ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN d Biên soạn: Vũ Hồng Quý Bài tốn Cho hình vng có cạnh Tại bốn đỉnh người ta vẽ bốn đường tròn có bán kính 1cm Tính thể tích phần tơ màu quay hình phẳng xung quanh trục 20 B V = 102 + A V = 62 + 16 C V = 82 + 44  D V = 62 + 52 Bài tốn 2.Một hình xuyến dạng phao có kích thước hình vẽ Tính thể tích hình theo R r A V = 22 r 2R B V = 22 rR2 C V = 2 r 2R D V = 2 rR2 Bài toán Cho khối chỏm cầu (S ) có bán kính R chiều cao h Tính thể tích V khối chỏm cầu (S) h    h  B V = h2  R −  3  h  C V = h2  R +  2  h  D V = h2  R −  2  A V = h2  R +  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Bài toán (Sở GD Hà Tĩnh) Ta vẽ nửa đường tròn hình vẽ bên, đường kính đường tròn lớn gấp đơi đường kính nửa đường tròn nhỏ Biết nửa hình tròn đường kính AB có diện tích 32 BAC = 300 Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành quay hình phẳng (H) (phần tô đậm) xung quanh đường thẳng AB A 620  C 279 B 784  D 325  Bài toán (Quốc học Huế-L2) Người ta dựng lều vải (H) có dạng hình “chóp lục giác cong đều” hình vẽ bên Đáy (H) hình lục giác cạnh 3m Chiều cao = 6m (SO vng góc với mặt phẳng đáy) Các cạnh bên (H) sợi dây C1,C2 ,C3 ,C4 ,C5 ,C6 nằm đường parabol có trục đối xứng song song với SO Giả sử giao tuyến (nếu có) (H) với mặt phẳng (P) qua trung điểm SO lục giác có cạnh 1m Tính thể tích phần khơng gian nằm bên lều (H) A 135 3 (m ) B 96 3 (m ) C 135 3 (m ) D 135 3 (m ) Bài toán (Sở GD Vĩnh Phúc): Một thùng đựng nước có dạng hình trụ có chiều cao h bán kính đáy R Khi đặt thùng nước nằm ngang hình khoảng cách từ trục hình trụ tới mặt nước R (mặt nước thấp trục hình trụ) Khi đặt thùng nước thẳng đứng hình chiều cao mực nước thùng h2 Tính tỉ số A 2 − 13 12 B − h1 h C 2 − 12 D http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Bài toán Câu lạc bóng đá AS Roma dự định xây dựng SVĐ có tên Stadio della Roma để làm sân nhà đội bóng thay cho sân bóng Olimpico Hệ thống mái SVĐ Stadio della Roma dự định xây dựng có dạng hai hình elip hình bên với hình elip lớn bên ngồi có độ dài trục lớn 146 mét, độ dài trục nhỏ 108 mét, hình elip nhỏ bên có độ dài trục lớn 110 mét, độ dài trục nhỏ 72 mét Giả sử chi phí vật liệu 100 ϵ mét vng Tính chi phí cần thiết để xây dựng hệ thống mái sân A 98100 ϵ B 98100 ϵ C 196200 ϵ D 196200 ϵ Bài toán Một khối nón (N) có bán kính đáy r, thiết diện qua đỉnh vng góc với mặt phẳng đáy tam giác Cắt khối nón mặt phẳng qua đường kính đáy vng góc với đường sinh khối nón để lấy nêm (xem hình vẽ) Kí hiệu V thể tích nêm Thể tích V ? A V = r3 B V = r3 C V = r 3 D V = r 3 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ĐÁP ÁN 1-D 2-A 3-B 4-B 5-D 6-A 7-D 8-A LỜI GIẢI CHI TIẾT Bài tốn Cho hình vng có cạnh Tại bốn đỉnh người ta vẽ bốn đường tròn có bán kính 1cm Tính thể tích phần tơ màu quay hình phẳng xung quanh trục B V = 102 + A V = 62 + 16 C V = 82 + 44  D V = 62 + 20 52 Hướng dẫn giải Trước đến với lời giải toán giải Bài toán sau: Bài toán Một hình xuyến dạng phao có kích thước hình vẽ Tính thể tích hình theo R r C V = 2 r 2R Hướng dẫn giải B V = 22 rR2 A V = 22 r 2R D V = 2 rR2 Xét hệ trục toạ độ Oxy hình vẽ Khi hình xuyến dạng phao tạo ta quay đường tròn tâm (O;R) bán kính r xung quanh trục Ox y = R + r − x  Phương trình đường tròn x + (y − R)2   y = R − r − x r (  V =   R + r − x2 −r ) (  −  R − r − x2  )  2  dx = 4R  r − x dx  −r r http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word    −r→ r→ Đặt x = r sint  dx = r costdt ⎯⎯⎯→ V = 4R  (r cost)2 −  2 sin2t = 2r R  (1 + cos2t)dt = 2r 2R(t + = 22 r 2R → Đáp án A     − −   Vậy ta có cơng thức tính thể tích hình xuyến dạng phao có kích thước hình vẽ là: V = 22 r2R Quay trở lại với Bài tốn ta có vật thể tạo thành quay hình phẳng xung quanh trục XY có hình dạng hình bên Khi thể tích vật thể tạo thành tổng thể tích hình trụ có bán kính R = , chiều cao h = hình xuyến dạng phao có R = 2, r = trừ lần thể tích nửa bên hình xuyến dạng phao có R = 2, r = Vậy V(H) = .22.4 + 2.22 12.2 − V ' = 82 + 16 − V ' Với V’ thể tích nửa bên hình xuyến dạng phao có R = 2, r =  V’ thể tích nửa hình tròn tâm (I) , bán kính r = quay xung quanh trục Ox hình vẽ  ( V ' =   22 − − − x −1 ) ) ( dx =   x − + − x dx = 22 −  −1 (Cách tính tương tự tính thể tích phao trên)   52 → Đáp án D Vậy V(H) = 82 + 16 −  22 −   = 62 +   Bài toán Cho khối chỏm cầu (S ) có bán kính R chiều cao h Tính thể tích V khối chỏm cầu (S) h    h   B V = h2  R −    h   C V = h2  R +  2  A V = h2  R +  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word   h D V = h2  R −   Hướng dẫn giải Ta có khối chỏm cầu thu quay hình phẳng giới hạn y = R2 − x quay quanh trục x  x = R − h,(0  h  R) R  x2  R  V(S) =   (R2 − x )dx =   R2x −   R−h  R− h  R3 (R − h)3  h 2 =   R3 − − R2 (R − h) +  = h  R −  3  3   → Đáp án B Chú ý: Ta mở rộng cơng thức đề cho kiện theo  h B 784  D 325  h cách khác: V = h2  R −  = (h2 + 3r ) (với r bán kính đường 3  tròn đáy chỏm cầu) Bài tốn (Sở GD Hà Tĩnh) Ta vẽ nửa đường tròn hình vẽ bên, đường kính đường tròn lớn gấp đơi đường kính nửa đường tròn nhỏ Biết nửa hình tròn đường kính AB có diện tích 32 BAC = 300 Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành quay hình phẳng (H) (phần tô đậm) xung quanh đường thẳng AB A 620  C 279 Hướng dẫn giải Cách Dựng hệ trục toạ độ hình vẽ Ta có: R S = 32  R2 = 64  R =  r = = 2  (C) : y = 64 − (x − 8)   (C') : y = 16 − (x − 4) BAC = 300  BAC = 300  Phương trình đường thẳng AC : y = x.tan300  y = x Vậy thể tích vật thể cần tính là: 16  12 x2  casio 784 V =    dx +  64 − (x − 8)2 dx −  16 − (x − 4)2 dx  ⎯⎯⎯ →  12   → Đáp án B ( ) ( ) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Cách Ta tích vật thể cần tính tổng thể tích khối nón cụt có bán kính đáy lớn R = , bán kính đáy nhỏ r = , chiều cao h = khối chỏm cầu có chiều cao h = , bán kính R = trừ thể tích khối chỏm cầu có chiều cao h = , bán kính R = 1 ( )  4   784  → Đáp án B Vậy suy V =   (4 3)2 + 3.2 + (2 3) 42  −  − 22  −   = 3    3 Bài toán (Quốc học Huế-L2) Người ta dựng lều vải (H) có dạng hình “chóp lục giác cong đều” hình vẽ bên Đáy (H) hình lục giác cạnh 3m Chiều cao = 6m (SO vng góc với mặt phẳng đáy) Các cạnh bên (H) sợi dây C1,C2 ,C3 ,C4 ,C5 ,C6 nằm đường parabol có trục đối xứng song song với SO Giả sử giao tuyến (nếu có) (H) với mặt phẳng (P) qua trung điểm SO lục giác có cạnh 1m Tính thể tích phần khơng gian nằm bên lều (H) A 135 3 (m ) B 96 3 (m ) C 135 3 (m ) D 135 3 (m ) Hướng dẫn giải Chọn hệ trục toạ độ Oxy hình vẽ Gọi phương trình parabol ( C1 ) là:  a = 0 = 9a + 3b + c  7   y = ax + bx + c  3 = a + b + c  b = −  y = x − x + 2 6 = c   c =   Khi cắt (H) mặt phẳng vng góc với trục Oy điểm có tung độ y, (  y  ) ta thiết diện hình lục giác có độ dài cạnh x xác định y = x − x + Do − + 8y x 3  − + 8y  0 y   x =  S(y) = =     http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 3  − + 8y  135 3 Vậy thể tích túp lều là: V =  (m ) → Đáp án D   dy = 2   Bài toán (Sở GD Vĩnh Phúc): Một thùng đựng nước có dạng hình trụ có chiều cao h bán kính đáy R Khi đặt thùng nước nằm ngang hình khoảng cách từ trục R (mặt nước thấp trục hình trụ tới mặt nước hình trụ) Khi đặt thùng nước thẳng đứng hình chiều cao mực nước thùng h2 Tính tỉ số A 2 − 13 12 h1 h − B C 2 − 12 D Hướng dẫn giải Thể tích lượng nước có thùng hình là: V = S.h Thể tích lượng nước có thùng hình là: V ' = S'.h1 Do V = V '  h1 S S = = h S' R2 Trong S diện tích chỏm cầu hình bên R  S = 2  R2 − x dx R Đặt x = R→ t =   x = Rsint  dx = Rcostdt ⎯⎯⎯⎯⎯ → s = 2  Rcost R2 − (Rsint)2 dx R  x= →t =  3   2 − 3  + cos2t t sin2t  2 = 2 (Rcost)2 dx = 2R2  dx = 2R2  + = R2    12   2     3   ( R2 2 − 3 h S Vậy suy = = h R 12 R2 ) = 2 − 3 → Đáp án A 12 Chú ý: Ta có CT tính nhanh diện tích, thể tích chỏm cầu (S) có bán kính R chiều cao h sau:  h  2 S = R  −  − R cos  h    với  = arcsin  R V = h2  R − h     3  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Bài tốn Câu lạc bóng đá AS Roma dự định xây dựng SVĐ có tên Stadio della Roma để làm sân nhà đội bóng thay cho sân bóng Olimpico Hệ thống mái SVĐ Stadio della Roma dự định xây dựng có dạng hai hình elip hình bên với hình elip lớn bên ngồi có độ dài trục lớn 146 mét, độ dài trục nhỏ 108 mét, hình elip nhỏ bên có độ dài trục lớn 110 mét, độ dài trục nhỏ 72 mét Giả sử chi phí vật liệu 100 ϵ mét vng Tính chi phí cần thiết để xây dựng hệ thống mái sân A 98100 ϵ B 98100 ϵ C 196200 ϵ D 196200 ϵ Hướng dẫn giải Cách 1: Dùng ứng dụng tích phân Hình elip lớn có độ dài trục lớn 146m, độ dài trục nhỏ 108m a = 73 x2 y2 x2   PT (E1 ) : + =  y = 54 − 73 54 73 b = 54 Hình elip nhỏ có độ dài trục lớn 110m, độ dài trục nhỏ 72m a = 55 x2 y2 x2   PT (E2 ) : + =  Y = 36 − 55 36 55 b = 36 Do tính đối xứng hình elip nên ta có diện tích hệ thống mái SVĐ là: 55  73  casio x2 x2 S = 4  54 − dx −  36 − dx −  ⎯⎯⎯ → S = 1962(m2 ) 0  73 55    Chi phí cần thiết để xây dựng hệ thống mái sân 196200 (ϵ) → Đáp án D Cách 2: Áp dụng CT tính diện tích hình elip S = ab a = 73  S1 = .73.54 = 3942(m2 ) b = 54  +) Hình elip lớn có  a = 55  S2 = .55.36 = 1980(m2 ) b = 36  +) Hình elip nhỏ có  Vậy diện tích hệ thống mái SVĐ là: S = S1 = S2 = 1962(m2 )  Chi phí cần thiết để xây dựng hệ thống mái sân 100S = 196200 (ϵ)→ Đáp án D http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Bài toán Một khối nón (N) có bán kính đáy r, thiết diện qua đỉnh vng góc với mặt phẳng đáy tam giác Cắt khối nón mặt phẳng qua đường kính đáy vng góc với đường sinh khối nón để lấy nêm (xem hình vẽ) Kí hiệu V thể tích nêm Thể tích V ? A V = r3 B V = r3 C V = r 3 D V = r 3 Hướng dẫn giải Chọn hệ trục toạ độ Oxyz hình vẽ cắt nêm mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hoành độ x ta thiết diện tam giác vng ABC hình vẽ r  Thể tích V nêm cần tính là: V =  S(x)dx với −r S(x) = SABC ABC vuông B  SABC = AB.BC OAC vuông A  AC = r − x2 1  BC = AC = r − x   SABC = (r − x ) 2 AB = AC.sin60' = r −x  r Vậy V =  S(x)dx = −r r 3 x3  r r3 2 (r − x )dx = r x − = → Đáp án A   −r   −r http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ... thể tích nêm Thể tích V ? A V = r3 B V = r3 C V = r 3 D V = r 3 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ĐÁP ÁN 1-D 2-A 3-B 4-B 5-D 6-A 7-D 8-A LỜI GIẢI CHI TIẾT Bài. .. + 20 52 Hướng dẫn giải Trước đến với lời giải toán giải Bài toán sau: Bài tốn Một hình xuyến dạng phao có kích thước hình vẽ Tính thể tích hình theo R r C V = 2 r 2R Hướng dẫn giải B V =... liệu file word Cách Ta tích vật thể cần tính tổng thể tích khối nón cụt có bán kính đáy lớn R = , bán kính đáy nhỏ r = , chi u cao h = khối chỏm cầu có chi u cao h = , bán kính R = trừ thể tích