Chương III PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN I KIẾN THỨC VÀ KỸ NĂNG CẦN THIẾT Kiến thức Tọa độ điểm, véc tơ không gian • Biết hệ tọa độ không gian Oxyz , ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz , ba mặt phẳng tọa độ ( ) Oxy, Oyz, Ozx Hệ tọa độ viết O; i ; j ; k , a véc tơ i , j , k theo thứ tự véc tơ đơn vị trục Ox, Oy, Oz Điểm M ( x; y; z) hay M = ( x; y; z) , có nghĩa OM = xi + y j + zk Véc tơ u( x, y, z) hay u = ( x; y; z) , có nghĩa u = xi + y j + zk • Biết phép cộng véc tơ nhân véc tơ với số phương diện tọa độ (tương tự mặt phẳng) Biết diễn tả số kiện hình học nhờ véc tơ gốc O (từ chuyển sang tọa độ) như: − Với hai điểm tùy ý A, B ta có AB = OB − OA − Cho hai điểm phân biệt A, B điểm C thuộc đường thẳng AB có số k ( ) cho AC = kAB , tức OC − OA = k OB − OA OC = (1 − k ) OA + kOB Ngồi điểm C thuộc đoạn AB số k thỏa mãn  k  Điểm C la OA + OB , tức OC = ; 2 Sử dụng thành thạo tích vơ hướng hai véc tơ, mô đun véc tơ phương diện tọa độ Biết tính khoảng cách hai điểm biết tọa độ chúng trung điểm đoạn AB ( A khác B ) k = • Nhận thấy khoảng cách từ điểm M ( x; y; z) đến mặt phẳng Oxy z , đến mặt phẳng Oyz x , đến mặt phẳng Ozx y ; đến trục tọa độ Ox Oy • x2 + z2 , đến trục Oz x2 + y2 ; đến gốc tọa độ O y2 + z2 , đến trục x2 + y2 + z2 Biết sử dụng tích có hướng (hay gọi tích véc tơ) hai véc tơ u( x, y, z) ,  y z z x x y u' x' , y' , z' véc tơ kí hiệu  u, u'  , hay u  u' Nó có tọa độ  ' ' ; ' , ; ' ' '    y z z x x y   a b = ab' − a' b ( a, b, a' , b' số); u, u' khác (định thức cấp hai) ' a b' ( )  u, u'  vng góc với u, u' khác u, u' không phương   http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Chẳng hạn với ba điểm A, B, C ,  AB, AC  ABC tam giác, tức AB, AC Suy  AB, AC  , ba véc tơ AB, AC, AD đồng phẳng (chúng có phương song song với mặt phẳng)  AB, AC AD = Phương trình mặt phẳng • Sử dụng thành thạo phương trình mặt phẳng qua điểm A0 = ( x0 ; y0 ; z0 ) , có dạng A( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = , n = ( A, B, C)  véc tơ pháp tuyến mặt phẳng phương trình tổng quát mặt phẳng là: Ax + By + Cz + D = , vế trái phương trình n.IM , M ( x; y; z) , I điểm tùy ý thuộc mặt phẳng • Biết ý nghĩa hình học triệt tiêu hệ số vế trái phương trình tổng quát mặt phẳng x y z Biết phương trình theo dạng chắn mặt phẳng + + = a b c Biết biện luận vị trí tương đối hai mặt phẳng theo hệ số phương trình tổng quát chúng (trùng nhau, song song, vng góc), biết tính góc hai mặt phẳng Sử dụng thành thạo công thức tính khoảng cách từ điểm M1 ( x1; y1; z1 ) đến mặt phẳng có phương trình Ax + By + Cz + D = Ax1 + By1 + Cz1 + D A2 + B2 + C2 Phương trình đường thẳng •  x = x0 + at  Sử dụng thành thạo phương trình tham số đường thẳng  y = y0 + bt  z = z + ct  • A0 = ( x0 ; y0 ; z0 ) điểm thuộc đường thẳng, u = ( a, b, c)  véc tơ phương đường thẳng, t tham số Phương trình tham số dạng véc tơ A0 M = tu hay OM = OA0 + tu x − x0 y − y0 z − z0 = = a b c Đường thẳng coi giao hai mặt phẳng cắt  Ax + By + Cz + D = (hai véc tơ n = ( A, B, C) , n' = A' , B' , C' không phương);  ' ' ' ' A x + B y + C z+ D = Khi abc  , đường thẳng có phương trình tắc ( ) véc tơ phương đường thẳng  n, n'    http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word • • Biết biện luận vị trí tương đối hai đường thẳng theo hệ số phương trình tham số chúng (diễn tả tọa độ điều kiện véc tơ phương chúng với véc tơ nối hai điểm chúng): chúng trùng nhau, song song, cắt nhau, chéo nhau, vng góc; biết tính góc chúng) Biết biện luận vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng theo hệ số phương trình chúng (diển tả tọa độ điều kiện véc tơ phương, véc tơ pháp tuyến với véc tơ nối hai điểm thuộc chúng ): đường thẳng nằm mặt phẳng, song song , cắt nhau, vng góc; biết tính góc đường thẳng mặt phẳng Phương trình mặt cầu Sử dụng thành thạo phương trình mặt cầu tâm I ( x0 ; y0 ; z0 ) , • bán kính R(  0) : ( x − x0 ) + ( y − y0 ) + ( z − z0 ) − R2 = biết rõ ngược lại, phương 2 trình x2 + y2 + z2 − 2ax − 2by − 2cz + d = phương trình mặt cầu a2 + b2 + c2 − d  , có tâm I = ( a; b; c) , có bán kính R = a2 + b2 + c2 − d ; nên nhớ vế trái phương trình biểu thị IM − R2 , M = ( x; y; z) Kỹ • Hình dung được, phác họa, vẽ nhanh hệ tọa độ gắn với nội dung câu hỏi (không cần cẩn thận, tỉ mỉ tốn xét khơng gian, hình vẽ chủ yếu để giúp hình dung tốn) Ví dụ Xét hình lập phương ABCD.A' B' C' D ' có A = ( 0;0;0) , B(1;0;0) , D = ( 0;1;0) , A' = ( 0;0;1) Tìm tọa độ đỉnh C ' A (1;1;0) ; B ( 0;1; −1) C ( 0;1;1) ; D (1;1;1) Hình vẽ trang 121 SGK Hướng dẫn giải: Chọn D hình lập phương có mặt bên qua A mặt phẳng hệ tọa độ, C ' đỉnh đối diện A nên C ' phải có hồnh độ B , có tung độ D độ cao A' Có thể coi câu hỏi cấp độ “thơng hiểu” Ví dụ Tập điểm có tọa độ ( x; y; z) cho −1  x  3, −1  y  , −1  z  tập điểm khối đa diện dài (lồi) có tâm đối xứng Tìm tọa độ tâm đối xứng A ( 0;0;0) ; B ( 2;2;2) ; http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word C (1;1;1) ;  1 1 D  ; ;   2 2 Hướng dẫn giải: Chọn B dễ thấy khối đa diện khối lập phương có mặt song song với mặt phẳng tọa độ, tâm có hồnh độ (tung độ, cao độ) − ( −1) = Có thể coi câu hỏi cấp độ “thơng hiểu” Ví dụ Cho đường thẳng có phương trình x = y = − z Tìm khoảng cách từ điểm A = (1,0,0) đến đường thẳng A ; B ; C ; D ; Hướng dẫn giải: Chọn D đường thẳng cho qua điểm B(1;1;0) , điểm C ( 0;0;1) , tam giác ABC tam giác vuông, khoảng cách cần tìm đường cao (hai cạnh góc vng ) Có thể coi câu hỏi cấp độ “vận dụng (thấp)” • Nhờ nắm ý nghĩa hình học hệ số phương trình mặt phẳng,đường thẳng, vế trái phương trình tổng quát mặt phẳng… diễn tả nhanh chóng kiện yêu cầu câu hỏi trắc nghiệm Chẳng hạn: Cho mặt phẳng ( P) có phương trình Ax + By + Cz + D = cho biết tọa độ hai điểm phân biệt R, S Biết R, Skhông thuộc ( P) (tọa độ chúng khơng thỏa mãn phương trình ( P) Làm biết P, Q phía hay khác phía ( P) ? Ta đặt vấn đề viết phương trình đường thẳng RS (chẳng hạn phương trình tham số đường thẳng qua A với véc tơ phương RS) Xác định tham số t ứng với giao điểm I đường thẳng với ( P) , tức RI = t0 RS :  t0   R, S khác phía ( P) Cũng tinh thần lí luận cách hình học hơn: Để ý gọi n = ( A; B; C) , J điểm tùy ý ( P) vế trái Ax + By + Cz + D = = n.JM , M ( x; y; z) điểm tùy ý Nếu    0;  thuộc   n.JM dương hay âm góc hướng n JM theo thứ tự thuộc    ;   việc thay tọa độ R, S vào vế trái phương trình   ( P) : Nếu hai số tìm thấy khác dấu R, S khác phía ( P) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word − Để tìm khoảng cách hai đường thẳng d d ' chéo nhau, viết phương trình mặt phẳng chứa d ' , song song với d tìm khoảng cách từ điểm d đến mặt phẳng đó, tìm điểm I thuộc d , điểm I ' thuộc d ' cho II ' vng góc với d, d' tính II ' − Ngoài ra, chọn phương án trả lời nên so sánh kết chọn lựa thể liệu có, hình vẽ có, phác họa, chằng hạn tính thể tích khối, độ dài đoạn thẳng, …: Khối K1 nằm khối K2 thể tích K1 khơng vượt q thể tích khối K2 , xấp xỉ phần khối K2 ,… (hình vẽ trang 122) II MỘT SỐ CÂU HỎI LUYỆN TẬP Sau câu hỏi trắc nghiệm, xét không gian tọa độ Oxyz Cho điểm M = (1;1;1) , N = ( 2;0; −1) , P = ( −1;2;1) Xét điểm Q cho MNPQ hình bình hành.Tìm tọa độ Q A ( 2;3;3) B ( 2; −3; −3) C ( 2; −3;3) D ( −2;3;3) Cho hai điểm A = ( 2;1;1) , B = ( −1;2;1) Xét điểm A' đối xứng A qua B Tìm tọa độ A' A ( 4;3;3) B ( 4; −3;3) C ( 3;4; −3) D ( −4;3;1) Chọn câu sai : A Điểm đối xứng điểm A = ( 2;1;3) qua mặt phẳng Oyz điểm ( −2;1;3) B Điểm đối xứng điểm A = ( 2;1;3) qua mặt phẳng Oxy điểm ( 2;1; −3) C Điểm đối xứng điểm A = ( 2;1;3) qua gốc tọa độ O điểm ( −2; −1;3) D Điểm đối xứng điểm A = ( 2;1;3) qua mặt phẳng Oxz điểm ( 2; −1;3) Chọn câu sai : A Điểm đối xứng điểm B = ( 3;2;1) qua trục Ox điểm ( 3; −2; −1) B Điểm đối xứng điểm B = ( 3;2;1) qua trục Oy điểm ( −3;2; −1) C Điểm đối xứng điểm B = ( 3;2;1) qua mặt phẳng Oyz điểm ( −3;2;1) D Điểm đối xứng điểm B = ( 3;2;1) qua trục Oz điểm ( −3; −2; −1) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 5 Cho điểm A = ( 3;13;2) , B = ( 7;29;4) , C = ( 31;125;16) Chọn câu đúng: A A, B, C thẳng hàng , B A C B A, B, C thẳng hàng, C A B C A, B, C thẳng hàng, A C B D A, B, C không thẳng hàng Cho điểm A = ( 2;4;11) , B = ( 3;2;0) , C = ( 3;4;7) Chọn câu đúng: A A, B, C thẳng hàng , B A C B A, B, C thẳng hàng, C A B C A, B, C thẳng hàng, A C B D A, B, C không thẳng hàng Cho điểm A = (1; −1;0) , B = ( 0;1;1) Gọi H hình chiếu gốc tọa độ O đường thẳng AB Chọn câu đúng: A Điểm A nằm H B ( không trùng với H B ) B Điểm B nằm H A ( không trùng với H A ) C Điểm H nằm A B ( không trùng với A B ) D Điểm H trùng với A B Cho ba điểm A = (1; −1;1) , B = ( 3;1;2) , C = ( −1;0;3) Xét điểm C cho tứ giác ABCD hình thang có cạnh đáy AB, CD có góc C 45 Chọn khẳng định bốn khẳng định sau: A C = ( 3;4;5) C C = ( 5;6;6) 7  B C =  0;1;  2  D Khơng có điểm C Cho hai điểm A = ( 3;4;2) B = ( −1; −2;2) Xét điểm C cho điểm G = (1;1;2) trọng tâm tám giác ABC Chọn câu A C = (1;1;2) B C = ( 0;1;2) C C = (1;1;0) D Khơng có điểm C 10 Cho ba điểm A = ( 0;0;0) , B = ( 0;1;1) , C = (1;0;1) Xét điểm D thuộc mặt phẳng Oxy cho tứ diện ABCD mọt tứ diện Tìm tọa độ điểm D http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word B ( 0;1;0) A (1;0;0) C (1;1;0) D ( 0;0;1) ' ' ' D 11 Chọn hệ tọa độ cho bốn đỉnh A, B, D, A' hình lập phương ABCD.A' BC A = ( 0;0;0) , B = (1;0;0) , D = ( 0;1;0) , A' = ( 0;0;1) Tìm tọa độ điểm C ' C (1;1;0) B ( 0;1;1) A (1;0;1) D (1;1;1) ' ' ' D 12 Chọn hệ tọa độ cho đỉnh A, B, A' , C' hình lập phương ABCD.A' BC A = (;0;0) , B = (1;0;0) , A' = ( 0;0;1) , C' = (1;1;1) Tìm tọa độ tâm hình vng BCC' B' A ( ;1;1) 1 C (1; ; ) 2 B (1; ;1) D (1;1; ) 13 Tập hợp điểm có tọa độ ( x, y, z) cho x  1, y  1, z  tập hợp điểm khối đa diện ( lồi) Tính thể tích khối A B C D ' ' ' D có A = ( 0;0;0) , C = ( 2;2;0) 14 Chọn hệ tọa độ cho hình lập phương ABCD.A' BC tâm I hình lập phương có tọa độ (1;1;1) Tìm tọa độ đỉnh B' A ( 2;0;2) B ( 0; −2;2) 15 Cho mặt phẳng ( P) có phương trình C ( 2;0;2) ( 0;2;2) D ( 2;2;0) x y z + + − = , abc  , xét điểm M = ( a, b, c) a b c Chọn câu A Mặt phẳng ( P) qua điểm M B Mặt phẳng ( P) qua trung điểm đoạn OM C Mặt phẳng ( P) qua hình chiếu M trục Ox D Mặt phẳng ( P) qua hình chiếu M mặt phẳng Ozx 16 Tính khoảng cách từ điểm (1;2;3) đến mặt phẳng qua ba điểm (1;0;0) , (1;2;0) , ( 0;3;0) A B C D 17 Viết phương trình mặt phẳng qua điểm A = (1;1;1) vng góc với hai mặt phẳng x+ y− z= , x − y+ z= A x + y + z = B y + z = C z + x = D 2y − z − x = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 18 Xét mặt phẳng ( P) có phương trình x y z + + = ( a, b, c ba số cho trước khác 0) điểm a b c a b c A =  ; ;  Chọn câu  2 2 A Điểm A thuộc mặt phẳng ( P) B ( P) mặt phăng trung trực đoạn OA ( O gốc tọa độ) C A O phía ( P) D A O khác phía ( P) không cách ( P) 19 Xét mặt phẳng ( P) có phương trình x y z + + = 1( a, b, c ba số cho trước khác 0) điểm a b c a b  A =  ; ;0  Chọn câu 4  A Điểm A thuộc mặt phẳng ( P) B ( P) mặt phăng trung trực đoạn OA ( O gốc tọa độ) C A O phía ( P) D A O khác phía ( P) không cách ( P) 20 Xét khối chóp tứ giác SABCD , S= (1;2; −3) , ABCD hình bình hành có AB = b , AD = c , BAD = 30 , đáy ABCD nằm mặt phẳng có phương trình 2x − y + 2z − = Tính thể tích khối chóp SABCD D bc bc bc bc B C 2 21 Tính khoảng cách từ điểm A = (0;0;1) đến đường thẳng d có phương trình x = y = A A B C D 22 Tính khoảng cách từ điểm A = (1;0;0) đến đường thẳng d có phương trình x = y = − z A B C 2 D x + y = 23 Tính khoảng cach từ điểm A = (0;0;1) đến đường thẳng d xác định  z = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word A B C D x + y = 24 Cho đường thẳng d có phương trình x = y = x đường thẳng d ' xác định  z = Chọn câu A d d ' trùng B d d ' vng góc C d d ' chéo D d d ' song song x = y x = y 25 Xét đường thẳng d xác định  đường thẳng d ' xác định  Tính  z = −1 z = khoảng cách hai đường thẳng A B C D x = y x = −y 26 Xét đường thẳng d xác định  đường thẳng d ' xác định  Tính z =  z = −1 khoảng cách hai đường thẳng A B C D 27 Tính khoảng cách đường thẳng x = y = với đường thẳng x = y = A B C D x + y = 28 Xét đường thẳng d có phương trình x = y = x đường thẳng d ' xác định  z = Tính khoảng cách hai đường thẳng A B C D 29 Xét đường thẳng d có phương trình x = y = x đường thẳng d ' có phương trình x = y − = z + Tính khoảng cách hai đường thẳng A B C D 30 Gọi hình chiếu đường thẳng có phương trình x = y = z mặt phẳng Oyz đường thẳng d mặt phẳng Ozx đường thẳng d ' Tính số đo độ góc hai đường thẳng d d ' A 30 B 45 C 60 D 90 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word x + y = 31 Cho đường thẳng d ' xác định  mặt phẳng ( P) có phương trình x − z = x − y + z − = Chọn câu A d nằm ( P) B d song song với ( P) C d cắt ( P) điểm khơng vng góc với ( P) D d vng góc với ( P) 32 Cho đường thẳng d xác định x = y = z mặt phẳng ( P) có phương trình x − 2y + z − = Chọn câu A d nằm ( P) B d song song với ( P) C d cắt ( P) điểm khơng vng góc với ( P) D d vng góc với ( P) 33 Cho đường thẳng d xác định x = − y = z − mặt phẳng ( P) có phương trình 2x + y − z + = Chọn câu A d nằm ( P) B d song song với ( P) C d cắt ( P) điểm khơng vng góc với ( P) D d vng góc với ( P) x y z + + = ( a, b, c ba số cho trước khác 0) a b c đường thẳng d xác định ax = by = cz Chọn câu 34 Xét mặt phẳng ( P) có phương trình A d nằm ( P) B d song song với ( P) C d cắt ( P) điểm khơng vng góc với ( P) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 10 D d vng góc với ( P) 35 Cho hình lập phương ABCD.A' B' C' D ' Xét trung điểm P cạnh BB' trung điểm Q cạnh A' D' Tính số đo độ góc hai đường thẳng AC' PQ A 60 B 45 D 90 C 30 36 Cho hình lập phương ABCD.A' B' C' D ' Xét trung điểm Q cạnh A' D' Tìm điểm P thuộc đường thẳng BB' cho hai đường thẳng AC' , PQ vng góc A Điểm B' B Điểm B C Trung điểm BB' D Có điểm P 37 Cho mặt phẳng ( P) có phương trình 13x − y + 3z − 13 = hai điểm A = ( 5;3;7) , B = ( −2;4;2) Chọn câu A Đường thẳng AB nằm ( P) B Đường thẳng AB song song với ( P) C Đường thẳng AB cắt ( P) điểm nằm đoạn thẳng AB D Đường thẳng AB cắt ( P) điểm nằm đoạn thẳng AB 38 Tìm tọa độ hình chiếu điểm A = (1;2;3) mặt phẳng có phương trình x + y + z − = A (1;2;0) B (1;1; −2) D ( 0;1;2) C ( 2;1;0) 39 Cho điểm J = ( 2;1;1) mặt phẳng ( P) có phương trình x + y − z + = Tìm tọa độ điểm J ' đối xứng với J qua ( P) A ( 2;1;3) B ( 0; −1;3) D ( −3;1;0) C ( 3;2;0) 40 Xét giao tuyến d hai mặt phẳng có phương trình theo thứ tự 2x − y + z + = , x + y − z − = Tìm số đo độ góc d trục Oz A B 30 x = y 41 Tìm số đo độ góc đường thẳng  đường thẳng z = A 90 B 30 D 60 C 45 C 45 x =  y = z D 60 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 11 42 Cho đường thẳng d qua hai điểm (1;0;0) ( 0;1;1) đường thẳng d ' qua hai điểm  ( 0;0;1) (1;1;0) Tính cosin góc ( gồm A B C ) d d ' D 43 Cho đường thẳng d có phương trình x = y = z mặt phẳng ( P) chứa hai đường thẳng song x = x = song   Tính sin góc d ( P) y + z = y + z = A B C D 44 Xét giao tuyến d hai mặt phẳng có phương trình 2x − y + z − = x − y − z + = Viết phương trình hình chiếu vng góc d mặt phẳng Oxy A z= , 2x − 3y = B 3x − 2y = C 3x − 2y = z= D z= , 3x + 2y = 45 Cho tứ diện ABCD Gọi M trung điểm AB , N trung điểm CD Với k số cho trước, xét điểm P , điểm Q cho AP = kAD , BQ = kBC Gọi I trung điểm PQ Để chứng minh I thuộc đường thẳng MN xét xem có phải IM = kIN , rõ chỗ sai bước chứng mính sau: A O điểm tùy ý AP = kAD  OP = (1 − k ) OA + kOD , tương tự BQ = kBC  OQ = (1 − k ) OB + kOC B OP + OQ OA + OB OC + OD = (1 − k ) +k 2 C OI = (1 − k ) OM + kON D IM = kIN  x = −1 46 Tìm đường thẳng cắt vng góc với hai đường thẳng xác định  y + z = x =   y − 2z = A Trục Ox http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 12 B Trục Oy C Trục Oz D Đường thẳng x = y = z 47 cho đường thẳng d có phương trình x − = y = z đường thẳng d ' có phương trình tham số x = t , y = −2t + , z = t − , chọn câu đúng: A Có đường thẳng cắt vng góc với d d ' B Khơng có đường thẳng cắt vng góc với d d ' C Có vơ số đường thẳng cắt vng góc với d d ' D Có hai đường thẳng cắt vng góc với d d ' z = z = 48 Cho hai đường thẳng d d ' xác định   Chọn câu đúng: x − y + = x − y −1 = A Có đường thẳng cắt vng góc với d d ' B Khơng có đường thẳng cắt vng góc với d d ' C Có vơ số đường thẳng cắt vng góc với d d ' D Có hai đường thẳng cắt vng góc với d d ' z = z = 49 Cho hai đường thẳng d ¸ d ' xác định   Tìm đường thẳng căt svaf x + y = x − y = vng góc với d d ' x = A  y = x = B  y = z x = C  y = x = D  y = z 50 Chọn câu A Quỹ tích điểm cách hai trục Ox, Oy mặt phẳng B Quỹ tích điểm cách hai trục Ox, Oy đường thẳng C Quỹ tích điểm cách hai trục Ox, Oy hai đường thẳng D Quỹ tích điểm cách hai trục Ox, Oy hai mặt phẳng x −1 = x + = 51 Cho hai đường thẳng d d ' xác định   z = z = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 13 Chọn câu A Quỹ tích điểm cách hai đường thẳng mặt phẳng B Quỹ tích điểm cách hai đường thẳng đường thẳng C Quỹ tích điểm cách hai đường thẳng hai đường thẳng D Quỹ tích điểm cách hai đường thẳng hai mặt phẳng y = x = 52 Cho hai đường thẳng d d ' có phương trình   Tìm quỹ tích điểm  z = −1 z = mặt phẳng Oxy cách hai đường thẳng z = A Đường thẳng  x = y z = z = B Cặp đường thẳng   x = y x = −y C Điểm gốc tọa độ O D Mặt phẳng Oxy 53 Chọn câu đúng: A Quỹ tích điểm cách ba mặt phẳng tọa độ tia (tức nửa đường thẳng) B Quỹ tích điểm cách ba mặt phẳng tọa độ đường thẳng C Quỹ tích điểm cách ba mặt phẳng tọa độ bốn đường thẳng D Quỹ tích điểm cách ba mặt phẳng tọa độ tám đường thẳng 54 Chọn câu đúng: A Quỹ tích điểm cách ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz tia (tức nửa đường thẳng) B Quỹ tích điểm cách ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz đường thẳng C Quỹ tích điểm cách ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz bốn đường thẳng D Quỹ tích điểm cách ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz tám đường thẳng 55 Xét mặt cầu có phương trình x2 + y2 + z2 − 4x − 8y − 2z − 10 = Chọn khẳng định bốn khẳng định sau: A Gốc tọa độ O = ( 0;0;0) nằm mặt cầu B Gốc tọa độ O = ( 0;0;0) nằm bên mặt cầu tâm mặt cầu C Gốc tọa độ O = ( 0;0;0) tâm mặt cầu D Gốc tọa độ O = ( 0;0;0) nằm bên mặt cầu http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 14 56 Cho mặt cầu ( S) có phương trình x2 + y2 + z2 − 2x − 4y + 2z + = cho mặt phẳng ( P) có phương trình 2x + y − 2z − = Chọn khẳng định khẳng định sau: A Giao ( S) ( P) đoạn thẳng có hai mút phân biệt B Giao ( S) ( P) điểm C Giao ( S) ( P) tập rỗng D Giao ( S) ( P) đường tròn 57 Cho mặt cầu ( S) có phương trình x2 + y2 + z2 − 2x + 4y − 4z + = cho mặt phẳng ( P) xác định z= Chọn câu A Giao ( S) ( P) đoạn thẳng có hai mút phân biệt B Giao ( S) ( P) điểm C Giao ( S) ( P) tập rỗng D Giao ( S) ( P) đường tròn 58 Cho mặt cầu ( S) có phương trình x2 + y2 + z2 − 4x − 2y + 4z = Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu điểm M = (1; −1;0) A x + y = B 2x + y − = C x − 2y − = D x + 2y − 2z + = 59 Cho mặt cầu có phương trình x2 + y2 + z2 − 4x − 2y + 4z = điểm A = ( ) 3; 2; −1 Chọn câu A Qua điểm A có đường thẳng khơng cắt mặt cầu điểm có đường thẳng cắt mặt cầu điểm B Qua điểm A đường thẳng có điểm chung với mặt cầu có hai điểm chung phân biệt hai điểm A C Qua điểm A đường thẳng cắt mặt cầu hai điểm phân biệt khác A A tâm mặt cầu D A tâm mặt cầu 60 Cho mặt phẳng ( P) có phương trình x − = mặt phẳng ( P' ) có phương trình y − = Xác định quỹ tích tâm mặt cầu tiếp xúc với ( P) , tiếp xúc với ( P' ) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 15 A Quỹ tích mặt phẳng có phương trình x = y B Quỹ tích mặt phẳng có phương trình x + y − = C Quỹ tích hai mặt phẳng có phương trình x = y x + y − = D Quỹ tích hai mặt phẳng có phương trình x = y x + y − = trừ đường thẳng x = y = 61 Cho mặt phẳng ( P) có phương trình x + y − 2z − = mặt phẳng ( P' ) có phương trình − x − y + 2z + = Xác định quỹ tích tâm mặt cầu tiếp xúc với ( P) tiếp xúc với ( P' ) A Quỹ tích mặt phẳng có phương trình x + y − 2z − = B Quỹ tích mặt phẳng có phương trình x + y − 2z + = C Quỹ tích hai mặt phẳng có phương trình x + y − 2z = 8 D Quỹ tích mặt phẳng có phương trình x + y − 2z − = 62 Tìm tọa độ tâm mặt cầu qua điểm O = ( 0;0;0) , A = ( a;0;0) , B = ( 0; b;0) , C = ( 0;0; c) , ( a, b, c ba số cho trước, abc  ) A ( −a; −b; −c) B ( a; b; c)  a b c D  ; ;   3 3 a b c C  ; ;   2 2 63 Cho hai điểm A = ( a;0;0) , B = ( 0; b;0) ( a, b hai số cho trước, ab  ) Xác định quỹ tích tâm mặt cầu qua A, B gốc tọa độ O = ( 0;0;0) x y  + =1 A Đường thẳng xác định  a b  z = a b  C Điểm  ; ;0  2  B Mặt phẳng x y + =1 a b a   x = D Đường thẳng xác định  y = b  64 Xét hai điểm A = ( a;0;0) B = ( 0; a;0) (a số cho trước, a  0) Tìm tọa độ tâm mặt cầu qua A, B , gốc tọa độ O = ( 0;0;0) tiếp xúc với mặt phẳng ( P) có phương trình x + y − 2a = A ( a; a;0) B ( a; a; −1) C ( a; a;1) a a  D  ; ;0  2  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 16 65 Tìm tọa độ tâm mặt cầu qua đỉnh tứ diện OABC , O = ( 0;0;0) , A = (1;0;1) , B = ( 0;1;1) , C = (1;1;0)  1 1 A  ; ;   3 3  1 1 B  ; ;   2 2  1 1 C  ; ;   4 4  1 1 D  ; ;   4 66 Cho mặt cầu ( S) có phương trình x2 + y2 + z2 − 2x = mặt cầu ( S' ) có phương trình x2 + y2 + z2 − 2x + z = Kí hiệu I tâm ( S) , I ' tâm ( S' ) Chọn câu A I nằm bên mặt cầu ( S' ) D Khoảng cách II ' C Đường thẳng II ' vng góc với mặt phẳng có phương trình z= B I ' nằm bên mặt cầu ( S) III GỢI Ý – HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP ÁN Gợi ý – hướng dẫn giải Câu AC = ( 28;112;14) , AB = ( 4;16;2) Ta thấy AC = 7AB nên B A C Ta khơng nên giải tốn cách viết phương trình đường thẳng AB thử xem tọa độ C có thỏa mãn phương trình khơng Vì q dài phải xem xét có phải B A C hay không Câu AB = (1; −2; −11) , AC = (1;0; −4) Dễ thấy hai ba số khơng tỉ lệ tọa độ thứ AB không triệt tiêu tọa độ thứ AC Cũng khơng cần phải thử  AB, AC  dài Câu Do OA , OB không phương OA.OB  nên AOB tù ( vẽ hình đốn nhận được) chân đường cao AH tam giác AOB phải A B Cũng tìm tọa độ H (giao đường thẳng AB với mặt phẳng qua O vng góc với AB , hay tìm điểm H đường thẳng AB (viết phương trình tham số đường thẳng AB cho OH vng góc AB ) dài Câu Về hình học thấy C tồn : để ý AB = AD AB, AD vng góc nên điều kiện góc C 45 kéo theo DC = 2AB suy A Câu Nếu có C để G trọng tâm tam giác ABC theo cơng thức tính tọa độ trọng tâm tam giác ta phải suy C = (1;1;2) , trùng với G , vơ lý, Nhìn lại thấy A, B điểm (1;1;2) thẳng hàng http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 17 Câu 10 Dễ thấy cạnh tam giác ABC bawgf nên điểm D = ( a, b,0) phải thỏa mãn a2 + ( b − 1) + = , ( a − 1) + b2 + = , a2 + b2 = Do a = b = 2 Câu 14 A' đối xứng với C qua I nên A' = ( 0;0;2) , đường thẳng AA' trùng với Oz , mặt phẳng bên chứa AA' phải mặt phẳng tọa độ Ozx , Oyz , suy chọn C Câu 15 Hình chiếu M mặt phẳng zx có tọa độ ( a;0; c) thỏa mãn phương trình cho Câu 18 Để ý OA cắt ( P) trọng tâm tam giác tạo giao điểm ( P) với ba trục tọa độ Câu 20 Để ý diện tích hình bình hành bc sin30 Caau Đường thẳng d qua điểm H = (1;1;0) song song với Oz nên khoảng cách cần tìm OH Hoặc tìm điểm I đường thẳng cho I = (1;1; t ) cho AI = (1;1; t − 1) vuông góc với véc tơ phuongf ( 0;0;1) , suy t = nên I = (1;1;1) ; cách dài Câu 22 d qua điểm B = ( 0;0;1) , điểm C = (1;1;0) , tam giác ABC vuông A , AB = , AC = nên đường cao AH = Câu 23 Khoảng cách đường cao tam giác cạnh Câu 25 Hai đường thẳng d, d' song song Câu 26 Đoạn thẳng nối ( 0;0;1) với ( 0;0; −1) đường vng góc chung d, d' Câu 28 Mặt phẳng chứa d song song với d ' có phương trình x + y − 2z = , khoảng cách từ điểm (1;0;0) đến mặt phẳng Câu 29 d d ' song song, đoạn nối điểm ( 0;0;0) với điểm ( 0;1; −1) đường vuông góc chung d d ' ( ) 1    Câu 35 Chọn hệ tọa độ A, AB, AD, AA' P =  1; 0;  , Q =  0; ;1 Từ 2    1  PQ =  −1; ;  AC' = (1;1;1) nên PQ.AC' = 2  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 18 Câu 36 Nếu giải tốn 35 chọn C Nếu không, xét hệ tọa độ trng   35, gọi tọa độ điểm P đường thẳng BB' P = (1;0; t ) PQ =  −1; ,1 − t  Nó   1 vng góc với AC' = (1;1;1) PQ.AC' = tức −1 + + − t = , suy t = 2 Cũng viết phương trình mặt phẳng qua Q vng góc với đường thẳng AC' x + y − + z − = P giao mặt phẳng với đường thẳng BB' nên phương trình cần cho x = , y = suy z = Câu 37 n = (13; −1;3) véc tơ pháp tuyến ( P) , I điểm tùy ý ( P) giá trị vế trái phương trình ( P) A B theo thứ tự n.IA  , n.IB  nên góc hướng n với IA nhọn (kể góc 0), với IB tù (kể góc bẹt), suy hai điểm A, B khác phía ( P) 38 Thử xem bốn điểm cho toa độ, điểm có tọa độ thỏa mãn phương trình mặt phẳng cho, có thử xem véc tơ nối A với điểm có tọa độ tỉ lệ với (1;1;1) (véc tơ pháp tuyến mặt phẳng ) không Loại B thấy D thỏa mãn Cũng tìm tạo độ hình chiếu : giao hai mặt phẳng cho với đường thẳng qua A vng góc với mặt phẳng (nó có phương trình tham số x = 1+ t , y = + t , z = + t ) Câu 39 Thử xem trung điểm JJ ' có tọa độ thỏa mãn phương trình mặt phẳng không thử xem tọa độ JJ ' có tỉ lệ với (1;1; −1) hay khơng Cũng viết J' = ( x; y; z) diễn tả tọa độ hai điều kiện : JJ 'c có tọa độ tỉ lệ với (1;1; −1) , trung điểm JJ ' thuộc ( P) giải hệ hai phương trình Câu 40 Tích véc tơ n = ( 2; −1;1) với n' = (1;1; −1) véc tơ ( 0;3;3) nên chọn véc tơ phương d u = ( 0;1;1) Từ góc d trục Oz 45 Câu 43 ( P) qua điểm ( 0;0;1) , ( 0;1;0) , (1;1;0) nên có véc tơ pháp tuyến ( 0;1;1) ( dùng hình vẽ để thấy nhanh chóng điều này) Câu 44 Khử z hai phương trình (chẳng hạn thay z = −2x + y + từ phương trình thứ vào phương trình thứ 2) 3x − 2y = : phương trình mặt phẳng chứa d vng góc với Oxy Cách khác: đặt x = 2t từ hai phương trình cho tính y = 3t , z = 1− t http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 19 tức d có phương trình tắc có phương trình x y z− = = ; từ mặt phẳng chứa d vng góc với Oxy −1 x y = Câu 45 Chỉ sai bước D k khác 0, từ đẳng thức câu C , thay O M suy MI = kMN Câu 46 Để ý hai đường thẳng cho hai đường thẳng không song song nằm hai mặt phẳng song song với mặt phẳng Oyz , cắt trục OX Câu 47 Để ý d, d' hai đường thẳng khác nhau, cắt điểm (1;0;0) không vng góc với Câu 48 Để ý d d ' hai đường thẳng song song (nằm mặt phẳng Oxy ) Câu 49 d nằm Oxy , d ' song song với Oxy , d d ' không phương cắt trục Oz Câu 50 Nếu hình chiếu điểm M mặt phẳng Oxy P M cách hai trục Ox , Oy có nghĩa P cách hai trục Cũng tính tốn : khoảng cách từ điểm M − ( x; y; z) đến trục Ox đến trục Oy y2 + z2 x2 + z2 Câu 51 Để ý d d ' song song Câu 52 Với điểm M = ( x; y;0) , xét hình chiếu trục Ox dễ thấy khaongr cách từ M đến d ' + y2 xét hình chiếu M trục Oy thấy khoảng cách từ M đến d ' 1+ x2 , suy M thuộc quỹ tích x20 = y2 , z= Câu 55 Do −10  nên phương trình mặt cầu O nằm bên mặt cầu Câu 56 Tâm mặt cầu I = (1;2; −1) , bán kính 2, khoảng cách từ I đến mặt phẳng Câu 58 Mặt cầu có tâm I = ( 2;1; −2) , mặt phẳng cần tìm qua M có véc tơ pháp tuyến IM = ( −1; −2;2) Câu 59 Giá trị vế trái phương trình mặt cầu A số âm nên A nằm bên mặt cầu Câu 60 Điểm ( x; y; z) thuộc quỹ tích x − = y −  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 20 Câu 61 Tâm mặt cầu ( x0 ; y0 ; z0 ) x0 + y0 − 2z0 − 600 = x0 + y0 − 2z0 − suy 2( x0 + y0 − 2z0 ) − − = Câu 62 Mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật nhận O điểm ( a, b, c) làm hai đỉnh đối diện Câu 63 Mặt cầu phải cắt mặt phẳng OAB theo đường tròn đường kính AB , đường tròn nhận trung điểm AB làm tâm Câu 64 ( P) mặt phẳng qua điểm C = ( a; a;0) thuộc mặt cầu, ( P) cắt vng góc mặt phẳng OXY theo đường thẳng qua C vng góc với đường thẳng OC , nên tâm I mặt cầu phải thuộc đường thẳng OC Câu 65 Để ý xét hình lập phương “ngoại tiếp” tứ diện cho (khối lập phương tạo bới điểm ( x; y; z) ,  x  ,  y  1,  z  1) mặt cầu phải mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương Hoặc biết trọng tâm tứ diện cách đỉnh dễ thấy Hoặc viết điều kiện tâm cách đỉnh, dễ giải 1  Câu 66 I = (1;0;0) , I ' =  1;0; −  nên thấy C Dễ thấy D sai, giá trị vế 2  trái phương trình mặt cầu tâm mặt cầu âm nên A B sai Đáp án Câu Đáp án Mức độ Câu Đáp án Mức độ Câu Đáp án Mức độ D 23 D 45 D D 24 B 46 A 3 C 25 D 47 A D 26 D 48 C A 27 B 49 C D 28 D 50 D C 29 B 51 A A 30 C 52 B D 31 D 53 C 10 C 32 B 54 C 11 D C D 33 55 34 56 35 A D D 57 B D B 3 12 13 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 21 14 15 16 17 18 19 20 21 22 C D C B D C B C D 36 2 3 3 37 38 39 40 41 42 43 44 C C D B C D C B C 58 59 60 61 62 63 64 65 66 D C D D C D D B C http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 3 3 4 3 22 ... độ, điểm có tọa độ thỏa mãn phương trình mặt phẳng cho, có thử xem véc tơ nối A với điểm có tọa độ tỉ lệ với (1;1;1) (véc tơ pháp tuyến mặt phẳng ) không Loại B thấy D thỏa mãn Cũng tìm tạo độ. .. Chẳng hạn: Cho mặt phẳng ( P) có phương trình Ax + By + Cz + D = cho biết tọa độ hai điểm phân biệt R, S Biết R, Skhông thuộc ( P) (tọa độ chúng không thỏa mãn phương trình ( P) Làm biết P, Q... phẳng tọa độ tia (tức nửa đường thẳng) B Quỹ tích điểm cách ba mặt phẳng tọa độ đường thẳng C Quỹ tích điểm cách ba mặt phẳng tọa độ bốn đường thẳng D Quỹ tích điểm cách ba mặt phẳng tọa độ tám