Hướng dẫn giải số tập số phức mức độ vận dụng cao Bài 1: Cho số phức z thoả mãn z = Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = z + + z − z + Tính giá trị M.n A 13 B 39 C 3 D 13 ➢ Cách 1: Re(z) phần thực số phức z, Im(z) phần ảo số phức z, z =  z.z = ❖ Đặt t = z + , ta có: = z −  z +  z + =  t  0;2 ( ) ❖ t = (1 + z ) + z = + z.z + z + z = + Re( z )  Re( z ) = t2 − 2 ❖ z − z + = z − z + z.z = z z − + z = t − ❖ Xét hàm số: f (t ) = t + t − , t   0; 2 Xét TH:  Maxf (t ) = 13 13 ; Minf (t ) =  M n = 4 ➢ Cách 2: ❖ z = r (cos x + i s inx) = a + bi  z.z = z = ❖ Do z =   r = a + b2 = ❖ P = + 2cos x + 2cos x − , dặt t = cos x   −1;1  f (t ) = + 2t + 2t −  1 ❖ TH1: t   −1;   2 max f (t ) = f (1) =  f '(t ) = +20 1 + 2t min f (t ) = f   =    1  ❖ TH2: t   ;1 2    13 − =  t = −  max f (t ) = f  −  = + 2t  8 f '(t ) =  Maxf (t ) = 13 ; Minf (t ) =  M n = 13 Bài 2: Cho số phức z thoả mãn z − − 4i = Gọi M m giá trị lớn giá trị biểu thức P = z + − z − i Tính module số phức w = M + mi 2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Hướng dẫn giải số tập số phức mức độ vận dụng cao A w = 314 C w = 137 B w = 1258 D w = 309 ➢ Cách 1: ❖ P = 4x + y +  y = P − 4x − 2 2  P − 4x −  ❖ z − − 4i =  ( x − 3) + ( y − ) =  ( x − 3) +  −  − = f ( x)   ❖ f '( x) = 8( x − 3) − 8( P − x − 11) =  x = 0, P − 1,  y = 0,1P + 1,  P = 33 ❖ Thay vào f ( x ) ta được: ( 0, P − 1, − 3) + (0,1P + 1, − 4) − =    P = 13 ➢ Cách 2: ❖ z − − 4i =  ( x − 3) + ( y − ) = : (C ) ❖ (  ) : 4x + y + − P = ❖ Tìm P cho dường thẳng ∆ đường tròn (C) có điểm chung  d ( I ; )  R  23 − P  10  13  P  33 ❖ Vậy MaxP = 33; MinP = 13 ❖ w = 33 + 13i  w = 1258 Bài 3: Cho số phức z thoả mãn z = Tìm giá trị lớn biểu thức P = z + + z − B Pmax = 10 A Pmax = D Pmax = C Pmax = ➢ Giải: Theo BĐT Bunhiacopxki: ( ❖ P = z + + z −  (12 + 22 ) z + + z − 2 ) = 10 ( z + 1) = 2 Bài 4: Cho số phức z = x + yi ( x, y  R) thoả mãn z − − 4i = z − 2i m = z Tính module số phức w = m − ( x + y )i B w = A w = C w = D w = ➢ Cách 1: ❖ z − − 4i = z − 2i  x + y = ❖ z = x +y  2 ( x + y) 2 = 42 =2 2 x + y = x =   w = 2 − 4i  w = ❖ z = 2 , Dấu “=” xảy  y = x = y http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Hướng dẫn giải số tập số phức mức độ vận dụng cao Chú ý: Với x, y số thực ta có: x + y  ( x + y)2 Dấu “=” xảy x = y ➢ Cách 2: ❖ z − − 4i = z − 2i  y = − x ❖ z = x2 + y = x + (4 − x)2 = 2( x − 2)2 +  2 x + y = x = ❖ z = 2 Dấu “=” xảy    w = 2 − 4i  w = y = x = Bài 5: Cho số phức z = x + yi ( x, y  R) thoả mãn z + i + = z − 2i Tìm môđun nhỏ z C z = B z = A z = D z = ➢ Cách 1: ❖ z + i + = z − 2i  x − y = ❖ x2 + y  ( x − y)2 = 2 1 = 2 ❖ z = x2 + y  Chú ý: Với x, y số thực ta có: x + y  ( x − y )2 ➢ Cách 2: ❖ z + i + = z − 2i  y = x − 1 1  = ❖ z = x + y = x + ( x − 1)2 =  x −  +  2 2  ❖ Vậy z = Bài : Cho số phức z thoả mãn z = Gọi M m giá trị lớn nhỏ biểu thức P = z + 3z + z − z + z Tính M + m A B 13 C D 15 Sáng tác: Phạm Minh Tuấn ➢ Cách 1: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Hướng dẫn giải số tập số phức mức độ vận dụng cao ❖ Ta có: z =  z.z = ❖ Đặt t = z + z   0; 2  t = ( z + z )( z + z ) = z + z.z + z = + z + z 2 ❖ z + 3z + z = z z + + z = t + = t +  1 3 ❖ P = t − t +1   t −  +   2 4 ❖ Vậy P = ; max P = t = ❖ M +n= 15 ➢ Cách 2: Cách bạn Trịnh Văn Thoại ❖ P = z + 3z + z − z + z = ❖ P = z + z +1− z + z  z + 3z + z z ( ) − z + z = z2 + + z − z + z = z + z +1 − z + z Đến bạn tự tìm max Bài 7: Cho số phức a, b, c, z thoả az + bz + c = 0(a  0) Gọi z1 z2 hai nghiệm phương trình bậc hai cho Tính giá trị biểu thức P = z1 + z2 + z1 − z2 − ( z1 − z2 A P = B P = c a C P = ) c a c D P = a c a ➢ Giải: ( ) ( ) ❖ Ta có: z1 + z2 + z1 − z2 = ( z1 + z2 ) z1 + z2 + ( z1 − z2 ) z1 − z2 = z1 + z2 2 2 ❖ Khi đó: P = z1 z2 ❖ Ta lại có: z1 z2 = c c  P = z1 z2 = a a Bài 8: Cho số phức z1, z2, z3 thoả mãn z1 + z2 + z3 = z1 = z2 = z3 = Mệnh đề đúng? A z1 + z2 + z2 + z3 + z3 + z1 số ảo 2 B z1 + z2 + z2 + z3 + z3 + z1 số nguyên tố 2 C z1 + z2 + z2 + z3 + z3 + z1 số thực âm 2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Hướng dẫn giải số tập số phức mức độ vận dụng cao D z1 + z2 + z2 + z3 + z3 + z1 số 2 ❖ Chứng minh công thức: ✓ z1 + z2 + z2 + z3 + z3 + z1 = z1 + z2 + z3 + z1 + z2 + z3 2 2 2 ❖ Ta có: z = z.z z1 + z2 + + zn = z1 + z2 + + zn Áp dụng tính chất ta có vế trái : ( ) ( ) ( = ( z1 + z2 ) z1 + z2 + ( z2 + z3 ) z2 + z3 + ( z3 + z1 ) z3 + z1 ) = z1 z1 + z2 z2 + z3 z3 + z1 z1 + z2 z2 + z3 z3 + z1 z2 + z2 z1 + z2 z3 + z3 z2 + z3 z1 + z1 z3 ( ) ( ) ( = z1 + z2 + z3 + z1 z1 + z2 + z3 + z2 z1 + z2 + z3 + z3 z1 + z2 + z3 2 ( = z1 + z2 + z3 + ( z1 + z2 + z3 ) z1 + z2 + z3 2 = z1 + z2 + z3 + z1 + z2 + z3 2 ) ) ❖ Áp dụng công thức chứng minh suy ra: z1 + z2 + z2 + z3 + z3 + z1 = số nguyên tố 2 z Bài 9: Có số phức z thoả mãn hai điều kiện z =  + z A B C z  =1 ? z D ➢ Giải: ❖ Ta có: z = = z.z ❖ Đặt z = cos x + isin x, x 0;2   z = cos x + isin x z ❖  + z  cos x =   z z +z =  cos x =    =1 z z.z cos x = −  ❖ Giải phương trình lượng giác với x  0; 2  nên ta chọn giá trị   5 7 11  2 4 5  x= ; ; ; ; ; ; ;  6 6 3 3  ❖ Vậy có số phức thoả điều kiện đề cho Bài 10: Cho số phức z1, z2, z3 thoả mãn đồng thời hai điều kiện z1 = z2 = z3 = 1999 z1 + z2 + z3  Tính P = z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 z1 + z2 + z3 A P = 1999 C P = 999,5 B P = 1999 D P = 5997 ➢ Giải http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Hướng dẫn giải số tập số phức mức độ vận dụng cao  z z + z z + z z   z z + z z + z z  ❖ P2 =  2 3   2 3  z1 + z2 + z3  z1 + z2 + z3     19992 z =  z1   19992 ❖ Mặc khác: z1 = z2 = z3 = 1999  z1 z1 = z2 z2 = z3 z3 = 19992   z2 = z2   19992  z3 = z3   19992 19992 19992 19992 1999 1999 + +  z1 z2 + z2 z3 + z3 z1   z1 z z z z z1 2 3 ❖ Suy P =   2 1999 1999 1999  z1 + z2 + z3   + +  z1 z2 z3     = 19992    ❖ P = 1999 ❖ Tổng quát: z1 = z2 = z3 = k  z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 = k z1 + z2 + z3 Bài 11: Cho số phức z thoả mãn − 2i z − − 2i = Gọi M m giá trị lớn + 2i giá trị nhỏ biểu thức P = z = = 3i Tính M.m B M n = 20 A M n = 25 C M n = 24 D M n = 30 ➢ Dạng tổng quát: Cho số phức z thoả mãn z1 z − z2 = r Tính Min, Max z − z3 Ta có Max = z2 z r r − z3 + ; Min = − − z3 z1 z1 z1 z1 ➢ Áp dụng Công thức với z1 = − 2i ; z2 = + 2i, z3 = + 3i; r = ta + 2i Max = 6; Min = Bài tập áp dụng: 1) Cho số phức z thoả mãn z − + 2i = Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ z Tính M m A M n = B M n = 2) Cho số phức z thoả mãn C M n = D M n = + 2i z − = Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ 1− i z + i Tính M m A M n = B M n = C M n = 10 D M n = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Hướng dẫn giải số tập số phức mức độ vận dụng cao z − i n +1 = i n với n Gọi M m giá trị lớn i+2 3) Cho số phức z thoả mãn giá trị nhỏ z − + i Tính M m A M n = 20 C M n = 24 B M n = 15 D M n = 30 Bài 12: Cho số phức z thảo mãn z + + z − = Gọi m = z M = max z , M n bằng: A B C 3 D ➢ Giải: ➢ Dạng Tổng quát: z1 z + z2 + z1 z − z2 = k với z1 = a + bi; z2 = c + di; z = x + yi k − z2 ❖ Ta có: Min z = z1 Max z = k z1 ❖ Chứng minh cơng thức: ❖ Ta có: k = z1 z + z2 + z1 z − z2  z1 z + z2 + z1 z − z2 = z1z  z  k k Suy Max z = z1 z1 ❖ Mặc khác: ❖ z1 z + z2 + z1 z − z2 = k  ( ax − by + c ) + ( ay + bx + d ) 2 + ( ax − by − c ) + ( ay + bx − d ) 2 =k ❖ Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có: k =  ( ax − by + c ) + ( ay + bx + d ) (1 2 + ( ax − by − c ) + ( ay + bx − d ) 2 ) 2 2 + 12  ( ax − by + c ) + ( ay + bx + d ) + ( ax − by − c ) + ( ay + bx − d )    = ( a + b2 )( x2 + y ) + ( c2 + d ) ❖ Suy z = x + y  2 ( k − c2 + d ( a + b2 ) )= k − z2 2 z1  42 −  m = = ❖ ADCT ta có: z1 = 1; z2 =1; k =   M = =  Bài 13: Cho số phức z thoả mãn iz + 2 + iz − = Gọi m = z M = max z , 1− i 1− i M n bằng: A B 2 C D http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Hướng dẫn giải số tập số phức mức độ vận dụng cao ❖ ADCT Câu 12 ta có: z1 = 1; z2 =  m = ;k =   1− i  M = Bài 14: Cho số phức z1, z2, z3 thoả mãn z1 z2 z3 = + i Tính giá trị nhỏ biểu thức 2 P = z1 + z2 + z3 2 A Pmin = C Pmin = 3 D Pmin = B Pmin = ➢ Giải: ❖ Áp dụng BĐT AM-GM ta có: P  3 z1 z2 z3 ❖ Mặc khác: z1 z2 z3 = 2 + i  z1 z2 z3 =  z1 z2 z3 = 2 ❖ Suy P  Dấu “=” xảy z1 = z2 = z3 = Bài 15: Cho số phức z = x + yi với x, y số thực không âm thoả mãn ( P = z2 − z + i z2 − z z −3 = biểu thức z − + 2i )  z(1 − i) + z(1 + i) Giá trị lớn giá trị nhỏ P là: A -1 C B -1 D ➢ Giải: ❖ z −3 =  z − = z − + 2i  x + y = z − + 2i  x+ y ❖ P = 16 x y − 8xy , Đặt t = xy   t    =    1 ❖ P = 16t − 8t , t  0;   MaxP = 0; MinP = −1  4 Bài 16: Cho số phức z thoả mãn z = Tính giá trị nhỏ biểu thức P = + z + + z2 + + z3 A Pmin = C Pmin = B Pmin = D Pmin = ➢ Giải: ❖ Ta có: z =  − z = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Hướng dẫn giải số tập số phức mức độ vận dụng cao ( ) ❖ P = + z + + z + + z3 = + z + − z + z + + z3  1+ z − z 1+ z + 1+ z3 = 6z − i  Tìm giá trị lớn z + 3iz Bài 17: Cho số phức z thoả mãn A max z = C max z = B max z = D max z = 1 ➢ Giải: 6z − i 2   z − i  + 3iz  z − i  + 3iz + 3iz ( z − i ) ( z − i )  ( + 3iz ) ( + 3iz )  ( z − i ) ( z − i )  ( + 3iz ) ( + 3iz )  z z  1  z  Bài 18: Cho z = a + bi, ( a, b  ) thoả z + = z P = 8(b2 − a ) − 12 Mệnh đề sau đúng? A P = z − ( ) ( ) B P = z − C P = ( z − ) D P = ( z − ) 2 ➢ Giải: ❖ z + = z  ( a − b + ) + ( 2ab ) − ( a + b ) = 2 ❖ Chuẩn hoá b =  a + 4a + 16 =  a = −1 − i  z = −1 − i  P = 2 ❖ Thử đáp án: - ĐÁP ÁN A: P =  −1 − i −  =  Nhận   Bài 19: Cho số phức z thoả mãn z − − 3i = Gọi M = max z + + i , m = z + + i Tính giá trị biểu thức ( M + n ) A M + m = 28 C M + m2 = 26 B M + m2 = 24 D M + m2 = 20 ➢ Giải: ❖ z − − 3i =  ( x − ) + ( y − 3) = (1) 2 ❖ Đặt P = z + + i  ( x + 1) + ( y − 1) = P 2 (2) với P  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Hướng dẫn giải số tập số phức mức độ vận dụng cao ❖ Lấy (1)-(2) ta được: y = P + 10 − x Thay vào (1):  P + 10 − x  −  =  52 x − 40 + 12 P x + P − P + 52 = ❖ ( x − 2) +    ( ) ( ) (*) ❖ Để PT (*) có nghiệm thì: (  = 40 + 12 P ) ( ) − 4.52 P − P + 52   14 − 13  P  14 + 13 ❖ Vậy M = 14 + 13 , m = 14 − 13  M + m = 28 Bài 20: Cho số phức z  * thoả mãn z + 1  M = max z + Khẳng định sau z z đúng? C  M  A −1  M  B  M  D M + M + M  ➢ Giải: 3 1 1  1 1    ❖  z +  = z3 + + 3 z +   z3 + =  z +  − 3 z +  z z z z z z      z3 + 1 1 1 1     =  z +  − 3 z +    z +  − 3 z +   z z z z z     3 1 1 1   −3 z + ❖ Mặc khác:  z +  −  z +   z + z z z z   1 − z +  , đặt t = z +  , ta được: ❖ Suy ra: z + z z z ❖ t − 3t −   ( t − )( t + 1)   t   z + 2 M =2 z Bài 21: Cho số phức z thoả mãn ( z − + 1)(1 − i ) = (1 + i ) 2017 Khi số thực  = z +1 − i có phần ảo bằng: A ( z ) = 21008 − C ( z ) = 21008 B ( z ) = 21008 − D ( z ) = 21008 − ➢ Giải: ❖ ( z − + 1)(1 − i ) = (1 + i ) 2017  ( z − + 1)(1 − i ) (1 + i ) = (1 + i ) 2018 10 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Hướng dẫn giải số tập số phức mức độ vận dụng cao 1009 1009 (1 + i )2  2i     ❖ z= + 3−i = + − i = 22008 i + − i (1 − i ) (1 + i) ❖  = 22008 i + − i + − i = + ( 21008 − ) i  ( z ) = 21008 − ( ) Bài 22: Cho số phức z thoả mãn − 5i z = 42 + 3i + 15 Mệnh đề đúng: z  z 4 A  z 2 C B  z 3 D  z  ➢ Giải: (1 − 5i ) z = z42 + 3i + 15 ( ) ( )( z − 3i ) = z42  − ( )  − 5i z − 3i − 5i = ❖  − 5i  z +3 = 2 42 z ( 5i z − 3i = 42 z ) 42 2  z + z − 4.42 =  z = z Bài 23: Cho ba số phức z, z1, z2 thoả mãn z − i = + iz z1 − z2 = Tính giá trị biểu thức P = z1 + z2 A P = C P = D P = B P = 2 ➢ Giải: ❖ Đặt z = x + yi, 2z − i = + iz  x2 + y = ❖ Gọi A, B hai điểm biểu diễn z1, z2 ❖ Ta có z1 − z2 = OA − OB = AB = ❖ Suy AB = OA = OB hay tam giác OAB ❖ P = z1 + z2 = OA + OB = 2OM = = Bài 24: Cho ba số phức z1, z2, z3 thoả mãn z1 = z2 = z3 = z1 + z2 + z3 = Tính giá trị biểu thức P = z12 + z22 + z32 11 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Hướng dẫn giải số tập số phức mức độ vận dụng cao A P = C P = −1 B P = D P = + i ➢ Giải: Chuẩn hoá z1 = 3 + i, z2 = − i, z3 = −1 Suy P = 2 2 Bài 25: Cho hai số phức z1, z2 thoả mãn z1 + z2 = + 6i z1 − z2 = Tính giá trị lớn biểu thức P = z1 + z2 A Pmax = + C Pmax = B Pmax = 26 D Pmax = 34 + ➢ Giải: ❖ Ta có: z1 + z2 = + 6i  z1 + z2 = 10 ( ❖ z1 + z2 + z1 − z2 = z1 + z2 2 2 )  52 = z + z2 (z  + z2 )  z1 + z2  2.52 = 26 Bài 26: Cho z1, z2, z3 thoả mãn z1 = z2 = z3 = z1 + z2 + z3 = Khẳng định sai A z13 + z23 + z33 = z13 + z23 + z33 B z13 + z23 + z33  z13 + z23 + z33 C z13 + z23 + z33  z13 + z23 + z33 D z13 + z23 + z33  z13 + z23 + z33 ➢ Giải: Chuẩn hoá z1 = 3 + i, z2 = − i, z3 = −1 Suy đáp án D 2 2 Bài 27: Cho z1, z2, z3 thoả mãn z1 = z2 = z3 = Khẳng định sau đúng? A z1 + z2 + z3 = z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 B z1 + z2 + z3  z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 C z1 + z2 + z3  z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 D z1 + z2 + z3  z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 ➢ Giải: Chuẩn hoá z1 = 3 + i, z2 = − i, z3 = −1 Suy đáp án A 2 2 Bài 28: Cho z1, z2, z3 thoả mãn z1 = z2 = z3 = z1 + z2 + z3 = Biểu thức P = z12 n +1 + z22 n +1 + z32 n +1 , (n  *) nhận giá trị sau đây? A B C D ➢ Giải: Chuẩn hoá n = 1, z1 = 1, z2 = i, z3 = −i Suy đáp án A Bài 29: Cho ba số phức z1, z2, z3 thoả mãn z1 = z2 = z3 = Tính giá trị nhỏ biểu thức P= z1 − z2 z1 − z3 + 1 + z2 − z1 z2 − z3 z3 − z1 z3 − z2 12 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Hướng dẫn giải số tập số phức mức độ vận dụng cao C Pmin = B Pmin = D Pmin = A Pmin = ➢ Giải: ( ) + z )( z + z ( +z ) ) ( ❖ z1 − z2 + z2 − z3 + z3 − z1 = ( z1 − z2 ) z1 − z2 + ( z2 − z3 ) z2 − z3 + ( z3 − z1 ) z3 − z1 2 = − ( z1 + z2 = − z1 + z2 + z3 ) ❖ Theo BĐT Cauchy- Schwarz: P 9  = 2 2 z1 − z2 z1 − z3 + z2 − z1 z2 − z3 + z2 − z1 z2 − z3 z1 − z2 + z2 − z3 + z3 − z1 − z1 + z2 + z3 ❖ Do đó: P  = (do z1 + z2 + z3  ) Bài 30: Cho ba số phức z thoả mãn z  Tìm giá trị lớn biểu thức P = A Pmax = B Pmax = C Pmax = 2z − i : + iz D Pmax = z = ➢ Giải: Chuẩn hoá: z    z = ❖ z =1 P = 2−i = loại B, C 2+i ❖ z =0 P = −i = loại D, chọn đáp án A 2 Bài 31: Cho số phức z1, z2, z3 thoả mãn z1 + z2 + z3 = z1 = z2 = z3 = 2 Mệnh đề đúng? A z1 + z2 + z2 + z3 + z3 + z1 = 2 B z1 + z2 + z2 + z3 + z3 + z1 = 2 2 2 C z1 + z2 + z2 + z3 + z3 + z1 = 2 2 D z1 + z2 + z2 + z3 + z3 + z1 = 2 13 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Hướng dẫn giải số tập số phức mức độ vận dụng cao ➢ Giải: z1 + z2 + z2 + z3 + z3 + z1 = z1 + z2 + z3 + z1 + z2 + z3 = 2 2 2 Bài 32: Gọi S tập hợp số phức z thoả mãn z − i  z − − 2i  Kí hiệu z1, z2 hai số phức thuộc S số phức có mơđun nhỏ lớn Tính giá trị biểu thức P = z2 + z1 A P = C P = 33 B P = D P = ➢ Giải: ❖  z − i  z +1  z   x + ( y − 1)2 =  z1 = −2i o Dấu “=” xảy khi:  2  x + y = ❖ z − 2  z − − 2i   z  + 2 ( x − )2 + ( y − )2 = 25 4+5  4+5   z2 = +  o Dấu “=” xảy khi:  i 2 2   x + y = 33 + 20  ❖ P= 4+5  4+5  +   i − 4i = 33 2   Bài 33: Gọi z số phức có phần thực lớn thoả mãn z + + i = z + z − − 3i cho biểu thức P = z − − 2i đạt giá trị nhỏ Tìm phần thực số phức z A ( z ) = 8+ C ( z ) = 4+ B ( z ) = 8+ 2 D ( z ) = 12 + 2 ➢ Giải: ❖ z + + i = z + z − − 3i  y = ( x − ) ❖ P= ( x − 2) + ( y − 2) 2 = y + ( y − 2) 2 3 7  = y−  +  2 4   y = 4+ + i ❖ Dấu “=” xảy khi:   z = 2  y = ( x − ) Bài 34: Cho số phức z thoả mãn z = Tìm giá trị lớn biểu thức P = z − z + 14 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Hướng dẫn giải số tập số phức mức độ vận dụng cao A Pmax = 11 B Pmax = C Pmax = 13 D Pmax = ➢ Giải: Câu 35: Cho phương trình: z + az + bz + c = 0,(a, b, c  ) Nếu z1 = + i, z2 = hai nghiệm phương trình a + b + c bằng: A z = B z = D Pmax = C Pmax = Bài 37: Cho phương trình: z + az + bz + cz + d = 0,(a, b, c, d  ) có bốn nghiệm phức z1, z2, z3, z4 Biết z1z2 = 13 + i, z3 + z4 = + 4i , khẳng định sau đúng? B b  50 A b  53 C b  55 D b  51 Bài 38: Cho số phức z thoả mãn z1 = z2 = z3 = z1 + z2 z3 ; z2 + z3 z1 ; z3 + z1z2 số thực Tính ( z1 z2 z3 ) 2017 A C ±1 B −22017 D 22017 ( ) Bài 39: Cho số phức z thoả mãn đồng thời z + z = z + 3z = + i z Khẳng định sau đúng? A  z 2 C B  z 3 D  z  5  z 4  z −1  Bài 40: Cho z1, z2, z3, z4 nghiệm phức phương trình:   = Tính giá trị biểu thức  2z − i  ( )( )( )( ) P = z12 + z22 + z32 + z42 + ; A P = C P = 18 B P = −1 D P = 17 Bài 41: Cho số phức z thoả mãn z = Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = z + + z + z + Tính M + m A B C D 15 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Hướng dẫn giải số tập số phức mức độ vận dụng cao Bài 42: Cho hai số phức z1, z2 thoả mãn P= z1 + z2 z1 + z2 = Tìm giá trị lớn biểu thức z1 z2 + z1 z2 A B.0,75 C 0,5 D Bài 43: Trong mặt phẳng phức với gốc toạ độ O, cho hai điểm A, B (khác O) biểu diễn hai số phức z1, z2 thoả mãn z12 + z22 = z1 z2 Khẳng định sau đúng? A ∆OAB vuông cân A B ∆OAB C ∆OAB cân, không D ∆OAB cân A Bài 44: Cho ba số phức z1, z2, z3 thoả mãn z1 = z2 = z3 = z1 + z2 + z3 = Tính giá trị lớn biểu thức P = z1 + z2 + z2 + z3 + z3 + z1 A Pmax = C Pmax = B Pmax = 5 D Pmax = 10 ➢ Giải: ❖ z1 + z2 + z2 + z3 + z3 + z1 = z1 + z2 + z3 + z1 + z2 + z3 = 2 2 2 ❖ Theo BĐT Bunhiacopxki ta có: P = z1 + z2 + z2 + z3 + z3 + z1  (1 + 2 + 22 )( z + z 2 + z2 + z3 + z3 + z1 2 ) = 26 Bài 45: Cho số phức z thoả mãn z = Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = z + + − z Tính P = M + n A 12 C 15 B 20 D 18 Bài 46: Cho bốn số phức a, b, c, z thoả mãn az + bz + c = a = b = c  Gọi M = max z , m = z Tính mơđun số phức  = M + mi A  = C  = B  = D  = 16 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Hướng dẫn giải số tập số phức mức độ vận dụng cao Bài 47: Cho số phức z thoả mãn z − = Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = z + i + z − − i Tính mơđun số phức  = M + mi A  = C  = B  = D  = ➢ Giải: ❖ z − =  ( x − 1) + y = 2 ❖ P = x + ( y + 1) + ( − x ) + ( y − 1) ❖ P = x + ( y + 1) + ( − x ) + ( y − 1) 2 2 2 vecto ( x + − x) + ( y +1+1− y )  bunhiacopxki  =2 2.2 ( x − 1) + y +  =   ❖  = + 2i = Bài 48: Cho hai số phức z1, z2 thoả mãn z1 + z2 = + i, z1 − z2 = biểu thức 5 P = z1 + z2 − z1 − z2 + đạt giá trị nhỏ Tính z1 + z2 3 A B C D ➢ Giải: ❖ Ta có: z1 + z2 = 1; = z1 − z2  z1 + z2 ( ❖ z1 + z2 + z1 − z2 = z1 + z2 ( ❖ P = z1 + z2 3 ) − 3( z )2= z + z2 ) +  ( z1 + z2 + z2 ) (z  + z2 ) 2   z1 + z2  − ( z1 + z2 ) + t = ❖ Xét hàm số: f (t ) = t − 3t + 5, t   3;  ; f '(t ) = 3t − =   t = −1 ❖ Do f (t ) =  P = ❖ Dấu “=” xảy z1 + z2 = Bài 49: Cho số phức z thoả mãn z + 2 = Gọi M = max z m = z , tính mơđun số phức  = M + mi A  = 22 C  = 10 B  = 56 D  = 62 17 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Hướng dẫn giải số tập số phức mức độ vận dụng cao ➢ Giải: ( )( ) ( ) z2 + z2 + z +3 z + z −6 z +9 z2 + 3 z+ =3  = 18  = 18  = 18 2 2 z z z z −6 z +9  z = 18  12 − 15  z  12 + 15 Do đó:  = 62 Bài 50: Cho số phức z thoả mãn z − z + = ( z − + 2i )( z + 3i − 1) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = z − + 2i A Pmin = C Pmin = B Pmin = D Pmin = Bài 51: Cho số phức z thoả mãn z  Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ z+i Tính giá trị biểu thức M.n: z biểu thức P = A C B D Bài 52: Chi số phức z thoả mãn z + = z Gọi M = max z m = z , tính mơđun số phức  = M + mi A  = B  = C  = 14 D  = Bài 53: Cho số phức: z = x + yi, ( x, y  ) số phức thoả mãn hai điều kiện z + + z − = 26 biểu thức P = z − 3 − i đạt giá trị lớn Tính giá trị biểu thức (x.y) 2 A xy = C xy = B xy = 16 D xy = 17 18 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Hướng dẫn giải số tập số phức mức độ vận dụng cao Bài 54:Cho ba số phức z1, z2, z3 thoả mãn z1 z2 z3 = 15 − i Tìm giá trị nhỏ biểu thức 4 1 1 + + + z1 z2 z3 z1 + z2 + z3 P= A Pmin = C Pmin = B Pmin = D Pmin = Bài 55: Cho hai số phức z1, z2 thoả mãn z1 = z2 = Gọi m giá trị nhỏ biểu thức P = z1 + + z2 + + z1z2 + Khẳng định sau sai? m3 A B  m  C  m  11 D m Bài 56: Cho số phức z = a + bi  cho z số thực  = z z số thực Tính + z3 1+ z A 3a + C 3a + B a+2 D 2a + ➢ Giải: b = 0( Loai ) z z   − =  z − z 1− z z + z =   ❖ Theo đề:   z = + z3 + z3 2a  ( ) ( ) 1 = 2a = ❖ 2 a + 2a + 1+ z 2a z Bài 57: Cho hai số phức z ,  khác thoả mãn z −  = z =  Gọi a, b lân lượt phần thực phần ảo số phức u = z  Tính a + b = ? A C B D ➢ Giải: 19 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Hướng dẫn giải số tập số phức mức độ vận dụng cao ❖ Chuẩn hoá:  = Theo đề ta có: ( ) 2 2  z −1 = z  15 15  ( x − 1) + y = x + y  z=  iu =  i  a + b2 =  2 z −1 = 8 8   ( x − 1) + y =  Bài 58: Cho hai số phức z ,  khác thoả mãn z −  = z =  Gọi a, b phần thực phần ảo số phức u = z. Tính a + b = ? A 50 C 100 B 25 D 10 ➢ Giải: ❖ Chuẩn hoá:  = Theo đề ta có: ( ) 2 2  z −1 = z  11 11  ( x − 1) + y = 25 x + y  z=  iu =  i  a + b2 =  2 z −1 = 50 50 50 50 25   ( x − 1) + y =  Bài 59: Cho số phức  hai số thực a, b Biết  + i 2 − hai nghiệm phương trình z + az + b = Tính a + b = ? A B − C − D 9 ➢ Giải: 3 + i − = −a  − i − a  − 2i − 2a  ❖ Theo định lý Viet ta có:   + i  − 1 = b  + i  − = b ( )( ) 3      2a a a = −2 − + =b   2a a   4  9  − +  −  a + i = b     13  a + b = − 3  9  2 a + = b =  9 Bài 60: Cho hai số phức z1, z2 thoả mãn điều kiện z1 = z2 = 2017 Tìm giá trị nhỏ biểu thức  z1 + z2   z1 − z2  P=  +  2  2017 + z1 z2   2017 − z1 z2  A 2017 C 2017 B 2017 D 2017 20 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Hướng dẫn giải số tập số phức mức độ vận dụng cao Đặt z1 = 2017 ( cos x + i sin x ) z2 = 2017 ( cos y + i sin y ) Ta có: z1 + z2 cos x + i sin x + cos y + i sin y cos( x − y) = = 2017 + z1 z2 2017 (1 + cos ( x + y ) + i sin ( x + y ) ) 2017 cos( x + y)   Tương tự: z1 − z2 sin( y − x) = 2017 + z1 z2 2017 sin( y + x) Suy P = cos2 ( x − y) sin ( y − x) + 20172 cos ( x + y) 2017 sin ( y + x) cos2 ( x + y)  1 cos ( x − y ) + sin ( x − y )  = Vì  nên P   2017 2017 sin ( x + y)  Bài 61: Cho ba số phức z1, z2, z3 thoả mãn điều kiện z1 = z2 = z3 = z2 z12 z2 + + +1 = z2 z3 z3 z1 z1 z2 Khẳng định sau đúng? A z1 + z2 + z3 = C z1 + z2 + z3 = D z1 + z2 + z3 = B z1 + z2 + z3 = Bài 62: Cho số phức z thoả mãn điều kiện z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 1008 + z + + z + + + z 2016 + + z 2017 A 2017 C 2018 B 1008 D 2016 Bài 63: Cho ba số phức z1, z2, z3 thoả mãn điều kiện z1 = z2 = z3 = 1, z1 + z2 + z3  z12 + z22 + z32 = Khẳng định sau sai? A z12017 + z22017 + z12017 = C z12017 + z22017 + z12017 = B z12017 + z22017 + z12017 = D z12017 + z22017 + z12017 = Bài 64: Cho số phức z ∈ ℂ ∖ℝ  = 1+ z + z2 số thực Khẳng định sau đúng? 1− z + z2 A  z  C  z  B  z  D  z  Bài 65: Cho ba số phức z1, z2, z3 thoả mãn điều kiện z1 + z2 + z3 = z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 = Tính giá trị biểu thức P = A z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 z22 C 21 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Hướng dẫn giải số tập số phức mức độ vận dụng cao B D 22 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ... đề thi – tài liệu file word Hướng dẫn giải số tập số phức mức độ vận dụng cao ➢ Giải: z1 + z2 + z2 + z3 + z3 + z1 = z1 + z2 + z3 + z1 + z2 + z3 = 2 2 2 Bài 32: Gọi S tập hợp số phức z thoả mãn... tài liệu file word Hướng dẫn giải số tập số phức mức độ vận dụng cao Bài 47: Cho số phức z thoả mãn z − = Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = z + i + z − − i Tính mơđun số phức  =... – tài liệu file word Hướng dẫn giải số tập số phức mức độ vận dụng cao A P = C P = −1 B P = D P = + i ➢ Giải: Chuẩn hoá z1 = 3 + i, z2 = − i, z3 = −1 Suy P = 2 2 Bài 25: Cho hai số phức z1, z2