25 16 25 16− − Trường THCS Nguyễn Bá Ngọc ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 9 Năm học 2008-2009 thời gian : 90 phút ********* Phần 1 : Trắc nghiệm khách quan (3 điểm ) Câu 1 : Khoanh tròn vào chữ cái đứng trước câu trả lời đúng Giá trị của biểu thức 4 4 2 2 sin cos 2sin cos α α α α + + bằng A. 2 B. 3 C. 1 D. 0 Câu 2 : Điền dấu ( > ; < ; = ) thích hợp vào ô vuông A 25 16− 25 16− B. 16 9+ 16 9+ C. 2004 2006+ 2 2005 D. 2 a b+ ab ( với a 0 ≥ ; b 0 ≥ ) Câu 3 : Hai đường thẳng y = kx + ( m - 2 ) ( với k ≠ 0 ) và y = ( 2 - k ) x + ( 4 - m ) ( với k ≠ 2 ) sẽ song song với nhau khi A. k ≠ 1 ; m = 3 B. k ≠ 1; m ≠ 3 C. k = 1; m ≠ 3 D. k = 1; m = 3 Câu 4 : Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3 cm ; AC = 4 cm . Khi đó bán kính đường tròn bàng tiếp trong góc A bằng A. 7 7 2 + cm B. 6cm C. 3cm D. 4cm Câu 5 : Hai hệ phương trình 1 3 2 0 x y x y − =   − =  và 1 1 x y ax by − =   − = −  tương đương khi A. a = -1 ; b = 2 B. a = 1 ; b = 2 C. a = 2 ; b = -1 D. a = 2 ; b = 1 Câu 6 : Cho đường tròn ( O: R) và dây cung AB không qua tâm O . Gọi M là điểm chính giữa cung nhỏ AB . Biết AB = 2R . Độ dài AM bằng A. 3R B . 1 2R + C. 2 2R − D. 2 2R + Phần II : Bài tập tự luận ( 7 điểm) Bài 1 ( 2 đ) Tính ( ) ( ) 3 5. 3 5 10 2− + − Bài 2 : Tìm nghiệm x > 0 ; y > 0 của hệ phương trình 2 2 420 280 x y xy y x xy  + =   + =   Bài 3 : ( 2 đ) Từ một điểm M nằm ngoài đường tròn tâm O vẽ hai tiếp tuyến MA và MB . Trên cung nhỏ AB lấy một điểm C . Vẽ CD ⊥ AB và CF ⊥ MB ; CE ⊥ MA. Goi I là giao điểm của AC và DE ; K là giao điểm của BC và DF . Chứng minh rằng a. Tứ giác AECD nội tiếp b. CD 2 = CE. CF Bài 4 ( 1, 5 đ) Cho tam giác ABC nhọn , đường cao AH ,nội tiếp trong đường tròn tâm O . Gọi E; F theo thứ tự là hình chiếu của B và C trên đường kính AD của đường tròn tâm O . M và N theo thứ tự là trung điểm của BC ; AB . Chứng minh a. 4 điểm A; B; H; E cùng thuộc một đường tròn b. M là tâm đường tròn ngoại tiếp HEF∆ C 1 1 1 1 O M A B D E F 2 2 420 280 x y xy y x xy  + =   + =   ( ) ( ) 2 2 420 420 280 280 x x x y y x y xy y x xy y y y x x  + =  + =   ⇔   + = + =     2 2 2 2 2 2 2 9 9 420 4 4 81 3 420 16 2 81 24 6720 64 y y y y y y y y   + =  ÷   ⇔ + = ⇔ + = ⇔ = Đáp án Phần I : Trắc nghiêm khách quan ( 3 điểm ) Câu 1 2 3 4 5 6 Đáp án C >; < ; < ; ≥ C B D C Bài 1 : Tính (2 điểm ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 5. 3 5 10 2 6 2 5. 3 5 5 1 5 1 3 5 5 1 5 1 3 5 6 2 5 3 5 2 3 5 3 5 2.4 8 − + − = − + − − + − = − + − + = − + = = Bài 2 : ( 1, 5 điểm ) Tìm nghiệm x > o ; y > o của hệ phương trình ( 1 ) Vì x > 0 ; y > 0 nên chia từng vế hai phương trình của hệ ta có 3 9 2 4 x y x y = ⇔ = Thay vào ( 1 ) ta có Mà y > 0 ; x > 0 nên y = 8 ; x = 18 Bài 3 : ( 2 điểm) a. · · 0 180AEC ADC+ = => Tứ giác AECD nội tiếp b. Tứ giác AECD nội tiếp I => · · 0 180EAD ECD+ = Tương tự : · · 0 180FCD FBD+ = Mà · · FBD EAD= K => · · ECD FCD= +) ¶ µ µ µ 1 1 1 1 D A B F= = = Nên EDC DFC∆ = ∆ ( g-g) => CD 2 = CE. CF H 1 1 1 Q E P N M F O CB A D Bài 4 : ( 1,5 điểm ) a.Tứ giác AEHB nội tiếp => · · BAD EHM= ; · · BAE BCD= => · · BCD EHM= => HE //CD b. MN là đường trung bình của tam giác ABC => MN //AC Mà AC DC⊥ => MN ⊥ DC Mà DC // HE => MN ⊥ HE => ∆ HNE cân có đường cao MN đồng thời là trung trực của HE (1) +) Lấy P là trung điểm của AC PM là đường trung bình của ∆ ABC => PM //AB ; AB ⊥ BD => PM ⊥ BD µ µ 1 1 B A= ( hai góc nội tiếp chắn cung DC) ; ¶ µ 1 1 H A= ( tứ giác AHFC nội tiếp ) => ¶ µ 1 1 H B= => HF //BD mà BD ⊥ PM => HF ⊥ PM ∆ HPF cân có PM là đường cao là trung trực của HF (2) Từ ( 1) và ( 2 ) => M là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ EHF Trường THCS Nguyễn Bá Ngọc ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 9 Năm học 2008-2009 thời gian : 90 phút ********* Phần 1 : Trắc nghiệm khách quan Câu 1 : Khoanh tròn vào chữ cái đứng trước câu trả lời đúng Giá trị của biểu thức 2 2 3 2 2 3 2 2 + + − bằng A. - 8 2 B. 8 2 C. 12 D. -12 Câu 2 : Hai đường thẳng y = ( m - 3 ) x + 3 ( với m ≠ 3 ) và y = ( 1 - 2 m ) x + 1 ( với m ≠ 1 2 ) sẽ cắt nhau khi A. m = 4 3 B. 4 1 ; 3; 3 2 m m m≠ ≠ ≠ C. m = 3 D. 1 2 m = Câu 3 : Phương trình ( ) ( ) 2 2 1 2 2 2 0x x mx m m− − + − + = có 3 nghiệm phân biệt khi A. m> 1 B. m ≥ 1 C. 1m ≥ và 3m ≠ D. m > 1 và 3m ≠ Câu 4 : Tam giác PQR vuông tại P có đường cao PH = 4 cm và 1 2 QH HR = . Khi đó độ dài QR bằng A. 6 2 cm B. 4 3 cm C. 5 2 cm D. 5 3 cm Câu 5 : Cho tam giác đều MNP ngoại tiếp đường tròn bán kính 2 cm . Khi đó diện tích tam giác MNP bằng A. 9 3 cm 2 B. 12 3 cm 2 C. 12cm 2 D. 18cm 2 Câu 6 : Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng a 2 . Diện tích xung quanh của hình nón là A. 2 a π B. 2 2 2 a π C. 2 2 a π D. 2 2a π Phần 2 : Bài tập tự luận Bài 1 : Cho phương trình 2 x 2 + ( 2m - 1 ) x + m - 1 = 0 a. Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi m b. Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương Bài 2 ( 1.5 đ) Chứng minh bất đẳng thức : 1 1 2 1 n n n + − > + ( n là số tự nhiên ) Bài 3 : Cho tam giác ABC có AC > AB , trung tuyến AM . Điểm N bất kì thuộc đoạn AM . Đường tròn tâm O đường kính AN .Đường tròn tâm O cắt đường phân giác trong của góc A tại F , cắt đường phân giác ngoài của góc A tại E . a. Đường tròn ( O ) cắt AB , AC lần lượt tại K và H . Đoạn KH cắt AD tại I . minh AKF∆ đồng dạng với KIF∆ b. Chứng minh : NH.CD = NK. BD Bài 4 : Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đường tròn đường kính AD . Hai đường chéo AC; BD cắt nhau tại E . Vẽ EF vuông góc với AD . Chứng minh a. Chứng minh CA là tia phân giác của góc BCF b. Gọi M là trung điểm của DE . Chứng minh tứ giác BCMF nội tiếp 1 I H K D F E O M B C A N Đáp án Phần trắc nghiệm khách quan Câu 1 2 3 4 5 6 Đáp án C B D A B B Phần tự luận : Bài 1 ( 2 điểm ) a. ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 8 1 4 4 1 8 8 4 12 9 2 3 m m m m m m m m ∆ = − − − = − + − + = − + = − 0∆ ≥ với mọi m => phương trình có nghiệm với mọi m b. Vì phương trình có nghiệm với mọi m nên phương trình có hai nghiệm dương 1 0 0 1 2 1 1 2 2 0 0 2 c m a m b m a −   > >     ⇔ ⇔ ⇔ < <   − −   > >     Bài 2 : Chứng minh ( 1,5 điểm ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 n n n n n n n n n n n n n n n n + − > + + − + + + − = + + = > = + + + + + + Bài 3 : a. · 0 90EAF = => EF là đường kính của đừờng tròn tâm O +) AD là phân giác của · BAC => · · » ¼ KAF FAH KF FH= ⇒ = · µ 1 HKF A⇒ = => AKF∆ KIF∆ ( g- g) ( 1 ) b. Chứng minh . .S ABM S ACM= ( do có chung đường cao vẽ từ A và cạnh đáy bằng nhau ) mà . .S BMN S CMN= ( do có chung đường cao ; cạnh đáy bằng nhau ) => . .S ABN S ACN= => KN. AB = HN. AC => AB NH AC KN = mà AB BD AC CD = ( AD là phân giác của góc BAC ) => NH BD KN CD = => NH.CD = KN.BD S 1 1 2 1 M E A D C B F Bài 4 : a. µ µ 1 1 D C= ( hai góc nội tiếp chắn cung AB ) ¶ µ 2 1 C D= ( tứ giác CEFD nội tiếp ) => CA là tia phân giác của góc BCF b) EFD∆ vuông tại F có trung tuyến FM thuộc cạnh huyền ED => FM = 2 ED => MFD∆ cân tại M => ¶ µ 1 1 2M D= ( góc ngoài của MFD ∆ ) Mà · µ 1 2BCF C= => ¶ · 1 M BCF= => Tứ giác BFMC nội tiếp . 16 25 16− − Trường THCS Nguyễn Bá Ngọc ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 9 Năm học 2008-20 09 thời gian : 90 phút ********* Phần 1 : Trắc nghiệm khách. ngoại tiếp ∆ EHF Trường THCS Nguyễn Bá Ngọc ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 9 Năm học 2008-20 09 thời gian : 90 phút ********* Phần 1 : Trắc nghiệm khách