BÀI TỐN VẬN DỤNG VỀ KHỐI NĨN – KHỐI TRỤ - KHỐI CẦU  Dạng 129 Bài toán vận dụng khối nón Câu 01 Người ta đặt vào hình nón hai khối cầu có bán kính a 2a cho khối cầu tiếp xúc với mặt xung quanh hình nón, hai khối cầu tiếp xúc với khối cầu lớn tiếp xúc với đáy hình nón Tính bán kính đáy r hình nón cho A r = 8a B r = 2a C r = 2a Lời giải tham khảo D r = 4a A Giả sử thiết diện qua trục hình nón ABC với A đỉnh nón, BC đường kính đáy nón H tâm đáy O1 , O2 tâm mặt cầu lớn nhỏ, tiếp điểm AC với ( O1 ) ( O2 ) Cần O2 D1 , D2 D2 tính r = HC D1 Vì O1 D1 // O2 D2 O1 D1 = 2O2 D2 nên O2 trung điểm O1 AO1  AO1 = 2O1O2 = 2.3a = 6a O1 D1 = 2a , AH = AO1 + O1 H = 8a B H C AD1 = AO12 + O1 D12 = 4a AO1 D1 ∽ ACH  O1 D1 AD1 =  r = CH = 2a CH AH http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Câu 02 Một vật N có dạng hình nón có chiều cao 40 cm Người ta cắt vật N mặt cắt song song với mặt đáy để hình nón nhỏ N tích thể tích N Tính chiều cao h hình nón N B h = 10 cm A h = cm C h = 20 cm D h = 40 cm Lời giải tham khảo Gọi V1 , V2 thể tích N N r1 , r2 bán kính đáy N1 , N ta có: Mặt khác ta có:  r2 h r2 h V2 = = = V1 r1 40  r 40 r2 h = r1 40 Do ta có:  h  h =   =  h = 20 cm  40  40 Câu 03 Một bình đựng nước dạng hình nón (khơng có đáy), đựng đầy nước Biết chiều cao bình gấp lần bán kính đáy Người ta thả vào khối trụ 16 (dm3 ) Biết mặt khối trụ nằm mặt đáy nón (như hình dưới) khối trụ có chiều cao đường kính đáy đo thể tích nước tràn ngồi hình nón Tính diện tích xung quanh Sxq bình nước A Sxq = 9 10 (dm3 ) C Sxq = 4 (dm3 ) B Sxq = 4 10(dm3 ) D Sxq = 4 (dm3 ) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Lời giải tham khảo - Gọi bán kính đáy hình nón R , chiều cao h H A Ta có h = 3R - Chiều cao khối trụ h1 = R , bán kính đáy r - Trong tam giác OHA có H ' A '/ / HA A' H' r H ' A ' OH ' R  = = = r= R HA OH 3 - Thể tích khối trụ V =  r h1 = - Đường sinh 2 R3 16 = R=2 9 hình nón O l = OA = OH + HA2 = 9R2 + R2 = 10 - Diện tích xung quanh Sxq bình nước Sxq =  Rl = 4 10 Câu 04 Khi sản xuất hộp mì tơm, nhà sản xuất để khoảng trống đáy hộp để nước chảy xuống ngấm vào vắt mì, giúp mì chín Hình vẽ mơ tả cấu trúc hộp tơm (hình vẽ mang tính chất minh họa) Vắt mì tơm có hình khối trụ, hộp mì tơm có dạng hình nón cụt cắt hình nón có chiều cao 9cm bán kính đáy cm Nhà sản xuất tìm cách để cho vắt mì tơm http://dethithpt.com – Website chun đề thi – tài liệu file word tích lớn hộp với mục địch thu hút khách hàng Tìm thể tích lớn đó? B V = 54 A V = 36 C V = 48 D V = 81  Lời giải tham khảo Đây thực chất toán khối trụ nội tiếp khối nón, ta có kí hiệu kích thước sau: Ta tích vắt mì tơm tính V = B.h =  r h Đây ứng dụng tốn tìm GTLN, GTNN khoảng (đoạn) xác định: Ta đưa thể tích hàm số biến theo h r Trước tiên ta cần tìm mối liên hệ h r Nhìn vào hình vẽ ta thấy mối quan hệ vng góc song song, dùng định lí Thales ta có: h 6−r 18 − 3r = h= Khi V = f ( r ) =  r 18 − 3r 3 r =− + 9 r với  r  2 r = f ' ( r ) = −  r + 18 r =   r = Khi ta khơng cần phải vẽ BBT ta suy với r = V đạt GTLN, V = 48 Câu 05 Hồn có bìa hình tròn hình vẽ, Hồn muốn biến hình tròn thành hình phễu hình nón Khi Hồn phải cắt bỏ hình quạt tròn AOB dán hai bán kính OA OB lại với (diện tích chỗ dán nhỏ khơng đáng kể) Gọi x góc tâm hình quạt tròn dùng làm phễu Tìm x để thể tích phễu lớn http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word A x =  B x =  C x =  D x =  Lời giải tham khảo r xO A, B h R R B A O lAB = Rx; r = Rx 2 ( 1 V =  R2 h = R3 x4 (4 − x2 ) = R3 x2 8 − 2x2 2 24 24 2 ) 6 Để V lớn x2 = 8 − 2x2  x = Câu 06 Cho hình nón tròn xoay có đỉnh S đáy đường tròn C ( O; R ) với R = a ( a  ) , SO = 2a, O  SO thỏa mãn OO = x (  x  2a ) , mặt phẳng ( ) vuông góc với SO O cắt hình nón tròn xoay theo giao tuyến đường tròn ( C  ) Tìm x để thể tích khối nón đỉnh O đáy đường tròn ( C  ) đạt giá trị lớn A x = a B x = a C x = a D x = 2a Lời giải tham khảo Theo Định lý Ta-lét R 2a − x R = Suy R = ( 2a − x ) R 2a 2a Khi thể tích khối nón đỉnh O đáy đường tròn ( C  ) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 2 R   R2 V =  x  ( 2a − x )  = x ( 2a − x ) 12a  2a  Xét f ( x ) = x ( 2a − x ) ( 0; 2a ) ta có f ( x ) đạt giá trị lớn x = 2a Câu 07 Giá trị lớn Vmax thể tích khối nón nội tiếp khối cầu có bán kính R A Vmax =  R3 C Vmax =  R3 B Vmax =  R3 D Vmax = 32  R3 81 Lời giải tham khảo Gọi bán kính đáy khối nón a  a  R Ta có ) ( ) (  R3 a V   a R + R2 − a = t + − t với t =  (0; 1] 3 R ( Xét hàm số f (t ) = t + − t ) ( 0; 1 thu kết Câu 08 Một đĩa tròn thép trắng có bán kính R Người ta phải cắt đĩa theo hình quạt, sau gấp lại thành hình nón để làm phễu Cung tròn  hình quạt bị cắt phải độ để thể tích phễu lớn nhất? A   66o C   12, 56o B   294o D   2, 8o Lời giải tham khảo Gọi x độ dài đường tròn đáy phễu (bằng chu vi đĩa tròn trừ độ dài cung hình quạt bị cắt đi)  x = 2 r  r = x ( r bán kính đường tròn đáy hình nón) 2 Đường sinh hình nón bán kính đĩa R Đường cao hình nón: h = R2 − r = R2 − x2 x2 x2  V =  r h =  R − 3 4 4 4 Khảo sát hàm V ta tìm V đạt GTLN x = 2 R http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 2 R  = Suy ra, độ dài cung hình quạt bị cắt là: 2 R − 2 R 360  66 o 2 R 2 R −  Dạng 130 Bài toán vận dụng khối trụ Câu 09 Cần phải thiết kế thùng dạng hình trụ có nắp đậy để đựng nước sạc có dung ( ) tích V cm3 Hỏi bán kính R đáy trụ nhận giá trị sau để tiết kiệm vật liệu nhất? A R = V 4 B R = V  C R = 3V 2 D R = V 2 Lời giải tham khảo Bài toán yêu cầu xác định giá trị bán kính đáy R , cho Stp nhỏ Gọi h chiều cao hình trụ, ta có: V =  R2 h  V   V V  V2 Stp = 2.Sd + Sxq = 2 R2 +  Rh = 2  + R2  = 2  + + R2   6 4 R   2 R 2 R  Dấu “=” xảy ta có R = V 2 Câu 10 Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ, nhà thiết kế ln đặt mục tiêu cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon nhất, tức diện tích tồn phần hình trụ nhỏ Hỏi muốn thể tích khối trụ diện tích tồn phần phần hình trụ nhỏ bán kính R đáy gần số nhất? A R = 0, B R = 0, C R = 0, D R = 0,7 Lời giải tham khảo Bài toán yêu cầu xác định giá trị bán kính đáy R , cho Stp nhỏ Gọi h chiều cao hình trụ, ta có: =  R2 h    2  Stp = 2.Sd + Sxq = 2 R2 +  Rh = 2  + R2  = 2  + + R2   6 4 R   2 R 2 R  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Dấu “=” xảy ta có R = = 2  Câu 11 Một nhà sản xuất cần thiết kế thùng sơn dạng hình trụ có nắp đậy với dung tích 10000 cm3 Biết bán kính nắp đậy cho nhà sản xuất tiết kiệm nguyên vật liệu có giá trị  Hỏi giá trị  gần với giá trị đây? A a  11.677 C a  11.676 B a  11.674 D a  11.675 Lời giải tham khảo Ta có: Để tiết kiệm ngun liệu diện tích tồn phần trụ phải bé hình a Diện tích tồn phần hình trụ là: Stp = Sxq + 2.Sd = 2 R.l + 2 R2 = 2 a.l + 2 a2 Thể tích hình trụ 10000 cm3 nên ta có: ( R ) l = 10000  l = 10000  R 2  Stp = 2 a 10000 20000 + 2 a2 = + 2 a2 a a Ta cần tìm giá trị nhỏ hàm số y = y' = 20000 + 2 a2 a −20000 + 4 a a2 y ' =  −20000 + 4 a3 =  a3 = 5000  a= 5000  Câu 12 Trong ngày trung thu, bố bạn Nam đem cho bạn Nam bánh trung thu Nam vui vẻ điều đó, nhiên để kích thích tinh thần toán học bạn Nam, bố bạn Nam đưa toán sau: Giả sử bánh có hình trụ đứng, đày http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word hình tròn đường kính 12 cm , chiều cao cm Bạn Nam phải cắt bánh thành phần nhau, cách cắt phải tuân thủ quy tắc Nam cắt hai nhát, mặt phẳng nhát dao phải vng góc với đáy song song với Như vậy, theo cách cắt có hai miếng giống việc khác hình thù, miếng có chung thể tích Hỏi khoảng cách mặt phẳng nhát cắt gần với giá trị ? A 3, cm B cm C 3, cm D 3, 44 cm Lời giải tham khảo Thực chất tồn chai hình tròn thành phần hình vẽ: Vì miếng bánh có chiều cao nên diện tích đáy miếng bánh phải diện tích bánh ban đầu Trong hình vẽ ta có OA = OB = S1 = S2 = S3 =  OA2 = 12 Đặt AOB =   ( 0,  ) ta có: S1 + SOAB = SOAB OA2   12 + OA.OB.sin  =  2  12 + 18 sin  = 18 Sử dụng chức SHIFT SOLVE máy tính ta tìm giá trị   2, 605325675 Khoảng cách nhát dao x = OA.cos  2  3,179185015 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Câu 13 Một hình trụ tròn xoay bán kính R = Trên đường tròn đáy ( O ) ( O ’) lấy A B cho AB = góc AB trục OO’ 300 Xét hai khẳng định: (I) : Khoảng cách O’O AB ( II ) : Thể tích khối trụ V =  Mệnh đề sau đúng? A Chỉ ( I ) B Chỉ ( II ) C Cả ( I ) ( II ) sai D Cả ( I ) ( II ) Lời giải tham khảo O' R B Kẻ đường sinh BC OO’ // ( ABC ) Vì ( ABC ) vng góc với ( OAC ) 30° nên kẻ OH ⊥ AC OH ⊥ ( ABC ) Vậy d ( OO, AB ) = OH O H ABC : BC = AB.cos 300 = 3; AC = AB.sin 300 = 1, OAC tam giác đều, có cạnh 1, nên OH = C A V =  R2 h nên ( II ) : ( I ) Câu 14 Một miếng bìa hình chữ nhật có kính thước 2a 4a Uốn cong bìa theo bề rộng (hình vẽ) để hình trụ khơng đáy Ký hiệu V thể tích khối trụ tạo Mệnh đề sau đúng? A V = 4 a B V = 16 a C V = 4a3  a3 D V = 16 Lời giải tham khảo http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 4a 4a 10 Chu vi đáy 2a = 2 R Ta tính R = V= 4a3  a  Chiều cao h = 4a , từ ta tính Câu 15 Một người gò nhơm hình chử nhật có chiều dài m chiều rộng m thành thùng hình trụ đặt nhà để đựng lúa Nếu gò nhơm theo chiều dài (Trục đứng chiều rộng) số lúa đựng so với nhơm gò theo chiều rộng (Trục đứng chiều dài)? 2m 4m Gò theo chiều rộng Gò theo chiều dài A Số lúa đựng B Số lúa đựng C Số lúa đựng gấp hai lần D Số lúa đựng gấp bốn lần Lời giải tham khảo Gọi R bán kinh dường tròn đáy gò nhơm theo chiều dài: 2 = 2R, ta R = , V1 =    =     (m ) Gọi R ' bán kinh dường tròn đáy gò nhơm theo chiều rộng: ta có http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 11 1 R = Ta V2 =    =     ( m ) Vậy V = V 2 Câu 16 Bé Thảo có bìa có chiều dài 20 cm, chiều rộng cm Bé muốn gấp hộp nhỏ xinh để bỏ kẹp tóc vào hộp tặng quà cho mẹ ngày 20 tháng 10 Anh Phương cho bé hai cách gấp hộp Cách thứ nhất: bé bìa thành hộp hình trụ khơng có đáy tích V1 Cách thứ hai: bé gập bìa hình hộp chữ nhật tích V2 có kích thước hình vẽ Hãy tìm tỉ số thể tích hộp để biết gấp theo cách tích lớn A V1 = V2  B V1 = 4 V2 C V1 = V2 D V1 = V2 Lời giải tham khảo Chiều dài bìa 20 cm tức chu vi đáy hộp hình trụ đáp hộp hình hộp 20 cm Do khối có chiều cao nên tỉ số thể tích tính theo tỉ số diện tích đáy hai hình Để tính diện tích hình tròn đáy khối hộp hình trụ, ta phải tìm bán kính đáy Theo giả thiết chu vi cho 20 = 2 R  R = 10  Khi S1 =  R2 =  100  = 100  Diện tích đáy hình hộp S2 = 5.5 = 25 Khi V1 100 = ; 25 = V2   Câu 17 Người ta xếp viên bi có bán kính r vào lọ hình trụ cho tất viên bi tiếp xúc với đáy, viên bi nằm tiếp xúc với viên bi xung quanh viên bi xung quanh tiếp xúc với đường sinh lọ hình trụ Tính http://dethithpt.com – Website chun đề thi – tài liệu file word 12 diện tích đáy lọ hình trụ A 16 r C 9 r B 18 r D 36 r Lời giải tham khảo Theo giả thiết ta có bán kính đường tròn đáy R = 3r  Diện tích đáy hình trụ: S =  R2 = 9 r Câu 18 Từ 37, 26 cm3 thủy tinh Người ta làm cốc hình trụ có đường kính cm với đáy cốc dày 1, cm , thành xung quanh cốc dày 0, cm Tính chiều cao cốc A 10 cm B cm C 15 cm D 12 cm Lời giải tham khảo Thể tích đáy V =  16.1, = 24 cm3 Phần thủy tinh làm thành cốc là: 37, 26 cm3 − 24 cm3 = 13, 26 cm3 Gọi chiều cao thành cốc khơng kể đáy x ta có x = 13, 26 16 − ( 3, ) = 8, Vậy chiều cao cốc là: 8, + 1, = 10 cm Câu 19 Người ta cần đổ ống bi nước hình trụ với chiều cao 200 cm độ dày thành bi 10 cm đường kính bi 60 cm Tính lượng bê tơng cần phải đổ bi A 0,1 m3 B 0,18 m3 C 0,14 m3 D V =  m3 Lời giải tham khảo ( ) Lượng bê tông cần đổ là:  h( R2 − r ) =  200 302 − 20 =  100000cm3 = 0,1 m3 Câu 20 Một đội xây dựng cần hồn thiện hệ thống cột tròn cửa hàng kinh doanh gồm 17 Trước hoàn thiện cột khối bê tơng cốt thép hình lặng tự luc giác có cạnh 14 cm; sau hoàn thiện (bằng cách trát thêm vữa tổng hợp vào xung quanh) cột khối trụ có đường kính đáy 30 cm Biết chiều cao cột trước sau hồn thiện 390 cm Tính lượng vữa hỗn hợp http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 13 cần dùng (tính theo đơn vị m3, làm tròn đến chữ số thập phân sau dấu phẩy) A 1, m3 B 2, m3 D 1, m3 C 1, m3 Lời giải tham khảo Với cột bê tông hình lăng trụ: Đáy cột hình lục giác có diện tích tam giác cạnh 14 cm , tam giác có diện tích ( 142 cm3 ) Với cột bê tơng trái vữa hình trụ: Đáy cột hình tròn bán kính 15 cm nên có diện ( tích 152  cm2 ) Số lượng vữa cần trát thêm vào tất 17 cột, cột cao 290 cm là:  142  3 17.390  152  −  = 1, 31.10 cm = 1, 31m     Dạng 131 Bài toán vận dụng khối cầu Câu 21 Khi thiết kế vỏ lon sữa bò hình trụ nhà thiết kế đặt mục tiêu cho chi phí làm vỏ lon nhỏ Muốn thể tích khối trụ V mà diện tích tồn phần hình trụ nhỏ bán kính R đường tròn đáy khối trụ bao nhiêu? A V 2 B V  C V 2 D V  Lời giải tham khảo Ta có : V =  R2 h  h = Xét hàm: f ( x ) = V 2V ; Stp = 2 Rh + 2 R2 = + 2 R2 R  R 2V + 2 x2 x Ta có f ( x ) đạt Min x = V 2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 14 Câu 22 Cho hình lăng trụ tam giác có chín cạnh a Tính thể tích V khối cầu ngoại tiếp hình lăng trụ A V = 7 a3 21 54 B V = 7 a3 54 C V = 7 a3 54 D V = 7 a3 21 18 Lời giải tham khảo 2 7 a3 21 a  a  a 21 Ta có R =   +  Suy V =  R = =  54 2   Câu 23 Cho hình chóp S.ABC có SA = a , AB = a , AC = a , SA vng góc với đáy đường trung tuyến AM tam giác ABC a Gọi ( S ) mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Tính thể tích V khối cầu tạo mặt cầu ( S ) A V =  6a3 B V =  2a3 C V =  3a3 D V =  6a3 Lời giải tham khảo Từ cơng thức tính độ dài trung tuyến ta suy được: B = a  SABC = a Gọi r bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ta có: r = BA.AC.BC =a 4.SABC  SA  Gọi R bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC ta có: R =   +r =   a  Thể tích khối cầu: V =  6.a3 Câu 24 Gọi S1 diện tích tồn phần hình hộp chữ nhật (tổng diện tích mặt ), S2 diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật Tính giá trị nhỏ tỷ số S2 S1 A B C  D 3 Lời giải tham khảo http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 15 Hướng dẫn: Gọi kích thước hình hộp chữ a , b , c Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật R = a2 + b2 + c 2 ( ) S1 = ( ab + bc + ca ) , S2 = a2 + b2 + c Ta có Vậy giá trị nhỏ S2   S1 S2  S1 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 16 ĐÁP ÁN TỐN THỰC TẾ: NĨN - TRỤ - CẦU 01C 02C 03B 04C 05A 06D 07A 08A 09C 10D 11D 12C 13D 14C 15C 16A 17C 18A 19A 20A 21A 22A 23A 24C http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 17 ... đề thi – tài liệu file word Lời giải tham khảo - Gọi bán kính đáy hình nón R , chi u cao h H A Ta có h = 3R - Chi u cao khối trụ h1 = R , bán kính đáy r - Trong tam giác OHA có H ' A '/ / HA A'... theo chi u rộng: ta có http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 11 1 R = Ta V2 =    =     ( m ) Vậy V = V 2 Câu 16 Bé Thảo có bìa có chi u dài 20 cm, chi u... A R = 0, B R = 0, C R = 0, D R = 0,7 Lời giải tham khảo Bài toán yêu cầu xác định giá trị bán kính đáy R , cho Stp nhỏ Gọi h chi u cao hình trụ, ta có: =  R2 h    2  Stp = 2.Sd + Sxq