Phương trình lượng giác NXT - FIT Lượng giác Phần 1: Hàm số lượng giác A. Kiến thức cần nhớ 1. Các hằng đẳng thức cơ bản a) 1cossin 22 =+ xx b) x x x cos sin tan = c) x x x sin cos cot = d) x x 2 2 cos 1 tan1 =+ e) x x 2 2 sin 1 cot1 =+ f) 1cot.tan = xx 2. Giá trị của các hàm lượng giác cung liên quan đặc biệt a) Hai cung đối nhau b) Hai cung bù nhau c) Hai cung khác nhau 2 π xx xx xx xx cot)cot( tan)tan( sin)sin( cos)cos( −=− −=− −=− =− xx xx xx xx cot)cot( tan)tan( cos)cos( sin)sin( −=− −=− −=− =− π π π π xx xx xx xx cot)2cot( tan)2tan( cos)2cos( sin)2sin( =+ =+ =+ =+ π π π π d) Hai cung khác nhau π e) Hai cung phụ nhau xx xx xx xx cot)cot( tan)tan( cos)cos( sin)sin( =+ =+ −=+ −=+ π π π π xxxx xxxx tan 2 cot ; cot 2 tan sin 2 cos ; cos 2 sin =       −=       − =       −=       − ππ ππ B. Bài tập 1. Tìm các giá trị của α để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. αα cos1 1 ; sin1 1 − = + = BA 2. Xét dấu của các biểu thức sau: a) oo 132sin123sin − b) oo 316cot304cot − 3. Rút gọn các biểu thức sau: a) oooo 540cos3990sin41170cos2540tan5 −++ b) 3 19 cos2 4 13 tan3 6 25 sin3 πππ +− c) oooo 75sin55sin35sin15sin 2222 +++ d) oooo 75cos55cos35cos15cos 2222 +++ e) 12 11 sin 12 9 sin 12 7 sin 12 5 sin 12 3 sin 12 sin 222222 ππππππ +++++ f) 12 11 cos 12 9 cos 12 7 cos 12 5 cos 12 3 cos 12 cos 222222 ππππππ +++++ g)       ++−+       +−+ aaaa 2 3 tan)2cot( 2 cos)sin( π π π π h) aaaaA 2224 cos.sincossin ++= i) 2 cos. 2 sin 2 tan 1 2 cos 2 sin 2 aaa aa B − −       + = j) oo ooo C 342cot252tan 156cos530tan).260tan(696cos 22 22 + −−+ = k) ( ) 2 2 7cot 4 13 cot 2 7 tan 4 17 tan       −++             −+ bb π πππ l)         − + − + −         − + − + − x x x x x x x x cos1 cos1 cos1 cos1 sin1 sin1 sin1 sin1 m) )tan1(cos)cot1(sin 33 aaaa +++ 2K2+ - 1 - Phương trình lượng giác NXT - FIT n) bb b cottan tan + o) a aa 4 44 cos sincos1 −− p)       +−       − −−− xxx xxx 2 3 cot).cot(. 2 sin )2sin().2cos().sin( π π π πππ q) 22 )2cos( 2 3 cos)sin( 2 sin       −+       −+       −+       − xxxx π π π π r)       −++       +       +       − aaaaa 2 3 tan).tan( 3 5 cos. 3 2 tan. 3 sin π π πππ s) )5,3tan()6cot( )4tan()5,5cot( ππ ππ −−− −+− ba ba t) oooooo 700tan.400tan.260tan.250tan.190tan.50tan 4. Cho A, B, C là ba góc của tam giác ABC. Chứng minh: a) -cosAC)cos(B ;sin)sin( =+=+ CBA c) -cotCB)cot(A ;tan)tan( =+−=+ BCA b) 2 sin 2 CB cos ; 2 cos 2 BA sin AC = + = + d) 2 tan 2 BA cot ; 2 cot 2 tan CBCA = + = + 5. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: 2cossin cos2 −+ + = xx x y 6. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số trong khoảng ππ <<− x : 4sincos2 3sin2cos +− ++ = xx xx y . 7. Gọi a, b, c là các cạnh đối diện với các góc tương ứng của tam giác ABC. a) Cho ACB 222 sin2sinsin =+ . Chứng minh o 60A ≤ . b) ABCcbaCcBbAa ∆⇒++=++ )coscoscos(2 đều. c) Chứng minh: 1sinC.sinA-sinB.sinC-sinA.sinB-Csinsinsin0 <++< BA Phần 2: Các công thức lượng giác I. Công thức cộng A. Kiến thức cần nhớ bababa abbaba sinsincoscos)cos()2 cossincossin)sin()1  =± ±=± ba ba ba tantan1 tantan )tan()3  ± =± B. Bài tập 1. Chứng minh các công thức sau: a)       +=       −=+ aaaa 4 sin2 4 cos2sincos ππ b)       −=       +=− aaaa 4 sin2 4 cos2sincos ππ 2. Rút gọn các biểu thức: a)       ++−       +− aa aa 4 sin2sin2 4 cos2cos2 π π b) ooooo 79cos.69cos21cos.11cos10cos ++ c) bababa tan.tan)cot().tan(tan −−− 3. Chứng minh trong mọi tam giác ABC ta đều có: a) tanCtanA.tanB.tanCtanBAtan =++ b) 1 2 tan. 2 tan 2 tan. 2 tan 2 tan. 2 tan =++ ACCBBA c) 1cot.cotcot.cotcot.cot =++ ACCBBA d) 2 cot. 2 cot. 2 cot 2 cot 2 cot 2 cot CBACBA =++ 2K2+ - 2 - Phương trình lượng giác NXT - FIT 4. a) Cho 4 π =− ba , chứng minh: a b b tan tan1 tan1 = − + và b a a tan tan1 tan1 −= + − . b) Cho 4 π =+ ba , chứng minh: 2)tan1)(tan1( =++ ba và 2)cot1)(cot1( =−− ba c) Cho nya max =− =+ )tan( )tan( . Chứngminh: ab ba yx + − =+ 1 )tan( . d) Cho 5 2 tan = a , 7 3 tan = b )10( va, b << . Tìm a + b. e) Cho 2 1 tan −= a ) 2 ( π π << a và 3tan = b ) 2 0( π << b . Tìm a + b. f) Cho 3 2 1tan = a , 4 1 tan = b )10( va, b << . Tìm a - b. g) Cho 12 1 tan = a , 5 2 tan = b , 3 1 tan = b . Chứng minh a + b + c = 45 o . 5. Tìm giá trị các hàm số lượng giác góc: o 15 hoặc 12 π và o 75 hoặc 12 5 π . 6. Cho γβα , , thoả mãn điều kiện: 2 π γβα =++ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: αγγββα tan.tan1tan.tan1tan.tan1 +++++= A 7. Chứng minh rằng nếu các góc của tam giác A, B, C thoả mãn một trong các đẳng thức sau thì tam giác ABC cân: a) )cot(cot 2 1 sinsin coscos 22 22 22 BA BA BA += + + b) A C B cos2 sin sin = c) )tantan( 2 tan BbAa A ba +=+ d) BABA 2 tan.tantan2tan =+ II. Công thức nhân đôi nhân ba. A. Lý thuyết cần nhớ aaa aaa a a a aaaaa aaa cos3cos43cos sin4sin33sin tan1 tan2 2tan 1sco2sin21sincos2cos cossin22sin 3 3 2 2222 −= −= − = −=−=−= = B. Bài tập 1. Rút gọn các biểu thức sau: a) aaaa aa sin3coscos3sin 4 sin. 4 sin −       +       − ππ b) 8tan 1 8 tan 2 π π − c) ooo 80cos.40cos.20cos d) )sin(coscossin2 22 aaaa − e) aaaa 4224 sincossin6cos +− f) 2 cos 2 sin4cos 222 aa a − g) aa 22 cossin81 − h) ooo 40cos20cos10cos8 i) aaaa 3sincos43cossin4 33 + j) aa 2sin4sin4 24 + k) 5 2 cos 5 cos ππ l) oooo 80cos60cos40cos20cos m) aaaaaa 32tan3216tan168tan84tan42tan2tan +++++ n) aa aa 3coscos 3sinsin 3 3 − + o) aa aa 3sinsin 3coscos + − 2. Chứng minh: a) aaaa 3sin 4 1 3 sin 3 sinsin =       +       − ππ . Áp dụng với 9 π = a . b) 118sin818sin8 23 =+ 2K2+ - 3 - Phương trình lượng giác NXT - FIT c) 32 cot 32 tan 16 tan2 8 tan48 ππππ =+++ d) 572tan36tan 22 = oo e) aaaa 3cos 4 1 3 cos 3 coscos =       +       − ππ . Tính: 18 7 cos 18 5 cos 18 cos πππ f) a aa a 2 3 tan31 tantan3 3tan − − = g) aaaa 3tan 3 tan 3 tantan =       +       − ππ . Chứng minh: 5210 15 66tan54tan6tan + − = ooo . 3. a) Cho )0,( 2 sin > + = ba ba ab α . Tìm α 2sin , α 2cos , α 2tan . b) Cho 2 1 2 cos a a + = α . Tìm α 2sin , α 2cos , α 2tan . c) Cho 4 5 cossin =+ αα . Tìm α 2sin , α 2cos , α 2tan . 4. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của các hàm số sau: a)       −       += 4 sin 4 sin ππ xxy b) xxy 44 sincos −= c) xxy 22 cossin81 −= III. Công thức hạ bậc. Công thức viết các hàm lượng giác theo 2 tan a t = . A. Lý thuyết cần nhớ aa aa 2 2 sin22cos1 cos22cos1 =− =+ 2 1 2 sin t t a + = 2 2 1 1 cos t t a + − = 2 1 2 tan t t a − = B. Bài tập 1. Chứng minh các biểu thức sau: a) 2 tan 2sinsin2 2sinsin2 2 a aa aa = + − b)       −= ++ +− a aa aa 4 tan 2cos2sin1 2cos2sin1 π c) 2 cos4)cos(cos)sin(sin 222 ba baba + =+++ d) a aa cot2 2 cot 2 tan −= e)       −= − + 24 cot sin1 sin1 2 a a a π f) ( )( ) 1223'307tan −−= o g) 2 cos2)cos(coscos)sin(sinsin 2 ba baabaa − =+++ h) 2 sin4)cos(cos)sin(sin 222 ba baba − =−+− i) a a a a sin1 24 sin sin1 24 sin +       − − −       + ππ )0( π << a 2. Rút gọn các biểu thức sau: a) α cos 2 1 2 1 2 1 2 1 ++ )0( πα ≤< b) α cos 2 1 2 1 2 1 2 1 +− )0( πα ≤< c) 2 cot1 2 cot2 2 a a + d) 4 tan 4 cot 2 tan 2 cot aa aa + − 2K2+ - 4 - Phương trình lượng giác NXT - FIT e) 2 tan1 2 tan 2 tan1 2 tan a a a a − + + f) 2 tan1 1 2 tan1 1 aa + − − g) αα αα sin2sin 2coscos1 − +− h) α α α α cos1 cos . 2cos1 2sin ++ 3. Tìm giá trị biểu thức a) a a cos23 sin − biết 2 2 tan = a b) aa aa sintan sintan − + Biết 15 2 2 tan = a 4. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: a) xxy 2 sin2cos2 += b) xxy 2cossin2 2 −= c) 22 )cos(sin 4 sin xxxy −+       −= π IV. Công thức biến đổi tổng và tích A. Lý thuyết cần nhớ 1. Công thức biến đổi tích thành tổng [ ] [ ] [ ] )cos()cos( 2 1 sinsin )cos()cos( 2 1 coscos )sin()sin( 2 1 cossin bababa bababa bababa +−−= −++= −++= 2. Công thức biến đổi tổng thành tích 2 sin. 2 sin2coscos 2 cos. 2 cos2coscos 2 sin. 2 cos2sinsin 2 cos. 2 sin2sinsin baba ba baba ba baba ba baba ba −+ −=− −+ =+ −+ =− −+ =+ ba ba ba ba ba ba ba ba ba ba ba ba sinsin )sin( cotcot sinsin )sin( cotcot coscos )sin( tantan coscos )sin( tantan − −=− + =+ − =− + =+ B. Bài tập 1. Rút gọn biếu thức a) N)(n )cos( .)2cos()cos(cos ∈+++++++ nbababaa b) aaaa aaaa 7sin5sin3sinsin 7cos5cos3coscos +++ −+− c) aaa aaa 3sin2sinsin 3cos2cos2cos ++ ++ d) a aa a cos2 6 2cos 6 2cos cos       +−       − − ππ e) 2 cotcot 3 cos 3 cos a a aa −       −+       + ππ f) aaaa 2cos 2 1 4cos 4 1 cos2cos 2 −− g) 2cos4cos1cos3cos 22 −+ h) )158sin112(sin203sin291sin1sin ooooo +++ i) )140sin130(sin185sin2125cos35cos ooooo +++ j) oooo 80sin60sin40sin20sin k) oooo 80tan60tan40tan20tan 2. Chứng minh: a) 16 3 80sin60sin40sin20sin = oooo 2K2+ - 5 - Phương trình lượng giác NXT - FIT b) na anaaa anaaa tan )12cos( .5cos3coscos )12sin( .5sin3sinsin = −++++ −++++ c) 2 sin 2 )1( sin 2 sin sin .3sin2sinsin a anna naaaa + =++++ d) 2 sin 2 )1( cos 2 sin cos .3cos2coscos a anna naaaa + =++++ 3. Chứng minh trong mọi tam giác ABC ta đều có: a) 2 cos 2 cos 2 cos4sinsinsin CBA CBA =++ b) 2 sin 2 sin 2 sin41coscoscos CBA CBA +=++ c) )coscoscos1(2sinsinsin 222 CBACBA +=++ d) CBACBA coscoscos21coscoscos 222 −=++ e) 2 cos 2 sin 2 sin4sinsinsin CBA CBA =−+ f) 1 2 sin 2 cos 2 cos4coscoscos −=−+ CBA CBA g) CBACBA sinsinsin42sin2sin2sin =++ h) CBACBA coscoscos412cos2cos2cos −−=++ i) CBACBA cossinsin2sinsinsin 222 =−+ 4. Chứng minh bất đẳng thức: )sin(sin 2 1 2 sin yx yx +≥ + với π << yx,0 . 5. Tính giá trị các biểu thức sau: a) 16 7 sin 16 5 sin 16 3 sin 16 sin 4444 ππππ +++ b) '57tan'57cot'567cot'567tan oooo −+− c) ooo 65cos55cos5cos d) 11 9 cos 11 7 cos 11 5 cos 11 3 cos 11 cos πππππ ++++ 6. Chứng tỏ các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x: a)       −++ 24 cos42sinsin4 224 x xx π với 2 3 π π << x b) xxxx 2coscos42coscos4 224 −+ c)       −+       ++ xxx 3 cos 3 coscos 222 ππ d)       −+       ++ xxx 3 2 sin 3 2 sinsin 222 ππ 7. Điều kiện cần và đủ để một tam giác vuông ở A là: BA CB A coscos sinsin sin + + = 8. Chứng minh nếu các góc của ABC ∆ thoả mãn: 2 3 coscoscos =++ CBA thì nó là tam giác đều. 9. Chứng minh rằng nếu các cạnh và các góc của ABC ∆ thoả mãn hệ thức: a cb BA + =+ coscos thì tam giác đó là tam giác vuông. 10. Cho tam giác ABC và 1 2 tan 2 tan5 = BA . Chứng minh rằng: 3c = 2(a+b). 2K2+ - 6 - Phương trình lượng giác NXT - FIT Phần 3: Phương trình lượng giác I. Phương trình lượng giác cơ bản A. Lý thuyết cần nhớ 1. Phương trình: ⇔= α sinsin x παπ πα 2 2 kx kx +−= += 2. Phương trình: ⇔= α coscos x πα 2kx +±= 2. Phương trình: παα kx +⇔= tantan 4. Phương trình: παα kx +⇔= cotcot B. Bài tập 1. Giải các phương trình sau: a) 2 3 6 3sin =       − π x b) sin(3x - 2) = -1 c) 1 5 2cos2 =       − π x d) cos(3x - 15 o ) = cos150 o e) tan(2x + 3) = 3 tan π f) cot(45 o - x) = 3 3 g) sin3x - cos2x = 0 h) xx 3cos 3 2 sin =       + π i) 0 4 3cos 6 5 3sin =       ++       − ππ xx j) )302cos( 2 cos o x x −−= k) cos2x = cosx l)       −=       + 4 2sin 4 sin ππ xx m) 1 12 sin =       − π x n) 2 1 6 12sin =       + π x o) 2 3 2 6cos =       + π x p) 1)5cos( −=− x π q) 1)63tan( =− x π r) ( ) 36tan =− π x s) 3 1 2 4 tan =       − x π t) 312 6 5 cot =       + x π u) 3 3 5 7 12 cot =       − x π v) ( ) 2 2 312sin =− x π w) ( ) xax 3sin2cos =− x) xbx 5cos)3sin( =− y)       +=       − xx 6 5 cot 4 tan ππ z) ( )       +=− xx 7 12 7 tan3cot π π II. Phương trình bậc 2 đối với một hàm số lượng giác A. Lý thuyết cần nhớ Là những phương trình bậc nhất hay bậc hai đối với một hàm sinx, cosx, tanx hay cotx. Phương pháp: Đặt ẩn phụ t rồi giải phương trình bậc nhất hay bậc 2 với t. B. Bài tập 1. Giải các phương trình sau: a) 032cos72sin3 2 =−+ xx b) 07sin5cos6 2 =−+ xx c) 03sin52cos =−− xx d) 01cos2cos =++ xx e) 1412cos3sin6 2 =+ xx f) 7cos12sin4 24 =+ xx g) 5cossin8 2 =− xx 2. Giải các phương trình lượng giác: a) 1 5 cot3 2 =       + π x b) 3 4 2tan 2 =       − π x c) 12cot4tan7 =− xx d) 03cot)13(cot 2 =−−+ xx III. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx A. Lý thuyết cần nhớ Dạng phương trình: cxbxa =+ cossin Điều kiện để phương trình có nghiệm: 222 cba ≤+ . Cách giải: Chia cả hai vế của phương trình cho 22 ba + rồi đặt: 22 cos ba a + = α ; 22 sin ba b + = α . Đưa phương trình về dạng: βαβαα sin)sin(sincossinsincos =+⇔=+ xxx . Giải ra tìm được x. B. Bài tập 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số sau: a) xxy 2cos2sin)32( +−= b) xxxxxy cossin32cos2)cos(sin 2 ++−= c) 1)cossin2)(cos2(sin −+−= xxxxy d) 4sincos2 3sin2cos +− ++ = xx xx y 2K2+ - 7 - Phương trình lượng giác NXT - FIT 2. Giải các phương trình sau: a) 5cos3sin4 =− xx b) 2 9 sin32cos3 =+ xx c) 32cos22sin3 =+ xx d) xxx 14sin132cos32sin2 =+ e) 2cos3sin4 =− xx f) 1cos3sin =− xx 3. Tìm các giá trị của       −∈ π π ; 4 3 x thoả mãn phương trình sau với mọi m: xxxmxmxmxm sincoscoscossinsin 2222 −=+−− 4. Tìm các giá trị của α để phương trình: a) 03cossin)2sin3cos3()3sin3(cos 2 =+−+−−+−+ αααααα xx có nghiệm x = 1. b) 0sin)33(cos2)sin3()1cossin2( 222 =−−+−+− ααααα xx có nghiệm x = 3 . 5. Giải phương trình: a) 08 14sin5cos12 5 sin5cos12 =+ ++ ++ xx xx . b) 042)cos5sin4(13)cos5sin4( 2 =+−−− xxxx c) 6 1sin4cos3 6 sin4cos3 = ++ ++ xx xx IV. Phương trình thuần nhất đối với sinx và cosx A. Lý thuyết cần nhớ Dạng phương trình: dxcxxbxa =++ 22 coscossinsin - Nếu cosx = 0. Thế vào phương trình thử nghiệm. - Nếu 0cos ≠ x . Chia cả 2 vế của phương trình cho x 2 cos rồi tiến hành giải phương trình bậc hai đối với tanx: 0tantan)( 2 =−++− dcxbxda . B. Bài tập 1. Giải các phương trình sau: a) 0cos3cossin2sin 22 =−− xxxx b) 2coscossinsin6 22 =−+ xxxx c) xxx 2cos2sin22sin 2 =− d) 22cos2cos2sin22sin2 22 =+− xxxx e) 1)cos( 2 3 sin2cos)sin(4 2 cossin4 =+       −+++       − xxxxxx π π π π f) 2 1 cos2cossin4sin3 22 =+− xxxx 2. Giải các phương trình sau: a) xxx sin3cos4sin2 33 =+ b)       ++=+       + 22 sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 sin3 22 3 cos 2 sin3 2222 ππ xxxxxxx 3. Số đo độ của một trong các góc trong tam giác vuông ABC là nghiệm của phương trình: 0cos32sinsinsin 33 =−+ xxxx . Chứng minh tam giác ABC vuông cân. V. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx. A. Lý thuyết cần nhớ Dạng phương trình: cxxbxxa =+± cossin)cos(sin . Cách giải: Đặt xxt cossin ±= , ta có: 2|| ≤ t . xxxt 2sin1cossin21 2 ±=±=→ . Thay vào phương trình rồi giải ra t. B. Bài tập 1. Giải phương trình sau: a) xxxx cossintancot +=− b) 12sin2cotsin2 +=+ xxx c) 1sincos 33 −=− xx d) 12sin4|cossin| =+− xxx e) xxx 4sin 2 3 2cos2sin1 33 =++ f) 2)sin1)(cos1( =++ xx VI. Một số dạng phương trình lượng giác khác 1. Giải các phương trình lượng giác sau: 2K2+ - 8 - Phương trình lượng giác NXT - FIT a) 02 4 3 cos2cos =−+ x x b) )cot(tan 2 1 2sin cossin 44 xx x xx += + c) 04tan32cos34tan3cos4 22 =++−+ xxxx d) xxx cos2sin1sin1 =−++ e) 2 7 24 sin42sin4cossin 22 −       −=− x xxx π f) 0 2 5 cos 2 tan 2 1 =+− x x g) 0cos)34(cossin)2(2sin)12(3sin)64( 23 =−−−+−+− xmxxmxmxm (Biện luận theo m). h) xxx 2tantan2tan1 2 =− i) 1cos24sin 2 −= xx j) 14coscos8 4 =− xx k) 2 cos2sin2cos1 2 x xx =++ l) 2 3 4sin2sin 22 =+ xx m) xxxx cos3sin2tantan =+ n) )cos3(sin4cot3tan xxxx +=− o) xxx 2coscossin 33 =+ p) xx tan4sin = q) 1)cos44(cossin44sin =−−− xxxx r) 2)sin(tan5)cos(cot3 =−−− xxxx s) 27sin37cos −=− xx t) 1sin22tan =− xx u) xx 3sincos2 3 = v) x x x sin1 cos1 tan 2 − + = w) )cos(sin 6 5 cossin 4466 xxxx +=+ x) x xx xx 4cos 4 tan 4 tan 2cos2sin 4 44 =       +       − + ππ y) 4 1 4 tan 4 tan cossin 66 −=       +       − + xx xx ππ z) 01cos2sin2cos 2 =+++ xxx 2. Giải các phương trình lượng giác sau: a) x x x 2sin1 tan1 tan1 += + − b) xx x sin 1 cos 1 4 sin22 +=       + π c) 82cos2sin3cos6sin9 =+−+ xxxx d) xxx 3sin26)4cos2(cos 2 +=− e) 1 sin5 5sin = x x f) 2 1 2 3 sin 2 sinsin 2 3 cos 2 coscos =− xx x xx x g) )105,10sin(6cos4sin 22 xxx +=− π . Tìm các nghiệm thuộc khoảng       2 ;0 π h) xxxxx 2cos 4 5 )cos(sin2cossin 101088 ++=+ i) xxx 2cos222cos22sin3 2 +=− j) 2 3 3sin2sinsin 222 =++ xxx k) x xx cos 1 cossin3 =+ l) 1 2tan22tan2cot + += xxx m) xxxx sin28cos22310sin2cos2 +=+ n) xxxx cos4sin12cos22sin −+=+ o) 3tan22sin =+ xx p) xxxx 4sin 2 1 2cos)coscos1( =+− q) 1cot )sin(cos2 2cottan 1 − − = + x xx xx r) xx sin2 4 sin 3 =       + π s) 01cos263sinsin22cos28 436 =−−+ xxxx t) xxxxx cossin2sinsincos 33 ++=+ u) )1sin2(sincos43 2 +=− xxx v) xxxx 8sin2coscossin34 = w) xxxxxx 3cot2cottan3cot2cottan 2222 +−= x) 0 tan1 cos 3 4 cos 2 2 = − − x x x y)       +=       − xxx 4 sin2sin 4 3sin ππ z) xxx 2coscossin =+ 3. Giải các phương trình lượng giác sau: a) 0239 cotcot =−+ xx b) 01sincos 2 =++ xx c) 022cos23sin =−+ xx d) 02sinsin3sin =+− xxx 2K2+ - 9 - Phương trình lượng giác NXT - FIT e) 02cos32cos =++ xx f) 13cos24cos3 2 =− xx g) xxxxx 2sinsin23cos2coscos31 +=++ h) xxxx 2cos3sin2tantan −=+ i) x x x cos cos1 tan 2 + = j) xxx 4sin 2 3 2cos2sin1 33 =++ k) )2cos2(sin2cottan xxxx +=+ l) xxxx 2cos3cos)cos(sin22 +=+ m) 8 9 ) 4 (sin) 4 (sinsin 444 =++−+ ππ xxx n) 0cos2 sin1 2sin =+ + x x x o) 0cossin3sincos 23 =−+ xxxx p) xxx sin2cossin2 3 =+ q) 2cos1cos3 =+−− xx r) 2cos2sin2cossin =++ xxxx s) 16 1 8cos4cos2coscos = xxxx t) xxxx 4cos2cos3sinsin 2222 +=+ u) 0)3cos2sin1(3cos)3sin2(cos3sin =−++− xxxxxx v) 0 24 cos8 cos )sin1(3 tantan3 2 2 3 =       −− + +− x x x xx π w) xx 3sincos2 3 = x) 04cossin32sin32cos =+−−− xxxx y) xxx tan1cos2cos 2 += z) xxx cos)232(sin22cot3 22 +=+ 4. Giải các phương trình sau: a) 0 cos 1 cos222cos2sintan =       −+−− x xxxx b) )1(sin5)2cos3(sin4 −=− xxx c) )cos(sin2cossincossin2cos2 22 xxxxxxx +=++ d) )cossin2(cos3sin2sintan 22 xxxxxx +=− e) xxxx 2 cos4)2tan(cot2sin =+ f) 0)cot2cot1( sin 2 cos 1 48 24 =+−− xx xx g) xxx 4coscossin 66 =+ h) 02sin2coscos 23 =−++ xxx i) 2 tan2cos2 x x =+ j) )2sin1(23cos23cos 22 xxx +=−+ k) 03sin2sinsin =++ xxx l) xxxx cossintancot +=− m) xxxx 2cossin212cos3sin +=+ n) x xx cos 1 7cos82cos2 =+− o) 4 1 4cossin3sincos3cos 333 +=− xxxxx p) 82cos2sin3cos6sin9 =+−+ xxxx q) xxxxx 4sin3sincos3cossin 333 =+ r) xxxxxxxx 432432 coscoscoscossinsinsinsin +++=+++ s) 1coscossinsin2 22 −=−− xxxx t) 0 cossin 12cos2sin 42 = −+ xx xx u) 0cos2cossin2 3 =+− xxx v) xxx 2sinsincos1 33 =−+ w) 03cos2coscos1 =+++ xxx x) 04cos3cos2coscos =+++ xxxx y) 0cossincos 32 =++ xxx z) 1|sincos|sincos =++ xxxx 5. Giải các phương trình sau: a) xx sin52cos2 −=+ b) )cos(sin2cossin 5533 xxxx +=+ c) xxx 3cos2cossin 222 += d) xx 3cos 3 cos8 3 =       + π e) 2|cossin||cossin| =++− xxxx f) 12sin2cotsin2 +=+ xxx g) xxx 2cos 8 13 sincos 266 =− h) xx 2sin2tan31 =+ i) )2tan(tan2coscos3sin 2 xxxxx += j) 1099 22 cossin =+ xx k) xxx cos82sin23cos4 3 =+ l) x x cos 2 1 2 =− m) xx sin2 4 sin 3 =       + π n) 5 5sin 3 3sin xx = 2K2+ - 10 - [...]... 4  VIII Các dạng bài tập khác 1 Tìm tất cả các nghiệm của phương trình 1 − 5 sin x + 2 cos 2 x = 0 thoả mãn cos x ≥ 0 2 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = sin x cos x +cos x sin x 3 Chứng minh rằng tam giác ABC có ba góc thoả mãn: sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = m Nếu m = 2 thì tam giác ABC vuông, m > thì ba góc A, B, C đều nhọn và nếu m < 2 thì tam giác có góc tù 4 Cho các góc của tam giác ABC...   2 4 34 Tính các góc của tam giác ABC nếu các góc thoả mãn: cos 2 A + 3 (cos 2 B + cos 2C ) + 5 = 0 2 A +B Chứng minh tam giác ABC cân 2 36 Chứng minh rằng tam giác ABC tù khi và chỉ khi cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C > 1 b+c 37 Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thoả mãn cos B + cos C = thì tam giác ABC vuông a 38 Cho phương trình: cos 3 x + sin 3 x = k sin x cos x 35 Cho tam giác ABC thoả mãn:...Phương trình lượng giác VII Hệ phương trình lượng giác 1 Giải các hệ phương trình lượng giác sau: tan x tan y = a) d) g) x+y = π 1 3 NXT - FIT x + y + z =π 1 4 b) 3 tan x = tan y sin x cos y = 3 sin x +sin y = 2 e) cos x +cos y = 2 c) sin 2 x = cos x... Chứng minh tam giác ABC đều 19 Cho tam giác ABC thoả mãn: a +b +c 2 16 Tìm t để phương trình sau có đúng 2 nghiệm x ∈[0, π] : 2K2+ - 11 - Phương trình lượng giác NXT - FIT 1 2 20 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: y = 2(1 + sin 2 x cos 4 x ) − (cos 4 x − cos 8 x ) 21 Giải phương trình sau: 9 cot x + 3cot x − 2 = 0 b c a + = Chứng minh tam giác ABC vuông cos B cos C sin B sin C 23 Cho tam giác ABC, chứng... A + cot B + cot C ) = 3 sin A sin B sin C 8 Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thoả mãn điều kiện: cos 2 A + cos 2 B + cos 2C + 1 = 0 thì tam giác đó là tam giác vuông 9 Chứng minh rằng trong tam giác có: (b 2 + c 2 ) sin(C − B ) = (c 2 − b 2 ) sin(C + B ) thì tam giác đó vuông hoặc cân  π π 10 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: y = 5 cos x − cos 5 x trên − ;  11 Cho phương trình: m sin x − 2 m cos... Chứng minh rằng tam giác ABC vuông hoặc cân khi và chỉ khi a cos B − b cos A = a sin A − b sin B C 25 Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có: tan A + tan B = 2 cot thì tam giác ABC cân 2 1 2 26 Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số trên đoạn: y = sin x − cos x + 2 (n) 2 27 Cho y = sin 5 x Tính y 3 sin x 28 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: y = 1 + 2 + cos x 22 Cho tam giác ABC thoả mãn:... trong đoạn [20π,30π] 12 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: 2b = a + c ⇔ cot 13 Cho tam giác ABC có: 5 tan A C cot = 3 2 2 A B tan = 1 Chứng minh rằng: 3c = 2(a + b) 2 2 14 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số sau: f ( x) = 2 sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 15 Tìm các giá trị x ∈(0,2π ) sao cho cos x − sin x − cos 2 x > 0 2 sin x +1 =t sin x + 2 a2 + b2 + c2 17 Cho tam giác ABC Chứng minh: cot A + cot... C là 120o 5 Hai góc của tam giác ABC thoả mãn điều kiện: tan A B 3 C + tan = 1 Chứng minh rằng: ≤ tan < 1 2 2 4 2 6 Biện luận theo tham số a về số nghiệm của PT: 2 − x 2 sin x + 2 + x 2 cos x =| a +1 | + | a −1 | 7 Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam giác ABC đều là có hệ thức: 1 1 1 + + − (cot A + cot B + cot C ) = 3 sin A sin B sin C 8 Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thoả mãn điều kiện:... x A B C A C , cot , cot theo thứ tự lập thành 1cấp số cộng thì cot cot = 3 2 2 2 2 2 1 1  π + 44 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = với x ∈ 0;  sin x cos x  2 C 45 Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thoả mãn a + b = tan (a tan A + b tan B) thì nó cân 2 43 Chứng minh rằng nếu cot 46 Tìm m để hàm số sau xác định với mọi x: f ( x) = sin 4 x + cos 4 x − 2m sin x cos x 2K2+ - 12 - . 2)sin1)(cos1( =++ xx VI. Một số dạng phương trình lượng giác khác 1. Giải các phương trình lượng giác sau: 2K2+ - 8 - Phương trình lượng giác NXT - FIT a) 02 4. Phương trình lượng giác NXT - FIT Lượng giác Phần 1: Hàm số lượng giác A. Kiến thức cần nhớ 1. Các hằng đẳng thức cơ bản a) 1cossin