ) =  3x02 − =  x0 = −1 Suy f ( −1) =  C =  ( C ) : y = x − 3x +  x = −2 x =  Xét phương trình x − x + =    (x Diện tích hình phẳng cần tìm là: Câu 12: −2 − 3x + ) dx = 27 `(CHU VĂN AN – HN) Cho hàm số y = x − 3x + m có đồ thị ( Cm ) với m tham số thực Giả sử ( Cm ) cắt trục Ox bốn điểm phân biệt hình vẽ : y ( Cm ) S3 O S1 x S2 Gọi S1 , S S diện tích miền gạch chéo cho hình vẽ Tìm m để S1 + S2 = S3 B m = − A m = − C m = D m = Hướng dẫn giải Chọn D Giả sử x = b nghiệm dương lớn phương trình x4 − 3x2 + m = Khi ta có b4 − 3b2 + m = (1) Nếu xảy S1 + S2 = S3 b ( ) b5 b4 x − 3x + m dx =  − b + mb =  − b2 + m = (2) ( b  ) 5 Từ (1) (2), trừ vế theo 4 b − 2b =  b = (do b  0) vế ta S Thay trở ngược vào (1) ta m = Câu 13: Người ta dựng lều vải (H) có dạng hình “chóp lục giác cong đều” hình vẽ bên Đáy (H) hình lục giác cạnh 3m Chiều cao SO = 6m (SO vng góc với mặt phẳng đáy) Các cạnh bên (H) sợi dây c1 , c2 , c3 , c4 , c5 , c6 nằm đường parabol c6 c1 1m c5 c4 c2 c3 O 3m có trục đối xứng song song với SO Giả sử giao tuyến (nếu có) (H) với mặt phẳng (P) vng góc với SO lục giác (P) qua trung điểm SO lục giác có cạnh 1m Tính thể tích phần khơng gian nằm bên lều (H) 135 96 (m3 ) (m3 ) A B 5 135 135 (m3 ) (m3 ) C D Hướng dẫn giải Chọn D Đặt hệ tọa độ hình vẽ, ta có parabol cần tìm qua điểm có tọa độ A(0;6), B(1;3), C (3;0) nên có phương trình y= x − x+6 2 Theo hình vẽ ta có cạnh thiết diện BM Nếu ta đặt t = OM BM = − 2t + Khi diện tích thiết diện lục giác: BM 3  1 S (t ) = =  − 2t +  , với t  0;6 2 4 37 1 135 Vậy thể tích túp lều theo đề là: V =  S (t )dt =   − 2t +  dt = 2 0   6 Câu 14: Một vật có kích thước hình dáng hình vẽ Đáy hình tròn giới hạn đường tròn x + y = 16 , cắt vật mặt phẳng vng góc với trục Ox ta thiết diện tam giác Thể tích vật thể là: y x O A V = 32 256 256 C V = 3 Hướng dẫn giải B V = Giải phương trình x + y = 16  y = 16 − x  y =  16 − x 2  Diện tích thiết diện S ( x) = 16 − x sin = 16 − x 3 4 256 Thể tích cần tìm V =  S ( x)dx =  (16 − x )dx = −4 −4 Chọn đáp án B ( ) D V = 32 Câu 15: Vòm cửa lớn trung tâm văn hố có dạng hình Parabol Người ta dự định lắp cửa kính cường lực cho vòm cửa Hãy tính diện tích mặt kính cần lắp vào biết vòm cửa cao 8m rộng 8m (như hình vẽ) A 28 (m ) B 26 (m ) C 128 (m ) Hướng dẫn giải Chọn hệ trục Oxy hình vẽ Ta có Gọi ( P1 ) : y = ax2 + c Parabol D qua 131 (m ) hai điểm A ( 4;0) , B ( 0;8) Nên ta có hệ phương trình sau:  0 = a.16 + c a = −   ( P1 ) : y = − x +  c =  c = S=  −2x −4 +8 = ( ) 128 m 12 m I B E F 6m Câu 16: Một công ty quảng cáo X muốn làm tranh A trang trí hình MNEIF tường hình chữ nhật ABCD có chiều cao chiều dài BC = m , CD = 12 m (hình vẽ bên) Cho biết MNEF hình chữ nhật có MN = m ; cung EIF có D hình dạng phần cung parabol có đỉnh I trung điểm cạnh AB qua hai điểm C, D Kinh phí làm tranh 900.000 đồng/ m Hỏi công ty X cần tiền để làm tranh ? A 20.400.000 đồng B 20.600.000 đồng C 20.800.000 đồng D 21.200.000 đồng Hướng dẫn giải M N 4m C - Nếu chọn hệ trục tọa độ có gốc trung điểm O MN, trục hồnh trùng với đường thẳng MN parabol có phương trình y = − x + 208   - Khi diện tích khung tranh S =   − x +  dx = m  −2  208 - Suy số tiền là:  900.000 = 20.800.000 đồng Câu 17: Một khối cầu có bán kính ( dm ) , người ta cắt bỏ hai phần khối cầu hai mặt phẳng song song vng góc đường kính cách tâm khoảng ( dm) để làm lu đựng nước (như hình vẽ) Tính thể tích mà lu chứa A 100  ( dm3 ) B 43  ( dm3 ) C 41 ( dm3 ) D 132 ( dm3 ) Hướng dẫn giải Chọn D Cách 1: Trên hệ trục tọa độ Oxy , xét đường tròn (C ) : ( x − 5)2 + y = 25 Ta thấy cho nửa trục Ox ( C ) quay quanh trục Ox ta mặt cầu bán kính Nếu cho hình phẳng ( H ) giới hạn nửa trục Ox ( C ) , trục Ox , hai đường thẳng x = 0, x = quay xung quanh trục Ox ta khối tròn xoay phần cắt khối cầu đề Ta có ( x − 5) + y = 25  y =  25 − ( x − 5)  Nửa trục Ox ( C ) có phương trình y = 25 − ( x − 5) = 10 x − x  Thể tích vật thể tròn xoay cho ( H ) quay quanh Ox là:  x3  52 V1 =   (10 x − x ) dx =   x −  = 0  2 500 Thể tích khối cầu là: V2 =  53 = 3 500 52 − = 132 ( dm3 ) 3 Cách 2: Hai phần cắt tích nhau, phần chỏm cầu tích Thể tích cần tìm: V = V2 − 2V1 = R V1 =   ( R − x ) dx =   ( 25 − x ) dx = 2 d 52 52 Vậy thể tích lu V = Vc − 2V1 =  53 −  = 132 3 Câu 18: Một sân chơi cho trẻ em hình chữ nhật có chiều dài 100 chiều rộng 60m người ta làm đường nằm sân (Như hình vẽ) Biết viền viền đường hai đường elip, Elip đường viền ngồi có trục lớn trục bé song song với cạnh hình chữ nhật chiều rộng mặt đường 2m Kinh phí cho m làm đường 600.000 đồng Tính tổng số tiền làm đường (Số tiền làm tròn đến hàng nghìn) 100m 2m 60m A 293904000 C 293804000 B 283904000 D 283604000 Hướng dẫn giải Cho ̣n A Xét hệ trục tọa độ Oxy đặt gốc tọa độ O vào tâm hình Elip Phương trình Elip đường viền ngồi đường ( E1 ) : x2 y2 + = Phần 502 302 đồ thị ( E1 ) nằm phía trục hồnh có phương trình y = 30 − Phương trình Elip đường viền đường ( E2 ) : x2 = f1 ( x ) 502 x2 y2 + = Phần 482 282 đồ thị ( E2 ) nằm phía trục hồnh có phương trình y = 28 − x2 = f2 ( x ) 482 Gọi S1 diện tích ( E1 ) hai lần diện tích phần hình phẳng giới hạn trục hoành đồ thị hàm số y = f1 ( x ) Gọi S diện tích ( E2 ) hai lần diện tích phần hình phẳng giới hạn trục hoành đồ thị hàm số y = f ( x ) Gọi S diện tích đường Khi 50 S = S1 − S2 =  30 − −50 48 x2 x2 d x − 28 − dx  502 482 −48 a Tính tích phân I =  b − −a x2 dx, ( a, b  a2 + )    Đặt x = a sin t ,  −  t    dx = a cos tdt 2  Đổi cận x = −a  t = −  ;x = a t =    2  Khi I =  b − sin t a cos t dt = 2ab  cos t dt = ab  (1 + cos 2t ) dt −  −  −    sin 2t  = ab  t +  = ab  −  Do S = S1 − S2 = 50.30 − 48.28 = 156 Vậy tổng số tiền làm đường 600000.S = 600000.156  294053000 (đồng) Câu 19:Có vật thể hình tròn xoay có dạng giống ly hình vẽ Người ta đo đường kính miệng ly 4cm chiều cao 6cm Biết thiết diện ly cắt mặt phẳng đối xứng parabol Tính thể tích V ( cm ) vật thể cho A V = 12 72 C V =  B V = 12 72 D V = Hướng dẫn giải Chọn A Chọn gốc tọa độ O trùng với đỉnh I parabol ( P ) Vì parabol ( P ) qua điểm A ( −2;6) , B ( 2;6 ) I ( 0;0) nên parabol ( P ) có phương trình y = x Ta có y = 2 x  x = y Khi thể tích vật thể cho 2 V =   0  y  dy = 12 ( cm3 )  cm A O B cm I Câu 20:Một mảnh vườn hình tròn tâm O bán kính 6m Người ta cần trồng dải đất rộng 6m nhận O làm tâm đối xứng, biết kinh phí trồng 70000 đồng / m2 Hỏi cần tiền để trồng dải đất (số tiền làm tròn đến hàng đơn vị) A 8412322 đồng B 8142232 đồng C 4821232 đồng D 4821322 đồng Hướng dẫn giải 6m O Xét hệ trục tọa độ oxy đặt vào tâm khu vườn , phương trình đường tròn tâm O x + y2 = 36 Khi phần nửa cung tròn phía trục Ox có phương trình y = 36 − x = f (x) Khi diện tích S mảnh đất lần diện tích hình phẳng giới hạn trục hoành, đồ thị y = f (x) hai đường thẳng x = −3; x = 3  S =  36 − x dx −3 Đặt x = 6sin t  dx = 6cos tdt Đổi cận : x = −3  t = −     6  S =  36cos tdt = 36  (c os2t+1) dt = 18(sin t + t) = 18 + 12 −  −  Do số tiền cần dùng 70000.S  4821322 đồng ; x = 3 t = −   ... A 20. 400.000 đồng B 20. 600.000 đồng C 20. 800.000 đồng D 21 .200 .000 đồng Hướng dẫn giải M N 4m C - Nếu chọn hệ trục tọa độ có gốc trung điểm O MN, trục hồnh trùng với đường thẳng MN parabol có. .. tương ứng với chi u dài mét 125 125 A S = B S = m2 ) m2 ) ( ( 125 250 C S = D S = ( m2 ) ( m2 ) 3 Hướng dẫn giải Cho ̣n D Vì tính đối xứng trụ nên diện tích mảnh đất tương ứng với lần diện tích. .. có phương trình y = − x + 208   - Khi diện tích khung tranh S =   − x +  dx = m  −2  208 - Suy số tiền là:  900.000 = 20. 800.000 đồng Câu 17: Một khối cầu có bán kính ( dm ) , người